Lecturas de fundamentos de Matemática

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SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO

EL PRESENTE MATERIAL SE ENCUENTRA EN PROCESO DE EVALUACIÓN FORMATIVA, AGRADECEMOS COMENTARIOS U OBSERVACIONES QUE PERMITAN

LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO.

Todos los derechos reservados. Sólo se admitirá la reproducción total o parcial de este material didáctico con fines exclusivamente

instruccionales y no comerciales.

2007 Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFA)

Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela

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ÍNDICE DE CONTENIDO Pág.

INTRODUCCIÓN 5

UNIDAD Nº 1: NÚMEROS REALES 7

LECTURA Nº 1. Los Sistemas de Numeración 7

LECTURA Nº 2. El Conjunto de los Números Reales 15

LECTURA Nº 3. El Mundo de las Proporciones 34

LECTURA Nº 4. Proporciones y Porcentajes 36

UNIDAD Nº 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 46

LECTURA Nº 5. Terminología Básica de las Expresiones Algebraicas 46

LECTURA Nº 6. Tipos de Expresiones Algebraicas 51

LECTURA Nº 7. Operaciones con Expresiones Algebraicas 56

LECTURA Nº 8. Planteamiento de Problemas 74

LECTURA Nº 9. Productos Notables 80

LECTURA Nº 10. La Factorización como Herramienta de Simplificación 89

LECTURA Nº 11. ¿Cómo completar Cuadrados? 90

LECTURA Nº 12. Métodos de Factorización 91

UNIDAD Nº 3: UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA 99

LECTURA Nº 13. Algunos Sistemas de Medida 99

LECTURA Nº 14. El Sistema Métrico Decimal 100

LECTURA Nº 15. Figuras Poligonales 105

LECTURA Nº 16. Los Triángulos, los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas 107

LECTURA Nº 17. La Circunferencia y sus Elementos 111

LECTURA Nº 18. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos 113

LECTURA Nº 19. El Número Pi (Π) y el Cálculo de Áreas 116

LECTURA Nº 20. Thales y la Pirámide de Keops 123

UNIDAD Nº 4: RADICACIÓN 125

LECTURA Nº 21. Importancia de los Radicales 125

LECTURA Nº 22. Operaciones con Radicales 128

LECTURA Nº 23. Expresiones Conjugadas 142

UNIDAD Nº 5: ECUACIONES E INECUACIONES 155

LECTURA Nº 24. Algunos casos de Ecuaciones Lineales 155

LECTURA Nº 25. Ecuaciones 158

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LECTURA Nº 26. Los Sistemas de Ecuaciones 193

LECTURA Nº 27. Inecuaciones 218

UNIDAD Nº 6: TRIGONOMETRÍA 235

LECTURA Nº 28. La Trigonometría ¿para qué sirve? 235

LECTURA Nº 29. Trigonometría 237

LECTURA Nº 30. Relaciones Trigonométricas 241

LECTURA Nº 31. Solución y Aplicaciones de Triángulo Rectángulo 261

BIBLIOGRAFÍA 268

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INTRODUCCIÓN Alguna vez te has preguntado ¿para qué sirve la matemática? y ¿cuál de estas respuestas te has dado?: es una materia obligatoria en la carrera estudiantil, son torres de números, paréntesis y fracciones que me confunden, están referidas al estudio y dominio de operaciones y cálculos necesarios para resolver problemas de la vida cotidiana y profesional, es un invento de algunos para fastidiarnos la vida, representa una magia hermosa de números y símbolos que no sé para qué sirven y muchas otras respuestas más.

Pues bien, Aristóteles (384 a.C.) dijo alguna vez: Es la ciencia de la cantidad. Otro antepasado manifestó: es el arte de pensar bien. Sigamos adelante y estudiemos algunos conceptos de la palabra Matemática. Los griegos la escribieron como “μαθημα” que se transcribe mathema, cuyo significado es conocimiento. La matemática es una ciencia deductiva de género femenino que estudia las propiedades de los entes abstractos como números, figuras geométricas o símbolos. Se utiliza en plural con el mismo significado que en singular.

La palabra matemático (a) se deriva de la palabra griega maqhmaqtikoz, utilizada como adjetivo tiene el significado de exacto, preciso. El término también se refiere a un objeto perteneciente o relativo a las matemáticas. Como sustantivo, masculino o femenino, se usa para nombrar a la persona que enseña matemática o tiene de ella un conocimiento especial.

Por su parte Aris (1978), utilizando el propio lenguaje matemático, señala: un modelo matemático es cualquier sistema completo y compatible de ecuaciones matemáticas, diseñadas para que correspondan con cualquier otra entidad, su prototipo puede ser una entidad física, biológica, social, psicológica o conceptual; o tal vez otro modelo matemático.

Tradicionalmente han existido dos razones básicas para enseñar matemáticas:

a) Permite desarrollar habilidades de razonamiento. Actualmente, se sabe que su incidencia en el desarrollo de la capacidad de razonamiento de una persona depende del modo en que se enseña (Cockcroft, 1985).

b) Su utilidad en la vida cotidiana y el aprendizaje de otras disciplinas necesarias para el desarrollo personal y profesional. La facultad de predecir a través de métodos numéricos, es utilizado a diario a nivel cotidiano, como por ejemplo: ¿qué cantidad de gasolina gastaremos en un viaje?, ¿cuál es su costo?, ¿en qué tiempo seremos alcanzados por una tormenta? Etc.

Al analizar el rendimiento académico en matemática, de una buena parte de los estudiantes de diferentes niveles educativos, podemos observar que no es satisfactorio y las posibles causas podrían ser entre otras las siguientes:

• Los estudiantes desconocen la aplicabilidad de los conocimientos matemáticos en otras áreas del saber.

• Consideran esta asignatura como un requisito obligatorio, más no como una herramienta necesaria.

• Los conocimientos adquiridos se aprenden de forma mecánica y/o memorística; es decir, sin comprender los procesos básicos.

Debido a esto, cuando llega el momento de iniciar estudios universitarios, muchos de ellos se enfrentan al grave problema de no reunir los conocimientos mínimos básicos que les permitan comprender otros de mayor complejidad.

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La situación planteada preocupa a tal grado, que la UNEFA reconociendo estos problemas en los estudiantes que aspiran ingresar a sus aulas ha considerado pertinente incluir la asignatura: “Fundamentos de Matemática” en el Plan de Estudios del curso de Inducción Universitaria. Este curso será un importante recurso para adquirir, nivelar o retroalimentar los conocimientos matemáticos necesarios para que el estudiante pueda emprender sus estudios a nivel superior.

De acuerdo y en consonancia con todas las ideas expuestas, en este material se incluyen lecturas, en las cuales se describen y/o explican las ideas de manera didáctica, no sólo para facilitar el desarrollo de los procesos lógicos y de razonamiento matemático, sino para promover en ti el proceso de autogestión del aprendizaje.

El contenido de las lecturas responde a un nivel de complejidad que va de lo sencillo a lo complejo, con el propósito de motivarte a recordar, repasar o adquirir los conocimientos indispensables para lograr el nivel exigido en los cursos subsiguientes.

Te preguntarás ahora: ¿Cómo hacer de este material un recurso valioso y determinante para lograr aprendizajes significativos?

Las recomendaciones que continuación te presentamos, te serán de gran utilidad: • El trabajo con textos de matemáticas, será más fácil, si comienzas dando una primera

lectura, en la misma observarás las ideas más sencillas y reconocerás las que son más difíciles de comprender. Lee nuevamente con más detenimiento y comenzarás a ver con claridad lo que probablemente antes no entendías.

• Relaciona tus conocimientos previos del tema con lo que vas aprendiendo. Puedes ir realizando los ejemplos y ejercicios aclaratorios por ti mismo.

• Asegúrate de entender las ideas expuestas y los ejemplos correspondientes al tema que estás trabajando. Te sorprenderás de la rapidez con la que avanzas en el trabajo.

• Si algunos de los ejercicios te resultan complejos o difíciles, lee detenidamente el tema precedente, tal vez obviaste algún paso o procedimiento. Trata de solucionarlo y continúa con el resto.

• Para la resolución de problemas, sigue las instrucciones indicadas en el material. La ejercitación continua es importante y beneficiosa.

Te invitamos a emprender esta hermosa experiencia de ser un estudiante universitario (a), confiado (a) en que lograrás con éxito todo lo que te propongas. Atiende las recomendaciones dadas. Es probable que cambies tu percepción acerca de la matemática.

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UNIDAD 1 NÚMEROS REALES

LECTURA N° 1: LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Material recopilado con fines instruccionales por:

Ochoa, A. (2007). Los Sistemas de Numeración. Artículo no publicado. Caracas.

ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Las civilizaciones primitivas utilizaron diversas formas para resolver el problema de contar, comúnmente usaban los dedos, guijarros, marcaron signos sobre los troncos de los árboles o en huesos disecados. Los indios y los chinos lo hacían en bastones, nudos en cuerdas especiales o usaban piedras pequeñitas coleccionadas en serie.

La mayor parte de los pueblos primitivos crearon un sistema de numeración a base de 5,10 ó 20, relacionados con los cinco dedos de la mano, o los 10 de ambas o los 20 si se toman manos y pies. La base que más se ha utilizado a lo largo de la historia es 10, empleada por los antiguos chinos, los egipcios, los griegos y romanos con algunas excepciones, como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones contaban en unidades, decenas, centenas, millares etc., es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy en día.

Casi todos los sistemas utilizados para la época, representaban con exactitud los números enteros, aunque en algunos podían confundirse unos números con otros. Muchos de estos sistemas no representaban grandes cantidades, y otros requerían tal cantidad de símbolos que los hacían poco prácticos, por lo que no permitían efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación; necesitando procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos. Cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los seguidores del ábaco, los profesionales del cálculo se opusieron con argumentos increíbles, entre ellos: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico, aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

Seis siglos antes de Jesucristo, fue inventado en la India un signo redondo como punto para representar el orden de unidad que faltaba, y se inició el sistema de numeración basado en la colocación de las cifras y el uso del cero o punto.

El sistema numérico actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; de la existencia del sistema de origen indio hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci), quién introdujera el nuevo sistema en la Europa del año 1200. En este caso, su gran aporte fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permitió un sistema en el que sólo diez símbolos podían representar cualquier número por grande que fuera y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

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¿Qué es un Sistema de Numeración?

Existen diversos conceptos para definir lo sistema de numeración; uno de ellos dice: Es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que utilizando reglas propias, permite contar, representar cantidades, establecer relaciones entre ellas y resolver operaciones.

Historia

Las culturas originarias lograron, con mucha sabiduría, asociar tempranamente variados elementos para representar cantidades: una colección de objetos, un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza. Ejemplos de ellos lo constituyen los pastores sumerios quienes llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas, representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en una envoltura del mismo material.

En las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia, se eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos semejantes a los representados por los calculi. Éstos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas numerales. Por ello, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura en Mesopotamia y Egipto entre 3200 y 3300 a.C.

El principio aditivo de los Sistemas de Numeración

El principio aditivo de los sistemas de numeración consiste en acumular los valores de los símbolos de las unidades y decenas que sean necesarias hasta completar el número.

Para ilustrar la forma de representación aditiva, consideraremos el sistema jeroglífico egipcio. En este sistema por cada unidad se escribía un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco, por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón, un jeroglífico específico. Así, para ellos 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas, 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma, todas las unidades estaban físicamente presentes. Una de las características del principio aditivo en el sistema egipcio consistía en colocar los símbolos en cualquier orden, aunque se prefería una determinada disposición. Los sistemas de numeración egipcio, sumerio, (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romano y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes utilizaron este principio.

Ejemplos de algunos Sistemas de Numeración

Sistema de Numeración Egipcio: Los egipcios desde el tercer milenio a.C usaron un sistema para escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la Figura Nº 1 y así representaban los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos jeroglíficos de cada uno cómo fuera necesario y podían escribirse indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, y/o cambiando la orientación de las figuras según el caso. Cuando el orden era indiferente, se escribían atendiendo a criterios estéticos, y solían ir acompañados de los

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jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.), cuyo número indicaban.

Figura Nº 1 El Sistema de Numeración Egipcio

1 Raya 10 Hueso

100 Soga arrollada

1000

Flor de Loto

10000 Dedo índice

100000 Pez

1000000 Hombre asustado

Fuente: //www.equipoweb.com.ar/eduteca/contenidos/curricular/pdf/22010203.pdf

En la Figura Nº 1, podemos observar dichos signos, los mismos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano, quedando su uso reservado a las inscripciones monumentales. En la cotidianidad, fue sustituido por la escritura hierática y demótica, éstas eran formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Los grupos de signos en tales sistemas de escritura, adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... , disminuyéndose de esta forma, la cantidad de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 aC. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos que podemos observar en la Figura Nº 2 para representar esas cantidades. Se utilizaban tantos símbolos como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Los griegos consideraban más la esencia y atributos de los números, que su representación gráfica, los símbolos numerales correspondían a dos sistemas: el ático (emplea seis símbolos literales básicos), y el alfabético (decimal).

Figura Nº 2 Sistema de Numeración Griego

Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc

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Los griegos usaban el sistema acrofónico, en el cual para representar la unidad y los números hasta el 4 usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100, las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi) respectivamente. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtenían añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente, este sistema ático (de Atenas) fue reemplazado por el jónico, el cual empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos. (ver Figura Nº 3).

Figura Nº 3 Sistema de Numeración Jónico


Usando el alfabeto griego, los números parecían palabras, pues estaban formados por letras; a su vez, las palabras tenían un valor numérico y bastaba sumar las cifras que correspondían a las letras que las conformaban. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras.

El Sistema de Numeración Azteca

En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca, ellos crearon un sistema de cifras, conocido a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. Allí los escribas expresaban los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio, reproducían cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basaba en el principio aditivo; según el cual, el valor de una representación se obtenía sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).

A la llegada de los conquistadores españoles, el imperio azteca utilizaba los siguientes símbolos pictóricos.

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Para el 10 usaban dos círculos concéntricos, un cuadrado grande con otro adentro, o el más común: un cuadrado colocado con uno de los vértices hacia arriba y con los lados rectilíneos o curvos.

El 80 tenía dos representaciones: una atadura de hierbas (símbolo de la izquierda). O una turquesa con hierbas en la parte superior (símbolo de la derecha).

Características del Sistema de Numeración Azteca

1. Agrupamientos de 20 en 20. Emplearon un sistema vigesimal o de base 20.

2. Usaban el principio aditivo. • Un número podía repetirse hasta nueve veces. • Al escribir dos ó más símbolos juntos, se sumaban

los valores asignados a cada símbolo.

3. Usaban el principio partitivo Un símbolo podía partirse para indicar fracciones de su valor.

Principio partitivo. Los aztecas partían un símbolo para indicar fracciones de su valor. Por ejemplo:

La bandera podía dividirse en 4 secciones con valor de 5 unidades cada una. La parte sombreada no se tomaba en cuenta.

Por eso, tres secciones blancas equivalían a: 5 x 3 = 15.

Si se representaba la atadura de hierbas incompleta simbolizaba un valor de 60 unidades. La mitad de la atadura correspondía a la mitad del número 80, es decir, a 40.

De esta manera, un número podía escribirse de diferentes formas. El 72 se representaba así:

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El Sistema de Numeración Chino.

Era un sistema decimal estricto que usaba las unidades y los distintas potencias de 10. La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 a.C. aproximadamente. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la Figura Nº 4.

Figura Nº 4 Sistema de Numeración Chino

Fuente www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc

En este sistema de numeración, el orden de escritura se hacía fundamental, pues, 5, 10, 7, igual podría representar 57 que 75. No era necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se colocaran todos los ideogramas, pero aún así, a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10 (forma canónica). Aparte de dicha forma, para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada a objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y se utilizaban hasta dos grafías diferentes para usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos, por su parte, desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual, al cual, por influencia india en el siglo VIII a.C, se le incorporó el cero.

Los Sistemas de Numeración Posicionales

Los sistemas de numeración posicionales son mucho más efectivos que los sistemas anteriores, porque de acuerdo a la posición de una cifra indicamos si son decenas, o centenas ó en general la potencia de la base correspondiente. Además de los Hindúes, en distintas épocas, lograron desarrollar un sistema de este tipo: los babilonios, los chinos y los mayas, llegaron al mismo principio.

Los Hindúes antes del siglo VII, idearon el sistema numérico tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Es de hacer notar, que aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración como arábigo, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero, tanto en posiciones intermedias como finales.

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de numeración de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era

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una raya horizontal, a la que se le añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continuaba hasta el 20, con cuatro rayas.

Figura Nº 5 Sistema de Numeración Maya


Hasta aquí parecía ser un sistema aditivo de base 5, pero en realidad, estos símbolos constituían las cifras de un sistema de base 20, en el que había que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupaba y sumar el resultado.

Por esta razón, era un sistema posicional que se escribía de arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Cada cifra tenía un valor relativo según el lugar que ocupaba, la presencia de un signo para el cero, para indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hacía imprescindible y ellos lo utilizaron, aunque no parecía haberles interesado el concepto de cantidad nula; a diferencia de los mayas, los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.

El Sistema de Numeración Babilónico

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el siglo XIX a.C, se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para representar la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se colocaban tantas cuñas como fuera preciso hasta llegar a 10, este número tenía su propio signo. De esta forma, se usaban las que fueran necesarias completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de allí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando secuencialmente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así x continuaba como en los ejemplos que se acompañan.

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Figura Nº 6 Sistema de Numeración Babilónico


Sistema de Numeración Romano

El sistema de numeración romano, carece del 0 por eso se convirtió en un sistema muy complicado al momento de realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema está en desuso, quedando solamente para fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.).

Los signos que utiliza el sistema romano son:

I = 1 X = 10 C = 100 M = 1000

V = 5 L = 50 D = 500 Las reglas para escribir el sistema de numeración romano son:

1- Los símbolos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas.

2- Un símbolo de valor inferior que antecede a otro de valor superior le resta su valor.

3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.

Los Sistemas de Numeración Modernos

Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base debe ser igual al número de símbolos llamados cifras, que se utilizan para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base “α” elegida debe ser un

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número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir signos diferentes y nombres diferentes para representar y señalar los primeros números inferiores a α.

En el caso en que α = 10 se trata del sistema de numeración decimal, utilizado de manera general, y cuyo origen es con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados en este caso son las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En el caso en que α = 2 se trata del sistema de numeración binaria, utilizado por la tecnología en las máquinas de cálculo, en particular en las computadoras. Los símbolos utilizados son las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal.

En el caso de que α = 12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan dos letras A y B.

En el caso en que α = 60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos.

La elección de una base numérica demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un mayor número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base numérica grande hace necesaria la utilización de un número elevado de símbolos.

BIBLIOGRAFÍA

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html • www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm

• www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc

LECTURA N° 2: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES


Ochoa, A. (2007). Los Números Reales. Artículo no publicado. Caracas

NÚMEROS REALES

• Los números reales, tienen diversas funciones entre ellos: sirven para contar, los utilizamos en las operaciones algebraicas y podemos ubicarlos en cada punto de la recta numérica.

• Los números reales conforman el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0 ya que 1,2 = 1,2000 . . .). El conjunto de los números reales es denotado por R.

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Representación de los Números Reales

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica). Se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego, dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expresión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue:

Ejemplo:

Representa en la recta numérica los números 31 , ,

27 ,

56 π−

.

Solución: 5,327,2,1

56

−=−

= y ya que son números con expresión decimal finita, se

consideran números racionales. Para 3̂,0...33333,031

== un número racional, su

representación la haremos con una aproximación a 3,031= . Mientras que para

....14159265,3=π , es un número irracional, tomaremos una aproximación de .14,3=π

Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica π,31 ,

27 ,

56 −

de la

siguiente manera.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Algunas definiciones:

Enteros Negativos Enteros Positivos

NÚMEROS ENTEROS

π 31

27 -

56

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Origen: es el punto que representa el cero en la recta numérica.

Números Reales Positivos: son los que se representan a la derecha del origen.

Números Reales Negativos: son los que se representan a la izquierda del origen.

Operaciones con Números Reales:

En el conjunto de los números reales se encuentran definidas las operaciones básicas que son: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

Adición de Números Reales:

La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b. La adición es una función definida así:

Sustracción de Números Reales:

Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:

En la adición:

a + d = m

Sumandos Suma

En la sustracción;

m – a = d

En la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:

La diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a:

d = m – a = m + (–a)

a + b = c Sumandos

Suma

m - a = d

Minuendo Diferencia

Sustraendo

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Multiplicación de Números Reales:

La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:

División de Números Reales:

La división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto, en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:

)0(, ≠=÷= abacac

ó )0(, ≠=÷= babcbc

en la división tenemos que:

cbasisóloysicba ⋅==÷

Potenciación de números reales:

Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos:

343333⋅=

+++cuatro

7577777⋅=

++++cinco

En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos:

4·4·4 = 43 y 5·5·5·5·5·5·5 = 57

El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el número de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base.

El símbolo completo de base y exponente recibe el nombre de potencia.

Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete.

En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces nb se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:

vecesnbbbbbbn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

a · b = c Factores Producto

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Por ejemplo:

52 = 5 · 5 = 25, la base 5 se multiplica por si misma tantas veces como lo indica el exponente (en este caso 2) y el resultado (25) recibe el nombre de potencia.

La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres".

La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así 3π se lee "pi al cubo" o "el cubo de pi".

Las potencias de exponentes 4, 5, 6. . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así 4)52( − , se lee "cuarta potencia de 52 − ó 52 − a la cuarta".

Se conviene en lo siguiente:

i. Cuando la potencia de base un número real no nulo y de exponente cero, es igual a uno : a0 = 1, a ≠ 0.

ii. Cuando la potencia de base un número real y exponente uno (1) es igual al mismo numero real: 101 = 10; =− 1)32( 32 − ππ =1 1 b1 = b

Radicación de Números Reales:

La radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente para calcular la potencia: bn = ?, en la radicación se da la potencia y el exponente para calcular la base: bpn =

Propiedades de los números reales (en la adición):

a) Propiedad Conmutativa: en la adición de números reales, el orden de los sumandos no altera la suma.

Es decir, si a y b son los números reales, entonces:

a + b = b + a

se dice que la adición de números reales cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo: 2 + 7 = 9 y 7 + 2 = 9

b) Propiedad Asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma.

Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c),

se dice que la adición de números reales cumple la propiedad asociativa.

Ejemplo: ( )[ ] [ ] ( )457457 −++=−++

( )41217 −+=+

88 =

20

c) Existencia de Elemento Neutro: en el conjunto de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque, la suma de cualquier número “a” con el cero es el mismo número real “a”.

Es decir, si “a” es un número real, entonces:

a + 0 = 0 + a = a.

d) Existencia de Elementos Simétricos Opuestos: para cualquier número real a, existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que:

a + (-a) = 0.

Así, la suma de un número real y su opuesto es igual al elemento identidad o neutro para la adición, es decir cero (0).

Por ejemplo:

5 + (-5) = 0

Las propiedades de los Números Reales (en la Sustracción):

a) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a - b es un número real. A causa de esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción.

b) La sustracción de números reales no es conmutativa.

Ejemplo: 3 – 5 ≠ 5 - 3

c) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa:

(3√2 – √2) – 3√2 3√2 – (√2 – 3√2)

(2√2) – 3√2 3√2 – (–2√2)

– √2 ≠ 5√2

(3√2 – √2) – 3√2 ≠ 3√2 – (√2 – 3√2)

d) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2 5 - 0 = 5 (3√2 – √2) – 0 = (3√2 – √2).

Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto,

0 – a ≠ a 0 – 2 ≠ 2 330 ≠−

Propiedades de los Números Reales (en la Multiplicación):

a) Si a y b son números reales, entonces su producto a · b es un número real. A causa de esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación.

21

b) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces:

a · b = b · a

Ejemplos:

5 · 3 = 15 6 · √2 = 6√2 π⋅− 2 = π2−

3 · 5 = 15 √2 · 6 = 6√2 ( )2−⋅π = π2−

c) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a , b y c son dos números reales, entonces:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo:

(2 · 3) · (-4) 2 · (3 · -4))

6 · (-4) 2 · (-12)

-24 = -24

d) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número “x” por 1 es x. Es decir, si a es un número real, entonces:

a · 1 = 1 · a = a

e) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a , existe otro número real 11 −= aa , llamamos inverso de a , ya que :

111 1 =⋅=⋅ −aaa

a

f) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, el producto de un número real por una suma indicada, se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:

(a + b) · c = (a · c) + (b · c)

Ejemplo: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 4

52434

523

58124

513

−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5

525

52=

22

g) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces:

a · 0 = 0 3 · 0 = 0 √3 · 0 = 0 (-4) · 0 = 0

Propiedades de los números reales en la división:

a) Si a y b son números reales, con b ≠ 0, entonces su cociente a / b o a ÷ b es un número real. Debido a esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo.

b) La división de números reales no es conmutativa. Observa que:

8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8

4 ≠ 0,25

c) La división de números reales no es asociativa; observa que:

(16 ÷ 4) ÷ 2 16 ÷ (4 ÷ 2)

= 4 ÷ 2 = 16 ÷ 2

= 2 = 8

y como 2 ≠ 8 entonces: (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2)

d) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real “x” entre 1 es igual al número x:

x ÷ 1 = x

pero 1 no es elemento identidad por la izquierda: 1 ÷ 3 = 0,333 ≠ 3

e) El divisor en una división siempre debe ser diferente de cero.

Propiedades de los Números Reales en la Potenciación:

Producto de potencias de igual base:

a.) ( ) ( ) 624 333333333333333 =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

b.) 43

51

51

51

51

51

51

51

51

51

51

51

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−⋅

−⋅

−⋅

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

El producto de potencias de igual base, es otra potencia que tiene la misma base y como exponente la suma de los exponentes de cada factor: mnmn aaa +=⋅

23

Ejercicios

Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera.

1. k222 73 =⋅ 2. 73 555 =⋅k

3. ( ) ( ) ( )k333 2 −=−⋅− 4. 1777 1 ⋅=⋅ k

Potencia de una Potencia:

Considera los dos ejemplos siguientes:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 622232 99999999999 =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

b) 63323

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Proposición: ( ) mnmn aa ⋅= para resolver la potencia de una potencia, se copia la misma base y se multiplican los exponentes.

Ejercicios:

Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera.

5. ( ) k55 52 = 6. ( ) 122 aa k=

7. ( ) 244 1111 =k 8.

k

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31

31

32

Cociente de Potencias de Igual Base:

Observa los siguientes ejemplos:

a) 23

5

666666

6666666

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= b) 37

4

81

8881

88888888888

88

=⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

24

Proposición: mnm

n

aaa −= el cociente de potencias de igual base, es otra potencia que tiene la

misma base elevada a la diferencia de los exponentes,

Ejercicios: Usando la propiedad anterior determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera:

9. k555

4

7

= 10. 777

2 =k

11. ( )( )

( )24

444

−=−−

k 12. ( ) 26

111111 −−=k

Potencia de exponente negativo:

Considera los ejemplos siguientes:

a) 22

222

41

41

414 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− b) ( )

( ) ( )44

444

71

71

717

−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=− −

c) 3

3

211

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

d) 3

333

25

25

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Para calcular una potencia de exponente negativo, se escribe el inverso de la base elevada al mismo exponente con signo positivo.

Según lo dicho anteriormente, debería escribirse ( )( )n

nn

aaa 11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

Proposición: nn

aa 1

=−

Ejercicios: Usando la propiedad anterior determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera:

13. 33 1)7(

k=− − 14. ( )

( )33

61

=−k

25

15. k

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

75

57 2

16. 44

53

3⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−k

Potencia de un producto.

Considera el ejemplo siguiente:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 444 53555533335353535353 ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

El ejemplo anterior ilustra la siguiente proposición:

( ) nnn baba ⋅=⋅

Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera:

17. ( ) 33 7.474 k=⋅ 18. ( ) 444 7.88 =⋅ k

19. ( ) 55 9.696 =⋅ k 20.

77

7

53.

53

72 k=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

Potencia de un cociente:

Considere los dos ejemplos siguientes:

a) 3

33

45

444555

45

45

45

45

=⋅⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4

44

79

77779999

79

79

79

79

79 −

=⋅⋅⋅

−⋅−⋅−⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente proposición:

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

26

Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera:

21. k32

32 55

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 22.

12584 3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

k

23. 6427

43 −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

k

24. 64

525 26 k+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ejercicios:

Determina la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

25) =⋅⋅⋅72

452

23232

26) ( ) ( )

( )=

⋅−−⋅⋅−

1010

0106

10741425

27) =⋅+ −

72

1

2323

28) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

2

42

252

23432

29) =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− −

2

2

341

3

30) =⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

−

328122

4

153

31) ( ) ( )( )

=⋅−−⋅

415

4234

3333

32) 21

21

42442143

−−

−−

⋅−⋅++⋅−

33) 28

23

3264⋅⋅

−

−

Relaciones de Orden en el Conjunto de los Números Reales

La relación "menor que" (<)

En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que", de la siguiente manera.

Definición: Si bya son números Reales ( )RbyRa ∈∈ se dice que ba< , si ba − es un

número negativo.

Ejemplo:

a.) negativoesypues 113232 −−=−<

27

b.) ( ) negativoesypues 221313 −−=−−−−<− c.) negativoesypues 772525 −−=−−<− d.) negativoesypues 660606 −−=−−<−

De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es menor que cero.

La relación "mayor que" (>)

Definición: Si bya son números Reales ( )RbyRa ∈∈ se dice que ba > , si ba− es un número positivo.

Ejemplo:

a.) positivoesypues 332525 =−> b.) ( ) positivoesypues 441313 =−−−> c.) ( ) positivoesypues 224242 =−−−−>− d.) positivoesypues 770707 =−>

De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero.

d) Algunas propiedades de la relación "menor que"

Si cyba , son números Reales ( )RcyRbRa ∈∈∈ , entonces:

i. Sólo una de las siguientes condiciones es verdadera: baóbaba =>< , ii. cacbybaSi <<< entonces

Ejm. 72 entonces 7442 <<< y iii.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

>>⇔>⋅

00

000

byaó

byaba

Ejm.

( ) ( ) 04020842050201052

<−<−>=−⋅−>>>=⋅

yqueyayqueya

iv.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

><

<>⇔<⋅

00

000

byaó

byaba

Ejm. ( ) ( )( ) ( ) 01060616

090302793<−><−=−⋅><−<−=⋅−

yqueyayqueya

v. aaSi −<< 0 entonces 0 Ejm. ( ) 80decir es80 entonces08 <−−<<−

vi. abbaSi −<−< entonces Ejm. ( ) 23decir es 23 entonces 32 <−−−<−<− r

vii. cbcabaSi +<+< entonces

28

Ejm. 5257 entonces 27 +<+−<−

Si además 0≠b viii.

0 entonces 0 >⋅> babaSi

Ejm. 031 entonces 031

>⋅>

ix. 0 entonces 0 <⋅< ba

baSi

Ejm. ( ) 031 entonces 031

<⋅−<−

si 0>c x. cbcabaSi ⋅<⋅< entonces

Ejm. 9193 entonces 13 ⋅<⋅−<−

Y si 0<c xi. cbcabaSi ⋅>⋅< entonces

Ejm. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )822421- entonces 241 −>−⋅>−⋅−=<− decirescy

Observaciones: • Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el símbolo “<” por el símbolo

“>”; las propiedades que se obtienen son ciertas y corresponden a la relación "mayor que".

• Si ba y son números reales, la expresión ba < es equivalente a decir que ab > . Simbólicamente se escribe:

abba >→<

Ejemplos:

a) 32 < es equivalente a 23 >

b) 15 −<− es equivalente a 51 −>−

c) 02 <− es equivalente a 20 −>

Notación: la expresión baba =< o usualmente se escribe ba ≤ . La expresión ba ≤ se lee a es menor o igual que b .

Observación: para que ba ≤ sea verdadera, basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones: ba < o ba = .

Ejemplos:

a) 64 ≤ es verdadera, pues 64 <

29

b) 22 ≤ es verdadera, pues 22 =

c) 35 ≤ es falsa, pues no se cumple 35 < ni 35 =

Notación: la expresión baba => o usualmente se escribe ba ≥ . Y se lee a es mayor o igual a b .

Observación: para que ba ≥ sea verdadera basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones: ba > ó ba =

Ejemplos:

a) 23 −≥ es verdadera, pues 23 −> b) 66 ≥ es verdadera, pues 66 = c) 02 ≥− es falsa, pues no se cumple 02 >− ni 02 =−

Valor absoluto en el Conjunto de los Números Reales

Definición: Sean ba y números reales ( RbyRa ∈∈ ) y supongamos que ba ≤ ; se llama distancia entre ba y , al número no negativo que resulte de ab − .

ab −

a b

Notemos que la distancia entre dos números reales diferentes entre sí, es un número positivo, pues el menor se resta del mayor.

Véanse los siguientes ejemplos:

a) La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 – 1 = 3

b) La distancia entre 2 y -3 es 5, pues 2 – (-3) = 2 + 3 = 5

c) La distancia entre -7 y -4 es 3, pues (-4) – (-7) = (-4) + 7 = 3

Ejercicio:

Para cada uno de los casos siguientes, determina la distancia entre los números bya si:

34. 92 == ba 35. 53 =−= ba 36. 60 == ba

37. 72 −== ba 38. 91 −=−= ba 39. 04 =−= ba

30

Orden en el conjunto de los números reales:

Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un número real x cualquiera. A esta distancia la denotaremos por x y se llama valor absoluto de x .

Así: x indica la distancia entre x y 0 .

Ejemplo: a) =6 6

1 2 3 4 5 6

0 6

b) =− 5 5

1 2 3 4 5

-5 0

En general, sea Rx∈

i. Si 0>x ; tenemos que xxx =−= 0 , o sea, si 0>x entonces xx = .

0−a

0 a

ii. Si 0<x ; tenemos que xxx −=−= 0 , o sea, si 0<x entonces xx −= .

x−0

x 0

31

iii. Si 0=x ; tenemos que 000 =−=x , o sea, si 0=x entonces 0−=x .

Así tenemos la siguiente definición:

Para cada número real x , definimos su valor absoluto, y lo representamos por x de la manera siguiente:

0≥= xsixx o 0<−= xsixx

Ejercicios:

Usando la definición de valor absoluto, calcula:

40. 11 41. 13− 42. 0

43. 52

44. 43

− 45. 115−

Reglas de los Signos:

En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo.

Ejemplos: a) 5 + 8 = 13 b) (-2) + (-7) = -9

Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor valor absoluto.

Ejemplos: a) (-5) + 8 = +3 b) 2 + (-9) = -7

En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números tienen signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplos: a) 5 · 8 = 40 b) 2 · (-9) = -18

c) (-1) · (-4) = 4 d) (-3) · 6 = -18

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

Primero: resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación.

Segundo: Evaluar las expresiones exponenciales.

Tercero: Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

Cuarto: Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo:

( )34 23

547912+

⋅+−⋅ =

( )34 23

54212+

⋅+⋅

32

= ( )881

54212+

⋅+⋅

=8812024

++

=8944

Subconjuntos que conforman el Conjunto de números reales

En este curso se estudiará el conjunto de números reales, el cual se denota con la letra mayúscula R. Este conjunto se forma de la unión de los siguientes conjuntos:

El conjunto de números Naturales denotado por N

N = {1,2,3,...}

Se conoce como el conjunto de números que se usa para contar.

El conjunto de números Enteros denotado por Z

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

El conjunto de números Racionales denotado y definido por Q

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈∈= 0,, byZbZasiendo

baQ

Estos números representan el cociente entre dos enteros, pues:

baba

÷=

Ejemplos:

110,

99,

521,

816,

104,

21

El conjunto de números Irracionales denotado por I y definido por

I = {decimales infinitos no repetitivos}

Estos números no se pueden expresar como un cociente entre dos enteros.

Ejemplos: 3,,2 π

Anota y recuerda: Todo número entero se puede escribir como un número racional de la

forma 1aa = o una fracción equivalente :

33

Ejemplos: a) 122 = ó

242 = b)

188 −

=− ó 9728 −

=−

Un número racional equivalente a 1 se escribe de la forma aa

Ejemplo: 1414

33

22

111

−−

=−−

===

Todo número racional puede escribirse como un decimal finito o un decimal infinito repetitivo.

Ejemplos:

5,021= decimal finito

3,0

31=

decimal infinito repetitivo La relación entre los conjuntos antes mencionados es:

R

Q

Z N

Q I

34

LECTURA N° 3 : EL MUNDO DE LAS PROPORCIONES Tomado con fines instruccionales de:

Fundación Polar: Matemática para todos. Fascículo 10. (pp. 153-155 y 145-151). [Consulta en Línea]. Octubre 2007

La Divina Proporción

El Rectángulo de Oro

En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (1801-1887) hizo un estudio sobre los rectángulos con proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La selección de los rectángulos cuya razón entre las longitudes de sus lados es: ( ) 251 ÷+ aproximadamente 1,618: la Razón de Oro o Divina Proporción Observa la construcción del rectángulo de oro

Los griegos y las proporciones: Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro. Las cartas de barajas, muchas puertas, ventanas y portadas de libros, son ejemplos de Rectángulos de Oro.

Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro.

El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón en el brazo y la razón en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.

M 21

21

M

25

21

1

1

1 B

M

21

25

QA

C P

Se dibuja un cuadrado Se determina M, punto medio de

un lado.

Con un radio MB se traza Un arco para determinar P.

Rectángulo de oro ACPQ

251+

=QAQP

35

Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una relación entre la altura de los escalones y el ancho del escalón. Además, se construyen de forma tal que la altura del escalón sea proporcional a la altura promedio de las personas. Cuando una escalera mecánica está parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La altura de los escalones no son proporcionales a la altura promedio de las personas.

Proporcionalidad y Belleza

Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: ¡qué bien proporcionada está esa chica!, sus medidas son 90-60-90. Esto significa que la medida de su busto y de su cadera es de 90 cm. y la de su cintura 60 cm. si además de esto, su cuerpo está distribuido según el estudio de las proporciones humanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que den cumplir las diferentes partes del cuerpo humano para ser considerado perfecto), y su cara está demarcada por los “rectángulos de oro” (rectángulo cuya proporción entre sus lados es aproximadamente 1,618) consideremos que una persona que cumpla con todas estas condiciones es bella matemáticamente.

Entonces podríamos preguntarnos: ¿Qué es la belleza?

Cabe definir la belleza como el conjunto de cualidades cuya manifestación sensible produce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración. La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono y palabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas, logros, anticipaciones o sueños.

En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: “los sentidos se deleitan en la cosas debidamente proporcionadas” (Matemáticas, Colección Científica de ime Life, 1971, México). Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entre la belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con el denominado número de oro, también conocido como la “divina proporción” Este es un número que tiene un valor aproximado de 1.618 y que aparece en la relación que se establece entre los lados que están en proporción de oro en un rectángulo.

36

LECTURA N° 4: PROPORCIONES Y PORCENTAJES Tomado con fines instruccionales de:

Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M., (2006). Proporciones y Porcentajes , Artículo no publicado. Caracas.

Proporciones

Cuando hablamos de Proporción queremos significar que existe algún tipo de correspondencia entre dos procesos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que involucran una relación constante entre dos o más variables. Estas pueden ser:

Proporcionalidad directa

La proporcionalidad directa entre dos variables supone que cuando una de las variables aumenta, la otra también lo hace. Este concepto implica la idea de “crecimiento conjunto”, donde la contribución de una de las variables ( x ) afecta siempre de la misma manera a la otra ( y ). Si esto se cumple podemos escribir que:

kxy =

Donde 0>k y representa dicha contribución, también es la llamada constante de proporcionalidad.

Es importante destacar que existen otras maneras de expresar relaciones de proporcionalidad directa entre variables como sigue:

a) BAcomo :2:1

Se lee “1 es a 2 como A es a B”, lo cual quiere decir que A es proporcional a B de la misma manera que 1 es proporcional a 2 y significa que:

21

=BA

por lo tanto, este valor está indicando la constante de proporcionalidad.

Ejemplo 1: la compra de alimentos, por regla general, es un clásico ejemplo de proporcionalidad directa. Si 1 Kg de carne cuesta BsF. 11,2 y realizo una compra de 4,25 Kg ¿Cuánto debo cancelar?

Mientras mayor cantidad de carne (c) compre mayor será el monto a cancelar (d) por lo tanto, la correspondencia es directamente proporcional. En consecuencia, podemos escribir: ckd ⋅=

Buscamos el valor de k

37

⇒=cdk

KgBsFk

12,11

= ⇒Kg

BsFk .2,11=

Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación

cKgBsFd ⋅= 2,11 ⇒ Kg

KgBsFd 25,42,11 ⋅= ⇒ BsFd 6,47=

Ahora bien, “ y ” puede ser proporcional no sólo a “ x ”. Pueden darse casos donde la proporcionalidad viene dada por el cuadrado de “ x ”, es decir 2xky ⋅= o por la raíz cuadrada de ” x ”, lo cual quedaría expresado como

xky ⋅= .

Ejemplo 2: la velocidad de aterrizaje de un aeroplano es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa. Si un aeroplano que tiene una masa de 1.600 Kg aterriza a 80 Km/h. ¿Con qué velocidad aterrizaría si pesara 2.500 Kg?

