libro matematica para el cbc

ASIMOV – MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 1

Matemática para el CBC, Parte 1 - 2da. edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2010 146 p.; 21 x 27 cm. ISBN: 978-987-23534-1-4

Matemática para el CBC, Parte 1 - 2da ed. - Buenos Aires : Asimov, 2010 v. 1, 146 p. ; 20 x 27 cm. ISBN 978-987-23534-1-4 1. Matemática - Enseñanza. I. Título CDD 510.07 Fecha de catalogación: 30/ABRIL/2007 © 2010 Editorial Asimov Derechos exclusivos Editorial asociada a Cámara del Libro Impreso y encuadernado por: Gráfica Arie Impresores, Mariano Acha 2415, C.A.B.A. - 2da. edición. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en noviembre de 2010 HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723 Prohibida su reproducción total o parcial IMPRESO EN ARGENTINA

MATEMATICA

PARA EL CBC

* MATEMATICA CERO * FUNCIONES

* FUNC. LINEALES Y CUADRÁTICAS * FUNCIONES TRIGONOMETRICAS * EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS * FUNCIÓN INVERSA * CONTINUIDAD - LIMITE

PARTE 1

¿ Ves algo en este libro que no está bien explicado ? ¿ Encontraste algún error ? ¿ La notación que usé yo no es la que usa la cátedra ? Mandame un mail y lo corrijo. www.asimov.com.ar

Podés bajar temas viejos de parciales y finales de www.asimov.com.ar

ASIMOV - MATEMÁTICA PARA EL CBC

- PARTE 1 - Hola. Ante todo... Bienvenido a la Universidad de Buenos Aires. Bienvenido al CBC. Este libro es una especie de teórico que tiene todo lo que se da en la materia matemática del CBC. En realidad más que un teórico vendría a ser " la carpeta completa ". Digo esto porque básicamente este libro tiene todo lo que se da en clase y de la misma manera que ellos lo dan. Mi idea es que este resumen te pueda servir si te perdiste alguna clase, si no entendiste bien algún tema o si te tocó un docente malo-malo. También creo que este libro puede facilitarle un poco la vida a los chicos del interior, que a veces tienen que estudiar la materia sin venir a las clases. Y me parece que a los que más les va a servir este libro es a la gente que está preparando el final o el libre. Ahora, una cosa... Vos sabés que hoy en día el secundario no es muy bueno que digamos. Mucho no te explican. Por eso cuando uno llega al CBC... ¿ que pasa ? Rta: Pasa que uno no entiende nada. Da la impresión de que uno es un tonto, pero en realidad el asunto es que nadie nunca te explicó nada. Nadie te enseñó a pensar. Nadie te enseñó a razonar. ¿ Este es tu caso ? No desesperéis ! Aquí estoy para ayudarte ! Ojo con esto: No hice escribí esto para expertos en matemática. No busques acá rigurosidad, demostraciones raras o cosas por el estilo. Este no es un libro para docentes. Este es un libro para alumnos. Más concretamente, es un libro para el alumno que existe en la realidad-real (o sea, vos). Dejame darte unas recomendaciones para cursar la materia

* No hay manera de estudiar matemática a último momento. Tenés que llevar la materia al día e ir haciendo los ejercicios de la guía. Consultá los resultados con otros chicos o verificalos con los ejercicios resueltos que saqué yo.

* Tratá de no faltar a las clases. Si en tu aula no explican bien, cambiate a otra. ( No digas que te lo dije yo porque se enojan )

* Atento. Leer sólo teoría no sirve. Ellos te van a tomar ejercicios. Tenés que saber resolver ejercicios. Conclusión, antes del examen buscá parciales viejos y resolvelos. Tenés algunos para temas de exámenes bajar de mi página:

www.asimov.com.ar

También saqué un apunte con parciales resueltos de año pasado. ( No están para bajar. Están impresos en papel ). Por último: si te llega a ir mal o tenés que recursar... Bueno, no es terrible, che. Siempre viene bien saber matemática. Hacela de nuevo y sacate mil. Última cosa: Por favor, si ves errores o pensás que hay cosas que están mal en este libro, avisame. Entrá a la página, mandame un mail y lo corrijo. Suerte en el examen !

MATEMÁTICA CERO Pag

2........Pasar de término - Despejar 4 Suma de fracciones 5 .......Distributiva - Factor común 6 Ecuación de la recta 10.......Ecuación cuadrática - Parábolas 13 Solución de una ecuación cuadrática 16.......Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

FUNCIONES

20........Funciones Crecientes y decrecientes. 30 Funciones Lineales 34.......Intervalos 36 Función módulo 37.......El caso del movimiento rectilíneo uniforme 38 Distancia entre 2 puntos 40.......Ejercicios de parciales

FUNCIONES CUADRÁTICAS

44……Funciones cuadráticas 46 Vértice de una parábola 47.......Recta tangente. 49 Conjunto de positividad 50.......Intersección entre una recta y una parábola. 54 Ejercicios de parciales

ÍNDICE

CONTINUIDAD - POLINOMIOS

58 Continuidad 60.......Teorema de Bolzano 63 Funciones polinómicas 68.......División de polinomios. Teorema del Resto 74 Ecuaciones bicuadráticas

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

76…...Composición de funciones 80 Cambio de escala. FUNCIÓN INVERSA - ASINTOTAS

84.......Función inversa 93 Asíntotas - Concepto de Límite

101..... Ejercicios de Parciales

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

106....... Funciones trigonométricas 107 Teorema de Pitágoras 109....... Representación de las funciones trigonométricas 111 Representación de las funciones sen x y cos x

115........Funciones arco seno y arco coseno 125 Ejercicios de parciales

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

128.......Función exponencial 130.......Función logaritmo. Propiedades 132 Logaritmo natural o neperiano 134...... Ejercicios de parciales

OTROS APUNTES ASIMOV

* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE MATEMATICA Son los ejercicios de la guía resueltos y explicados. * PARCIALES RESUELTOS DE MATEMATICA Son exámenes que fueron tomados el año pasado. Todos los ejercicios están explicados. También hay parciales resueltos de años anteriores. * EJERCICIOS RESUELTOS DE OTRAS MATERIAS Son ejercicios resueltos de física, química, matemática, Biofísica y otras materias del CBC. De todas estas materias hay parciales resueltos. También hay parciales resueltos de Biología Celular OTROS LIBROS DE ASIMOV:

* QUÍMICA PARA EL CBC * FISICA PARA EL CBC * BIOFISICA PARA EL CBC Estos libros tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.

Temas que están en la 2da parte del libro :

DERIVADAS E INTEGRALES

ASIMOV MATEMATICA CERO 1

MATEMATICA 0

MATEMATICA NECESARIA QUE HAY QUE SABER PARA ENTENDER MATEMATICA

TEMAS: PASAR DE TERMINO - DESPEJAR - SUMA DE FRACCIONES - FACTOREO - SACAR FACTOR COMUN - ECUACION DE LA RECTA - UNA ECUACION CON UNA INCOGNITA - ECUACION DE UNA PARABOLA - ECUACION CUADRATICA - SOLUCION DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA - SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS – SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 2 x 2


MATEMATICA CERO Cosas de matemática que hay que saber para entender matemática

Hola. Para entender matemática hay que saber algo de matemática. Es así. Si vos sabés bien la matemática del secundario, dejá este parte de lado. Empezá direc-tamente donde dice " Funciones ". Si vos sabés que la matemática no te resulta fácil, lee lo que yo pongo acá. Hacete todos los ejercicios. Hacele preguntas a to-dos los ayudantes que para eso están. Yo sé que nunca nadie te enseñó nada y aho-ra te exigen que sepas todo de golpe. Qué le vas a hacer. Así es la cosa. Bienveni-do a la UBA. Ahora, ojo, todos los temas que pongo acá son cosas QUE VAN A APARECER MIENTRAS CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo temas descolgados que nunca vas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a aparecer y vas a tener que usarlo. Pero:

¡Alegría! Vas a ver que no es tan difícil ! Empecemos PASAR DE TÉRMINO - DESPEJAR En física todo el tiempo hay que andar despejando y pasando de término. Tenés que saber esto a la perfección. No es difícil. Sólo tenés que recordar las siguien-tes reglas: 1 - Lo que está sumando pasa restando 2 - Lo que está restando pasa sumando 3 – Lo que está multiplicando pasa dividiendo 4 - Lo que está dividiendo pasa multiplicando 5 - Lo que está como

2 pasa como raíz 6 - Lo que está como raíz pasa como

2 Estas reglas se usan para despejar una incógnita de una ecuación. Despejar x significa hacer que esta letra incógnita x quede sola a un lado del signo igual. ( Es decir que a la larga me va a tener que quedar x = tanto ).

Veamos: Usando las reglas de pasaje de términos despejar X de las siguientes ecuaciones:

☺

VER

Reglas para pasar de término


1) 2 = 5 – X

X está restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5 El 2 está sumando, lo paso al otro lado restando: X = 5 – 2 Por lo tanto ⇒

2) X

84 =

X está dividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8 El cuatro está multiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo: Es decir: 3) x2 = 25 La x está al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como raíz:

Por lo tanto ⇒ ( En realidad la solución sería + 5 o - 5 . Eso lo vamos a ver después ) Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X : 1) x + 5 = 8 Rta: x = 3 2) x + 5 = 4 Rta: x = -1 3) – x – 4 = - 7 Rta: x = 3

4) 42=

x Rta: x =

21

5) 1052=

x Rta: x =

251

6) 51

52

=− x

Rta: x = - 5

7) –7 = 4 - x2 Rta: x = 11

8) ( )

42

12 =

−x Rta: x = 2,5

9) ( )

ax

=− 221 Rta: x = 21

+a

8X4

=

x=2 ← Solución.

x=3 ← Solución.

x=5 ← Solución.

X= 25


SUMA DE FRACCIONES

Para sumar por ejemplo 45

23+ lo que hago es lo siguiente:

Abajo de la raya de fracción va a ir el mínimo común múltiplo. Esto quiere decir el número más chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese número sería 4 ). El mínimo común múltiplo a veces es difícil de calcular, por eso directamente mul-tiplico los dos n° de abajo y chau. En este caso 2 x 4 da 8, de manera que en princi-

pio el asunto quedaría así: 8

............

Para saber lo que va arriba de la raya de fracción uso el siguiente procedimiento: Haciendo el mismo procedimiento con el 4 de la segunda fracción me queda:

81012

45

23 +

=+

Es decir:

822

45

23

=+

Simplificando por dos:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=+

411

45

23

Comprobá este asunto con algunas fracciones a ver si aprendiste el método:

1) 21

21+ Rta : 1

2) 41

21+ Rta :

43

3) 1 + 21 Rta :

23

4) 32

21+ Rta :

67

← Resultado


5) 54

32+ Rta :

1522

6) 75

37+ Rta :

2164

7) ba11

+ Rta : b + aa.b

8) dc

ba+ Rta : a.d + b.c

b.d

DISTRIBUTIVA Suponé que tengo que resolver esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar prime-ro lo que está entre paréntesis , y en ese caso me quedaría:

2 ( 8 ) = X ⇒ 16 = X Pero también se puede resolver haciendo distributiva. ( "Distributiva" significa, distribuir el número que multiplica ). Eso sería hacer lo siguiente:

Practicalo un poco con estos ejemplos: 1) 3 ( 4 + 5 ) Rta : 27 2) 3 ( 4 – 5 ) Rta : -3 3) a ( b + c ) Rta : ab + ac 4) a ( b + c + d ) Rta : ab + ac + ad 5) a ( m1 + m2 ) Rta : a m1 + a m2

←Solución.


