2. FISICAPara el CBC- Parte 1 -ESTATICA y CINEMATICAFISICA
CEROMATEMTICA NECESARIA PARA ENTENDER FSICAESTATICAFUERZAS
COPUNTUALES SUMA DE FUERZAS REGLA DELPARALELOGRAMO - METODO
ANALITICO PARA SUMAR FUERZAS- FX Y Fy - RESULTANTE - EQUILIBRIO -
EQUILIBRANTEFUERZAS NO COPUNTUALES - MOMENTO DE UNA FUERZA
-ECUACION DE MOMENTOS - EQUILIBRIO DE ROTACION - CENTRODE
GRAVEDADCINEMATICA:POSICION VELOCIDAD ESPACIO RECORRIDO - MRU
ACELERACION - MRUV ECUACIONES HORARIAS - ENCUENTRO- ACELERACION DE
LA GRAVEDAD - CAIDA LIBRE - TIROVERTICAL - TIRO OBLICUO -
CINEMATICA DEL MOVIMIENTOCIRCULAR - MOVIMIENTO RELATIVO CINEMATICA
VECTORIALLF-1
3. Fsica para el CBC, Parte 1- 2. edicin. Buenos Aires:
Editorial Asimov, 2010223 p.; 21 x 27 cm.ISBN:
978-987-23462-2-5Fsica para el CBC, Parte 1- 2a ed. - Buenos Aires
: Asimov, 2010v. 1, 223 p. ; 21 x 27 cm.ISBN 978-987-23462-2-51.
Fisica. TtuloCDD 530Fecha de catalogacin: 20/03/2007 2010 Editorial
AsimovDerechos exclusivosEditorial asociada a Cmara del Libro2
edicin. Tirada: 100 ejemplares.Se termin de imprimir en septiembre
de 2010HECHO EL DEPSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723Prohibida su
reproduccin total o parcialIMPRESO EN ARGENTINA
4. FISICA PARA EL CBC Permitida su reproduccin total o parcial
-Hola. Escrib este libro para el alumno verdadero que
realmentecursa fsica. ( O sea, vos ). Lo que pongo ac es lo que doy
yo en lasclases de fsica para los chicos del CBC. As como lo doy,
as lo puse.No escrib esto para docentes ni para " el alumno terico
" que enrealidad no existe.Es normal que a al principio a uno le
vaya mal en fsica. Uno cree quees un tonto y no es as. Por qu pasa
esto ? Rta: bueno, el problemaes este: no se puede aprender fsica
sin saber ciertas cosas antes.Matemtica, por ejemplo. El secundario
hoy en dia es mediodesastroso. Uno se rompe el alma tratando de
entender fsica, perono hay manera. La cosa no va. Y lgico. Como
puede uno aprenderfsica si en el colegio nadie le ense nada ? Es
esta tu situacin ? ( somos dos )Si efectivamente este es tu caso,
pon una cruz ac Encima es probable que la fsica no te caiga muy
simptica. Eslgico. La fsica no es simptica. Y tambin es probable
que la fsicate parezca difcil. Te pareci bien. La fsica ES difcil.
El asunto notiene arreglo. No hay manera de zafar. Hay que
estudiar. Y hay queestudiar mucho, por no decir que hay que
estudiar como un salvaje.Sobre todo, hay que hacer muchos
problemas. Saber fsica es saberhacer problemas. Eso es lo que tens
que entender. Problemas es loque ellos te van a tomar. ( Conste que
te lo dije ).LF-1
5. No escrib este librito con grandes fines comerciales, que
digamos.Si quers pods comprarlo. Si quers pods fotocopiarlo. Si
querspods bajarlo de Internet. ( www.asimov.com.ar ). Yo te doy
permiso.En el mundo moderno todo se compra y se vende. Me opongo.
Permitoque fotocopies este libro siempre que lo hagas para
estudiar. No tepermito que lo fotocopies para venderlo a tres por
cinco.Este libro no tiene autor. O sea, tiene autor. El autor soy
yo. Peropor motivos que no vienen al caso prefiero estar de
incgnito. Estoes por....eehhmmmmm..... Digamos que lo prefiero
as.IMPORTANTE: Hay 2 cosas que este libro NO es :1) Este NO es el
libro oficial de la ctedra de fsica del CBC.Este libro lo escrib yo
como a mi me parece.2) Este NO es un libro para profesores. Este es
un libro paraalumnos. No busques ac rigurosidad rigurosa,
nidemostraciones rarfilas ni lenguaje rebuscado.Por ltimo, si el
libro es malo o tiene errores... Disculpas. Entr a lapgina. Mandame
un mail y lo corrijo. ( www.asimov.com.ar )Saludos.El autor.
6. OTROS APUNTESASIMOV* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIASon los
ejercicios de la gua de fsica del CBC resueltos y explicados.*
PARCIALES RESUELTOSSon parciales del ao pasado con los ejercicios
resueltos yexplicados. Tambin hay parciales de aos anteriores.OTROS
LIBROS ASIMOV:* QUMICA PARA EL CBC* MATEMATICA PARA EL CBC*
BIOFISICA PARA EL CBCTienen lo que se da en clase en cada materia
pero hablado en castellano.LF-1
7. Ves algo en este libro que no est bien ? Encontraste algn
error ? Hay algo mal explicado ? Hay algo que te parece que habra
que cambiar ?Mandame un mail y lo corrijo.www.asimov.com.arLF-1Pods
bajar tericos y parcialesviejos de www.asimov.com.ar
8. INDICEPgina1 FISICA CERO Matemtica necesaria para entender
fsica20 ESTATICA22............ FUERZAS COPUNTUALES23 SUMA DE
FUERZAS RESULTANTE25.............TRIGONOMETRIA. SENO, COSENO Y
TANGENTE28 PROYECCIONES DE UNA FUERZA31............. SUMA DE
FUERZAS ANALITICAMENTE33
EQUILIBRIO35..............EJEMPLOS39............. FUERZAS NO
COPUNTUALES39 MOMENTO DE UNA FUERZA39.............. SIGNO DEL
MOMENTO40 EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES42..............
EJEMPLOS44 TEOREMA DE VARIGNON45.............. CENTRO DE GRAVEDAD46
PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALESCINEMATICAMRU52 Posicin, velocidad y
aceleracin.53 ........... Sistema de referencia. Trayectoria.55
Movimiento Rectilneo y Uniforme57........... Velocidad en el MRU58
Ecuaciones horarias en el MRU59 ........... Tg de un ngulo y
pendiente de una recta.61 Grficos en el MRU62.............
Pendientes y las reas de los grficos63 Un ejemplo de
MRU67............. Velocidad media
9. 73 ........... ENCUENTRO.75 Problemas de encuentro.81
........... Encuentro cuando un mvil que sale antes que el otro83
MRUV84 ........... Aceleracin.86 Signo de la
aceleracin87............ Ecuacin de una parbola88 Solucin de una
ecuacin cuadrtica89 ........... Ecuaciones y grficos en el MRUV93
Ecuacin complementaria.95 ........... Velocidad instantnea.96
Anlisis de los grficos del MRUV98............. La velocidad y la
aceleracin son vectores100 Como resolver problemas de
MRUV101..............MRUV, Ejercicios de parciales105 Encuentro en
MRUV107............. Encuentro, Ejercicios de parciales113
............CADA LIBRE Y TIRO VERTICAL116 Como resolver problemas
de C. libre y Tiro vertical123............Cada libre, ejercicios de
parciales127 ........... TIRO OBLICUO129
Trigonometra131.............Proyeccin de un vector133 Principio de
independencia de los movimientos de
Galileo136.............Ecuaciones en el Tiro Oblicuo.137 Como
resolver problemas de Tiro Oblicuo138.............Ejemplos y
problemas sacados de parciales153 MOVIMIENTO
CIRCULAR154............. Movimiento circular uniforme154 El
Radin156..............La velocidad angular omega157 La velocidad
tangencial157..............Perodo T y frecuencia f158 Aceleracin
centrpeta159..............Relacin entre y f160 Algunos problemas de
Movimiento circular
10. 164 MOVIMIENTO RELATIVO165..............Velocidades
relativa, absoluta y velocidad de arrastre167 Algunos problemas de
Movimiento relativo173 CINEMATICA
VECTORIAL174..............Vectores175 Componentes de un
vector177............. Mdulo de un vector179 Vector Posicin y
vector desplazamiento180..............Vector Velocidad Media182
Velocidad instantnea184............. Aceleracin Media e
instantnea184 Ejemplos y problemas de cinemtica
Vectorial192............. Cinemtica Vectorial, problemas sacados de
parcialesPag 195 : Resumen de frmulas de Esttica y cinemtica
11. FISICA 0MATEMATICA QUE HAY QUE SABERPARA ENTENDER
FISICATEMAS:FACTOREO - SACAR FACTOR COMUN - PASAR DE TERMINO
-DESPEJAR - SUMAR FRACCIONES - ECUACION DE LA RECTA -UNA ECUACION
CON UNA INCOGNITA - DOS ECUACIONES CONDOS INCOGNITAS - ECUACION DE
UNA PARABOLA - ECUACIONCUADRATICA - SOLUCION DE UNA ECUACIN
CUADRTICA.
12. ASIMOV FISICA CERO- 2 -FISICA 0Frmulas y cosas de matemtica
que hay que saber para entender fsicaHola. A mucha gente le va mal
en fsica por no saber matemtica. No es que el tipo noentienda
fsica. Lo que no entiende es matemtica. Entonces cuando le tiran un
problemano sabe para dnde agarrar. Si vos sabs bien matemtica dej
este apunte de lado.Ponete ya mismo a resolver problemas de fsica,
te va a ser ms til. Si vos sabs que lamatemtica no te resulta fcil,
lee con mucha atencin lo que yo pongo ac. Hacete todoslos
ejercicios. Hacele preguntas a todos los ayudantes o incluso a m s
me encontrs porah en algn pasillo. Yo s perfectamente que nunca
nadie te ense nada y ahora teexigen que sepas todo de golpe. Qu le
vas a hacer. As es la cosa. Bienvenido a la UBA.Ahora, ojo, Todos
los temas que pongo ac son cosas QUE VAN A APARECER MIEN-TRAS
CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo cosas descolgadas que
nuncavas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a
aparecer y vas a tener que usarlo.Pero:Alegra!Vas a ver que no es
tan difcil !PASAR DE TRMINO - DESPEJAREn fsica todo el tiempo hay
que andar despejando y pasando de trmino. Tens quesaberlo a la
perfeccin. No es difcil. Slo tens que recordar las siguientes
reglas:1 - Lo que est sumando pasa restando2 - Lo que est restando
pasa sumando3 Lo que est multiplicando pasa dividiendo4 - Lo que
est dividiendo pasa multiplicando5 - Lo que est como2pasa como raz6
- Lo que est como raz pasa como2Estas reglas se usan para despejar
una incgnita de una ecuacin. Despejar x significahacer que esta
letra incgnita x quede sola a un lado del signo igual. ( Es decir
que a lalarga me va a tener que quedar x = tanto ).VERReglas para
pasarde trmino
13. ASIMOV FISICA CERO- 3 -Veamos: Usando las reglas de pasaje
de trminos despejar X de las siguientes ecuaciones:1) 2 = 5 XX est
restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5El 2 est sumando,
lo paso al otro lado restando: X = 5 2Por lo tanto 2)X84 =X est
dividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8El cuatro
est multiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo:Es decir:3)
x2= 25La x est al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como
raz:Por lo tanto Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que
despejar X :1) x + 5 = 8 Rta: x = 32) x + 5 = 4 Rta: x = -13) x 4 =
- 7 Rta: x = 34) 42=xRta: x =215) 1052=xRta: x =2516)5152= xRta: x
= - 57) 7 = 4 - x2Rta: x = 118)( )4212=xRta: x = 2,59)( )ax=221Rta:
x = 21+a8X4=x=2 Solucin.x=3 Solucin.x=5 Solucin.X= 25
14. ASIMOV FISICA CERO- 4 -10) V = 00X - Xt - tRta: X = X0 + V
(t-t0)11) Vf = 2 g x Rta: x =2fV2 gSUMA DE FRACCIONESPara sumar por
ejemplo4523+ lo que hago es lo siguiente:Abajo de la raya de
fraccin va a ir el mnimo comn mltiplo. Esto quiere decir el nmeroms
chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese nmero sera 4 ). El
mnimo comnmltiplo a veces es difcil de calcular, por eso
directamente multiplico los dos n de abajoy chau. En este caso 2x4
da 8, de manera que en principio el asunto quedara
as:8............Para saber lo que va arriba de la raya de fraccin
uso el siguiente procedimiento:Haciendo el mismo procedimiento con
el 4 de la segunda fraccin me queda:810124523 +=+Es
decir:8224523=+Simplificando por dos:=+4114523Comprob este asunto
con algunas fracciones a ver si aprendiste el mtodo:1)2121+ Rta :
12)4121+ Rta :43 Resultado
15. ASIMOV FISICA CERO- 5 -3) 1 +21Rta :234)3221+ Rta
:675)5432+ Rta :15226)7537+ Rta :21647)ba11+ Rta :b + aa.b8)dcba+
Rta :a.d + b.cb.dDISTRIBUTIVASupon que tengo que resolver esta
cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar primero loque est entre
parntesis , y en ese caso me quedara:2 ( 8 ) = X 16 = XPero tambin
se puede resolver haciendo distributiva. Eso sera hacer lo
siguiente:Practicalo un poco con estos ejemplos:1) 3 ( 4 + 5 ) Rta
: 272) 3 ( 4 5 ) Rta : -3Solucin.