Mientras mayor masa (m) tenga el aeroplano, aterrizará con mayor velocidad (v) por lo que en este caso la correspondencia es directamente proporcional, pero a la raíz cuadrada de la masa, como lo indica el enunciado del problema. Por lo tanto, podemos plantear:

mkv =


Kgkh

Km 160080 =

Kgh

Km

k1600

80=

KghKmk⋅

= 2

Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación

mKgh

Kmv ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅= 2

Para una masa de 2.500 Kg sería:

Para calcular 600.1 Se descompone la cantidad sub radical

155525250210022002400280021600

26 52600.1 ⋅= Al calcular la raíz cuadrada resulta

405252 326 =⋅=⋅

38

KgKgh

Kmv 500.22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

KgKgh

Kmv 502 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hKmv 100=

Proporcionalidad inversa

La proporcionalidad inversa entre dos variables supone que cuando al crecer una de las variables la otra decrece. En este caso la relación entre las variables “ x ” e “ y ” viene dada por la expresión:

xky 1

=

Ejemplo 3: 8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el momento, 2 de ellos deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres?

Si 8 jóvenes podían vivir 24 días, al disminuir la cantidad de jóvenes ( j ) los alimentos durarán más días (d); la correspondencia es inversamente proporcional, por lo tanto podemos escribir:

jkd 1

=


jdk ⋅= ⇒ jóvenesdíask 824 ⋅= ⇒ jóvenesdíask ⋅= 192

Una vez encontrado el valor de esta constante sustituimos en la primera ecuación

jóvenesjóvenesdíasd

jjóvenesdíasd

611921192 ⋅⋅=⇒⋅⋅=

⇒ díasd 32= .

Esto significa que los víveres alcanzarán ahora para 32 días.

Para calcular 500.2 Se descompone la cantidad sub radical

155525512556252125022500

42 52500.2 ⋅=

Al calcular la raíz cuadrada resulta

39

Regla de tres

Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones se encuentra en la resolución de problemas de regla de tres simple y compuesta. La regla de tres es una operación aritmética que consiste en calcular el cuarto término de una proporción, conocidos los otros tres.

En este tipo de problemas, la parte conocida del planteamiento de las proporciones se conoce con el nombre de supuesto, mientras que los datos de la parte que contiene la incógnita, recibe el nombre de pregunta. La regla de tres puede ser:

a) Regla de tres simple directa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad directa.

Ejemplo 4: Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6 ¿Cuánto costarán 16 pelotas?

Aquí el supuesto es: “Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6” y la pregunta puede escribirse como: “¿16 pelotas cuánto costarán?”

El planteamiento de la Regla de Tres sería:

xFBspelotasFBspelotas

..166.34..4

→→

Esto es equivalente a : pelotas

xFBspelotasFBs

16..

46,34..=

( ) ( )pelotas

pelotasFBsxBs4

166,34... ⋅= ⇒ 4,138.... FBsxFBs =

Lo cual quiere decir que 16 pelotas costarán Bs.F. 138,4.

b) Regla de tres simple inversa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad inversa.

Ejemplo 5: Cuatro obreros hacen una obra en 12 días ¿En cuántos días la harían 7 obreros?

Aquí el supuesto es: “Si 4 obreros realizan la obra en 12 días” y la pregunta puede escribirse como: “¿7 obreros en cuántos días la realizarán?”

El planteamiento de la Regla de Tres sería:

díasxobrerosdíasobreros

→→

7124

A mayor cantidad de obreros menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es

inversamente proporcional.

40

obrerosobreros

díasdíasx

74

12=

⇒

( ) ( )obreros

obrerosdíasdíasx7

412 ⋅=

⇒ díasdíasx 79,6 ≈= .

Es decir, los 7 obreros necesitarán aproximadamente 7 días.

c) Regla de tres compuesta: es cuando intervienen tres o más variables. El método de resolución consiste en descomponer la Regla de Tres Compuesta en Reglas de Tres Simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada Regla de Tres Simple se considera que las demás magnitudes no varían.

Ejemplo 6: Si 3 hombres trabajan 8 horas diarias y terminan 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros?

Aquí el supuesto es: “Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias y terminan 80 metros de la obra en 10 días”, lo cual también se puede escribir:

3 hombres → 8 horas diarias → 80 metros → 10 días

y la pregunta puede escribirse como: “¿5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros en cuántos días lo harán?” y puede escribirse como:

5 hombres → 6 horas diarias → 60 metros → x días?

En este caso tenemos 3 proporciones:

i. Hombres vs días para completar la obra

3 hombres realizan la obra en 10 días

5 hombres realizan la obra en x días

A mayor cantidad de hombres menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional:

x10

35=

ii. Horas diarias trabajadas vs días para completar la obra

con 8 horas diarias se completa la obra en x días

con 6 horas diarias se completa la obra en y días

A mayor cantidad de horas diarias la obra se completa más rápido, es decir, en menor cantidad de días, por lo que la relación es inversamente proporcional.

41

yx

=86

iii. Días empleados para terminar la obra vs cantidad de metros completados

80 metros se realizan en y días

60 metros se realizan en z días

Si multiplicamos término a término las proporciones resulta:

zyxyx

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅ 1060838065

⇒5

310 ⋅=z ⇒ 6=z

Es decir, se necesitarán 6 días, trabajando 5 hombres, 6 horas diarias para hacer 60 metros de la obra.

Porcentajes

El porcentaje de un número o tanto por ciento significa “cierta parte de 100”. Las formas más

usuales de expresar un porcentaje son la forma fraccionaria y la forma decimal. El 4% de 80 se

puede escribir en forma de fracción como 100

4 de 80, es decir, las cuatro centésimas partes

de 80. Ochenta se divide en cien partes iguales y se toman cuatro y visto como un decimal, es

decir, 04,0100

4= de 80. En esta temática se pueden observar ejercicios que contemplan

cuatro casos:

1.- Encontrar el tanto por ciento de un número:

Hallar el 20% de 30

El 100% es 30; por tanto el 20% de 30 será x

x→→

%2030%100

6%100

%2030=

⋅=x

Directamente se puede calcular el porcentaje multiplicando el porcentaje escrito en forma decimal por el número. Así, en el ejemplo anterior se haría el cálculo de la siguiente manera:

Como 20.010020%20 == , tenemos que el 20% de 30 es igual a:

630.20.0 =

zy

=6080

42

2.- Encontrar el número cuando se conoce un tanto por ciento del mismo.

¿De qué número es 46 el 23%?

El 23% del número que se busca es 46 y el 100%, es decir, el número buscado será x :

x→→

%10046%23

200%23

46%100=

⋅=x

3.- Encontrar qué porcentaje es un número de otro

¿Qué tanto por ciento es 840 de 2.940?

%840%100940.2

x→→

%6,282940

%100840=

⋅=x

Aumentos y disminuciones porcentuales: Las situaciones que indican el aumento del valor de un objeto o el descuento de otro pueden expresarse como porcentajes.

4.- Ejemplo de aumento porcentual: Si un metro de tela cuesta Bs.F.15 ¿En cuánto debe venderse para ganar el 15% del costo?

Primero buscamos el porcentaje que se desea aumentar

xFBsFBs..%15

15..%100→→

25.2..%100

.15..%15 FBsFBsx =⋅

=

El aumento es de Bs.F. 2.25 por lo tanto el precio en que la tela debe venderse corresponde a la suma del precio costo más el aumento porcentual o ganancia, es decir:

25.17..25.2..15.. FBsFBsFBs =+

5.- Ejemplo de disminución porcentual: Arturo debe BsF. .900. Si le rebajan el 5% de su deuda ¿Cuánto pagará?

xFBsFBs..%5

900..%100→→

45..%100

900..%5 FBsFBsx =⋅

=

43

El descuento que le realizaron a la deuda de Arturo es de Bs.F. 45. Para conocer cuánto debe pagar efectuamos una resta:

855..45..900.. FBsFBsFBs =−

Ejemplo de Interés

Por medio de la Regla de Tres se puede encontrar la ganancia o interés que produce una determinada suma de dinero o capital, prestado o ahorrado, a un tanto por ciento conocido, durante un tiempo determinado.

Ejemplo 7: un empleado tome un préstamo de Bs.F. 480 al 5% anual. Si tarda 3 años en cancelarlo. ¿Cuánto debe pagar de interés?

Para resolver el problema se realiza el cálculo del interés anual y luego se multiplica por el número de años que tardó en pagarlo

En un año:

xFBsFBs

..%5480..%100

→→

24..%100

480..%5 FBsFBsx =⋅

=

Como tardó cuatro años:

96..4..24 FBsañoaño

FBs=⋅

El total a pagar será:

576..96..480.. FBsFBsFBs =+

EJERCICIOS

1. En una evaluación de 40 preguntas con un puntaje total de 100 (cada pregunta tiene el mismo valor), un alumno obtiene 75 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?

2. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números, sabiendo que la suma de ellos es 49.

3. En un almacén habían 40 paquetes de queso. Si 14 ratones dejaron 5 paquetes sin roer. ¿Cuántos paquetes hubieran quedado si sólo hubiesen dos ratones?

4. Si dos obreros construyen una casa en 12 días. ¿Cuánto tardarán seis obreros?

44

5. Un grupo de excursionistas van a acampar con provisiones para 30 días, pero en el viaje se les une un grupo de 4 personas que no llevan alimento. ¿Cuántos días podrían acampar ahora?

6. Si dos obreros hacen 4 muebles en 2 días. ¿Cuántos obreros son necesarios para hacer dos muebles en un día?

7. Si 4 ascensores consumen 40 Kw. de corriente para transportar 600 Kg cada uno a 8 m de altura. ¿Cuántos Kw. de corriente se necesitarán para que 6 ascensores puedan elevar 200 Kg. de peso cada uno a 5 m de altura?

8. Un frutero compró 300 manzanas a razón de 4 por Bolívar Fuerte y 200 a razón de 5 por Bolívar Fuerte. Si las vendió todas a razón de 5 por 2 Bolívares Fuertes. ¿Cuánto ganó?

9. Los organizadores de un concierto necesitan carpinteros para construir las tarimas. Ellos saben que 15 carpinteros pueden construir dos tarimas en 10 días. Faltando dos semanas para el concierto, los organizadores lograron contratar sólo 5 carpinteros para construir la tarima. ¿Cuándo terminarán de construir la tarima?

10. Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3 metros de ancho y 8 metros de profundidad, en un terreno de triple dificultad?

11. Un vendedor gana un sueldo fijo de Bs.F. 820 mensuales. Además gana una comisión del 2% de la venta. El mes pasado ganó en total Bs.F. 1600,00. ¿Cuánto vendió en ese mes?

12. Una mueblería da el 12% de rebaja en una silla que normalmente cuesta Bs.F. 82,50. ¿Cuánto hay que pagar por la silla?

13. Karen compró lápices que costaban originalmente Bs.F. 1,00 cada uno, con un descuento del 10%. Luego los vendió en su colegio 10% más caros de lo que ella los compró. ¿A cuánto vendió los lápices Karen?

14. Un tubo de pasta de dientes cuesta en el abasto Bs.F. 3,90. En el supermercado, el mismo tubo cuesta Bs.F. 3,25. ¿Qué tanto por ciento es la diferencia de precios?

15. Se incendia un carro asegurado en el 86% de su valor y se cobran Bs.F. 45300 por el seguro. ¿Cuál era el valor del auto?

16. Alfredo compró un carro que originalmente valía 42000 Bolívares Fuertes, con un descuento del 5%. Al cabo de un mes, Alfredo decide venderle su carro a Pedro, pero

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con un 5% de descuento sobre el precio al que él lo compró. ¿En cuánto compró Pedro el carro?

17. Un comerciante compra un televisor en Bs.F. 625 con un 25% de descuento. Arrepentido de la compra, y pensando en recuperar la inversión, decide vender dicho televisor en el mismo precio que lo compró más un 25%. ¿Cuál fue el precio de esta última venta?

46

UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA N° 5: LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SU TERMINOLOGÍA

Tomado con fines instruccionales de:

Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Entre las distracciones más comunes que utilizan las personas están: los programas de televisión, el cine, conciertos, los cuales se encuentran llenos de la magia de la animación y audio. Muchos espectadores comentan sobre lo bueno o malo que resultó la animación de la caricatura o lo inolvidable de los efectos de audio, como ecos, distorsiones o simulaciones. Para la producción de esta magia, los expertos se valen de programas de computadoras que usan funciones matemáticas denominadas splines, en el subcampo matemático del análisis numérico. Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, el siguiente es un ejemplo gráfico:

Fuente: Elaboración propia. Caracas 2007

Así como la animación y el audio, otros fenómenos requieren del uso de las matemáticas, para lo cual es necesario utilizar un lenguaje específico para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguaje posee varios componentes:

Las funciones matemáticas están conformadas por expresiones que generalizan las operaciones aritméticas, empleando números, letras y signos; donde, cada letra o signo

Vocabulario

Gráficos

COMPONENTES Símbolos o Signos

47

representa simbólicamente un número u otra entidad matemática, a éstas se les denominan Expresiones Algebraicas.

Expresiones Algebraicas

Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

a) 58x− c) 932 ++ yay

b) ( )( )bybxc −+2 d) ( ) 3817 xx ++⋅

e) 683

1 ++

++ x

yy

x

Términos

Es una expresión algebraica, donde interviene sólo los signos de multiplicación, división, potenciación y radicación. Se puede diferenciar un términos de otro, ya que se separan entre sí únicamente por los signos de adición (+) y sustracción (-). Así, para los ejemplos anteriores tenemos:

El ejemplo (a) tiene un solo término, 58x−

El ejemplo (b) tiene un término: ))(2( bybxc −+ (*)

El ejemplo (c) tiene tres términos: 9,3,2 yay

El ejemplo (d) tiene dos términos: ( ) 38,1 xxa +

El ejemplo (e) tiene dos términos: 683,

1 ++

+ xy

yx

Los términos están formados por los siguientes componentes:

Signo: Es el que precede al término, puede ser positivo (+) o negativo (-), si éste no aparece, el signo del término es positivo.

Variable de un término: es aquella sobre la cual se define el término o expresión algebraica e indica que su valor va variando. Por lo general se toman las últimas letras del

NOTA:

(*) La expresión ))(2( bybxc −+ así como está, sin resolver tiene un término, mientras que si aplicamos la propiedad distributiva obtenemos: 22 22)22())(2( cbybcxbcxycbybxbxycbybxc −+−=−+−=−+ y esta expresión tiene 4 términos.

48

alfabeto en minúsculas: .,,,, etcwzyx . Las expresiones algebraicas pueden ser de una, dos o varias variables.

Coeficiente: Es el factor que acompaña a la parte variable, y su valor no cambia, es constante. Los coeficientes pueden ser de carácter numérico o literal. Por lo general los coeficientes literales se representan con las primeras letras del alfabeto en minúscula: .,,,, etcdcba

Exponente: Es el número que se encuentra en la parte superior derecha de la variable.

Así para el ejemplo (a): 58x− , las variables, los coeficientes y los exponentes son:

58x−

En el ejemplo (b), “ ))(2( bybxc −+ ” es de dos variables: x e y, el coeficiente es 2c, -2cb, cb; el exponente: 1. En este caso para determinar los coeficientes y exponentes es necesario resolver el producto.

Para el ejemplo (e): 683

1 ++

++ x

yy

x, los términos son dos:

1+yx

+ 683

++

xy

Haz lo mismo para el segundo término.

Términos Semejantes

Son términos cuya parte variable son iguales y además tienen el mismo exponente. Observa los siguientes ejemplos:

Variable

Exponente

Coeficiente Signo

1+yx

Signo Variable Coeficiente Exponente

Numerador + x 1 1

Denominador + y 1 1

Términos Para determinar los componentes de cada uno de los términos, como ambos son fracciones, analizaremos tanto el numerador como el denominador, así:

49

a) 2222 4,21,5,3 xxxx −

b) 3xy, 2xy, xy43−

c) 22 3, xyyx

d) yxyx

yxyx

++

22 3,4

e) 935,93 ++ xxa

Es de suma importancia reconocer términos semejantes cuando se quiere reducir una expresión algebraica, ya que estos pueden sumarse (o restarse) y, por consiguiente reducirla. Si dos o más términos no son semejantes, éstos no pueden sumarse ni restarse. También es de utilidad para calcular el mínimo común denominador entre expresiones racionales.

Ejemplo 1: Reducir la expresión algebraica 222 52)( xxxxP +−= .

Solución: 222 52)( xxxxP +−=

( ) 2521)( xxP +−=

24)( xxP =

Respuesta: 24)( xxP =

Ejemplo 2: Reducir la siguiente expresión algebraica, agrupando términos semejantes. 22 325)( xxyxyxxP −+−= .

Solución:

Son semejantes por grupos. Si agrupamos tendremos:

)2()35()( xyxyxxxP +−+−=

xyxxP )21()35()( +−+−=

xyxxP += 22)(

Son términos semejantes ya que todos contienen 2x

Son términos semejantes ya que todos contienen xy

No son términos semejantes ya que 22 xyyx ≠

Son términos semejantes ya que todos contienen yx

yx+

2

Son términos semejantes ya que todos contienen 93 +x

Son términos semejantes ya que todos contienen 2x , se agrupan y suman los coeficientes y se

coloca una vez el factor que se repite.

50

Respuesta: xyxxP += 22)(

Ejercicios propuestos:

1. Señale cuál de las siguientes expresiones no corresponde a una expresión algebraica. Justifique su respuesta.

(a) 125

5634512 −+ (b)

xxx

7453 2−

(c) 5

245 3 +x

2. Para los ejemplos c y d, dados al inicio de esta lectura, identifique los términos y cada componente de los mismos, si es posible.

3. En cada una de las siguientes expresiones señale los términos y sus componentes:

(a) 6182 3 +− xx (b) x

xxx3

121153 −+−−

(c) 39127

xx −

(d) 416

3413 2

+−

xxx

4. Diga si los términos yxyxyx 222

21,2, −

− son semejantes. Justifique su respuesta.

51

LECTURA N° 6: TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS


Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas M., (2006). Expresiones Algebraicas, Caracas: UNEFA.

Las expresiones algebraicas son de gran utilidad para expresar matemáticamente comportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Cada comportamiento tiene una expresión algebraica que lo representa. Algunos ejemplos son:

a) El crecimiento de una bacteria puede estar dado por la expresión 12+xe , observe que el

exponente es una expresión que contiene a la variable x .

b) El costo total para construir una cerca para un área rectangular con ciertas condiciones

dadas, esta representada por la expresión algebraica x

x 432003 + .

En virtud de lo expuesto y de las características propias de cada expresión algebraica, éstas se clasifican en: Enteras, Racionales, Radicales y Combinadas.

Expresiones Algebraicas Enteras o Polinómicas.

Son también llamadas polinómicas y se definen como toda expresión algebraica en la que las potencias son de exponente natural, es decir, los exponentes de las variables son números enteros positivos.

Ejemplos: bxzyxyx 3232 )(32,4,53 ++

Las expresiones algebraicas enteras, a su vez se clasifican en monomios, binomios, trinomios

y polinomios, dependiendo del número de términos que posea.

Monomio, expresión que consta de un solo término, por ejemplo: bax 22

32,3

Binomio, expresión que consta de dos términos, ejemplos:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 5232 2

21,42,3 bbayxyx

Trinomio consta de tres términos, así como en los siguientes ejemplos:

( )232 +− xx , ( )2/125 2 −+ yy , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 223

21 yxxy

52

Así, en general podemos definir, que un Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: 12,696,4 223 +−+−+−+ xxxxxyxb , en el conteo de términos sólo se cuentan los términos que no tienen como coeficiente el número cero.

Ejemplo 1: Determinar si la expresión algebraica xxxxP 232)( 23 −+= − es un polinomio.

Justifique su respuesta.

Solución:

No es un polinomio, porque tiene un exponente negativo en 32 −x . Los exponentes deben ser enteros y no negativos.

Ejemplo 2: Determinar si la expresión algebraicas 223)( xxxP −= es un polinomio.

Justifique su respuesta.

Solución:

223 xxxP −=)( equivale a 221 23 xxxP −= /)(

No es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario. Los exponentes deben ser enteros y no negativos.

Características de los Polinomios

• Un polinomio posee términos y sus componentes, recuerde que todo polinomio es una expresión algebraica.

• El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable del polinomio.

• Los términos de un polinomio se clasifican en:

NOTA: Observe que de acuerdo a la definición de polinomio, los binomios y los trinomios son polinomios.

NOTA:

Si bien es cierto, los ejemplos 3 y 4 no son considerados como polinomios, pero sí son expresiones algebraicas

53

Término Independiente, es aquel que no está acompañado de la variable. Así, para el polinomio )(xQ = abbxax ++ 23 85 , el término independiente del polinomio Q es el término ab .

Término Dependientes, son aquellos que están acompañados de la variable. Así, para el polinomio )(xQ = abbxax ++ 23 85 , los términos dependientes del polinomio )(xQ son:

23 8,5 bxax .

• Un Polinomio Completo, es aquel que con relación a la variable contiene todos los exponentes sucesivos, desde el más alto hasta el más bajo o viceversa. Así, el polinomio:

)(xP = 635 2345 +−++− xxxxx es completo con respecto a su variable x , porque contiene todos los exponentes sucesivos desde el más alto (5), hasta el más bajo (0), ( 066 x= ).

El polinomio =)(aQ 3223 2 babbaa +−+ es completo con respecto a la variable “a”. Note que si definimos como variable del polinomio "" a bQ , )(bQ = 3223 2 babbaa +−+ , éste también es un polinomio completo. El polinomio )(xR = 623 34 ++− xxx no es un polinomio completo, ya que el término 2x no está, es decir el coeficiente de 2x es cero.

• Diremos que un polinomio está ordenado, si los exponentes de la variable están en orden ascendente o descendente.

Así por ejemplo:

a) El polinomio )(xP = 1234 23 +−− xxx , es un polinomio ordenando en forma descendente,

b) El polinomio )(xQ = 134533 5634 +−++− xxxxx , es un polinomio no ordenado.

c) El polinomio )(xR = 5432 5643 xxxxx −+++− , es un polinomio ordenado ascendente.

En general, si tenemos la siguiente expresión

nn xaxaxaxaaxP +++++= ΚΚΚ3

32

210)(

en donde: 0≠na

naaaaa ΚΚΚ,,,, 3210 etc. son números reales

“ n ” es un entero no negativo

NOTA:

Podemos decir entonces que un polinomio es completo, si contiene todos los exponentes

sucesivos de la variable y todos los coeficientes del polinomio son diferentes de cero.

54

Se puede considerar )(xP como un polinomio en “ x ” de grado “ n ” y:

• Las cantidades naaaaa ΚΚΚ,,,, 3210 son los coeficientes del polinomio.

• “ x ” es la variable o parte variable del polinomio

• “ n ” es el mayor exponente de “ x ” y determina el grado del polinomio (entero no negativo).

• 0a es el término independiente

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 3: Determinar las características del polinomio 2645 3242)( yyyyyP ++−= .

Solución:

a) Términos dependientes: 2645 3,2,4,2 yyyy −

b) Variable: y c) Grado: 6

d) Coeficientes: 2 (de 5y ), -4 (de 4y ), 2 (de 6y ), 3 (de 2y ), 0 (de 3y ), 0 (de y )

e) Término independiente: 0 f) Polinomio Ordenado: No.

g) Polinomio Completo: No, ya que existen coeficientes, el de 3y y el de y , que son iguales a cero.

Ejemplo 4: Determinar las características del polinomio 432

54

32)( 23 ++−= xxxxP .

Solución:

a) Términos dependientes: xxx 2,54,

32 23 − ;

b) Variable: x ; c) Grado: 3;

d) Coeficientes: 32

(de x3), 54

− (de x2), 2 (de x), e)Término independiente: 43

f) Polinomio Ordenado: Si. g) Polinomio Completo: Si.

A continuación estudiaremos las expresiones algebraicas racionales, con radicales y las combinadas, entre ellas no podemos distinguir las mismas características como en el caso de las expresiones polinómicas. Estas expresiones no poseen las características mencionadas para los polinomios.

55

Expresiones Algebraicas Racionales

Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es diferente de cero.

Ejemplos: xyyx

yxyy

++

+ 54,

75 2

2

3

Expresiones Algebraicas Radicales

Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz.

Ejemplos: yzyxx +++ 23 25 2

32,35,23

Expresiones Algebraicas Combinadas

Son expresiones algebraicas que contienen expresiones enteras, racionales y/o radicales.

Ejemplos: 2

35

2953

xxx ++

; ;1253 3

2

++

+x

xx ;1534 2

xxy−

++

543

134 2323

+−++

+− yxx

xx


5. Para cada una de las siguientes expresiones, señale: tipo de expresión y sus características

a) 123453)( 24 +−+= xxxxP , b)

43

52)( −= xxQ

c) 1512)( 3 −+= xxxR d) 423)( xxT =

6. Señale el tipo de expresión al cual pertenecen cada uno de los ejercicios propuestos, en la Lectura Nº 5.

56

LECTURA N° 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS


Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M. (2006). Expresiones Algebraicas. Caracas: UNEFA.

Valor Numérico de Expresiones Algebraicas

Es el número real que resulta de reemplazar las variables por números determinados en la expresión algebraica.

Ejemplo 1: Sea 45753)( 2345 +−++−= yyyyyyQ , hallar el valor numérico de )(yQ para

1−=y .

Solución:

Sustituimos el valor de 1−=y en la expresión )(yQ , es decir hallamos

4)1(5)1(7)1(5)1(3)1()1( 2345 +−−−+−+−−−=−Q

4575314)1(5)1(7)1(5)1(31 +++−−−=+−−+−+−−=

7169 =+−=

Respuesta: 7)1( =−Q

Ejemplo 2: Sea 22

22

22),(

yxyxyxyxyxP

+−++

= , hallar el valor numérico de ),( yxP para 3=x ,

.2=y

Solución:

Sustituimos los valores de 3=x , 2=y en la expresión ),( yxP , es decir hallamos

25125

41294129

2232322323)2,3( 22

22

==+−++

=+⋅⋅−+⋅⋅+

=P

Respuesta: 25)2,3( =P

Aun cuando calcular el valor numérico no es una operación matemática como tal sobre las expresiones algebraicas, es considerada una herramienta útil para determinar cifras en comportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Veamos el siguiente ejemplo.

57

Ejemplo 3: Si la expresión x

xC 432003 += determina el costo total para construir una

cerca, conociendo que x representa los metros lineales de cerca. ¿Cuál será el costo de la

misma si se requieren 120 metros lineales de cerca para su construcción?

Solución:

El valor de x es igual a los 120 metros lineales de cerca, los cual se sustituye en

7201204320)120(3432003 =+⋅=+⋅=

xxC

Respuesta: El costo para una cerca con estas condiciones es de 720 BsF.

Operaciones con Polinomios:

Adición de Polinomios

Para la adición o suma de polinomios es importante la comprensión del manejo de términos semejantes, que estudiamos en la Lectura Nº 5. Es conveniente seguir el procedimiento indicado:

• Se ordenan los polinomios (preferiblemente en forma descendente).

• Se completan los polinomios incompletos, dejando el espacio en blanco o colocando cero como coeficiente, junto a la potencia de los términos que no aparecen en el polinomio.

• Se suman verticalmente u horizontalmente los coeficientes de los términos semejantes.

Ejemplo 4: Dados 523)( 23 −+−= xxxxP y 234)( 2 +−= xxxQ , hallar )()( xQxP +

Solución:

Se ordenan los polinomios y se colocan en forma vertical. Luego se suman algebraicamente (es decir, usando la ley de los signos) los coeficientes de los términos semejantes.

5123)( 23 −+−= xxxxP +

234)( 2 +−= xxxQ

Respuesta: 3223)()( 23 −−+=+ xxxxQxP

Observe que la respuesta se ofrece ordenada descendentemente con respecto a “ x ”.

Ejemplo 5: Dados 2222 3234)( xxaaaxxP −+−= y 222 22)( xaxxaxQ +−=

Se pide encontrar )()( xQxP +

58

Solución:

Se ordenan los polinomios en forma descendente, en función de la variable x . Se suman algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes.

2222 3234)( xxaaaxxP −+−= +

2222 220)( xxaaaxxQ +++−=

2222 433)()( xxaaaxxQxP −+−=+

Respuesta: 2222 433)()( xxaaaxxQxP −+−=+

Ejemplo 6: Dados los siguientes polinomios 312

25

53)( 23 −+−= xxxxP y

45

51

35

21)( 23 ++−= xxxxQ . Hallar )()( xQxP +

Solución:

312

25

53)( 23 −+−= xxxxP +

45

51

35

21)( 23 +++= xxxxQ

)45

31()

512()

35

25()

21

53()()( 23 +−++++−++=+ xxxxQxP

)12

154()5

110()6

1015()10

56( 23 +−+

++

+−+

+= xxx

Respuesta: 1211

511

65

1011)()( 23 ++−=+ xxxxQxP

Sustracción de Polinomios

Se sigue un procedimiento semejante a la adición o suma de polinomios, pero esta vez, considerando el signo negativo que precede al sustraendo, se puede reescribir la operación

NOTA:

Esta suma de polinomios, también puede resolverse sumando horizontalmente los

coeficientes de los términos semejantes.

59

como una adición, considerando que en lugar del polinomio dado en el sustraendo se utilizará el polinomio opuesto a éste (es lo que el signo menos nos está indicando).

Ejemplo 7: Dados 523)( 23 −+−= xxxxP y 234)( 2 +−= xxxQ . Se pide encontrar )()( xQxP − .

Solución:

La operación )()( xQxP − se puede reescribir como [ ])()( xQxP −+ .

Ahora se identifica a “ )(xQ− ” (polinomio opuesto o simétrico de )(xQ ).

Si tenemos 234)( 2 +−= xxxQ entonces 234)( 2 −+−=− xxxQ .

Se ordenan los polinomios y se colocan en forma vertical:

( ) 523 23 −+−= xxxxP

234)( 2 −+−=− xxxQ

Luego procedemos a sumar algebraicamente (ley de los signos) los coeficientes de los términos semejantes:

=)(xP 523 23 −+− xxx

=)(xQ 234 2 −+− xx

)25()31( )42(3)()( 23 −−+++−−+=− xxxxQxP

7463)()( 23 −+−=− xxxxQxP

Respuesta: 7463)()( 23 −+−=− xxxxQxP .

Ejemplo 8: Dados 3234)( 23 −+−= xxxxP y 9242)( 23 ++−= xxxxQ .

Hallar )()( xQxP − .

Solución:

)()( xQxP − = )3234( 23 −+− xxx - )9242( 23 ++− xxx

NOTA:

La resta o sustracción de polinomios, también puede resolverse horizontalmente, tomando

en cuenta el signo negativo que precede al sustraendo.

Se multiplican los signos

60

Observa que los signos cambian al ser multiplicados (ley de los signos)

)()( xQxP − = 92423234 2323 −−+−−+− xxxxxx

Agrupamos términos semejantes:

)()( xQxP − = )93()22()43()24( 23 −−+−++−+− xxx

Respuesta: )()( xQxP − = 122 23 −+ xx

Ejemplo 9: Dados xxxxxxP43

385

34

52)( 2345 +−++= y

153245)( 2345 −+−+−= xxxxxxQ . Hallar )()( xQxP −

Solución:

)()( xQxP − = )153245()43

385

34

52( 23452345 −+−+−−+−++ xxxxxxxxxx

)()( xQxP − = 15324543

385

34

52 23452345 +−+−+−+−++ xxxxxxxxxx

)()( xQxP − = ( ) ( )151433

38254

345

52 2345 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxxxx

)()( xQxP − = ( ) 154

433

9833124

5252 2345 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxxxx

Respuesta: )()( xQxP − = 1541

313

316

523 2345 +−+++− xxxxx

Multiplicación de Polinomios

a) Monomio por Polinomio:

Este caso se presenta con mucha frecuencia y se resuelve utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación. El grado del polinomio resultante de la multiplicación de un monomio por un polinomio, es igual a la suma de los grados de ambos.

Ejemplo 10: Multiplique ( )32x por ( )224 24 −+− xxx

Solución:

El grado del monomio es 3 y el grado del polinomio es 4, por lo tanto el grado del polinomio resultante es 7. Veamos a continuación el producto:

( ) ( )2242 243 −+−⋅ xxxx

61

Se multiplica 32x por cada uno de los términos del polinomio.

= )2)(2())(2()2)(2()4)(2( 332343 −++−+ xxxxxxx

En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables

= 332343 ))2(2())(12()))(2(2())(42( xxxxxxx −⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅

= 3132343 4248 xxxx −+− +++

Respuesta: 3457 4248 xxxx −+−

Ejemplo 11: Multiplique ( )24xy por ( )332 32 xyxyxy ++−

Solución:

( ) ( )3322 324 xyxyxyxy ++−⋅

Ordenamos el polinomio considerando la variable y

( ) ( )3232 234 xxyxyyxy ++−⋅

Aplicamos el mismo procedimiento del ejemplo anterior, se multiplica 24xy por cada uno de los términos del polinomio

( ) ))(4()2)(4()3)(4)(4( 3222322 xxyxyxyxyyxyxy ++−+

En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables

2322232 ))(4())()(4())())(2(4())()(34( yxxyyxxyyxxyyx ⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅

En este caso el grado del polinomio resultante será “5”, debido a que existe un factor donde la variable y tiene exponente 5.

Respuesta: 2432425 44812 yxyxyxxy ++−

b) Polinomio por Polinomio:

Puede resolverse utilizando la propiedad distributiva o pueden colocarse un polinomio bajo el otro y realizar una multiplicación en forma vertical.

El grado del polinomio resultante de la multiplicación de dos polinomios es la suma de los grados de cada polinomio. Veamos a continuación como resolvemos el producto de dos polinomios:

NOTA:

Cuando un polinomio tiene dos variables se debe considerar una de las dos, tanto para

ordenar el polinomio, como para determinar su grado.

62

Ejemplo 12: : Dados los polinomios 234)( 2 −+= xxxP y 52)( += xxQ , hallar )()( xQxP ⋅ .

Solución:

El grado del polinomio )(xP es 2 y el grado del polinomio )(xQ es 1, por lo que el grado del polinomio resultante es 3. Ambos polinomios están ordenados en forma descendente.

Para multiplicar ambos polinomios vamos a colocarlos uno bajo el otro, preferiblemente el de mayor número de términos arriba y el de menor cantidad de términos debajo. Si los polinomios no están ordenados, deben ordenarse preferiblemente en forma descendente.

234 2 −+ xx ×

52 +x

( ) ( )2342 2 −+⋅ xxx

( ) ( )2345 2 −+⋅ xx

Y nos queda:

234 2 −+ xx

52 +x

xxx 468 23 −+

+ 101520 2 −+ xx

1011268 23 −++ xxx

De esta forma se pueden sumar directamente los términos semejantes, siempre y cuando estén ambos polinomios ordenados en la misma forma (descendente o ascendente).

Note que el grado ( 3 ) del polinomio resultante de la multiplicación es la suma de los grados de los polinomios (2 + 1) .

Respuesta: 1011268)()( 23 −++=× xxxxQxP

Ejemplo 13: Sean 438)( 2 +−= xxxP y 1545)( 23 +−+= xxxxQ . Hallar )()( xQxP ⋅ .

Solución:

=⋅ )()( xQxP )1545()438( 232 +−+⋅+− xxxxx

Multiplicamos cada término del polinomio )(xP por cada uno de los términos del polinomio )(xQ .

=⋅ )()( xQxP +⋅+−⋅+⋅+⋅ )1()8()5()8()4()8()5()8( 222232 xxxxxxx

)234(2 2 −+ xxx

Multiplicamos cada término del polinomio de abajo por todos y cada uno de los términos del polinomio de arriba.

)234(5 2 −+ xx

63

+⋅−+−⋅−+⋅−+⋅− )1()3()5()3()4()3()5()3( 23 xxxxxxx

)1(4)5(4)4(4)5(4 23 ⋅+−⋅+⋅+⋅ xxx

Multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables y nos queda:

=⋅ )()( xQxP ++⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ ))(8()()58()()48()()58( 222232 xxxxxxx

+−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅− )3()()53()()43()()53( 23 xxxxxxx

4544454 23 +⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ xxx

Ahora multiplicamos los coeficientes y aplicamos las propiedades de la potenciación, y nos queda:

32342345 2031512158403240)()( xxxxxxxxxxQxP +−+−−+−+=⋅

42016 2 +−+ xx

Agrupamos los términos semejantes

4)203()16158()201240()1532(40)()( 2345 +−−+++++−−+−+=⋅ xxxxxxQxP 42339321740)()( 2345 +−+−+=⋅ xxxxxxQxP

Respuesta: 42339321740)()( 2345 +−+−+=⋅ xxxxxxQxP

Ejemplo 14: Dados los polinomios 562

35

32)( 234 ++−= xxxxP y

61

27

76)( 3 −+= xxxQ ,

hallar: )()( xQxP ⋅ .

Solución:

=⋅ )()( xQxP ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

562

35

32 234 xxx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

61

27

76 3 xx

Multiplicamos cada término del polinomio )(xP por cada uno de los términos de )(xQ

=⋅ )()( xQxP +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

61

32

27

32

76

32 4434 xxxxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

61

35

27

35

76

35 3333 xxxxx +

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

612

272

76)2( 2232 xxxxx

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

61

56

27

56

76

56 3 xx

64

Multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables y nos queda:

=⋅ )()( xQxP ( ) ( ) 4434

61

32

27

32

76

32 xxxxx ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

- ( ) ( ) 3333

61

35

27

35

76

35 xxxxx ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+ ( ) ( ) 2232

612

272

762 xxxxx ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

61

56

27

56

76

56 3 xx

Ahora multiplicamos las fracciones, además, aplicaremos las propiedades de la potenciación y nos queda:

=⋅ )()( xQxP +−+++−−⋅−⋅+⋅ 235346457

62

214

712

185

635

2130

93

614

2112 xxxxxxxxx

⋅−⋅+⋅+306

1042

3536 3 xx

Simplificando las fracciones:

=⋅ )()( xQxP +−+++−−⋅−⋅+⋅ 235346457

317

712

185

635

710

91

37

74 xxxxxxxxx

⋅−⋅+⋅+51

521

3536 3 xx

Agrupamos los términos semejantes:

51

521

31

35367

185

635

91

712

37

710

74)()(

2

34567

−+⋅+

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⋅=⋅

xx

xxxxxxQxP

Resolviendo las fracciones, nos queda que:

Respuesta:

51

521

31

630845.5

18107

2185

710

74)()( 234567 −+++−+−⋅=⋅ xxxxxxxxQxP

65

División de Polinomios

Para realizar esta operación, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual al grado del polinomio divisor. Al igual que en una división de números reales, los elementos que componen una división entre polinomios son: Dividendo, Divisor, Cociente y Residuo. Si el Residuo es cero la división se clasifica como exacta.

Por ejemplo, dividir el polinomio )(xP entre el polinomio )(xQ , )()( xQxP ÷ , el dividendo es )(xP , el divisor es )(xQ y el cociente )(xC . Además, )(xP se define como aquel polinomio

que cumple con la siguiente relación:

)()()()( xRxCxQxP +×= ; donde )(xR es el residuo.

Veamos a continuación cómo hacer la división entre dos polinomios:

a) Polinomio dividido entre monomio:

Ejemplo 15: Sea 2345 2)( seay 41012)( xxQxxxxP =+−= . Hallar )()( xQxP ÷ .

Solución:

==÷)()(

)()(xQxP

xQxP 2

345

241012

xxxx +−

Cuando el denominador es un monomio, se separa la fracción original en tres fracciones con igual denominador, y obtenemos:

2

3

2

4

2

5

24

210

212

xx

xx

xx

+−=

Luego simplificamos, tanto los coeficientes, como las variables:

Respuesta: )()( xQxP ÷ = 256 23 +− xx

Ejemplo 16: Sea xxxxP 936)( 24 +−= y sea 23)( xxQ = . Hallar )()( xQxP ÷ .

Solución:

==÷)()(

)()(xQxP

xQxP 22

2

2

4

2

24

39

33

36

3936

xx

xx

xx

xxxx

+−=+−

Simplificando, tenemos: x

x 312 2 +−=

Dividiendo los coeficientes:

62

12= ; 5

210

= ; 624=

Dividiendo las potencias:

;32

5

xxx

= ;22

4

xxx

= xxx

=2

3

66

Respuesta: =÷ )()( xQxPx

x 312 2 +− 12 312 −+−= xx .

b) Polinomio dividido entre Polinomio:

El procedimiento que usaremos para resolver la división entre polinomio, será descrito en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 17: Hallar 12

364 235

−−+−

xxxxx

Solución:

El dividendo es xxxx 364 235 −+− y el divisor es 12 −x . Tanto el dividendo como el divisor tienen que estar completos y ordenados en forma descendente; si ello no es así, entonces éstos deben ordenarse y/o completarse, antes de comenzar la división.

Escribimos el ejercicio de la siguiente forma, completando con el coeficiente CERO los términos que faltan, como es en este caso: 4x y el término independiente. Procedemos a resolver:

03604 2345 +−+−+ xxxxx 12 −x

45 24 xx +− 42x 1.- Dividimos 54x entre 2x usando el procedimiento de los ejercicios anteriores

45

224 x

xx

= 2.-Multiplicamos 42x por )12( −x y lo colocamos bajo el dividendo, cambiando el signo del resultado:

454 24)12(2 xxxx −=−⋅

NOTA:

Observe que el resultado de la división no es un polinomio, ya que el exponente del último

término es negativo. Cuando dividimos en general un polinomio entre otro polinomio o un

monomio, el resultado no siempre es un polinomio. Si observamos en el ejemplo 22, el

exponente del término de menor potencia (9x) es menor que el grado del divisor (3x2). Sin

embargo, aun cuando no es polinomio sí es una expresión algebraica.

67

3.-Sumamos verticalmente y “bajamos” los términos restantes para proceder de la misma

manera y así lograr obtener un “Residuo parcial ”.

Respuesta: 12

364 235

−−+−

xxxxx

= xxx 32 34 ++

Ejemplo 18: Dados 6946)( 245 +−−= xxxxP y 23)( −= xxQ . Hallar )()( xQxP ÷ .

