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La Probabilità Introduzione alla “Probabilità classica”

La mia probabilità

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1. La Probabilit Introduzione alla Probabilit classica 2. Spazio campionario Dato un certo evento E, detto anche prova, i singoli risultati che si possono realizzare sono detti esiti, punti o campioni della prova. Si chiama spazio campionario S di un esperimento linsieme di tutti i suoi esiti possibili. Esempio: Lancio di un dado I risultati attendibili sono evidentemente i numeri riportati sulle varie facce del dado. Ogni singolo esito costituisce linsieme universo della prova: esso viene detto spazio campionario ed, in genere, si indica con S. Quindi: 6,5,4,3,2,1S654321 ,,,,,Esiti 3. La frequenza e la probabilit La relazione tra la frequenza relativa e la probabilit matematica. Come determinare la probabilit di un evento. Esperimento: Il lancio di una moneta. 1 parte: Effettuiamo 10 lanci e registriamo i risultati ottenuti. Supponiamo di aver ottenuto i risultati riportati nella seguente tabella: 4. La raccolta dei dati (1 fase) Numero prove effettuate (lanci) 10 Numero uscite testa 3 Numero uscite croce 7 Di conseguenza avremo che: Frequenza relativa : evento testa Frequenza relativa: evento croce 10 3 10 7 Da questo primo esperimento abbiamo ottenuto i seguenti risultati che, per maggiore fruibilit, sono stati raccolti in una tabella: 5. La raccolta dei dati (2 fase) 100 lanci 59 teste Frequenza relativa 41 croci 1.000 lanci 466 teste Frequenza relativa 534 croci 5.000 lanci 2.585 teste Frequenza relativa 2.415 croci 10.000 5.047 teste Frequenza relativa 4.953 croci Procediamo nel nostro esperimento, rispettando le seguenti leggi: a) manteniamo gli stessi criteri b) aumentiamo, via via, il numero di lanci c) raccogliamo i dati in una tabella. 100 59 100 41 000.1 466 000.1 534 000.5 585.2 000.5 415.2 000.10 047.5 000.10 953.4 6. Organizzazione dei dati Numeri lanci 10 100 1.000 5.000 10.000 Frequenza testa 0,3 0,59 0,466 0,517 0,5047 Frequenza croce 0,7 0,41 0,534 0,483 0,4953 Riassumendo tutti i risultati ottenuti, ma fornendoli in forma decimale, otteniamo la seguente tabella: Osservazione: Per studiare ed interpretare al meglio questi dati, conviene riportarli in un grafico. 7. Rappresentazione grafica dei dati Considerazione: Noti qualcosa di interessante negli andamenti delle due frequenze ? 8. Dallattenta osservazione del grafico, si coglie una caratteristica ben visibile: Al crescere del numero delle prove effettuate, il numero delle teste tende a diventare sempre pi prossimo a quello delle croci. Nel nostro caso, le due frequenze relative, rispetto alluscita delle teste e delle croci, tendono a stabilizzarsi intorno ad un valore ben preciso, che prossimo a 0,5, cio ad . Nel grafico, infatti, ben visibile come i punti rappresentati vadano sempre pi avvicinandosi alla retta . Riflessione: Era possibile prevedere questo risultato per via teorica, ossia senza eseguire un certo numero di esperimenti? 2 1 2 1 Interpretazione dei dati 9. Riscontro teorico dei risultati pratici Risultati: La risposta, in questo caso, immediata. E sufficiente, infatti, osservare che: a) gli esiti possibili sono due: testa, croce b) gli esiti favorevoli uno solo: testa Quindi possiamo ottenerlo anche come rapporto tra questi due numeri. Possiamo, in definitiva, affermare che: la probabilit matematica, intesa in senso classico, data dal rapporto tra il numero degli esiti favorevoli ed il numero degli esiti possibili. Possiamo porre la seguente definizione: numero esiti favorevoli Probabilit matematica = numero esiti possibili 2 1 10. Relazione tra frequenza e probabilit Fai attenzione a non confondere i due concetti di frequenza relativa e probabilit matematica: La frequenza relativa si ottiene solo sperimentalmente, ossia eseguendo un certo numero di prove. La probabilit matematica si ottiene matematicamente appunto, cio senza fare esperimenti. Possiamo per concludere che: Aumentando sempre pi il numero delle prove, la frequenza relativa si avvicina sempre pi alla probabilit matematica: Poich questo risultato vale sempre e finora non mai stata disattesa smentita, stato assunto alla stregua di legge Essa conosciuta come legge dei grandi numeri. 