16. ASIMOV FISICA CERO- 6 -3) a ( b + c ) Rta : ab + ac4) a ( b
+ c + d ) Rta : ab + ac + ad5) a ( m1 + m2 ) Rta : a m1 + a m26) (
m1 g + N2 ) Rta : m1 g + N2SACAR FACTOR COMNSacar factor comn es
hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo si tengo
laexpresin: X = 7242 + Me va a quedar:X = 2 ( 4 + 7 )A veces en
algunos problemas conviene sacar factor comn y en otros hacer
distributiva.Eso depende del problema.Ejemplo: Sacar factor comn en
las expresiones:1) F = m1 a + m2 a Rta : F = a ( m 1+ m2 )2) X = x0
+ v t v t0 Rta : X = x0 + v (t-t0)3) Froz = m1 g + N2 Rta : ( m1 g
+ N2)4) L = F1 d - F2 d Rta : d ( F1 - F2 )ECUACIN DE UNA RECTAEn
matemtica la ecuacin de una recta tiene la forma y = m x + b. Se
representa en unpar de ejes x - y asi:En esta ecuacin hay varias
que tens que conocer que son: Saqu el 2 como factor comnxyY = m x +
b
17. ASIMOV FISICA CERO- 7 -Fijate lo que significa cada una de
estas cosas. Veamos primero qu son x e y. Si quierorepresentar en
el plano el punto ( 3,2 ) eso significa que:Veamos ahora qu es m.
La m representa la pendiente de la recta. La pendiente da unaidea
de la inclinacin que tiene la recta. Por ejemplo, la pendiente vale
2/3 eso significaque la inclinacin de la recta tendr que ser tal
que:2m=3Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como14y me
queda:Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendra
esto( Es decir, sera una recta a 45 ).Si m fuera 1,73, el asunto
quedara as:Entonces, la pendiente de una recta es una funcin en
donde:117=mAc hay que avanzar 3Ac hay queavanzar 2111,731La parte
de arriba indica lo que hay que avanzaren YLa parte de abajo indica
lo que hay que avanzaren X71114m=4
18. ASIMOV FISICA CERO- 8 -Otra cosa: si la pendiente es
negativa ( como117=m ) pongo117=m y la cosa queda:El valor b se
llama ordenada al origen y representa el lugar donde la recta corta
al eje Y.Por ejemplo, una recta as: tiene b= - 1Otra recta as
tambin tiene b = -1Y las rectas que son as tienen b = 0. Es decir,
salen del origen de coordenadas. CMO SE REPRESENTA UNA RECTA ?Si
tengo una ecuacin y = m x + b y quiero representarla, lo que hago
es darle valores a Xy obtener los de Y. Con estos valores formo una
tablita y los represento en un par deejes x-y. Fijate: Si tengo por
ejemplo y = 2 x + 1Le doy a x el valor 0 y obtengo y = 2 . 0 + 1 =
1Le doy a x el valor 1 y obtengo y = 2 . 1 + 1 = 3Le doy a x el
valor 1 y obtengo y = 2. ( -1 ) + 1 = -1Puedo tomar todos los
valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todo esto
enuna tabla me queda:x y0 11 3- 1 -1Ahora represento los puntos ( 0
; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( - 1 ; - 1 ) en el plano x-y. Uniendo lospuntos
tengo la recta-711Avanzar 11Bajar 7-1-1Y = 2 x + 1
19. ASIMOV FISICA CERO- 9 -Si quisiera ver si la recta est bien
trazada puedo fijarme en los valores de m y de b:La recta corta al
eje Y en 1, as que est bien. Veamos la pendiente:La pendiente de y
= 2 x + 1 es m = 2, as que el asunto verifica. Para entender esto
mejortendras que hacerte algunos ejercicios. Vamos:DADA LA ECUACIN
DE LA RECTA:a) Ver cunto valen m y bb) Graficar la recta dndole
valores de x y sacando los de yc) Verificar en el grfico que los
valores de m y b coinciden con los de a)1) y = x Rta: m = 1 , b =
02) y = x - 1 Rta : m = 1 , b = -13) y = 2 - x Rta: m = - 1 , b =
24) y = -2x+ 1 Rta: m =21 , b = 15) y = 2 Rta: m = 0 , b =
2-112222
20. ASIMOV FISICA CERO- 10 -6) y = 1.000 x + 1 Rta: m = 1.000 ,
b = 1Ac van otro tipo de ejercicios que tambin son importantes:*
DADO EL GRFICO, CALCULAR m Y b Y DAR LA ECUACIN DE LA RECTA.a) Rta:
m =21; b = 0 y =21x + 0b) Rta: m =65 ; b = 5 y = 565+ xc) Rta: m =
- 1 ; b = 1 y = - 1 x + 1d) Rta: m=21 ; b = -1 y = - 121xPARBOLAUna
parbola es una curva as . Desde el punto de vista matemtico esta
curvaest dada por la funcin:Y= a x2+ b x + cFijate que si tuviera
slo el trmino y = b x + c tendra una recta. Al agregarle el
trminocon x2la recta se transforma en una parbola. Es el trmino
cuadrtico el que me diceque es una parbola. Ellos dicen que y = a
x2+ b x + c es una funcin cuadrtica porquetiene un trmino con x2.
Una parbola tpica podra ser por ejemplo:Y = 2 x2+ 5 x + 8En este
caso a sera igual a 2, b a 5 y c sera 8. Los trminos de la ecuacin
tambinpueden ser negativos como en:Y = - x2+ 2 x -1Ac sera a = - 1,
b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer trmino pueden faltar.(
El primero NO por que es el cuadrtico ). Un ejemplo en donde faltan
trminos sera:2165-121-2-12 Ecuacin de la parbolaPrcticamenteson
901
21. ASIMOV FISICA CERO- 11 -Y= 0,5 x2 3 ( a = 0,5 , b = 0, C =
-3 )o tambin:Y = x2- 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 )La ecuacin tambin
puede estar desordenada, entonces para saber quin es a, quin b,
yquin c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo:Y = - 3 x - 1 + 5 x2(
Y = 5 x2 3 x -1 a = 5, b = - 3, c = - 1)REPRESENTACIN DE UNA
PARBOLALo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y.
Con todos estos valores voyarmando una tabla. Una vez que tengo la
tabla, voy representando cada punto en un parde ejes x,y. Uniendo
todos los puntos, obtengo la parbola.De acuerdo a los valores de a,
b y c la parbola podr dar ms abierta, ms cerrada, msarriba o ms
abajo, pero S hay una cosa que tens que acordarte y es que si el
trminocuadrtico es negativo la parbola va a dar para abajo.Es
decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior hubiese sido Y= -
x2en vez de Y = x2, lacosa habra dado as: Por qu pasa esto ? Rta :
Porque a es negativo. ( En este caso a = - 1 )
22. ASIMOV FISICA CERO12Entonces conviene que te acuerdes
siempre que:Dicho de otra manera: Y si a la ecuacin cuadrtica no le
falta ningn trmino ? Rta: No pasa nada, el asunto esel mismo, lo
nico es que va a ser ms lo construir la tabla por que hay que hacer
mscuentas. Fijate:Ejercicios: Representar las siguientes parbolas y
decir cunto valen los trminos a, b y c:Si en la ecuacin Y = a x2+ b
x + c el valor de a esnegativo, entonces la parbola va a dar para
abajo
23. ASIMOV FISICA CERO13xSolucin de una ecuacin cuadrticaUna
ecuacin cuadrtica es la ecuacin de una parbola igualada a cero. Es
decir, si en vezde tener y = a x2+ b x + c tengo a x2+ b x + c = 0
, eso ser una ecuacin cuadrtica.Por ejemplo, son ecuaciones
cuadrticas:X2+ 4 = 0 , 5 X2 3 X + 7 = 0 , 7 X 3 X2= 0Lo que se
busca son los valores de x que satisfagan la ecuacin. Qu significa
eso ?Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuacin d
cero. Supongamos quetengo:x2 4 = 0Qu valores tiene que tomar x para
que x2 4 de cero ? Bueno, a ojo me doy cuenta quesi reemplazo x por
2 la cosa anda. Fijate:22 4 = 0 ( Se cumple )Habr algn otro valor?
S. Hay otro valor es x = - 2. Probemos:(-2)2 4 = 4 4 = 0 ( anda
)Este mtodo de ir probando est muy lindo pero no sirve. Por qu ?
Rta: Porque en estecaso funcion por la ecuacin era fcil. Pero si te
doy la ecuacin 30201010 2+= xx ...Cmo hacs? Ac no puede irse
probando porque el asunto puede llevarte un ao entero.( Por ejemplo
para esa ecuacin las soluciones son: x = 1,51142 y x = 198,4885 ).A
los valores de x que hacen que toda la ecuacin de cero se los llama
races de laecuacin o soluciones de la ecuacin. Entonces, la idea es
encontrar un mtodo que sirvapara hallar las races de la ecuacin.
Este mtodo ya fue encontrado en el mil seiscientosy pico y se basa
en usar la siguiente frmula ( la demostracin est en los libros
):X1,2 =aacbb242 Cmo se usa esta frmula ? Mir este ejemplo:
Encontrar las races de la ecuacinY = x2 4 x + 3. En este caso a =
1; b =-4 y c = 3. Entonces el choclazo queda:x1,2 =( ) (
)12314442Solucin de unaecuacin cuadrtica
24. ASIMOV FISICA CERO14 x1,2 =212164 x1,2 =244 x1,2 =224
Ahora, para una de las soluciones uso el signo + y para la otra el
signo menos. La cosaqueda as:Entonces x = 3 y x = 1 son las
soluciones de la ecuacin.Quiero decirte una cosita ms con respecto
a este tema: una ecuacin cuadrtica podrtener una solucin, 2
soluciones o ninguna solucin. Cmo es eso ? Fijate: Qusignifica
igualar la ecuacin de una parbola a cero ? Rta: Bueno, una
parbolaes estoPreguntar para qu valores de x la y da cero,
significa preguntar dnde corta la Parbolaal eje de las x. Es decir,
que las races de una ecuacin cuadrtica representan esto:El caso de
una solucin nica va a estar dado cuando la parbola NO corta al eje
de las xen dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir,
voy a tener esta situacin :La ecuacin cuadrtica puede no tener
solucin cuando la parbola No corta en ningnmomento al eje de las x.