SACAR FACTOR COMÚN

Sacar factor común es hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo si tengo la expresión: X = 7242 ⋅+⋅ Me va a quedar: X = 2 ( 4 + 7 )

A veces conviene sacar factor común y a veces conviene hacer distributiva. Eso depende del problema.

Ejemplo: Sacar factor común en las expresiones: 1) F = m1 a + m2 a Rta : F = a ( m 1 + m2 ) 2) X = x0 + v t – v t0 Rta : X = x0 + v (t-t0) 3) Froz = µ m1 g + µ N2 Rta : µ ( m1 g + N2) 4) L = F1 d cos a - F2 d Rta : d ( F1 cos a - F2 ) ECUACIÓN DE UNA RECTA

En matemática la ecuación de una recta tiene la forma y = m x + b. Puedo graficar la recta en un par de ejes X-Y. Queda asi:

hay varias que tenés que conocer en la ecuación de una recta :

Fijate lo que significa cada una de estas cosas. Veamos primero qué son x e y. Si quiero representar en el plano el punto ( 3 , 2 ) eso significa que:

← Saqué el 2 como factor común

x

y

Y = m x + b REPRESENTA-CION DE UNA RECTA


Veamos ahora qué es eme. La m representa la pendiente de la recta. La palabra "pendiente" significa "inclinación" . La pendiente de una recta da una idea de la inclinación que tiene esa recta. Por ejemplo, si la pendiente vale 2/3, eso significa que la inclinación de la recta tendrá que ser tal que:

2m=3

Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como 14 y me queda:

Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendría esto ( Es decir, sería una recta a 45 ° ). Si m fuera 1,73, el asunto quedaría así:

Entonces, la pendiente de una recta es una función en donde:

117

=m

Otra cosa: si la pendiente es negativa ( como 117

−=m ) pongo 11

7−=m y la cosa

queda:

Acá hay que avanzar 3

Acá hay que avanzar 2

1

1

1,73

1

La parte de arriba indica lo que hay que avanzar en Y

La parte de abajo indica lo que hay que avanzar en X

7

11

1

4

m=4


El valor b se llama ordenada al origen y representa el lugar donde la recta corta al eje Y.

Por ejemplo, una recta así: tiene b = - 1 Otra recta así también tiene b = -1 Y las rectas que son así tienen b = 0. Es decir, salen del origen de coor-denadas.

¿ CÓMO SE REPRESENTA UNA RECTA ?

Si tengo una ecuación y = m x + b y quiero representarla, lo que hago es darle valo-res a X y obtener los de Y. Con estos valores formo una tablita y los represento en un par de ejes x - y. Fijate: Si tengo por ejemplo: y = 2 x + 1

Le doy a x el valor 0 y obtengo ⇒ y = 2 . 0 + 1 = 1

Le doy a x el valor 1 y obtengo ⇒ y = 2 . 1 + 1 = 3

Le doy a x el valor – 1 y obtengo ⇒ y = 2. ( -1 ) + 1 = -1 Puedo tomar todos los valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todo esto en una tabla me queda:

x y 0 1 1 3 - 1 -1

Ahora represento los puntos ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( - 1 ; - 1 ) en el plano x - y. Uniendo los puntos tengo la recta. Fijate :

-1

-1

Y = 2 x + 1

-7

11Avanzar 11 Bajar 7


Si quisiera ver si la recta está bien trazada puedo fijarme en los valores de m y de b: La recta corta al eje Y en 1, así que está bien. Veamos la pendiente:

La pendiente de y = 2 x + 1 es m = 2, así que el asunto verifica. Para entender esto mejor tendrías que hacerte algunos ejercicios. Vamos:

EJERCICIO: DADA LA ECUACIÓN DE LA RECTA:

a) Ver cuánto valen m y b b) Graficar la recta dándole valores de x y sacando los de y c) Verificar en el gráfico que los valores de m y b coinciden con los de a)

1) y = x Rta: m = 1 , b = 0 2) y = x - 1 Rta : m = 1 , b = - 1 3) y = 2 - x Rta: m = - 1 , b = 2

-1

2

2


4) y = -2x + 1 Rta: m =

21

− , b = 1

5) y = 2 Rta: m = 0 , b = 2 6) y = 1.000 x + 1 Rta: m = 1.000 , b = 1 Acá van otro tipo de ejercicios que también son importantes:

* DADO EL GRÁFICO, CALCULAR m, b Y DAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA

a) Rta: m =21 ; b = 0 y =

21 x + 0

b) Rta: m =65

− ; b = 5 y = 565

+− x

c) Rta: m = - 1 ; b = 1 y = - 1 x + 1

d) Rta: m= 21

− ; b = -1 y = - 121

−x

PARÁBOLA

Una parábola es una curva así ⇒ . Desde el punto de vista matemático esta curva está dada por la función:

Y= a x2 + b x + c Fijate que si tuviera sólo el término y = b x + c tendría una recta. Al agregarle el término con x2 la recta se transforma en una parábola. Es el término cuadrático el

1

2

2

2

1

6

5

-1

2 1

-2

-1

2

← Ecuación de la parábola

Prácticamente son 90°

1


que me dice que es una parábola. Ellos dicen que y = a x2 + b x + c es una función cuadrática porque tiene un término con x2. Una parábola podría ser por ejemplo:

Y = 2 x2 + 5 x + 8

En este caso a sería igual a 2, b a 5 y c sería 8. Los términos de la ecuación tam-bién pueden ser negativos como en:

Y = - x2 + 2 x -1 Acá sería a = - 1, b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer término pueden faltar. ( El primero nunca puede faltar por que es el cuadrático ). Un ejemplo en donde faltan términos sería:

Y= 0,5 x2 – 3 ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 ) o también:

Y = x2 - 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 ) La ecuación también puede estar desordenada, entonces para saber quién es a, quién b, y quién c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo: Y = - 3 x - 1 + 5 x2

Ordeno y me queda :

Y = 5 x2 – 3 x -1 ⇒ a = 5, b = - 3, c = - 1 REPRESENTACIÓN DE UNA PARÁBOLA

Lo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y. Con todos estos valores voy armando una tabla. Una vez que tengo la tabla, voy representando cada punto en un par de ejes x,y. Uniendo todos los puntos, obtengo la parábola.

De acuerdo a los valores de a, b y c la parábola podrá dar más abierta, más cerra-da, más arriba o más abajo. Hay una cosa que tenés que saber que es que :


si el término cuadrático es negativo la parábola apunta sus ramas para abajo.

Es decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior en vez de Y = x2 hubiese sido Y = - x2, la cosa habría dado así:

¿ Por qué pasa esto ? Rta : Porque a es negativo. ( En este caso a = - 1 ) Entonces conviene que te acuerdes siempre que:

Dicho de otra manera: ¿ Y si a la ecuación cuadrática no le falta ningún término ? Rta: No pasa nada, el asunto es el mismo, lo único es que va a ser más lío construir la tabla por que hay que hacer más cuentas. Fijate:

Vamos a estos otros ejercicios :

Si en la ecuación Y = a x2 + b x + c el valor de a es negativo, entonces la parábola va a dar para abajo


x

Representar las siguientes parábolas y decir cuánto valen los términos a, b y c: Solución de una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es la ecuación de una parábola igualada a cero. Es decir, si en vez de tener y = a x2 + b x + c tengo a x2 + b x + c = 0 , eso será una ecua-ción cuadrática.

Por ejemplo, son ecuaciones cuadráticas:

X2 + 4 = 0 , 5 X2 – 3 X + 7 = 0 , 7 X – 3 X2 = 0

Lo que se busca son los valores de x que satisfagan la ecuación. ¿ Qué significa eso ? Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuación dé cero. Supon-gamos que tengo:

x2 – 4 = 0

¿ Qué valores tiene que tomar x para que x2 – 4 de cero ? Bueno, a ojo me doy cuenta que si reemplazo x por 2 la cosa anda. Fijate:

22 – 4 = 0 ( Se cumple ) ¿Habrá algún otro valor? Sí. Hay otro valor es x = - 2. Probemos:

(- 2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 ( anda )

Este método de ir probando está muy lindo pero no sirve. ¿ Por qué ? Rta: Porque funciona sólo si la ecuación es fácil. Pero si te doy la ecuación 0,23 X2 - 2,17 x -73,2 = 0... ¿ Cómo hacés ? Acá no podés ir probando porque el asunto puede llevar-te un año entero.


A los valores de x que hacen que toda la ecuación de cero se los llama raíces de la ecuación o soluciones de la ecuación. Entonces, la idea es encontrar una fórmu-la que sirva para hallar las raíces de la ecuación. Esta fórmula es:

( La demostración de está ecuación está en los libros ). ¿ Cómo se usa esta fórmu-la ? Mirá este ejemplo:

Encontrar las raíces de la ecuación Y = x2 – 4 x + 3.

En este caso a = 1; b =-4 y c = 3.

Planteo :

X1,2 = a

acbb2

42 −±−

Reemplazando:

x1,2 =( ) ( )

1231444 2

⋅⋅⋅−−±−−

⇒ x1,2 = 212164 −± x1,2 =

244 ±

⇒ x1,2 = 2

24 ±

Ahora, para una de las soluciones uso el signo + y para la otra el signo menos. La cosa queda así:

Entonces x = 3 y x = 1 son las soluciones de la ecuación. Podés reemplazar estos valores en la ecuación y ver si verifican.

Quiero decirte una cosita más con respecto a este tema: una ecuación cuadrática podrá tener una solución, 2 soluciones o ninguna solución. ¿ Cómo es eso ? Fijate: ¿ Qué significa igualar la ecuación de una parábola a cero ?

Rta: Bueno, una parábola

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUA-

DRÁTICA


es esto

Preguntar para qué valores de x la y da cero, significa preguntar dónde corta la Parábola al eje de las x. Es decir, que las raíces de una ecuación cuadrática re-presentan esto: El caso de una solución única va a estar dado cuando la parábola NO corta al eje de las x en dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir, voy a tener esta situación :

Cuando la ecuación tiene una sola solución, se habla de raíz única o de raíz doble. La ecuación cuadrática puede no tener solución cuando la parábola No corta en ningún momento al eje de las x. Por ejemplo:

Cuando te toque una ecuación de este tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer

ca4b 2 − te va a quedar la raíz cuadrada de un número negativo (como por

ejemplo 4− ). No hay ningún número que al elevarlo al cuadrado dé negativo. Entonces el asunto no tiene solución. Acá te pongo algunos ejemplos:

Encontrar las soluciones de la ecuación usando la fórmula x =a

acbb2

42 −±−

( Podés verificar los resultados graficando la parábola ) 1) x2 – 2 x – 3 = 0 Rta: x1 = 3 ; x2 = -1 2) x2 – 7 x + 12 = 0 Rta: x1 = 4 x2 = 3

Una solución Otra solución

Soluciones de una ecuación cuadrática

← Caso de raíz única.


3) x2 – 2 x + 1 = 0 Rta: x = 1 ( Raíz doble ) 4) x2 – 18 x + 81 Rta: x = 9 ( Raíz doble ) 5) x2 + x + 1 = 0 No tiene solución. 6) x2 – x + 3 = 0 No tiene solución. SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS

Una ecuación con una incógnita es una cosa así ⇒ x - 3 = 5. Esta ecuación podría ser la ecuación de un problema del tipo: " Encontrar un número x tal que si le resto 3 me da 5 ". ¿ Cómo se resolvería una ecuación de este tipo ? Rta: Muy fácil. Se despeja x y chau. Fijate :

x – 3 = 5 ⇒ x = 5 + 3 ⇒ x = 8

¿Qué pasa ahora si me dan una ecuación así ? : x + y = 6 . Esto es lo que se llama una ecuación con 2 incógnitas. Así como está, no se puede resolver. O sea, tendría infinitas soluciones. Por ejemplo, algunas podrían ser: x = 6 ; y = 0 ó x = 7 ; y = - 1

ó x = 8 ; y = - 2

Creo que ves a dónde apunto. Si trato de buscar 2 números x e y tal que la suma sea 6, voy a tener millones de soluciones. ( Bueno... millones no... infinitas !!! ) Bueno, ahora distinta es la cosa si yo te digo: " dame dos números cuya suma sea 6 y cuya resta sea 4 " Ahí el asunto cambia. Este problema SI tiene solución. Matemáticamente se pone así:

x + y = 6 x - y = 4

Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. ¿ Cómo se resuelve esto ? Veamos. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS

Hay varios métodos para resolver 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Te recuerdo los dos más fáciles. Supongamos que tengo el sistema:

x + y = 6 x - y = 4


MÉTODO 1 : DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIÓN )

Se despeja una de las incógnitas de la primera ecuación y se reemplaza en la se-gunda. Por ejemplo, despejo x de x + y = 6. Me queda: x = 6 – y.

