Lopta

Učenik: Dušan CvetanovićŠkola: Aleksinačka gimnazija

Predmet: MatematikaProfesor: Tamara Franeta

KVADRATURA KRUGAKVADRATURA KRUGA

• Jedan odJedan od tri tri nere nereššiva problema Antikeiva problema Antike je kvadratura kruga: je kvadratura kruga:

KONSTRUISATI KONSTRUISATI KVADRATKVADRAT ISTE POVR ISTE POVRŠINE KAO ŠINE KAO KRUGKRUG!!

• Hiljadama godina problem zaokuplja paHiljadama godina problem zaokuplja pažžnju matematinju matematiččaara.ra. Tek u XX vekuTek u XX veku dokazana je dokazana je nerenereššivostivost problema geometrijskim sredstvima.problema geometrijskim sredstvima.

• Danas je izraz Danas je izraz kkvadratura kruga vadratura kruga metafora za besmisleno!metafora za besmisleno! • Ova oblast matematike nazvana je Ova oblast matematike nazvana je pseudomatematikapseudomatematika,, aa lekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi lekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi morbusmorbus ciclometricus!ciclometricus!

• Analogon krugu Analogon krugu ii kvadratu u prostoru su kvadratu u prostoru su kocka i loptakocka i lopta.. NjihovaNjihova kombinacija kombinacija ččesta je u arhitekturi:esta je u arhitekturi: KOCKA I KUPOLAKOCKA I KUPOLA..

• ““KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!” KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!” LeduLedu, arhitekt, arhitekt

Pocetak

LUDOLFOV BROJ LUDOLFOV BROJ ππ

ππ je ne samoje ne samo IRACIONALAN, IRACIONALAN, već iveć i TRANSCEDENTAN TRANSCEDENTAN brojbroj!! (nije re(nije reššenje enje nnijedne algebarske jednaijedne algebarske jednaččine).ine).

Zato je Zato je geometrijska konstrukcija brojageometrijska konstrukcija broja ππ nemogu nemogućća!a! (Lindeman, (Lindeman, 18821882))

TRANSCEDENTNOST BROJA TRANSCEDENTNOST BROJA ππ JE ODGOVORNO ZA JE ODGOVORNO ZA NEREŠIVOST KVADRATURE KRUGANEREŠIVOST KVADRATURE KRUGA!!

• Vavilon Vavilon ii Biblija nalaze Biblija nalaze ππ == 33• U Egiptu 2000 g.p.n.e. U Egiptu 2000 g.p.n.e. Ahmes Ahmes ((Rindov papirusRindov papirus)) daje: daje: ππ == (16/9)²(16/9)² == 3,163,16• Arhimed 280 Arhimed 280 (god. (god. p.n.e.)p.n.e.) određuje granice broja određuje granice broja ππ metodom dvostranog metodom dvostranog

iscrpljivanja tjiscrpljivanja tj.. upisivanjem upisivanjem i opisivanjem mnogouglova u krug. Doi opisivanjem mnogouglova u krug. Doššavavšši do i do 96-96-uuglagla Arhimed daje granice Arhimed daje granice broja broja ππ::

223/71 < 223/71 < ππ < 22/7 tj < 22/7 tj.. ππ≈3,14≈3,14• Ludolf van KalenLudolf van Kalen (XIIv.) (XIIv.) nalazi nalazi 35 decimala35 decimala broja broja ππ ( Ludolfov broj ( Ludolfov broj ππ))

U U Muzeju otkriMuzeju otkrićća u Parizua u Parizu,, mo možže se oe se oččitatiitati sedamsedam stostotinatina sedam sedam decimala decimala brbroja oja ππ ispisanih po zidovima elipsaste palate!ispisanih po zidovima elipsaste palate!

Rindovpapirus

Pocetak

STEREOMETRIJASTEREOMETRIJA

DoDo Arhimeda Arhimeda (III vek p.n.e.) (III vek p.n.e.) stare civilizacije povrstare civilizacije površšinu kruga odreinu kruga određđuju uju samo priblisamo približžnono..

Arhimed Arhimed (287-212 god. p.n.e.) (287-212 god. p.n.e.) iz Sirakuze najveiz Sirakuze najveććii је је univerzalni umuniverzalni um starog starog veka, jedan od veka, jedan od tri mudraca Antiketri mudraca Antike po Plutarhu. Studirao je u po Plutarhu. Studirao je u AleksandrijiAleksandriji, , tadatadaššnjem kulturnom centru sveta.njem kulturnom centru sveta.

FFormule vezane za ormule vezane za krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) odredio je Arhimedodredio je Arhimed:: VVll=2/3V=2/3Vvv VVkk=1/3V=1/3Vvv VVll=(V=(Vvv+V+Vkk)/2)/2

Na Arhimedovom Na Arhimedovom skromnom grobu u Sirakuziskromnom grobu u Sirakuzi nalaze se valjak nalaze se valjak ii upisana upisana lopta po njegovoj lopta po njegovoj žželji.elji.