Por ejemplo:Una solucin. Otra solucinSoluciones de una
ecuacincuadrtica Caso de raz nica.
25. ASIMOV FISICA CERO15Cuando te toque una ecuacin de este
tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer acb 42te va a quedar la
raz cuadrada de un nmero negativo (como por ejemplo 4 ). No
hayningn nmero que al elevarlo al cuadrado, de negativo, de manera
que este asunto notiene solucin. Ac te pongo algunos
ejemplos:Encontrar las soluciones de la ecuacin usando la frmula x
=aacbb242( Pods verificar los resultados graficando la parbola )1)
x2 2 x 3 = 0 Rta: x1 = 3 ; x2 = -12) x2 7 x + 12 = 0 Rta: x1 = 4 x2
= 33) x2 2 x + 1 = 0 Rta: x = 1 ( Raz doble )4) x2 18 x + 81 Rta: x
= 9 ( Raz doble )5) x2+ x + 1 = 0 No tiene solucin.6) x2 x + 3 = 0
No tiene solucin.SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITASUna
ecuacin con una incgnita es una cosa as x - 3 = 5. Esta ecuacin
podra ser laecuacin de un problema del tipo: Encontrar un nmero x
tal que si le resto 3 me da 5 . Cmo se resolvera una ecuacin de
este tipo ?Rta: Muy fcil. Se despeja x y chau. Fijate :x 3 = 5 x =
5 + 3 x =8Qu pasa ahora si me dan una ecuacin as ? : x + y = 6
.Esto es lo que se llama una ecuacin con 2 incgnitas. As como est,
no se puede resolver.O sea, se puede, pero voy a tener infinitas
soluciones. Por ejemplo, algunas podran ser:x = 6 ; y = 0 x = 7 ; y
= - 1 x = 8 ; y = - 2Creo que ves a dnde apunto. Si trato de buscar
2 nmeros x e y tal que la suma sea 6,voy a tener millones de
soluciones. ( Bueno... millones no... infinitas !!! )
26. ASIMOV FISICA CERO16Bueno, ahora distinta es la cosa si yo
te digo: dame dos nmeros cuya suma sea 6 y cuyaresta sea 4 Ah el
asunto cambia. Este problema SI tiene solucin. Matemticamente
sepone as:x + y = 6x - y = 4Esto es lo que ellos llaman sistema de
dos ecuaciones con dos incgnitas.Cmo se resuelve esto?
Veamos.SOLUCIN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITASHay
varios mtodos para resolver 2 ecuaciones con 2 incgnitas. Te
recuerdo los 2mtodos ms fciles. Supongamos que tengo el sistema:x +
y = 6x - y = 4MTODO 1 : DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIN )Se
despeja una de las incgnitas de la primera ecuacin y se reemplaza
en la segunda.Por ejemplo, despejo x de la 1. Me queda: x = 6
y.Reemplazando esta x en la segunda ecuacin. Me queda: ( 6 y ) y =
4Ahora:6 y - y = 4 6 4 = 2 y2 = 2 y y = 1Ya calcul el valor de y.
Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuaciones
originalessaco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1ra
de las ecuaciones:x + 1 = 6x = 6 1 x = 5MTODO 2 : SUMA Y RESTASe
suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de
las incgnitas.Por ejemplo:x + y = 6x - y = 4Sumo las ecuaciones
miembro a miembro y me queda:x + y + x y = 6 + 4
27. ASIMOV FISICA CERO17Ahora la y se va. Me queda: 2 x = 10 x
= 5Al igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera
de las 2 ecuacionesoriginales, obtengo el valor de y. Una cosa: Ac
yo sum las ecuaciones, pero tambin sepueden restar.Si las hubiera
restado, el asunto hubiera sido el mismo ( se iba a ir la x )Este
segundo mtodo viene perfecto para los problemas de dinmica. El 1er
mtodotambin se puede usar, claro. A ellos no les importa qu mtodo
uses.Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del
sistema, es la ecuacin de unarecta. Por ejemplo el sistema anterior
se podra haber puesto as: Entonces cul sera el significado
geomtrico de encontrar la solucin de un sistema de2 ecuaciones con
2 incgnitas ? Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las
2rectas. Por ejemplo, en el caso de recin tendra
esto:EJERCICIOSResolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con
2 incgnitas. ( Pods representarlas 2 rectas para verificar)Solucin
de un sistema de 2ecuaciones con 2 incgnitas
28. ASIMOV FISICA CERO18MATEMTICA CERO PALABRAS FINALESAc
termina mi resumen de matemtica. Pero atencin, esta no es toda
lamatemtica que existe. La matemtica es gigantesca. Lo que puse ac
es lo hiper-necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temas
que tambin vas a necesitarcomo vectores o trigonometra. Estos temas
te los voy a ir explicando a lo largo dellibro.Ahora, pregunta...
Detests la matemtica ?Rta: Bueno, no sos el nico. El 95 % de la
gente la detesta. Es que la matemtica es muyfea. Y encima es
difcil. Hay alguna solucin para esto ?Rta: Mir,... no hay salida.
Vas a tener que saber matemtica s o s para entender fsica.Y te
aclaro, ms adelante ES PEOR. A medida que te internes en ingeniera
o en exactas,vas a tener que saber ms matemtica, ms matemtica y ms
matemtica. ( Me refiero aAnlisis I, Anlisis II, lgebra y dems ). Lo
nico que se puede hacer para solucionaresto es estudiar. ( Y
estudiar mucho ). Es as. El asunto depende de vos.A veces los
chicos dicen: che. Que mala onda tens ?!Rta: No es mala onda. Esto
es as. En todos lados del mundo estudiar exactas o ingenieraest en
el lmite con la locura. Encima vos elegiste la UBA, que es la
Universidad de mayornivel en Argentina... entonces qu quers
?!Resumiendo, el que quiere celeste, que le cueste. Nadie te
obliga. Ah afuera te estnesperando los de Mc Donalds para trabajar
por do peso la hora.Creo que fui claro, no ?FIN MATEMTICA CERO
30. ASIMOV ESTTICA- 20 -ESTATICALa esttica se invent para
resolver problemas de Ingeniera. Principalmente problemasde
Ingeniera civil y problemas de Ingeniera mecnica. El primero que
empez con estofue Galileo dolo. ( Ao 1500, ms o menos ). La idea de
Galileo era tratar de calcularcunto vala la fuerza que actuaba
sobre un cuerpo. Ahora... Para que quiere uno saber qu fuerza acta
sobre un cuerpo ?Rta: Bueno, a grandes rasgos digamos que si la
fuerza que acta sobre un cuerpo es muygrande, el cuerpo se puede
romper. Muchas veces uno necesita poder calcular la fuerzaque acta
para saber si el cuerpo va a poder soportarla o no.Mir estos
ejemplos: Los carteles que cuelgan en las calles suelen tener un
cable o unalambre que los sostiene. El grosor de ese alambre se
calcula en funcin de la fuerzaque tiene que soportar. Esa fuerza
depende del peso del cartel y se calcula por esttica.En los
edificios, el peso de toda la construccin est soportado por las
columnas. El gro-sor de las columnas va a depender de la fuerza que
tengan que soportar. En las repre-sas, el agua empuja tratando de
volcar la pared. La fuerza que tiene que soportar la pa-red se
calcula por esttica. El grosor de la pared y la forma de la pared
se disean deacuerdo a esa fuerza que uno calcul.El clculo de las
fuerzas que actan sobre un puente es un problema de esttica.A
grandes rasgos, cuando uno quiere saber como tienen que ser las
columnas y losEL ALAMBRE SE PUEDEROMPER SI EL PESO DELCARTEL ES MUY
GRANDEFUERZAS QUEACTAN SOBREUN EDIFICIO Y SO-BRE UNA REPRESA
31. ASIMOV ESTTICA- 21 -cables que van a sostener a un puente,
tiene que resolver un problema de esttica.En las mquinas, el clculo
de fuerzas por esttica es muy importante. Por ejemplo,en los trenes
hay un gancho que conecta un vagn con otro. El grosor de ese
ganchose saca resolviendo un problema de esttica.Hoy en dia todos
estos clculos los hacen las computadoras. Pero lo que hace la
mquinano es nada del otro mundo. Hace las mismas cuentas que vos
vas a hacer al resolver losproblemas de la gua. Solamente que ella
las hace millones y millones de veces. QU SIGNIFICA RESOLVER UN
PROBLEMA DE ESTTICA ?En esttica a uno le dan un cuerpo que tiene un
montn de fuerzas aplicadas. Resolverun problema de esttica quiere
decir calcular cunto vale alguna de esas fuerzas. En es-ttica todo
el tiempo hablamos de fuerzas. Entonces primero veamos qu es una
fuerza.FUERZAEs la accin que uno ejerce con la mano cuando empuja
algo o tira de algo. Por ejemplo:A esta accin uno la representa
poniendo una flechita para el mismo lado para donde vala fuerza. Si
un seor empuja una heladera, al empujarla ejerce una fuerza. Esta
fuerzaellos la representan as:LOS CABLES YLAS COLUMNASSOPORTAN
TODALA FUERZA ENUN PUENTE
32. ASIMOV ESTTICA- 22 -Hay otro tipo de fuerza que siempre
aparece en los problemas de esttica que es lafuerza PESO. La Tierra
atrae a las cosas y quiere hacer que caigan. A esta fuerza sela
llama peso. Por ejemplo, si yo suelto un ladrillo, cae. En ese caso
la fuerza peso estactuando de la siguiente manera:Vamos a este otro
caso. Supongamos que cuelgo un ladrillo del techo con una soga.
Elladrillo no se cae porque la soga lo sostiene. Ellos dicen
entonces que la soga est ejer-ciendo una fuerza hacia arriba que
compensa al peso. A esa fuerza se la llama tensin.( Tensin, tensin
de la soga, fuerza que hace la cuerda, es lo mismo ). La tensin
deuna soga se suele representar as:FUERZAS CONCURRENTES ( Atento
)Cuando TODAS las fuerzas que actan sobre un mismo cuerpo PASAN POR
UN MIS-MO PUNTO, se dice que estas fuerzas son concurrentes. ( =
Que concurren a un mismopunto ). A veces tambin se las llama
fuerzas copuntuales. Lo que tens que entenderes que si las fuerzas
son copuntuales vos las pods dibujar a todas saliendo desde elmismo
lugar. Por ejemplo, las siguientes fuerzas son concurrentes:
33. ASIMOV ESTTICA- 23 -Tambin las fuerzas pueden no pasar por
el mismo lugar. En ese caso se dice que lasfuerzas son
no-concurrentes. Ac tens un ejemplo:Los problemas de fuerzas
copuntuales son los que se ven primero porque son ms fci-les.
Despus vienen los problemas de fuerzas no-copuntuales que son ms
difciles.Ah hay que usar momento de una fuerza y todo eso.SUMA DE
FUERZAS - RESULTANTE.Supongamos que tengo un cuerpo que tiene un
montn de fuerzas aplicadas. Lo que es-toy buscando es reemplazar a
todas las fuerzas por una sola. Esa fuerza actuando solatiene que
provocar el mismo efecto que todas las otras actuando juntas. Por
ejemplo,supon que un auto se par. Se ponen a empujarlo 3 personas.
