Embed Size (px)
Citation preview
KÜRESEL TRİGONOMETRİKÜRESEL ÜÇGENDE SİN VE COS TEOREMLERİ
SİN TEOREMİ
sin a sin b sin c
--------- = -------- = ---------
sin A sin B sin C
A
B Ca
c b
COS KENAR TEOREMİ
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos B
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C
COS AÇI TEOREMİ
cos A = cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos B = cos A · cos C + sin A · sin C · cos b
cos C = cos A · cos B + sin A · sin B · cos c
KÜRESEL ÜÇGENDE KENARLAR, AÇI DERECESİ CİNSİNDEN DEĞERLENDİRİLİR.
KÜRESEL ÜÇGENDE HAVERSINE FORMÜLLERİ
A
c
a
b
B C
VERSINE A = 1 - cos A .
HAVERSINE A = ½ (1- cos a)
cos A = 1- 2 Hav A
AÇI 180 DEN BÜYÜK OLURSA 360 DAN ÇIKARILIR.
Hav a = Hav (b – c) + sin b · sin c · Hav A
Hav b = Hav (a – c) + sin a · sin c · Hav B
Hav c = Hav (a – b) + sin a · sin b · Hav C
KÜRESEL DİK ÜÇGENDE NAPIER’S KURALLARI
A
a
c b
B C
a
b90 - A
90 - c
90 - B
ÖNCE DİK AÇI KÖŞESİNE KOMŞU OLAN KENARLAR YAZILIR (a ve b), SONRA SIRA İLE DİĞER AÇI VE KENARLARIN 90 DAN FARKI YAZILIR (A, c, B).
I. KURAL : İSTENİLEN ELEMANIN sin Ü KOMSU ELEMANLARIN tan LARININ ÇARPIMINA EŞİTTİR.
ÖRNEK : sin b = tan (90 – A) tan (90 - a) sin (90 – A) = tan (90 – c) tan (b)
II. KURAL : İSTENİLEN ELEMANIN sin Ü KARŞI ELEMANLARIN cos LERİNİN ÇARPIMINA EŞİTTİR.
ÖRNEK : sin b = cos (90 – c) cos (90 - B) sin (90 – A) = cos (90 – B) cos (a)
MESAFE VE KALKIŞ ROTA AÇISININ BULUNMASI P
d long
dist
90 – lat2 90 – latı
K V
latı lat2
longı long2
P’
PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN cos KENAR BAĞLANTISINI YAZARSAK
cos p = cos v . cosk + sin v . Sin k . cos P
cos D = cos (90-latı) . Cos(90-lat2) + sin (90-latı) . Sin (90-lat2 . cos d long
sin In Co sin d long sin d long . cos lat2
sin (90-lat2) sin D sin In co = -----------------------------
sin D
cos D = sin latı. sin lat2 + cos latı . cos lat2 . Cos d long MESAFE FORMÜLÜ
PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN sin BAĞLANTISINI YAZARSAK
sin K sin P
sin k sin p
=
=
Kalkış rotası (In co) formülü
MESAFE VE KALKIŞ ROTA AÇISININ BULUNMASI P
d long
dist 90 +lat2
90 – latı
K
V
latı
P’
PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN cos KENAR BAĞLANTISINI YAZARSAK
cos p = cos v . cosk + sin v . Sin k . cos P
cos D = cos (90-latı) . Cos(90+lat2) + sin (90-latı) . Sin (90+lat2) . cos d long
sin In Co sin d long sin d long . cos (-lat2)
sin (90-lat2) sin D sin In co = -------------------------------
sin D
cos D = sin latı. sin (-lat2) + cos latı . cos (-lat2) . cos d long MESAFE FORMÜLÜ
PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN sin BAĞLANTISINI YAZARSAK
sin K sin P
sin k sin p
=
=
Kalkış rotası (In co) formülü
lat2
VERTEKS NOKTASININ KOORDİNATLARININ (latv, longv) BULUNMASI
P
d long k-v
T
90 – lat2 90 – latı
K V
latı lat2
longı long2
P’
90-latv
lat v
PKT KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN
Dk-v
90-latv
Dk-v
90-d longk-v
90-(90-latı)
90-Ksin (90-latv) = cos (90-(90-latı)) . cos (90-K)
cos latv = cos latı . cos In co latv FORMÜLÜ
sin (90-K) = cos (90-latv) . cos (90-dlongk-v)
cos (90-dlongk-v) = sin (90-K) / cos (90-latv)
sin dlongk-v = cos In co / cos latv d long k-v FORMÜLÜ
VERTEKS NOKTASININ KOORDİNATLARININ (latv, longv) BULUNMASI
P
