La Probabilità

Introduzione alla “Probabilità classica”

Spazio campionario• Dato un certo evento E, detto anche prova, i singoli risultati che si possono

realizzare sono detti esiti, punti o campioni della prova.• Si chiama spazio campionario S di un esperimento l’insieme di tutti i suoi

esiti possibili.

• Esempio: “Lancio di un dado” I risultati attendibili sono evidentemente i numeri riportati sulle varie facce

del dado. Ogni singolo esito costituisce l’insieme universo della prova: esso viene detto spazio campionario ed, in genere, si indica con S.

Quindi:

6,5,4,3,2,1S654321 ,,,,,Esiti

La frequenza e la probabilità

• La relazione tra la frequenza relativa e la probabilità matematica.

Come determinare la probabilità di un evento.

Esperimento: “Il lancio di una moneta”. 1° parte:

Effettuiamo 10 lanci e registriamo i risultati ottenuti. Supponiamo di aver ottenuto i risultati riportati nella seguente tabella:

La raccolta dei dati (1° fase)

Numero prove effettuate (lanci) 10

Numero uscite “testa” 3

Numero uscite “croce” 7

Di conseguenza avremo che:

Frequenza relativa : evento “testa”

Frequenza relativa: evento “croce”

10

3

10

7

Da questo primo esperimento abbiamo ottenuto i seguenti risultati che, per maggiore fruibilità, sono stati raccolti in una tabella:

La raccolta dei dati (2° fase)

100 lanci 59 teste

Frequenzarelativa

41 croci

1.000 lanci 466 teste

Frequenzarelativa

534 croci

5.000 lanci 2.585 teste

Frequenzarelativa

2.415 croci

10.000 5.047 teste

Frequenzarelativa

4.953 croci

Procediamo nel nostro esperimento, rispettando le seguenti leggi:a) manteniamo gli stessi criteri b) aumentiamo, via via, il numero di lancic) raccogliamo i dati in una tabella.

100

59

100

41

000.1

466

000.1

534

000.5

585.2

000.5

415.2

000.10

047.5

000.10

953.4

Organizzazione dei dati

Numeri lanci 10 100 1.000 5.000 10.000

Frequenza testa 0,3 0,59 0,466 0,517 0,5047

Frequenza croce 0,7 0,41 0,534 0,483 0,4953

Riassumendo tutti i risultati ottenuti, ma fornendoli in forma decimale, otteniamo la seguente tabella:

Osservazione:

Per studiare ed interpretare al meglio questi dati,

conviene riportarli in un grafico.

Rappresentazione grafica dei dati

Considerazione:

Noti qualcosa di interessante negli andamenti delle due

frequenze ?

Dall’attenta osservazione del grafico, si coglie una caratteristica ben visibile:

• “Al crescere del numero delle prove effettuate, il numero delle teste tende a diventare sempre più prossimo a quello delle croci”.

• Nel nostro caso, le due frequenze relative, rispetto all’uscita delle teste e delle croci, tendono a stabilizzarsi intorno ad un valore

ben preciso, che è prossimo a 0,5, cioè ad .

• Nel grafico, infatti, è ben visibile come i punti rappresentati vadano sempre più avvicinandosi alla retta .

Riflessione:

Era possibile prevedere questo risultato per via teorica, ossia senza eseguire un certo numero di esperimenti?

2

1

2

1

Interpretazione dei dati

Riscontro teorico dei risultati pratici

•Risultati:

La risposta, in questo caso, è immediata. E’ sufficiente, infatti, osservare che: a) gli esiti possibili sono due: testa, croce b) gli esiti favorevoli è uno solo: testa

Quindi possiamo ottenerlo anche come rapporto tra questi due numeri.

Possiamo, in definitiva, affermare che:

“la probabilità matematica, intesa in senso classico, è data dal rapporto tra il numero degli esiti favorevoli ed il numero degli esiti possibili”.

Possiamo porre la seguente definizione:

numero esiti favorevoliProbabilità matematica = numero esiti possibili

2

1

Relazione tra frequenza e probabilità• Fai attenzione a non confondere i due concetti di frequenza relativa

e probabilità matematica:• La frequenza relativa si ottiene solo sperimentalmente, ossia

eseguendo un certo numero di prove.• La probabilità matematica si ottiene matematicamente appunto,

cioè senza fare esperimenti.• Possiamo però concludere che:• Aumentando sempre più il numero delle prove, la frequenza

relativa si avvicina sempre più alla probabilità matematica:• Poiché questo risultato vale sempre e finora non è mai stata

disattesa smentita, è stato assunto alla stregua di legge • Essa è conosciuta come legge dei grandi numeri.

La frequenza relativa

• La frequenza relativa di un evento, calcolata su un congruo numero di prove eseguite tutte nelle stesse condizioni, è il rapporto fra il numero delle volte in cui l’evento si è verificato ed il numero delle prove eseguite.