Yo podra reemplazar aesas 3 personas por una sola que empujara de
la misma manera. Hacer esto es hallar laresultante del sistema de
fuerzas . Concretamente, hallar la resultante quiere decircalcular
cuanto vale la suma de todas las fuerzas que actan.Atencin, las
fuerzas no se suman como los nmeros. Se suman como vectores.A la
fuerza resultante de la llama as justamente porque se obtiene como
resultadode sumar todas las dems. Hay 2 maneras de calcular la
resultante de un sistema defuerzas: Uno es el mtodo grfico y el
otro es el mtodo analtico. En el mtodo grficouno calcula la
resultante haciendo un dibujito y midiendo con una regla sobre el
dibujito.En el mtodo analtico uno calcula la resultante en forma
terica haciendo cuentas.SUMA DE FUERZAS GRAFICAMENTE METODO DEL
PARALELOGRAMO.Este mtodo se usa solo cuando tengo 2 fuerzas. Lo que
se hace es calcular la diagonaldel paralelogramo formado por las 2
fuerzas. Por ejemplo, fijate como lo uso para cal-cular grficamente
la resultante de estas dos fuerzas F1 y F2 de 2 kgf y 3 kgf
queforman un ngulo de 30 grados:
34. ASIMOV ESTTICA- 24 -Ojo, las fuerzas son vectores. Entonces
para calcular la resultante va a haber que decircul es su mdulo y
cul es el ngulo que forma con el eje x. Si estoy trabajando
grfica-mente, mido el ngulo y el mdulo directamente en el grfico.
El mdulo lo mido con unaregla y el ngulo con un
transportador.METODO DEL POLIGONO DE FUERZASSi me dan ms de 2
fuerzas, puedo calcular la resultante usando el mtodo del polgonode
fuerzas. Este mtodo se usa poco porque es medio pesado. Igual
conviene saberloporque en algn caso se puede llegar a usar. Lo que
se hace es lo siguiente:1 - Se va poniendo una fuerza a continuacin
de la otra formando un polgono.2 Se une el origen de la primera
fuerza con la punta de la ltima.3 Este ltimo vector es la
resultante del sistema.NOTA: Si el polgono da cerrado es porque el
sistema est en equilibrio. ( Es decir, laresultante vale cero, o lo
que es lo mismo, no hay resultante ). Fijate ahora. Voy a calcu-lar
la resultante de algunas fuerzas usando el mtodo del
polgono.EJEMPLO: Hallar la resultante del sistema de fuerzas F1, F2
y F3Entonces voy poniendo una fuerza a continuacin de la otra y
formo el polgono. Hagouna flecha que va desde la cola de la primera
fuerza hasta la punta de la ltima. Esaflecha que me queda marcada
es la resultante:Ac el valor de R es aproximadamente de 3,4 N y
alfa R aproximadamente 58 .Los med directamente del grfico con
regla y transportador.
35. ASIMOV ESTTICA- 25 -Vamos a otro caso que muestra cmo se
usa el mtodo del polgono de fuerzas :EJEMPLO: Hallar la resultante
de las fuerzas F1, F2 , F3 y F4.En este caso el polgono dio
CERRADO. La resultante es CERO. Todas las fuerzas secompensan entre
s y es como si no hubiera ninguna fuerza aplicada.NOTA: la deduccin
del mtodo del polgono de fuerzas sale de aplicar sucesivamentela
regla del paralelogramo.Para que entiendas el tema que sigue
necesito que sepas trigonometra. Entonces va unpequeo repaso.
Ttulo:TRIGONOMETRAFUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un NGULOLa
palabra trigonometra significa medicin de tringulos. A grandes
rasgos la ideaes poder calcular cunto vale el lado de un tringulo
sin tener que ir a medirlo conuna regla. Todo lo que pongo ac sirve
slo para tringulos que tiene un ngulo de90 ( Tringulo Rectngulo).El
asunto es as: Los tipos inventaron unas cosas que se llaman
funciones trigonomtri-cas que se usan todo el tiempo en matemtica y
en fsica.Para cualquier tringulo que tenga un ngulo de 90 (
rectngulo ) ellos definen lassiguientes funciones :
36. ASIMOV ESTTICA- 26 -Estas funciones trigonomtricas lo que
hacen es decir cuntas veces entra un lado deltringulo en otro de
los lados para un determinado ngulo alfa.Por ejemplo, si uno dice
que el seno 30 = 0,5 , lo que est diciendo es que lo que mideen cm
el cateto opuesto dividido lo que mide en cm la hipotenusa da 0,5.
Esto significaque la hipotenusa entra media vez en el cateto
opuesto.Lo interesante de este asunto es que el valor que tomen las
funciones trigonomtricasseno de alfa, coseno de alfa y tg de alfa
NO dependen de qu tan grande uno dibuje eltringulo en su hoja. Si
el tringulo es rectngulo y el ngulo alfa es 30, el seno de
alfavaldr 0,5 siempre. ( Siempre ).Cada vez que uno necesita saber
el valor de sen alfa o cos se lo pregunta a la calcula-dora y
listo. Ojo, la mquina tiene que estar siempre en grados ( DEG
).Tambin si bien uno tiene la calculadora, conviene saber los
principales valores de me-moria. Va ac una tablita que te puede
ayudar :Ejemplo: Calcular el valor de las funciones trigonomtricas
paraun tringulo rectngulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.Escribo la
expresin de sen , cos y tg Dibujo el triangulo de lados 3, 4 y 5.3
cm5 cm4 cmadyoptg;hipadycos;hipopsen
===FUNCIONESTRIGONOMETRICAS
37. ASIMOV ESTTICA- 27 -Para calcular los valores de seno,
coseno y tangente de alfa, hago las cuentas :Es un poco largo de
explicar las millones de cosas que se pueden hacer usando las
fun-ciones trigonomtricas. Puedo darte un ejemplo:Supon que vos
quers saber la altura de un rbol pero no tens ganas de subirte
hastala punta para averiguarlo. Lo que se podra hacer entonces es
esto: Primero te pars enun lugar cualquiera y meds la distancia al
rbol. Supon que te da 8 m. Despus con untransportador meds al ngulo
que hay hasta la punta del rbol. (Alfa ). Supon que teda 30.
Esquemticamente sera algo as:De esta manera se pueden calcular
distancias en forma terica. Cuando digo " en for-ma terica " quiero
decir, sin tener que subirse al rbol para medirlo. Si uno
quiere,puede dibujar el tringulo en escala en una hoja y medir todo
con una regla. Se puedehacer eso pero es mucho lo y no da
exacto.8mrboldelAltura30tg:Entonces.adyoptg:nguloundetangentedefrmulalausandoAhora,==rbol.delAlturam4,61Altura30tg80,577==
mAltura0,6cm5cm3hipotenusaopuestosen
===0,75cm4cm3adyacenteopuestotg0,8cm5cm4hipotenusaadyacentecos======
38. ASIMOV ESTTICA- 28 -Es ms hay veces que hay distancias
difciles de medir. Por ms que uno quiera, nopuede ir hasta ah y
medirla. En esos casos, la nica manera de calcular esa distanciaes
usar trigonometra.Por ejemplo ac te pongo un caso de esos: la
distancia a una estrella Te recuerdoque conocer la distancia a las
estrellas fue el sueo de la humanidad durante muchosmiles de aos.
Cmo haras para medir la distancia a una estrella ? Pensalo. A ver
sieste dibujito te ayuda un poco.PROYECCIONES DE UNA FUERZASupon
que me dan una fuerza inclinada un ngulo alfa. Por ejemplo
esta:Hallar la proyeccin de la fuerza sobre el eje x significa ver
cunto mide la sombrade esa fuerza sobre ese eje. Es decir, lo que
quiero saber es esto:Hallar la proyeccin sobre el eje y es la misma
historia:FF SOMBRA DE LAFUERZA EN X ( Fx )FxSOMBRA DE LAFUERZA EN Y
( Fy )Fy
39. ASIMOV ESTTICA- 29 -hip68Para saber cunto mide la proyeccin
de una fuerza sobre un eje, en vez deandar midiendo sombras se usa
la trigonometra. Fijate :Es decir, si tengo una fuerza F, las
proyecciones Fx y Fy van a ser:PITGORASEl teorema de Pitgoras sirve
para saber cunto vale la hipotenusa de un tringulorectngulo
sabiendo cunto valen los 2 catetos. Si tengo un tringulo rectngulo
secumple que:Ejemplo: Tengo un tringulo de lados 6 cm y 8 cm. Cunto
mide su hipotenusa ?Rta.: hip2= ( 6 cm ) 2+ ( 8 cm ) 2h 2= 100 cm
2h = 10 cm VALOR DE LA HIPOTENUSAFXFYFFx = Fx cos FY = Fx sen
senhipophipopsen ==coshipadyhipadycos ==hipopadyhip 2= ady 2+ op
2TEOREMA DEPITAGORAS
40. ASIMOV ESTTICA- 30 -Ejemplo: HALLAR LAS PROYECCIONES EN
EQUIS Y EN Y PARA UNA FUERZADE 10 NEWTON QUE FORMA UN NGULO DE 30
CON EL EJE X.Tomando las cosas en escala, tengo un vector de 10 cm
con alfa = 30 .Es decir, algo as :Entonces la proyeccin sobre el
eje X mide 8,66 cm y la proyeccin sobre el eje Y mi-de 5 cm .
Conclusin: FX = 8,66 Newton y FY = 5 Newton. Prob componer estas 2
pro-yecciones por Pitgoras y verific que se obtiene de nuevo la
fuerza original de 10 N.Aprendete este procedimiento para hallar
las proyecciones de una fuerza. Se usa mu-cho. Y no se usa slo ac
en esttica. Tambin se usa en cinemtica, en dinmica ydespus en
trabajo y energa. Es ms, te dira que conviene memorizar las
formulitasFx = F. cos y Fy = F. sen .Es fcil : La Fy es F por seno
y la Fx es F por coseno. Atencin, esto vale siempre queel ngulo que
ests tomando sea el que forma la fuerza con el eje X.Van unos
ltimos comentarios sobre trigonometra:* Las funciones
trigonomtricas sen , cos y tg pueden tener signo (+) o (-).Eso
depende de en qu cuadrante est el ngulo alfa . Fijate:yseno
xtangente coseno* Te paso unas relaciones trigonomtricas que pueden
serte tiles en algn problema.Para cualquier ngulo alfa se cumple
que :Adems : sen 2 + cos 2 = 1SIGNO POSITIVO DE LASFUNCIONES SENO
COSENOY TANGENTE SEGN ELCUADRANTE. (RECORDAR)cossen=tgF= 10
cmcm530sencm10F0,5y ==cmcmFx 66,830cos10866,0==Todaspositivas
41. ASIMOV ESTTICA- 31 -Y tambin: cos = sen ( 90 - )( Ej: cos
30 = sen 60 )Hasta ahora todo lo que puse fueron cosas de
matemtica. Tuve que hacerlo para quepudieras entender lo que viene
ahora. Ttulo :SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTELo que se hace para
hallar la resultante en forma analtica es lo siguiente :1 Tomo un
par de ejes x y con el origen puesto en el punto por el que
pasantodas las fuerzas.2 Descompongo cada fuerza en 2 componentes.