d long k-v
T
90 + lat2 90 – latı
K
V
latı
lat2
P’
90-latv
lat v
PTK KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN
Dk-v90-latv
Dk-v
90-d longk-v
90-(90-latı)
90-(180-K)
sin (90-latv) = cos (90-(90-latı)) . cos (90-(180-K))
cos latv = cos latı . sin In co latv FORMÜLÜ
sin (90-(180-K)) = cos (90-latv) . cos (90-dlongk-v)
cos (90-dlongk-v) = sin (90-(180-K)) / cos (90-latv)
sin dlongk-v = cos In co / cos latv d long k-v FORMÜLÜ
VERTEKS NOKTASININ KALKIŞ NOKTASINA MESAFESİNİN (Dk-v) BULUNMASI
P
d long k-v
T
90 – lat2 90 – latı
K V
latı lat2
longı longv long2
P’
90-latv
lat v
PKT KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN
Dk-v
90-latv
Dk-v
90-d longk-v
90-(90-latı)
90-K
sin Dk-v = cos (90- d longk-v) . cos (90-(90-latı))
Sin Dk-v = sin d longk-v) . cos latı Dk-v FORMÜLÜ
VERTEKS NOKTASININ KALKIŞ NOKTASINA MESAFESİNİN (Dk-v) BULUNMASI
P
d long k-v
T
90 + lat2 90 – latı
K
V
latı
lat2
P’
90-latv
lat v
PTK KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN
Dk-v90-latv
Dk-v
90-d longk-v
90-(90-latı)
90-(180-K)
sin Dk-v = cos (90- d longk-v) . cos (90-(90-latı)
sin Dk-v = sin d longk-v . cos latı latv FORMÜLÜ
ARA NOKTALARIN KOORDİNATLARININ (latx, longx) BULUNMASI
P
d long x-v
T
90 – lat290 – latı 90-latx
K V
latı lat2
longı longx longv long2
P’
90-latv
lat v
PXT KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN
X
90-latv
Dx-v
90-d longx-v
90-(90-latx)
90-X
sin (90-d longx-v) = tan (90- (90-latx)) . tan (90-latv)
tan latx = cos d longx-v / ctan latv = cos d longx-v . tan latv latx FORMÜLÜ
GENEL OLARAK ARA NOKTALAR ARASI d long 5° ALINDIĞI İÇİN
longx = longı ± 5°
DİĞER ARA NOKTALARDA BENZER ŞEKİLDE BULUNUR.
ARA NOKTALARIN KOORDİNATLARININ (latx, longx) BULUNMASI
P
d long x-v
T
90 – lat2
90 – latv
K V
latı
longv longı longx long2
P’
90-latı
lat v
PTX KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN
X
90-latv
Dx-v
90-d longx-v
90-(90-latx)
90-T
sin (90-d longx-v) = tan (90- (90-latx)) . tan (90-latv)
tan latx = cos d longx-v / ctan latv = cos d longx-v . tan latv latx FORMÜLÜ
GENEL OLARAK ARA NOKTALAR ARASI d long 5° ALINDIĞI İÇİN
longx = longı ± 5°
DİĞER ARA NOKTALARDA BENZER ŞEKİLDE BULUNUR.
90-latx
laytx
lat2
FORMÜLLERİN HEPSİ BİRLİKTE
MESAFE (D) VE KALKIŞ ROTA AÇISI (Inco) ( latı ve lat2 AYNI YARI KÜREDE
cos D = sin latı. sin lat2 + cos latı . cos lat2 . Cos d long
sin In co = sin d long . cos lşat2 / sin D
MESAFE (D) VE KALKIŞ ROTA AÇISI (Inco) ( latı ve lat2 AYRI YARI KÜREDE
cos D = sin latı. sin (-lat2) + cos latı . cos (-lat2) . Cos d long
sin In co = sin d long . cos (-lat2) / sin D
VERTEKS NOKATASININ KOORDİNATLARI (latv, longv)
cos latv = cos latı . cos In co
sin dlongk-v = cos In co / cos latv
VERTEKS NOKTASININ BAŞLANGIÇ NOKTASINA MESAFESİ (Dk-v)
sin Dk-v = sin d longk-v . cos latı
ARA NOKTA KOORDİNATLARI (latx, longx)
tan latx = cos d longx-v . tan latv longx = longı ± 5°
ÖRNEK - 1
P
d long
dist
90 - lat2 90 – latı
K V
d longBAŞLAMA NOKTASI latı = 36° 24 ‘ N
longı = 60° 30 ‘ W
VARIŞ NOKTASI lat2 = 35° 36 ‘ N long2 = 05° 48 ‘ W
latı
longı long2
P’
lat2
ÖRNEK - 2
P
d long
dist
90 + lat2
90 – latı
K
V
d longKALKIŞ NOKTAS latı = 25° 18 ‘ N longı = 60° 30 ‘ W
VARIŞ NOKTASIlatı = 22° 18 ‘ S longı = 10° 06 ‘ E
latı
longı long2
P’
lat2
