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Estructura Mesoreticular: 2.1 Significado de la integral definida.
Estructura Microreticular: 2.1.2 Cálculo de integrales definidas con
sumas de Riemann.
Mtro. Víctor Manuel Santes Espinosa.
UAC: Cálculo integral.
Estructura Macroreticular:
Unidad II. Significado de la
integral definida.
BREVE REFERENCIA HISTÓRICA.
Con base en los estudios de Eudoxio (408 – 355 a. C.) y
Arquímedes (287 – 212 a. C.) Riemann logró establecer el
cálculo del área bajo la curva para cualquier función. Estos
estudios se conocen como la integral de Riemann. Salazar L.
/ Bahena H. / Vega Francisco. Cálculo Integral. 2010.
Recordemos que Arquímedes construía rectángulos
interiores y exteriores para estimar el área de un círculo.
Ahora se utiliza la fórmula de la geometría plana para
determinar el área de cualquier círculo; 𝐴 = 𝜋𝑟2
Con las fórmulas de la geometría plana podemos encontrar el área de un trapecio y también la de un triángulo.
𝐴 =𝐵+𝑏 ℎ
2ÁREA DEL TRAPECIO 𝐴 =
𝑏ℎ
2ÁREA DEL TRIÁNGULO
En donde B = base mayor del trapecio; b = base del triángulob = base menor del trapecio h = altura del triánguloh = altura del trapecio
¿Cómo calculas el área de
un trapecio?
¿Cómo calculas el área de
un triángulo?
¿Qué importancia tiene el aprender
el procedimiento para el cálculo de
integrales definidas con sumas de
Riemann?
Se dará un ejemplo de la aplicación
de la integral definida, al cálculo de
áreas bajo la curva de una función
determinada.
La gráfica es sólo un ejemplo de dos
rectángulos, ambos con una base
igual a una unidad, ‘dx’. Uno con un
área inferior y otro con un área
superior, a la recta inclinada, como
se observa.
Ejemplo. Determine el área bajo
la curva de la función f(x) = 2x + 6 dentro del intervalo - 4 ≤ x ≤ 4.
La figura nos muestra la gráfica de la función lineal (la línea recta inclinada).
La zona sombreada muestra los valores del intervalo especificado, desde el valor de x = - 4 y hasta x = 4.
La gráfica se construye localizando el conjunto de pares ordenados (x, y), en un plano cartesiano, al realizar la tabulación con los valores de ‘x’ sustituidos en la ecuación de la función.
Procedimiento.
Construya una tabla de valores de
‘x’ y ‘y’ que puedan ser
representados como puntos en el
plano cartesiano.
Esta es la tabla que se obtiene después
de sustituir cada uno de los valores de ‘x’,
en la ecuación de la función f(x) = 2x + 6.
Si estos valores los relacionamos con la
gráfica siguiente, observaremos que la
base de cualquier rectángulo es igual a la
unidad.
Los valores de ‘y’ representan la altura de
cada uno de esos rectángulos.
f(X) = (1/2) x + 4
x y
-4 2
-3 5/2
-2 3
-1 7/2
0 4
1 9/2
2 5
3 11/2
4 6
Representación gráfica de los
rectángulos inferiores construidos con
los valores de ‘x’ y de ‘y’, tomados de la
tabla vista anteriormente. Conjunto de
pares ordenados (x, y).
El área de cada rectángulo es igual a
multiplicar el valor de su base por su
altura correspondiente. Así, se puede
obtener el área total de todos éstos,
siendo para este ejemplo; 𝐴𝑖 = 30 𝑢2
(unidades cuadradas).
En notación matemática se representa
de la siguiente manera:
Integral por Sumas de Riemann.
−44 𝑓 𝑥 =1 𝑓 −4 + 𝑓 −3 + 𝑓 −2
De igual manera, se pueden construir losrectángulos superiores a la recta inclinada.
Al sumar el área de todos estos, se obtiene el área total superior, siendo ésta: 𝐴𝑠 = 34 𝑢2.
−44 𝑓 𝑥 =1 𝑓 −3 + 𝑓 −2 + 𝑓 −1
La gráfica muestra el área bajo la curva
de una parábola
Por lo anterior se define la integral de
Riemann con la expresión: 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥
donde 𝑎, 𝑏] son los valores extremos del intervalo especificado y también considerados como los límites inferior y superior de la integral definida.
La expresión 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 representa la
integral definida de cualquier función.
El signo ∫ se puede considerar como una letra ‘S’ alargada, representando una suma; equivalente al signo ∑ (letra griega Sigma).
Para reflexionar acerca de los
aprendizajes.
Estime el área bajo la curva de la
función 𝑦 = −𝑥2 + 4 utilizando el
principio de la integral de Riemann.
ES TIEMPO DE HACER PREGUNTAS Y RESOLVER DUDAS!!!!
MUCHAS GRACIAS POR
SU ATENCIÓN !!!!
Presentación elaborada por: Víctor
Manuel Santes Espinosa; para los
alumnos de la Escuela Preparatoria
Oficial No. 181. Tultepec, México. 2017.
Referencia biliográfica: Salazar L. /
Bahena H. / Vega Francisco. Cálculo
Integral. 2010.
Gráficas elaboradas con software:
GeoGebra y Graphmatica por Víctor M.
Santes E.
La presente imagen fue tomada de un periódico mural en la Universidad ETAC.