Una sobre el eje x ( Fx ) y otra sobreel eje y ( Fy ).3 Hallo la
suma de todas las proyecciones en el eje x y en el eje yEs decir,
lo que estoy haciendo es calcular el valor de la resultante en x (
Rx ) y elvalor de la resultante en y ( Ry ). Este asunto es
bastante importante y ellos suelenponerlo de esta manera :Esto se
lee as : La resultante en la direccin x ( horizontal ) es la
sumatoria de todaslas fuerzas en la direccin x. La resultante en la
direccin y ( vertical ) es la sumato-ria de todas las fuerzas en la
direccin y.4 Componiendo Rx con Ry por Pitgoras hallo el valor de
la resultante.Haciendo la cuenta tg R = Ry / Rx puedo calcular el
ngulo alfa que forma la resul-tante con el eje X. Vamos a un
ejemplo:R2= Rx2+ Ry2PITAGORASFIN RESUMEN DE TRIGONOMETRIARx = Fx
SUMATORIA EN xRy = Fy SUMATORIA EN y
42. ASIMOV ESTTICA- 32 -EJEMPLOHALLAR ANALTICAMENTE LA
RESULTANTE DEL SIGUIENTESISTEMA DEFUERZAS CONCURRENTES CALCULANDO R
y R .Para resolver el problema lo que hago es plantear la sumatoria
de las fuerzas en ladireccin x y la sumatoria de las fuerzas en la
direccin y . O sea:Rx.= Fx y Ry = FyCalculo ahora el valor de Rx y
Ry proyectando cada fuerza sobre el eje x y sobre eleje y. Si mirs
las frmulas de trigonometra te vas a dar cuenta de que la
componentede la fuerza en la direccin x ser siempre Fx = F.cos y la
componente en direcciny es Fy = F.sen . ( es el ngulo que la fuerza
forma con el eje x ).Entonces:Rx = Fx = F1 . cos 1 + F2 . cos 2 +
F3 . cos 3 Rx = 2 N . cos 0 + 2 N . cos 45 - 2 N . cos 45 Fijate
que la proyeccin de F3 sobre el eje x va as y es negativa. Haciendo
la suma:Haciendo lo mismo para el eje y:Ry = Fy = F1 . sen 1 + F2 .
sen 2 + F3 . sen 3F1 = 2 NRx = 2 N Resultante en x
43. ASIMOV ESTTICA- 33 - Ry = 2 N . sen 0 + 2 N . sen 45 + 2 N
. sen 45O sea que lo que tengo es esto:Aplicando Pitgoras:Otra vez
por trigonometra: tg R = Ry / Rx tg R = 1,414 Para poder calcular R
conociendo tg R us la funcin arco tg de la calculadora .Atencin, se
pone :Nota: a veces en algunos problemas piden calcular la
equilibrante. La equilibrante vale lomismo que la resultante pero
apunta para el otro lado. Para el problema anterior lafuerza
equilibrante valdra 3,46 N y formara un ngulo : E = 54,73 + 180 =
234,73EQUILIBRIO ( Importante)Supongamos que tengo un cuerpo que
tiene un montn de fuerzas aplicadas que pasanpor un mismo punto
(concurrentes).R = 3,46 N ResultanteRy = 2,828 N Resultante en
yN)(2,828N)(2R +=1 4 1 SHIFT TANAngulo que forma R con el eje x R =
54,732N2,82Ntg R =
44. ASIMOV ESTTICA- 34 -Ellos dicen que el cuerpo estar en
equilibrio si la accin de estas fuerzas se compensade manera tal
que es como si no actuara ninguna fuerza sobre el cuerpo. Por
ejemplo:Este otro cuerpo tambin est en equilibrio:Vamos al caso de
un cuerpo que NO est en equilibrio:Es decir, F1 y F2 se compensan
entre s, pero a F3 no la compensa nadie y el cuerpo seva a empezar
a mover para all .Todos los cuerpos que veas en los problemas de
esttica van a estar quietos. Eso pasaporque las fuerzas que actan
sobre el tipo se compensan mutuamente y el coso no semueve. Sin
hilar fino, digamos un cuerpo esta en equilibrio si est quieto. En
estticasiempre vamos a trabajar con cuerpos que estn quietos. De ah
justamente viene elnombre de todo este tema. ( Esttico: que est
quieto, que no se mueve ).Pero ahora viene lo importante. Desde el
punto de vista fsico, ellos dicen que :UN CUERPO EST EN EQUILIBRIO
SI LA SUMA DE TODAS LASFUERZAS QUE ACTAN SOBRE L VALE CERO.Otra
manera de decir lo mismo es decir que si un sistema de fuerzas
copuntualesest en equilibrio, su resultante tiene que ser cero. Es
decir, no hay fuerza netaaplicada. La manera matemtica de escribir
esto es: F = 0condicin de equilibriopara un sistema defuerzas
concurrentesOTRO CUERPOEN EQUILIBRIO
45. ASIMOV ESTTICA- 35 -Esta frmula se lee: la suma de todas
las fuerzas que actan tiene que ser cero . Estaes una ecuacin
vectorial. Cuando uno la usa para resolver los problemas tiene
queponerla en forma de 2 ecuaciones de proyeccin sobre cada uno de
los ejes. Estasecuaciones son ( atento ):No te preocupes por estas
frmulas. Ya lo vas a entender mejor una vez que resuel-vas algunos
problemas. Ahora van unos comentarios importantes.ACLARACIONES:
Para hallar analticamente la resultante de dos fuerzas se puede
usar tambin elteorema del coseno. No conviene usarlo, es fcil
confundirse al tratar de buscarel ngulo lfa que figura en la
frmula. Por favor, fijate que las condiciones de equilibrio Fx = 0
y Fy = 0garantizan que el sistema est en equilibrio solo en el caso
en de queTODAS LAS FUERZAS PASEN POR UN MISMO PUNTO.( Esto no es
fcil de ver. Lo vas a entender mejor ms adelante cuandoveas el
concepto de momento de una fuerza ).UN EJEMPLODos fuerzas
concurrentes, F1 de 60 N y F2 de 100 N forman entre s un ngulode
70. Para obtener un sistema de fuerzas en equilibrio se aplica una
fuerza F3 Cunto deben valer, aproximadamente, el mdulo de F3 y el
ngulo que formadicha fuerza con F1 ?El problema no tiene dibujito.
Lo hago : Fx = 0Condicin de equilibriopara el eje
horizontal.Condicin de equilibriopara un sistema defuerzas
concurrentes(ec. de proyeccin) Fy = 0Condicin de equilibriopara el
eje vertical.ESQUEMA DE LOQUE PLANTEA ELENUNCIADO
46. ASIMOV ESTTICA- 36 -Tom la fuerza de 60 N en el eje equis
para hacer ms fcil el asunto. Planteo la sumade fuerzas en x y en y
para sacar la resultanteR2= Fx2+ Fy2R2= ( 94,02 N )2+ ( 93,969 N
)2R = 133 N VALOR DE LA RESULTANTECalculo el ngulo que forma la
resultante con el eje x:Ahora, la fuerza equilibrante tendr el
mismo mdulo que la resultante pero ir para elotro lado. Quiere
decir que el asunto queda as:Entonces:E = 133 N VALOR DE LA
EQUILIBRANTE = 135 ANGULO DE LA EQUILIBRANTEOTRO EJEMPLOHallar la
tensin en cada una de las cuerdas dela figura. El peso que soportan
es de 200 kgf.P = 200 kgfYxR
47. ASIMOV ESTTICA- 37 -Empiezo por la parte de abajo. Hago un
dibujito :Planteo las sumatorias en x y en Y. El cuerpo no se
mueve. Est en equilibrio. Entoncesla Fx y la Fy tienen que ser
CERO. Me queda: Fy = 0Tc . Sen 53 + Tc . Sen 53 - 200 kgf = 02.Tc .
Sen 53 = 200 kgfLa sumatoria en equis queda Tc . Cos 53 - Tc . Cos
53 = 0. No tiene sentido que laplantee porque no puedo despejar
nada de ah. Vamos a las otras cuerdas. El dibujitosera algo as:Otra
vez planteo las sumatorias en x y en Y. Otra vez el cuerpo est en
equilibrio, asique Fx y Fy tienen que ser CERO. Me queda: Fy = 0TA
. Sen 37 - Tc . Sen 53 = 0Tc ya la haba calculado antes y me haba
dado 125,2 kgf. Entonces reemplazo:VALOR DE LA TENSIONEN LAS DOS
CUERDAS CTc = 125,21 NP = 200 kgf
48. ASIMOV ESTTICA- 38 -TA . Sen 37 - 125,2 kgf . Sen 53 = 0TA
. 0,6 = 125,2 kgf . 0,8Ahora planteo la sumatoria de las fuerzas en
equis. Me queda : Fx = 0TA . cos 37 - TB - Tc . cos 53 = 0Los
valores de TA y TC ya los conozco. Entonces reemplazo:166,2 kgf .
cos 37 - TB - 125,2 kgf . cos 53 = 0TB = 166,2 kgf . cos 37 - 125,2
kgf . cos 53FIN FUERZAS COPUNTALESTA = 166,2 kgfVALOR DE LA
TENSIONEN LA CUERDA ATB = 57,3 kgfVALOR DE LA TEN-SION EN LA
CUERDA
49. ASIMOV ESTTICA- 39 -FUERZAS NO COPUNTUALESHasta ahora
tenamos problemas donde todas las fuerzas pasaban todas por un
mismopunto. Para resolver este tipo de problemas haba que plantear
2 ecuaciones. Estasecuaciones eran la sumatoria de las fuerzas en
direccin x y la sumatoria de fuerzasen direccin y.Ahora vamos a
tener problemas donde las fuerzas no pasan por el mismo punto.( Se
dice que las fuerzas son NO CONCURRENTES o NO COPUNTUALES ).
Entoncespara resolver los ejercicios va a haber que plantear otra
ecuacin que es la ecuacin delmomento de las fuerzas. Entonces,
ttulo:MOMENTO DE UNA FUERZAPara resolver el asunto de fuerzas que
no pasan por un mismo punto se inventa una cosaque se llama momento
de una fuerza. Ellos definen el momento de una fuerza con res-pecto
a un punto como:La distancia que va del punto a la fuerza se llama
d y F es la componente de la fuerza enforma perpendicular a d (ojo
con esto). La fuerza puede llegar a estarInclinadaEn ese caso, el
momento de la fuerza con respecto a O vale Mo = Fy . d . ( Fy
vendra a serla componente de la fuerza perpendicular a d ).M = F .
dMomento de una fuerzacon respecto al punto .
50. ASIMOV ESTTICA- 40 -SIGNO DEL MOMENTO DE UNA FUERZAUna
fuerza aplicada a un cuerpo puede hacerlo girar en sentido de las
agujas del relojo al revs. Entonces hay 2 sentidos de giro
posibles, uno de los dos tendr que ser posi-tivo y el otro
negativo.Para decidir cul sentido es positivo y cul es negativo hay
varias convenciones. Una delas convenciones dice as: " el momento
de la fuerza ser positivo cuando haga girar alcuerpo en sentido
contrario al de las agujas del reloj ".La otra convencin, dice: "
el momento ser positivo cuando la fuerza en cuestin hagagirar al
cuerpo en el mismo sentido que las agujas del reloj ".Yo te
aconsejo que uses la siguiente convencin: Antes de empezar el
problema unomarca en la hoja el sentido de giro que elige como
positivo poniendo esto: (+) ( giroantihorario positivo ) o esto:
(+) ( giro horario positivo ).Esta ltima convencin es la que suelo
usar yo para resolver los problemas. Creo que esla mejor porque uno
puede elegir qu sentido de giro es positivo para cada problema
enparticular. Cul es la ventaja ?Rta: La ventaja es que si en un
ejercicio la mayora de las fuerzas tienen un determina-do sentido
de giro, elijo como positivo ese sentido de giro para ese problema
y listo.Si elijo el sentido al revs, no pasa nada, pero me van a
empezar a aparecer un montnde signos menos. ( = Molestan y me puedo
equivocar ) Puede el momento de una fuerza ser cero ?Puede. Para
que M ( = F. d ) sea cero, tendr que ser cero la fuerza o tendr que
sercero la distancia. Si F = 0 no hay momento porque no hay fuerza
aplicada. Si d es iguala cero, quiere decir que la fuerza pasa por
el centro de momentos.