11. La frequenza relativa La frequenza relativa di un evento, calcolata su un congruo numero di prove eseguite tutte nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero delle volte in cui levento si verificato ed il numero delle prove eseguite. Si ha in formule: n v Ef )( frequenza relativa dellevento E numero delle prove eseguite numero delle volte in cui si verificato levento 12. La probabilit di un evento aleatorio il rapporto tra il numero degli esiti favorevoli al realizzarsi dellevento ed il numero dei casi possibili, cio : Probabilit matematica dellevento E numero dei casi favorevoli al verificarsi dellevento numero dei casi possibili p f Ep )( La probabilit classica 13. La legge dei Grandi Numeri La legge dei grandi numeri: La frequenza relativa di un evento aleatorio tende ad avvicinarsi alla probabilit di tale evento, quando si effettua un gran numero di prove, tutte eseguite nelle stesse condizioni (equiprobabili). Lapprossimazione (e, quindi, il risultato tanto pi attendibile) , in generale, maggiore quanto pi grande il numero delle prove eseguite. )()( EpEf 14. Non farti ingannare! Ricorda che: Il dado, come un qualunque altro oggetto preso in esame per il nostro esperimento, un essere inanimato, quindi: a) non ragiona b) non ha memoria del passato c) ogni volta che si effettua una prova, nel nostro caso un lancio, per il dado sempre la prima volta! Il discorso sulla probabilit non applicabile ad una singola prova, bens riguarda un insieme di prove ed il suo calcolo diventa tanto pi attendibile quanto pi cresce il numero delle prove stesse. 15. Eventi particolari Un evento, come abbiamo gi evidenziato, un qualunque sottoinsieme (s.i.) dello spazio campionario. Tra i s.i. dello spazio campionario, per, come in un qualunque insieme generico, vi sono tre sottoinsiemi particolari: linsieme vuoto, linsieme singolo e lo stesso insieme S. Viene spontaneo, allora, chiedersi quale significato vada attribuito agli eventi corrispondenti. Cerchiamo di spiegarlo mediante esempi opportuni. 16. Levento Impossibile Linsieme vuoto. Esempio: Qual la probabilit di estrarre una pallina rossa da unurna contenente 5 palline blu? Levento di estrarre una pallina rossa risulta, evidentemente, vuoto, in quanto nellurna non ci sono palline di quel colore, e, quindi, non potr mai verificarsi. La probabilit data da: Si d il nome di evento impossibile ad un evento che ha probabilit zero di realizzarsi. 0 0 n EpE 17. Levento Certo Linsieme universo U Esempio: Qual la probabilit di estrarre una pallina verde da unurna contenente 10 palline verdi? Levento richiesto, , evidentemente, sempre possibile, in quanto nellurna ci sono solo palline di quel colore, e, quindi, potr sempre verificarsi. La probabilit data da: Si d il nome di evento certo ad un evento che ha probabilit uno di verificarsi. 1)( n n EpSE 18. Linsieme singolo Esempio: Qual la probabilit di estrarre una pallina viola da unurna contenente 6 palline gialle ed una pallina viola? Levento richiesto, , evidentemente, possibile una sola volta, in quanto nellurna c una sola pallina del colore desiderato, e, quindi, potr verificarsi in un solo caso. La probabilit data da: dove: e coincide con la probabilit di un esito. Si d il nome di evento elementare ad un evento che ha probabilit dellunit frazionaria di verificarsi. In pratica, non si fa alcuna differenza tra levento elementare e lesito. n Ep 1 Levento Elementare aE violapallinaa 19. Levento Aleatorio Il sottoinsieme generico di S Esempio: Qual la probabilit di estrarre una pallina rossa da unurna contenente 4 palline blu e 3 rosse? Levento richiesto, , evidentemente, dato dalla somma dei singoli esiti che lo rendono possibile e, quindi, potr verificarsi in tre casi sullintero spazio campionario, costituito da sette esiti. La probabilit data da: dove: Si d il nome di evento aleatorio ad un evento che ha probabilit di una qualunque frazione propria di verificarsi. In pratica, un qualunque s.i. dellinsieme S un evento aleatorio. rossapallinaa rossapallinac rossapallinab cbaE ,, n k Ep favorevoliesitilinumerok deg 20. Gli EVENTI La probabilit e gli insiemi Distinguiamo tra due casi: Esiti favorevoli: uno solo (esce il numero 3) la probabilit data da (unit frazionaria): Esiti favorevoli: pi di uno Esempio: esce un numero minore di 4. Esso costituito da tre elementi ed un s.i. di S. Tale s.i. E viene detto evento. la probabilit data da(frazione propria): Osserviamo che in questo caso levento si verifica ogni volta che si verifica uno qualunque dei suoi elementi, cio uno qualunque degli