Si ha in formule:

n

vEf )(

frequenza relativa dell’evento E

numero delle prove eseguite

numero delle volte in cui si è verificato l’evento

• La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto tra il numero degli esiti favorevoli al realizzarsi dell’evento ed il numero dei casi possibili, cioè :

Probabilità matematica dell’evento E

numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento

numero dei casi possibili

p

fEp )(

La probabilità classica

La legge dei Grandi Numeri

• La legge dei grandi numeri: “La frequenza relativa di un evento aleatorio tende ad

avvicinarsi alla probabilità di tale evento, quando si effettua un gran numero di prove, tutte eseguite nelle stesse condizioni (equiprobabili).

L’approssimazione (e, quindi, il risultato è tanto più attendibile) è, in generale, maggiore quanto è più grande il numero delle prove eseguite”.

)()( EpEf

Non farti ingannare!

Ricorda che:

• Il dado, come un qualunque altro oggetto preso in esame per il nostro esperimento, è un essere inanimato, quindi:

a) non ragiona b) non ha memoria del passato c) ogni volta che si effettua una prova, nel nostro caso un lancio, per il dado è sempre la prima volta!

• Il discorso sulla probabilità non è applicabile ad una singola prova, bensì riguarda un insieme di prove ed il suo calcolo diventa tanto più attendibile quanto più cresce il numero delle prove stesse.

Eventi particolari• Un evento, come abbiamo già evidenziato, è un qualunque

sottoinsieme (s.i.) dello spazio campionario.

• Tra i s.i. dello spazio campionario, però, come in un qualunque insieme generico, vi sono tre sottoinsiemi particolari: l’insieme vuoto, l’insieme singolo e lo stesso insieme S.

• Viene spontaneo, allora, chiedersi quale significato vada attribuito agli eventi corrispondenti.

• Cerchiamo di spiegarlo mediante esempi opportuni.

L’evento Impossibile

L’insieme vuoto. Esempio: • “Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa da un’urna contenente 5 palline blu?”

• L’evento di estrarre una pallina rossa risulta, evidentemente, vuoto, in quanto nell’urna non ci sono palline di quel colore, e, quindi, non potrà mai verificarsi.

• La probabilità è data da:

• Si dà il nome di evento impossibile ad un evento che ha probabilità zero di realizzarsi.

00

n

EpE

L’evento Certo L’insieme universo U• Esempio: • “Qual è la probabilità di estrarre una pallina verde da un’urna contenente 10 palline verdi?”

• L’evento richiesto, è, evidentemente, sempre possibile, in quanto nell’urna ci sono solo palline di quel colore, e, quindi, potrà sempre verificarsi.

• La probabilità è data da:

• Si dà il nome di evento certo ad un evento che ha probabilità uno di verificarsi.

1)( n

nEpSE

L’insieme singolo• Esempio: “Qual è la probabilità di estrarre una pallina viola da un’urna contenente 6 palline gialle ed una pallina viola?” L’evento richiesto, è, evidentemente, possibile una sola volta, in quanto nell’urna c’è una sola pallina del colore desiderato, e, quindi, potrà verificarsi in un solo caso.

• La probabilità è data da: dove:

e coincide con la probabilità di un esito. • Si dà il nome di evento elementare ad un evento che ha probabilità dell’unità frazionaria di verificarsi.• In pratica, non si fa alcuna differenza tra l’evento elementare e l’esito.

n

Ep1

L’evento Elementare

aE violapallinaa

L’evento Aleatorio Il sottoinsieme generico di S• Esempio: “Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa da un’urna contenente 4 palline blu e 3 rosse?”

L’evento richiesto, è, evidentemente, dato dalla

somma dei singoli esiti che lo rendono possibile e, quindi, potrà verificarsi in tre casi sull’intero spazio campionario, costituito da sette esiti.

• La probabilità è data da: dove:

• Si dà il nome di evento aleatorio ad un evento che ha probabilità di una qualunque frazione propria di verificarsi.

• In pratica, un qualunque s.i. dell’insieme S è un evento aleatorio.

rossapallinaa rossapallinac

rossapallinab

cbaE ,, n

kEp

favorevoliesitilinumerok deg

Gli EVENTI La probabilità e gli insiemi

Distinguiamo tra due casi:• Esiti favorevoli: uno solo (esce il numero 3) la probabilità è data da (unità frazionaria): • Esiti favorevoli: più di uno Esempio: esce un numero minore di 4. Esso è costituito da tre elementi ed è un s.i. di S. Tale s.i. E viene detto evento. la probabilità è data da (frazione propria): Osserviamo che in questo caso l’evento si verifica ogni volta che si verifica uno

qualunque dei suoi elementi, cioè uno qualunque degli esiti ad esso appartenenti.