Solución:

236946

)()()()(

245

−+−−

==÷x

xxxxQxPxQxP

Para los pasos comentados de la solución refiérase al ejemplo anterior.

2

4666

6969

23246

236946

2

2

445

245

−++−

−

+−

−−+−

−+−−

xx

xxx

xxxx

xxxx

4.- Dividimos el término 42x del residuo parcial entre x2 así ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

4

22 x

xx

5.- Repetimos el proceso hasta que el grado del residuo parcial sea menor que el grado del

divisor. Observe que ésta es una división exacta.

03604 2345 +−+−+ xxxxx 12 −x

45 24 xx +− xxx 32 34 ++

xxxx 362 234 −+−

342 xx +−

xx 36 2 −

xx 36 2 +−

0

Residuo )(xR

Residuo Parcial

Residuo

Cociente: )(xC

68

Como )()()(

)()()()(

xQxRxC

xQxPxQxP +==÷ y el residuo es diferente de cero, entonces

232)232(

236946

)()()()( 4

245

−+−−=

−+−−

==÷x

xxx

xxxxQxPxQxP

Respuesta: 23

2)232()()( 4

−+−−=÷

xxxxQxP

Operaciones con Expresiones Racionales:

Adición de Expresiones Racionales

Para la adición o suma de este tipo de expresiones, es conveniente seguir el procedimiento indicado:

• Simplificar las fracciones dadas, si es posible. • Si las expresiones tienen distintos denominadores:

a) Reducirlas al mínimo común denominador, si es posible. b) Efectuar las multiplicaciones indicadas. c) Sumar los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos

semejantes y manteniendo el denominador común. d) Simplificar la fracción que resulte, si es posible.

• Si las expresiones tienen el mismo denominador, seguir las instrucciones a partir del literal “c”, del paso anterior.

Ejemplo 19: Dadas las expresiones 2

4m

y 25

m, hallar : 22

54mm

+

Observa que los denominadores son iguales, por lo tanto, procedemos desde el paso “c”, sumamos los numeradores y se mantiene el denominador.

2222

95454mmmm

=+

=+

Respuesta: 222

954mmm

=+

Ejemplo 20: Hallar :a

aa 6

22

32

−+

69

Como los denominadores son distintos, procedemos a calcular el m.c.m entre 22a y a6 que es 26a , luego se divide el m.c.m. entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.

aaaaa =÷=÷ 66326 222

aa

a 62

23

2

−+ =

( ) ( )2

2

222 62

69

62

633

aaa

aaaa

a−

+=⋅−

+⋅

Sumar los numeradores de las fracciones que resulten y ordenando:

2

2

2

2

692

629

aaa

aaa +−=

−+

Respuesta: 2

2

2 692

62

23

aaa

aa

a+−

=−

+

Ejemplo 21: Dadas las expresiones2

5+x

y 34

−−

xx

, hallar :34

25

−−

++ x

xx

.

Observa que los denominadores son distintos.

34

25

−−

++ x

xx

Calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) entre los denominadores,

mcm ( ) ( )[ ] ( ) ( )323,2 −⋅+=−+ xxxx

se divide éste entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador:

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )32

2432

35−⋅++⋅−

+−⋅+

−⋅=

xxxx

xxx

Aplicando propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) ( )32842

32155 2

−⋅+−−+

+−⋅+

−=

xxxxx

xxx

( ) ( ) 32

32−=

+−⋅+ x

xxx

( ) ( ) 2

332

+=+

−⋅+ xx

xx

70

Finalmente, sumamos los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos semejantes y manteniendo el denominador común.

( ) ( ) ( ) ( )32812

32842155 22

−⋅+−−

=−⋅+

−−++−=

xxxx

xxxxxxx

Respuesta: 34

25

−−

++ x

xx

= ( ) ( )328122

−⋅+−−

xxxx

Sustracción de Expresiones Racionales

Se sigue un procedimiento semejante a la adición o suma de expresiones racionales, pero esta vez, considerando el signo negativo que precede al sustraendo.

Ejemplo 22: Dadas las expresionesa23

y 262

aa −

, hallar : 262

23

aa

a−

−

Como los denominadores son distintos, reducimos al mínimo común denominador, luego se divide éste entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.

262

23

aa

a−

− =( )

2222 62

69

62

633

aa

aa

aa

aa −

−=−

−⋅

Sumar los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos semejantes y manteniendo el denominador común. Recuerde que el signo menos afectan los signos de los dos términos de la expresión 2−a .

22 628

629

aa

aaa −

=+−

Respuesta: 22 628

62

23

aa

aa

a−

=−

−

Multiplicación de Expresiones Racionales

La multiplicación de expresiones racionales pueden ser sencillas o complejas dependiendo de las operaciones que éstas involucren, tales como: factorización, productos notables, simplificación y/o racionalización. En algunos casos, debes utilizar uno o más de estos

71

procedimientos en el mismo ejercicio. En esta oportunidad trataremos la multiplicación de expresiones racionales sencillas y aquellas que impliquen factorización y/o productos notables, podrán tratarse con mayor destreza en el curso Fundamentos de Matemática, que verás durante el primer semestre.

En general, las reglas para multiplicar expresiones racionales son en este orden:

• Se simplifica, suprimiendo los factores comunes entre los numeradores y denominadores.

• Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores, y se multiplican entre si las expresiones que quedan en los denominadores.

Ejemplo 23: Dadas las expresiones 332ba

, x

b43 2

y 2

2

2ax

, hallar : 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

⋅⋅

Simplificamos los factores comunes entre el numerador y el denominador:

= 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

⋅⋅ =ax

bax

xbax

xb

b 243

32

243

32

243

32 222

3 ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores, y se multiplican entre

sí las expresiones que quedan en los denominadores.

=bax

ax

b 126

43

32

=⋅⋅ simplificando el 21

126=

Respuesta: 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

⋅⋅ =bax

2

Divisiones de Expresiones Racionales

Existen, por lo menos, dos procedimientos para dividir expresiones racionales:

Primer procedimiento Multiplicando el dividendo por el inverso divisor


2

34ba

y 392bax

hallar : 32

2

92

34

bax

ba

÷

Determinamos el inverso del divisor: axb

bax

29

92 3

3 =

72

Expresamos la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor

axb

ba

bax

ba

29

34

92

34 3

2

2

32

2

⋅=÷

Resolvemos aplicando el procedimiento para multiplicar expresiones racionales

2

323

2

2

636

29

34

axbba

axb

ba

=⋅= y finalmente simplificamos:

xab

xbab

axbba

axbba 666

636

2

3

2

32

2

32

===

Respuesta: xab

bax

ba 6

92

34

32

2

=÷

Segundo procedimiento: Multiplicando en cruz:

Aplicamos este método para resolver el ejemplo anterior


2

34ba

y 392bax

. Hallar 32

2

92

34

bax

ba

÷

Multiplicamos cada numerador por los denominadores de la otra fracción:

xab

axbba

axbba

bax

ba 6

636

2394

92

34

2

32

2

32

32

2

==⋅⋅

=÷


7. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, para los valores dados:

a. 22 2 yxyx ++ para 2=x , 3=y c) 22 2 y

xxyx

+−

para 5=x , 3=y

b. yxx 23 3− para 13=x , 3=y

8. Para cada una de las siguientes expresiones agrupe los términos semejantes:

a) [ ] }{ )2(2)33(5 cbacbcaba −−−+−−−−

b) [ ])2(2)33(5 22222 cmcxcmccxmc −−−+−−−

73

9. Dados los polinomios, P, Q, R y S:

P( x )= 2

3

23

xxx −

; Q( x )=52

3−x

;

R( x )=xx

32 −

; S( x )= 3

8x

Hallar:

a) P( x )+Q( x ) b) P( x )-Q( x )+R( x ) c) Q( x )-R( x )+S( x )

10. Para )(aP = 2373 22 −+− baba , )(aQ = 2222 356 bbaababa −++−

)(aR = ( )2222 235 baabba −−+ , )(aS = abab 47 22 +− .

Hallar:

a) )()( aPaQ + b) )()()( aQaPaR −+ c) )()()( aSaRaQ +−

11. Dados los polinomios, P y Q , hallar el producto QP ⋅ :

a) )( xP = yx

yxyx−++ 22

; )( xQ =y

yx2

2 −

b) )(aP = 253 +− aa ; )(aQ = 52 +− aa

c) )(mP = 6

24

335

mmm −

; )(mQ =32

7+mm

d) )( xP = yxxyyx 2233 12698 −+− )( xQ = yx 32 +

12. Dados los polinomios, P y Q , hallar la división QP ÷ y determinar en cada uno de los casos cual es el cociente y cual es el residuo:

a) )( xP = 4171325 234 ++−− xxxx ; )( xQ = 132 ++ xx

b) )( xP = 3

2

1915

axm

; )( xQ = 43

2

3820

xay

c) )( xP =xx

xx62 2

3

+−

)( xQ =6255 2

+−

xxx

d) )( xP = 88 1616 yx − )( xQ = 22 22 yx +

e) )( xP = 4322345 326410213 xyyxyxyxx +++− ; )( xQ = 223 45 xyyxx −−

74

LECTURA N° 8: PLANTEAMIENTOS DE PROBLEMAS


Gómez, T., González, N., Lorenzo, J., (2007). Planteamiento de Problemas. Artículo no publicado. Caracas.

Una de las dificultades enfrentadas por los estudiantes en la cátedra de matemáticas, radica en ser capaces de traducir un enunciado a relaciones y ecuaciones matemáticas. Sin embargo, es importante adquirir destrezas en este tópico, ya que la mayoría de las materias requieren resolver ejercicios donde la solución se obtiene mediante relaciones matemáticas. Las relaciones y ecuaciones matemáticas se expresan a través de Expresiones Algebraicas. A continuación veremos algunas sugerencias que sirven de guía para ayudarte a resolver este tipo de problemas:

1º. Lee cuidadosamente el enunciado del problema.

2º. Vuelve a leer el enunciado, tantas veces sea necesario, hasta comprender perfectamente los datos que ofrece el problema y lo que te piden encontrar.

3º. Cuando sea necesario, acostúmbrate a realizar un bosquejo de la situación planteada, en forma gráfica o en un planteamiento inicial.

4º. Identifica con variables (letras) los datos o interrogantes del problema.

5º. Obtén los datos del enunciado y relaciónalos matemáticamente mediante ecuaciones o fórmulas. Algunos datos o fórmulas no se dan en forma explícita en los problemas, se supone que debes conocerlas. Ej.: área, volumen, velocidad, aceleración gravitacional, entre otras.

Esta secuencia de pasos nos sirve para llegar hasta el planteamiento del problema, sin resolverlo. Es objetivo de este tema, llevarnos hasta la identificación de las relaciones y ecuaciones matemáticas que vendrán representadas por la expresión algebraica correspondiente.

Presta atención a los siguientes ejercicios, analízalos y resuélvelos. Recuerda que la práctica es el arma que te dará la destreza necesaria para dominar cualquier tema en matemáticas, incluyendo éste.

A continuación te presentamos algunos ejemplos:

75

Ejemplo 1: Escribe las expresiones algebraicas, que representan el siguiente planteamiento:

“La suma de tres números es 93. El segundo es 9 unidades mayor que el menor y 9 unidades

menor que el mayor. Encuentre los números”.

Solución:

Pasos 1 y 2: Lee bien y con precaución el enunciado, pues al hacerlo muy rápido puedes confundirte con los términos empleados. Evita considerar el ejercicio como un juego de palabras o trabalenguas; lee poco a poco hasta comprender lo que se te pide y lo que se te proporciona.

En este caso, el paso 3 no es necesario.

Paso 4: Vamos a asignarle letras a cada uno de los datos del problema:

Número menor = x

2do número = y

Número mayor = z

A estas letras las llamamos variables.

Paso 5. Separamos las diferentes proposiciones presentes en el problema, y los relacionamos matemáticamente:

a) La suma de los tres (3) números es 93, es decir:

93=++ zyx

b) El 2do número es 9 unidades mayor que el menor, es decir,

9+= xy

c) También el segundo número es 9 unidades menor que el mayo, es decir:

9−= zy

Finalmente tenemos tres (3) expresiones algebraicas:

9993

−=+==++

zyxy

zyx

Ejemplo 2: Escribe las expresiones algebraicas, que representan el siguiente planteamiento: “Hallar dos números reales tales que la suma de los mismos es 14 y su producto es 45”.

Solución:

Expresión algebraica 1



76

Definiremos nuestras variables como: x = 1er. número y = 2do. número Tenemos que de acuerdo al enunciado, la suma de los dos números es 14, es decir:

14=+ yx y además, que el producto de los mismos es 45

45=⋅ yx En el siguiente ejemplo se utilizarán las operaciones sobre expresiones algebraicas para resolver un problema sencillo aplicado al área de economía.

Ejemplo 3: Suponte, que la ecuación de la demanda para un producto de una empresa

viene dada por: qp 2400 −= y que la función costo promedio es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

qqc 40042,0 , donde q es el número de unidades y p y c se expresan en

bolívares fuertes. Encuentra la expresión algebraica que determina la ganancia o

utilidad de un producto en función del número de unidades q , sabiendo que el ingreso

total es qpr ⋅= , el costo total es cqc ⋅= y la ganancia es crP −= .

Solución:

Observa que no es necesario definir las incógnitas, el planteamiento ya las indica.

Se calcula r

qpr ⋅=

( ) qqr ⋅−= 2400

22400 qqr −=

Se calcula c

cqc ⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=

qqqc 40042,0

40042,0 2 ++= qqc

Se calcula P



Se sustituye p

Se aplica propiedad distributiva

Se sustituye c

Se aplica propiedad distributiva

77

crP −=

( ) ( )40042,02400 22 ++−−= qqqqP

4002,2396 2 −−= qqP

Respuesta: La función para la ganancia viene dada por: 4002,2396 2 −−= qqP

La siguiente tabla contiene algunos ejemplos de expresiones verbales y la manera de

traducirlas en algebraicas:

EXPRESÓN VERBAL EXPRESIÓN ALGEBRAICA La suma de un número con tres 3+x Cinco más que un número x+5 Quince sumado a un número 15+x Un número incrementado en cuatro 4+x La suma de dos números yx + La edad después de cinco años 5+x La edad hace cinco años 5−x Tres menos que un número 3−x Cinco menos un número x−5 La diferencia de dos números yx − Un número restado de cuatro x−4 Cinco veces un número x5 El doble de un número x2 Un número multiplicado por tres x3 Producto de dos números xy Dos tercios de un número

x32

Número par x2 Número impar 12 +x Tres números enteros consecutivos 2,1, ++ xxx El triple del inverso de un número

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x13 siendo 0≠x

Un número dividido por cuatro 4x

El cociente de seis y un número x6

siendo 0≠x

El cociente o razón de dos números xy

siendo 0≠x

El cuadrado de un número 2x El cuadrado de la suma de dos números ( )2yx + El cuadrado de la diferencia de dos ( )2yx −

Se sustituye r y c

Se resuelve la resta de expresiones algebraicas

78

números La suma de dos números elevados al cuadrado

22 yx +

La diferencia de dos números elevados al cuadrado

22 yx −

La mitad de un número 2x

El cubo de la suma de dos números ( )3yx + El cubo de la diferencia de dos números ( )3yx − La suma de dos números elevados al cubo

33 yx +

La diferencia de dos números elevados al cubo

33 yx −

La suma de dos números pares consecutivos

( ) ( )222 ++ xx

El cuadrado de la suma de dos números pares consecutivos

( ) ( )[ ]2222 ++ xx

Ejercicios Propuestos:

13. Completa la siguiente tabla, utilizando una sola incógnita:

Expresión escrita Expresión Algebraica

Un número entero menos la mitad de dicho número.

El doble de un número más dicho número.

El doble de un número más el cuadrado de dicho número, menos un tercio de la suma anterior.

Un quinto de un número entero, más la mitad de su cuadrado disminuido en 2.

14. Escribe los siguientes planteamientos como expresiones algebraicas:

a) Hallar dos números, tales que la suma del triple del menor y el doble del mayor sea 7; y el doble del menor aumentado en 4 unidades sea el triple del mayor.

b) En una función de cine, la entrada para adultos es de Bs.F.4 y para niños es de Bs.F. 1 ,50. Si el cine vendió 253 boletos con una venta total de Bs.F. 557. ¿Cuántos adultos y cuantos niños asistieron a la función?

c) La cancha de fútbol de un colegio tiene las siguientes dimensiones: a metros de largo y b metros de ancho. Calcula el área de la cancha.

d) Un televisor tiene una pantalla plana que mide a cm. por lado. ¿Cuál es el área de la pantalla?

79

15. Para el planteamiento dado en el ejercicio 32 responde:

a) Son iguales las expresiones xy =+ 9 y 9+= xy . Explica la respuesta.

b) La relación 9−= zy indica, que se debe cumplir que y es menor que z .

Si hubiésemos colocado la relación zy =− 9 , ¿en qué contradice al enunciado ?

c) ¿Cuál procedimiento deberías aplicar si quisieras comprobar que los valores de las variables establecidas en el ejercicio son x= 22, y = 31 y z = 40?.

16. Para el planteamiento dado en el ejercicio 33, verifica cuáles de los siguientes valores de x, y cumple con las dos ecuaciones:

a) 9=x , 5=y b) 7=x , 7=y c) 5=x , 9=y d) 15=x , 3=y

17. Escriba la expresión algebraica que indica el área de cada una de las siguientes figuras, de acuerdo a sus dimensiones:

a) b) c)

18. Escribe las expresiones algebraicas que indican el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

a) b)

19. Una revista tiene actualmente 2.000 suscriptores que pagan una cuota mensual de BsF. 20. Una encuesta reveló, que se tendrían 50 suscriptores más por cada BsF. 0,25 de disminución de la cuota. Escribe la expresión racional que determina el ingreso, bajo las condiciones dadas. Sugerencia: considere a x como el número de disminuciones de BsF. 0,25 y el número de nuevos suscriptores a x50 .

a

2+a 3−m1−t

2+t

1−x x

x3

x x

x4

80

LECTURA N° 9: PRODUCTOS NOTABLES


Santamaría, J. (2006). Productos Notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado Cojedes.

Al iniciar nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a lo que hacemos referencia es al número como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre, en su inmensa necesidad de organizarse en sociedad, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin saber, a la intuición de número.

El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, Al-Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos le dieron forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad.

Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante operaciones de adición, multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, también se valen de las operaciones de adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan elemental; utilizan el álgebra y la aritmética para formalizar y sistematizar sus aplicaciones.

Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto.

Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no es muy frecuente encontrarse con un producto notable, pero se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente manera:

81

Por Ley de Potenciación: 2aaa =⋅

930253)35(25)35( 222 ++=+⋅⋅+=+

Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:

915152533533555)35()35()35( 2 +++=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=+

Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable puede aplicarse de la

siguiente manera:

( )yxyxyx 53).53()53( 2 ++=+ ( ) ( ) ( ) ( )( )yyxyyxxx 5.53).5()5.(33).3( +++=

22222 25309)5()53(2)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+

Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente enfoque:

Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ” ”, calcula el área del terreno: Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho por lo que mide de largo; así:

222 )4()4()(2)4()4()4( −+−⋅⋅+=−=−⋅− yyyyy

1682 +−= yy , es el área del terreno

El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con expresiones algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a una situación específica.

Veamos algunos casos específicos de productos notables.

EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS

Ejemplo 1: Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide "" 7+x unidades.

Necesitamos conocer el área del cuadrado. Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por lo que mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo ⋅ Ancho Área = (Lado) 2

Entonces; aplicamos la fórmula:

Área = 2777 )()()( +=+⋅+ xxx

Ancho Largo

4−y

4−y

7+x

7+x

82

Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría:

(X + 7) . (X + 7) = X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72

Luego: Área = 27)( +x

Desarrollamos esta potencia de la siguiente manera:

222 7727 )()()()( +⋅⋅+=+ xxx

Ejemplo 2: Vamos a desarrollar el Producto Notable: 25 )( y+

222 5255 )()()()( yyy +⋅⋅+=+

Simplificando queda: 22 10255 yyy ++=+ )(


20- (x + 7)2 21- (3X/2 + 4/9) 2 22- ( a/5 + 5) 2

23- (x2 + 3) 2 24- (xy + xz) 2 25- (Xa+1 + 1) 2

26- (a2 b + ac) 2 27- (2xy + y2 ) 2

28- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que

para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos.

Primer Término

Segundo Término

Primer Término

Segundo Término

Doble

El resultado es un polinomio de tres términos: “EL primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”

Simplificando el resultado, tenemos que:

49147 22 ++=+ xxx )( De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:

Área = 49142 ++ xx

Cuadrado del 1er

Término

El Doble del producto: del 1er término por el 2do

término

Cuadrado del 2do

Término

83

7+x

5−x

Ejemplo 3:

222 3323 )()()()( −+−⋅⋅+=− xxx

Simplificando:

963 22 +−=− xxx )(


29- (X - 5)2 30- (2X/3 - 1/5) 2 31- (a/3 - 3) 2

32- (X2 - 2) 2 33- (Xa-1 - 1) 2 34- (2xy - x2 ) 2

35- Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2?

36- Calcula los productos: a) (–x – a) 2

b) (x + a) 2 ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por qué?

37- Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se compraron?

38- ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x – a) 2

b) x2 - a2

Después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?

EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Ejemplo 4: Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos:

Se necesita conocer el área de la región.

Sabemos que el área de un rectángulo se calcula

multiplicando lo que mide de largo por el ancho.

Entonces: Área = )()( 57 −⋅+ xx

Primer Término

Segundo Término

Primer Término

Segundo Término

Doble

Ancho Largo

El cuadrado de una diferencia es igual a: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

84

Desarrollamos este producto de la siguiente manera:

[ ] )()()()( 575757 2 −⋅+−+⋅+=−⋅+ xxxx

De esta manera se obtiene el área de la región rectangular:

Área = 3522 −+ xx

Ejemplo 5: Desarrolla el producto: )()( 2393 +⋅− xx

2929332393 2 ⋅−++−⋅+=+⋅− )()()()()()( xxxx

Simplificando cada término:

22 9333 xxxx =⋅= )()()(

xxx 21)7()3()29()3( −=−⋅=+−⋅

182)9( −=⋅−

Luego:

182192393 2 −−=+⋅− xxxx )()( El producto de los términos no comunes

Producto del término común con la suma de los no comunes

El cuadrado del término común


39- (x2 + 6) . (x2 – 2) 40- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)

41- (y – 3/5) . (y + 4) 42- (2x - 7) . (2x +2)

43- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b?

44- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de: a) (x + 3) por

Término Común

Términos no comunes

Término común

Suma de términos no

comunes

Producto de términos no

comunes

El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica de los términos no comunes más el producto de los términos no comunes”.

Simplificando el resultado, queda: )()()()( 35257 2 −+⋅+=−⋅+ xxxx

3522 −+= xx

Trinomio

Término Común

Términos no comunes

85

6+x

6−x

b) (x - 1) es igual a cero? 45- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm. y en el otro se le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura? 46- Calcula el área del siguiente rectángulo:

LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA:

Ejemplo 6: Se conocen las dimensiones de una región rectangular:

Largo = 6+x y Ancho = 6−x

Tenemos que calcular el área respectiva: Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la Fórmula: Área = Largo x Ancho. o Área = base x Altura

Entonces, Área = )()( 66 −⋅+ xx

Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:

22 )6()()6()6( −=−⋅+ xxx


47- (y – 3/5) . (y + 3/5) .48- (x2 + 6) . (x2 – 6) 49- (a3 + 1/5) . (a3 – 1/5)

50- (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7) 51- (2x - 7) . (2x +7)

52- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en el otro se le resta 5

m ¿cuál será el área de la figura que se originó?

53- Calcula el área de la figura sombreada:

EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS:

Ejemplo 7: Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus

dimensiones:

Suma Diferencia 1er Término al cuadrado

2do Término al cuadrado

El resultado de este producto notable es un binomio: “El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”

Simplificando el resultado:

362 −x Luego: El área de la región rectangular es:

22 6−x

x

a

x

b

x

a x

a

86

Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5

Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula:

Volumen = Largo x Ancho x Alto

Como las tres medidas son iguales entonces

Volumen = (Lado)3

Entonces: Volumen = )())( 555 +⋅+(⋅+ xxx

Por Ley de Potenciación: 35555 )()())( +=+⋅+(⋅+ xxxx

Luego:

Volumen = 35)( +x

Para desarrollar esta potencia procedemos así: 35)( +x = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como ya sabemos calcular el cuadrado

de una suma, tenemos que: 35)( +x = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)

35)( +x = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación de polinomios

35)( +x = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 y esto por agrupación de términos semejantes

35)( +x = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53

32233 )5()5()(35)(3))5( +⋅⋅+⋅⋅+(=+ xxxx

Luego; simplificando cada término:

33)( xx = , 22 1553 xx ⋅=⋅⋅ )()(

1255555 3 =⋅⋅=)( , xxx 7525353 2 =⋅⋅=⋅⋅ )()(

5+x

5+x

Triple

Primer Término

Segundo Término

Primer Término

Segundo Término

El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.

87

De esta manera tenemos que:

12575155 233 +++=+ xxxx )(

Ejemplo 8: Desarrollar el producto notable: 312 )( +x

Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:

El cubo del primer término (2x) 3

El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término

3 . (2x) 2 . 1

El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo

3 . 2x . 13

El cubo del segundo término 13

Sumando estos términos 32233 1123123212 )()()()()()()( +⋅⋅+⋅⋅+=+ xxxx

Simplificando cada término del resultado

)()()()( xxxx 2222 3 ⋅⋅=

38x=

143123 22 ⋅⋅=⋅⋅ xx )()(

212x=

123123 2 ⋅⋅=⋅⋅ xx )()(

212x=

x6=

1111)1( 3 =⋅⋅= Luego, el polinomio se reduce a:

1612812 33 +++=+ xxxx )(


54- (x + 3)3 55- (3X/2 + 4/5) 3 56- ( y/3 + 3) 3

57- (x2 + 5) 3 58- (xy + xz) 3 59- (a2 b + ac) 3

60- (2xy + y2 ) 3

61- Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su

arista en x unidades?

88

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.

Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos. Veamos esto en un ejemplo:

Ejemplo 9: Desarrolla el producto notable: 3)2( −y

En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.


62 (X – 1/2)3 63- (2X/3 - 1/5) 3 64- (a/3 - 3) 3

65- (X2 - 5) 3 66- (xy - xz) 3 67- (2xy - x2 ) 2

68- Compara los siguientes cubos a) (x - p) 3

b) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?

69- Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase?

70- Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ?

71- Simplifica las siguientes operaciones:

a) =−⋅+−+⋅ )()()( 1414123 2 xxx c) =−−+⋅ 33 6132 )()( xx

b) [ ]=−⋅−−⋅+⋅ 294117372 )()()( xxx

72- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia.

Simplificando cada término en el resultado: * 33)( yy =

* 22 623 yy −=⋅⋅ )()(

* )()()( 4323 2 ⋅=−⋅⋅ yy = y12

* )2()2()2()2( 3 −⋅−⋅−=− 8−=

Luego simplificando cada término, el polinomio resultante es:

8126)2( 233 −+−=− yyyy

Primer Término

Segundo Término

32233 )2()2()(3)2()3)()2( −+−⋅⋅+−⋅(⋅+=− yyyy

89

LECTURA Nº 10: LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA DE SIMPLIFICACIÓN


Santamaría, J. (2006). La factorización como herramienta de simplificación. Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

La factorización, es el procedimiento contrario al producto notable, consiste en transformar una expresión algebraica en un producto o multiplicación. Cuando un número o cualquier otra expresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es un número primo.

En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la factorización, como herramienta para simplificar y resolver los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez.

Por ejemplo:

Aritméticamente:

535

41

5333

353

433

159

315

123

−+=⋅⋅

−⋅

+⋅

=−+

535

41

5333

353

433

159

315

123

−+=⋅⋅

−⋅

+⋅

=−+

En el álgebra:

)5)(5()5(

)2)(2(2

255

442

2

2

2 −+−

+++

+=

−−

+++

+xx

xxxx

xx

xxxx

x

)5()2(

1+

++

=x

xx

Cada fracción algebraica está compuesta por expresiones llamadas polinomios, que para factorizarlos se deben tomar en cuenta algunas reglas, un ejemplo de ello es la expresión

"44" 2 ++ xx , que representa un trinomio de cuadrado perfecto. Para factorizar este tipo de expresión primero se debe estar familiarizado con ella, pues existen muchos casos de factorización para ciertos tipos de polinomios.

Observa que hay una suma de fracciones;

tanto en el numerador como en el

denominador de cada fracción, se hizo

una descomposición en factores con

aquellos números que no son primos,

ejemplo: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5 y 9 = 3 · 3

Luego se cancelaron aquellos factores

iguales en el numerador y denominador de

cada fracción, simplificándose cada término.

Aquí tenemos otra suma de fracciones, pero no es aritmética como la anterior. Se hizo una descomposición en factores en el numerador y denominador de cada fracción. La expresión "2" +x no se pudo descomponer por ser un polinomio primo. Luego, se simplificó cada fracción cancelando factores iguales en el numerador y denominador .

90

LECTURA Nº 11: ¿CÓMO COMPLETAR CUADRADOS?


Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemática de Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p. 149). Caracas, Venezuela.

Los primero que utilizaron métodos geométricos para buscar la solución a muchos de los problemas que hoy se resuelven mediante la simbología algebraica, fueron los gringos y luego los árabes. Por ejemplo, Mohammed al-Khowarizmi propuso, hacia el año 825, un método geométrico para obtener una solución positiva de una ecuación cuadrática.

De acuerdo con lo que él propuso, para resolver la ecuación 3382 =+ xx , se siguen los siguientes pasos:

Suponemos que xx 82 + es una suma de áreas, la cual nos da 33 unidades cuadradas,

observemos el gráfico:

Luego, Entonces, al construir cuatro rectángulos, se forma un área entre todos ellos que está representada por: El área total de los rectángulos, más el área del cuadrado resulta

Entonces, entre los cuatro cuadritos se tiene un área igual a 4 · 4 = 16 unidades cuadradas, lo que indica que el cuadrado mayor tiene un área de: 33 + 16 = 49 Luego,

El cuadrado tiene lados de medidas x unidades, para hallar su área multiplicamos lo que mide de ancho por lo que mide de largo. Así: Largo . ancho = x . x = x2

xx

xx

xx

2

22

2

Observa que se han construido rectángulos a cada lado del cuadrado, cuyos lados miden “x” y “2” unidades, respectivamente (esta medida “2” se obtiene de dividir “8”, que es el coeficiente del término lineal 8x, entre el número de rectángulos). Al calcular el área de uno de estos rectángulos resulta: Largo . Ancho = 2 . x

xxxxx 82222 =+++

3382 =+ xxAhora, se construyen cuadrados pequeños en cada esquina de la figura para completar el cuadrado mayor. Como podrás darte cuenta, cada cuadrito tiene lado igual a 2 unidades, siendo el área 2 · 2 = 4 unidades cuadradas.

2

22

2

91

Tenemos un cuadrado cuyos lados miden (2 + x + 2) = x + 4 por lo que el área sería: Largo . ancho = (x + 4).(x + 4) = (x + 4)2 Pero ya se conoce el área total que es 49 unidades cuadradas Entonces:

(x + 4)2 = 49 donde despejando el cuadrado nos queda: 494 =+x

x + 4 = 7 x = 7 – 4 x = 3

En conclusión, si volvemos al problema original, el área del cuadrado de lado x es igual a: 3 . 3 = 9 unidades cuadradas

LECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN


Ochoa, A. (2007). Métodos de Factorización. Unefa. Artículo no publicado (pp.1-6). Caracas. Venezuela.

La operación de descomponer en factores los productos notables, también se llama “Factorización”. Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables.

Para factorizar polinomios existen varios métodos:

FACTOR COMÚN

Consiste en transformar la expresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la expresión original entre el factor común.

Ejemplo 1: 12x + 3

3.43 +⋅ x Descomponemos el número 12 en dos factores y observamos que el 3 es común en los dos términos.

( ) =+ 3.4.333 x

Multiplicamos y dividimos toda la expresión por el factor común

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

33

3.4.3.3 x

Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común

( ) =+14.3 x Esta es la expresión ya factorizada

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.

x

x

2

22

2

xx

92

Ejemplo 2: Factorizar el polinomio xxx 181236 32 +−

xxx 183612 23 ++−

Ordenamos y calculamos el máximo común divisor entre los coeficientes de cada término, mcd(36,12,18) = 6

xxx 183612 23 ++−

Como la variable x es común en los tres términos, multiplicamos el mcd por la x elevada a la menor potencia que aparezca. En este caso es elevada a la 1 (6x)

( )xxxxx 183612.

66 23 ++−

Multiplicamos y dividimos toda la expresión por este factor común

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

xx

xx

xxx

618

636

612.6

23

Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común

( )362.6 2 ++− xxx

Resolviendo cada cociente: - Se dividen los coeficientes, y - Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base (se

copia la base y se restan los exponentes) y así se obtiene la expresión factorizada por factor común

Ahora extraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos.

Ejemplo 3: Factorizar yxxyx 8463 2 −+−

( ) ( )yxxyx 8463 2 −+− Formamos dos grupos considerando que los dos

primeros términos son divisibles entre 3x y los dos últimos entre 4

( ) ( )yxxyxxx 84

4463

33 2 −+−

Multiplicamos y dividimos las dos expresiones por estos factores comunes

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

48

444

36

333

2 yxxxy

xxx

Simplificando

( ) ( )yxyxx 242.3 −+− Observa que surgió un nuevo factor común entre los dos términos.

( )( ) ( ) ( )[ ]yxyxx

yxyx 242.3

22

−+−−−

Se procede a multiplicar y dividir por el nuevo factor común

( ) ( )( )

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−

−yxyx

yxyxxyx

224

22.32

Simplificando

( )( )432 +− xyx Obtenemos la expresión ya factorizada

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso se basa en la fórmula:

a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

Ejemplo 4: Factorizar x2 – 9 222 39 −=− xx Expresamos todos los términos en cuadrados

( )( )3.392 −+=− xxx Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable y como

( )( ) 22. bababa −=−+

93

Ejemplo 5: Factorizar x4 – 16

( ) 2224 416 −=− xx Expresamos todos los términos en cuadrados

( )( )4.416 224 −+=− xxx Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable:

( )( ) 22. bababa −=−+ ( )( )( )2.2.416 24 −++=− xxxx Como el segundo factor también es una diferencia de

cuadrados, se procede a factorizarlo: 222 24 −=− xx

TRINOMIO

Se pueden conseguir tres casos:

Trinomio de la forma x2 + ax + b:

La fórmula general viene dada por:

x2 + ax + b y al factorizarlo queda expresada como

(x + n).(x + m) donde n.m = b y n + m = a

Ejemplo 6: 1272 +− xx

- 3 - 4 = - 7 (-3).(-4) = 12

Buscamos dos cantidades, tales que su

producto sea 12, éstas deben tener el mismo

signo para que el producto sea positivo, y

para que la suma sea -7, deben ser los dos

negativos.

( ) ( )4).(343127 22 −−+−−+=+− xxxx Se sustituyen los coeficientes, una por una

adición y la otra por una multiplicación.

( )( )4.324102 −−=++ xxxx Aplicando la fórmula general.

Ejemplo 7: : 1272 +− xx

6 + 4 = 10 6 . 4 = 24

Buscamos dos cantidades, tales que la suma sea 10

y su producto sea 24.

( ) ( )4.6462410 22 +++=++ xxxx Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y

la otra por una multiplicación.

( )( )4.624102 ++=++ xxxx Aplicando la fórmula general.

Ejemplo 8: 100152 −+ xx

20 + (-5) = 15 20 . (-5) = -100

Buscamos dos cantidades tales que la suma sea 15 y su producto sea -100. Para que el producto sea negativo deben tener signos diferentes.

( )( ) ( )( )5.205202410 22 −+−++=++ xxxx Se sustituyen los coeficientes, uno por una adición y el otro por una multiplicación.

( )( )5.2024102 −+=++ xxxx Aplicando la fórmula general

94

3.2 Trinomio cuadrado perfecto

Se basa en las siguientes fórmulas:

( ) 222 2 bababa ++=+ y ( ) 222 2 bababa +−=−

Analizamos el procedimiento mediante el ejemplo Nº 9:

xx 10252 ++ 25102 ++ xx

X2 ya está en forma de cuadrado 25 = 52

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

( )5.210 xx = También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

( )22 52510 +=++ xxx Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlo según la fórmula.

Ejemplo 9: : =+− 9124 2 xx

=+− 9124 2 xx ( )22 24 xx =

( )239 −=

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

( )( )3.2.212 −=− xx También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

( ) ( )( ) 222 33.2.229124 +−+=+− xxxx Expresamos el trinomio en cuadrados y productos.

( )22 329124 −=+− xxx Factorizamos aplicando la fórmula.

Trinomio de segundo grado ( cbxax ++2 )

Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores.

En este caso, se procede de la siguiente manera:

02 =++ cbxax Se iguala toda la expresión a cero (0).

aacbbx

242 −±−

= Se calculan los dos valores de x, utilizando la ecuación cuadrática.

( )( )212 . xxxxacbxax −−=++ Se aplica la fórmula general.

Ejemplo 10:

Factorizar el polinomio 352 2 −+ xx

95

0352 2 =−+ xx

a = 2 b = 5 c = -3 Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c.

( )2.2

3.2.455 2 −−±−=x

Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática

2.224255 +±−

=x

2.2495 ±−

=x

Resolvemos lo que está dentro de la raíz: 52 = 25 -4 . 2 . (-3) = -8 . (-3) = + 24

475 ±−

=x

Extraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto.

21

42

475

1 ==+−

=x

3412

475

2 −=−

=−−

=x

Obtenemos dos valores de la x uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos:

21

1 =x 32 −=x

( )3.212352 2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−+ xxxx

Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que x-(-3) = x + 3

Regla de Ruffini

Se aplica para cualquier polinomio que tiene raíces enteras; es decir, encontrar valores de x (números enteros) que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Por ejemplo, si un polinomio de cuarto grado edxcxbxax ++++ 234 , tiene cuatro raíces enteras, 1x , 2x , 3x y 4x se factoriza así:

( )( )( )( )4321234 xxxxxxxxaedxcxbxax −−−−=++++

Pero ¿cómo se aplica la regla de Ruffini para obtener las raíces?

Ejemplo Nº 12: Factorizar 12164 234 −+−− xxxx

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, (en este caso de 12,) o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

96

Probemos con uno (1)

12164 234 −+−− xxxx 1 -4 -1 16 -12 Se copian los coeficientes del polinomio.

1 Escribimos el número seleccionado a la

derecha (a este lo llamaremos raíz).

1 Se copia el primer coeficiente debajo de él mismo.

1 -4 -1 16 -12

1 1 1 -3

Se multiplica la raíz por el primer coeficiente que se bajó y el producto se copia en la segunda fila debajo del segundo coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 1 -3 -4

Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia en la segunda fila debajo del tercer coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 1 -3 -4 12

Se vuelve a multiplicar y sumar el producto con el siguiente coeficiente.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12 1 -3 -4 12 0

Se efectúa el último producto y la última suma. Como el resultado final es cero (o), esto nos indica que el 1 sí es una raíz del polinomio y nos sirve para factorizar.

(x – 1) . ( 1243 23 +−− xxx ) Hasta ahora tenemos un producto como se observa al utilizar los nuevos coeficientes obtenidos.

Si el resultado hubiese sido distinto de cero, habría que seguir probando los demás divisores de 12.

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado debemos intentar seguir factorizándolo.

Probando ahora por 2 y aplicando otra vez la regla queda:

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

Así hemos conseguido la segunda raíz, por lo que el polinomio va quedando factorizado de la siguiente manera:

97

( )( )( )6.2.1 2 −−−− xxxx

Ahora seguimos aplicando la regla para encontrar las otras raíces.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

-2 -2 6

1 -3 0

La nueva raíz en -2 y el último cociente se toma con la raíz -3

La factorización final es:

12164 234 −+−− xxxx = ( )( )( )( )3221 −+−− xxxx

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

RESUMIENDO:

Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, es decir, en primer lugar se puede extraer el factor común, y luego se pueden seguir aplicando otros de los métodos.


Factoriza:

73- 322 ++ xx 74- xaxax 222 −+−

75- xx 483 5 − 76- 9124 612 ++ xx

77- 304112 23 −+− xxx 78- 133 22 −+− mxxm

79- 18153 2 ++ xx 80- 3333 23 +++ xxx

81- 934

22 yxyx++ 82-

9100

42 ba−

Calcula el valor de k en:

83- ( ) ( ) 352562 34 =−−+−−= PsikxxxxP

84- ( ) 1252112

418 24 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−= PsikxxxxP

98

85- Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la fórmula: xxxV 65 23 ++= . ¿Cuáles

podrían ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)?

86- ¿Para qué valor de n se cumple que ( )12 −=− xxxxn ?

87- ¿De cuántas maneras podemos factorizar el número 64?

99

UNIDAD 3 UNIDADES DE MEDIDAS Y GEOMETRÍA

LECTURA N° 13: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDAS


Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. México. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40).

A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que han permitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en fin múltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies para medir distancias; en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del dedo pulgar el cual ellos llamaban “uncía”.

Las longitudes muy largas las medían con pasos. Un paso comprendía dos etapas, una con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor prolongación utilizaban las “millas”, una milla era equivalente a 1000 pasos, de allí la palabra milla que proviene del latín “mille” que significa “mil”. Las millas, yardas, pies y pulgadas son medidas del sistema imperial de medición, es curioso mencionar que el rey Enrique I (1068-1135) creó una medida que sirviera a todos, era la distancia desde su nariz hasta su pulgar y lo llamó “yarda”.