esiti ad esso appartenenti. E 2 1 2 1 6 3 E 21. La probabilit di un evento Dato uno spazio campionario S, costituito da n esiti, si dice evento ogni possibile s.i. di S. La probabilit di un evento E espressa dalla formula: In simboli: La probabilit di un evento pu anche essere considerata uguale alla somma delle probabilit dei singoli esiti che costituiscono levento stesso. Infatti sappiamo che : Sdielementilinumero Edielementilinumero possibilielementilinumero favorevolielementilinumero deg deg deg deg possibilielementilinumero favorevolielementilinumero deg deg n f 22. La gamma dei valori della probabilit Per la definizione stessa di probabilit si ha: Le varie probabilit si possono riassumere, rappresentandole graficamente da un segmento unitario, come riportato schematizzato in figura: I numeri 0 ed 1 rappresentano allora i valori estremi (casi limite) entro i quali oscilla la probabilit di un evento. E quindi: 1)(0 Ep 23. Insiemi complementari Ricordiamo che, dato un insieme universo U ed un suo sottoinsieme A, si dice insieme complementare di A in U e si indica con , linsieme di tutti gli elementi di U che non appartengono ad A, cio linsieme differenza tra U ed A. In simboli: Anche in questo caso, c stretta corrispondenza tra gli insiemi complementari ed il loro utilizzo nel calcolo delle probabilit. Vediamo, anche in questo caso, limmediata interpretazione in termini di probabilit. A AUA 24. Eventi contrari Esempio: Supponiamo di estrarre a caso un bussolotto da un sacchetto contenente 12 bussolotti contrassegnati dai numeri naturali da 1 a 12. Lo spazio campionario del nostro esperimento, allora, dato dallinsieme: Dato levento E = esce un numero minore di 5, il suo non verificarsi dato da , che rappresenta levento = esce un numero maggiore di 4. SEE E 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1S E 25. Eventi di questo tipo vengono detti eventi contrari. Dunque: Due eventi si dicono contrari quando sono rappresentati da due insiemi, luno complementare dellaltro. Nel nostro caso relativamente alle probabilit degli insiemi presi in considerazione, abbiamo: Ossia: la somma delle probabilit di due eventi contrari uguale allunit. Segue naturalmente la relazione: eAp 3 1 12 4 )( 3 2 12 8 )( Ap 1 3 21 3 2 3 1 )()( ApAp )(1)( ApAp 1)()( ApAp 26. Gli spazi campionari ed il prodotto cartesiano Se invece di un dado, si lanciano due dadi, allora lo spazio campionario relativo allevento il prodotto cartesiano dello spazio relativo al lancio di un dado per se stesso. Se : Nello specifico : 6,5,4,3,2,10 S SSS 00 6,6;5,6;4,6;3,6;2,6;1,6 6,5;5,5;4,5;3,5;2,5;1,5 6,4;5,4;4,4;3,4;2,4;1,4 6,3;5,3;4,3;3,3;2,3;1,3 6,2;5,2;4,2;3,2;2,2;1,2 6,1;5,1;4,1;3,1;2,1;1,1 S 27. Schema del Lancio di Due Dadi 28. Gli spazi campionari ed il prodotto cartesiano Se invece di una moneta, si lanciano due monete, allora lo spazio campionario relativo allevento il prodotto cartesiano dello spazio relativo al lancio di una moneta per se stessa. Se Nello specifico : Infatti si ha: CTS ,0 SSS 00 CCTCCTTTS ,,,,,,, 29. Il lancio delle monete: Due Monete (T, T) (T, C) (C, T) (C, C) Tra le varie rappresentazioni grafiche, per il calcolo delle probabilit la pi conveniente il diagramma ad albero (rispetto al metodo del reticolo). Quindi: CCTC CTTT S ,,, ,,,, Il lancio di 2 monete. 30. Il lancio delle monete: Tre Monete Il lancio di 3 monete. Consideriamo la probabilit che lanciando 3 monete di seguito escano due sole teste. Si ha: Infatti: Supposto CTS ,0 SSSS 000 I possibili esiti di questa prova sono tutte le terne che si possono ottenere: Lo spazio campionario : CCCTCC CTCTTC CCTTCT CTTTTT S ,,;,, ;,,;,, ;,,;,, ;,,;,, (T, T, T) (T, T, C) (T, C, T) (T, C, C) (C, T, T) (C, T, C) (C, C, T) (C; C, C) 8 3 )( Ep 31. Il gioco: Scommettere allippodromo Esempio: Se la probabilit che un cavallo vinca una corsa : Allora la probabilit dellevento contrario, ossia che il cavallo non vinca la corsa data da: Conseguenza interessante: Calcoliamo il rapporto tra le due probabilit determinate. Si ha che: I termini 3 e 5 della frazione ottenuta caratterizzano una diversa formulazione della probabilit che quel cavallo vinca la corsa, cio: Conclusione: La vittoria di quel cavallo data 3 contro 5 . In generale: Se la probabilit di un evento , levento dato s contro n - r . Se un evento dato s contro r , la probabilit che esso si verifichi . 8 3 )( Ep 8 5 8 3 1)( Ep 5 3 8 5 8 3 )( )( Ep Ep n s rs s