51. ASIMOV ESTTICA- 41 -Quiero que veas ahora una cuestin
importante que es la siguiente: qu tiene que pa-sar para que un
sistema de fuerzas que no pasan por el mismo punto est en
equilibrio ?CONDICIN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO
CONCURRENTESSupongamos el caso de un cuerpo que tiene aplicadas
fuerzas que pasan todas por unpunto. Por ejemplo, un cuadro colgado
de una pared.Para estos casos, la condicin para que el tipo
estuviera en equilibrio era que la sumade todas las fuerzas que
actuaban fuera cero. O sea, que el sistema tuviera resultantenula.
Esto se escriba en forma matemtica poniendo que Fx = 0 y Fy = 0
.Muy bien, pero si lo penss un poco, el asunto de que R sea cero,
slo garantiza que elcuerpo no se traslade. Si las fuerzas NO PASAN
POR UN MISMO PUNTO , puede serque la resultante sea cero y que el
cuerpo no se traslade... pero el objeto podra estargirando. Mir el
dibujito:En este dibujito, la resultante es cero, sin embargo la
barra est girando. Esto es loque se llama CUPLA ( o par ). Una
cupla son 2 fuerzas iguales y de sentido contrarioseparadas una
distancia d. La resultante de estas fuerzas es cero, pero su
momentoNO. Al actuar una cupla sobre un cuerpo, el objeto gira pero
no se traslada.El momento de las fuerzas que actan es el que hace
que la barra gire. Por eso es quecuando las fuerzas no pasan por un
mismo punto hay que agregar una nueva condicinde equilibrio. Esta
condicin es que el momento total que acta sobre el cuerpo tieneque
ser CERO. La ecuacin es M = 0. Se la llama ecuacin de
momentos.CUPLA( O PAR )
52. ASIMOV ESTTICA- 42 -Este asunto de " M = 0 " Se lee: " La
sumatoria de los momentos respecto a un puntoo es igual a cero ".
Al igualar la suma de los momentos a cero, uno garantiza el
equilibriode rotacin. Es decir, impide que la barra
gire.ENTONCES:CONCLUSIN ( LEER )Para resolver los problemas de
esttica en donde las fuerzas NO pasan por un mismopunto hay que
plantear tres ecuaciones.Estas ecuaciones van a ser una de momentos
( M = 0 ) y dos de proyeccin ( Fx = 0y Fy = 0 ) . Resolviendo las 3
ecuaciones que me quedan, calculo lo que me piden.ACLARACIONES:
Recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.
Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule
algunaincgnita. Generalmente ese punto es un apoyo. No siempre va a
haber que usar las tres ecuaciones para resolver el
problema.Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el
problema usandoslo la ecuacin de momentos.* Para resolver un
problema no necesariamente uno est obligado a plantearFx , Fy . A
veces se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidasa puntos
distintos. ( Por ejemplo, los 2 apoyos de una barra ).PARA QUE EST
EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENEUN MONTN DE FUERZAS APLICADAS QUE
NO PASANPOR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE : Fx = 0 Garantiza
que no haya traslacin en x. Fy = 0 Garantiza que no haya traslacin
en y. M = 0 Garantiza que no haya rotacin.
53. ASIMOV ESTTICA- 43 -EJEMPLOUna barra de longitud 2 m y 100
Kg de peso est sostenida por unasoga que forma un ngulo alfa de 30
como indica la figura. Calcularla tensin de la cuerda y el valor de
las reacciones en el apoyo A.Suponer que el peso de la barra est
aplicado en el centro de la misma.Bueno, primero hago un esquema de
la barra poniendo todas las fuerzas que actan:Puse el par de ejes
xy . El sentido de giro lo tom positivo en sentido de lasagujas del
reloj .Planteo las tres condiciones de equilibrio : Fx = 0 , Fy = 0
, M = 0 . El centrode momentos ( punto O ) puede ser cualquier
punto. En general conviene elegirlo demanera que anule alguna
incgnita. En este caso me conviene tomar el punto A.Fx = 0 Rh Tc .
cos = 0Fy = 0 Rv + Tc . sen - P = 0MA = 0 P . L/2 - Tc . sen . L =
0Reemplazando por los datos:Rh Tc . cos 30 = 0Rv + Tc . sen 30 100
kgf = 0100 kgf x 2m / 2 - Tc x sen 30 x 2 m = 0 = 30P = 100 kgfL =
2 mTT
54. ASIMOV ESTTICA- 44 -De la ltima ecuacin despejo TC
:Reemplazando TC en las otras ecuaciones calculo las reacciones
horizontal y verticalen el punto A :OTRO EJEMPLOUna tabla AB que
mide 4 m de longitud y quepesa 60 kgf est sostenida en equilibrio
pormedio de dos cuerdas verticales unidas a losextremos A y B.
Apoyada sobre la tabla a 1 mde distancia del extremo A hay una caja
quepesa 60 kgf.a) - Calcular la tensin en ambas cuerdasb) - Si la
cuerda A resiste como mximo una tensin de 85 kgf, Cul es
ladistancia mnima x entre la caja y el extremo A ?Hagamos un
dibujito del asunto. Pongo las fuerzas que actan y marco el sentido
positi-vo para el momento de las fuerzas.a) Planteo la sumatoria de
las fuerzas en la direccin vertical y la sumatoria de momen-tos
respecto al punto A. Me queda:Haciendo las cuentas:TC = 100 kgfRHA
= 86,6 kgfRVA = 50 kgf
55. ASIMOV ESTTICA- 45 -b) Para calcular la distancia tomo
momentos respecto del punto B. Me dicen que lamxima tensin en la
cuerda A puede ser de 85 kgf. Quiere decir que TA = 85 kgf.Me
queda:TEOREMA DE VARIGNONEl teorema de Varignon dice que el momento
de la resultante es igual a la suma de losmomentos de las fuerzas.
Vamos a ver qu significa esto. Fijate. Suponete que tengoun sistema
de varias fuerzas que actan. Calculo la resultante de ese sistema y
obtengouna fuerza R.Lo que dice el teorema es esto: supongamos que
yo sumo el momento de todas las fuer-zas respecto al punto A y me
da 10 kgf.m ( por ejemplo ). Si yo calculo el momento de
laresultante respecto de A, tambin me va a dar 10 kgf.m. Eso es
todo.CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPOEl centro de gravedad de un
cuerpo es el lugar donde est aplicada la fuerza peso.
56. ASIMOV ESTTICA- 46 -Si el cuerpo es simtrico, el C.G. va a
coincidir con el centro geomtrico del cuerpo.Por ejemplo para un
cuadrado o para un crculo, el C.G. va a estar justo en el centrode
la figura. Como se halla el centro de gravedad de un cuerpo ?Rta:
Bueno, se hace as: Si el cuerpo est compuesto por varias figuras
simtricas, sedivide al cuerpo en varias figuras mas chicas. Ahora
se calcula " el peso " de cada unade esas figuras. " El peso " es
una manera de decir. Lo que uno hace es suponer que elpeso de cada
figura va a ser proporcional a la superficie. Esta fuerza peso se
pone enel centro geomtrico. Sera algo as:Despus uno saca la
resultante de todos esos pesos parciales. El centro de gravedades
el lugar por donde pasa la resultante de todos esos parciales.FIN
TEORIA DE ESTATICAPROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALESVan ac unos
problemas que saqu da parcialesPROBLEMA 1La barra homognea de la
figura, de 50 kgf de peso seencuentra en equilibrio. Si el apoyo
mvil contrarrestael movimiento perpendicular a la barra y no hay
fuerzasde roce ni en C ni en D, siendo = 37 a) cul es el valor de
la fuerza que ejerce el apoyo fijo en C ?b) Si el apoyo mvil sigue
restringiendo la traslacin perpendicular a la barra,y ese esfuerzo
es de 10 kgf, cul es el valor del ngulo para que la barra esten
equilibrio ?SOLUCINEn los ejercicios de esttica donde hay fuerzas
aplicadas a distintos puntos siemprese tiene que cumplir que las
sumatoria de fuerzas y de momentos sean cero. Primerohagamos el
dibujo de las fuerzas. El peso de la barra va en el centro
geomtrico. Lasfuerzas paralelas a la barra estn contrarrestadas por
el apoyo mvil (D).
57. ASIMOV ESTTICA- 47 -Planteemos la sumatoria de momentos
desde C: 0=+= DFPC MMM , recordando que:M = F . d . sen . Haciendo
la descomposicin de la fuerza peso, y reemplazando losdatos
tenemos: FD = 15 kgf. Planteemos las sumatorias de fuerzas: Fvx Px
= 0 yFD Py + Fvy = 0. Esto da: Fvy = 40 kgf y Fvx = 15 kgf.Para
calcular el mdulo de Fv usamos: ( ) ( )22vyvxv FFF += . Resulta:
|Fv| = 42,72 kgf.En la segunda parte tenemos que FD = 10 kgf, por
lo que deja de ser 37. Llamemos al nuevo ngulo. Planteamos de nuevo
la sumatoria de momentos: L2yC DM =- P . + F .L = 0 ,resulta: DP.
sen = F2, despejando , tenemos: = 23,57.PROBLEMA 2Una barra de peso
150 kgf y longitud L puede girar alrededordel punto A. Est
sostenida en la posicin horizontal mediantela cuerda AC como se
indica la figura.a) hallar la fuerza que realiza la cuerda en estas
condiciones.b) calcular la reaccin del vnculo A sobre la barra, en
mdulo,direccin y sentido.SOLUCINLa sumatoria de momentos desde A
es: M|A = 150 kgf. /2 T . cos 37 . = 0.De ac: T = 93,75 kgf.La
sumatoria de fuerzas en x es: HA + T . sen 37 = 0, entonces: HA =
-56,25 kgf(la fuerza tiene sentido contrario al marcado en el
dibujo).
58. ASIMOV ESTTICA- 48 -Finalmente, en la sumatoria de fuerzas
en y: T. cos 37 + VA 150 kgf = 0.Resulta: VA = 75 kgf (hacia
arriba).PROBLEMA 3Una barra homognea y de seccin constante, cuyo
peso es de300 kgf, est sujeta en su extremo por un cable de acuerdo
ala figura adjunta, colgando del extremo de la barra un peso
de4.500 kgf. Se pide hallar: a) La tensin que soporta el cable ylas
reacciones del vnculo en la articulacin Ab) El valor mximo que
puede adquirir P, si el cable soporta unatensin mxima de 5.000
kgf.SOLUCINSupongamos que el ngulo entre la barra y el cable es de
90. ( No lo aclaran ).Hacemos la sumatoria de momentos desde A:
0=+= TPPA MMMM B.Usando M = F . d . sen , y teniendo en cuenta que
como la barra es homognea elpeso se aplica en la mitad podemos
calcular T.Resulta: T=2.325 kgfAhora, las sumatorias de fuerzas:FAx
Tx = 0 y FAy + Ty P- PB = 0, donde FA es la fuerza de vnculo en A.
Calculamoslas componentes de FA, y tenemos:FAX = 2.013,51 kgf y FAY
= 3.637,5 kgf.Para la segunda parte volvemos a usar la sumatoria de
momentos desde A y la defi-
59. ASIMOV ESTTICA- 49 -nicin de momento. Sabemos ahora que T =
5.000 kgf, y conocemos PB y el ngulo.Reemplazando y haciendo la
cuenta tenemos:P = 9.850 kgfPROBLEMA 4Sobre una tabla horizontal de
longitud L y de peso despreciable, se coloca unacaja peso P. Para
que la reaccin de vnculo en A sea la quinta parte de la reaccinde
vnculo en B, la caja deber ubicarse a:a) 1/6 de L a la derecha de A
b) 1/5 de L a la izquierda de Bc) 4/5 de L a la derecha de A d) 4/5
de L a la izquierda de Be) 1/5 de L a la derecha de A f) 1/6 de L a
la izquierda de BSOLUCINRecord que xA + xB = L. Tomamos momentos
desde A: 0=+= vBFPA MMM , usando ladefinicin de momento llegamos a:
xA . P = L. FvB. Ahora hacemos lo mismo desde B:0=+= vAFPB MMM ,
tenemos: xB . P = L. FvA.Adems buscamos que se cumpla: FvA= 1/5
FvB. Usando esta relacin en las ecuacionesque obtuvimos de las
sumatorias de momentos llegamos a: xA= 1/5 xB.Entonces, la
respuesta correcta es la b).PROBLEMA 5En la figura, el cuerpo Q
cuelga de una la barra AC.La misma se encuentra sostenida en A por
un vnculoque le permite rotar y se mantiene en equilibrio debidoa
una cuerda que la sostiene perpendicularmente a labarra en B.