En nuestros días, una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamada metro, que es mucho más extenso que una yarda. La unidad metro, tanto en España como en Venezuela y en otros países del mundo, miden lo mismo. El Sistema Internacional de Medidas (S.I.M.) utiliza el kilómetro para distancias largas, el centímetro y el milímetro para distancias mucho más pequeñas. A continuación, podemos observar algunas referencias antiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas:

Romano Métrico Imperial 1 milla = 1000 pasos 1 kilómetro = 1000 metros 1 milla = 1760 yardas 1 paso = 5 pies 1 metro = 100 centímetros 1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 uncías 1 centímetro = 10 milímetros 1 pie = 12 pulgadas

100

LECTURA Nº 14: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Tomado con fines instruccionales de:

Santamaría, J (2007). El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes.

En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó, de acuerdo a lineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticos Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación sencilla, que culminó el 19 de marzo de 1791, con la definición del Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Los franceses, Pelambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por Paris, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona.

A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4º C.

El Sistema Métrico Decimal es un Sistema, porque comprende un conjunto de medidas relacionadas entre sí, es métrico porque su unidad fundamental es el metro y es decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10.

Tanto en las medidas de longitud como en las demás, se utilizan múltiplos y submúltiplos a partir de la unidad. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: “deci” para diez; “centi” para cien; “mili” para mil y así sucesivamente. Mientras que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: “deca” para diez; “hecto” para cien; “kilo para mil, etc.

Para transformar medidas de longitud de una magnitud a otra, vamos a utilizar la siguiente estrategia:

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Transformar: 35,328 Km a m

Kilómetro (Km.)

Hectómetro (Hm.)

Decámetro (Dm.)

Metro (m.)

Decímetro (dm.)

Centímetro (cm.)

Milímetro (mm.)

Se divide entre 10 por cada escalón que subes

Se multiplica por 10 por cada escalón que bajes

101

Si verificamos la escalera anterior, para pasar de kilómetros a metros, tenemos que bajar tres escalones. Entonces, según el procedimiento debemos multiplicar por 10, por 10 y por 10. Es decir:

( ) ( )( )310.328,3510.10.10.328,35 =

Por lo tanto, ( ) 0353281032835 3 ,., =

Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 310 , la coma se corrió a la derecha tres espacios, esto hace que la cantidad quede sin decimales:

( ) 3532810.328,35 3 =

∴ 328,35 Km. son 35328 metros.

Ejemplo 2: Transformar: 21307 mm a Dm.

Si verificamos la escalera anterior, para pasar de milímetros a decámetros, tenemos que subir cuatro escalones. Entonces, según el procedimiento, debemos dividir entre 10, entre 10, entre 10 y entre 10. Es decir:

410307.21

10.10.10.1021307

=

Si la cantidad es un número entero, la coma se omite, pero podemos agregarle la coma para indicar que tiene cero (0) decimales, así: 0,21307

Luego: 13070,210

0,213074 =

Observa que la coma se corrió hacia la izquierda cuatro espacios, de acuerdo al exponente de la potencia de base 10.

Por lo tanto: 21307 mm son 1307,2 Decámetros.

Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de conversión de medidas:

1. 1,3584 dm a Dm 2. 435,1 Km a cm

3. 000153,0 Hm a mm 4. 003,58973 cm a Hm

5. 3 dm a m 6. 1m a Dm

Recuerda, cuando se multiplica una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia.

Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potencia de base 10, se corre la coma hacia la izquierda, tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia.

102

Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal, se justifican por lo siguiente: Imagínate que un sastre desea cortar cantidades de mangas para camisas, es de suponer que necesitará convertir los centímetros en metros para determinar cuantas mangas puede cortar de cada metro de tela.

Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional, sus actividades o recorridos son en grandes distancias, estas cantidades bastaría expresarlas en Kilómetros y no en centímetros; pues no es que no se pueda, pero no sería lo adecuado.

El sistema de medidas de superficie es el mismo que el utilizado en las longitudes, a diferencia de que aquí se expresan en unidades cuadradas. Por ejemplo, para expresar el área de un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados (Km2). Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones.

Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento de la escalera; pero debes tener cuidado, pues las medidas aumentan o disminuyen en potencias de 100, es decir 102.

Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad, cuyas medidas nos dan a conocer el volumen de un cuerpo. Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones, por tal motivo, al hablar del volumen de una caja, de un tanque, entre otros; se puede representar en centímetros cúbicos, metros cúbicos, etc.

Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen en potencias de 1000, es decir, 103.

Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y de capacidad.

Ejemplo 3: Transformar 12 m2 a cm2

Según la escalera, para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos escalones, entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100, y por 100, es decir:

Km2

Hm2

Dm2

m2

dm2

cm2

mm2

Multiplicas por 102 por cada escalón que bajes

Km3

Hm3

Dm3

m3

dm3

cm3

mm3

Divides por 102 por cada escalón que subas

Multiplicas por 103 por cada escalón que bajes

Divides por 103 por cada escalón que subas

Escalera para transformar medidas de superficie.

Escalera para transformar medidas de capacidad

103

( ) ( ) 22 10.10.12100.100.12 =

( ) ( ) 422 10.1210.10.12 =

( ) 12000010.12 4 =

Por lo tanto:

12 m2 a cm2 = 120000 cm2

Ejemplo 4: Transformar: 3,5 cm3 a m3

De acuerdo a la escalera, para pasar de centímetros a metros hay que subir dos escalones, por lo tanto se debe dividir entre 1000, y entre 1000, esto es;

633 105,3

10.105,3

1000.10005,3

==

Entonces;

0000035,010

5,36 =

En conclusión:

3,5 cm3 a m3 = 0,0000035 m3

Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tus habilidades:

Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas planteados:

7. 5,823 Dm3 a cm3 8. 0,0045 m3 a Km3

9. 8 dm2 a mm2 10.

51

m2 a Hm2

11. 100

1Km3 a Dm3 12.

10001

Hm2 a cm2

13. 83

mm3 a Km3

14. Un maratonista, para su entrenamiento, realiza durante cinco días los siguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dm, el segundo día 122 Hm; en el tercer día 14 Km, en el cuarto 15420 m, y para el último día recorre 1.800.000 cm. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días?

Según el procedimiento, cuando se divide entre una potencia de base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacios lo indique el exponente de la potencia.

104

15. Calcula la diferencia que existe entre un recipiente, cuya capacidad es de 54 m3 y otro de 44.100.000 cm3

Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro cúbico (m3), pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de los cuerpos como lo es el litro (l) que se relaciona con la unidad anterior, ya que 1 decímetro cúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C.

Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen, por ejemplo:

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros

1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro

100 cm3 = 100 militros

1cm3 = mililitro

Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana; en varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchos productos: perfumes, cosméticos, medicinas, entre otros, expresan las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de flido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 ml); 4,2 fl oz (125 ml), tal cual como se lee en las etiquetas de esos productos. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz?

Realiza las siguientes conversiones:

16. 3240 ml a m3 17. 53 dm3 a ml

105

LECTURA N° 15: FIGURAS POLIGONALES


Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Caracas Editorial Santillana, S.A. (p.149).

Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Fíjate en el siguiente polígono:

• Los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA se denominan lados.

• El vértice de un polígono, es el punto de intersección de dos segmentos o lados. Dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Los vértices se denotan así: vértice A, vértice B, etc. Este polígono tiene 7 vértices.

• El ángulo interno de un polígono, es la abertura formada por dos lados en un vértice. Los ángulos denotan así: BEC∠ , ABC∠ , FEB∠ , FED∠ , EBC∠ , EBA∠ , etc. Hay muchos ángulos en este polígono.

• La diagonal de un polígono, es el segmento de recta que une dos vértices que no pertenecen a un mismo lado. Tenemos la diagonal BE, y podemos trazar en este mismo polígono, diagonales entre los vértices: A y C, A y D, A y E, A y F, B y D, B y F entre otros.

• El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de cada lado. El perímetro de este polígono es igual a: GAFGEFDECDBCABP ++++++= .

Se habla de polígonos convexos y polígonos cóncavos. Un polígono es convexo, si cada uno de sus ángulos interiores es menor de 180º. Es cóncavo si uno de sus ángulos es mayor de 180º.

Polígono Cóncavo Polígono Convexo

Plano

106

Clasificación de los polígonos

Los polígonos se clasifican según sus lados en:

Número de lados Nombre del polígono

3 Triángulos

4 Cuadriláteros

5 Pentágonos

6 Hexágonos

7 Heptágonos

8 Octágonos

9 Eneágonos

10 Decágonos

11 Undecágonos

12 Dodecágonos

Un polígono es regular, cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos también son iguales.

La apotema de un polígono regular, es el segmento de recta que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados.

107

LECTURA N° 16: LOS TRIÁNGULOS, LOS CUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS


Fundación Polar. Matemática para todos. [Consulta en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. (Consulta: 2007, enero 12).

LOS TRIÁNGULOS

El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la industria, en efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas, y también en muchos edificios.

El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En este caso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir, CAB, ABC y BCA.

El símbolo Δ representa la palabra triángulo. AsíΔ ABC significa el triángulo ABC.

Clasificación de los triángulos

Según sus ángulos:

Según sus lados:

∠∠ ∠

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (miden más de 90º)

Acutángulo: Tiene tres ángulos agudos (miden menos de 90º)

Rectángulo: Tiene un ángulo recto (mide 90º)

Equilátero: Tiene tres lados miden igual

Isósceles: Tiene dos lados que miden igual

Escaleno: Todos sus lados miden distinto.

108

Otros elementos de los triángulos

Alturas: Segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto

Bisectrices: Semirrecta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales

Medianas: Segmento desde cada vértice al punto medio del lado opuesto

Mediatrices: Recta perpendicular a cada lado en su punto medio

Ortocentro: Punto de intersección de las alturas

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices y centro del círculo inscrito en el triángulo

Baricentro o Centro de gravedad: Punto de intersección de las medianas

Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices y centro del círculo circunscrito al triángulo

LOS CUADRILÁTEROS:

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, se caracterizan por tener cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y dos diagonales. Observa las figuras:

En el cuadrilátero convexo se muestra que:

- Los lados son los segmentos: AB, BC, CD, DA.

- Los vértices, son cada punto de encuentro de los lados: A, B, C y D.

- Los ángulos internos, son cada abertura entre dos lados consecutivos, son: *∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA. (Observa las tres letras, la que está en el medio es de donde surge el ángulo)

A B

D C

Vértice Lado

Diagonales

Ángulo exterior

Ángulo interior

A

B D

C

Cuadrilátero

Cuadrilátero Cóncavo

α

* El signo “∠ ” se lee ángulo

109

- Las diagonales, son cada segmento que une dos vértices opuestos, son: AC, BD.

- La letra griega “α ” se lee Alfa y denota un ángulo exterior.

A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área.

- El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados:

Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA.

Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos ángulos es de 180º. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales, por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se obtiene 360º.

La suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero:

ABCD: º360=∠+∠+∠+∠ CDABCDABCDAB

O también:

º360=+++ σδβα

Clasificación de los Cuadriláteros:

CUADRILÁTEROS FIGURA Y DIAGONALES

Rectángulos

Cuadrado Paralelogramos

Rombo

Romboide Trapecio Rectangular

Letras griegas: α se lee Alfa β se lee Beta δ se lee Delta σ se lee Sigma

A B

D C

A B

A B

D C

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C δ

α

σ

β

110

Trapecios Trapecio Isósceles Trapecio Escaleno

Trapezoides

Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura.

18. Cuadrado de lado 2/3m. 19. Un rectángulo formado con las unión de dos cuadrados de lado 8 m.

20.

21. Un rombo formado por la unión de dos triángulos equiláteros de lado x/2

A B

D C A B

D C

A B

D C

10 m

22 m

6 m

7 m Triángulo isosceles

111

LECTURA N° 17: LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS


Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. [Artículo no publicado]. UNEFA, Tinaquillo, Estado Cojedes.

La circunferencia, es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio.

Elementos de una circunferencia:

La distancia del centro al punto R o segmento OR es un radio de la circunferencia.

La distancia del punto P al punto Q o segmento PQ es un diámetro de la circunferencia. Un diámetro equivale a dos veces el radio.

La distancia del punto A al punto B o segmento AB es una cuerda de la circunferencia.

La recta “s” que toca dos puntos, el punto M y el punto N, de la circunferencia es una recta secante a la circunferencia.

La recta “t” que toca un solo punto, el punto P, de la circunferencia es una recta tangente a la circunferencia.

El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de ella, entre el punto A y el punto B, por ejemplo, se le llama arco de la circunferencia. El arco de extremos A y B se denota arco. (Fig. 2)

Los puntos A, O y B describen un ángulo central a la circunferencia, y se denota AOB∠ .

El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los interiores a ella conforman una superficie llamada círculo.

La región comprendida entre los puntos A, B y O, o mejor dicho, todos los puntos interiores al ángulo AOB∠ representa un sector circular de dicho círculo.

Fig. 1

Fig. 2

112

Fig. 3

A una circunferencia es imposible calcularle el área, pues sólo representa una

línea cerrada que limita al círculo, a la circunferencia se le puede calcular la

longitud y al círculo se le calcula el área. La fórmula para hallar la longitud de

una circunferencia es: rL 2⋅= π , siendo 14,3≈π y r = radio de la

circunferencia y para determinar la longitud un ángulo central se utiliza: º180

ºnrL ⋅⋅=π

.

Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: 2rA ⋅= π .

Y para calcular el área de un sector circular se usa: º360

º2 nrA ⋅⋅=π

, donde “ 0n ” representa la

amplitud del ángulo.

El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus radios. Cada

ángulo central determina una cuerda y un arco, y a la vez cada cuerda determina un arco y un

ángulo central, y un arco determina un ángulo y una cuerda. Observen la Fig. 3, allí se describe

en el ángulo central DOE∠ , el arco y la cuerda DE. La medida de amplitud de un arco de

una circunferencia se representa en grados (º), y la de un ángulo central de la misma manera,

ya habíamos dicho que un ángulo central determina un arco y viceversa, esto indica que las

medidas en grados para ambos son iguales. Es decir, si un arco mide 60º, su ángulo central

mide 60º.

Ejercicios :

22. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km?

23. ¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º?

24. Determina el área de un sector circular, si su ángulo central es de 22º.

25. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros.

26. En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud?

27. La longitud del arco de una circunferencia es de π31

, calcula la medida de su ángulo

central.

28. Hallar el diámetro de un círculo, sabiendo que su área es igual a 100π.

113

Figura 7

LECTURA N° 18: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS


Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. UNEFA, Tranquillo, Estado Cojedes.

En la geometría plana, se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen una o dos dimensiones; y sólo se pueden representar en una superficie plana, como la circunferencia, el círculo, el triángulo, los cuadriláteros y demás polígonos.

La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas, cuerpos y objetos que tienen tres dimensiones. Estas formas se encuentran en el mundo real, sea de manera artificial, construidas por el hombre, como por ejemplo: edificaciones, herramientas, envases, entre otros y la que pertenecen a la naturaleza, como: árboles, montañas, roca, planetas, animales, seres humanos.

CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS La esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva, carece de vértices y su volumen se calcula

mediante la fórmula: 3.34 rV π=

Si hacemos un corte a una esfera hueca con un plano obtenemos una circunferencia. Observa la siguiente figura:

Si la esfera es sólida como una bola, al realizar el corte obtendríamos el círculo.

Circunferencia máxima

La distancia de C a P es el Radio

P

Circunferencia Plano

C r

114

El Cilindro: es un cuerpo mixto; es decir, tiene superficie plana y superficie curva. El cilindro consta de dos caras circulares, donde cualquiera de ellas pueden servir de base, y de una determinada altura. Su volumen se halla mediante la fórmula.

V = Área de la base x Altura.

El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. A diferencia del cilindro, el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. El volumen de un cono se calcula mediante la fórmula:

3).(. 2 AlturarV π

=

Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la naturaleza tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un número finito de superficies planas. Estas superficies planas son polígonos que reciben el nombre de caras del poliedro. La intersección de dos caras forman una arista y el punto de intersección de tres o más caras es un vértice.

Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas.

Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo; el número de triángulos o caras laterales de una pirámide, depende del número de lados de la base. Éstas pueden ser de base triangular, cuadrada, pentagonal, etc. Los triángulos que conforman las

Base

Si hacemos un corte al cilindro con un plano paralelo a la base, se obtiene un círculo. Si el corte se hace perpendicular a la base, se obtendría un rectángulo.

Si hacemos un corte con un plano paralelo a la base del cono se obtiene un círculo.

Base

Eje

Vértice

Base Eje

115

caras de la pirámide convergen en un punto, es decir, tienen un punto en común; este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide.

Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales, la característica más sobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadas bases del prisma. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de sus bases.

Los prismas, cuyas caras laterales son rectángulos, son llamados prismas rectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos.

Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos.

Veamos algunos prismas:

Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas geométricas, por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo observas detalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Si comparamos los perímetros entre el triangulo equilátero, el cuadrado y hexágono regular, el de este último es menor, para un área establecida. Esto significa, que para la construcción de los panales de abejas en forma de prisma hexagonal, se usa menos cera.

Base cuadrada

Vértice

Cara

Arista

Pirámide Hexagonal

Vértice

Cara lateral

Base cuadrada

Arista

Bases Triangulares

Prisma Triangular

Pirámide cuadrada

116

LECTURA Nº 19: EL NÚMERO PI (π ) Y EL CÁLCULO DE ÁREAS


Fundación Polar. El número pí (π ) y el cálculo de áreas. Artículo en línea disponible en: http://www.fpolar.org.ve/matemática. [Consulta en línea], de fecha 2007, enero 12.

El número π (Pi), tiene un origen un poco extenso y muy apasionante; en la antigua Grecia, su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro, por lo que se denota con letra griega π, inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, fue quien hizo famosa la notación de π, a pesar de haberla implementado en sus estudios William Jones muchos años antes.

La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas, ejemplo de ello fueron los babilonios y egipcios, que aún cuando desconocían su nombre y simbología, le atribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de una circunferencia mediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito.

Es decir, de la relación r

6r = 2πr, se obtiene que π = 3 r

Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”:

“…Él, hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia”.

De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3.

Aún en nuestra era, se hacen cálculos sobre π llegando a representarlo con 109 cifras decimales. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre otros.

El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro.

Lado del hexágono = radio de la circunferencia r = r

117

El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972), nacido en Maracaibo, también calculó el número π con muchas cifras. Duarte escribió, en 1956, una monografía sobre los números irracionales π y ℮

Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos:

En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el área de una determinada región, ya sea sobre un terreno donde se va a cultivar, alguna edificación que se va a construir, sobre un piso que se va a cubrir con alfombra o cerámica, sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura, entre otros. También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde se necesite saber cuántos litros de agua requiere una piscina, un tanque, una botella o cualquier otro envase o la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava, entre otras actividades de la vida diaria.

El área de una figura plana es la medida de la región encerrada por líneas poligonales, en otras palabras, es la medida de la superficie.

Realicemos algunos cálculos de perímetro y área:

Ejemplo 1:

En el terreno de béisbol, las cuatro bases forman un cuadrilátero, como se muestra en la figura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies, es decir, 27 metros ¿Cuántos metros recorre el bateador al dar un jonrón?

Solución:

Sólo tenemos que calcular el perímetro del cuadrilátero: Recuerda que para calcular el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados.

Entonces:

P = 27m + 27m + 27m + 27m

Luego Perímetro = 4.(27m) = 108 metros.

Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón.

¿Calcula el área del terreno que limitan las cuatros bases?

Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado, sólo debemos multiplicar la medida de un lado dos veces, así.

Área = (Lado)2

Área = (27m)2 = (27m).(27m) = 729 m2

27m

27m

1ra. Base

3ra. Base

2da. Base

Home

118

AlturaAF

BCAD

=

=−

El área del cuadrilátero que está entre las cuatro bases es de 729m2.

Ejemplo 2:

El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles, como se muestra en la figura, se necesita saber ¿cuál es el perímetro y el área del terreno?

Donde:

Solución:

Para calcular el perímetro del trapecio, aplicamos la fórmula: DACDBCABP +++=

Entonces: Perímetro = KmKmKmKm25

211

253 +++

Perímetro = KmKmKm2

272213 =+

El perímetro del terreno es de Km2

27

Luego, cálculo del área:

El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula:

Área = ( ) AlturamenorbasemayorBase

⋅+2

Donde: base mayor = DC; base menor = AB

Altura = AF.

Sustituyendo, queda:

Área = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

KmKmKm

38

225

211

Área = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

KmKm

38

22

16

Área = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ KmKM38

28

Área = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ KmKm384

Área = 2

332 Km El área del terreno es de 2

332 Km

A B

D C F

Altura

382

11253

=

=

=

=

−

−

−

−

AF

KmDC

KmBC

KmAB

119

Ejemplo 3:

Una constructora ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la edificación de cuatro casas. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y divisiones se especifican en la figura dada. Calcular el área de todo el terreno y el área que corresponde a cada casa.

Donde:

DmEG

DmDF

DmDE

12

16

10

=

=

=

−

−

−

Solución: Para calcular el área de un rombo se aplica la fórmula:

Área = 2

menordiagonalmayorDiagonal ⋅

Donde: diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG

Sustituyendo queda:

Área = ( ) ( )

2192

21216 2DmDmDm

=⋅

Área = 296Dm

Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dm2.

Para calcular el área de una de las divisiones, podemos dividir el área total entre 4 o tomamos una de las cuatro divisiones; que representan triángulos y le calculamos el área.

Para calcular el área del DEC, se necesita conocer la base “CE” y la altura “CD”.

Recuerda que Área = 2

. Alturabase

Como las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios, entonces: La mitad de la diagonal EG es igual a CE.

Esto es: baseDmCE

DmDmEG

==

==

6

62

122 También: CDDF

=

−

2

Esto es; DmDmDF 82

162

== AlturaDmCD ==−

8

Por lo tanto: Área = ( ) ( ) 22

242

482

86 DmDmDmDm==

⋅

D

G E

F

D

G E

F

C

120

Ejemplo 4:

Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base pentagonal. Si del

centro de la superficie de la base, al punto medio entre dos columnas la distancia es de

27 metros, y entre cada columna hay una distancia de 3 metros; ¿Cuál es el área del

pentágono?

Solución:

Los vértices A, B, C, D, E son los puntos donde van las columnas. El segmento FH es un apotema.

Como AB = 3m y el pentágono es regular, entonces,

AB = BC = ED = DC = CB y mFH27

=

Luego, para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula.

Área = ( )2

ApotemapolígonodelPerímetro ⋅

Entonces; Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE

Pero como todos los lados miden igual

Perímetro= mmAB 15)3.(5).(5 ==

Por lo tanto;

Área = ( )

2

2

4105

22

105

22715

mmmm

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

es el área del pentágono.

Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos.

Ejemplo 5:

Una tarde, el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa, detalladamente, las cosas a su alrededor. Julio dice:

- Papá, viste que algunos carros, en la parte trasera, llevan escrito algunos símbolos como: 1.3L, 1.6L, 2.0L, 4.5L, etc. ¿qué significan esos números?

El padre, como todo un experto, le contesta:

- Hijo, esas expresiones hacen referencia a la cilindrada del automóvil, en otras palabras al volumen útil de los cilindros; cuanto mayor es la expresión que allí se indica mayor es la cilindrada del vehículo. Por ejemplo, en un carro de cuatro cilindros, si calculamos el volumen de cada cilindro, mediante la fórmula: hrV ⋅⋅= 2π , siendo 1416,3≈π ; cmalturah 548,7== y cmradior 1035,4== . Sustituyendo la fórmula, queda:

A

E B

D C

F H

121

32 29,399)548,7()1035,4()1416,3( cmcmcmV =⋅⋅= , ésta representa la capacidad para cada cilindro. Si el carro es de 4 cilindros, entonces la cilindrada es de:

33 16,1597)29,399(44 cmcmV == .

Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta, que: 31600cmV = , esto es equivalente a decir litrosV 6,1= y se anota de esta manera para simplificar la escritura.

Ejemplo 6:

Una piscina, tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarla por completo?

Solución: Observa que si la piscina fuese un paralelepípedo el volumen sería:

alturaÁreabaseV ⋅= )( Esto es, )4()410( mmmV ⋅⋅= Luego; 3160mV =

Pero a la piscina le hace falta un pedazo, para ser un paralelepípedo, algo como esta forma; un prisma triangular, cuyo volumen es:

alturabaseÁreaV ⋅=2

)(. Sustituyendo, queda;

( ) ( ) 332

204

804

5162

2544

mmmmmmmV ===

⋅⋅=

Luego, al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y nos dará el volumen de la piscina, así: Volumen de la piscina 333 14020160 mmm =−=

Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros, por lo que hay que transformar 3140m a litros ; para hacer esto, primero tenemos que trasformar 3140m a 3dm . De acuerdo a la escalera de conversión, se tiene que: 3140m a 3dm = 3000.140 dm , si se sabe que

litrodm 11 3 = , entonces; litrosdm 000.140000.140 3 = .

Por lo tanto, la piscina necesita litros000.140 de agua para llenarse por completo.

Te proponemos algunos ejercicios y problemas, debes ejercitar todo lo relacionado al cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

Ejercicios:

29. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la base?

30. ¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m2, la base mayor es de 32 m y su altura es de 12 m?

31. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados, de apotema igual a 60 cm y área 16000 cm2?

32. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm?

122

Según la figura que se te indiqua a continuación, realiza los cálculos respectivos:

33. Si el área de la figura es igual a 68 cm2 ¿cuánto vale b?

34. El triángulo ABC es isósceles; si AD = 11 cm.

y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área?

35. El trapecio de la figura se ha construido con tres triángulos rectángulos, donde uno de ellos es isósceles. Halla el área del trapecio de dos maneras: usando la fórmula del área del trapecio y hallando la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos.

Resuelve los siguientes problemas:

36. La habitación de Juana, mide 4 m. de ancho, 5 m. de largo y 5/2 m. de alto. El área de la puerta y la ventana es de 2 m2. Ella desea colocar papel tapiz a las cuatro paredes; si cada rollo de papel mide 50 cm. de ancho por 5 m. de largo ¿Cuántos rollos de papel necesitaría Juana para cubrir las paredes?

37. En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un radio de 72 Km. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la estación de radio?

38. Carlos tiene un terreno de forma cuadrada, cuyo lado mide 18 m. En cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m. ¿Qué parte del terreno no puede ser recorrida por el caballo?

39. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:

40. El volumen de un cilindro es 330п cm3. Calcula el radio de la base si la altura mide 6 cm.

41. Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de la base es igual a 36п m2.

b 9 cm.

13 cm.

7 cm.

12 cm.

7 cm.

13 cm. 12 cm.

A

B C D

123

LECTURA Nº 20: THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS


Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. Artículo en línea, disponible en : http://www.fpolar.org.ve/ matemática. [Consulta en línea] de fecha 2007, enero 11.

En la actualidad, el procedimiento más común para realizar medidas en cuerpos geométricos y figuras planas, es la aplicación de fórmulas matemáticas. Esas medidas que llamamos áreas y volúmenes, no se calculan directamente ya que se deben medir previamente ciertas magnitudes. Por ejemplo:

Figura Área

Triángulo 2alturabaseA ⋅

=

Trapecio alturabBA ⋅+

=2

Paralelogramo alturabaseA ⋅=

Rectángulo alturabaseA ⋅=

124

Figura Área

Rombo 2

__ diagonalesdeproductoA =

Cuadrado 2)(ladoA =

Círculo

2rA ⋅= π

Cuerpo Volumen

Prisma recto

alturabasedeáreaV ⋅= __

Cubo 3)(ladoV =

Pirámide 3

__ alturabasedeáreaV ⋅=

Cilindro alturarV ⋅⋅= 2π

Cono 3

2 alturarV ⋅⋅=π

Esfera

3

34 rV ⋅= π

1 2 5

UNIDAD Nº 4: RADICACIÓN

LECTURA N° 21 IMPORTANCIA DE LOS RADICALES Tomado con fines instruccionales de:

Cuadros, B. (2005). “Prevenir y Corregir el Error”. Revista Matemáticas Recreativa, Vol. 2, Nº 3. Bogotá, Colombia: Universidad de los Andes.

Errores como baba +=+ 22 , preocupan a los profesores, son cuestiones que interesan a los investigadores en educación matemática y, lo más grave es que, continúan despistando a los estudiantes.

Considero que para enfrentar este problema académico se puede establecer una analogía con respecto al abordaje médico: su tratamiento debe ser atendido desde dos enfoques: el preventivo y el correctivo.

Prevenir que se cometa el error, implica preguntarse en qué momento se enfrenta el estudiante por primera vez con expresiones similares.

Al revisar los programas tradicionales de matemáticas de la educación secundaria, encontré que la secuencia se presenta aproximadamente así:

1. A partir de grado séptimo, con el aprendizaje del teorema de Pitágoras, modelo gráfico (Figura N° 1)

A

C

B

2a 2b

2c

Figura N° 1

1 2 6

Se generan las áreas A, B y C y se establecen relaciones entre ellas y no entre las medidas de las longitudes de los lados del triángulo. Un estudiante identifica relaciones como:

222 cba =+ y/o cba =+ 22

2. En grado octavo se le hace ver al estudiante que: cba ≥+ .

Además, dentro del tema "Productos notables", el estudiante empieza a manejar expresiones de la forma:

222 2)( bbaaba +⋅+=+

3. En grado noveno se trabajan propiedades y ejercicios con exponentes racionales y se le presentan expresiones como:

21

)( ba + y /o 21

22 )( ba +

4. En grados décimo y undécimo, el estudiante trabaja con diferentes situaciones en las que puede relacionar entre otros los siguientes conceptos: la jerarquía de las operaciones, la propiedad distributiva, el cuadrado de un binomio, el teorema de Pitágoras, la suma de las medidas de los catetos y la medida de la hipotenusa y los exponentes racionales.

Para prevenir el error considerado en este artículo, las situaciones de enseñanza que el profesor le proponga al estudiante deben considerar aspectos tales como:

• las relaciones entre los conceptos matemáticos nuevos y los conceptos trabajados previamente,

• la integración entre la representación geométrica y la algebraica,

• las diferencias entre la dimensión cuadrada (área) y la dimensión lineal (longitud).

De esta manera, quizás sea posible que los estudiantes en la universidad no cometan este error.

Para corregir, empecé por aceptarlo ante los estudiantes, quienes lo explican así:

bababa +=+=+ 2222

Luego les presenté el siguiente ejercicio con el propósito de que justificaran los planteamientos tercero y quinto:

1 2 7

Planteamiento Justificación

1 4 + 5 = 9 Clausurativa de la suma en R

2 954 22 =+ Propiedad de la radicación

3 954 22 =+ ?

4 92516 =+ Definición de Potenciación

5 941 = ?

Después de una reflexión individual los estudiantes manifestaron los siguientes puntos de vista:

• El planteamiento 5, es falso porque se cometió un error en el planteamiento 3.

• Dado que la raíz no se puede distribuir entonces, baba +≠+ 22 .

• Debe resolverse siempre primero lo que hay dentro de la raíz.

Conclusión

Fue ventajoso enfrentar al estudiante con el análisis de las situaciones presentadas porque se parte de una igualdad que relaciona tres números determinados, y al aceptar en el planteamiento 3 el error y transformar la correspondiente expresión se llega a una expresión evidentemente falsa, lo que permite que el estudiante empiece a desconfiar de que se cumpla la relación:

baba +=+ 22

El trabajo con otros ejemplos en donde no se cumple la relación, permitieron al estudiante asimilar que tal igualdad no se da.

1 2 8

LECTURA N° 22 OPERACIONES CON RADICALES Material tomado con fines instruccionales de:


Si se desea encontrar los valores de equis ( x ) que satisfacen la igualdad 42 =x , estos son los números 2 y -2 , este hecho se puede comprobar elevando al cuadrado los valores dados y da como resultado 4. A los valores de una incógnita, en este caso x , que satisfacen una igualdad se les denominan raíces, entonces en el caso particular que se trató se puede decir que, equis ( x ) es igual a la raíz cuadrada de 4, y se denota así:

⇒= 42x 4=x .

Se utiliza el símbolo para indicar un radical. Generalizando, vemos que la expresión n mx

se lee raíz enésima(n) de equis( x ) a la eme( m ) y sus partes son:

es el signo radical

mx es la cantidad sub-radical

n es el índice del radical. Este debe ser un número entero positivo mayor que uno.

Las raíces surgen como una forma alterna de expresar y resolver potencias, tal como se

mostró en el ejemplo anterior. Ahora piense si se quiere resolver una potencia de exponente

fraccionario, como por ejemplo: 32

4 , resultaría un poco difícil multiplicar 4 (la base) por si

misma 2/3 de veces (el exponente), tal como indica la regla para resolver potencias,

considerando que 2/3 no llega a ser ni siquiera una vez completa. Las raíces ayudan a resolver

este tipo de problema, una potencia de exponente fraccionario se puede escribir como raíz, es

decir, si tenemos nm

x esto es igual a n mx .

De aquí se puede generalizar que la expresión sub-radical consta de una base y un exponente. Para convertirlo en potencia con exponente fraccionario consideramos:

• La base de la potencia es la base de la expresión sub-radical ( x ).

• El numerador del exponente fraccionario es el exponente de la base en la cantidad sub-radical ( m ) y su denominador es el índice del radical ( n ).

Las raíces más utilizadas son las que se leen como:

1 2 9

• Raíz cuadrada ( ), cuando en el índice no se escribe ningún valor, se

sobreentiende que es dos (2)

• Raíz cúbica ( )3

• Raíz cuarta ( )4

• Raíz quinta ( )5

Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el índice.

Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1: Exprese las siguientes potencias en radicales:

(a) 441

33 =

(b) ( ) 5 353

513 xxx ==

(c) ( ) ( )5 3535

35

3ababba ==

7 57 275

72

. yxyx =

Ejemplo 2: Ahora expresamos los siguientes radicales como potencias:

(a) 474 7 33 =

(b) ( ) ( ) 23333 ababba ==

Se considera el caso particular cuando 1=m , podemos definir la siguiente equivalencia:

Antes de convertir en radical se resolvió el producto de potencias de igual base.

Fíjese que en este ejemplo, se representó cada potencia como un radical distinto ya que los exponentes no son iguales.

En este ejercicio se utilizó una de las propiedades de la potencia. También observe que cuando el índice de la raíz es dos (2), éste no se escribe.

Observe, que antes de convertir en radical se resolvió la potencia de potencia.

EQ. 1 rxn = sí y sólo si nrx =

1 3 0

Ejemplo 3: Hallar el valor de la variable x , que cumplan la igualdad: 23 =x

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que:

33 22 =⇔= xx , es decir 8=x .

Respuesta: 8=x .

Ejemplo 4: Hallar el valor de la variable x , que cumpla la igualdad: 34 =x


44 33 =⇔= xx , es decir 81=x .

Respuesta: 81=x .

Ejemplo 5: Hallar el valor de la variable x, que cumplan la ecuación: 124 =x


2124124 =⇔= xx ; 364

1441444 =⇒=⇒= xxx .

Respuesta: 36=x .

Criterio de existencia de la raíz n -ésima de un número, n x :

La raíz n -ésima de un número no siempre es única: en el caso de 4 , se tiene que 2 y 2− son raíces cuadradas de 4 ; para evitar ambigüedades cuando escribimos 4 nos

referimos a la raíz positiva de 4 y para referirse a la raíz negativa, se escribe: 4− .

(a) Si el índice n es par y x es positivo, existen dos raíces n -ésimas reales de x , una positiva y otra negativa. Pero la expresión n x sólo está referida a la positiva. Es decir, las dos raíces n -ésimas de x son n x y n x− .

Sin embargo, los números reales negativos no tienen una raíz real de índice par. Por ejemplo, 81 tiene dos raíces cuadradas, 9 y 9− , pues 8192 = y ( ) 819 2 =− , y el número 23 tiene dos raíces cuartas 4 23 y 4 23− . Sin embargo, 36− no tiene raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da 36− . Por lo mismo, –23 no tiene raíz cuarta.

(b) Si el índice n es impar, cualquiera sea el número real, x , positivo o negativo, tiene una única raíz n -ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de 27− es

3− , y 42 tiene una única raíz cúbica denominada 3 42 .

1 3 1

Propiedades de los Radicales:

El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto.

Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

Ejemplo 6: Escriba el siguiente producto de raíces 55 32 yx ⋅ como la raíz de un producto.

Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez, manteniendo el mismo índice y se expresan las cantidades sub-radicales como un producto

555 3.232 yxyx =⋅ = 5 6xy

Respuesta: 55 32 yx ⋅ = 5 6xy

El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente.

Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

Ejemplo 7: Escriba el siguiente cociente de raíces 5

5

36

yx como una la raíz de un cociente.

Como es un cociente de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez manteniendo el mismo índice, y se expresan las cantidades sub-radicales como un cociente.

55

5

36

36

yx

yx= = 5

2yx = 5 12 −xy

Respuesta: 5

5

36

yx = 5 12 −xy

nnn baba ⋅=⋅

nn

n

ba

ba

=

1 3 2

En este caso, se tiene la potencia de una potencia.

Potencia de una raíz:

Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la potenciación.

Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:

Ejemplo 8: Resolver ( )33 2x

( )33 2x = ( )3 32x = 3 6x

Respuesta: ( )33 2x = 3 6x

Vamos a explicar el procedimiento para el caso donde la base es un producto de factores, con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 9: Resolver ( )54 3 xy

5

4 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xy = ( )4 53xy

= 4 515xy

Respuesta: 5

4 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xy = 4 515 xy

Raíz de una raíz:

Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede existir otro signo radical, como por

ejemplo 7 y o varios como 5 4 2z . Resolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los

índices de los radicales y escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se

conservan las cantidades sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente

forma:

mnn m aa ⋅=

( ) n mmn aa =

1 3 3

Ejemplo 10: Resolver 3 35ba

Para la expresión 3 35ba , multiplicamos los índices de los radicales dados (3.2=6) y este será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub-radical se conserva.

Respuesta: 6 353 35 baba =

Extracción de Factores de un Radical

Extraer factores de un radical significa sacarlos de la raíz. Para que sea posible extraer factores de un radical, es necesario que la cantidad sub-radical sea expresada como factores en forma de potencia y que los exponentes de los factores sean iguales o mayores que el índice del radical. El proceso para extraer factores de una raíz es el siguiente:

Paso 1: se descomponen en factores primos la cantidad sub-radical.

Paso 2: se toman aquellos factores cuyo exponente es mayor o igual al índice de la raíz y se divide el exponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raíz. El cociente de la división representa el exponente de la base que se extrae y el residuo es exponente de la base que queda dentro de la raíz.

Veamos a continuación un ejemplo:

Ejemplo 11: Extraiga del radical 3 74 los factores que sean posibles:

Paso 1: Como existe un solo factor, se divide el exponente de la cantidad sub-radical entre el índice de la raiz:

237 =÷ y residuo 1

Paso 2: Esto nos indica que el factor 4 se extrae de la raíz con exponente 2 y queda dentro con exponente 1

32 44 ⋅

Respuesta: 3 74 = 32 44 ⋅

Ejemplo 12: Extraiga del radical 3 33125x los factores que sean posibles.

Paso 1: Se descomponen en factores primos los factores de la cantidad sub-radical

3 33125x 3 355 x=

1 3 4

Se descompone 3125 en sus factores primos y se expresa como potencia.

Se expresa 55 como multiplicación de potencias de igual base, tal que por lo menos uno de los exponentes sea igual al índice de la raíz.

Simplificamos los exponentes.

Paso 2: En este caso se divide 5 (exponente del factor de base 5) entre 3 (índice de la raíz), de donde el cociente es uno, este representa el exponente de la potencia con base 5 que se extrae de la raíz, es decir, la potencia 51=5. El residuo de la división es dos, y representa el exponente de la potencia con base 5 que se queda dentro del radical, lo cual es equivalente a la potencia 52=25.

Por otro lado tenemos que el otro factor es 3x , entonces dividimos el exponente 3 de la potencia 3x entre el índice 3 de la raíz, el cociente es uno y el residuo cero (0), eso significa que se extrae la potencia de base “ x ” con exponente uno (1), es decir, la potencia 1x = x , y no queda ninguna potencia con base x dentro del radical.

Respuesta: 3 33125x 3 255x=

Otra forma de extraer factores de un radical

Para resolver este tipo de ejercicios, como el Ejemplo 11:, de manera alterna, debemos conocer las propiedades de los radicales.

Ejemplo 13: Extraiga del radical 3 33125x los factores que sean posibles.

3 33125x

3 355 x=

= 3 32355 x

= 3 33 23 3 55 x⋅⋅ 33

32

33

55 x⋅⋅=

132

1 55 x⋅⋅= = 3 255x

Respuesta: 3 33125x = 3 255 ⋅x

Ejemplo 14: Extraiga del radical 623 yx los factores que sean posibles.

En este ejercicio, el factor “3” no se puede descomponer en factores primos (ya que es un número primo), mientras que para los otros factores, el exponente de la variable x es 2 y el de la variable y es 6, ambos exponentes pueden ser divididos de forma exacta entre el índice de la raíz, 2.

1 3 5

Factorizamos la cantidad sub-radical, observe que ahora es un producto notable.

En la cantidad sub-radical se tiene una suma algebraica y no un producto.

Se descompone “8” en sus factores primos: 32

Extracción de factores del radical

33 362 xyyx =

Ejemplo 15: Extraiga del radical 3 438 yx los factores que sean posibles.

3 438 yx 3 4332 yx=

= 32 yxy

Respuesta: 3 438 yx = 32 yxy

Observación: Cuando la cantidad sub-radical es una suma algebraica no se puede extraer factores, pues no están expresados como factores sino como sumandos. En caso de ser posible, aplicamos algunas reglas algebraicas para expresarlo como factores o potencias. Hay que recordar que factores son todas aquellas expresiones que se multiplican. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 16: Extraiga del radical 22 44 baba ++ los factores que sean posibles.