““MetodMetod”” je jedino sa je jedino saččuvano uvano Arhimedovo deloArhimedovo delo, koje je , koje je iinspirisalo najvenspirisalo najvećće e matematimatematiččke umove tokom ke umove tokom sstoletoleććaa..

ArhimedArhimed

Pocetak

Pocetak

L o p t a i d e lo v i lo p t eL o p t a ( s f e r a ) j e g e o m e t r i j s k o t e lo k o je j e p o t p u n o o b lo i c i j i j e p o p r e c n i p r e s e k k r u n o g o b l ik a . S v e t a c k e n a p o v r in i ž šlo p t e n a la z e s e n a j e d n a k o j u d a l j e n o s t i o d c e n t r a lo p t e i t a u d a l j e n o s t s e n a z iv a p o lu p r e c n ik lo p t e i o z n a c a v a s e s lo v o m r . G r c k i m a t e m a t ic a r A r h im e d e s u s t a n o v io je d a je n e p r o m e n l j iv a v e l ic in a " p i " ( B ) c i j a j e v r e d n o s t p r ib l i n o 3 , 14 p o s e b n o žz n a c a jn a z a iz r a c u n a v a n je p o v r in e i šz a p r e m in e lo p t e .

Pocetak

L o p t a i p o l ie d r i Z a p o l ie d a r ~ i j a s v a t e m e n a p r ip a d a ju lo p t i k a ` e s e d a je u p is a n u lo p t u , a z a lo p t u d a je o p is a n a o k o p o l ie d r a . P o l ie d a r ~ i j e s v e s t r a n e d o d ir u ju lo p t u je o p is a n o k o lo p t e , a lo p t a je u n je g a u p is a n a .

A k o s e u p o l ie d a r m o ` e u p is a t i lo p t a , n je n c e n t a r s e n a la z i u t a ~ k i p r e s e k a s im e t r a ln ih r a v n is v ih u g lo v a d ie d r a d a t o g p o l ie d r a .

D a b i s e u p r iz m u m o g la u p is a t i lo p t a p o t r e b n o je i d o v o l jn o d a s e u n je n n o r m a ln i p r e s e k m o ` e u p is a t i k r u g ~ i j i j e p r e ~ n ik je d n a k v is in i p r iz m e .

D a b i s e u p ir a m id u m o g la u p is a t i lo p t a d o v o l jn o je d a n a g ib n i u g lo v i b o ~ n ih s t r a n a p r e m a o s n o v i p i r a m id e b u d u je d n a k i .

A k o s e o k o p o l ie d r a m o ` e o p is a t i lo p t a , t a d a n je n c e n t a r le ` i u t a ~ k i p r e s e k a s im e t r a ln ih r a v n i s v ih iv ic a p o l ie d r a .

D a b i s e o k o p ir a m id e m o g la o p is a t i lo p t a p o t r e b n o je i d o v o l jn o d a s e o k o n je n e o s n o v e m o ` e o p is a t i k r u g .

Pocetak

L o p t a i o b r t n a t e la

L o p t a je u p is a n a u p r a v v a l j a k a k o o s n o v e i s v e iz v o d n ic e v a l j k a d o d ir u ju lo p t u . T o je m o g u } e a k o je p r e ~ n ik o s n o v e v a l jk a j e d n a k v is in i v a l jk a .

L o p t a je u p is a n a u p r a v u k u p u a k o o s n o v a i s v e iz v o d n ic e k u p e d o d ir u ju lo p t u . T o je u v e k m o g u } e .

L o p t a je o p is a n a o k o v a l jk a a k o s u o s n o v e v a l jk a p r e s e c i lo p t e . O k o s v a k o g p r a v o g v a l jk a m o ` e s e o p is a t i lo p t a .

L o p t a je o p is a n a o k o k u p e a k o je o s n o v a k u p e p r e s e k lo p t e i a k o v r h k u p e p r ip a d a o d g o v a r a ju } o j s f e r i . O k o s v a k e k u p e m o ` e s e o p is a t i lo p t a .

PRIMENA PRIMENA LOPTELOPTE U ARHITEKTURIU ARHITEKTURI

““Na Na ššta se sve ta se sve arhitekturaarhitektura oslanja: oslanja: na na matematikumatematiku, sa njenim brojevima , sa njenim brojevima i njihovim zakonimai njihovim zakonima (proporcije,(proporcije, razmere,razmere, tela, prodori), na tela, prodori), na prirodu prirodu i i njene principe i oblike, na svet njene principe i oblike, na svet tehnika tehnika i mai maššina, na druge ina, na druge umetnostiumetnosti, na , na ččinjenice injenice kulture kulture (mitovi, religije, jezik), sve do onog (mitovi, religije, jezik), sve do onog ččuvenog uvenog KorbizjeKorbizjeovog paradoksa da ovog paradoksa da je je ččovek geometrijska ovek geometrijska žživotinja!ivotinja!””

Svodovi

Njutnov nadgrobni spomenikNjutnov nadgrobni spomenik

Kružne osnove Luk SferaКуполе

Pocetak

PtolomejPtolomej

SaturnSaturn

Rene DekartRene Dekart

Pjer FermaPjer FermaLajbnicLajbnic

Isak NjutnIsak Njutn