Reemplazando esta x en la segunda ecuación. Tengo: ( 6 – y ) – y = 4 Ahora: 6 – y - y = 4 6 – 4 = 2 y

2 = 2 y ⇒ y = 1

Ya calculé el valor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuaciones originales saco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1ra de las ecuaciones:

x + 1 = 6 x = 6 – 1

⇒ x = 5 MÉTODO 2 : SUMA Y RESTA

Se suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de las incógni-tas. Por ejemplo:

x + y = 6 x - y = 4

Sumo las ecuaciones miembro a miembro y me queda: x + y + x – y = 6 + 4 Ahora la y se va. Me queda: 2 x = 10 ⇒ x = 5

Igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones originales obtengo el valor de y. Una cosa: Acá yo sumé las ecuaciones, pero tam-bién se pueden restar. Si las hubiera restado, el asunto hubiera sido el mismo ( se iba a ir la x ). Vos podés usar el método que quieras para resolver un sistema de ecuaciones. A ellos no les importa qué método uses. Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del sistema, es la ecuación de una recta. Por ejemplo el sistema anterior se podría haber puesto así: ¿ Entonces cuál sería el significado geométrico de encontrar la solución de un sis-tema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ? Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las 2 rectas. Por ejemplo, para las rectas x + y = 6 y x - y = 4 tendría esto:


EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. ( Podés repre-sentar las 2 rectas para verificar)

MATEMÁTICA CERO – PALABRAS FINALES

Acá termina el resumen de matemática que te puse para que puedas entender ma-temática. Esta no es toda la matemática que existe. La matemática es gigantesca. Lo que puse acá es lo hiper-necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temas que también vas a necesitar como polinomios, trigonometría, funciones exponencia-les, logarítmos... Estos temas te los voy a ir explicando a lo largo del libro. Ahora, pregunta... ¿ Detestás la matemática ? Rta: Bueno, no sos el único. El 95 % de la gente la detesta. Es que la matemática es muy fea. Y encima es difícil. ¿ Hay alguna solución para esto ? Rta: Mirá,... no hay salida. Vas a tener que saber matemática sí o sí. Es una mate-ria, hay que aprobarla. Lo único que se puede hacer para solucionar esto es estu-diar. ( Y estudiar mucho ). Es así. El asunto depende de vos. A veces los chicos dicen: che. Que mala onda tenés ?! Rta: No es mala onda. Esto es así. En todos lados del mundo estudiar matemática es difícil. Encima vos elegiste la UBA, que es la Universidad de mayor nivel en Ar-gentina... ¿ entonces qué querés ?! Resumiendo, el que quiere celeste, que le cueste. Nadie te obliga. Ahí afuera te están esperando los de Mc Donald´s para trabajar por dié peso la hora. Creo que fui claro, no ? FIN MATEMÁTICA CERO

Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

FUNCIONES

ASIMOV FUNCIONES

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FUNCIONES

Vamos a empezar a hablar de Funciones. Supongamos que queremos saber cuántos alumnos hay por aula. Voy aula por aula y cuento. Hago una tabla:

De esta manera establecemos una relación entre el aula y el número de alumnos. El conjunto del cual salimos lo llamo dominio de la función. Al conjunto de llegada lo llamo codominio de la función. Si para cada elemento del dominio, tengo un solo elemento del codominio, tengo una función.

Supongamos que tengo un barril que vacío pesa 3 Kg. Si le agrego agua, el peso del barril va a aumentar. Como cada litro de agua pesa 1 Kg. La tabla me va a quedar así:

Esto que hice fue establecer una relación entre los litros que pongo y el peso del barrilito de cerveza. Puedo simbolizar esto así:

Hacer una tabla con algunos valores es dar una función. Sin embargo, esto no sirve mucho porque… ¿ qué pasa si yo pongo un litro y medio ? O raíz de 2 litros ? De manera que otra forma de establecer una función es dar su gráfico.

ASIMOV FUNCIONES

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Dibujo ahora el peso del barril en función de la cantidad de agua que pongo : Las funciones pueden ser discretas o continuas. Cuando hablo del número de personas por aula, estoy hablando de una función discreta. Cuando hablo de los litros que pongo estoy hablando de una función continua. Existe otra forma de dar una función que es dar su fórmula. Para decir de donde a donde va la función uso la siguiente notación: La función también podría ir de los reales a los reales o cualquier otra combinación. Por ejemplo: Supongamos ahora que tengo la siguiente función:

Hago una tabla para esta función:

Z <--- Enteros

ASIMOV FUNCIONES

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Vamos a un ejercicio. Una cosa para ser función tiene que salir de 1 punto y llegar a un solo punto. Por ejemplo, supongo que me dan esto: Lo que hago es trazar rectas verticales. Si las rectas cortan al gráfico en 1 solo punto, tengo una función. Esto es porque a cada punto del dominio, le debe corresponder un solo punto del codominio. Este caso también es función

ASIMOV FUNCIONES

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El domino de la función serán todos los puntos que tienen alguna imagen. El codominio será el conjunto que contenga a la imagen. En este caso:

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Esto es fácil. Fijate: Una función crece cuando va en subida. Una función decrece cuando va en bajada.

Desde el punto de vista matemático esto se pone así:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Cuando la función tiene una montaña, digo que tiene un máximo. Cuando tiene un valle, digo que tiene un mínimo. Una función puede tener varios máximos o varios mínimos. Si el máximo es el más grande de todos los que tienen la función, digo que es un máximo absoluto. Lo mismo para los mínimos. En realidad, desde el punto de vista de matemático (riguroso) una función tendrá un máximo o un mínimo cuando cambie el estado de crecimiento (de creciente a decre-

FUNCIÓN CRECIENTE

FUNCIÓN DECRECIENTE

ASIMOV FUNCIONES

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ciente o viceversa). Si la función crece entre los puntos 1 y 2, digo que el intervalo de crecimiento es (1, 2). Dar el intervalo de crecimiento (o decrecimiento) es decir en qué puntos la función crece (o decrece). Fijensé este dibujito : En matemática es muy importante que cuando vean una función puedan decir cuáles son sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y todo eso. Fijensé este ejemplo.

Vamos a hacer un ejercicio. Es importante que aprendas a interpretar enunciados. Eso queremos.

UNA FAMILIA QUE POR MES RECORRE 3.000 KM EN UN AUTO SE PLANTEA LA POSIBILIDAD DE INSTALAR UN EQUIPO DE GAS. LA INSTALACIÓN DEL EQUIPO CUESTA 1.500 $. UN LITRO DE NAFTA CUESTA 0,69 $. CON 1 Litro DE NAFTA RECORRE 14 Km. CON 0,8 m3 DE GAS TAMBIÉN RECORRE 14 Km. EL GAS CUESTA 0,32 $ EL m3 . SE PIDE: HALLAR LA FUNCIÓN QUE MIDE EL GASTO ( EN $ ) DE COMBUSTIBLE EN FUNCIÓN DEL TIEMPO SI SE USA NAFTA. IDEM EN CASO DE QUE SE UTILICE GAS ( INCLUIDO EL GASTO DE LA INSTALACIÓN )

En los 2 casos la variable va a ser el tiempo medido en meses. Vamos a empezar con la función del gasto de combustible. El tipo hace 3000 Km. por mes y con 1 Litro de nafta recorre 14 Km. Entonces:

Por mes gasta: 3.000 L14

= 214,28 Litros /mes

ASIMOV FUNCIONES

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Lo que gasta en plata va a ser: ( 1 Litro de nafta cuesta 0,69 $ )

214,28 L/mes x 0,69 $/Litro = 147,85 $/mes

Si por mes gasta esto, la función que me da el gasto en función del tiempo es:

f(t) = 147,85 $/mes x t (en meses)

Vamos a la parte b). Con 0,8 m3 la familia Dongo recorre 14 Km. La cantidad de m3 que gastan al recorrer 3.000 Km es:

Es decir que en plata, lo que gasta es: 171,42 m3 x 0,32 $ / m3 = 54,85 $/mes Si le sumo lo que sale la instalación, el gasto en función del tiempo si uso gas es: Adelantemosnos un poco al tema de funciones lineales. Represento las dos funciones que obtuve. Puedo hacerlo dando valores. Me van a dar 2 rectas

Supongamos que quiero saber a partir de cuantos meses se amortiza la instalación. Eso significa hallar el punto en donde se cortan las rectas, es decir t*.

Igualo: f(t) = g(t) ⇒ 148 t = 1.500 + 55 t

⇒ 148 t – 55 t = 1.500

GASTO MENSUAL = 171,42 m3 de gas

ASIMOV FUNCIONES

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⇒ 93 t = 1.500

⇒ t = 16,1 meses

OTRO EJEMPLO

Supongamos que hay una empresa que tiene unos ingresos (en plata) que vienen dados por la función i(t) (t en días). Los gastos a su vez vienen dados por g(t). ¿ Qué representa la función h(t) = i(t) – g(t) ? Rta: Bueno, si a lo que entra le resto lo que salte, lo que me queda es la ganancia neta de la empresa. Es decir:

h(t) = i(t) – g(t) = ganancia neta

¿ Para que sirve este ejemplo ? Bueno, solamente para que veas que las funciones se pueden sumar y restar.

OTRO EJEMPLO

Supongamos que tengo un país determinado tal que h(t) representa a la cantidad de habitantes de ese país en el tiempo t (t en años). La función g(t) representa el consumo por habitante en función del tiempo. Se pregunta:

a) ¿Cuál es el consumo total de ese país en el año t? Igual que antes lo que hago es:

CONSUMO POR HABITANTE x CANTIDAD DE HABITANTE = CONSUMO TOTAL

⇒ Si f(t) es el consumo total:

f(t) = h(t) x g(t) Acá ves como una función puede ser producto de 2 funciones. Ahora, ¿ Cuánto valen las funciones h y g ? Rta: Bueno, no lo sé. Pero su producto da el consumo total.

EJEMPLO

Che, ¿ se callan ? Vamos a hacer un ejercicio. Se quiere hacer una caja partiendo de una cartulina de 30 cm x 40 cm. Se pide calcular el volumen de la caja.

FUNCIÓN QUE DA EL CONSUMO TOTAL

ASIMOV FUNCIONES

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El volumen de la caja será: Vol = ancho x alto x largo. Es decir:

V = (40 – 2x) (30 – 2x) . x

Ahora, x no va a poder tomar valores mayores que 15 cm. Porque sino no tendría caja. Tampoco x puede ser negativo. Entonces digo que la función que me da el volumen de la caja en función de x es:

V(x) = (40 – 2x) (30 – 2x) . x con 0 < x < 15

¿ Cómo hago si quiero graficar esto ? Bueno lo que hago es darle valores a x (entre 0 y 15 ) y sacar los de V(x).