Calcular :
60. ASIMOV ESTTICA- 50 -a) La tensin que soporta la cuerda en B
?b) El mdulo de la fuerza de vnculo en A.DATOS: AC = 3 m, AB = 1 m,
Q = 100 kgf, Pb= 10 kgf, = 60SOLUCINPara calcular la tensin en B,
tomamos la sumatoria de momentos desde A:0== QPTA MMMM bBTenemos
todos los datos, reemplazamos y llegamos a:TB = 157,5 kgfPara la
segunda parte planteamos la sumatoria de momentos desde el extremo
de dondecuelga el peso Q:0=+= bBA PTFQ MMMMPara reemplazar fijate
que el ngulo que forman las fuerzas con la barra es de 30,que es la
diferencia entre 90 y 60. Haciendo las cuentas llegamos a:|FA| =
205 kgfFIN ESTATICA
61. MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORMEECUACIONES HORARIASASI SE
CALCULALA VELOCIDADEN EL MRUGRFICOS PARA EL MRU
62. ASIMOV MRU- 52 -CINEMTICACONCEPTOS DE POSICIN, VELOCIDAD Y
ACELERACINEn cinemtica hay tres cosas que tens que conocer porque
se usan todo el tiempo.Fijate :El lugar en donde est la cosa que se
est moviendo se llama Posicin.La rapidez que tiene lo que se est
moviendo se llama velocidad.Si la velocidad del objeto aumenta o
disminuye, se dice que tiene aceleracin.Ejemplo:Para la posicin se
usa la letra x porque las posiciones se marcan sobre el eje x.Si el
objeto est a una determinada altura del piso se usa un eje vertical
y ( y laaltura se indica con la letra y ).EJEMPLO: Supongamos que
tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posicintomo un eje
vertical Y. Con respecto a este eje digo:X e Y se llaman
coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa es
unamanera de decir dnde est el objeto en ese momento. ( Por
ejemplo, un avin ).SISTEMA DE REFERENCIACuando digo que la posicin
de algo es x = 10 m, tengo que decir 10 m medidos desdednde. Vos
pods estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo.LA
POSICIONDEL PATO ESY = 5 metros .XPOSICION YVELOCIDADXauto=10
m
63. ASIMOV MRU- 53 -De manera que la frase: estoy a 10 m no
indica nada. Hay que aclarar desde dndeuno mide esos 10 m. Entonces
en fsica, lo que ellos hacen es decir:En el lugar que elijo como
cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman elsistema de
referencia. Todas las distancias que se miden estn referidas a l.
Pararesolver los problemas siempre hay que tomar un par de ejes
x-y. Poner el par de ejesx-y nunca est de ms. Si no lo pons, no
sabs desde dnde se miden las distancias.Las ecuaciones que uno
plantea despus para resolver el problema, van a estarreferidas al
par de ejes x-y que uno eligi.TRAYECTORIA ( Fcil )La trayectoria es
el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve. Puede
habermuchos tipos de trayectorias. Ac en MRU es siempre rectilnea.
La trayectoria notiene por qu ser algn tipo de curva especial.
Puede tener cualquier forma. Ejemplo:POSICINES NEGATIVAS ( Ojo )Una
cosa puede tener una posicin negativa como x = - 3 m, x = - 200 Km.
Eso pasacuando la cosa est del lado negativo del eje de las equis.
Esto es importante, porque a
64. ASIMOV MRU- 54 -veces al resolver un problema el resultado
da negativo. Y ah uno suele decir: Huy, medi X = -20 m. No puede
ser. Pero puede ser. La posicin puede dar negativa. Inclusola
velocidad y la aceleracin tambin pueden dar negativas. Mir en este
dibujito comose representa una posicin negativa :VELOCIDAD NEGATIVA
( leer )Si una cosa se mueve en el mismo sentido que el eje de las
x, su velocidad es ( + ).Si va al revs, es ( -).Atento con esto que
no es del todo fcil de entender. A ver:Es decir, en la vida diaria
uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice:estoy a
3 m de la puerta. Dice: estoy 3 m detrs de la puerta. Tampoco se
usadecir: ese coche va a 20 km/h . Uno dice: ese coche va a 20 Km
por hora al revsde cmo voy yo. Pero atento porque ac en cinemtica
la cuestin de posicionesnegativas y velocidades negativas se usa
todo el tiempo y hay que saberlo bien.LA LETRA GRIEGA DELTA ( )Vas
a ver que todo el tiempo ellos usan la letra Delta. Es un
triangulito as: . Enfsica se usa la delta para indicar que a lo
final hay que restarle lo inicial. Por ejemplo,x querr decir equis
final menos equis inicial . t querr decir t final menos tinicial ,
y as siguiendo. En matemtica a este asunto de hacer la resta de 2
cosas selo llama hallar la variacin o diferencia.ESPACIO RECORRIDO
( X )El lugar donde el tipo est se llama posicin. La distancia que
el tipo recorre al ir de
65. ASIMOV MRU- 55 -una posicin a otra se llama espacio
recorrido. Fijate que posicin y espaciorecorrido NO son la misma
cosa. Pongmonos de acuerdo. Vamos a llamar:X0 = posicin inicial (
lugar de donde el tipo sali )Xf = posicin final ( lugar a donde el
tipo lleg )X = espacio recorrido. ( = Xf Xo )Si el mvil sali de una
posicin inicial ( por ejemplo X0 = 4 m ) y lleg a una posicinfinal
( por ejemplo Xf = 10 m ) , el espacio recorrido se calcula
haciendo esta cuenta:x = xf - x0Es decir, en este caso me queda: X
= 10 m 4 m X = 6 mTIEMPO TRANSCURRIDO o INTERVALO DE TIEMPO ( t )El
intervalo de tiempo t es el tiempo que el tipo estuvo movindose.
Delta t puedeser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si
el objeto sali en un instante inicialt0 ( por Ej. a las 16 hs ), y
lleg en un determinado instante final ( por Ej. a las 18 hs),el
intervalo de tiempo delta t se calcula haciendo la cuenta t = tf t0
, ( Es decir 18hs 16 hs = 2 hs ).MOVIMIENTO RECTILNEO y UNIFORME (
MRU )Una cosa se mueve con movimiento rectilneo y uniforme si se
mueve en lnea rectay va con velocidad constante. Otra manera de
decir lo mismo es decir que el mvilrecorre espacios iguales en
tiempos iguales. Esto lo dijo Galileo ( dolo !
).ESPACIORECORRIDO
66. ASIMOV MRU- 56 -En el MRU la velocidad no cambia, se
mantiene constante. Al ser la velocidad todoel tiempo la misma,
digo que lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en
elmovimiento rectilneo y uniforme la aceleracin es cero ( a = 0
).EJEMPLO DE CMO SE CONSTRUYEN GRFICOS EN EL MRU ( Leer esto
)Muchas veces piden hacer grficos. Cmo es eso? Fijate. Supon que
una cosase viene moviendo a 100 por hora. Una hormiga, por
ejemplo.Despus de una hora habr recorrido 100 Km. Despus de 2 hs
habr recorrido 200Km y as siguiendo... Esto se puede escribir en
una tablita:POSICIN TIEMPO0 Km 0 hs100 Km 1 h200 Km 2 hsAhora puedo
hacer un grfico poniendo para cada tiempo la posicin
correspondiente( A 0 le corresponde 0, a 1 le corresponde 100, etc
).
67. ASIMOV MRU- 57 -Uniendo todos los puntos tengo el grfico de
la posicin en funcin del tiempo:A este grfico se lo suele llamar
abreviadamente X (t) , X = f(t) , o X = X (t).Todas estos nombres
quieren decir lo mismo:Representacin de la posicin X en funcin del
tiempo.Puedo dibujar tambin los grficos de velocidad y aceleracin
en funcin del tiempo.( Importantes ). Si lo penss un poco vas a ver
que quedan as:En estos 3 grficos se ven perfectamente las
caractersticas del MRU. O sea : Elgrfico de x en funcin del tiempo
muestra que la posicin es lineal con el tiempo.( Lineal con el
tiempo significa directamente proporcional ). El grfico de V
enfuncin de t muestra que la velocidad se mantiene constante. El
grfico de aen funcin de t muestra que la aceleracin es todo el
tiempo cero.CLCULO DE LA VELOCIDAD EN EL MRUPara calcular la
velocidad se hace la cuenta espacio recorrido sobre tiempo
empleado.Esta misma cuenta es la que vos uss en la vida diaria.
Supongamos que un tipo sali dela posicin x0 y lleg a la posicin xf
.
68. ASIMOV MRU- 58 -La velocidad va a ser:Por ejemplo, si una
persona viaja de Buenos Aires a Mar del Plata (400 km) en 5horas,
su velocidad ser:Si el tipo sali inicialmente del kilmetro 340 ( X0
) y llega al km 380 ( Xf ) despusde 30 minutos, su velocidad ser
:ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU ( Importante ).La definicin de
velocidad era:00ttxxv= . Si ahora despejo x x o me queda : v . ( t
to ) = x x o x = xo + v . ( t to ) 1raECUACION HORARIASe la llama "
horaria " porque en ella interviene el tiempo ( = la hora ). Como (
t - t0 )es t, a veces se la suele escribir como x = x0 + v x t . Y
tambin si t0 cero valecero, se la pone como x = x0 + vxt . (
Importante ).Pregunta: Para qu sirve la ecuacin horaria de la
posicin ?Rta: Esta ecuacin me va dando la posicin del tipo en
funcin del tiempo.O sea, yo le doy los valores de t y ella me da
los valores de x. ( Atento ). Fijate :Suponete que lo que se est
moviendo sali en t0 = 0 de la posicin x0 = 200 Km.Si el objeto al
salir tena una velocidad de 100 Km/h, su ecuacin horaria ser:X =
200 Km + 100hKm. ( t 0 )X = 200 Km + 100hKmtxv =tf 0f 0x -xv =t
-tASI SE CALCULALA VELOCIDADEN EL MRU
69. ASIMOV MRU- 59 -Si en la ecuacin voy dndole valores a t ( 1
h, 2 hs, 3 hs, etc) voy a tener la posicindonde se encontraba el
tipo en ese momento. En realidad siempre hay 3 ecuacioneshorarias.
La velocidad y la aceleracin tambin tienen sus ecuaciones horarias.