22 44 baba ++

( )22ba +=

( )22ba += = ba 2+

Respuesta: 22 44 baba ++ = ba 2+

Introducción de factores en un radical:

Para introducir un factor en un radical, se escribe este factor dentro de la raíz elevado al índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice.

Ejemplo 17: Dada la expresión 52 aba ⋅ , introduzca el factor en la raíz

Se introduce el factor dentro del radical: ( )5 55 22 abaaba =⋅

Se resuelven las potencias: 5 532 aba= 5 632 ba=

Respuesta: 5 65 322 baaba =⋅

1 3 6

Introducimos el factor 34x en el radical 7 622 yx

Convertimos 224 = y multiplicamos potencias de igual base.

Multiplicamos los índices de los radicales.

Ejemplo 18: Resuelva 5 7 623 24 yxx

En este caso no se pueden multiplicar directamente los índices, pues entre las dos raíces hay una expresión. El primer paso debe ser introducir la expresión en la raíz más interna, esto se hace elevando la expresión al índice del radical.

En este caso debemos introducir 34x en la raíz 7 622 yx , por lo tanto se eleva 34x a la 7, así nos queda: ( )734x .

5 7 623 24 yxx = ( )5 7 6273 24 yxx

= 5 7 62217 24 yxx =5 7 623152 yx

= 35 623152 yx

Observe que en este caso no se pueden extraer factores del radical, ya que las potencias de los factores son menores que el índice de la raíz.

Respuesta: 5 7 623 24 yxx = 35 623152 yx

Nota:

Sólo se puede introducir factores en una raíz, no sumandos, es decir si tenemos 5 623 24 yxx + , 34x no es un factor, es un sumando (un término), por lo tanto no se puede introducir dentro de 622 yx .

Adición y Sustracción de Radicales:

Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes.

43 x y 47 x− Son radicales semejantes: ya que el índice es 4 y la cantidad sub-radical es x .

Definición: Dos ó más radicales son semejantes cuando poseen el mismo

índice y la misma cantidad sub-radical, por ejemplo:

1 3 7

Son radicales semejantes.

Factor común 3 x

Sumar los coeficientes.

Son radicales semejantes y extraemos el factor común.

35 x y 62 x No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la cantidad sub-radical es la misma.

72 x y 72 y

No son radicales semejantes: porque las cantidades sub-radicales son distintas, aunque los índices de los radicales son iguales.

12 234 x⋅ y 12 235 x⋅

Son radicales semejantes: observe que los coeficientes pueden ser diferentes, pero la cantidad sub-radical y el índice de cada una de las raíces son iguales.

Una vez que hayas aprendido los conceptos de radicales semejantes, puedes seguir los pasos siguientes para sumar o restar radicales:

Paso 1: Verifica que los radicales sean semejantes. Si a simple vista no lo son, trata de extraer factores o realizar algunas operaciones indicadas hasta comprobarlo, si es posible.

Paso 2: Conserva igual la parte radical de las expresiones a sumar (o restar). Luego suma (o resta) los coeficientes, al hacer esto sólo estás factorizando la expresión por factor común.

Ejemplo 19: Resolver 33 75 xx +

33 75 xx +

= ( ) 375 x+

= 312 x

Respuesta: 33 75 xx + = 312 x

Nota:

En estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factorización obviando su escritura, y sumar los coeficientes directamente, es decir: 33 75 xx + = 312 x .

Ejemplo 20: Resuelve yyy54

32

46

+−

yyy54

32

46

+− = y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

54

32

46

1 3 8

Agrupamos términos semejantes.

Extraemos factor común de cada agrupación y sumamos los coeficientes.

= y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

60484090

= y6098

= y3049

Respuesta: yyy54

32

46

+− = y3049

Ejemplo 21: Resuelve 3535 2242610 −−+ yy

3535 2242610 −−+ yy

= ( ) ( )3355 2226410 −+− yy

= ( ) ( ) 35 226410 −+− y = 35 246 +y

Respuesta: 3535 2242610 −−+ yy = 35 246 +y

Multiplicación y división de radicales con índices diferentes

Cuando los índices de los radicales son diferentes, procedemos a realizar los siguientes pasos:

Paso 1: Se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices, llamado mínimo común índice (m.c.i.), el cual va ser el nuevo índice de cada raíz.

Paso 2: Se divide el m.c.i. entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el exponente de la expresión sub-radical de cada raíz.

Paso 3: Así obtenemos un producto (o división) de raíces de igual índice y terminamos de resolver el ejercicio.

Ejemplo 22: Resuelva 5 327.3 yxxy

Para resolver el siguiente ejemplo, seguimos las instrucciones siguientes:

Paso 1: Se calcula el mínimo común índice, m.c.i (2,5)= 10. Este es el nuevo índice de cada raíz, por lo tanto los radicales quedan así 1010 . .

Paso 2: Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el exponente de cada cantidad sub-radical.

1 3 9

Multiplicación de radicales de igual índice

Extracción de factores de un radical

el m.c.i.(3,12) = 12

Por conversión a radicales de igual índice

Se descompone 9 = 32 y se aplica la propiedad de potencia de potencias:

( )( )8424 339 ==

Por división de radicales de igual índice

= ( ) ( )10 5:103210 2:10 7.3 yxxy = ( ) ( )10 23210 5 7.3 yxxy

Paso 3: Ahora tenemos una multiplicación de raíces de igual índice, terminamos de resolver el ejercicio.

= ( ) ( )10 23210 5 7.3 yxxy = 10 64210 555 7.3 yxyx

=10 1192573 yx

= 10 92573 yxy

= 10 949243 yxy ×

= 10 9907.11 yxy Respuesta: 5 327.3 yxxy = 10 911907 yxy

Ejemplo 23: Resuelva 12

3 6

39

yz

En la división se utiliza el mismo procedimiento que en la multiplicación.

12

3 6

39

yz

=( )12

12 46

39

yz

=12

12 244

39

yz

=12244

39

yz

=12248

33

yz

1 4 0

División de potencias de igual base


=122473

yz

= 12

72 3

yz ⋅

= 122 187.2

yz ⋅

Respuesta: 12

3 6

39

yz

= 122 187.2

yz ⋅

Ejemplo 24: Resolver ( )33 24 .2 zxy⋅

33 24 .2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ zxy = ( ) ( )33 23

43 .2 zxy = ( ) .23

423 xyz = ( )4 328 xyz = 4 3328 yxz ⋅

Respuesta: 33 24 .2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ zxy = 4 3328 yxz


1. Aplica las propiedades de la radicación a los siguientes ejercicios:

a) 4 74 224 3 27242 yxyxyx ⋅⋅ b) 5 127

5 23

102432

tata

c) 6 75

6 246 23

144

83

yx

yxyx ⋅ d)

7 373 35

3 547 25

2568138

babababa

⋅

⋅

e) ( ) ( )

( )29 26

49 36

34 23

81

83

yx

yxyx ⋅ f)

( ) ( )( )3

5 278 73

58 75

35 47

2536

36

baba

baba

⋅

⋅

g) 4 3 2

3 4 43

144

9

yx

yx

h) 4 75

34 32

25 6 72

49

343121

ba

bata ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 4 1

Justifica cada paso, indicando la propiedad que aplicaste.

2. Introduce los factores posibles dentro de los radicales:

a) 4 252 yxxy ⋅ c) 423 257 xybaab ⋅

b) 9 3642 8 yxxy ⋅ d) 3542 16911 yxxy ⋅

3. Indica cuáles de los siguientes radicales son semejantes, aplicando la extracción de factores en un radical

a) 4 1573 164 yxx ⋅ ;

b) 4 3

4

5

512

23

y

xyx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

;

c) ( )12 5637 yx⋅ ;

d) ( )4 3599 yx⋅ ; e) ( ) 3

1

4 31056 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅ yxx ;

f) 4 9354 xyx ⋅

4. Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando el procedimiento para la multiplicación y división de radicales con diferentes índices:

a) 333 44 32 yxyxxy ⋅⋅ b) 10 323 525 23 523 yxyxyx ⋅⋅

c)4 53

5 43

tata

d)35

3 426 25

9

42

yx

yxyx ⋅

e) 3 3753

14 537 25

babababa

⋅

⋅

5. Resuelva las siguientes operaciones:

a) 2222 41692 mnmnnmnm −+− b) 6 24 32 125.25 xyx

c) 154499 −−−+− xxx d) 4 3226 543 318 zyxzyx ÷

e) ( )( )xaaxaa +++− 3223

1 4 2

Multiplicación de radicales


LECTURA N° 23: EXPRESIONES CONJUGADAS Material recopilado con fines instruccionales por:

Gómez, T.; González, N.; Vergara A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Expresiones Conjugadas

La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la expresión es un monomio o un binomio, veamos algunos ejemplos:

Caso A. La conjugada de un monomio: La conjugada de una expresión radical monómica es un radical con el mismo índice y los mismos factores de la expresión sub-radical, de tal manera que los exponentes de estos factores son:

i. La diferencia entre el exponente del factor y el índice en caso de ser este último mayor; o

ii. La diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente mayor al exponente del factor y este último, en caso de ser el índice menor.

Aclararemos esto con algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Hallar la conjugada de 4 23 yx

Observa que en la expresión 4 23 yx los exponentes de “ x ” y “ y ” son 3 y 2 respectivamente (menores que el índice de la raíz) y en la conjugada se eligen como exponentes de “ x ” y “ y ” a 1 y 2 respectivamente, es decir el exponente de “ x ” es igual a 4 – 3 = 1 y el exponente de “ y ” es igual a 4 – 2 = 2.

Luego la conjugada de 4 23 yx es 4 2xy , ya que al multiplicar las dos expresiones se elimina la raíz:

4 24 23 . xyyx

Expresión conjugada

Expresión original

= 4 44 yx = xy

Respuesta: La expresión conjugada de 4 23 yx es 4 2xy

Ejemplo 2: Hallar la expresión conjugada de 6 75 yx

1 4 3

El exponente del primer factor, “ x ”, es 5, menor que el índice de la raíz (6), luego aplicamos el

caso (i), en la conjugada el factor “ x ” tendrá un exponente igual a la diferencia del índice de la

raíz y el exponente de x , es decir, 6 - 5 = 1. El segundo factor, “ y ”, tiene un exponente igual

a 7, mayor que el índice de la raíz, por lo tanto el exponente del factor “y” (caso ii) en la

expresión conjugada, será la diferencia de un múltiplo de 6 (inmediatamente mayor a 7) y el

exponente del factor “ y ”, es decir, 12 - 7 = 5.

Respuesta: Luego la expresión conjugada de 6 75 yx es 6 5yx .

Una alternativa para hallar la conjugada de un monomio, cuando el exponente de uno de los factores es mayor que el índice de la raíz, será extraer de la raíz los factores posibles y luego aplicar el caso (i) para hallar la expresión conjugada del radical resultante. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3: Hallar la expresión conjugada para 3 134 yx

Primero extraemos los factores de la raíz 3 134 yx

3 134 yx = 3 123 yyxx = 34 yxyx ⋅ ;

ahora hallamos la conjugada de 3 yx

que es 3 22 yx

Respuesta: La conjugada del monomio 3 134 yx es 3 22 yx

Ejemplo 4: Hallar la conjugada de la expresión ( )5 25−x .

La conjugada de la expresión ( )5 25−x es ( )5 35−x .

Fíjate que sólo la cantidad sub-radical es un binomio, la expresión como tal ( )5 25−x es un monomio (Si olvidaste lo que es un monomio y binomio, consulta la Unidad 2).

Nota:

En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de dicha expresión se trata como un monomio, independiente de la característica de la cantidad sub-radical.

Ejemplo 5: Hallar la conjugada de la expresión 4 4+t

Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub-radical es un binomio) para hallar la conjugada tomamos la cantidad sub-radical como un solo elemento, que en este caso es

4+t con exponente 1, por lo tanto su conjugada sería: 4 3)4( +t

1 4 4

Respuesta: La conjugada de 4 )4( +t es 4 3)4( +t

Ejemplo 6: Hallar la conjugada de la expresión hx +2

La conjugada de hx +2 es ella misma, es decir, cuando el índice de la raíz es 2 y es la raíz cuadrada de una expresión (monómica, binómica o polinómica), su conjugada es ella misma. Por lo tanto, la conjugada de hx +2 es hx +2 .

Respuesta: La conjugada de hx +2 es hx +2

Ejemplo 7: Hallar la conjugada de la expresión 5 2)1( hx ++

Para hallar la conjugada de 5 2)1( hx ++ observamos que tenemos como cantidad sub-radical, un trinomio con exponente 2, por lo tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del trinomio, es decir, la conjugada será:

5 25)1( −++ hx = 5 3)1( hx ++

Respuesta: La conjugada de

5 2)1( hx ++ es 5 3)1( hx ++

Ejemplo 8: Hallar la conjugada de la expresión 6 2)( zhx −−

Como sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del Ejemplo 4:. Para hallar la conjugada de 6 2)( zhx −− observamos que tenemos como cantidad sub-radical un binomio, dos términos 2)( hx − ,y z y el exponente del binomio es 1, es decir, ( )12)( zhx −− . Por lo tanto la conjugada será la raíz sexta del binomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del binomio:

6 162 ))(( −−− zhx = 6 52 ))(( zhx −−

Respuesta: La conjugada de 6 2)( zhx −− es 6 52 ))(( zhx −−

Caso B. La conjugada de un binomio: en los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte de un binomio en la expresión.

Para expresiones binómicas con radicales de índice dos (2), tales como ba + y ba − , aplicaremos el producto notable de la suma por la diferencia para obtener la

diferencia de los cuadrados de los términos ( ) ( )( )22 yxyxyx −=+⋅− y así eliminar las raíces:

1 4 5

i. La conjugada de ba + es ba − ya que al multiplicar las dos expresiones,

babababa −=−=−⋅+ 22 )()()()(

ii. Así mismo la conjugada de ba − es ba + , al multiplicarlos:

babababa −=−=+⋅− 22 )()()()(

Observa que para las expresiones binómicas con radicales de índice 2, su conjugada contiene los mismos términos pero, cambiando el signo de la operación entre ellos.

Ejemplo 9: Hallar la expresión conjugada de 32 +x y comprobar su respuesta.

La expresión conjugada de 32 +x es 32 −x

Veamos ahora el producto entre ellas:

( 32 +x ) )32( −⋅ x =

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33233222 ⋅−⋅+⋅−⋅ xxxx

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22323322 −⋅+⋅− xxx

= ( ) ( )2232 −x = 32 −x

Respuesta: La conjugada de 32 +x es 32 −x y el producto ( 32 +x ) )32( −⋅ x = 32 −x

Ejemplo 10: Hallar la expresión conjugada de 57 − y comprobar su respuesta.

La expresión conjugada de 57 − es 57 +


( 57 − ) )57( +⋅ =

= ( ) ( )2257 − = 257 =−

Ejemplo 11: Hallar la expresión conjugada de zxy 3+ y multiplicarlas entre sí

Observa que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que el otro término no

tiene radical, entonces:

la conjugada de zxy 3+ es zxy 3− .


1 4 6

( zxy 3+ ) )3( zxy −⋅

= ( ) ( )223zxy − = 29zxy −

Para expresiones binómicas con radicales de índice tres (3), tales como 33 ba − y

33 ba + aplicamos los siguientes productos notables:

3322 )()( yxyxyxyx −=++⋅− y 3322 )()( yxyxyxyx +=+−⋅+

i. La conjugada de 33 ba − es 3 233 2 bbaa +⋅+ ,

Pues al multiplicar las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

⋅− )( 33 ba )( 3 233 2 bbaa +⋅+ = baba −=− 3333 )()(

ii. Así mismo la conjugada de 33 ba + es 3 233 2 bbaa +⋅−

y al multiplicarlos:

( 33 ba + ) )( 3 233 2 bbaa +⋅−⋅ = baba +=+ 3333 )()(

Ejemplo 12: Hallar la expresión conjugada de 33 25 zx − y multiplicarlas entre sí.

La conjugada de 33 25 zx − es 3 233 2 )2()2()5()5( zzxx +⋅+ .


( 33 25 zx − ) ))2()2()5()5(( 3 233 2 zzxx +⋅+⋅

Aplicamos la propiedad distributiva del producto y nos queda:

= 3 33 23 23 23 23 3 )2()2()5()2()5()2()5()2()5()5( zzxzxzxzxx −⋅−⋅−⋅+⋅+

Simplificamos los términos semejantes y nos queda:

= 3 33 3 )2()5( zx − = zx 25 −

Ejemplo 13: Hallar la expresión conjugada de 33 xax −+ .

La conjugada de 33 xax −+ es 3 233 2 )()()()( xxaxax +⋅+++ .

1 4 7

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 33 xax −+ ) ))()()()(( 3 233 2 xxaxax +⋅+++⋅

axax =−+= )(

Para expresiones binómicas con radicales de índice cuatro (4), tales como 44 ba − y

44 ba + aplicamos los siguiente productos notables:

443223 )()( yxyxyyxxyx −=+++⋅− y

443223 )()( yxyxyyxxyx −=−+−⋅+

i. La conjugada de 44 ba − es 4 34 24 24 3 bbabaa +⋅+⋅+ , pues al multiplicar las dos

expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

⋅− )( 44 ba )( 4 34 24 24 3 bbabaa +⋅+⋅+

= baba −=− 4444 )()(

ii. Así mismo la conjugada de 44 ba + es 4 34 24 24 3 bbabaa −⋅+⋅− y al multiplicarlos:

( 44 ba + ) )( 4 34 24 24 3 bbabaa −⋅+⋅−⋅

= baba −=− 4444 )()(

Ejemplo 14: Hallar la expresión conjugada de 44 313 xx −+ .

La conjugada de 44 313 xx −+ es 4 34 24 24 3 )3()3)(13()3()13()13( xxxxxx ++++++

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 44 313 xx −+ ) ))3()3)(13()3()13()13(( 4 34 24 24 3 xxxxxx ++++++⋅

13)13( =−+= xx

Racionalización

Racionalizar significa eliminar la presencia de radicales bien sea en el numerador o en el denominador, utilizando procesos matemáticos. Este proceso (racionalización) en principio

1 4 8

Se multiplica y divide por la conjugada del denominador.

Multiplicación de fracciones.

Multiplicación de radicales de igual índice en el denominador.

Extracción de factores en el denominador.

requiere que la expresión dada sea multiplicada y dividida por la conjugada del numerador o denominador (depende de cuál de estas partes se quiera racionalizar). Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 15: Racionaliza el denominador de 3 2

1ab

y simplifica el resultado de ser posible.

3 21ab

=3 2

1ab

.3 222

3 222

22

baba

3 2223

3 222

2.22.1

baabba

=

3 333

3 222

22

baba

=

=ab

ba243 22

Respuesta: 3 2

1ab

= ab

ba243 22

Ejemplo 16: Racionaliza el denominador de4 2

2

213

xx−

y simplifica el resultado de ser posible.

Para racionalizar la expresión 4 2

2

213

xx−

tenemos que dividir y multiplicar por la conjugada del

denominador, que es un monomio.

4 2

2

213

xx−

=4 2

2

213

xx−

.( )( )4 32

4 32

21

21

x

x

−

−

= ( )

( )4 42

4 322

21

213

x

xx

−

− =

( )2

4 322

21

213

x

xx

−

−

Respuesta: 4 2

2

213

xx−

= ( )

2

4 322

21

213

x

xx

−

−

1 4 9

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

Extracción de factores

Ejemplo 17: Racionaliza el denominador de 5 62

2

4

2

yx

xyx y simplifica el resultado de ser posible.

Para racionalizar la expresión 5 62

2

4

2

yx

xyx, aplicaremos los siguientes pasos:

=5 62

2

4

2

yx

xyx.

5 43

5 43

yx

yx

=5 105

10 86552

4

2

yx

yxyxx

⋅

⋅ = 2

10 13112

42

xyyxx ⋅

= 2

10 32

42

xyxyxyx ⋅

= 2

10 33

42

xyxyyx ⋅

= yxyx

2

10 32

Respuesta: 5 62

2

4

2

yx

xyx =

yxyx

2

10 32 ⋅

Ejemplo 18: Racionaliza el denominador 23

2−

y simplifica si es posible.

232−

=23

2−

.2323

++

=( )

( ) ( )2323232+−

+ = 22 23

226

−

+29

226−

+⇒ =

7226 +

Respuesta: 23

2−

=7

226 +

Ejemplo 19: Racionaliza el denominador 3

3

3233

+−

, simplifica si es posible.

1 5 0

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador.

Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y se resuelve el denominador.

Se agrupan los términos semejantes

Por ser 283 =

Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice:

333 3832 +=+ , entonces nos queda:

3

3

3233

+−

=33

3

3833

+−

=33

3

3833

+−

.)3388()3388(

3 233 2

3 233 2

+⋅−

+⋅−

=)3388()38(

)3388()33(3 233 233

3 233 23

+⋅−⋅+

+⋅−⋅−

3333

333333333

)3()8()9324364393243643(

+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

=

Multiplicación de radicales y extracción de factores:

4464 3 33 == y 333 33 333 3232323824 ⋅=⋅=⋅=⋅=

38)93243439332343( 33333

+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅−⋅

=

11)39234933612( 3333 −⋅+⋅−⋅+⋅−

=

11)953109( 33 ⋅+⋅−

=

Respuesta: 3

3

3233

+−

11

)953109( 33 ⋅+⋅−=

1 5 1

Ejemplo 20: Racionaliza el numerador de x

x 33 −+, simplifica si es posible.

xx 33 −+

= ⋅−+

xx 33

3333

++++

xx

( )( )( )33

3333++

++−+=

xxxx

=( ) 22

3333

xxxx

++−+

=xxx

x33

93++−+

= xxx

x33

6++

−

Respuesta: x

x 33 −+=

xxxx

336++

−

Ejemplo 21: Racionaliza el numerador ( )

hxhx 11 22 +−++


Multiplicamos y dividimos la expresión ( )

hxhx 11 22 +−++

, por la conjugada del numerador.

( )

hxhx 11 22 +−++

=( )

hxhx 11 22 +−++

.( )( ) 11

1122

22

++++

++++

xhx

xhx

=( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++

+−++

11

11)(22

22

22

xhxh

xhx =

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+−++

11

)1(122

22

xhxh

xhx

Desarrollamos el producto notable 2)( hx + en el numerador

=( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

−−+++

11

11222

222

xhxh

xhxhx

Este es el signo que cambia, no el signo que está

bajo el radical

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador.

1 5 2

Factorizamos y simplificamos

Es conveniente comenzar por descomponer en factores primos, la cantidad sub-radical, 27 = 33.

=( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+

11

222

2

xhxh

hxh

=( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++

+

11

222 xhxh

hxh =

( ) 11

222 ++++

+

xhx

hx

Respuesta: ( )

hxhx 11 22 +−++

=( ) 11

222 ++++

+

xhx

hx

Ejemplo 22: Racionaliza el numerador de12274


12274

Se multiplica y se divide por la conjugada del numerador y se realizan las operaciones sobres

los radicales.

=1234 3

.4

4

33

= 4

4 4

3123

= 4 3123

= 4 341

Respuesta: 12274

=4 341

Ejemplo 23: Racionaliza el numerador de 2

35 44

+−+

xx


Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador de la expresión

.2

35 44

+−+

xx

=2

35 44

+−+

xx

.4 34 24 24 3

4 34 24 24 3

33)5(3)5()5(

33)5(3)5()5(

+⋅++⋅+++

+⋅++⋅+++

xxx

xxx

Se resuelve el numerador:

=)33)5(3)5()5()(2(

)33)5(3)5()5(()35(4 34 24 24 3

4 34 24 24 344

+⋅++⋅++++

+⋅++⋅+++⋅−+

xxxx

xxxx

=)33)5(3)5()5()(2(

)3)5((4 34 24 24 3

4 44 4

+⋅++⋅++++

−+

xxxx

x

1 5 3

=)27)5(9)5(3)5()(2(

3)5(444 24 3 ++⋅++⋅+++

−+

xxxxx

)27)5(9)5(3)5()(2(

)2(444 24 3 +++++++

+=

xxxxx

Se agrupan los términos semejantes y simplificamos

)27)5(9)5(3)5((1

444 24 3 ++++++=

xxx

Respuesta: 2

35 44

+−+

xx

)27)5(9)5(3)5((

1444 24 3 ++++++

=xxx

Ejercicios Propuestos

6. En los siguientes ejercicios racionaliza el denominador de cada expresión.

a)4 3255

1xa

b)babababa

−++−−+

c) 2222

−+++

xx

d)xaxa

++2

7. En los siguientes ejercicios racionaliza cada una de las siguientes expresiones:

a) 3

12 33

+−++

xxx

b) 33 2 16215

+−+

−

xxx

c) x

xx 44 34 + d)

164

2

55

−+

xx

e) 44 1213 +−+ xx

x

8. Hallar las conjugadas de las siguientes expresiones radicales:

a) 5 163ba b) 13 835 yx c) 7 3 ba +

d) 8 53 )( ba + e) baba −−+ 32 f) 33 3 baa +−

1 5 4

g) yxx 255 +− h) 44 23 ba − i) 33 1313 −−+ xx

j) 44 xhx −+ k) ( ) 33 3 hxhx +−+ l) 413 −−x

m) 4 34 )3(4 +− xx

1 5 5

UNIDAD 5 ECUACIONES E INECUACIONES

LECTURA N° 24 : ALGUNOS CASOS DE ECUACIONES LINEALES

Tomado con fines instruccionales:

Fundación Polar. El Mundo de la Matemática. Fascículo 6. Ecuaciones, pp.5-6. Caracas: Últimas Noticias.

ECUACIONES LINEALES

Consideremos la siguiente situación (con los números que utilizamos para contar): se trata del juego o acertijo “Piensa un número”

Para ver qué hay detrás de este acertijo, basta transformar las frases anteriores en su equivalente simbólico; es decir, construir las expresiones matemáticas que las representan.

Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el que piensa nuestro adversario) con una letra. Pongamos por caso n.

A continuación convertimos todas las instrucciones a expresiones matemáticas:

1- Piensa un número 2- Multiplícalo por 2 3- Agrégale a lo obtenido 5 4- Multiplica el resultado anterior por 5 5- Súmale 10 a la cantidad obtenida 6- Multiplica el nuevo resultado por 10 7- Dime el resultado y te daré el número que pensaste ¿Cómo funciona el truco?

1. Piensa un número n 2. Multiplícalo por 2 2n 3. Agrégale a lo obtenido 5 2n+5 4. Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)5 5. Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+10 6. Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]10 7. Dime el resultado y te daré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10

R(n)=100n + 350 Esta dependencia se indica por R(n) y es lo que en matemática se denomina una función.

1 5 6

¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n?

En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números naturales, denotado por ׀N.

El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) que produce la fórmula: es decir, está evaluando la función en n. Así, si n=3, entonces le corresponde R(3)=650; si n=11, entonces R(11)=1450, etc.

Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n que produzca el R dado? Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestro oponente da el valor de R y queremos “adivinarle” el número que pensó. Esta nueva situación produce una ecuación y el valor desconocido n pasa a llamarse incógnita.

Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posible encontrar una fórmula mediante la cual se establezca una relación entre el número de triángulos y el número de fósforos empleados?

¡Exploremos el asunto!

Para el primer triángulo requerimos tres fósforos. Para poder anexar el segundo se necesita adicionar dos fósforos. Para el siguiente colocamos dos más.

R Es el resultado que nos dan. Una vez escogido n el valor R queda determinado por las operaciones especificadas mediante la fórmula; R se denomina variable depen-diente en razón de que su valor depende del valor n.

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes y una o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 – 8 = 0 … Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.

n ∈ N

La variable n es el número pensado. Como la variable n es de libre escogencia, ella se llama variable independiente.

1 5 7

Denotemos con la letra n el número de fósforos (variable independiente) y con T(n) el número de triángulos construidos con n fósforos (variable dependiente).

Si observamos con un poco de cuidado podemos notar, que los números de la segunda columna son los números impares ≥ 3 y en la primera aparecen los números naturales. La pregunta original se transforma en ¿cómo determinar un número de la primera columna conocido su correspondiente en la segunda? En otras palabras, ¿cómo saber que al 7 le corresponde el 3, al 11 el 5…? La respuesta es que dado un número de la segunda columna, le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, la fórmula buscada es:

21

221)( −=

−=

nnnT

En las dos situaciones que acabamos de presentarles, la expresión del lado derecho de la

igualdad resultó ser la forma ban + . En otras ocasiones, como el caso del problema propuesto

en el Papiro Rhind cuando las cantidades que intervienen son número reales, se acostumbra

emplear la letra x en lugar de n .

1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 … …

1 5 8

LECTURA N° 25: ECUACIONES


Gómez T; González N; Lorenzo J. (2007). Ecuaciones. Artículo no publicado. Caracas.

En lo cotidiano se usa de manera frecuente la palabra igual para indicar que, lo que estamos

comparando tiene las mismas características, como por ejemplo: “Luisa y Antonia usan blusas

idénticas”, debemos reconocer que su uso en matemática es importante. Esta relación se

representa con el símbolo ""= .

Cuando se escribe:

34327

41 3 −++ = 1

significa que la expresión de la izquierda del símbolo “=”, es igual a la expresión que está a la

derecha del mismo y representan al mismo número. Este es el significado fundamental de

cómo se utiliza la palabra igual en matemática

Definiciones Preliminares

Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo

valor.

Ejemplos: 5 = 3 + 2 ; a = b - c; 3x + 7 = 16.

Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para

valores particulares de las variables contenidas en ellas.

Ejemplos: a) 2598 =+x b) 3192 +=+− ttt c) 52 −=+ yyx .

Identidad: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables. Así tenemos

por ejemplo que estas son identidades:

222 2)( yxyxyx ++=+ ;

122 =+ αα CosSen

( ) 36123 −−=+− xx

Producto notable

Identidad fundamental de trigonometría

Propiedad Distributiva

1 5 9

Una de las grandes diferencias entre estas dos definiciones, es que las identidades se

demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven. Ambas son operaciones muy

importantes en matemática, sin embargo, parte de la segunda es la que se estudiará en esta

unidad.

Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor

desconocemos y generalmente se denotan por las últimas letras del alfabeto ,,,, wzyx etc.

Miembros de una ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. El

primer miembro está al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se encuentra al lado

derecho.

Así la ecuación: 2598 =+x

Para:

3192 +=+− xxx

Clases de Ecuaciones:

• Ecuación Numérica: es una ecuación donde las únicas letras son las variables o

incógnitas. Así tenemos que 2598 =+x , 132 =−− yy son ecuaciones numéricas.

• Ecuación literal: Es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras,

llamadas parámetros, que representan cantidades conocidas. Así las ecuaciones:

02 =++ cbxax , bcdyax +=+ son ecuaciones literales donde los parámetros son

dcba ,,, y x es la variable.

Solución o Raíz de una Ecuación

Son los valores que atribuidos o sustituidos en las variables o incógnitas, producen una

igualdad entre los dos miembros de la ecuación.

Así para:

Lado derecho. Lado izquierdo.

Lado izquierdo.

Lado derecho.

1 6 0

1. 2598 =+x , el valor de 2=x hace la ecuación verdadera, es decir, se cumple la igualdad:

259169)2(8 =+=+ . En este caso se dice que x = 2 es la solución o raíz de la ecuación. Si le

damos a la variable x un valor diferente de 2, la igualdad no se cumple.

2. 4=x es solución de la ecuación 22

3=

+xx

, mientras que 1=x no es la solución de esta

ecuación.

Resolución de una Ecuación

Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la ecuación.

A continuación vamos a enunciar las reglas básicas para resolver una ecuación.

Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad

(positiva o negativa), la igualdad no se altera.

Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma

cantidad diferente de cero ( positiva o negativa), la igualdad no se altera.

Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, la igualdad no

se altera.

Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la igualdad no se

altera.

Regla 5: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro,

cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de términos y funciona como

sigue:

• Si tienes un término realizando dos de las operaciones fundamentales, suma o

resta, en uno de los miembros de la igualdad se pasa al otro lado, efectuando la

operación contraria (recuerda que la suma y la resta son operaciones contrarias).

Así tenemos que la ecuación: 2335 =+x , el término +3 puede pasar al otro lado de

la ecuación restándolo y quedaría: 3235 −=x , resolviendo el lado derecho nos

queda: 205 =x

• Si tienes un factor diferente de cero realizando las operaciones fundamentales,

multiplicación o división, en uno de los miembros de la ecuación, se pasa al otro

lado efectuando la operación contraria (recuerda que la multiplicación y la división

son operaciones contrarias). En el ejemplo anterior 205 =x , para despejar la

1 6 1

incógnita x de la ecuación, como 5 está multiplicando a la variable x, pasaría al otro

lado de la ecuación dividiendo: 520

=x y resolviéndolo nos daría el valor de la

incógnita: 4=x

Cambio de Signo en una Ecuación:

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe,

pues equivale a multiplicar los dos lados o miembros de la ecuación por (-1). Así la ecuación:

835 =−x es equivalente a: ( ) 8)1(35)1( −=−− x , es decir , la ecuación 835 =−x es

equivalente a la ecuación 835 −=+− x

Tipos de ecuaciones

Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son:

a) Polinomiales: las cuales pueden ser de una o varias variables. En esta unidad trataremos

estas ecuaciones pero de una variable.

El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, este es el mayor exponente que

tiene la incógnita. Por ejemplo:

0182 =−x es de primer grado ( )x

0342 =+− xx es de segundo grado ( )2x

022 23 =−−+ yyy es de tercer grado ( )3y

044 =−n es de cuarto grado ( )4n

b) Racionales: son aquellas que contienen expresiones algebraicas racionales, tales como:

b.1.- 44

22

+−

=+−

xx

xx

; b.2.- xxx

x 2435

3 2

=+−

c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la variable o incógnita dentro de una o mas

expresiones radicales, también son llamadas ecuaciones radicales. Así, tenemos:

c.1.- 2217 +=−++ xxx c.2.- 3153 2 +=+ xx

d) Ecuaciones con Valor Absoluto: son aquellas ecuaciones donde las variables o incógnitas

están dentro de un valor absoluto, tales como:

1 6 2

d.1.- 4513 +=− xx d.2.- 03235 3 =−−x

e) Ecuación de 1er. Grado con una incógnita

Forma General

Una ecuación de 1er grado con una incógnita es una expresión de la forma 0=+ bax ,

donde “ a ” y “ b ” son números reales llamados coeficientes de la ecuación, con 0≠a y “ x ” es

la incógnita de la misma.

0=+ bax

Resolver una ecuación, consiste en hallar el valor de la incógnita de tal manera que, al

sustituirla en la ecuación, se cumpla la igualdad. Para hacer esto, utilizamos el proceso

anteriormente descrito.

Veamos a continuación algunos ejemplos

Ejemplo 1: Resuelva la ecuación 032 =+x , y simplifica el resultado si es posible.

032 =+x , 2=a , y 3=b , la idea es despejar, hasta encontrar el valor de x

302 −=x

32 −=x

23−

=x

Respuesta: la solución de 032 =+x es 23

−=x

El valor de “ x ” es 23

− , esto significa que si se sustituye este valor en el lugar de “ x ” en la

ecuación original, se cumple la igualdad, comprobemos esto:

Comprobación:

032 =+x

Lado derecho de la ecuación.

Lado izquierdo de la ecuación

Ecuación original

Pasamos el 3 para el otro lado de la ecuación restando y resolvemos el lado derecho

Pasamos el factor 2 que está multiplicando para el otro lado de la ecuación dividiendo.

1 6 3

00033

03232

=⇒=+−⇒

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⇒

Observa que la igualdad se cumple, por lo tanto 23

−=x es la solución de la ecuación. Veamos

qué sucede al sustituir “ x ” por cualquier valor distinto de 23

− en la ecuación original, digamos

por ejemplo 1=x :

032 =+x

( )05032

0312=⇒=+⇒

=+⋅⇒

En este caso, la igualdad no se cumple, por lo tanto 1=x no es solución de la ecuación

032 =+x .

En general para una ecuación de Primer Grado con una incógnita de la forma 0=+ bax , con

0≠a , la solución es de la forma abx −= y además es importante recalcar que ésta solución es

única.

Ejemplo 2: Resuelva la ecuación 04

27=

−x , y simplifica el resultado si es posible.

Llevamos la ecuación a la forma general. Como es una ecuación racional igualada a cero, ésta

se cumple sólo si el numerador es igual a cero, por lo tanto:

72207

027

=⇒+=⇒

=−⇒

xx

x

Observa que la solución es de la forma abx −= , donde 2−=a y 7=b .

Respuesta: La solución de 04

27=

−x es

72

=x .

sustituyendo 23

−=x

Ecuación original

Sustituyendo 1=x

Esta es la forma general.

1 6 4

Ejemplo 3: Resuelva la ecuación 353

238

−=− xx , y simplifique el resultado si es

posible.

Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado derecho

de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3 en el lado derecho no puede pasar a multiplicar

al lado izquierdo porque no es denominador de todos los términos.

353

238

−=− xx

Por eso te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver. Se calcula el

m.c.m. entre 2, 3 y 1 que son los denominadores de ambos lados de la igualdad.

35

13

238

−=− xx

= ( )

65236

638.3 ⋅−⋅=

− xx

Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con resolver la

igualdad entre los numeradores, como sigue:

1018924 −=− xx

Se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de la igualdad y los

independientes en otro. En este caso, 18x que está positivo en la derecha, pasa restando a la

izquierda y -9 pasa como +9 hacia la derecha:

61169101824 −=⇒−=⇒+−=−⇒ xxxx


238

−=− xx

es 61

−=x

En el siguiente ejercicio la ecuación original no es de primer grado, sin embargo, notará que se

transforma en ésta al resolverla.

Ejemplo 4: Resuelve la ecuación 12

712

5−

=+ xx

, y simplifica el resultado si es

posible.

Ambos lados de la igualdad tienen una fracción, por lo tanto, pasamos lo que esta dividiendo en

un lado a multiplicar en el otro lado:

127

125

−=

+ xx

1 6 5

)12(7)12(5 +=−⇒ xx

Luego aplicamos la propiedad distributiva en ambos lados de la ecuación, pasando los términos

independientes hacia la derecha y los que contienen la variable x hacia la izquierda:

571410714510 +=−⇒+=− xxxx

412124571410−

=⇒=−⇒+=− xxxx


712

5−

=+ xx

es 3−=x ..


Resuelva las siguientes ecuaciones:

1. ( ) ( ) ( )613

3131

21

++=−−− xxx 2. 012

353

=−

+x

3. ( ) xxxx 5531

4652 −=−+

−− 4.

143

142

+=

− xx

5. ( ) 110

5715 =−

−−−xxx 6.

51232

1092 x

xxx

=−−

+−

7. 053

4=−

−x 8.

( )( )( ) 01

1573725

=−−+−

xxxx

9. 325

338

2172 +

−=

−+

xxx 10. 3

715 xx −=−

Ecuaciones Literales de Primer Grado

Como ya lo mencionamos anteriormente, en las ecauaciones literales, algunos o todos los

coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas que figuran en la ecuación están

representadas por letras, que generalmente suelen ser .,,,,,, etcnmdcba

Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: cbxa =+ , xmnmnxmx +=++ 5732 .

Agrupando términos semejantes y despejando la x

Finalmente simplificamos 12/-4 = -3

1 6 6

Para resolver este tipo de ecuaciones, aplicaremos las mismas reglas que usamos en las

ecuaciones numéricas anteriormente estudiadas. Veamos a continuación varios ejemplos:

Ejemplo 5: Resuelve la ecuación 323

2−= axax , y simplifica el resultado si es posible.

Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado derecho

de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3 en el lado derecho no puede pasar a multiplicar

al lado izquierdo, porque no es denominador de todos los términos

323

2−= axax

Por lo tanto te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver:

Se calcula el m.c.m. entre 2, 3 y 1 (recuerde que 1

33 axax = )

( )6

22366

.3 ⋅−⋅=⇒

axax

Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con resolver la

igualdad entre los numeradores, como sigue:

⇒ 4183 −= axax ; se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de la

igualdad y los independientes en otro.

axax 3184 −=⇒

ax154 =⇒

Para despejar la variable x de la ecuación, debemos tomar en cuenta que el coeficiente del

mismo a15 , pasa para el otro lado de la ecuación dividiendo, por lo tanto, el literal a tiene que

ser diferente ( 0≠a ). Luego tenemos que

xa

ax =⇒=⇒15

4154 , es decir a

x15

4= si 0≠a .


2−= axax

es a

x15

4= si 0≠a

Ejemplo 6: Resuelve la ecuación ( )cax

xcaxbax

−−

+=−− 52

83 , y simplifica el resultado si es

posible.

Agrupamos términos semejantes

1 6 7

Se calcula mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la suma de

fracciones. El m.c.m.( cax − , 8)= )(8 cax −

( )( )

( ) ( )( )cax

xcaxcaxbax

−−+−

=−−

⇒8

528388

( ) ( )caxxcax

caxbax

−−+−

=−−

⇒8

4016338

88

40316388 −−+=−⇒ cxaxbax

40381638 −−=−−⇒ cbxaxax

4038165 −−=−⇒ cbxax

Como queremos despejar la variable x, tenemos que agrupar los términos que contengan dicha

variable:

4038165 −−=−⇒ cbxax

( ) 4038165 −−=−⇒ cbxa

Para despejar la variable x, el factor ( )165 −a pasa a dividir al otro lado de la igualdad, por lo

tanto, tenemos que asegurar que dicho factor sea diferente de cero ( )0165 ≠−a . Luego

( ) 4038165 −−=−⇒ cbxa 165

4038−−−

=⇒a

cbx

Respuesta: La solución de( )

caxx

caxbax

−−

+=−− 52

83

es 165

4038−−−

=a

cbx si 0165 ≠−a

Ejemplo 7: Resuelve la ecuación 02332 2 =−

−−

mx

mmx

mx , con 0≠m , y simplifica el

resultado si es posible.

