Tema: Ley de los cosenosObjetivos: 1)Resolver triángulos LAL 2) Resolver triángulos LLL 3) Resolver problemas

Teorema: Ley de cosenos

Para un trieángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente

c2 = α2 + β2 − 2αβχοσγ

b2 = α2 + χ2 − 2αχχοσβ

a2 = β2 + χ2 − 2βχχοσα

Ley de coseno 1

cosα = β2 + χ2 − α2

2βχ

cosβ = α2 + χ2 − β2

2αχ

cosγ = α2 + β2 − χ2

2αβ

Ley de coseno 2

Ejemplo:1Resuelva el triángulo: a=2 b=3 γ=60°

2

3

c

60° α

β Primero: Encuentro c

c2 = 22 + 32 − 2(2)(3)(χοσ60ο)

c2 = α2 + β2 − 2αβχοσγ

c2 = 4 + 9 − 2 • 2 • 3• χοσ60ο

c2 = 13− (12 • 0.5)

c2 = 7

c2 = 7

c = 7

Información Δa=2b=3c=?α=?β=?γ=60°

Ejemplo:1Resuelva el triángulo: a=2 b=3 γ=60°

2

3

√7

60° α

β

Información Δa=2b=3c=√7α=?β=?γ=60°

Segundo: Encuentro α

cosα = β2 + χ2 − α2

2βχ

cosα = 32 + ( 7 )2 − 22

2(3)( 7 )

cosα = 9 + 7 − 46 7

cosα = 126 7

cosα = 27

cosα = 2 77

α = cos- 1 2 7

7

æ

èçö

ø÷

α ≈ 40.90

Ejemplo:1Resuelva el triángulo: a=2 b=3 γ=60°

2

3

√7

60° 40.9°

β

Información Δa=2b=3c=√7α≈40.9°β=?γ=60°

Tercero: Encuentro β

Recuerda que: α + β + γ = 180°

Por lo tanto: 40.9° + β + 60° = 180°

40.9° + β + 60° = 180°

β + 100.9° = 180°

β = 180°-100.9°

β = 79.1°

Ejemplo:1Resuelva el triángulo: a=2 b=3 γ=60°

2

3

√7

60° 40.9°

79.1°

Información Δa=2b=3c=√7α≈40.9°β=79.1°γ=60°

Intenta lo siguiente:

Usa la ley de los cosenos para resolver un triángulo LLL

Resuelva el triángulo: a=4 b=3 c=6