Vamos a otro ejemplo

Supongamos que los precios de la electricidad son los siguientes:

2,38 $ costo fijo que paga todo el mundo 0,0634 $ / kilowatt si uno consume menos de 126 Kwh. 0,094 $ / kilowatt si uno consume más de 126 Kwh.

Encima de esto, se cobra 17,20 % de impuesto sobre el total consumido. De manera que voy a tener 2 funciones: una para consumo mayor que 126 Kwh. y otra p/ consumo menor que 126 Kw-h. Si no hubiera que pagar ese 17,20 % de más, lo que habría que pagar sería: Ahora, para aumentar una cosa un 17,20 % lo que se hace es multiplicar a todo por

10020.17 y sumárselo a lo que uno ya tenía. (Esto hay que pensarlo un poco)

De manera que la función que me dice lo que tengo que pagar (f(x)) en función de los kilowats-hora que consumo (x) va a ser lo que tenía antes multiplicado por

100

2,171+ . . Esto es porque hacer la cuenta a + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

10020,17 a es lo mismo

que hacer ( Lo que hice es sacar a factor común).

La función queda:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

10020,171a

ASIMOV FUNCIONES

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Esta función así definida es lo que el problema pedía calcular. Teniendo la función ésta, puedo calcular por ejemplo cuánto paga un tipo que consumió 122 Kw. (por ejemplo). Para hacer eso, reemplazo x por 122 en la función para x ≤ 126 Kwh.

Quedaría así : Plata a pagar = 1.172 x [ 0,0634 . 122 + 2,38]

Si el consumo fuera mayor a 126 Kw. (por ejemplo 130 Kw), la cosa quedaría:

Plata a pagar = 1.172 x [2,38 + 0,0634 x 126 + 0,094 (130 – 126)]

FIN FUNCIONES

ASIMOV FUNCIONES LINEALES

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FUNCIONES LINEALES


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FUNCIONES LINEALES

Son las funciones que tienen forma de línea recta. La expresión matemática es:

La b es la ordenada al origen, es decir, el lugar donde la recta corta al eje y. La m es la pendiente de la recta. Esta pendiente se calcula haciendo la cuenta:

Supongamos que me dan la siguiente función lineal: f(x) = 2 x + 3. Voy a graficar esto. ¿Cómo hago? Y bueno. Le doy valores a x y saco los de f(x).

Hay algo importante que tenés que saber y es la cuestión de la pendiente. Tengo 3 casos. Mirá : Ahora, ojo ! Las rectas verticales no son función. Ver acá :

En este caso, la ecuación de esta recta sería x = 2. Esto pasa porque otra recta vertical superpuesta “corta” a la recta x = 2 en más de 1 punto. En realidad la corta en ∞ puntos porque está superpuesta. Vamos a un ejemplo.

m = opuesto adyacente


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SE SABE QUE UNA FUNCIÓN LINEAL TOMA LOS SIGUIENTES VALORES: f(2) = 3 y f(4) = 7. HALLAR LA ECUACION DE LA FUNCION

Bueno, lo que hago es escribir la ecuación de una función lineal: f(x) = m x + b. Reemplazo ahora por los valores que me dieron:

f(2) = m. 2 + b = 3

f(4) = m. 4 + b = 7

Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Lo puedo resolver por cualquier método.

Despejo b de la 1ra y la reemplazo en la 2da:

b = 3 – 2 m ⇒ 4 m + (3 – 2 m) = 7

⇒ 4 m + 3 – 2 m = 7 ⇒ 2 m = 7 – 3

Reemplazo ahora m = 2 en cualquiera de las ecuaciones y saco b. Fíjate : Quiere decir que la función buscada es :

Ahora vamos a hacer esto para un caso general. Quiero obtener una fórmula general que va a valer para todos los casos . La idea es poder ahorrarme de trabajar con un sistema de 2 x 2 .

m = 2 VALOR DE LA PENDIENTE

f(x) = 2 x -1


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Voy a resolver este sistema restando miembro a miembro. A la 1ra ecuación le resto la 2da. Esto queda:

Vamos a ver si cumple con el ejercicio anterior. Yo tenía f(2) = 3 y f(4) = 7. Tonces: x1 = 2 , y1= 3 x2 = 4 , y2= 7

¿Cuál es el significado de esta fórmula? Bueno, lo puedo ver en este dibujo:

Es decir, lo que hace la fórmula es calcular la pendiente haciendo la cuenta opuesto sobre adyacente. OTRO EJEMPLO

USANDO LA FORMULA PARA LA PENDIENTE, CALCULAR m SABIENDO QUE f(2) = 1 y f(5) = -3

Entonces, tengo que tener una función lineal del tipo f(x) = m x + b donde la pendiente viene dada por la siguiente fórmula:

m = y1 – y2 x1 – x2

En este caso x2 = 5, y2 = -3 y x1 = 2 e y1 = 1. Entonces:

m = -3 - 1 = - 4 5 – 2 3

Fijate que me dio con signo negativo. ¿ Qué me indica el signo menos ?

PENDIENTE DE LA RECTA


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Rta: Bueno, que la pendiente es negativa, es decir que la recta tiene que ir así:

Ahora planteo que: f(x) = - 4/3 x + b ⇒ Reemplazo x por 2 y f(x) por 1: 1 = - 4/3 . 2 + b ⇒ De acá despejo b que me da: 1 + 8/3 = b

⇒

La función lineal buscada es: f(x) = - 4/3 x + 11/3

OTRO EJEMPLO

UNA RECTA PASA POR EL PUNTO P = ( 3, -4) y SU PENDIENTE ES m = - 2. HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA:

Lo que hago es esto: La ecuación tiene que ser: y = - 2 x + b ( porque m = - 2 )

Como la recta pasa por x = 3 e y = - 4, reemplazo y me queda:

- 4 = - 2 . 3 + b ⇒ - 4 + 6 = b

⇒ b = 2

La función dada va a quedar: OTRO EJEMPLO

Ahora me dan este gráfico y me piden hallar la ecuación correspondiente. Mirá Es como si nos dieran 2 puntos. Sé que la recta corta al eje y en el punto -1. Entonces b = - 1. Ahora saco m. Los dos puntos por donde pasa la recta son (-1, 0) y (0, -1). Tengo 2 puntos y puedo sacar la pendiente con:

m = y2 – y1 = -1 – 0 = -1 = -1 . Dio negativo. x2 – x1 0 – (-1) 1

Está ok porque la recta va así: La ecuación buscada va a ser:

b = 11/3 ORDENADA AL ORIGEN

y = -2 x + 2

y = -1 x -1

-1

f(x)

-1


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INTERVALOS Esto lo vas a entender mejor si ves un ejercicio. Fijate. Copien. Dicto: EJERCICIO

DADAS f(x) y g(x) DETERMINAR EL CONJUNTO A DEFINIDO

Lo que tengo que calcular son los x que ∈ a los reales tales que f(x) sea mayor o igual que g(x). Es decir, planteo:

3 x + 2 ≥ 2 x -1

Resuelvo esta inecuación pasando a un miembro todo lo que tiene x.

3 x – 2 x ≥ -1-2 ⇒ x ≥ -3

Esta es la solución analítica del problema. Voy a resolverlo ahora gráficamente. Represento las 2 funciones:

Ahora, todos los x ∈ R tal que y1 ≥ y2 son los x ≥ -3. Eso lo saco mirando el gráfico. Veo que para cualquier x ≥ -3 la recta y1 está siempre por arriba de la y2. Representando gráficamente el intervalo obtenido me queda: Vamos a otro ejemplo de intervalos. ¿ Si lo toman ? Sí, lo toman, pero es fácil. Fijate:

DADAS f(x) y g(x) DETERMINAR EL CONJUNTO A DEFINIDO

f(x) = -2 x +1 y g(x) = 4x +1.


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Piden lo mismo que antes. O sea, dar el intervalo en donde f(x) ≥ g(x). Bueno, planteo entonces que f(x) ≥ g(x), es decir:

-2 x + 1 ≥ 4 x + 1 ⇒ 1 -1 ≥ 4 x + 2 x

⇒ 0 ≥ 6 x ⇒ 0 ≥ x ⇒ x ≤ 0 Entonces el conjunto solución será:

Voy a representar las rectas en un gráfico para verificar lo que hallé:

Para hacer el gráfico tuve en cuenta que las ordenadas al origen eran 1 para las 2 rectas y que en un caso la pendiente era positiva y en el otro -, por lo tanto las rectas deberían ir así y así respectivamente.

Gráficamente la representación del conjunto A es: Mirando el gráfico con las 2 rectas veo que siempre que tenga un x ≤ 0 , la función será mayor que la g(x). (esto era justamente lo que yo buscaba).

FUNCIÓN MÓDULO

Acá presten un poco de atención porque siempre se confunden. Vamos a ver la función MODULO de equis. Tomar módulo significa considerar el valor absoluto de x. Esto se escribe: f(x) = ⎪x⎪. Esto lo vamos a usar mucho. Le doy valores a x y saco los de f(x). Es decir, si x = 1, ⎪x⎪ será 1. Si x = -1, el ⎪x⎪ será también 1. Matemáticamente la función módulo de x se define así:


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Represento esta función: Esta función es como la función y = x pero igual de los 2 lados. El eje Y es el eje de simetría. Es como si el eje Y fuera un espejo.

EJEMPLO

GRAFICAR LA FUNCION f(x) = ⎪x - 2⎪

Lo que hago es darle valores a x y formar una tabla:

Esta función es igual a lafunción módulo de x ( l x l ) pero toda corrida para allá → en 2 lugares. Vamos a hacerlo ahora en forma analítica, es decir, aplicando la definición de módulo.

Fíjate. Tengo f(x) = ⎪x - 2⎪. Eso significa que aplicando la definición me queda:

Ahora, x -2 ≥ 0 significa x ≥ 2 y x -2 < 0 significa x < 2. La función queda definida así:


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Fíjense ahora esta otra función: f(x) = ⎪x⎪- 2. ¿ será igual que la anterior?

RTA: NO. Voy a hacer una tabla con valores y la represento:

Es decir, lo que pasa es que todo el gráfico se va para abajo en 2 unidades. Si tuviera f(x) = ⎢a.x ⎢me queda como la ⎢x ⎢ pero más abierta o más cerrada. Supongamos que a = 2. Le doy valores a x y me queda:

¿ Cuál es la pregunta ? ¿ Qué para que sirve la función módulo ? Rta: Eeehhhhmmm... Que se yo. Para nada. La matemática es así. Uno define cosas y después se pone a jugar con ellas. ¿ Cómo? ¿ Que ? ¿ Que estoy chapita ? Sí, sí, los matemáticos estamos re-chapitas ! ( Risas )

EL CASO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME

Este es un tema de física. ¿ Alguien cursa física ? En física la ecuación de la posición de un móvil que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme es:

x(t) = xo + v (t – to)

Esta es una función lineal. V es la velocidad del móvil y xo es la posición inicial. ( Es el lugar de donde salió). to es la hora en el momento de salir.

Si tengo el caso de que xo = 0 y to = 0 ⇒ me queda: x(t) = v.t

Esta es una ecuación del tipo y = m x . Acá a y yo la llamé x y a x la llamé t. Lo demás es lo mismo. Si tuviera por ejemplo x(t) = 2 Km / h . t , la representación sería:


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Lo que tienen que ver acá es que si la velocidad del móvil es positiva, la recta va a ir así: . Si la velocidad fuera negativa, la recta iría así . Esto es porque en el gráfico x = f(t), la velocidad del movimiento es la pendiente. Si los 2 móviles tuvie-ran la misma velocidad pero uno estuviera 3 Km. más adelante que el otro, el gráfico quedaría:

Esto es porque la velocidad es la PENDIENTE. Si los tipos tienen igual velocidad, las dos rectas deberán ser paralelas (no importa de donde hayan salido)

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

Che, anoten esto porque lo toman. Supongamos que tengo 2 puntos P1 y P2. Las coordenadas del punto P1 son ( x1, y1 ). Las coordenadas del punto P2 son ( x2, y2 ). Entonces la distancia que va de P1 a P2 se calcula con esta fórmula:

d(P1, P2) = 2 22 1 2 1 (y -y ) + (x -x )

No voy a hacer la deducción de esta fórmula choclaza. Pero si lo pensás un poco, vas a ver que sale de plantear el teorema de Pitágoras en el triángulo formado entre los puntos P1 y P2.