Se calcula el mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la resta de

fracciones.

El m.c.m.( mmm ,,2 2 ) = 22m , éste se divide entre cada denominador:

mmmmmmmm 222222 2222 =÷=÷=÷

y el cociente se multiplica por el numerador:

Propiedad de los racionales

Agrupa y suma de términos semejantes

Factor común x

Recuerda que en este tipo de procedimiento, el m.c.m. se escribe como denominador de cada fracción, y como numerador se escribe el resultado de: dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador.

1 6 8

02332 2 =−

−−

mx

mmx

mx 0

2)2(2)33(2)(

2 =−−−

⇒m

xmmxxm

02

4662 =−+−

⇒m

mxmxmx

Propiedad de los racionales: si una fracción es igual a cero, es equivalente a que el numerador

sea cero.

046602

4662 =−+−⇒=−+−

⇒ mxmxmxm

mxmxmx

6)461( =−+⇒ mx 63 =⇒ mx

Para despejar la variable x , el factor 3m pasará dividiendo al otro lado de la igualdad y como

0≠m nos queda mm

x2

36

==

Respuesta: La solución de 02332 2 =−

−−

mx

mmx

mx

es m

x 2= con 0≠m .


Resolver las siguientes ecuaciones:

11 . 1)1( =+xa 12 . 0)()()( 222 =+−−−+ baaxbx

13 . bxabax −=+ 22 14 . )2(2)()( xababxbxa −=−++

15 . aabaxbxbxax 3)2()2)(())(( +−=−+−−+

16 . )1()( abxbaaax +−−=+−

17 . x

aa

a 23211 −=+

− 18 .

aabxa

aax 123

2 −=−

−−

19. xmnx

mn

111−=− 20.

aax

aaxx

ax+

=+

++ 2

21

Resolución de Problemas:

Como estudiante de nivel superior, sabemos que eres capaz de encontrar la solución a los

ejercicios o problemas planteados, utilizando los procedimientos adecuados. No obstante, te

Agrupamos y sumamos los términos semejantes

1 6 9

brindamos aquí, algunas sugerencias que pueden servirte de guía para que puedas resolver

este tipo de problemas o modelos.

1. Lee “cuidadosamente” el enunciado del problema.

2. Vuelve a leer el enunciado tantas veces sean necesarias, hasta comprender

perfectamente los datos que ofrece el problema y lo que te piden encontrar.

3. De ser necesario, acostúmbrate a realizar un bosquejo de la situación planteada, en

forma gráfica o en un planteamiento inicial.

4. Identifica con variables (letras) los datos e incógnitas del problema.

5. Ubica los datos del enunciado y relaciónalos matemáticamente mediante ecuaciones

o fórmulas (algunos datos o fórmulas no se dan en forma explícita en los problemas,

se supone que debes conocerlas. Ej.: área, volumen, velocidad, aceleración

gravitacional, etc.).

6. Resuelve las ecuaciones para obtener un resultado. Utiliza el método

correspondiente. en este caso, ecuación de primer grado.

7. Verifica que el resultado obtenido en el paso 6, corresponda a las premisas y

soluciones del problema.

8. Analiza si la respuesta es razonable.

9. Responde exactamente lo que te han solicitado.

Presta atención a los siguientes ejercicios. Analízalos y resuélvelos por ti mismo. No olvides que

la práctica es el arma que te dará la destreza necesaria para dominar cualquier tema en

matemáticas, incluyendo éste, ecuaciones de primer grado con una Incógnita.

Ejemplo 8: José Luís quiere salir a cenar con su novia Lisbeth, quien estudia en la UNEFA. Para evitar sorpresas, ella le pregunta: "¿cuánto dinero tienes?", y José Luis en vez de dar una respuesta directa, decide probar la habilidad de Lisbeth y responde: "Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo y después duplicara esa cantidad, tendría 35 Bs.F. más de lo que tengo". Lisbeth, después de pensarlo, decide demostrarle que sí puede calcular cuánto dinero tiene José Luis, con el siguiente procedimiento:

Damos por sentado que el estudiante ha seguido los pasos 1 y 2. El paso 3 no es necesario,

pues no se requiere ningún esquema gráfico. Debemos traducir esta "mal intencionada"

descripción del problema en símbolos matemáticos.

1 7 0

Paso 4: Identificar el objetivo del problema.

Cantidad de dinero que tiene José Luis …………………….. x

Paso 5: Obtener datos y relacionarlos matemáticamente.

"Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo" …………… 5+x

"y después duplicara esa cantidad" ………………… ( )52 +x

“tendría 35 más de lo que tengo" ……………….. 35+x

Paso 6: Procesamos los datos matemáticamente y resolviendo:

Comprobamos lo que José Luis dice:

( )52 +x y 35+x son equivalentes.

Es importante no continuar el ejercicio, si no ha comprendido la relación de estos datos.

Luego, tenemos que:

( ) 3552 +=+ xx

Y resolvemos la ecuación

( )

( ) 355223552+=⋅+⋅

+=+xx

xx

2510352

=−=−

xxx

Es decir, la cantidad de dinero que tiene José Luis es de 25 Bs.F.

Paso 7: Verificamos:

"Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo" …………….. 30

"y después duplicara esa cantidad" …………………….. 60

"tendría 35 más de lo que tengo" 35 + 25 = 60

Paso 8: Analizamos el resultado.

Este resultado es lógico y cumple con las condiciones del enunciado.

Paso 9: Aquí tenemos la respuesta.

Respuesta: José Luis tiene Bs.F. 25 (lo cual él cree que es suficiente para una cena con

Lisbeth).

1 7 1

Ejemplo 9: Un hombre de 1,92 mts. de altura camina hacia un poste de luz que mide 6,4 m. de altura. ¿Cuál es la longitud de la sombra del hombre en el piso, cuando él está a 3,5 m. de distancia del poste?

Hacemos una representación gráfica de la situación:

Hemos llamado x a la longitud de la sombra del hombre.

Observamos que los triángulos ΔLOP y ΔAOB son triángulos semejantes, esto implica que

sus lados son proporcionales, es decir:

OPLP

OBAB

= , entonces 5,3

4,692,1+

=xx

despejando tenemos:

( ) ( )

xxxxx

xx

48,472,692,14,672,6

4,672,692,14,65,392,1

=−==+=+

5,148,472,6

72,648,4

=

=

=

x

x

x

Respuesta: La sombra mide 1,5 m. cuando el hombre está a 3,5 m. del poste.

Ejemplo 10: Una pieza cuadrada de cartón, es utilizada para construir una caja sin tapa, cortando de cada esquina un cuadrado de 5cm de lado; luego se doblan los bordes para

P

1,92 m

6,4 m

L

x 3,5 m. B O

A

1 7 2

formar los lados de la caja. ¿De qué tamaño debe ser la pieza de cartón para que el volumen de la caja sea de 12.500 cm3?

Primero representamos gráficamente la pieza de cartón:

Llamamos “a” al lado de la pieza cuadrada de cartón. En la Figura Nº 2, cortamos las esquinas,

la parte sombreada representa el fondo de la caja y las pestañas de la pieza cortada de 5cm.

representa la altura de la caja.

El volumen V de la caja será:

V = largo × ancho × alto

5)10(

5)10()10(2 ⋅−=

⋅−⋅−=

aV

aaV

Sabemos, por el enunciado del problema, que el volumen de la caja es igual a 12.500 cm3, es

decir:

500.2)10(5500.12)10(

500.125)10(

5)10(500.12500.12

22

2

2

=−⇒=−

=⋅−

⋅−=⇒=

aa

a

aV

6010505010500.2)10(

=⇒+==−⇒=−

aaaa

Respuesta: El tamaño de la pieza de cartón debe ser 60cm x 60cm

Puedes verificar por ti mismo esta respuesta.


a

5 5

5 5

5

5

5

5

a

Figura Nº 1 Figura Nº 2

a-10

a-10

5 5

1 7 3

21. Rubén tiene cierta cantidad de caramelos; María tiene el doble de Rubén disminuido en 4

unidades. Si multiplicamos lo que tiene cada uno entre sí, y el resultado es 70. ¿Cuántos

caramelos más tiene María?

22. Después de una fiesta, los hermanos Ricardo y Tomás se acostaron a dormir a las 4:00

a.m. Ricardo durmió el doble que Tomás, menos 3 horas. Si multiplicamos las horas que

durmieron el resultado es 104. ¿A qué hora se levantó cada uno?

23. La suma de tres números enteros impares positivos consecutivos es 683. Encuentra los

números.

24. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, pero dentro de 15 años, tendrá tan sólo el

doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora el hijo?

25. Tres números son tales que el segundo es 6 unidades menor que tres veces el primero y el

tercero es 2 unidades más que 2/3 del segundo. La suma de los tres números es 172.

Encuentra el mayor de estos números.

26. Hace dos días, Ramón compró 5 diskettes. Hoy la tienda rebajó el precio en Bs.F. 0,50.

Juana compró hoy 10 diskettes y pagó Bs.F. 9 más que Ramón. ¿Cuál era el precio original

de cada diskette?

27. La suma de tres números enteros consecutivos es 36. ¿Cuáles son los tres números?

28. La suma de tres números pares enteros consecutivos es dos veces el valor del menor.

¿Cuáles son los tres números?

29. La suma de la tercera y cuarta parte de un número, equivale al doble del número disminuido

en 17. Hallar el número.

30. Hallar el número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triple disminuido en 14.

31. La edad de Bartolo es los 3/5 la edad de Ana, si ambas edades se suman, el resultado

excede en 4 años al doble de la de edad de Bartolo. ¿Cuál es la edad de Bartolo y Ana?

32. Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía, me quedan 39 Bs.F. ¿Cuántos bolívares

fuertes tenía?

33. El cuádruple de un número excede en 19 a la mitad del número aumentada en 30. Hallar el

número.

34. El largo de un buque es de 800 pies y excede en 744 pies a los 8/9 del ancho. ¿Cuál será el

ancho del buque?

1 7 4

35. Un grupo de 46 personas entre niños y adultos, se dirigen al cine. Si las entradas de los

adultos cuestan 9 Bs.F. y las de niños 7 Bs.F., en total pagaron 354 Bs.F. ¿cuántos niños y

cuántos adultos había en el grupo?

36. En una fiesta, el número de hombres duplica al de mujeres y la cuarta parte de éstas no

saben bailar. Si hay 42 mujeres que bailan ¿cuál es el total entre hombres y mujeres

presentes en la fiesta?

Ecuaciones con Valor Absoluto

Cuando trabajamos con cantidades, éstas se pueden tomar en dos sentidos, cantidades

positivas o cantidades negativas.

Así, en contabilidad el haber o crédito se denota con el signo + y el debe o deuda se denota con

signo −. Para expresar que una persona tiene 100 Bs.F. en su haber, diremos que tiene +

100Bs.F. mientras que para expresar que tiene una deuda de 100 Bs.F. diremos que tiene –

100 Bs.F.

Otro ejemplo donde se utilizan los sentidos de las cantidades es en los grados de un

termómetro, los grados sobre cero se denotan con signo + y los grados bajo cero se denotan

con signo –. Así, para indicar que el termómetro marca 10º sobre cero, escribimos +10º y para

indicar que marca 10º bajo cero, escribiremos –10º.

Entonces en una cantidad cualquiera, tenemos dos elementos intrínsecos, que son: el valor

absoluto o magnitud de la cantidad y el valor relativo o signo de la cantidad.

Definición: El Valor Absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad, sin

tomar en cuenta el signo de la cantidad.

Definición: El Valor Relativo de una cantidad es el signo de la misma, representado por más

(+) o menos (-).

Así, tenemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 11: Hallar el valor absoluto y relativo de 8.

Cantidad = +8; Valor Absoluto de la cantidad = 8, Valor Relativo de la cantidad = +

Ejemplo 12: Hallar el valor absoluto y relativo de -10

Cantidad = -10 ; Valor Absoluto = 10; Valor Relativo = –

1 7 5

Ejemplo 13: Hallar el valor absoluto y relativo de +7º y -7º

Ambas cantidades tienen el mismo valor absoluto igual a 7, pero sus valores relativos son

opuestos, la primera tiene un valor relativo “ + “ y la otra un valor relativo “ – “

Notación:

El valor absoluto de una cantidad cualquiera, se representa colocando la cantidad entre dos

líneas verticales; así el valor absoluto de + 8 es 8+ = 8 y 88 =− .

Definición: El valor absoluto de f se define:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

≥=

0

0

fsifo

fsiff

Donde ”f” puede ser un número, una variable o una expresión algebraica.

Ejemplo 14: Hallar el valor absoluto de las siguientes cantidades.

a) Para f = 8, tenemos que 88 =+

b) Para f = - 5, tenemos que ( ) 555 =−−=−

c) Para f = x, tenemos que

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

≥=

0

0

xsixo

xsixx

d) Para 22 −= xf , tenemos que

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−−−

≥−−=−

022

0222

22

22

2

xsixo

xsixx

Nota: Observa que el valor absoluto de una expresión denotado por f , depende del signo de

la expresión que se encuentra entre las barras y no de la variable, a menos que la expresión

sea igual a la variable.

Propiedades del Valor Absoluto

Propiedad 1: 0≥f , para cualquier f ∈ℜ

Recuerde que si 0<f entonces 0>− f

Recuerde que la disyunción “o” representa dos soluciones.

1 7 6

Propiedad 2: ff −=

Propiedad 3: 2ff =

Propiedad 4: gfgf ⋅=⋅

Propiedad 5: Si g ≠ 0 entonces gf

gf=

Propiedad 6: gfgf +≤+ (Desigualdad triangular)

Propiedad 7: gfgf −≥−

Observa que las propiedades del 1 al 5 se refieren a igualdades, mientras que las propiedades

6 y 7 se refieren a desigualdades.

Ecuaciones con Valor Absoluto

En muchas ocasiones se nos presentan ecuaciones donde está involucrado el valor absoluto de

una expresión algebraica, como por ejemplo:

a) 992

18182 222 =⇒=⇒=⇒= xxxx

b) 51

986251

986251

98 44

44

=−−

⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

xx

xx

xx

En esta sección veremos cómo se resuelven este tipo de ecuaciones, utilizando las propiedades

del valor absoluto:

Propiedad 8: Sea 0>a , af = es equivalente a resolver las siguientes ecuaciones:

a) af = ó b) af −=

Es decir, af = si y sólo si, af = ó af −=

Propiedad 9: Sea 0>a , af ≤ es equivalente a:

a) af ≤ y b) af −≥

Es decir, af ≤ si y sólo si afa ≤≤−

1 7 7

Propiedad 10: af ≥ es equivalente a:

a) af ≥ ó b) af −≤

Es decir, af ≥ si y sólo si af ≥ ó af −≤

Ejemplo 15: Resolver la siguiente ecuación: 53 =x

Aplicando la propiedad “8” de valor absoluto, tenemos que para xf 3= nos queda:

434 213212.1.

535353EcEc

xóxx −==⇒= . Resolvemos cada una de las ecuaciones:

⇒= 53:1. xEc35

=x y 3553:2. −

=⇒−= xxEc

Entonces la solución de la ecuación 3553 == xesx ó

35

−=x

Respuesta: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

35,

35S

Nota:

No confunda las llaves con los paréntesis. Las llaves se utilizan para representar los conjuntos,

cuyos elementos están separados por comas. Los paréntesis y corchetes se utilizan

generalmente para representar intervalos.

Ejemplo 16: Resolver 151x4 =−

Aplicando la propiedad “8”, tenemos que:

4 34 21434 2121

151415141514.Ec.Ec

xóxx −=−=−⇔=− .

Resolvamos cada una de las ecuaciones:

44

1616411541514:1. =⇒=⇒=⇒+=⇒=− xxxxxEc

27

41414411541514:2. −=⇒−=⇒−=⇒+−=⇒−=− xxxxxEc

Entonces la solución de la ecuación 151x4 =− es 4=x ó 27

−=x

1 7 8

Respuesta: la solución de ecuación dada es ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

27,4S

Ejemplo 17: Resolver 91x

x8=

+

Aplicando la propiedad “8” tenemos que:

434 21434 212.1.

91

891

891

8

EcEc

xxó

xx

xx

−=+

=+

⇒=+

Resolvamos cada una de las ecuaciones:

( ) 99819891

8:1. +=⇒+=⇒=+

xxxxx

xEc

9998 =−⇒=− xxx

Multiplicamos por (-1), la ecuación nos queda

( ) ( ) 9911 −=⇒⋅−=−⋅− xx

( ) 99819891

8:2. −−=⇒+−=⇒−=+

xxxxx

xEc

179917998 −=⇒−=⇒−=+ xxxx

Respuesta: la solución de la ecuación 91

8=

+xx

es ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

179,9S

Ejemplo 18: Resolver 814

−=+ xx

Si observamos el lado derecho de la ecuación, notamos que el valor es negativo, y por la

propiedad 1 del valor absoluto, 0≥f , es decir el valor absoluto de una expresión algebraica o

aritmética siempre es positivo o igual a cero. Por otro lado, tenemos que la propiedad 8 de valor

absoluto nos dice que el valor de a, tiene que ser estrictamente mayor que cero. Por lo tanto, la

ecuación 814

−=+ xx

no tiene solución en los números reales, así la solución es vacía, es decir

0S /= .

Ejemplo 19: Resolver 4223 −=− xx

1 7 9

Para darle forma al ejemplo 19, pasamos el término 4−x a dividir; sin embargo, observa que

2423=

−

−

xx

no admite el valor de x = 4, pues el denominador se anularía, por lo tanto si en la

ecuación original x = 4, tendremos que 10 = 0 (lo cual es falso), esto quiere decir que x ≠ 4,

entonces 4−x puede pasar a dividir y resolvemos: 2423=

−

−

xx

, utilizando la propiedad 5

del valor absoluto

423

423

−−

=−

−

xx

xx

, así la ecuación queda: 2423=

−−

xx

Usando la propiedad “8” de valor absoluto tenemos entonces que

4 34 21434 212.1.

24232

423

EcEc

xxó

xx

−=−−

=−−

Resolvamos cada una de las ecuaciones

( )42232423:1. −=−⇒=

−− xx

xxEc

628238223 −=⇒+−=−⇒−=− xxxxx

( ) 822342232423:2. +−=+⇒−−=−⇒−=

−− xxxx

xxEc ,


25

101052823 =⇒=⇒=⇒+=+⇒ xxxxx

Respuesta: entonces la solución de la ecuación 4223 −=− xx es { }2,6−=S


Resolver las siguientes ecuaciones:

37 . 427 +=− xx 38 . 1737 =+x

39 . 610 =−x 40 . 853 =+x

1 8 0

41 . 423 +=+ xx 42 . 7426 +=− xx

43 . 2318 +=− xx 44 . 34127 +=− xx

45 . 51=

+xx

46 . 31213=

+−

xx

Ecuación de segundo grado

Es una ecuación polinómica cuyo grado es dos (el mayor exponente de la variable es 2). Por

ejemplo

x241x

21 c)2y3y b)03x2 xa) 222 =+=−=+−

En los ejemplos propuestos, (a) está ordenada e igualada a cero; (b) está ordenada pero no

está igualada a cero; y (c) no está ordenada ni igualada a cero.

Solución de una ecuación de segundo. grado

Para hallar la solución de una ecuación cuadrática (segundo grado) es recomendable ordenarla

en forma descendente e igualarla a cero, así tendremos:

041x2x

21 c)02-y3y b)03x2 xa) 222 =+−=−=+−

Resolver una ecuación cuadrática implica encontrar los valores de la variable que al

reemplazarla satisfagan la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución

dentro del conjunto de los números reales; para algunas ecuaciones la solución pertenece al

conjunto de los números imaginarios (lo cual está fuera del objetivo de esta unidad).

La ecuación general de segundo grado con una incógnita, se expresa como:

02 =++ cbxax , donde:

“ a ” es el coeficiente de 2x , 0≠a

“ b ” es el coeficiente de x

“ c ” es el término independiente.

La solución (si existe) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula

cuadrática o resolvente:

1 8 1

a

bcbbx2

42 −±−=

La expresión “ acb 42 − ” se denomina el discriminante )(Δ de la ecuación cuadrática y

determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos pueden presentar tres casos:

a) Si “ acb 42 − ” es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.

b) Si “ acb 42 − ” es cero, la ecuación tiene sólo una solución real.

c) Si “ acb 42 − ” es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales.

Resolveremos ahora algunos ejemplos mediante la fórmula cuadrática:

Ejemplo 20: Hallar la solución de la ecuación 0232 2 =−+ xx

determinamos los valores de ba, y c .

a = 2 b = 3 c = -2

Luego calculamos el valor del discriminante:

( ) 25169)2)(2(434 22 =Δ⇒+=Δ⇒−−=−=Δ acb

Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando

en la “resolvente”, tenemos:

)(

x22

253±−= ;

453±−

=x

Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:

21

42

453

1 ==+−

=x

Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda solución:

248

453

2 −=−

=−−

=x

Las soluciones de la ecuación son 21

y 2− , pues al reemplazar estos valores en la ecuación

original, ésta se cumple.

Comprobación:

Si21

=x Si 2=x

Tenga presente que el denominador “2 a ” pertenece a toda la expresión y no sólo a la raíz

cuadrada.

1 8 2

( ) ( ) 022132

122

=−+ ( ) ( ) 022322 2 =−−+−

( ) 0223

412 =−+ ( ) 02642 =−−

0223

21 =−+ 8 – 8 = 0

022 =− 0 = 0

00 =

En ambos casos, se cumple la ecuación

Respuesta: la solución de la ecuación 0232 2 =−+ xx es 21

=x y 2=x

Ejemplo 21: Resuelve 04129 2 =++ xx

determinamos los valores de a, b y c.

a = 9 b = 12 c = 4


( ) 0144144)4)(9(4124 22 =Δ⇒−=Δ→−=−=Δ acb

Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una solución real.

abcbbx

242 −±−

= ; ( ) 1812

9212- −

==x ; 32

−=x

La solución de la ecuación es 32

− , pues al reemplazar este valor en la ecuación original, ésta

se cumple. Compruébalo.

Ejemplo 22: Resuelve la ecuación 0532 2 =+− xx

Determinamos los valores de ba, y c .

a = 2 b = -3 c = 5


( ) 31409)5)(2(434 22 −=Δ⇒−=Δ⇒−−=−=Δ acb

1 8 3

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Respuesta: la ecuación 0532 2 =+− xx , no tiene solución en los números reales.

Ejemplo 23: Resuelva 01652 =− -xx


a = 1 65

−=b c = -1


36

16943625)1)(1(4

654

22 =Δ⇒+=Δ⇒−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=Δ acb


en la “resolvente”, tenemos

)(x

1236

16965

±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

= 2

613

65±

=⇒ x


23

1218

26

1365

1 ==+

=x


32

128

268

26

1365

2 −=−=−

=−

=x

Respuesta: Las soluciones de 01652 =− x-x son

23

=x y 32

−=x

Ejemplo 24: Resuelva mm322

65 2 +=

Primero escribimos la ecuación en su forma general, pasando todos los términos para la

izquierda e igualando a cero:

1 8 4

0232

65 2 =−− mm


65

=a 32

−=b 2−=c

En este caso específico podemos convertir la ecuación en entera, para trabajar con mayor

facilidad. Si queremos llevar esta ecuación cuadrática a una equivalente, multiplicamos por el

mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación, mcm(3,6) = 6.

( ) 026326

656 2 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ mm

Luego simplificando, nos queda la siguiente ecuación cuadrática:

124501245 2 −=−==⇒=−− cbamm

Ahora calculamos el valor del discriminante:

( ) 25624016)12)(5(444 22 =Δ⇒+=Δ⇒−−−=−=Δ acb



10

2564 ±=m

10164 ±

=⇒ m


21020

10164

==+

=m


56

1012

10164

−=−

=−

=m

Respuesta: Las soluciones de mm322

65 2 += son 2=m y

56

−=m

Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado

1 8 5

La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en

matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En este

apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 25: Encuentra los valores de “ x ”, tal que 032 =−++ ddxx , tenga sólo una raíz.

De la definición del discriminante, sabemos que cuando acb 42 − es igual a cero (0), la ecuación

tiene una sola raíz. Por lo tanto, el primer paso es determinar los valores de ba, y c

1=a , db = y dc −= 3

Luego se sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero.

( ) ( )( ) ( )01240412

034031404022

222

=−+⇒=+−

=−−⇒=−−⇒=−⇒=Δ

ddddddddacb

Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula cuadrática,

01242 =−+ dd , donde 1241 −=== cba


( ) 644816)12)(1(444 22 =Δ⇒+=Δ⇒−−=−=Δ acb

Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales.

Reemplazando en la “resolvente”, tenemos

)1(2

64)4( ±−=d

284 ±−

=⇒ d


224

284

1 ==+−

=d


6212

284

2 −=−

=−−

=d

1 8 6

Las soluciones de la ecuación son 6,2 −== dd , es decir, que los valores de “ d ” que

hacen que la ecuación en x , 032 =−++ ddxx tenga una sola solución, son

6,2 −== dd y las ecuaciones resultantes de sustituir los valores de d , son:

0122 =++ xx y 0962 =+− xx .

Ejemplo 26: Resolver la ecuación 0365 24 =−− xx

Esta es una ecuación de cuarto grado, sin embargo, puede resolverse utilizando la fórmula

cuadrática o factorizando. Para tal efecto debemos hacer un cambio de variable. Digamos que 2xm = , sustituyendo en la ecuación nos queda: 03652 =−− mm

Aplicando la fórmula cuadrática para

1=a 5−=b 36−=c

Calculamos el valor del discriminante:

( ) 16914425)36)(1(454 22 =Δ⇒+=Δ⇒−−−=−=Δ acb



)1(2169)5( ±−−

=m 2

135 ±=⇒ m


92

182135

1 ==+

=m


428

2135

2 −=−

=−

=m

Una vez encontrados los valores de m , debemos devolver el cambio de variable:

si mxxm ±== entonces2

Si tomamos el valor de 9=m , entonces 9±=x , es decir, 3±=x

1 8 7

Si 4−=m , al sustituir en x , nos queda ℜ∉−±= 4x , por lo tanto, la solución de la ecuación

0365 24 =−− xx , es 3=x y 3−=x

Con los dos últimos ejemplos, hemos querido indicar que podemos aplicar la resolverte en

ecuaciones, que en su forma original no son cuadráticas, pero pueden transformarse en tales,

mediante operaciones adecuadas.

Ejemplo 27: Factorice la ecuación 03552 22 =−− yxyx

En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables como

básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que “ x ” es nuestra variable base,

entonces reescribimos la ecuación:

03)5(2 22 =−− yxyx , donde ,2−=a 5−=b y 23yc −=

Calculamos el valor del discriminante:

( ) 222222 492425)3)(2(454 yyyyyacb =Δ⇒+=Δ⇒−−−=−=Δ

Como el discriminante resultó positivo, para cualquier valor de y , la ecuación tiene dos

soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos

)(yy

x22495 2±

= 4

75 yyx ±=⇒

Donde yyyyx 34

124

751 ==

+= y yyyyx

21

42

475

2 −=−

=−

= . Luego las soluciones son

yx 3= y yx21

−= . Por lo tanto, la factorización queda de la siguiente forma:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−− yxyxyxyx

2132352 22

= ( )( )yxyx +− 23

Respuesta: ( ) )2(3352 22 yxyxyxyx +−=−−


Encuentra las soluciones de cada ecuación planteada:

47. 01032 =−− xx 48. 0232 2 =−+ xx

49. 01462 =−+− xx 50. 042 2 =−− xx

1 8 8

51. 2213 xx =+ 52. 326 2 =+ xx

53. 02142 =−+ yy 54. 0144 2 =++ mm

55. 0169 2 =+− yy 56. 011236 2 =++ pp

57. 148 2 =− mm 58. 2422 =− tt

59. 0145 24 =−− xx 60. 24 712 yy =+

61. 161

212 −= tt 62. 2

431 mm =+

63. 3212 =+

xx 64. 2

611xx

=−

65. 43

125

31 2 =+ xx 66.

103

51

21 2 =+ xx

Encuentra los valores reales de “ k ” para que la ecuación tenga sólo una solución.

67. 012 2 =−+ kxx 68. 1172 −=−− kxx

69. 02 2 =++ kkxx 70. ( ) 03 22 =+−+ kxkx

71. 022 =++ kkxkx

Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones.

72. 7256

1443

+−

=++

xx

xx

73. 135

1353

++

=−+

xx

xx

Aplicaciones Directas.

74. Para la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax

a) Demuestra que las sumas de sus raíces es igual a ab−

b) Demuestra que el producto de sus raíces es igual a ac

75. Si la ganancia mensual de una empresa puede expresarse como

1 8 9

G(x) = – 0,0025x2 +27x – 66.000, donde “x” es el número de unidades producidas.

Determina el número de unidades “x” que producirá una ganancia de BsF 6900.

76. Cierta deuda se pagará en n meses, donde

( )[ ]12222

416 −+= nn ¿En cuántos meses se pagará la deuda?

77. ¿Para qué valor o valores de x el costo iguala a la ganancia, si el costo es:

C(x) = 16152 ++− xx y la ganancia es G(x) = 47 −x ?

Ecuaciones Radicales

Una ecuación radical es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical. Son

ejemplos de ecuaciones radicales:

a) 3.22.244 =−+ x

b) xx −=+ 112

c) 0673 =+++ xx

Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y B son dos

expresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de

soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A n = B n donde n es cualquier entero

positivo.

Ejemplo 28: Resuelva 263 −=− xx

Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:

( ) ( )22263 −=− xx

Desarrollamos el producto notable ( ) 222 2 bababa +−=− del lado derecho

4463 2 +−=− xxx

63440 2 +−+−= xxx

01072 =+− xx , donde 1=a , 7−=b y 10=c


Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad.

Despejamos los valores de x , para igualar la ecuación a cero. Entonces nos queda una ecuación cuadrática.

1 9 0

( ) 94049)10)(1(474 22 =Δ⇒−=Δ⇒−−=−=Δ acb



)()(x12

97 ±−−=

237 ±

=⇒ x

Donde 52

102

371 ==

+=x y 2

24

237

2 ==−

=x

Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,

debemos comprobar ambos valores de x en la ecuación original, por sustitución.

Para 5=x la igualdad se cumple

( ) (cierto) 39361525653 =⇒=−⇒−=−

Para 2=x la igualdad también se cumple

( ) (cierto)0022623 =⇒−=−

Respuesta: La solución de la ecuación 263 −=− xx , es 5=x y 2=x .

Ejemplo 29: Resuelva 13215 ++=+ xx

Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera: Primero

elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, para no alterar el valor de la expresión.

( ) ( )2213215 ++=+ xx

En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado, la cual da

como resultado la expresión sub-radical. En el lado derecho de la ecuación tenemos un binomio

al cuadrado (producto notable):

( ) 222 2 bababa ++=+ donde 32 += xa y 1=b .

Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecuación, tenemos

( ) ( )( ) ( )22113223215 ++++=+ xxx 13223215 ++++=+⇒ xxx

Despejamos la raíz cuadrada resultante

3223332213215 +=−⇒+=−−−+ xxxxx

1 9 1

Nuevamente, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

( ) ( )22 32233 +=− xx

Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el cuadrado del lado derecho

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

03269012891891289189

324918932233323

2

22

22222

=−−

=−−+−⇒+=+−

+=+−⇒+=+−

xxxxxxxx

xxxxxx

Ahora la ecuación puede resolverse mediante la fórmula cuadrática, donde:

9=a , 26−=b y 3−=c

( ) ( ) ( )( )( ) 18

1086762692

39426262

4 22 +±=

−−−±−−=

−±−=

aacbbx

1878426 ±

=

182826 ±

=

Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática, debes

comprobar si ambos valores de x son la solución de la ecuación original 13215 ++=+ xx .

Ejemplo 30: Resuelve 0673 =+++ xx

El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar 0,

por consiguiente no existe valor de x que satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es

VACIO ( φ )

Ejemplo 31: Resolver 3.22.244 =−+ x

( )444 3.22.24 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+ x

Eleva a la cuatro ambos miembros

1442.24 =−+ x Resuelve las potencias

1402.2 =−x Agrupa términos semejantes

702 =−x Divide entre 2 ambos miembros

91

182

182826

2 −=−

=−

=x

31854

182826

1 ==+

=x

1 9 2

( ) ( )22702 =−x Eleva al cuadrado ambos miembros

49002 =−x Resuelve las potencias

4902=x Pasa el 2 sumando para el otro lado de la igualdad

Comprueba por ti mismo la solución a la ecuación, sustituyendo el valor de 4902=x

Ejemplo 32: Resuelva 12=−

xx

xxx

xx .1.2. =− Multiplica por el m.c.m que es x

xx =− 2 Resuelve los productos y simplifica

( ) ( )222 xx =− Eleva al cuadrado ambos miembros y

xxx =+− 442 Resuelve

0452 =+− xx Factoriza

0)1)(4( =−− xx Si 0 ó 00 ==⇔=⋅ baba

Por consiguiente 4=x y 1=x . Verifica si cada una de ellas son soluciones de la ecuación.

Respuesta: La única solución de 12=−

xx es 4=x .

Ejemplo 33: Resolver 216 =−+ xx

22

216 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+ xx

Eleva al cuadrado ambos miembros

416 =−+ xx Resuelve las potencias

xx +=+ 416 Suma x a ambos lados

( ) ( )22x416x +=+

Eleva al cuadrado ambos miembros

xxx ++=+ 81616 Resuelve las potencias

x80 = Agrupa términos semejantes

Por consiguiente, 0=x

1 9 3

Respuesta: La única solución de 216 =−+ xx es 0=x .


Encuentra las soluciones de cada ecuación:

78. 3295 +=+ xx 79. 432 −=+ xx

80. 951123 +=−+ xx 81. xx 21154 2 =+−

82. 514 =−++ xx 83. x

xx 105 =++

84. xxx −=+− 2122 85. 022 3 2 =+− xx

86. 011276 =+−++− xxx 87. 6=+ tt

88. 01053 =++x 89. xx −=+ 112

90. Se ha determinado que el número de materias x , solicitadas por los estudiantes en cierto

semestre de una universidad, viene dado por 133 +−= xx . Determina la menor y

mayor cantidad de materias solicitadas.

LECTURA N° 26: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES



DEFINICIÓN

Hasta ahora, en el Curso de Inducción Universitaria, hemos trabajado soluciones de ecuaciones con una incógnita. En esta Unidad trataremos sistemas de ecuaciones, lo cual no es más que un conjunto de ecuaciones con más de una (1) incógnita, que al resolverlas tienen la misma solución. Comenzaremos con sistemas básicos de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y, al final se ampliará el estudio a sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Los siguientes son ejemplos de sistemas de ecuaciones:

(a) ⎩⎨⎧

=−=+

126312

yxyx

El ejemplo corresponde a un sistema de ecuaciones lineales de dos (2) ecuaciones con dos (2) incógnitas

1 9 4

(b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+

=+−

010751254

223

zyxzyx

zyx

El ejemplo corresponde a un sistema de ecuaciones lineales de tres (3) ecuaciones con tres (3) incógnitas

(c) ⎩⎨⎧

=+−=+

772422

yxyx

El ejemplo representa un sistema de ecuaciones no lineales de dos (2) ecuaciones con dos (2) incógnitas.

Nota:

En un sistema de ecuaciones no siempre el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

TÉRMINOS EMPLEADOS EN SISTEMA DE ECUACIONES

Las dimensiones de un sistema de ecuaciones depende: primero, del número de ecuaciones (al cual llamaremos m), y segundo, del número de incógnitas (al que llamaremos n). Entonces la dimensión de un sistema la definiremos m x n.

Sistema 2x2 Sistema 3x3 Sistema 3x2

⎩⎨⎧

=−=+

323132

yxyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−

=+−

1243332

24

zyzyx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+

=−

324263

42

yxyx

yx

La solución de un sistema corresponde a los valores de las incógnitas encontradas y que, al sustituirlos en ambas ecuaciones, satisface el sistema original, es decir son los valores de las incógnitas que hacen que las igualdades se verifiquen.

Los sistemas de ecuaciones se pueden considerar homogéneos o no homogéneos. LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS, son aquellos que tienen todos los términos independientes iguales a cero y una de sus soluciones es aquella en la que todas las incógnitas tienen como valor cero (0). A este tipo de solución se le llama solución trivial, pero debemos tener presente que no todos los sistemas homogéneos tienen una única solución. LOS SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS, son aquellos en los que por lo menos uno de los términos independientes es distinto de cero (0). Más adelante observaremos ejemplos.

Los sistemas de ecuaciones denominados COMPATIBLES, son aquellos que tienen solución y pueden categorizarse como compatibles determinados e indeterminados.

Un sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, cuando tiene un número finito de soluciones

Un sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, cuando tiene un número infinito de soluciones.

1 9 5

• Por otro lado podemos señalar que un SISTEMA INCOMPATIBLE, es aquel que no tiene solución. Más adelante observaremos ejemplos.

• Una ecuación lineal en una variable se define también como una ecuación de primer grado en la variable y es de la forma cbax =+ con 0≠a .

• Una ecuación lineal en dos variables ( yx, ), se define como una ecuación de 1er grado en cada una de las variables y es de la forma 0=++ cbyax , donde 00 ≠≠ bya .

• En general, una ecuación lineal en “ n ” variables nxxx ,..., 21 es una ecuación de 1er grado en cada una de las variables y es de la forma bxaxaxa nn =+++ ΚΚ2211 , donde no todos los ia sean iguales a cero.

• Un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. En los ejemplos de la definición, al inicio de esta unidad, el (a) y (b) son sistemas de ecuaciones lineales.

1.- Sistema de ecuaciones lineales 2x2

Es el conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En el ejemplo “a” de la definición es sistemas de ecuación lineales 2 x 2.

Criterios para determinar la existencia de soluciones de sistemas 2 x 2

Antes de intentar resolver un sistema de ecuaciones, es conveniente determinar si el sistema tiene solución y conocer la naturaleza de ésta. En este apartado indicamos algunos criterios que nos pueden orientar en la búsqueda de la solución.

Para el siguiente el sistema 2 x 2:

⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

Se presentan dos (2) casos:

Caso 1: Si el sistema de ecuaciones es homogéneo, es decir, 021 == cc , tendremos dos opciones:

i) 2

1

2

1

bb

aa

≠ el sistema tiene solución trivial, x = 0, y = 0

ii) 2

1

2

1

bb

aa

= el sistema tiene infinitas soluciones.

Caso 2: Si el sistema de ecuaciones es no homogéneo y suponiendo 02 ≠c , tendremos tres opciones:

1 9 6

i) 2

1

2

1

bb

aa

≠ el sistema tiene sólo una solución no trivial y es la siguiente:

1221

1221bababcbcx

−−

= 1221

1221

babacacay

−−

=

ii) 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

== el sistema tiene infinitas soluciones

iii) 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

≠= el sistema no tiene solución.

Veamos algunos ejemplos de determinación de soluciones:

Ejemplo 1: Para el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−=+

024032

yxyx

determina la solución, en caso de

que exista.

Observamos que el sistema es homogéneo, pues 021 == cc , y además que

21

42

2

1 ==aa

y 23

2

1 −=bb

, entonces 2

1

2

1

bb

aa

≠ ,

por lo tanto, corresponde al caso 1.i), en consecuencia el sistema tiene solución trivial,

x = 0, y = 0.

Ejemplo 2: Para el siguiente sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=+=+

02402

yxyx

determina la solución, en

caso de que exista.

El sistema es homogéneo, ya que 021 == cc , y además que

21

42

2

1 ==aa

y 21

2

1 =bb

, entonces 2

1

2

1

bb

aa

=

por lo tanto, corresponde al caso 1.ii), en consecuencia el sistema tiene infinitas soluciones

Ejemplo 3: Para el siguiente sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

−=−=+

102413

yxyx

, determina la solución,

en caso de que exista.

1 9 7

El sistema es no homogéneo, ya que 10,1 21 −== cc , por otro lado observa que:

41

2

1 =aa

y 23

2

1 −=bb

, entonces 2

1

2

1

bb

aa

≠

por lo tanto, corresponde al caso 2.i) y resolvemos como sigue:

1221

1221

bababcbcx

−−

= 2)3)(4()2)(1(

)3)(10()2)(1(−=

−−−−−

=

1122

410)3)(4()2)(1()1)(4()10)(1(

1221

1221 =−−−−

=−−−−

=−−

=babacaca

y

Respuesta: La solución es x =- 2, y = 1

Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=+=+

22412

yxyx

El sistema es no homogéneo, pues 21 21 == cyc , además que:

21

42

2

1 ==aa

, 21

2

1 =bb

y 21

2

1 =cc

, entonces 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

==

por lo tanto, corresponde al caso 2.ii), en consecuencia el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−=−

32422

yxyx

El sistema es no homogéneo, ya que 32 21 == c,c , además observamos que:

21

42

2

1 ==aa

, 21

2

1 =bb

y 32

2

1 =cc

, entonces 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

≠=

por lo tanto, corresponde al caso 2.iii), en consecuencia el sistema no tiene solución.

Interpretación Geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Todas las ecuaciones lineales de dos variables (incógnitas) tienen líneas rectas por gráficas en el plano cartesiano. En el caso de un sistema de dos ecuaciones lineales y dos variables (incógnitas), la representación gráfica del mismo viene dada por dos rectas en el mismo plano las cuales se pueden comportar de la siguiente forma:

1 9 8

Caso A: El sistema es homogéneo (compatible determinado) y tiene solución trivial ( )0,0 == yx .

⎩⎨⎧

=+=+

2010

22

11

ecybxaecybxa

Caso B: El sistema es no homogéneo (compatible determinado) y tiene una única solución no trivial.