E

2

1

2

1

6

3

E

La probabilità di un evento• Dato uno spazio campionario S, costituito da n esiti, si dice evento ogni

possibile s.i. di S.• La probabilità di un evento E è espressa dalla formula:

• In simboli:

• La probabilità di un evento può anche essere considerata uguale alla somma delle probabilità dei singoli esiti che costituiscono l’evento stesso. Infatti sappiamo che è:

SdielementilinumeroEdielementilinumero

possibilielementilinumerofavorevolielementilinumero

degdeg

degdeg

possibilielementilinumerofavorevolielementilinumero

degdeg

nf

La gamma dei valori della probabilità

• Per la definizione stessa di probabilità si ha:• Le varie probabilità si possono riassumere, rappresentandole graficamente

da un segmento unitario, come riportato schematizzato in figura:

I numeri 0 ed 1 rappresentano allora i valori estremi (casi limite) entro i quali oscilla la probabilità di un evento. E quindi:

1)(0 Ep

Insiemi complementari

• Ricordiamo che, dato un insieme universo U ed un suo sottoinsieme A, si dice insieme complementare di A in U e si indica con , l’insieme di tutti gli elementi di U che non appartengono ad A, cioè l’insieme differenza tra U ed A. In simboli:

• Anche in questo caso, c’è stretta corrispondenza tra gli insiemi complementari ed il loro utilizzo nel calcolo delle probabilità.

• Vediamo, anche in questo caso, l’immediata interpretazione in termini di probabilità.

A

AUA

Eventi contrari• Esempio:

Supponiamo di estrarre a caso un bussolotto da un sacchetto contenente 12 bussolotti contrassegnati dai numeri naturali da 1 a 12. Lo spazio campionario del nostro esperimento, allora, è dato dall’insieme:

• Dato l’evento E = “esce un numero minore di 5”, il suo non verificarsi è dato da , che rappresenta l’evento = “esce un numero maggiore di 4”.

SEE

E

12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1S

E

Eventi di questo tipo vengono detti eventi contrari. Dunque:• Due eventi si dicono contrari quando sono rappresentati da due insiemi,

l’uno complementare dell’altro. Nel nostro caso relativamente alle probabilità degli insiemi presi in considerazione, abbiamo:

• Ossia: la somma delle probabilità di due eventi contrari è uguale all’unità.

• Segue naturalmente la relazione:

eAp3

1

12

4)(

3

2

12

8)( Ap 1

3

21

3

2

3

1)()(

ApAp

)(1)( ApAp

1)()( ApAp

Gli spazi campionari ed il prodotto cartesiano• Se invece di un dado, si lanciano due dadi, allora lo spazio campionario

relativo all’evento è il prodotto cartesiano dello spazio relativo al lancio di un dado per se stesso.

• Se è:

• Nello specifico è:

6,5,4,3,2,10S SSS 00

6,6;5,6;4,6;3,6;2,6;1,6

6,5;5,5;4,5;3,5;2,5;1,5

6,4;5,4;4,4;3,4;2,4;1,4

6,3;5,3;4,3;3,3;2,3;1,3

6,2;5,2;4,2;3,2;2,2;1,2

6,1;5,1;4,1;3,1;2,1;1,1

S

Schema del Lancio di Due Dadi

Gli spazi campionari ed il prodotto cartesiano

• Se invece di una moneta, si lanciano due monete, allora lo spazio campionario relativo all’evento è il prodotto cartesiano dello spazio relativo al lancio di una moneta per se stessa.

• Se è

Nello specifico è:

Infatti si ha:

CTS ,0 SSS 00

CCTCCTTTS ,,,,,,,

Il lancio delle monete: Due Monete

(T, T)

(T, C)

(C, T)

(C, C)

• Tra le varie rappresentazioni grafiche, per il calcolo delle probabilità la più conveniente è il diagramma ad albero (rispetto al metodo del reticolo).

Quindi:

CCTC

CTTTS

,,,

,,,,

• Il lancio di 2 monete.

Il lancio delle monete: Tre Monete• Il lancio di 3 monete. Consideriamo la probabilità che lanciando 3 monete di seguito escano due sole teste. Si ha: Infatti:

Supposto CTS ,0 SSSS 000

I possibili esiti di questa prova sonotutte le terne che si possono ottenere:

Lo spazio campionario è:

CCCTCC

CTCTTC

CCTTCT

CTTTTT

S

,,;,,

;,,;,,

;,,;,,

;,,;,,

(T, T, T)

(T, T, C)

(T, C, T)

(T, C, C)

(C, T, T)

(C, T, C)

(C, C, T)

(C; C, C)

8

3)( Ep

Il gioco: Scommettere all’ippodromoEsempio:

• Se la probabilità che un cavallo vinca una corsa è:

• Allora la probabilità dell’evento contrario, ossia che il cavallo non vinca la corsa è data da:

Conseguenza interessante:

• Calcoliamo il rapporto tra le due probabilità determinate. Si ha che: I termini 3 e 5 della frazione ottenuta caratterizzano una diversa formulazione della probabilità che quel cavallo vinca la corsa, cioè:

• Conclusione: “ La vittoria di quel cavallo è data 3 contro 5 ”.

• In generale: “ Se la probabilità di un evento è , l’evento è dato “ s contro n - r ”.

Se un evento è dato “ s contro r ”, la probabilità che esso si verifichi è ”.

8

3)( Ep

8

5

8

31)( Ep

5

3

8583

)(

)(

Ep

Ep

n

s

rs

s