Che, ahora ojo, entiendan lo que estoy diciendo. Cuando digo " calcular la distancia " me estoy refiriendo efectivamente a la distancia real que hay de un punto a otro. O sea, la distancia que vos podrías ir y medir con una regla sobre el papel.

Vamos a un ejemplo:

x x = 2 Km. t h

t

3 Igual pendiente Son paralelas


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CALCULAR LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE LOS PUNTOS P1 ( 1 , 4 ) Y P2 ( 3 , 2 )

Solución: Bueno, hago un dibujito y escribo la fórmula

La distancia va a ser: d(P1, P2) = 2 22 1 2 1 (y -y ) + (x -x )

Entonces: d(P1, P2) = 2 2 (2 - 4) + ( 3 - 1)

d(P1, P2) = 2 2 (- 2) + ( 2) = 8

Raiz de 8 es más o menos 2,82. Si hicieras el dibujito en escala en un papel, la distancia entre P1 y P2 medida con una regla te daría 2,82 cm.


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FUNCIONES LINEALES - EJERCICIOS DE PARCIALES

Vamos a resolver algunos ejercicios que saqué de parciales viejos.

Solución: Esos puntos están sobre la recta y = 3x → son de la forma P = (a , 3a)

Nos dan la distancia al centro de coordenadas: √40 ( o sea, al punto (0 , 0)). Entonces, usamos la fórmula de distancia entre dos puntos:

d(P1, P2) = 212

212 )()( xxyy −+−

√40 = 22 )0()03( −+− aa

40 = 10 a2

__

a2 = 4 →⏐a⏐ = √4 = 2

Nos dan dos resultados para a. Entonces tenemos dos puntos:

a = 2 → y a = -2 →

M MATEMATICA PRIMER PARCIAL TEMA 2

APELLIDO:………………………………………….NOMBRES:…………………………………………………….D.N.I:………………………………… INSCRIPTO EN: SEDE:……………………DIAS:………………… HORARIO:……………AULA:…………………

CORRECTOR: ………………………………………….

1. Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto A ={x є R/

x4 > 5}

P = ( 2,6) P = (-2,-6)

En cada ejercicio escriba los razonamientos que justifican la respuesta


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Solución: Pasamos multiplicando la x → hay que ver las dos opciones

- Si x > 0 → 4 > 5 x → x < 4/5 → x є (0 ; 4/5)

- Si x < 0 → 4 < 5x → x > 4/5 → no puede ser las dos cosas a la vez Entonces, ese conjunto es igual a intervalo

Solución: Nos piden que escribamos el conjunto A como un intervalo o unión de intervalos. Entonces: Despejemos:

Para que sea negativo hay dos posibilidades:

Caso 1: (1 - x) < 0 y (x + 4) > 0

Despejando 1 < x y también se tiene que cumplir que - 4 < x. Representemos esto en una recta numérica: Muy bien. La solución que cumple con las dos desigualdades a la vez es S1 = ( 1 ; +∞) Caso 2: (1 - x) > 0 y (x + 4) < 0

1 > x también se tiene que cumplir que x < - 4. Representemos en una recta las dos desigualdades:

(0 ; 4/5)

( )45+x

- 1 < 0

( )4

5+x

< 1

41+−

xx < 0

0 1 -4

0 1 -4


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La solución que cumple con las dos desigualdades es S2 = (-∞ ; - 4 ). Ahora bien la solución total es la unión de estos intervalos:

S2 U S1 = ( - ∞ ; - 4 ) U ( 1 , + ∞) En la recta se vería así: Rta: La solución al conjunto A es (- ∞ ; - 4) U ( 1 , + ∞)

FIN FUNCIONES LINEALES

-4 0 1

FUNCIONES

CUADRÁTICAS

ASIMOV FUNCIONES CUADRÁTICAS

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¿ Qué es una función cuadrática ? Rta: son las funciones que tienen esta forma:

Fíjense que el valor a no tiene que ser cero porque sino estaría en el caso de una función lineal. Siempre en las funciones cuadráticas el dominio serán los reales y el codominio también. El gráfico de una f cuadrática es una parábola. Vamos a graficar una función cuadrática fácil ⇒ Por ejemplo y = x2 ¿ Cómo hago ? Bueno, le voy dando valores a x y saco los de y. Formo esta tabla Fíjense que el gráfico es simétrico. Es decir, de los dos lados es igual. La función y = x2 tiene la forma y = a x2 + b x +c. Lo que pasa es que acá a vale 1 y b y c valen cero. (es decir, tengo y = 1.x2 + 0.x + 0). En el eje x uno mira el dominio. En el eje y uno mira la imagen y el codominio. Puedo decir, mirando el gráfico que: Ojo, es importante que recuerdes la manera de escribir intervalos !

Vamos a graficar otra función cuadrática un poco más complicada: y = - 2 x2 + 3.

Hacemos la tabla y el gráfico:

f(x) = a x2 + b x + c FUNCIÓN CUADRÁTICA


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La parábola va para abajo. Eso pasa porque el término a es negativo. Siempre que a sea negativo la parábola va a ir así: . ( Está triste ). Si a es positivo la parábola va a ir para arriba. ( Sonríe ) El vértice de esta parábola está en el punto ( 0 , 3 ). El máximo está en x = 0. El eje de simetría es el eje y. La imagen de la función será: Im (f): (-∞, 3]

OTRO EJEMPLO: Representar y = (x -2)2 + 3 El ( x – 2) hace que toda la función se corra para allá en dos unidades. El +3 hace que toda la función se corra para arriba en 3 unidades.

El mínimo de la parábola está en x = 2. El eje de simetría es la recta x = 2. La imagen de la función es Im (f) = R ≥ 3

La función f(x) = (x–2)2 + 3 no parece tener la forma f(x) = ax2+ bx +c. Sin embargo es una cuadrática. Fijate. Hago el cuadrado del binomio y veamos que da:

f(x) = ( x – 2 )2 + 3 = ( x2 – 2.2 x + 22) + 3

⇒ f(x) = x2 – 4 x + 4 + 3 ⇒ f(x) = x2 – 4 x + 7

¿ Es lo mismo escribir la ecuación de cualquiera de las dos maneras ? Rta: SI, es lo mismo. Lo que pasa es que si quiero graficar, la primera manera me permite hacerlo prácticamente sin tener que hacer una tabla. Por ejemplo quiero que dibujen a ojo esta función: Y = - 3 ( x + 1)2 + 4. Vayan pensándolo. ¿ Listo ? Bueno. ¿ a ver que hicieron ? El + 1 me dice que la función está corrida para allá ← en 1 unidad. El + 4 me dice que la parábola está corrida en 4 unidades para arriba. El - del 3 indica que va para abajo. De manera que el gráfico tiene que dar algo así:

cuadrado del binomio


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¿ El 3 que significa ? Bueno, solamente me dice si la parábola va a ser más ancha o más angosta. ( así o así ) Ahora quiero poner todo esto en forma general. Supongamos que tengo la parábola escrita en la forma f(x) = a (x - α)2 + β

Eso querrá decir que el vértice está en el punto (α,β)

Ojo, (α , β ), NO (- α , β ). Recuerden esto. Si a es positiva la cosa irá para arriba (sonriente ). Si a es negativa la cosa iría así (triste).

El eje de simetría será la recta x = α. VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA

Hay una cosa que se llama completar cuadrados. La deducción no la voy a hacer. Les voy a dar las fórmulas finales. Estas fórmulas sirven para escribir la parábola en la forma y = a (x - α)2 + β, si a uno se la dan escrita en la forma f(x)= ax2 + bx +c. Las dos fórmulas son:

Vamos a hacer un ejemplo. Me dan la parábola f(x) = 2 x2 – 4 x +7. Tengo: a = 2 , b = - 4 y c = 7. Entonces :


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Tener formulitas así no es muy lindo. Vamos a ver esto. ¿ Cómo sé donde corta la parábola al eje x ? Rta: Bueno, tengo que aplicar una fórmula que te debés acordar. Es la fórmula de la resolvente de la cuadrática: Para una de las soluciones uso el signo +, y para la otra uso el signo - . De ahí saco las 2 raíces x1 y x2. Raíz quiere decir que ahí la función corta al eje x.

Hay 3 casos posibles. Puedo tener 2 raíces, 1 raíz o ninguna raíz.

¿ Cuándo tengo dos raíces ? Bueno, llamemos al término b2 – 4 a c, discriminante (∆).

* Si el discriminante es positivo, tendré dos raíces. * Si el discriminante es cero, tendré una sola raíz * Si el discriminante es negativo, no tendré ninguna raíz.

La representación de los 3 casos es: RECTA TANGENTE

Es una recta que roza a la función en un punto. Es decir, no corta a la función, sino que pasa justo por ahí apenas tocándola. Por ejemplo:

Supongamos que me dan: f(x) = – ( x – 2 )2 + 1. Según lo que vimos el gráfico da así:


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Si me piden trazar la recta tangente a la parábola en el punto x = 1 y x = 2 tendría que hacer lo siguiente:

Lo que quiero que veas es esto: cuando la función crece, la pendiente de la recta tangente va a ser positiva. Cuando la función decrece, la pendiente de la recta tangente va a ser negativa. ¿ y cuándo tengo un máximo o un mínimo que pasa ? Rta: Bueno, la pendiente de la recta tangente va a dar CERO. Todo esto lo vamos a usar mucho después cuando veamos derivadas e integrales.

Veamos un ejemplo: Me dan la parábola y = - (x + 1) + 2. Me piden graficarla. Eso da así:

Las coordenadas del vértice son x = -1 e y = 2. Las escribo de la otra manera:

f(x) = - ( x + 1 )2 + 2 = - ( x2 + 2x + 1) + 2

⇒ f(x)= - x2 - 2x - 1 + 2

⇒ f(x)= - x2 – 2 x + 1

¿ Cuáles son las raíces ? Bueno aplico la formulita:


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CONJUNTO DE POSITIVIDAD

Son los valores de x en donde la función es positiva. Para saber donde una función es positiva, lo que tengo que hacer es mirar el gráfico y ver si la curva está por arriba o por debajo del eje x. Eso es todo. Si miran el gráfico van a ver que la función toma valores positivos para los valores de x comprendidos entre las dos raíces. Es decir: Al conjunto de positividad lo vamos a designar como C+ y en este caso va a ser: También podemos hablar de conjunto de negatividad. Ese conjunto serían los valores del dominio tales que en ellos la función es negativa. Lo designamos como C- y en este caso sería:

El lugar donde la función no es positiva ni negativa son los x tal que en ellos la función corta al eje x. Lo designamos como C0 y en este caso sería: Vamos a este otro ejemplo: Hallar el conjunto de positividad de la parábola: f(x) = ( x – 2 )2 – 2

Lo primero que hago es graficar la función. Veo que va para arriba y está corrida en 2 a la derecha y en 2 para abajo. Ahora hago el dibujo.