⎩⎨⎧

=+=+

21

222

111

eccybxaeccybxa

Caso C: El sistema homogéneo o no homogéneo (compatible indeterminado) tiene infinitas soluciones.

⎩⎨⎧

=+=+

21

222

111

eccybxaeccybxa

Caso D: El sistema es no homogéneo (incompatible) y no tiene solución.

⎩⎨⎧

=+=+

21

222

111

eccybxaeccybxa

Las dos rectas tienen en común el punto (0, 0)

x

y ec 1

ec 2 Las dos rectas tienen en común el punto que no es el origen

Las rectas no tienen punto en común

x

y ec 1

ec 2

Las rectas son coincidentes (una sobre

la otra)

x

y ec 1

ec 2

x

y

ec 1 ec 2

1 9 9

Método para resolver sistema de ecuaciones lineales 2 x 2

De los criterios estudiados en esta guía, el numerador como “2.i” es el que nos ocupa en este caso; es decir, sistemas no homogéneos con una solución. Se indicó que teniendo el sistema:

⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

Su solución es:

1221

1221

bababcbcx

−−

= 1221

1221

babacacay

−−

=

Sin embargo, existen diferentes métodos que nos permiten obtener esta solución con procedimientos muy específicos. Es muy importante conocer dichos procedimientos para análisis posteriores.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales podemos utilizar los siguientes métodos:

Métodos Analíticos: Sustitución

Igualación

Reducción

Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones, tales como los matriciales y el método gráfico, pero en esta guía sólo desarrollaremos los métodos analíticos y mostraremos su interpretación gráfica.

Método de Sustitución

Este método, como su nombre lo dice, consiste básicamente en sustituir expresiones y valores en las ecuaciones para encontrar la solución del sistema. Estudiemos este método con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 6: Resuelva el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−−=+25743223

yxyx

utilizando el método de

sustitución.

Solución:

Paso 1: Verificamos la naturaleza de la solución.

El sistema es no homogéneo, porque 01 ≠c y 02 ≠c , entonces:

43

2

1 =aa

72

2

1 −=bb

2

1

2

1

bb

aa

≠

El sistema tiene una solución única.

Paso 2: Denotamos cada ecuación con un número, para diferenciarla.

2 0 0

El -7 y pasa sumando a 25 y el 4 que está multiplicando pasa dividiendo a toda la expresión. Finalmente llamamos (3) a la nueva ecuación.

Suma de fracciones, considerando que

122 yy = y el mínimo entre 4 y 1 es 4

Agrupamos términos semejantes.

Reemplazamos la x por el valor que tiene según la ecuación 3.

El 4 pasa multiplicando a -32

⎩⎨⎧

←=−←−=+

)2(2574)1(3223

yxyx

Paso 3: Elegimos una de las ecuaciones para despejar una de las incógnitas, en este caso

tomamos la (2) para despejar “ x ”. Es indistinto la ecuación que se elija y la incógnita que se

despeje.

)3(4

725

)2(2574

ecyx

yx

+=⇒

←=−

Paso 4: Sustituimos la expresión correspondiente a “ x ”, en la ecuación del sistema que no fue tomada, en este caso es la ec (1).

( )13223 ←−=+ yx

3224

7253 −=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yy

Paso 5: Obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita y la resolvemos.

32242175

−=++ yy

324

82175−=

++ yy

12882175 −=++ yy

75128821 −−=+ yy

20329 −=y

729203

−=−=y

Paso 6: Sustituimos el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las ecuaciones (1); (2) ó (3), generalmente se elige la que considere más sencilla. En nuestro ejemplo elegimos la ecuación (3), pues “ x ” ya aparece despejada y sustituimos y = - 7.

( )

64

244

77254

725

−=−=

−+=

+=

x

x

yx

2 0 1

Paso 7: Comprobación.

Sustituimos x = - 6 y = - 7 en ambas ecuaciones del sistema original.

3232321418

32)7(26(33223

−=−−=−−

−=−+)−=+ yx

2525254924

25)7(7)6(42574

==+−

=−−−=− yx

Paso 8: Presentamos la solución

La solución del sistema es 76 −=−= yex , de

acuerdo a esto, el sistema es compatible determinado, porque tiene solución única.

Como ya mencionamos, la interpretación gráfica corresponde a dos rectas que tienen en común el punto P(-6,-7). Veamos:

Ejemplo 7: Resuelve el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=+++

03014472

yxx


sustitución.



21

42

2

1 ==aa

21

147

2

1 ==bb

61

305

2

1 −=−=cc

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

≠=

El sistema no tiene solución, es incompatible, por lo tanto no es necesario aplicar el método de sustitución. Su interpretación gráfica corresponde al Caso D, apartado 3.2., dos rectas paralelas (no tienen puntos en común), como se muestra a continuación.

y

572 =+ yx

x

30144 −=+ yx

P(-6,-7)

x

3223 −=+ yx

2574 =− yx

-7

-6

2 0 2

A esta ecuación le llamaremos (3)

Simplificamos.

Ejemplo 8: Resuelve el sistema de ecuaciones

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=−

342

2353

yx

yx utilizando el método de

sustitución.

Solución:



313

2

1 ==aa

25

2

1 −=

bb

2

1

2

1

bb

aa

≠

E l s i s t ema t i ene so l uc i ón ún i ca .


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

←=+

←−=−

)2(342

)1(2353

ecyx

ecyx

Paso 3: Elegimos la ecuación (2) y despejamos la incógnita “x”

342 =+ yx (Ec 2)

yx 234−=

364 yx −

=

Paso 4: Luego en la ecuación (1) sustituimos 364 yx −

=

2353 −=− yx

235

3643 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yy

Paso 5: Resolvemos la ecuación de primer grado.

23564 −=−− yy

2 0 3

Agrupamos términos semejantes. 42356 −−=−− yy

2

1111 −=− y ⇒ 21

=y

Paso 6: Ya tenemos el valor de “ y ”, ahora encontremos el valor de “ x ”. Esto resulta sencillo, sólo debemos elegir una de las tres ecuaciones (1); (2) ó (3) y sustituir en ella el valor encontrado de “ y ”, elegimos la ecuación (2)

342 =+ yx (ec 2) ⇒

34

212 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+x

341 =+x ⇒ 1

34−=x ⇒

31

=x

Paso 7: Comprobar el resultado (para este ejercicio comprueba la solución).

Paso 8: Finalmente está resuelto el sistema y las soluciones son x = 1/3 e y = 1/2 de acuerdo a esto el sistema de ecuaciones es compatible determinado, debido a que tiene sólo una solución, esto ya indica que la solución es finita.

Método de Igualación

Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar ambos resultados. Estudiemos este método con los siguientes ejemplos:


=−−=+25743223

yxyx


igualación.



43

2

1 =aa

72

2

1 −=bb

2

1

2

1

bb

aa

≠



⎩⎨⎧

→=−→−=+

)2(2574)1(3223

ecyxecyx

2 0 4

Paso 3: De ambas ecuaciones despejamos la misma incógnita. En este caso despejamos la incógnita “ x ”.

Despejamos “ x ” de la ecuación (1)

)1(3223 ecyx ←−=+

yx 2323 −−=

)3(3

232 ecyx ←−−

=

Despejamos “ x ” de la ecuación (2)

)2(2574 ecyx ←=−

yx 7254 +=

)4(4

725 ecyx ←+

=

Paso 4: Ahora igualamos las dos expresiones encontradas. Es decir )4()3( ecyec

=−−

3232 y

4725 y+

Paso 5: Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida en la igualación.

)y()y( 72532324 +=−−

yy 21758128 +=−−

yy 82175128 +=−−

y29203 =−

29203

−=y

7−=y

Paso 6: Sustituimos el valor encontrado en la ecuación que se considere más sencilla. Sustituiremos 7−=y en la )4(ec

4725 yx +

= (ec 4)

4)7)(7(25 −+

=x

44925 −

=x

2 0 5

6

424

−=⇒

−=⇒

x

x

Paso 7: Se comprueban los resultados sustituyéndolos en el sistema original. (comprueba la solución.)

Paso 8: Se presenta la solución del sistema: y = -7 y x = -6.

Observa que el sistema de ecuaciones que acabamos de resolver, es el mismo ejemplo ya resuelto por el método de sustitución. Fíjate que con cualquiera de los métodos utilizados hasta ahora (sustitución e igualación), obtenemos exactamente la misma solución para el sistema.


−=−=+

74323

yxyx


igualación.



43

2

1 =aa

21

2

2

1 −=−

=bb

2

1

2

1

bb

aa

≠

El sistema tiene solución única.


⎩⎨⎧

→−=−→=+

)2(74)1(323

ecyxecyx

Paso 3: De ambas ecuaciones despejamos la misma incógnita.

Despejamos “ y ” de la ecuación (1)

323 =+ yx (ec 1)

xy 332 −=

233 xy −

= (ec 3)

Despejamos “ y ” de la ecuación (2)

74 −=− yx (ec 2)

xy 47 −−=−

xy 47 += (ec 4)

2 0 6

Paso 4: Ahora igualamos las dos expresiones encontradas. Es decir, ec 3 y ec 4

=−233 x x47 +

Paso 5: Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida en la igualación.

)x(x 47233 +=−

xx 81433 +=−

xx 38143 +=−

x1111 =−

1111

−=x

1−=x

Paso 6: Sustituimos el valor encontrado en la ecuación que consideres más sencilla. Sustituiremos 1−=x en la ec 4

xy 47 += (Ec 4)

)(y 147 −+=

47 −=y

y = 3

Paso 7: Se comprueban los resultados, sustituyéndolos en el sistema original. (comprueba la solución)

Paso 8: Se presenta la solución del sistema: 1−=x , y = 3.

Como ya mencionamos, la interpretación gráfica corresponde a dos rectas que se interceptan (o cortan) en el punto P(-1,3). Veamos:

→− )3,1(p

y

x

3x +2y = 3

4x – y = - 7

2 0 7

m.c.m(2, 7)=14 dividido entre 2 es 7 m.c.m(2, 7)=14 dividido entre 7 es 2

Método de Reducción

Este método consiste en “eliminar” una de las incógnitas igualando sus coeficientes y sumar o restar las ecuaciones del sistema. Para ello se suman cuando por lo menos una de las incógnitas que tenga signos contrarios en sus coeficientes y se restan las ecuaciones cuando los signos de los coeficientes respectivos de las incógnitas sean iguales. Luego se resuelve la ecuación de primer grado obtenida en el proceso. Veamos un ejemplo ya conocido:

Ejemplo 11: Ahora resolvamos el sistema ⎩⎨⎧

=−−=+25743223

yxyx

utilizando el método de reducción.


El sistema es no homogéneo porque 01 ≠c y 02 ≠c , entonces:

43

2

1 =aa

72

2

1 −=bb

2

1

2

1

bb

aa

≠


Paso 2: Le asignamos números a las ecuaciones para diferenciarlas

⎩⎨⎧

←=−←−=+

2.25741.3223

ecyxecyx

Paso 3: Elegimos aquella incógnita cuyos coeficientes tengan signos contrarios, en este caso “ y ”. Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre esos coeficientes. En este caso se suman las ecuaciones.

Nota:

Puede suceder que ambas incógnitas tengan coeficientes de signos contrarios (la selección sería irrelevante).

⎩⎨⎧

←=−←−=+

)2(2574)1(3223

ecyxecyx

El m.c.m(2,7)=14

Paso 4: Dividimos el m.c.m, calculado entre los coeficientes de “ y ” en cada ecuación y ese cociente lo multiplicamos por cada uno de los términos en las ecuaciones, respectivamente.

⎩⎨⎧

=−−=+2574

322327

yxyx

( ) ( )( ) ( ) ⇒

⎩⎨⎧

=−−=+252742

327237yxyx

⎩⎨⎧

=−−=+50148

2241421yxyx

2 0 8

Observa que los factores encontrados se multiplican por “toda” la ecuación, incluyendo el lado derecho de las mismas.

Paso 5: Sumamos (o restamos) las ecuaciones obtenidas. La suma (o resta) de los lados izquierdos debe ser igual a la suma (o resta) de los lados derechos.

2241421 −=+ yx

50148 =− yx

17429 −=x

29174−

=x

6−=x

Paso 6: Nos falta encontrar el valor de “ y ”. Para ello sólo debemos sustituir 6−=x en una de las ecuaciones (1 ó 2) en este caso, lo haremos en la (2).

2574 =− yx (Ec2)

25764 =−− y)(

25724 =−− y

24257 +=− y

497 =− y

7

49−

=y entonces 7−=y

Paso 7: Comprueba el resultado obtenido. (Verifícalo)

Paso 8: Se presenta la solución del sistema.

La solución es 7−=y y 6−=x . Fíjate que es el mismo sistema resuelto por los otros dos métodos (igualación y sustitución) y que obtenemos exactamente la misma solución.

Ejemplo 12: Resuelve el sistema ⎩⎨⎧

−=−−=−921432

yxyx

. Utiliza el método de reducción.


El sistema es no homogéneo, entonces:

22

1 =aa

23

2

1 =bb

2

1

2

1

bb

aa

≠



2 0 9

m.c.m(1,2)=2 dividido entre 2 es 1 m.c.m(1,2)=2 dividido entre 1 es 2

2.921.1432

ecyxecyx

←−=−←−=−

Paso 3: Como ninguna incógnita tiene coeficientes de signos contrarios, elegimos cualquiera de las dos, digamos “ x ”. Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre sus coeficientes.

El m.c.m(1,2)=2

Paso 4: Dividimos el m.c.m, calculado entre los coeficientes de “x” en cada ecuación y ese cociente lo multiplicamos por cada uno de los términos en las ecuaciones, respectivamente.

⎩⎨⎧

−=−−=−921432

yxyx

Si multiplicamos la primera ecuación por 1 y la segunda por 2, igualamos los coeficientes de la

incógnita x , pero al sumar las dos ecuaciones no se eliminan, por lo que una de las ecuaciones

se multiplica por el número indicado, pero con signo contrario ejemplo:

21−

⎩⎨⎧

−=−−=−921432

yxyx

⎩⎨⎧

−=−=+−

18421432

yxyx

Paso 5: Recuerda que la suma (o resta) de los lados izquierdos, debe ser igual a la suma (o resta) de los lados derechos.

1432 −=− yx

1842 =+− yx

4=y

Paso 6: Nos falta encontrar el valor de “ x ”. Para ello sólo debemos sustituir 4=y en una de las ecuaciones (1 ó 2) en este caso lo haremos en la (2).

92 −=− yx (ec 2)

942 −=− )(x

98 −=−x

89 +−=x

1−=x

Paso 7: Se comprueba el resultado obtenido. (Verificarlo)

Paso 8: Se presenta la solución del sistema. La solución es 1−=x e 4=y .

2 1 0

Ejemplo 13: Resuelve el sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

152

1025yx

yx utilizando el método de reducción.


El sistema es no homogéneo, porque 00 21 ≠≠ cyc y además observamos que:

10

215

2

1 ==aa

, 1051

2

2

1 ==/b

b y 10

110

2

1 ==cc

, entonces 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

==

Lo que implica que el sistema tiene infinitas soluciones. Aunque no es necesario aplicar ningún método, sólo por esta vez y con el fin de comprobar el aspecto conceptual, intentaremos aplicar “reducción” al sistema indicado. Para tal efecto convertimos la ec. 2 en entera:

152=+

yx

El m.c.m (2,5) = 10, entonces multiplicamos toda la ecuación por 10

1105

102

10 )(y)(x)( =+

Simplificamos y obtenemos:

1025 =+ yx

Resulta la misma expresión de la ec 1, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado y tiene un número infinito de soluciones, tal como habíamos explicado previamente.

2.- Sistemas de Ecuaciones lineales 3 x 3

Algunas veces se presentan casos donde el sistema tiene tres (3) ecuaciones y tres (3) incógnitas, una forma de resolver estos sistemas es convertirlos en un sistema 2 x 2 y aplicarlo a cualquiera de los métodos estudiados.

Ejemplo 14: Resuelve el siguiente sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−−=−+

1231022

232

zyxzyxzyx

Este es un sistema 3 x 3 y lo resolveremos convirtiéndolo en un sistema 2 x 2.

Primero vamos a nombrar las ecuaciones para diferenciarlas:

2 1 1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

←=−−←=+−←−=−+

3.1232.10221.232

eczyxeczyxeczyx

Ahora elegimos 2 de las ecuaciones, ec 1 y ec 2, y eliminamos una de las incógnitas por reducción, digamos “ z ” para lo cual multiplicamos toda la primera ecuación por 2.

⋅⋅

12

⎩⎨⎧

=+−−=−+1022

232zyxzyx

4.6451022

4264

ecyxzyxzyx

←=+=+−−=−+

El siguiente paso es elegir otras 2 ecuaciones del sistema original (por ejemplo, ec2 y ec3) y eliminar la misma incógnita “ z ”

5.11341231022

ecyxzyxzyx

←=−=−−=+−

Ahora resolvemos el sistema 2 x 2, formado por las ecuaciones 4 y 5, por el método que consideres más conveniente.

⎩⎨⎧

←=−←=+

5.11344.645

ecyxecyx

En este caso obtendremos directamente el resultado de las fórmulas enunciadas en el apartado 2 del capítulo.

23162

443541136

=−−

=−−−−

=)()()()(x

131

31443564115

−=−

=−−−

=)()()()(y

Con estos valores de 2=x y 1−=y ; sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales y obtenemos el valor de “ z ”. Seleccionamos la ec1

232 −=−+ zyx →ec1

2(2) + 3(-1) – z = -2

4 – 3 - z = -2

- z = - 3

z = 3

2 1 2

Una vez obtenidos los valores de las incógnitas, se comprueba y se presenta el resultado: 2=x 1−=y z = 3

3.- Sistemas de Ecuaciones no Lineales 2x 2

Estos son sistemas que contienen por lo menos una ecuación no lineal, por ejemplo: una ecuación cuadrática, cúbica, racional, entre otras. Podemos resolverlos utilizando los conceptos estudiados en esta guía. Veamos algunos de ellos.

Ejemplo 15: Resuelve el sistema ⎩⎨⎧

=+−=+

76321022

yxyx

Este sistema no es lineal, sin embargo, podemos resolverlo por sustitución.

Primero le asignamos números a las ecuaciones para diferenciarlas

⎩⎨⎧

→=+−→=+

2.7321.1022

ecyxecyx

Despejamos una de las variables de la ec. 2, en este caso “ y ”

327 xy +

= (Ec3)

Sustituimos en la ec. 1

10327 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+xx

( ) 103272

22 =

++

xx

Desarrollamos la suma del binomio elevado al cuadrado

109

42849 22 =

+++

xxx

Multiplicamos toda la ecuación por m.c.m(1,9) = 9

90428499 22 =+++ xxx

0412813 2 =−+ xx

Resolvemos la ecuación de 2° grado y obtenemos:

4128,132

42

−===−±−

= cybadondea

acbbx

( ) ( )132

41142828 2

⋅−⋅⋅−±−

=x

2 1 3

2616478428 +±−

=x

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=±−

=

1341

1

265428

2

1

x

xx

Como obtuvimos dos resultados para “ x ”, sustituimos cada resultado en la ec. 3, para obtener los valores de “ y ”

Para 1=x

327 xy +

= (ec. 3)

3

127 )(y +=

3=y

Para 1341

−=x

3

134127 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=y

133

=y

Si queremos comprobar, sustituimos los valores de 1=x , 3=y en las ecuaciones originales,

también sustituimos1341

−=x , 133

=y en tales ecuaciones y verificamos que se cumplan las

igualdades.

Finalmente, presentamos los resultados:

Las soluciones son: 1=x , 3=y

1341

−=x , 133

=y

2 1 4

m.c.m(3,6)=6 dividido entre 3 es 2 m.c.m(3,6)=6 dividido entre 6 es 1

Ejemplo 16: Resuelve el sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

563

132

yx

yx

Este sistema no es lineal. Sin embargo, podemos convertirlo a un sistema lineal por medio de cambios de variables y así resolverlo por cualquiera de los métodos estudiados.

Primero hacemos x

u 1= y

yv 1=

Ahora escribimos nuevamente el sistema:

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

5161

1131

3

2

yx

yx ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

563

132

vu

vu

Resolvemos el sistema resultante por reducción:


El sistema es no homogéneo, entonces:

32

2

1 =aa

21

63

2

1 −=−

=bb

como 2

1

2

1

bb

aa

≠



2.5631.132

ecvuecvu

←=−←=+

Paso 3: Elegimos aquella incógnita cuyos coeficientes tengan signos contrarios, en este caso “v”. Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre sus coeficientes.

El m.c.m(3,6)=6

Paso 4: Dividimos el m.c.m calculado entre los coeficientes de “v” en cada ecuación y ese cociente lo multiplicamos por cada uno de los términos en las ecuaciones, respectivamente.

⋅⋅

12

⎩⎨⎧

=−=+

5631132vu

vu

2 1 5

( ) 2641322 =+→=+ vuvu

( ) 5635631 =−→=− vuvu

Paso 5: Sumamos las ecuaciones obtenidas. La suma de los lados izquierdos debe ser igual a la suma de los lados derechos.

264 =+ vu

563 =− vu

77 =u 1=⇒ u

Paso 6: Nos falta encontrar el valor de “ v ”. Para ello, sólo debemos sustituir u = -6 en una de las ecuaciones (1 ó 2), en este caso lo haremos en la (1).

132 =+ vu (ec1)

1312 =+ v)(

3

21−=v

31

−=v

Paso 7: Se devuelven los cambios de variables, determinando así el valor de las incógnitas originales.

1111===

ux 3

3111

−=−

==/v

y

Paso 8: Se comprueba el resultado obtenido sustituyendo en el sistema original. (Compruébalo)

Paso 9: Se presenta la solución del sistema.

Respuesta:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

563

132

yx

yx

La solución del sistema es 1=x e 3=y .


Resuelve cada uno de los siguientes sistemas por los tres métodos.

2 1 6

91.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

72

112

3

yx

yx

92.

⎩⎨⎧

=+−=−7632

yxyx

93.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

2614

3

537

xy

yx

94.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

133

45xy

yx

95. ( )

⎩⎨⎧

−−=−+=−−

)45(295302830yxx

yx 96.

⎩⎨⎧

−=−=−

191412201412

xyyx

97. ⎩⎨⎧

−=−−=+481311479

yxyx

98. ⎩⎨⎧

=+−=−1334

956yxyx

99. ⎩⎨⎧

=+=−

2368194015

yxyx

100. ⎩⎨⎧

+=−=−

6369758

yxyx

Resuelve los siguientes sistemas por el método que prefieras.

101.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=

+

=+

−+

3127

2

34

22

yxyx

yx

102.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=−

+=+

4196

21

41

233

25

xyx

yyx

103. ⎩⎨⎧

=+−=+

41934

yaxyax

104. ⎩⎨⎧

=−+−−=

0122

byaxbyax

105. ⎩⎨⎧

=+−=+

532222

yxyx

106. ⎩⎨⎧

−=+−=−

4272 22

yxyx

107.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−

4173

41354

yx

yx 108.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−=−

2753

642

yx

yx

2 1 7

109. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=+−

=−+

6231122

1432

zyxzyxzyx

110.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

−=−−

−=+−

6123

6132

23

zyx

zyx

zyx

111. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

a) La suma del triple de un primer número con el doble del segundo es 7.

b) El doble del primero aumentado en 4 unidades es igual al triple del segundo.

112. ¿Cuál es la medida de los lados de un triángulo isosceles si?

a) El perímetro es igual a 30 cm.

b) El lado diferente mide 2 cm. menos que uno de los lados iguales.

113. En la familia Morales trabajan tres personas, el señor, la señora y el hijo mayor. Cuánto

ganarán cada uno de los tres, sabiendo que:

a. Entre los tres ganan Bs.F. 2.600.

b. El hijo gana Bs.F. 15 menos que la señora.

c. El señor gana Bs.F. 60 más el doble de lo que gana la señora.

114. Tomando en cuenta las siguientes premisas:

a. El total de alumnos es 99.700.

b. En ingeniería hay 15.243 alumnos más que en educación.

c. En medicina hay 8.462 alumnos menos que en educación.

¿Cuántos alumnos hay en cada una de las tras especialidades de una universidad ?

2 1 8

LECTURA N° 27: INECUACIONES

Material tomado con fines instruccionales de:

Gómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007). Inecuaciones. Artículo no publicado. Caracas.

Una inecuación se define como una desigualdad que contiene una o más variables y su

solución consta del conjunto de números que la satisface. Veamos los procedimientos de

solución relativos a la siguiente clasificación.

Inecuaciones Lineales

Cuando una inecuación contiene una expresión de grado uno (si hay fracciones la variable

aparece en el numerador), la inecuación es lineal.

Estudiemos ahora la diferencia entre ecuación e inecuación. Si nos piden la solución de la

siguiente ecuación:

714 =−x

24884174 =⇒=⇒=⇒+= xxxx

Para comprobar sustituimos 2=x en la ecuación original y notamos que la igualdad es

verdadera.

Esto indica que sólo el número 2 cumple con la ecuación, si en lugar de x , colocamos, por

ejemplo 3 , es decir, 3=x , tendríamos:

( ) 71171127134 =⇒=−⇒=− , lo cual es falso

Así tenemos que la única solución es 2=x . Por otro lado, si ahora nos piden la solución de

714 <−x . Entonces, despejamos x .

( )2,24

884174

∞−∴<

<⇒<⇒+<

x

xxx

La solución a esta inecuación pueden ser cualquier valor que cumple la condición 2<x , es

decir, ahora tenemos un conjunto de soluciones que incluyen todos los números menores que

2 .

S i 71)1(4)2,(1 <−−→−∞∈−=x

2 1 9

)(75

714cierto<−

<−−

S i 71)0(4)2,(0 <−→−∞∈=x

)(71

710cierto<−

<−

Así podríamos conseguir muchos números, donde la inecuación se cumple, es decir, la

desigualdad resultante es verdadera o cierta.

Mientras que si tomamos valores fuera del intervalo )2,(−∞ , por ejemplo:

Si 71)3(4)2,(3 <−→−∞∉=x

)(7117112 falso<⇒<−

la desigualdad no se cumple, es decir, el resultado obtenido al sustituir un valor que no esté en

el intervalo )2,(−∞ , es falso.

Veamos a continuación algunos ejemplos para encontrar las soluciones a una inecuación lineal:

Ejemplo 1: Determina la solución para 3213 +>− xx

Para agrupar los términos semejantes, aplicamos las propiedades de desigualdades.

41323

>+>−

xxx

Respuesta: ( )+∞,4:S

Todos los números mayores que 4 cumplen la inecuación original.

Ejemplo 2: Determina la solución para 3432 +≤− xx

Aplicamos las propiedades de desigualdad

x

x

x

xx

≤−

≤−

≤−

−≤−−

3

26

26

2433


Pasamos el factor 2 a dividir. Observa que el sentido de la desigualdad no cambia, porque el factor 2 es positivo.

2 2 0

Se acostumbra colocar la variable del lado izquierdo: 3−≥x

Respuesta: [ )+∞− ,3:S

Solución Alterna: 3432 +≤− xx

Algunos estudiantes prefieren (por costumbre) agrupar las variables en el lado izquierdo desde

el inicio, entonces:

32

6

62

3342

−≥⇒−

≥

≤−

+≤−

xx

x

xx

Respuesta: [ )+∞− ,3:S

Nota:

Cuando se divide (o multiplica) entre un número negativo cambia el sentido de la desigualdad

pero no el signo del resultado. Es decir, el resultado es 3−≥x y no 3≥x . El signo del

resultado se mantiene, cambia sólo el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 3: Determina la solución para 2131

32

−≥− xx

Solución:

Despejamos la variable aplicando las propiedades de las desigualdades (Unidad 1, Lectura Nº

2).

216

332 −≥

− xx

( ) ( ) 31864163322 −≥−⇒−≥− xxxx

143314

36184

−≤⇒≥−

−≥−

xx

xx

Respuesta: ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −∞−

143,:S

Aplicando la propiedad de orden de la multiplicación y recordando que si divide por un número negativo, por ejemplo 2− , cambia el sentido de la desigualdad.

Como 2 y 3 son números positivos, pueden pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, sin cambiar su sentido.

Como 014 <− y pasa dividiendo, entonces cambia el sentido de la desigualdad



2 2 1

Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 4: Resolver 5≤x

Aplicando la propiedad 9 del Valor Absoluto, de la Lectura Nº 21, tenemos:

555 ≤≤−⇒≤ xx , es decir, 321.1.

5E

x ≤ y 321.2.

5E

x −≥

Entonces, determinar la solución de la desigualdad 5≤x , es hallar la intersección de cada una

de las soluciones .2.y .1. EE

Resolvamos la inecuación .1.E :

5≤x , representa los valores que están en el intervalo ( ] 15, S=∞−

Resolvamos la inecuación .2.E

5−≥x , representa los valores que están en el intervalo [ ) 2,5 S=∞−

Como se tienen que cumplir al mismo tiempo las dos inecuaciones, las soluciones 1S y 2S .se

intersectan, es decir, se hallan los valores comunes a 1S y 2S .

( ] [ ) [ ]5,5,55,21 −=∞−∩∞−=∩= SSS

- ∞ + + ∞ - 5 0 5

- ∞ + + + ∞ 0 5

Fig. 1 5≤x

- ∞ + ∞ -5 0

Fig. 2

5−≥x

2 2 2

Por lo tanto, resolver la desigualdad 5≤x , es hallar el conjunto de valores que cumplen las

condiciones: x sea mayor o igual a –5 y x sea menor o igual a 5 al mismo tiempo, es decir,

[ ]5,5−=S

Interpretación Gráfica de 5≤x

Resolver esta desigualdad, es encontrar los valores reales cuya distancia d a cero es menor o

igual a 5.

En general podremos asegurar que para 0>a si ax ≤ , entonces la solución de esta

inecuación es { } [ ]aaaxaxS ,: −=≤≤=

Si d = distancia de x al valor cero.

Ejemplo 5: Resolver 35 ≤−x

Para hallar la solución de la inecuación 35 ≤−x , utilizaremos la propiedad 9 de valor

absoluto. Para 5−= xf , tenemos que

35335 ≤−≤−⇒≤− xx , es decir

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤−

−≥−

434 21

484 76

.2.

.1.

35

35

E

E

x

x

Hallamos la solución de la inecuación .1.E , 1S y la solución .2.E , 2S ., para luego interceptarlos

y obtener la solución S de la inecuación 35 ≤−x .

Resolvemos la inecuación .1.E :

0 -5 5

5≤d unidades 5≤d unidades

0 a−

ad ≤ ad ≤

a

2 2 3

35 −≥−x , para resolver esta inecuación, vamos a despejar x , utilizaremos las propiedades de

las desigualdades:

25355 ≥⇒+−≥+− xx

Luego, la solución de inecuación .1.E es [ )∞= ,21S

Resolvemos ahora la inecuación .2.E : 35 ≤−x , despejar x

⇒+≤+− 5355x 8≤x

La solución de la inecuación .2.E es: ( ]8,2 ∞−=S

Luego la solución de la inecuación 35 ≤−x , es 21 SSS ∩= , es decir, los valores comunes,

tanto a S1 como a S2.

[ ) ( ] [ ]8,28,,2S =∞−∩∞=

Respuesta: La solución de la inecuación 35 ≤−x , es el intervalo [ ]8,2 .

Nota:

Este tipo de inecuaciones pueden resolverse de manera directa, el procedimiento se aclara con

los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6: Resolver 595 ≤−x

Aplicando la propiedad 9 de valor absoluto, tenemos

5955595 ≤−≤−⇒≤− xx

Vamos a trabajar con las dos desigualdades al mismo tiempo.

- ∞ + ∞ 0 2 8

- ∞ + + ∞ 0 2

- ∞ + + + ∞ 0 8

2 2 4

Como queremos despejar x de la inecuación, vamos a ir aplicando las propiedades de las

desigualdades:

5955 ≤−≤− x

14549599595

≤≤+≤+−≤+−

xx

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈⇒≤≤

⇒≤≤

514,

54

514

54

514

55

54

xx

x

Entonces, la solución de la inecuación 595 ≤−x , es el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

514,

54S

Ahora resolveremos algunas inecuaciones utilizando la propiedad 10 del Valor Absoluto, de la

Lectura Nº 21.

Ejemplo 7: Resolver 6≥x

La solución de la inecuación 6≥x es: 6o6 −≤≥ xx , es decir, los valores comunes y no

comunes a ambos intervalos.

[ ] ( ] [ ) ( ]6,,66, o,6 −∞−∪∞∈⇒−∞−∈∞∈ xxx

Observe que los intervalos no tienen valores comunes

Respuesta: La solución de la inecuación 6≥x es ( ] [ )∞∪−∞− ,66,

Ejemplo 8: Resolver 83 ≥−x

Para hallar la solución de la inecuación 83 ≥−x , aplicamos la propiedad 10 del Valor

Absoluto, de la Lectura Nº 21, donde 3−= xf .

83o8383 −≤−≥−⇒≥− xxx

Vamos a trabajar conjuntamente con ambas inecuaciones. Para despejar la variable x en cada

inecuación.

Sumamos 9, en cada uno de los lados de las desigualdades

Utilizamos la definición de intervalo [ ] { }bxaxba ≤≤= :,

6− 6 -∞ + + +∞

2 2 5

83 ≥−x ó 83 −≤−x

3833 +≥+−x ó 3833 +−≤+−x

11≥x ó 5−≤x

[ )∞∈ ,11x ó ( ]5,−∞−∈x

( ] [ )∞∪−∞−= ,115,S

Observa que los intervalos no tienen valores comunes, por lo que la unión de los mismos se

representa como los dos intervalos conectados por el símbolo de la unión “∪ “

Ejemplo 9: Resolver 1648 ≥− x

Aplicamos la propiedad 10 de valor absoluto, en este caso xf 48 −= .

1648o16481648 −≤−≥−⇒≥− xxx

Trabajamos con las dos inecuaciones:

16481648 −≤−≥− xóx

816848816848 −−≤−−−≥−− xóx

24484 −≤−≥− xóx

424

44

48

44

−−

≥−−

−≤

−− xóx

62 ≥−≤ xóx

( ] [ )∞∈−∞−∈ ,62, xóx

Respuesta: ( ] [ )∞∪−∞−= ,62,S

Muchas veces las desigualdades no incluyen la igualdad, como es el caso de la desigualdad

menor que, denotada por < y la desigualdad mayor que, denotada por > . Las propiedades de

valor absoluto con las desigualdades < (menor que) y > (mayor que), son similares a las

∞− ∞+11 5− 0

2 2 6

propiedades ya enunciadas para los símbolos ≤ (menor o igual que) y ≥ (mayor o igual que),

pero en los intervalos de solución no se incluyen los valores extremos.

Ejemplo 10: Resolver 7<x

777 <<−⇒< xx por definición del intervalo abierto, tenemos ( )7,7−∈x

Nota:

Observa que cuando se utiliza la desigualdad menor o igual que ( )≤ se incluyen en los

extremos del intervalo, lo cual nos lleva a una solución con intervalos cerrados, mientras que al

utilizar la desigualdad menor que, los extremos del intervalo no se incluyen, por eso se define

como intervalo abierto.

Ejemplo 11: Resolver 642 <+x

642 <+x . Para despejar la variable x

462466426 −<<−−⇒<+<− xx

22

22

2102210 <<

−⇒<<−

xx

( )1,515 −∈⇒<<− xx

Respuesta: La solución de 642 <+x es ( )1,5−=S

Ejemplo 12: Resolver 10>x

10ó1010 −<>⇔> xxx

( ) ( ) ( ) ( )10,,1010,ó,10 −∞−∪∞∈⇒−∞−∈∞∈ xxx

Respuesta: ( ) ( )∞∪−∞−= , 1010,S

Ejemplo 13: Resolver 19-5 >x

⇔>19-5x 195ó195 −<−>− xx

- ∞ + + + ∞ -10 0 10

2 2 7

Despejar x en cada inecuación

91995ó91995 +−<+−+>+− xx

85ó105 <> xx ⇒ 58

55ó

510

55

<>xx

58ó2 <> xx

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∪∞∈⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∈∞∈

58,,2

58,ó , 2 xxx

Respuesta: La solución de 195 >−x es ( )∞∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−= ,2

58,S

A continuación, resolveremos inecuaciones racionales con valor absoluto, utilizando las

propiedades vistas anteriormente.

Ejemplo 14: Hallar la solución de 4312≤

−−

xx

4312≤

−−

xx

⇔ 4 34 21434 21.2..1.

43124

3124

3124

EE

xxy

xx

xx

−≥−−

≤−−

⇒≤−−

≤−

El objetivo es hallar la solución de la inecuación S , con valor absoluto a partir de la solución 1S

de la inecuación .1.E y de la solución 2S de .2.E y luego interceptarlas, 21 SSS ∩= , es decir,

los valores comunes a 1S y a 2S

Solución de la inecuación .1.E

⇒≤−− 4312

xx

04312

≤−−−

xx

03

12412≤

−+−−

xxx

03211

≤−−

xx

- ∞ + + ∞

0 58

2

Resolvemos el lado izquierdo de la inecuación

2 2 8

Luego evaluamos el signo de la expresión 3211

−−

xx

, para ello:

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

2

112110211 =⇒=⇒=− xxx raíz del numerador

303 =⇒=− xx raíz del denominador.

2. Representamos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida en

intervalos: ( )3,∞− , ( ]211,3 y [ )+∞,2

11 .

Recuerda que las raíces del denominador no se incluyen nunca en los intervalos, mientras que

las raíces del numerador siempre se incluyen en los intervalos cuando las desigualdades son

“≤ ” o “≥ ”

3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los

intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la

expresión completa.

-∞ 3 11/2 +∞

Numerador x211− + + -

Denominador 3−x - + +

Expresión 3211

−−

xx

- + -

4. Entonces, tomamos los intervalos donde la expresión es negativa, es decir 03211

≤−−

xx

en

( ) ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∪∞− ,

2113,

La solución de la inecuación .1.E es ( ) ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∪∞−= ,

2113,1S

Gráficamente tenemos:

Encontremos ahora la solución de la inecuación .2.E

- ∞ + + + + ∞

3 211

2 2 9

⇒−≥−− 4312

xx 04

312

≥+−−

xx

⇒ ( ) 03

3412≥

−−+−

xxx

⇒≥−

−+− 03

12412x

xx 0

3136

≥−−

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresión 3136

−−

xx

:

1. Busquemos las raíces del numerador y las raíces del denominador:

6

131360136 =⇒=⇒=− xxx raíz del numerador

303 =⇒=− xx raíz del denominador

2. Representemos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida en

intervalos: ( ]613,∞− , [ )3,6

13 y ( )+∞,3 .

Recuerda que las raíces del denominador no se incluyen nunca en los intervalos,

mientras que las raíces del numerador siempre se incluyen en los intervalos cuando

las desigualdades son “≤ ” o “≥ ”




-∞ 13/6 3 +∞

136 −x - + +

3−x - - +

3136

−−

xx

+ - +

Entonces, la expresión 3136

−−

xx

es positiva en los intervalos ( )∞∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞− ,3

613, .

La solución de la inecuación .2.E es ( )∞∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞−= ,3

613,2S .


2 3 0

Por lo tanto, la solución S de la inecuación 4312≤

−−

xx

es 21 SS ∩ , es decir:

=∩ 21 SS ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∩

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∪−∞ ,3

613,,

211)3,(

Gráficamente la representación es:

Representaremos con diagonales de izquierda a derecha la solución 1S ( ) y con diagonales

de derecha a izquierda la solución 2S ( ), como buscamos la intersección (comunes),

entonces donde se crucen las líneas, determinaremos a la solución.

Respuesta: La solución es =S ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞∪⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∞− ,

211

613,

Ejemplo 15: Resolver 64102

>+−

xx

64102

>+−

xx

⇒ 44 344 214 34 21

.2..1.

641026

4102

DD

xxó

xx

−<+−

>+−

Nuestro objetivo es hallar la solución 1S de la inecuación .1.D y la solución 2S de la inecuación

.2.D y así obtener la solución S , de la inecuación 64102

>+−

xx

, que será 21 SSS ∪= .

Resolvemos .1.D :

⇒>+− 6

4102

xx 06

4102

>−+−

xx

, resolvemos el lado izquierdo de la inecuación:

( ) 04

46102>

++−−

xxx

⇒ 04

246102>

+−−−

xxx

y nos queda:

- ∞ + + + ∞

613 3

- ∞ + ∞

613 3

211

2 3 1

04344

>+−−

xx

Como los términos del numerador ambos tienen signo negativo, multiplicamos ambos lados de la

desigualdad por )1(− . Recuerde que cuando multiplicamos una desigualdad por un número

negativo, ésta cambia el sentido

( ) ( )10

4)344(1

−⋅<+

−−⋅−x

x⇒ 0

4344

<++

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresión.

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador

2

174

343440344 −=⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx raíz del numerador

404 −=⇒=+ xx raíz del denominador


intervalos: ( )217,−∞− , ( )4,2

17 −− y ( )+∞− ,4 . Aquí no se incluyen las raíces del

numerador y del denominador, por que la desigualdad es estricta ( > ).




-∞ -17/2 - 4 -∞

344 +x - + +

4+x - - +

4344

++

xx

+ - +

Entonces, 4344

++

xx

es negativa en el intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 4,

217

La solución de la inecuación .1.D es =1S ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 4,

217

2 3 2

Gráficamente es: 1S

Resolvemos .2.D

6

4102

−<+−

xx

⇒<++− 06

4102

xx ( ) 0

446102

<+

++−x

xx⇒ 0

4148

<++

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresión.

1. Encontramos las raíces del numerador y del denominador

47

8141480148 −=⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx

raíz del numerador

404 −=⇒=+ xx raíz del denominador


intervalos: ( )4,−∞− , ( )47,4 −− y ( )+∞− ,4

7 . Aquí no se incluyen las raíces del numerador

y del denominador, porque la desigualdad es estricta (< ).