Parael caso del MRU, las ecuaciones de v y de a son :En definitiva,
las tres ecuaciones horarias para el MRU son:x = xo + v. ( t to )v
= Ctea = 0De las tres ecuaciones slo se usa la primera para
resolver los problemas. Las otrasdos no se usan. Son slo
conceptuales. ( Pero hay que saberlas ). Record que casisiempre t
cero vale cero, entonces la 1ra ecuacin horaria queda como:TANGENTE
DE UN NGULOCalcular la tangente (tg) de un ngulo significa hacer la
divisin entre lo que mideel cateto opuesto y lo que mide el cateto
adyacente. Dibujo un ngulo cualquiera.En este tringulo la tangente
de alfa va a ser:tg =adyacenteopuesto Tangente de un ngulo.Midiendo
con una regla directamente sobre la hoja obtengo: Opuesto: 2,1
cm.Adyacente: 4,8 cmEntonces:Fijate que el resultado no di en cm ni
en metros. La tangente de un ngulo essiempre un nmero sin
unidades.ECUACIONES HORARIASPARA EL MOVIMIENTORECTILINEO Y
UNIFORMEx = x0 + v tUn tringuloDe ngulo alfa0,437cm4,8cm2,1tg
==0ayctev ==
70. ASIMOV MRU- 60 -PENDIENTE DE UNA RECTALa pendiente de una
recta es una cosa parecida a la tg de un ngulo. Pero la pendienteno
es un nmero. Tiene unidades. Hallar el valor de la pendiente de una
recta significahacer la divisin entre la cantidad que est
representando el cateto opuesto y lacantidad que est representando
el cateto adyacente.Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta
que proviene de la representacinde la posicin en funcin del tiempo
para una cosa que se viene moviendo con MRU:Para el ngulo alfa que
yo dibuj, el cateto opuesto MIDE unos 1,8 cm si lo mido conuna
regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la misma manera, el
cateto adyacenteMIDE unos 3,8 cm; pero REPRESENTA 8 seg. De manera
que el valor de la pendiente dela recta va a ser:En este
caso:Repito. Fijate que la pendiente no es slo un nmero, sino que
tiene unidades. En estecaso esas unidades me dieron en metros por
segundo. La pendiente puede darte enotras unidades tambin. Eso
depende de qu ests graficando en funcin de qu.LA PENDIENTE DE LA
RECTA EN EL GRFICO X=f(t) ES LA VELOCIDADNo es casualidad que la
pendiente del grfico anterior haya dado justo en unidadesde
velocidad. La pendiente de la recta en el grfico posicin en funcin
del tiempoSIEMPRE te va a dar la velocidad del movimiento. Por qu
?.Rta: Porque al hacer la cuenta opuesto sobre adyacente lo que
ests haciendo esx/t, y esto es justamente la velocidad
(Atenti).Cat.Ady.elrepresentaqueValorOp.Cat.elrepresentaqueValorPendiente
=Pendiente deuna rectasm20pendientes8m160pendiente ==
71. ASIMOV MRU- 61 -REPRESENTACIN GRFICA DE LAS ECUACIONES
HORARIAS ( Ver )En cinemtica se usan todo el tiempo 3 grficos muy
importantes que son los de posi-cin, velocidad y aceleracin en
funcin del tiempo. Cada grfico es la representacinde una de las
ecuaciones horarias. Quiero que te acuerdes primero cmo se
represen-taba una recta en matemtica. La ecuacin de la recta tena
la forma y = m.x + b. Emeera la pendiente y Be era la ordenada al
origen ( = el lugar donde la recta corta al ejevertical ). Por
ejemplo la ecuacin de una recta podra ser y = 3 x + 4.Si tomo la
1raecuacin horaria con t0 = 0 ( Que es lo que en general suele
hacerse ),me queda x = x0 + v . t . Ahora fijate esta
comparacin:Veo que la ecuacin de X en funcin del tiempo en el MRU
tambin es una recta endonde la velocidad es la pendiente y X0 es el
lugar donde la recta corta el ejevertical. Para cada ecuacin
horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener3 lindos
grficos, uno para cada ecuacin. Los tres tristes grficos del MRU
quedanas:POSICIN en funcin deltiempo ( Muestra que xaumenta
linealmente con t )VELOCIDAD en funcindel tiempo ( Muestra que vse
mantiene constante).ACELERACINen funcin del tiempo.Muestra que la a
escero todo el tiempo.LOS 3 GRFICOSDEL MRU(IMPORTANTES)
72. ASIMOV MRU- 62 -ANALISIS DE LAS PENDIENTES Y LAS AREAS DE
LOS GRAFICOS DEL MRULos 3 grficos del MRU son la representacin de
las ecuaciones horarias. Fijate queen algunos de estos grficos, el
rea y la pendiente tienen un significado especial.LA PENDIENDIENTE
DEL GRAFICO DE POSICIN ES LA VELOCIDADEl grafico de posicin en
funcin del tiempo ya lo analic antes. La pendiente de esegrfico me
da la velocidad. Quiero que lo veas de nuevo con ms detalle porque
esimportante. Fijate. Agarro un grfico cualquiera de un auto que se
mueve con MRU.Por ejemplo, supongamos que es este:Este grfico me
dice que el auto sali de la posicin inicial x = 4 m y lleg a la
posicinfinal x = 8 m despus de 2 segundos. Quiere decir que el tipo
recorri 4 m en 2 seg.Entonces su velocidad es de 2 m/s. Esto mismo
se puede ver analizando la pendientedel grfico. Fijate que el
cateto adyacente es el tiempo transcurrido t. El catetoopuesto es
el espacio recorrido x. Entonces, si calculo la pendiente tengo :EL
AREA DEL GRAFICO DE VELOCIDAD ES EL ESPACIO RECORRIDOSupongamos que
un auto se mueve con velocidad 10 m/s. Su grfico de velocidad
seraas:Fijate que al ir a 10 m/s, en 2 segundos el tipo recorre 20
m .
73. ASIMOV MRU- 63 -Esto mismo lo puedo calcular si miro la
superficie del grfico. Fijate qu pasa si hagola cuenta para el rea
que marqu:A veces es ms fcil sacar las velocidades y los espacios
recorridos calculando pen-dientes y reas que haciendo las cuentas
con las ecuaciones. Por ejemplo, fijate el ca-so de una persona que
va primero con una velocidad v1 y despus con otra velocidad v2:Para
calcular la distancia total que recorri directamente saco las reas
A1 y A2 delgrfico de velocidad.PREGUNTA: Yo analic solamente la
pendiente del grfico de posicin y el rea delgrfico de velocidad.
Pero tambin se pueden analizar pendientes y reas para losotros
grficos. Por ejemplo. Qu significa la pendiente del grfico de
velocidad ? Qu significa el rea del grfico de aceleracin ? (
Pensalo )Estos conceptos de pendientes y reas son importantes.
Necesito que los entiendasbien porque despus los voy a volver a
usar en MRUV.UN EJEMPLO DE MOVIMIENTO RECTILNEO Y UNIFORMEUn seor
sale de la posicin X0 = 400 Km a las 8 hs y llega a Xf = 700Km a
las 11 hs. Viaja en lnea recta y con v = cte. Se pide:a)- Calcular
con qu velocidad se movi.(En Km/h y en m/s)b)- Escribir las 3
ecuaciones horarias y verificarlas.c)- Calcular la posicin a las 9
hs y a las 10 hs.d)- Dibujar los grficos de x = f(t), v = v(t) y a
= a(t).Lo que tengo es esto :
74. ASIMOV MRU- 64 -a) - Calculo con qu velocidad se movi. V
era x/t , entonces:Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente
truco: ( recordalo por favor ). A la palabraKm la reemplazo por
1.000 m y a la palabra hora la reemplazo por 3600 seg.Entonces
:Fijate en este tres coma seis. De ac saco una regla que voy a usar
:Si no te acords de esta regla, no es terrible. Lo deducs usando el
mismo trucoque us yo y listo. ( O sea, 1 Km son mil metros, 1 hora
son 3.600 segundos, etc ).b ) - Escribir las 3 ec. horarias y
verificarlas.Bueno, en el movimiento rectilneo y uniforme las
ecuaciones horarias eran:x = xo + v. ( t to )v = Ctea = 0En este
caso reemplazo por los datos y me
queda:0aconstantehKm100vhs)8(thKm100Km400x===+=Para pasar de Km/h a
m /s hay quedividir por 3,6.Para pasar de m /s aKm / h hay que
multiplicar por 3,6.Regla para pasarde Km /h a m/sy
viceveversasegmhKmsegmhKm6,310010036001000.100100==hs8hs11Km400Km700v=hs3Km300v
=00x xvt t=Velocidaddel tipoV = 100 Km / h
75. ASIMOV MRU- 65 -Verificar las ecuaciones horarias significa
comprobar que estn bien planteadas.Bueno, con la 2day la 3 ra( V =
100 Km / h, y a = 0 ) no tengo problema. S que elmovimiento es
rectilneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que
darconstante y la aceleracin cero. ( Estn bien ).Vamos a la
verificacin de la 1raecuacin.Si esta ecuacin estuviera bien
planteada, reemplazando t por 8 hs (= t0 ), la posicinme tendra que
dar 400 Km ( = x0 ). Veamos si da:Vamos ahora a la posicin final.
Para t = 11 hs la posicin me tiene que dar x = 700Km. Otra vez
reemplazo tcero por 11 hs. Hago la cuenta a ver que da.X = 400 Km +
100 Km/h ( t - 8 hs )X = 400 Km + 100 Km/h ( 11 hs - 8 hs )X = 700
Km ( Di bien ).c)- Calcular la posicin a las 9 hs y a las 10
hs.Hago lo mismo que lo que hice recin, pero reemplazando t por 9
hs y por 10 hs:Para t = 10 hs :d) - Dibujar los grficos x = x (t),
v = v (t) y a = a (t)El grfico ms complicado de hacer es el de
posicin en funcin del tiempo. Con lo quecalcul antes puedo armar
una tabla y represento estos puntos en el grfico x-t
:hs)8(thKm100400Kmx
+=hs.9lasaPosicinKm500(9hs)x)1hhs8hs9(hKm100Km400x=+=
43421hs10lasaPosicinKm600(10hs)x)2hshs8hs10(hKm100Km400(10hs)x=+=
434214342108hs)(8hshKm100400Kmx +=X = 400 Km ( Di bien ).
76. ASIMOV MRU- 66 -X ( Km ) t (hs )400 Km 8 hs500 Km 9 hs600
Km 10 hs700 Km 11 hsEn realidad no hacia falta tomar tantos puntos.
Con 2 hubiera sido suficiente( Porque es una recta ). Finalmente el
grfico posicin en funcin del tiempo X (t)queda as :Los otros 2
grficos quedaran asPor ltimo me gustara verificar que la pendiente
del grfico de posicin en funcindel tiempo es la velocidad del
movimiento. Veamos si verifica :Fijate bien cmo consider los
catetos opuesto y adyacente. Siempre el catetoopuesto tiene que ser
el espacio recorrido ( x ) y siempre el cateto adyacente tieneque
ser el tiempo empleado ( t ). Por ejemplo, si la recta estuviera
yendo para abajoen vez de para arriba :
77. ASIMOV MRU- 67 -Este sera el caso de una cosa que tiene
velocidad negativa. ( = est yendo para atrs).Para la verificacin de
la pendiente hago esto:VELOCIDAD MEDIACuando uno viaja, no va todo
el tiempo a la misma velocidad. Va ms rpido, ms despa-cio, frena,
para a tomar mate y dems. Entonces no se puede hablar de "velocidad
"porque V no es constante. Para tener una idea de la rapidez del
movimiento, lo que sehace es trabajar con la VELOCIDAD MEDIA. Si un
tipo va de un lugar a otro pero noviaja con velocidad constante, su
velocidad media se calcula as: Para qu se calcula la velocidad
media ? Qu significa calcular la velocidad media ?Rta: La velocidad
media es la velocidad CONSTANTE que tendra que tener el mvilpara
recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. Vamos a un
ejemplo:UN SEOR VA DE BUENOS AIRES A MAR DEL PLATA ( D = 400 KM ).
LOS 1ros300 KmLOS RECORRE EN 3 hs Y MEDIA. DESPUS SE DETIENE A
DESCANSAR MEDIA HORAY POR LTIMO RECORRE LOS LTIMOS 100 Km EN 1
HORA. CALCULAR SU VELOCIDADMEDIA. HACER LOS GRFICOS DE POSICIN Y
VELOCIDAD EN FUNCIN DEL TIEMPOHagamos un
dibujitoadyacenteopuestopendiente =8hs-11hs400Km-700Kmpend.
=bien.DiohKm100pend. =