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Para saber donde corta la parábola al eje equis, desarrollo el binomio al cuadrado. Lo hago para tener escrita a f en forma de ax2+ bx + c.

f(x) = ( x – 2 )2 – 2 = ( x2 - 2.2 x + 4) - 2

⇒ f(x) = x2 – 4x + 4 - 2

⇒ f(x) = x2 – 4x + 2

Tengo así: a = 1 b = - 4 c = 2

Hago la fórmula – b ± etc, etc y me queda:

x1 = 2 - 2 x2 = 2 + 2 Los conjuntos de positividad y negatividad van a ser:

C+ = (- ∞, 2 - 2 ) ∪( 2 + 2 , +∞)

C- = (2 - 2 , 2 + 2 ) C0 = {2 - 2 ; 2 + 2 }

Esto no es difícil. Hagan los ejercicios de la guía. Es siempre lo mismo. Grafican la parábola, se fijan donde corta al eje x y después hallan los conjuntos de positividad y negatividad.

INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA

Una recta y una parábola se pueden cortar o no. Tengo los siguientes casos:

Vamos a hacer un ejemplo:

HALLAR LA INTERSECCIÓN ENTRE LA RECTA g(x) = 3x + 2 Y LA PARÁBOLA f(x) = 2x2 + 8x -1


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Bueno, lo que hago es graficar la recta y la parábola y ver donde se cortan.

Lo que hice fue resolver el ejercicio gráficamente. Ahora quiero resolverlo analíti-camente. ¿ Qué hago ? A ver, piensen. Claro, tengo que igualar las dos ecuaciones y despejar x. Entonces: Hago f(x) = g(x) :

⇒ 2x2 + 8x - 1 = 3x + 2

⇒ 2x2 + 8x - 3x - 1 - 2 = 0

⇒ 2x2 + 5x - 3 = 0

Aplico la fórmula para las raíces de la ec. cuadrática y me da:

Estas son las coordenadas de x donde se cortan la recta y la parábola. Para hallar las coordenadas y, lo que hago es reemplazar x1 y x2 en la ecuación de f(x) o de g(x). Si hice todo bien, tendría que dar lo mismo. Si hago eso me da:

g(-3) = 3(-3) + 2 = -7 g(1/2) = 3(1/2) + 2 = 3.5

Entonces, los puntos de encuentro son:


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Quiero que veas ahora otra aplicación de todo este tema de funciones cuadráticas. Vamos a hacer el problema del rendimiento de la nafta.

PROBLEMA:

EL RENDIMIENTO DE NAFTA r (EN Km/LITRO) DE UN AUTOMOVIL ESTÁ RELACIONADO CON LA VELOCIDAD ( EN Km/h ) POR LA FUNCIÓN:

r(v) = -1/3 v2 + 60 v con 0 < v < 180

a) HALLAR LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES EL RENDIMIENTO DE NAFTA AUMENTA CON v Y LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES EL RENDIEMIENTO DE NAFTA DISMINUYE.

b) HALLAR LA VELOCIDAD PARA LA CUAL EL RENDIEMITNO ES MÁXIMO Y CACULAR DICHO RENDIMIENTO.

a) Tengo que graficar la función r(v) = - 1/3 v2 + 60 v. Esto me va a dar una parábola que va para abajo. Fijate que el domino está restringido (la función solo ∃ para valores de v comprendidos entre 0 y 180 Km/h.

Para graficar, hago lo de siempre. Calculo las coordenadas del vértice.

Haciendo las cuentas me da:

a) Entonces veo que el rendimiento de nafta aumenta en ( 0, 90 ) y disminuye en ( 90, 180 ).

b) La velocidad para la cual el rendimiento es máximo es v = 90 Km/h. El máximo rendimiento será r = 2.700 Km/L.


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PROBLEMA: Se lanza una pelota desde 25 m de altura. Piden hacer el gráfico de la posición en función del tiempo y preguntan en que momento la pelota vuelve a estar a 25 m de altura. Dan como dato la ecuación de la posición en función del tiempo que es: s(t) = - 16 (t-3)2 + 169 Para t ≥ 0

Hago el gráfico de esto. Las coordenadas del vértice son ( 3, 169 ). Vamos a ver dónde corta esta función al eje t. En este caso como tengo expresada la función en la forma y = a (x-α)2 + β. Puedo directamente despejar directamente ( t - 3)2 sin usar la fórmula para la ecuación cuadrática. Igualo a cero:

- 16 (t -3)2 + 169 = 0

⇒ - 16 (t -3)2 = -169

⇒ (t -3)2 = 16169

Los 2 signos menos se cancelan. Ahora lo que no se tienen que olvidar es que cuando pasan el 2 al otro lado como raíz cuadrada, esa raíz tiene doble signo.

Miren:

(t -3)2 = 16169 ⇒ t – 3 = ±

16169 ⇒ t 1,2 = 3 ± 3,25

Si hubiera hecho esto aplicando la fórmula para la ecuación cuadrática … ¿ me hubiera dado lo mismo ?

Rta: Sí, claro. TIENE QUE DAR LO MISMO. (Probalo). El gráfico queda:

Si me preguntan en que momento pasa otra vez por la posición s = 25 m, la respuesta es a los 6 segundos. Eso lo veo mirando el gráfico. Uno puede evaluar s = 25 m en la ecuación, pero yo quiero que vean que la parábola es simétrica alrededor de la recta vertical x = 3. Por eso sé que a los 6 segundos va a volver a estar a los 25 m. De cualquiera de las 2 maneras que lo hagan está bien. Pero no se olviden este asunto de la simetría de las parábolas. Puede ser que lo tengan que usar en algún caso, como por ejemplo en éste de recién.


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FUNCIONES CUADRATICAS - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES Este ejercicio no es complicado, sólo tenés que leer bien el enunciado y ordenar lo que te piden. Vamos. Tenemos que encontrar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y = (x +1) (x + 7) y pasa por el punto en que la parábola corta al eje y. Calculemos el vértice de la parábola. Como la parábola es simétrica, las raíces van a estar a la misma distancia del vértice. Entonces a xv la podemos calcular así:

Como la parábola está escrita como un producto, las raíces están a la vista:

xraíz 1 = -1 y xraíz 2 = -7

Reemplazando en la ecuación para calcular el vértice:

xv = - 4

Para calcular yv reemplazamos en la ecuación de la parábola y = (x +1) (x + 7)

yv = (- 4 +1) (- 4 + 7)

yv = - 9

Llegamos a uno de los puntos por los que pasa la recta es: P1 = (- 4, - 9 ). Busquemos el punto donde la parábola corta al eje y, esto ocurre cuando x = 0.

y = (0 +1) (0 + 7)

y = 7

El otro punto por el que pasa la recta es: P2 = (0 , 7). Con estos dos puntos podemos construir la recta. Bueno, lo que hago es escribir la ecuación de una función lineal: f(x) = m x + b. Reemplazo ahora por los valores de P1 y P2:

f(- 4) = m. (- 4) + b = - 9

f(0) = m. 0 + b = 7

Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

xv = (xraíz 1 + xraíz 2) 2

xv = (-1) + (-7) 2


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Reemplazo b en la 1er ecuación para calcular m

⇒ - 4 m + b = -9 ⇒ - 4 m + 7 = -9

⇒ - 4 m = -9 – 7 Rta : La ecuación de la recta queda así La función cuadrática tiene esta forma: f(x) = ax2 + bx + c. Tenemos tres incógnitas: a, b y c. Entonces, necesitamos tres ecuaciones. Las sacamos de los datos que nos dan:

- Pasa por el punto (-3 , 16) → f(-3) = a (-3)2 + b (-3) + c = 9a – 3b + c = 16

- La abscisa del vértice es - 4 → xv = ab2

− = - 4

- Pasa por el punto (-4 , -2) → f(-4) = a (-4)2 + b (-4) + c = 16 a – 4b + c = - 2

Si resolvemos este sistema de tres ecuaciones, nos queda la función

a = 18, b = 144 y c = 286

→ f(x) = 18 x2 + 144 x + 286

Los ceros de esta función los podemos calcular con la formulita:

aacbb

242 −±− → Los ceros son -11/3 y -13/3

El dominio nos queda dividido en tres intervalos (lo dividimos en los ceros).

Vemos que es positiva en

m = -16 VALOR DE LA PENDIENTE

- 4 m + b = -9 b = 7

y = - 16 x + 7

(-∞, -13/3) U (-11/3 , +∞)


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2. Sea f(x)= .Hallar el valor de c є R de manera que

la imagen de f sea el intervalo [-3;+∞). Para el valor de c encontrado,hallar el conjunto de positividad de f

La función tiene un mínimo en el vértice. La abscisa del vértice la calculamos como

xv = ab2

− . En este caso, nos da xv = -1

Entonces, el mínimo valor de la función va a ser

f(-1) = 3/4 (-1)2 + 3/2 (-1) + c = c – 3/4

Nos piden que la imagen de la función sea [-3 ; +∞) → el mínimo es -3

c – 3/4 = -3 → c = -3 + 3/4 → Entonces, la función nos queda f(x) = 3/4 x2 + 3/2 x – 9/4

Calculamos los ceros: a

acbb2

42 −±− → 1 y - 3

El dominio nos queda dividido en tres intervalos:

(-∞ ; -3) → f (-4) = 15/4 > 0 (-3; 1) → f (0) = -9/4 < 0 (1; +∞) → f (2) = 15/4 > 0

El conjunto de positividad es

FIN FUNCIONES CUADRÁTICAS

cxx ++23

43 2

c = -9/4

(-∞ ; -3) U (1 ; +∞)

ASIMOV POLINOMIOS

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* CONTINUIDAD

* POLINOMIOS

* COMPOSICION DE FUNCIONES

CONTINUIDAD - TEOREMA DE BOLZANO - DIVISIÓN DE POLINOMIOS - TEOREMA DEL RESTO - INTERVALOS DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD - COMPOSICION DE FUNCIONES

UN POLINOMIO DE GRADO 4to. ( CORTA 4 VECES AL EJE X )

ASIMOV POLINOMIOS

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Vamos a ver ahora el tema de funciones continuas y discontinuas. No es difícil. Presten atención.

FUNCIÓN CONTÍNUA Una función es continua cuando para dibujarla NO necesito levantar el lápiz de la hoja. Por ejemplo:

Creo que esto lo entienden ¿ no ? En x = 3 la función es discontinua. Pega un salto. Para poder dibujarla necesito levantar el lápiz de la hoja. Esa es la idea. Ahora miren esto:

Fíjense que esta función es discontinua en los puntos x = 1 y x = 5. Esto lo veo mirando el gráfico. En todos los otros puntos la función es continua. Las funciones lineales (rectas) y las cuadráticas (parábolas) son SIEMPRE CONTINUAS. Supongamos que me dan una función que está definida en 2 partes:

En x = 2 la función es continua. Cambia su forma pero es continua. Vamos a afinar más la definición de continuidad. Decimos así:

Una función es continua en un punto si acercándose por la derecha o por la izquierda la función tiende a valer lo mismo.

FUNCIÓN CONTÍNUA

ASIMOV POLINOMIOS

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Para el ejemplo que les di, si me acerco al punto x = 2 viniendo así →, la función toma el valor 4. Si me acerco a x = 2 viniendo así ← la función también vale 4. Esto me está diciendo que la función es continua en x = 2.

Vamos a este otro ejemplo: Me dan una función que está definida de esta manera: Voy a hacer el gráfico. Puedo hacerlo dando valores o pensando un poco. La primera parte es una parábola y la segunda parte es una recta. Esto da algo así:

Pregunto: ¿ Es continua la función en x = 1 ? Rta: Bueno, acerquémonos por derecha y por izquierda y veamos que pasa:

Veo que viniendo por la derecha la función vale 5 y viniendo por la izquierda la función vale 2. Eso me está diciendo que la función no es continua.