-∞ -4 -7/4 +∞

148 +x - - +

4+x - + +

4148

++

xx

+ - +

Entonces, 4148

++

xx

es negativo en el intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

47,4 .

Comparamos con cero, sumando 6 a ambos lados

de la desigualdad.

-∞ +∞ -17/2 -4

2 3 3

La solución de la inecuación .2.D es =2S ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

47,4 .


Luego, tenemos la solución 1S de .1.D y la solución 2S de .2.D , y la solución S de la

inecuación 64102

>+−

xx

, es 21 SSS ∪= .


Respuesta: La solución de la inecuación 64102

>+−

xx

es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 4,

217

∪ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

47,4 .


Resolver las siguientes inecuaciones:

115. 9≤x 116. 15132 ≤+x

117. 553 ≤−x 118. 2562 ≤+−x

119. 153 ≥x 120. 413 >+x

121. 024 >− x 122. 3381 ≥+− x

123. 8

435 <−

x

124. 54

2≥+

x

125. 2853 ≥+−x 126.

532

4>−

−x

-∞ +∞ -4 -7/4

-∞ +∞ -17/2 -4 -7/4

2 3 4

127. 1

2>

− xx

128. 1

294

≤− x

x

129. 4

322

<−+

xx

130. 3

1213≥

+−

xx

Resolver los siguientes problemas:

131. La suma de tres números naturales consecutivos es menor e igual a 36. Determinar el

mayor de esos números.

132. Una pareja desea alquilar un carro durante un día de vacaciones. El carro tipo “A” le

cuesta 35 Bs.F. diarios y 0,140 Bs.F por cada kilómetro, mientras que el carro tipo “B” le

cuesta 34 Bs.F. por día y 0,160 Bs.F. por kilómetro. ¿ Después de cuantos kilómetros el

precio del alquiler del carro tipo “B” excede al carro tipo ”A”?

133. El índice de masa corporal (IMC) entre 19 y 20 se considera saludable. Utilice la fórmula:

ICM=704. (peso en libras)/(estatura en pulgada

Para calcular el rango del peso, redondeado a la libra más cercana, que produzca un IMC

saludable para cada estatura.

• 72 pulgada

• La estatura del lector, en pulgadas

• La estatura del compañero o compañera que esté sentado más cerca de usted.

134. Manuel obtuvo 18 y 8 en sus dos primeros exámenes parciales de matemática.

¿Qué puntuación debe obtener en el tercero, para que su promedio sea al menos de

15?

235

UNIDAD 6 TRIGONOMETRÍA

LECTURA Nº 28: LA TRIGONOMETRÍA,

¿PARA QUÉ SIRVE?


Feria, D. (s.f.) Trigonometría ¿Para qué sirve? Artículo en línea. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007]

El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto: Estás cerca de un ancho río y

necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la distancia “c” entre ellos (base del triángulo).

Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo "teodolito", contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección (azimut) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el árbol y luego hacia el poste

B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste por el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ángulo B. La longitud “c” de la base y los dos ángulos A y B es todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente.

La trigonometría (de trigón = triángulo) en un principio, fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría te permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos.

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

Para medir un terreno, los topógrafos lo dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usará la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para

Un antiguo telescopio De topógrafo (teodolito).

Figura 10

236

dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente, se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.

Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos, el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas se dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla.

En 1843 Andrew Scott Waugh, se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.

La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), observaron la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó Everest, en memoria de Sir George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.

Hoy en día se puede localizar de forma muy precisa la posición de un punto sobre la Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros (aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.

237

LECTURA Nº 29: LA TRIGONOMETRÍA


Santamaría, J (2007). La trigonometría. [Artículo no publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, estado Cojedes.

Es la rama de la geometría, que estudia las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos

.

Las razones trigonométricas

Consideremos el triángulo rectángulo de referencia

Tomando en consideración el triángulo ABC y el ángulo α , pueden definirse las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo así:

Un ángulo es positivo, si OA se rota en sentido contrario al giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ángulo es negativo, si OA se rota en el mismo sentido del giro de las agujas del reloj hasta 0B.

• El origen 0 es el vértice de ángulo y las semirrectas 0A y 0B son los lados del ángulo. • 0A es el lado inicial y 0B es el lado terminal. • El ángulo A0B= α se genera mediante la rotación del lado 0A hasta el lado 0B • Los ángulos pueden denominarse con letras del alfabeto griego: .,,,,,, φσλγδβα • También puede denominarse BA0⊄ , que se lee como ángulo A0B.

• Un radián es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360º=2π radianes 180º =π radianes de donde 1 radián = 180º/π = 57,30º

Un ángulo, es la posición del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen común.

• Para convertir de grado a radianes, multiplicamos el valor del ángulo en grado por π /180º. • Para convertir de radianes a grado, se multiplica el valor del ángulo en radianes por 180º/π .

AB = c: Hipotenusa BC = a: Cateto opuesto al ángulo α AC = d: Cateto adyacente al ángulo α

A

B C

c a

d α

238

Se llama seno de α a la razón entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa AB: AB

BCSen =)(α

Se llama coseno de α la razón entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB: AB

ACCos =)(α

Se llama tangente de α a la razón entre el cateto opuesto

BC y el cateto adyacente AC: ACBCTan =)(α

Razones trigonométricas recíprocas

Se llama cotangente de α a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto: CB

ACCotg =)(α

Se llama secante de α a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC: AC

ABSec =)(α

Se llama cosecante de α a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC: BC

ABCsc =)(α

Identidad fundamental de la trigonometría

Consideremos el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Apliquemos el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo.

(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2

De acuerdo al triángulo rectángulo ABC se tiene que: 222 )()()( BCABAC += ,

Luego, dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda:

( )( )

( )( ) ( )2

22

22

2 )(ACBC

ACAB

ACAC

+= ,

Por la propiedad de la potenciación, se puede representar así: 222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ACBC

ACAB

ACAC

Luego, según la definición de las razones trigonométricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ánguloα y BC es el cateto adyacente del ánguloα , entonces:

αSenACAB

= , αCosACBC

= .

Y por propiedad de inverso en la multiplicación 1=ACAC

,

239

Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda:

( ) ( )221 αα CosSen += .

De esta manera la expresión:

( ) ( ) 122 =+ αα CosSen

representa la identidad fundamental de la trigonometría, en función al triángulo rectángulo y a uno de sus ángulos agudos.

Ejercicios propuestos

1- Marca con una X la opción “V” si consideras el enunciado como verdadero o la opción “F” si lo consideras falso:

• La trigonometría, estudia la simetría de las figuras planas V F

• La identidad fundamental de la trigonometría es llamada teorema de Euclides V F

• Las razones trigonométricas parten de un triángulo rectángulo V F

• La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama cotangente de α V F

• Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de Pitágoras V F

• El seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del mismo ángulo es igual a la unidad

V F

• La secante de α es una razón trigonométrica recíproca del coseno V F

• El cateto adyacente más el cateto opuesto es igual a la hipotenusa V F

RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades pitagóricas:

1. 122 =+ xCosxSen

2. xSecxTan 22 1 =+

3. xCscxCotg 22 11 =++

Las identidades del cociente:

4. xCosxSenxTan =

5. xSenxCosxCotg =

Las identidades recíprocas:

6. xSen

xCsc 1=

240

7. xCos

xSec 1=

8. xTan

xCotg 1=

Ejercicios:

2. Sabiendo que 43

=αSen , calcular el resto de las identidades trigonométricas

3. Dado que la 3223

=φTan , calcular φCos y φSen

4. Sabiendo que 32

30=βSec , calcular βSen y βCotg

5. Sabiendo que 22

22

nmnmCos

+−

=α ,encontrar αCotg

6. Si ϕϕϕϕϕ 22

22

exp21

CotgSecCosTanresiónladevalorelhallarSen

+−

=

7. ϕϕϕϕϕϕ 2

22

22

exp3 CosCosSecCotgSenresiónladevalorelhallarSen +

++

=

8. Dado el triángulo de la derecha, calcular las

razones trigonométricas del ángulo α

α 1-a

1+a

241

LECTURA Nº 30: RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS


Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Trigonometría. Material no publicado. Caracas.

Observación: Muchas veces se toman las razones trigonométricas como conceptos aislados, sin considerar el

ángulo. Ejemplo: Cos, Sen, etc. Esto no tiene sentido

Estas razones existen en función de un ángulo, lo correcto es, por ejemplo:

Sen 60°, Cosθ , Tan 2π

, entre otras.

Los ángulos considerados en estas definiciones son ángulos agudos, es decir,

menores de º90 .

Ejemplo 1: Dado el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura, calcular las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor.

El cateto opuesto al ángulo α es AC = 8, el cateto adyacente al ángulo α es AB = 6 y la

hipotenusa del triángulo es BC = 10, entonces las razones trigonométricas del ángulo α son:

43

86C ,

35

610 ,

45

810

;34

68 ,

53

106 ,

54

108

======

======

ααα

ααα

otgSecCsc

TanCosSen

Ejemplo 2: Calcular las razones trigonométricas para el ángulo 45°

El ángulo agudo mayor es ∠ B = α, porque está frente al cateto de mayor longitud.

C

B A

8 10

6 α

242

C

∠ A = ∠ C = 45° y ∠ B = 90°

L

m

B L A 45°

45°

Dibujemos un triángulo con

dos lados iguales:

Tenemos la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo CB = L y BA = L, necesitamos

la longitud de la hipotenusa 22 LLmAC +== (Utilizando el Teorema de Pitágoras)

⇒== 22 22 LLm L2=m

Con este resultado podemos concluir entonces que, para un triángulo rectángulo con dos lados

iguales la hipotenusa es igual a L2 .

Entonces, ya tenemos los valores de los catetos L y de la hipotenusa L2=m , procederemos

a calcular las razones trigonométricas para el ángulo 45º:

21

245 =

//

==°L

LmLSen

Racionalizando el denominador 2 , nos queda:

22

22

21 45º =⋅=Sen

22 45º =⇒ Sen

22

21

245 ====°

LL

mLCos

2245 =°⇒ Cos

145 ==°LLTan 1 45º =⇒ Tan

⇒==°

=° 111

45145

TanCotg 145º =Cotg

22

22

145

145 ==°

=°Cos

Sec ⇒ 245 =°Sec

⇒==°

=° 2

22

145

145Sen

Csc 2 45º =Csc

243

Ejemplo 3: Determinar los valores de todas las razones trigonométricas del ángulo 60°. Utilizaremos un triángulo equilátero, en el cual llamaremos “L” a la medida de cada lado.

Trazamos la bisectriz del ángulo C y obtenemos el triángulo rectángulo � ADC

Aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ADC, para hallar la altura CD ,

del triángulo Δ ABC:

2

22

2CDLL +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

43

44

2222222

2 LCDLLCDCDLL =⇒−=⇒+=⇒

4

34

3 22 LCDLCD =⇒=⇒ LCD23

=⇒

Con este resultado, podemos concluir que para un triángulo equilátero de lado L, su altura es:

LCD23

= .

Como es un triángulo equilátero entonces

LBCABAC === Esto implica que sus ángulos deben tener la misma medida, por lo tanto:

CBA ∠=∠=°=∠ 60

L L

L

C

A B

60°

60° 60°

Los catetos son “CD ” y “2L

”

y la hipotenusa es “L”.

C

∠ A = 60°, ∠ ACD = 30°, ∠ D = 90°

CDAD, son catetos y AC es la hipotenusa

60°

30° 30° L

A D B

h

½ L

244

Ahora, con los datos del triángulo rectángulo ACD, catetos e hipotenusa, calculemos ahora

las razones trigonométricas del ángulo 60°

2360

232

3

60 =°⇒=/

/⋅==° Sen

L

L

LCDSen

⇒=/

/==°

21

2260

LL

L

L

Cos2160 =°Cos

3232

2

23

2

60 =//

/===°

LL

L

L

LCDTan 3º60 =⇒ Tan

⇒===° 22

11

º60160

CosSec 260 =°Sec

332

32

23

160Sen

160Csc ===°

=°3

3260 =°⇒ Csc

33

31

60160 ==

°=°

TgCotg

3360 =°⇒ Cotg

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO

Hasta ahora lo que hemos visto es la definición de las razones trigonométricas sólo para ángulos agudos, representados en un triángulo, pero si tenemos una manera de medir el ángulo en forma más general, podremos extender esta función a otros números reales.

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio uno, en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro. También en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales ),( yx . En la circunferencia trigonométrica se considera que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje X , crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj, pero, si se miden en sentido horario los ángulos serán negativos.

245

El punto ),( yxP está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo

α con la parte positiva del eje X . Observe que al inscribir un triángulo rectángulo en la

circunferencia unitaria, la hipotenusa de dicho triángulo siempre vale 1, es decir, 122 =+ yx .

Además, los ejes cartesianos dividen el plano en 4 partes, llamadas cuadrantes, I C, II C, III C y

IV C.

En el primer cuadrante (I C) el ángulo es agudo, es decir º900 ≤≤ α

En el segundo cuadrante (II C) el ángulo α está entre º90 y º180 es decir, º180º90 ≤< α

En el tercer cuadrante (III C) el ángulo α está entre º180 y º270 es decir, º270º180 ≤< α

En el cuarto cuadrante (IV C) el ángulo α está entre º270 y º360 es decir, º360º270 ≤< α

y

x α

O X

Y

r

I C

),( yxP

y α

X

YII C

rx

),( yxP

y

xα

X

Y

III C r ),( yxP ),( yxP

y

x α

X

Y

IV C

r

x

y

O

1=r

α

),( yxP

x

y

O

-α

),( yxP

1=r

246

Relaciones Trigonométricas En base a lo anterior, podemos establecer las relaciones entre el ángulo que genera la rotación

del segmento OP y las magnitudes del punto ),( yxP .

Las seis relaciones trigonométricas para el ángulo α se definen en la siguiente tabla:

a. Seno del ángulo α . Es la razón entre la ordenada “ y ”

(cateto opuesto) y la distancia del punto P al origen O ,

OPr = (la hipotenusa) 22 yx

yrySen

+==α

b. Coseno del ángulo α : es la razón entre la abscisa “ x ”

(cateto adyacente) y la distancia del punto P al origen

O, OPr = (la hipotenusa) 22 yx

xrxCos

+==α

c. Tangente del ángulo α : Es la razón entre la ordenada

“ y ” (cateto opuesto) y la abscisa “ x ” (cateto adyacente)

del punto P cuando esta última es diferente de cero.

xyTan =α

0≠x

d. Cotangente del ángulo α . Es la razón entre la abscisa

“ x ” (cateto adyacente) y la ordenada “ y ”(cateto

opuesto), cuando esta última es diferente de cero.

yxCo =αtg

0≠y

e. Secante del ánguloα : Es la razón entre la distancia al

origen OP y la abscisa “ x ”, cuando esta última es

diferente de cero.

xyx

xrSec

22 +==α

0≠x

f. Cosecante del ángulo α : Es la razón entre la distancia

al origen OP y la ordenada “ y ”, cuando esta última

es diferente de cero.

yyx

yrCsc

22 +==α

0≠y

),( yxP

IV C

α

y

O X

x

Y

III C

II C I C

247

Es importante hacerte notar:

• Si el punto ),( yxP , se encuentra en el eje Y entonces x =0; por tanto, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90° y 270° no están definidas, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales.

• Si el punto ),( yxP está en el eje X entonces 0=y , en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0° y 180° tampoco está definida.

• Para todos los ángulos, lo valores del Seno y del Coseno son números reales, ya que 0≠r

Debido a que xyxr ≥+= 22 y yyxr ≥+= 22 , tenemos que:

• Los valores del αSen y αCos varían entre -1 y +1.

• La αTan y la αCotg son ilimitadas, y pueden tomar cualquier valor real.

• La αSec y la αCsc son mayores o iguales que +1 o menores o iguales que -1.

Como se ha podido ver anteriormente, el valor de las relaciones trigonométricas no depende de la longitud de r , pues las proporciones son sólo función del ángulo.

Por ejemplo, si queremos determinar el valor del Seno del ángulo de º45 , necesitamos determinar un punto ),( yxP en el plano, cuyo segmento al origen )0,0(O forme un ángulo de

º45 con el eje X . Consideremos el segmento OP , cuyo punto es )1,1( en el IC y divide el primer cuadrante en dos partes iguales, como se muestra en la siguiente figura:

Calculamos la distancia r del punto )1,1(P al origen: 211 22 =+=r y entonces

22

21º45 ===

rySen .

¿Qué resultado obtendríamos si tomamos, en lugar del punto )1,1(P el punto )3,3(P , cuyo

segmento OP también divide el primer cuadrante?

)1,1(P

º45

1

O X

1

Y I C

248

Calculamos la distancia r del punto )3,3(P al origen: 23189933 22 ==+=+=r y

entonces 22

21

233º45 ====

rySen .

¡El resultado obtenido es el mismo! ¿Por qué?

¿Fue casual el resultado anterior? NO, la justificación que sigue lo confirma. Si no fuera así, las definiciones anteriores no serían buenas definiciones, pues a un mismo ángulo α le asignarían distintos valores de αSen y distintos valores de αCos .

Si tomamos una recta que es la prolongación del segmento, en este caso, que bisecta el primer cuadrante, es decir, que forma un ángulo de º45 con el eje X , para cualquier punto sobre dicha recta, las relaciones trigonométricas para el ángulo son iguales, por lo tanto podemos decir:

Veamos a continuación algunos ejemplos, donde dado un punto ),( yxP en el plano, se buscan

los valores de las relaciones trigonométricas del ángulo α , formado por el eje positivo X y el

segmento OP .

Ejemplo 4: Determinar las relaciones trigonométricas del ángulo α , que forma el segmento OP en el plano con el eje positivo X , donde el punto P es (3,4).

º45 O X3

Y

I C3 )3,3(P

Los valores de las relaciones trigonométricas de un ángulo α son independientes del punto que se tome sobre el lado terminal del ángulo.

249

Representamos el punto )4,3(P en el plano cartesiano:

Calculamos la distancia del punto P al origen O :

52516943 2222 ==+=+=+= yxOP

Luego determinamos las relaciones trigonométricas del ánguloα , según las definiciones

anteriores:

431,

351,

451

34,

53,

54

======

===

αα

αα

αα

ααα

tgCotg

CosSec

SenCsc

TanCosSen

Ejemplo 5: Determinar las relaciones trigonométricas del ángulo β , formado por los

segmentos OXyOP , donde el punto es )3,2( −P .

Representamos el punto )3,2( −P en el plano cartesiano:

Calculamos la distancia del punto P al origen O :

( ) ( )

13

1394

32 2222

=

=+=

−+=+=

OP

yxOP

Luego calculamos las relaciones trigonométricas del ángulo β :

Y

X

P (2,-3)

O β

-3

2

O

Y

3

)4,3(P 4

X

5=OP

α

4

250

13133

133 −

=−

=βSen ; 13

132132

==βCos ; 23−

=βTan

2131

==β

βCos

Sec ; 3131 −

==β

βSen

Csc ; 321 −

==β

βTan

Cotg

SIGNOS DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS El signo de las relaciones trigonométricas varía según el cuadrante en el que se encuentre

ubicado el punto ),( yxP y por lo tanto, el ángulo de referencia.

Para realizar este estudio de los signos, consideraremos las relaciones definidas

anteriormente. Recordemos que la distancia entre dos puntos, en este caso, la distancia de un

punto ),( yxP al origen de coordenadas, siempre es positiva (en este caso la distancia es “ r ”).

rySen =α

rxCos =α

xyTan =α

0>x I C

0>y + + +

0<x I I C 0>y + - -

0<x I I I C 0<y - - +

0>x I V 0<y - + -

y

x α

O X

Y

r

I C

),( yxP

y α

X

YII C

rx

),( yxP

y

xα

X

Y

III C r ),( yxP ),( yxP

y

x α

X

Y

IV C

r

251

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES.

Presentamos en la siguiente tabla, los valores de las relaciones trigonométricas para los ángulos notables: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Sen α 0

21

22

23

1 0 -1 0

Cos α 1

23

22

21

0 -1 0 1

Tan α 0

31

1 3 No

existe 0 No

existe 0

Sec α 1

332

2 2 No

existe -1 No

existe 1

Csc α No existe

2 2 3

32

1 No existe

-1 No existe

Cotg α No existe

3 1

33

0 No

existe 0 No

existe


9. Para el triángulo rectángulo ABC, calcular las razones

trigonométricas de los ángulos α y β , sabiendo que la

longitud de los catetos son b = 2 y c= 4.

10. Dado el punto A(2,3) en el plano, el

triángulo AOB es un triángulo

rectángulo. Calcular las relaciones

trigonométricas del ángulo α .

11. Dado el punto A(-1,4) en el plano, el

triángulo AOB es un triángulo rectángulo.

Calcular las relaciones trigonométricas del ángulo

β .

B c a A b C

α

β

α

3

Β(2,0)

Α(2,3)

O X

Y

β

4

B(-1,0)

A(-1,4)

O X

Y

252

12. Determine (sin calculadora) los valores de las siguientes expresiones:

a.) 5 Sen 2 45º + 8 Cos 2 30º b.) 3 Sen 30º + 6 Cos 2 45º c.) 5 Tan 2 45º + 2 Sec2 45º

d.) 6 Tan 30º + 2 Csc 45º e.) 4 Cos 60º + 5 Csc 30º f.) Sen2 30º + Sec245º

g.) ºº

º30Csc 45Csc30º Sen 30 Tan

22

22

++

h.) º30Cosº30Sen

30º Csc º30Sen 22 +

+ i.)

º45Sec º45Cos30º Sen º45Sen

22

22

+

+

j.) Csc2 45º + Cos2 30º

13. Determine el valor de “ x ” en las siguientes figuras.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

10

30°

x

60°

15 x

45°

30 x

x 25

5

15

x

3 4

3

12

13

x

x

6

10

xx+2

30°

2 x

x+3

π/4

x

253

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE DOS ÁNGULOS

¿Será cierto que ( ) º60º30º60º30 CosCosCos +=+ ?

Cálculos rápidos nos demuestran que no, mientras que:

( ) º900º60º30 CosCos ==+ ,

por otro lado se tiene que:

02

1321

236030 ≠

+=+=°+° CosCos

Nota: Basta que no se cumpla para un caso para decir que la proposición no se cumple.

Recordando que nuestro objetivo es aprender a utilizar las relaciones trigonométricas y no demostrarlas, les daremos a continuación las fórmulas correspondientes a las relaciones trigonométricas para la suma y resta de dos ángulos:

1) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅+⋅=+ 2) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅−⋅=−

3) ( ) βαβαβα SenSenCosCosCos ⋅−⋅=+ 4) ( ) βαβαβα SenSenCosCosCos ⋅+⋅=−

5) ( )βα

βαβαTanTan

TanTanTan⋅−

+=+

1 6) ( )

βαβαβα

TanTanTanTanTan⋅+

+=−

1

Así, con estas fórmulas a mano, podemos calcular Cos (30° + 60°). Utilizando la fórmula del

Coseno de la suma de dos ángulos:

( ) º60º30º60º30º60º30 SenSenCosCosCos ⋅−⋅=+

043

43

23

21

21.

23

=−=

⋅−=

Es decir, ( ) º900º60º30 CosCos ==+

Estas fórmulas son muy útiles al calcular relaciones trigonométricas de ángulos no notables. Veamos a continuación algunos ejemplos:

Ejemplo 6: Hallar el º105Sen y º105Tan

254

Podemos descomponer el ángulo 105° como la suma de dos ángulos notables. Es decir, 105° = 60° + 45°.

Entonces:

a) )º45º60(º105 += SenSen

Aplicamos la fórmula (1) : º45.º60º45º.60)º45º60(º105 SenCosCosSenSenSen +=+=

⇒⋅+⋅=22

21

22

23

42

46

+

9659,04

26≈

+=

b) )º45º60(º105 += TanTan

Aplicamos la fórmula (5) : )º45º60( +Tan = °°−

°+°45.601

4560TanTan

TanTan

= 7321,33131

1.3113

−≈−+

=−

+

Respuesta: 9659,0º105 =Sen y 7321,3º105 −=Tan

Ejemplo 7: Sea 1312 y

54 −=−= βα CosCos . Hallar ( ) ( )βαβα −− Seny Cos sabiendo

que α está en el segundo cuadrante y β β en el tercer cuadrante.

Para resolver este ejercicio usaremos las fórmulas trigonométricas (4) y (2):

( ) βαβαβα SenSenCos ⋅+⋅=− Cos Cos (Ec. 4)

( ) βαβαβα SenCosSenS ⋅−⋅=− Cos en (Ec. 2)

Conocemos el αCos y el βCos , pero no sabemos cuánto valen el αSen y el βSen .

Para hallarlos, utilizamos la identidad fundamental trigonométrica que dice:

αα

αα

αα

2

22

22

Cos-1

11Sen

±=⇒

−=⇒

=+

Sen

CosSenCos

Cálculo de αSen

Como II∈α cuadrante, entonces ,0>αSen por lo tanto αα 21 CosSen −= . Observe que se toma la parte positiva de la raíz.

255

25161

541

2

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= αα SenSen

259

251625

=⇒−

=⇒ αα SenSen

53

259

=⇒=⇒ αα SenSen ⇒ 53

=αSen

Ahora aplicamos el mismo criterio para hallar el βSen .

Cálculo de βSen :

Sabemos que III∈β cuadrante, entonces 0<βSen , por lo tanto ββ 21 CosSen −−= .

135

16925

16925

169144169

1691441

13121

2

−=−=−=−

−=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=βSen

Entonces 135

−=βSen

De manera que volviendo a la ecuación (4), sustituimos los valores encontrados:

( ) βαβαβα SenSenCosCosCos ⋅+⋅=− (Ec. 4)

( ) =− βαCos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −13

553

1312

54

( ) =− βαCos6533

651548

6515

6548

=−

=− ( )6533

=−⇒ βαCos

Ahora veamos la ecuación (2) y sustituimos

( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅−⋅=− (Ec. 2)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

135

54

1312

53βαSen

( ) =− βαSen6556

652036

6520

6536

−=−−

=−− ( )6556

−=−⇒ βαSen

Respuesta: ( )6533

=− βαCos y ( )6556

−=− βαSen

Ahora bien, utilizando estos dos resultados, ¿Podemos determinar el cuadrante donde está ubicado el ángulo “ βα − ”?

256

Sí es posible, pues ( ) 0>− βαCos y ( ) 0<− βαSen , por lo tanto βα − está ubicado en el IV C (cuadrante).

Ejemplo 8: Dada la siguiente expresión, identifique cuál de las fórmulas vistas anteriormente se aplica para evaluarla y determine el resultado numérico (sin calculadora):

º7º52º7º52 SenCosCosSen ⋅−⋅

Revisando las fórmulas para las relaciones trigonométricas de la suma o resta de ángulos, tenemos que la fórmula ( 2 ) es la aplicable a la expresión, entonces

( ) º45º7º52º7º52º7º52 SenSenSenCosCosSen =−=⋅−⋅

Respuesta: 22º7º52º7º52 =⋅−⋅ SenCosCosSen

Ejercicios Propuestos: 14. Utilizando las fórmulas de las relaciones trigonométricas de la suma y resta de dos

ángulos, probar:

a) ααα CosSenSen ⋅= 2)2(

b) ααα 22)2( SenCosCos −=

c) α

αα 2122

TanTanTan

−=

Sugerencia, hacer αβ = .

15. Utilizando las fórmulas anteriores probar:

a) 2

212 αα CosSen −=

b) 2

212 αα CosCos +=

c) ααα

21212

CosCosTan

+−

=

A continuación resolveremos algunos ejercicios, donde se utilizarán las fórmulas de las

relaciones trigonométricas ya vistas.

Ejemplo 9: Sea α un ángulo en el segundo cuadrante, tal que 135

=αSen .

257

Hallar ααα 2y 2 ,)2( TanCosSen

Para hallar las relaciones trigonométricas del ángulo doble, necesitaremos las relaciones del ángulo simple Cos α y Tan α.

De la identidad fundamental 122 =+ αα CosSen , obtenemos lo siguiente:

αα 21 SenCos −±= ,

Además sabemos que α está en el II C (cuadrante) luego 0<αCos , y 135

=αSen ,

2

1351 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=αCos

16925169

169251 −

−=−−=⇒ αCos

⇒−=−=−=⇒1312

169144

169144αCos

1312−

=αCos

( )( ) 12

51312135

1312

135

−=

−=

−==

ααα

CosSenTan

125−

=⇒ αTan

Ya tenemos las relaciones trigonométricas simples, entonces:

169120

1312

1352222 −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⋅= αααα SenCosSenSen

1691202 −=⇒ αSen

169119

16925144

16925

169144

135

131222

2222 =

−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒−= αααα CosSenCosCos

144251

1210

1251

1252

tan1tan22 22

−

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=α

ααTan ( ) ( )( ) ( ) 119

1201191214410

1441191210

14425144

1210

2 −=

××

−=

−

=−

−

=αTan

1191202 −

=⇒ αTan

Respuesta: 1691202 −=αSen ,

1691192 =αCos y

1191202 −

=αTan

258

Ejemplo 10: Una fotógrafa quiere tomarle una foto a una vasija que mide 40 cm. y está en un pedestal de 30 cm. Ella desea colocar la cámara en un punto C del piso, de manera que los ángulos subtendidos por la vasija y el pedestal sean idénticos.

¿A qué distancia desde el pedestal debe colocar la cámara? Es decir, cuánto vale “b”.

A partir de la figura, tenemos un triángulo rectángulo CBA, por lo tanto b

30Tan =α y tenemos

que la bb

Tan 7030402 =+

=α

bTan 702 =α . Ahora sustituimos el valor de αTan en la fórmula de α2Tan :

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒−

= 22 301

30270

122

b

bbTan

TanTanα

αα

2

9001

6070

b

bb −

=

2

2 900

6070

bb

bb −

= , resolvemos y despejamos el valor de b

( ) ⇒−

=bb

bb 900

60702

2

⇒−

=900

60702b

bb

( ) 22 6090070 bb =−

22 606300070 bb =− , despejando obtenemos:

α C α

2 α

b

30 cm.

40 cm.

A

B

259

⇒= 6300b 4,79≈b

Respuesta: La cámara debe colocarse aproximadamente a 79,4 cm. del pedestal.

RESUMEN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

A continuación presentamos un resumen de las identidades trigonométricas estudiadas hasta el momento.

a.) α

=αSen

Csc 1 b.)

α=α

Cos1Sec

c.) ααα

CosSenTan = d.)

αα

TanCotg 1

=

e.) 122 =+ αα CosSen f.) αα 22 1 CosSen −=

g.) αα 22 1 SecTan =+ h.) αα 22 1 CscCot =+

i.) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅+⋅=+ j.) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅−⋅=−

k.) ( ) βαβαβα SenSenCos ⋅−⋅=+ Cos Cos l.) ( ) βαβαβα SenSenCos ⋅+⋅=− Cos Cos

m.) β⋅α−

β+α=β+α

TanTanTanTan)(Tan

1 n.)

β⋅α+β−α

=β−αTanTan

TanTan)(Tan1

o.) ααα CosSenSen .22 = p.) 22.2 ααα SenCosCos −=

q.) α

αα 2122

tantanTan

−= r.)

2212 α−

=αCosSen

s.) 2

2Cos1Cos 2 α+

=α t.) ααα

21212

CosCosTan

+−

=

EJERCICIOS PROPUESTOS: 16. Demuestre que las siguientes expresiones son iguales a uno (1), utilizando las

identidades trigonométricas estudiadas.

a) (Sen α) (Cotg α) (Sec α)

b) (Cos2 θ) (tan2θ + 1)

c) (Cosβ) ( tanβ) ( Cscβ)

260

d) (Tan2θ ) (Csc2θ - 1) 17. Hallar las relaciones trigonométricas para el ángulo α , utilizando valores conocidos de

los ángulos notables de 30º y 45º

a) α = 75º b) α = 15º

18. Calcular las relaciones trigonométricas de los ángulos “ βα + ” y “ βα − ” sabiendo que

α y β están en el primer cuadrante :

a) Sen α = 53

, Sen β = 13

132

b)Tan α = 21

, Cotg β = 41

261

LECTURA Nº 31: SOLUCIÓN Y APLICACIONES DE TRIÁNGULO RECTÁNGULOS.



SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Uno de los triángulos de mayor utilidad en trigonometría es el rectángulo. Herramienta tan útil

para resolver diversos problemas, que su solución resulta de vital importancia. Para resolver un

triángulo rectángulo debemos conocer las relaciones trigonométricas ya estudiadas en las

lecturas anteriores.

Ejemplo 1: ¿ Podrías determinar físicamente la distancia más corta entre los puntos B y C de

la siguiente figura?

Lago

Este problema, al igual que los otros relacionados con distancias que no pueden medirse en

forma directa, se puede resolver con la ayuda de las razones trigonométricas.

Observamos que el triángulo ABC tiene un ángulo recto ∠ C y un ángulo de 60° en el vértice

A.

El tramo de A a C queda sobre el terreno y puede medirse directamente. Si AC = 3 Km.,

determinamos BC como sigue:

⇒=°⇒=∠3

60 BCTanACBCATan ⇒=

33 BC

mBC 33=

B

A 3 Km.

C 60°

262

Respuesta: La distancia más corta entre los puntos B y C es kmBC 33= .

Ejemplo 2: Dado el siguiente triángulo rectángulo. Hallar el valor de “x”

Tenemos un ángulo y la hipotenusa. Como necesitamos calcular

el cateto adyacente al ángulo, entonces utilizamos la razón

trigonométrica coseno del ángulo.

hipotenusaCos adyacente cateto30 =°

352

31023

101023

1030 ==⇒=⇒=⇒=° xxxxCos

35=x ≈ 8.7

Respuesta: El cateto buscado es 35=x .

Área de los triángulos rectángulos: Sabemos que el área de un triángulo viene dada por la fórmula:

Área = 21

(base) × (altura)

En el triángulo rectángulo se pueden tomar por base y altura los catetos del triángulo.

El área del triángulo es: Área = ( ) ( )ac ×21

Veamos a continuación algunos ejemplos:

Ejemplo 3: Dado el siguiente triángulo rectángulo,

representado en la figura siguiente, hallar su área.

c

C

B A

a b

h 5

6

10

30° x

263

Tenemos las medidas de los dos catetos: la base = cm 6 y la altura = cm 5 . Entonces el área

del triángulo es:

( ) ( ) 22 15302156

21 cmcmcmcmA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×=

Respuesta: El área del triángulo es 215 cm

Ejemplo 4: Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, representado en la siguiente figura

Tenemos un cateto AB (altura) = 3 u. Nos falta la base BC , pero tenemos la hipotenusa AC =

8 u.

Aplicando el Teorema de Pitágoras, al triángulo ABC:

( AC )2 = ( AB )2 + ( BC )2

Sustituyendo los valores de AC y AB , nos queda:

(8 u)2 = (3 u)2 + ( BC )2 ⇒ ( BC )2 +9 u2 = 64 u2

( BC )2 = 64 u2 – 9 u2 ⇒ ( BC )2 = 55 u2 ⇒ BC = 55 u

Entonces el área del triángulo rectángulo ABC es:

( )( ) 2u 5523u 55u 3

21u u

21

=×⋅== BCABA

Respuesta: 5523A = u2

8 u

3 u

B

A

C

u = unidades de medida

264

Ejemplo 5: Hallar el área del triángulo rectángulo XYZ, representado a continuación:

Tenemos un cateto ZY = 4, que corresponde a la base del

triángulo y un ángulo interno ∠ Y = 30°, necesitamos el cateto

opuesto XZ (altura) para hallar el área del triángulo.

Entonces

⇒=⇒=°43

330 XZZYXZTan

334=XZ

Luego el área del triángulo es: ( )3384

334

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=A

Respuesta: 338=A

APLICACIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Una vez dominado los conceptos involucrados en la Trigonometría, vamos a estudiar sus

aplicaciones a modelos matemáticos. Este tema es de vital importancia para todo estudiante

universitario, especialmente para estudiantes de ingeniería que cursarán las materias de Física

I, Física II, Mecánica, etc. Haremos este estudio a través de ejemplos prácticos.

Ejemplo 6: Desde un punto A, se mira la cima de una colina con un ángulo de elevación de

40°, se camina 80 mt. en línea recta alejándose de la colina y desde un punto B se mira la cima

otra vez, ahora con un ángulo de elevación de 25°. Determine la altura de la colina. Utilice dos

cifras decimales.

Debemos recordar que un ángulo de elevación es el ángulo formado desde una horizontal con

una visual dirigida “hacia arriba”; y un ángulo de depresión está formado por la horizontal y la

visual dirigida “hacia abajo”.

30°

Z

X

Y 4

Visual

Horizontal

Ángulo de Elevación

Visual

Horizontal

Ángulo de Depresión

2

265

Hacemos un bosquejo de la situación y seleccionamos las incógnitas:

Nos piden encontrar h

Del triángulo ACD: º40Tanxh ⋅=

Del triángulo BCD:

º25)80( Tanxh ⋅+=

Igualando ambas expresiones:

=⋅ º40Tanx º25)80( Tanx ⋅+

=x84,0 47,0)80( ⋅+ x =⇒ x84,0 x47,06,37 +

6,3737,0 =⇒ x 62,101º40 =⇒⋅ xTanx

Ahora, vamos a calcular la altura h :

º40Tanxh ⋅= )84,0()62,101( ⋅=⇒ h

36,85=h

Respuesta: La altura de la colina es 85,36 mt.

Nota: Es importante para el próximo ejemplo, indicar la diferencia entre rumbo y dirección. El rumbo se mide siempre desde el Norte o el Sur, mientras que la dirección se puede medir desde cualquier eje cardinal. Es decir, rumbo 30° Noreste significa 30° al Este del Norte y se puede denotar como N30°E. Este ángulo es equivalente a la dirección 60° al Norte del Este. También existen términos direccionales tales como “curso” y “acimut”, los cuales proponemos sean investigados por los estudiantes.

Ejemplo 7: Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. El primer barco navega a

300Km/h con un rumbo de 30° Noreste, mientras que el segundo navega a 400Km/h rumbo

120° Noreste. Determine la distancia que los separa después de 2 horas.

Hacemos un bosquejo gráfico de nuestro problema:

Puerto 120°

30°

N

dA

dB

d VA = 300 Km./h

VB = 400 Km./h

Después de 2 horas

Ad = (300) (2) = 600 Km.

Bd = (400) (2) = 800 Km.

25° 40°

C

D

h

B A 80 x

266

Como el ángulo formado por Ad y Bd es 90°, aplicamos el Teorema de Pitágoras:

( ) ( )222BA ddd +=

( ) ( )222 800600 +=d 000.640000.3602 +=⇒ d

000.1000.000.1000.000.12 ==⇒=⇒ dd

Respuesta: Después de 2 horas, los barcos están separados 1.000 Km.

Ejemplo 8: Un poste de 6 mt. de altura es sostenido por cables, dos de los cuales están

anclados en A y B (ver figura), conociendo que el ángulo C es de 90°. Determine la distancia

que separa los puntos A y B, si la longitud del cable AC es 12 mt.

De la figura dada,

observamos que podemos

obtener el ángulo ∠ A:

°=∠

=∠

30A

126ASen

Como el ángulo ∠ C = 90°, entonces ∠ B = 90º – 30º → ∠ B = 60°

Llamaremos “D” a la base del poste, por lo tanto:

3,46mts.BD mts. 10,39AD

60º 6BD

30º6AD

6 6

66

==

==

∠=

∠=

=∠=∠

TanTan

BTanBD

ATanAD

BDBTan

ADATan

.85,13.46,3.39,10 mtsmtsmtsAB

BDADAB

=+=

+=

Respuesta: La distancia que separa los puntos A y B es 13,85 mt.

º90

A

mts12

BD

C

mts6

267


19. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

20. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

21. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

22. Desde la parte superior de una colina se observa un punto A con un ángulo de depresión de 47°, también se observa un punto B (más alejado de la colina que A) con un ángulo de depresión de 26°. Si la distancia entre A y B es de 85 mt., determina la altura de la colina.

23. Desde la parte superior de un edificio de 25 mt., el ángulo de elevación de la punta de un poste es 14°. Desde la base del edificio, el ángulo de elevación de la punta del poste es 28°. Encuentra:

a) La altura del poste

b) La distancia del poste a la base del edificio

24. Desde la cima de una colina de 40 mt. de altura se observa una antena. El ángulo de elevación a la parte superior de la antena es de 15° y el ángulo de depresión a la base de la antena es de 35°. Calcula la altura de la antena.

25. Desde la azotea de un edificio de 60 mt. de altura se observa un poste. El ángulo de depresión a la parte superior del poste es de 8° y el ángulo de depresión a la base del poste es de 25°. Calcula la altura del poste.

26. El perímetro de un triángulo isósceles es 16 cm. y cada lado igual mide 5 cm. Determina cuánto mide la altura.

27. Enrique viaja 2 Km. hacia el norte, 15 Km. hacia el este, 5 Km. hacia el norte y 9 Km. hacia el este. ¿A qué distancia está Enrique del punto de partida?

28. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Si la suma de ambos catetos es 18 mt. Determina la longitud de cada cateto y la hipotenusa.

29. Un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 24 cm. Si la hipotenusa mide 10 cm. ¿Cuánto mide cada cateto, si la diferencia entre ellos es 2 cm.?

30. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor es 2 cm. más que el doble del menor; además, la hipotenusa es 2 cm. menos que el triple del cateto menor. Determina la longitud de los catetos y la hipotenusa.

268

BILIOGRAFIA

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270

CRÉDITOS

TERCERA EDICIÓN

2008

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

Education

Lecturas de fundamentos de Matemática