Vamos a este otro ejemplo. Una función que está partida en 3. Viene definida así: De acuerdo a lo que me dice la definición, voy dibujando la función. Primero dibujo lo que pasa antes de llegar a 2, después justo en 2 y después para x mayor que 2. Da algo así:

ASIMOV POLINOMIOS

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Miren bien, chicos. ¿ Es continua ? No. A ojo ya ve que no es continua porque el dibujo pega un salto en x = 2. ¿ Lo ven ? Ojo ! La función ∃ en x = 2 ! Ahí f(x) Vale cero. Sin embargo no es continua. Para poder probar esto tengo que aplicar la definición rigurosa que es la de ir acercándose por izquierda y por derecha. Si hago eso, veo que viniendo así → la función vale - 1. En cambio, si vengo así ← la función vale 5. ¿ Será continua la función ? Rta: NO, porque los valores no coinciden.

Vamos a ver esto: quiero que tengan una idea del concepto de asíntota. Esto lo vamos a usar mucho después. Miren: tenemos una función que va de los reales a los reales definida como:

Lo que quiero que vean es, a ver, ¿ qué pasa con la función cuando me voy acercando al origen ? Bueno, la función se hace se hace asintótica al eje y. Bueno, y... ¿Qué significa esto? Significa que la curva se acerca más y más al eje pero nunca lo corta. Digo entonces que la función tiene una asíntota vertical en x = 0, La asíntota es el eje y. ¿ Y que pasa cuando tomo valores de x muy grandes ? (100, 1.000, 1.000,000). La función se acerca más y más al eje x pero no lo corta. ¿entonces el eje x qué es? Rta.: Una asíntota horizontal cuando x tiende a infinito. Del lado negativo de la función pasa exactamente lo mismo ¿ lo ven ?

TEOREMA DE BOLZANO

No voy a dar la demostración de este teorema. Solo quiero que entiendan la idea. Tengo una función continua en un intervalo. Supongamos que de un lado del intervalo es negativa. Eso quiere decir, dice Bolzano, que obligatoriamente, dentro de ese

ASIMOV POLINOMIOS

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intervalo, hay un punto en el cual la función vale cero. Miren el dibujo. Entonces, resumiendo: si en un intervalo (a,b) una función cambia de signo, en ese intervalo habrá un cero de la función. ¿ Lo ven ?

EJEMPLO: Me dan una función continua y me dicen que sólo tiene dos ceros. Pero no

me dan la función, me dan un tabla:

x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 f(x) 3 2 - 3 - 4 2 3 4

Dibujemos estos puntos en un gráfico y contestemos esto: ¿ En qué intervalos de amplitud 1 estarán los ceros de f ?

Me fijo en qué intervalo la función cambia de signo. Veo que eso pasa en (-3, -2 ) y en (- 0). Entonces en esos intervalos estarán los dos ceros de la función. ¿ Cómo es el dibujito de la función ? Rta: no lo sé. No sé que forma tiene. Lo único que sé que corta al eje x en los intervalos que marqué. ¿ Lo repito ? Ahora veamos esto. Supongamos una función continua que tiene ceros en x x2, x3 y x4 ¿ Qué pasa si estos ceros son consecutivos ? ¿ Podría la función tener esta forma?

ASIMOV POLINOMIOS

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Pasa que entre dos ceros consecutivos la función no puede cortar al eje x. Eso quiere decir que entre dos ceros consecutivos, la función debe tener todo el tiempo el mismo signo. Es decir, todo el tiempo será positiva o todo el tiempo negativa. ¿ Para qué me sirve esto ? Rta: Para poder determinar intervalos de positividad y negatividad. Pongamos esto en forma matemática:

La función podrá ser positiva en ese intervalo o negativa en ese intervalo. Pero no podrá cambiar de signo. EJEMPLO: Me dan una función continua cuyos únicos ceros son: f(-1) = 0 y f(1) = 0, Además me dicen que: f(-2) = f(2) = 2. Piden dibujar la función en forma aproximada. Como es exactamente el gráfico de f, no lo se. Sin embargo se que va a tener esta forma: Esto es todo lo que hay que saber sobre el teorema de Bolzano.

FUNCIONES POLINÓMICAS

Son funciones de este tipo:

Ojo, las funciones cúbicas no siempre tienen esta forma

SI TENGO UNA FUNCIÓN CONTINUA QUE TIENE 2 CEROS CONSECUTIVOS X1 y X2, ENTONCES:

∀ X ∈ (x1,x2) , F(X)> 0 o F(X) <0

ASIMOV POLINOMIOS

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Lo mismo con las cuárticas. No siempre son parábolas. Puede haber cuárticas y cúbicas que sean así : Un polinomio es una cosa que tiene esta forma:

A esto se lo llama función polinómica. Ojo, algunos de los términos pueden ser cero. Por ejemplo puedo tener algo así: Acá los valores de cada término son: Si el polinomio fuera :

A la potencia más grande que tiene el polinomio se la llama GRADO DEL POLINO-MIO. Por ejemplo, las funciones lineales son polinomios de grado 1. Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3 (y así siguiendo). ¿Y qué pasa con las constantes? (los números). Por ejemplo, ¿qué grado tiene el polinomio f(x) = 2 ? Piensen ¿ A qué potencia está elevada la x ? Rta: A la cero. Por lo tanto f(x) = 2 es un polinomio de grado cero. Vamos a hacer un ejercicio. Me dan esta función polinómica y me piden hallar los ceros y los intervalos de positividad y negatividad.

¿ Qué tengo que aplicar ? El teorema de Bolzano. Bolzano sólo vale para funciones continuas. Eso anótenlo. Los polinomios de cualquier grado son siempre funciones continuas. Vamos a buscar los ceros de la función que me dan. Igualo a cero : = 0

ASIMOV POLINOMIOS

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¿ Qué hago ? ¿ Hago distributiva ? Nooooo ! Al revés !! Si hago distributiva me complico más. Piensen. Si cualquiera de los paréntesis da cero, la función dará cero. Entonces las 3 posibilidades van a ser: De acá sale:

Fíjense una cosa. Un polinomio de grado n podrá cortar al eje x a lo sumo (como máximo) en n puntos. Por lo tanto, un polinomio de grado n tendrá como máximo n raíces. Eso es importante. Busquemos ahora los intervalos de positividad y negatividad. Tengo que los ceros de la función están ubicados así: Lo que hago entonces es darle a la función valores que estén dentro de estos intervalos. Como estos son todos los ceros de la función, en esos intervalos la función tendrá siempre el mismo signo. Tenía:

Entonces:

Hago una tablita con los signos que obtuve y ya puedo dibujar aproximadamente la función. Queda algo así :

ASIMOV POLINOMIOS

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Los conjuntos de positividad y negatividad van a ser: OTRO EJEMPLO

Dado el siguiente polinomio hallar los ceros y los intervalos de positividad y negatividad: ¿Cómo hago en este caso? Bueno. Acá tengo que darme cuenta de que puedo sacar equis factor común en el 1er paréntesis. La cosa quedaría:

Igual que antes, tengo 3 posibilidades para que todo el bicho dé cero. Estas posibilidades son:

De acá saco todos los valores de x que hacen cero el asunto. (ojo van a ser 5) Lo que sigue es todo igual al ejercicio anterior. Creo que lo pueden hacer solos. Chicos, les recomiendo que no se atrasen. Hagan los ejercicios de la guía. Cualquier cosa que no entiendan, pregunten.

ASIMOV POLINOMIOS

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EJERCICIO:

DADA LA FUNCIÓN

PROBAR QUE f TIENE CEROS EN LOS INTERVALOS ( 1 , 2 ), ( 4 , 5 ) Y ( 41 , 42 )

Para resolver esto uso el teorema de Bolzano: si de un lado del intervalo la función es positiva y del otro lado es negativa, quiere decir que por el medio la función deber ser cero. ( Esto vale para funciones continuas, no se olviden) ¿ Qué tengo que hacer ? El primer intervalo que me dan es el (2). Entonces tengo que reemplazar x = 1 en la función y x = 2. Si uno da positivo y otro da negativo, eso querrá decir f tiene un cero en ese intervalo. Veamos:

La función tiene un cero en el intervalo (2). Voy ahora al intervalo (4; 5). hay que hacer todas las cuentas. Yo les pongo el resultado: Por el teorema de Bolzano la función tiene un cero en el intervalo (1,4; 1,5). Para el intervalo (41 ; 42) me da: f(41) = - 0,028 ; f(42)= 0,039. Bueno, así vamos conociendo con más exactitud el valor de la raíz. Sabemos que está entre 41 y 42. ¿ Podría haber MAS de una raíz en ese intervalo ? Piensen. Si, podría. El enunciado no aclara nada al respecto. Lo que sabemos es que por lo menos hay una raíz.

Hay algunos ejercicios que piden hallar un cero de la función con un error menor que 0,001. Lo que están pidiendo es que calcule x con 3 decimales. Eso es todo. Lo que hay que hacer es esto: sé que la función tiene una forma así:

ASIMOV POLINOMIOS

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Tengo que ir probando con muchos valores entre 1,41 y 1,42. Hasta lograr un valor de x tal que ⎢f(x) ⎢sea menor que 0,001. Uno no puede saber a priori donde está la raíz. Sabe que está entre 1,41 y 1,42, pero … ¿ dónde ? Entonces voy dando valores. Voy probando hasta pegarle. Se que es un plomo pero es así. Difícil que tomemos esto en el parcial. No nos interesa que se maten haciendo cuentas.

Los ejercicios que siempre se toman son parecidos a estos pero tienen una variante. Suele dar un polinomio de grado cúbico como por ejemplo:

y dicen que una de las raíces es 1. Suelen pedir hallar todas los demás raíces e indicar los intervalos de positividad y negatividad. Para poder resolver ejercicios de este tipo tienen que saber factorear polinomios. Ese es el tema que voy a explicar la clase que viene.

DIVISION DE POLINOMIOS

Supongamos que quiero dividir f(x) = 2x4 – 3x3 + x2 – 4 por g(x) = 2 x2 + 3x - 1. Voy haciendo esto: La división se termina cuando el resto tiene grado menor que el cociente. Siempre el cociente de la división por el divisor más el resto me da el polinomio original. Quiere decir que:

ASIMOV POLINOMIOS

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En el caso anterior:

TEOREMA DEL RESTO

Supongamos ahora que tengo un polinomio f(x) y lo divido por (x-a).

Entonces, puedo decir cual va a ser el resto de la división (sin dividir los polinomios) Estoy dividiendo un polinomio f(x) por otro de la forma ( x – a ). En este caso a = 1. Entonces reemplazo x = 1 en el polinomio:

OTRO EJEMPLO:

HALLAR EL RESTO AL DIVIDIR

En este caso vuelvo a usar el teorema con a = -3. Entonces Lo que hay que hacer es sólo aplicar el teorema.

ASIMOV POLINOMIOS

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Resto = - 53 ¿ Qué pasa ahora si el número a es justo una raíz del polinomio ? Rta: Tiene que pasar que f(a) es cero, es decir, el resto será cero. Esto lo vamos a usar. Traten de entenderlo.

Vamos a hacer un ejemplo. Supongamos que me dan:

Y me dicen que x = - 1 es una raíz. Me piden sacar las otras 2 raíces. ¿ Cómo hago ? Primero pruebo a ver si x = - 1 es efectivamente una raíz:

Lo que hago es dividir el polinomio que me dan por el término ( x – la raíz). Entonces, en este caso me queda ( x – (-1) ) = x + 1. Hago la división choclaza : ¿Qué logré con esto? Logré que ahora puedo expresar el polinomio como: Esto es lo que se llama factorear el polinomio. Con el polinomio factoreando ya puedo saber las demás raíces. El paréntesis (x2 – 4) lo puedo poner como:

Entonces las 3 raíces del polinomio que me daban son:

Teniendo las 3 raíces ahora podría hallar los intervalos de positividad y negatividad. A eso apunta todo esto. La idea es que aprendan a factorear polinomios para hallar los intervalos de positividad y negatividad. Eso es todo.

ASIMOV POLINOMIOS

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Si por ejemplo, me dicen que tengo un polinomio de grado 3 cuyas raíces son x1 = 1 , x2 = -3 y x3 = 4, eso quiere decir que el polinomio tiene que tener la forma:

Lo único que hay que darse cuenta es de que todo el polinomio podrá estar multipli-cado por un número a, y las raíces seguirían siendo las mismas. Es decir que puedo poner a f(x) como: El valor a podría ser cualquier número ( 2, 3, etc)

EJEMPLO:

HALLAR UN POLINOMIO DE GRADO 3 QUE TENGA RAICES EN x = 0, en x = 3, en x= -3 y QUE EN 2 VALGA (f(2) = 1)

Hago lo mismo que hice recién. Me dicen que las raíces son: x1 = 0, x2 = 3 y x3= -3. Quiere decir que el polinomio tendrá que tener la forma: Pero atención! Todo esto puede estar multiplicado por un número a. Entonces: Hasta acá vamos bien. Ahora hay que considerar la parte que dice que f(2) tiene que ser 1. Hago:

Entonces el polinomio pedido es:

OTRO EJEMPLO:

DICEN QUE LA TEMPERATURA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO SIGUE ESTA FUNCIÓN:

ASIMOV POLINOMIOS

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ACLARAN QUE PARA ESTA FUNCION t = 0 CORRESPONDE A LAS 6 DE LA MAÑANA.

Hago la representación de f(t) que me da así:

Los intervalos de positividad y negatividad son los que marqué. Supongamos que me piden probar que entre las 12 y las 13 horas la temperatura fue de 32 ºC. Hay que darse cuenta que la equivalencia es la siguiente: Lo que están pidiendo entonces es probar que para t comprendido entre 6 y 7 la función vale 32. No se compliquen, chicos. Miren el gráfico. Le di a t el valor 6 y que pasó? Obtuve que la temperatura a esa hora (las 12) era 32,4º. Veamos que pasa una hora después. Una hora después significa las 13 hs, es decir, t = 7. Le doy el valor t a la función y saco la temperatura. ¿Entonces qué pasa? Pasa que la representación sería la siguiente: La función es continua. Quiere decir que si en un momento la temperatura era de 32,4º C y en otro momento era de 29,75 ºC, debió haber algún momento intermedio en donde la temperatura fue de 32 ºC.

ASIMOV POLINOMIOS

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EJERCICIO

HALLAR UNA FUNCIÓN DE GRADO 3 SABIENDO QUE CORTA AL EJE X EN LOS PUNTOS 0, 1 y -3 Y ADEMÁS f(-1) =1.

Lo que hago es poner el polinomio en su forma factoreada. Las raíces son: x1 = 0, x2 = 1 y x3 = -3. Entonces el polinomio va a ser :

Ahora, no me tengo que olvidar que en su forma general el polinomio está multiplicando por un número cualquiera a. Entonces:

Me piden ahora que f(-1) valga 1. Le doy a la función el valor - 1 y lo igualo a 1. El polinomio buscado es:

EJERCICIO

SABIENDO QUE EL POLINOMIO

CORTA AL EJE EN X (2 , 0), CALCULAR:

a) TODOS los puntos del gráfico donde f corta al eje x. b) Los intervalos de positividad y negatividad C+ y C- c) Hacer el gráfico aproximado de f.

Este tipo de ejercicios tienen que saberlos porque siempre los tomamos en los parciales. Sé que una de las raíces es x = 2. Entonces puedo factorear al polinomio dividiéndolo por (x-2). Fíjense:

ASIMOV POLINOMIOS

- 73 -

El resto tiene que ser cero por el teorema que dice que si a es raíz del polinomio, el resto vale cero. Entonces divido. El polinomio factoreado queda: f(x) = ( x – 2 ) ( x2 + 1/2 x - ½ ) + 0. Para sacar las

raíces del paréntesis ( x2 + 1/2 x - ½ ) lo igualo a cero y uso la ecuación cuadrática: Entonces, las raíces del polinomio f(x) son: x1 = 2 , x2 = ½ y x3 = -1 Puedo escribir a esto como: Ya contesté el punto a) que pedía hallar los puntos donde f(x) corta al eje x. Voy al punto b), que pide los intervalos de positividad y negatividad. Entonces voy a escribir el polinomio en su forma factoreada. Eso queda:

f(x) = (x-2) (x – ½) (x+1) Ahora hago la tablita:

ASIMOV POLINOMIOS

- 74 -

No hace falta que hagan toda la cuenta. Interesa solamente el signo que la función toma en ese intervalo. c) Sabiendo los intervalos de positividad y negatividad puedo dibujar el gráfico aproximado de f. Eso da así: Quiero aclararles una cosa. Supongamos que tengo un polinomio como este :

Cuidado ! Para hacer la división la división de este polinomio por otro tengo primero que completar el polinomio original con los términos que faltan. En este caso daría:

ECUACIONES BICUADRÁTICAS

Chicos, miren un poquito esta ecuación: Lo que hay que hacer para resolver estos ejercicios es llamar con otra letra a x2. Por ejemplo “y”. Me queda:

Esto si lo se resolver. Es una cuadrática común. De acá saco 2 valores, y1 e y2. bueno, usando la cuadrática me da:

Pero atención ! Ahora para sacar los x, tango que hacer: ⏐x⏐ = y (porque y era igual a x2) De manera que en realidad obtengo 4 valores por el doble signo de la raíz.

ASIMOV POLINOMIOS

- 75 -

Estos 4 valores son:

Las ecuaciones bicuadráticas no tienen nada de complicado. Sólo hay que hacer el reemplazo x2 igual a y para después hacer las cuentas. ¿ Qué es lo único de lo que no me tengo que olvidar ? Rta. Del doble signo de la raíz al hacer ⏐x⏐ = y . Esto es todo.

EJERCICIO TIPO PARCIAL

HALLAR LAS RAICES DEL POLINOMIO

SABIENDO QUE CORTA AL EJE X EN X = - 2.

Bueno, acá se que -2 es raíz de la ecuación. Entonces puedo dividir al polinomio que me dan por ( x + 2 ) y el resto dará 0. Entonces, completo el polinomio y lo divido:

El polinomio factoreado queda así:

Ahora... ¿Cómo factoreo al polinomio Bueno, tengo que darme cuenta de que puedo sacar el x como factor común. Quiero decir que puedo poner:

Las raíces del paréntesis de la derecha las puedo sacar aplicando la cuadrática.

ASIMOV POLINOMIOS

- 76 -

Si hago todas las cuentas me da: Es decir, 1 es raíz doble. Puedo factorear ahora a 3x2 - 6x + 3. Lo puedo poner como a (x - x1) (x - x2). Me queda:

Finalmente el polinomio f(x) factoreado será:


Si uno tenía un conjunto de partida A, yo agarraba un elemento x de A y lo mandaba a B a través de la función f(x). Eso lo simbolizamos con este dibujo.

¿Se acuerdan? ¿Qué pasa ahora si a lo que obtuve (f(x)), le aplico a su vez una función g y lo mando a un conjunto C? En ese caso el dibujo sería así:

Esto que hice se llama hacer una composición de funciones. Es decir, componer a una función f con una función g es hacer la cuenta g[f(x)]. Vamos a anotarlo así: No se preocupen mucho por esto ahora. Ya lo van a entender mejor al hacer los ejercicios. Miren este :

ASIMOV POLINOMIOS

- 77 -

EJEMPLO:

DADAS LAS FUNCIONES HALLAR f COMPUESTA CON g Y g COMPUESTA CON f. Analicemos primero las funciones que me dan:

Analicemos lo que obtuve. Al hacer la composición me dio:

Lo hago ahora al revés. Hago f o g (x). Me da: Quiero que vean que componer f con g no es lo mismo que componer que componer g con f. ( Lo vieron, no ? )

ASIMOV POLINOMIOS

- 78 -

Ahora vamos a este otro caso: Supongamos que me dan

¿Qué pasa si quiero hacer f de g(x) ? Veamos:

Fíjense. No le puedo dar a esta función que obtuve el valor x = -1. La función 1/x+1 no existe en x = -1. Entonces:

Lo que quiero que vean es que la composición f o g se va a poder hacer siempre que la imagen de g(x) esté dentro del dominio de f. Es decir: OTRO EJEMPLO

¿Cuáles son el dominio y la imagen de la composición?

Hagamos ahora el revés y vamos que pasa:

ASIMOV POLINOMIOS

- 79 -

OTRO EJEMPLO MAS

Los dominios y las imágenes de estas funciones son:

Fíjense que puse que la Im de f(x) eran sólo los reales mayores o iguales que cero. Eso lo hice para que la función f(x) = x fuera función: Hago primero g de f de x:

ASIMOV POLINOMIOS

- 80 -

Vamos ahora a esto otro:

Lo que quiero que vean es ésto ¿Qué pasó con el gráfico original de la función x2? Bueno, hagamos algunos dibujos:

¿A qué voy? Voy a que componer una función f cualquiera con una función lineal, lo que me hace siempre es correrme todo el grafico en alguno dirección así: → o así ← o para arriba y para abajo. Eso sí es importante. Anótenlo. Componer una función cualquiera con una función lineal hace que el gráfico de esa f se corra para arriba, para abajo, para la derecha o para la izquierda.

Chicos, ahora presten atención. Vamos a ver un tema que en general siempre les cuesta bastante. Anoten:

CAMBIOS DE ESCALA

Ahora vamos a ver composición de funciones que provocan cambios de escala. Supongamos una función así:

Si la función lineal que me dan es f(x) = 2x, la composición f[g(x)] lo que hace es achicarme el dominio.

ASIMOV POLINOMIOS

- 81 -

Es decir que el dominio de la función compuesta va a dar así: Esto tienen que pensarlo un poco. Vamos a esto. Dejo la función f como esta y tomo g(x) = - x. La composición da:

Quiere decir que lo que antes pasaba para x, ahora va a pasar para –x. Eso se ve bien en el gráfico. Miren. El gráfico queda igual pero para el otro lado. Es como si se hubiera reflejado en un espejo: Quiero componer ahora pero al revés. Voy a hacer g[f(x)]: g[f(x)] lo que me hace ahora es reflejarme todo respecto al eje x. Eso me daría algo así:

ASIMOV POLINOMIOS

- 82 -

Lo que tienen que entender es que componer una función cualquiera con una función lineal provoca cambios de escala o corrimientos a la derecha o a la izquierda o arriba o abajo. La función se puede agrandar, se puede achicar, puede reflejarse sobre el eje x o sobre el eje y. Eso es lo que quiero que vean.

ASIMOV FUNCION INVERSA - 83 -

FUNCIÓN INVERSA

Recta a 45º ( Espejo )


Ustedes saben que puedo tener una función F que va de un conjunto A a otro conjunto B. Ahora busco la función INVERSA, es decir la función que va de B a A. Pregunto: ¿ Siempre existirá esa función ? Fíjense en este ejemplo:

¿ Podría ser F-1 una función ? Respuesta: no. Fíjense que no. Hay dos cosas que no se cumplirían. Por un lado habría un elemento que no tendría imagen ( ). Por otro lado habría un elemento con dos imágenes ( )

Entonces, ¿qué tendría que pasar para que existiera función inversa ? Y bueno, de cada elemento tendría que salir UNA SOLA flecha y esa flecha tendría que llegar a UN SOLO elemento. Es decir, tendré funciones inversas cuando tenga gráficos de este tipo:

Esto escrito en forma matemática queda así:

1) se debe cumplir que Imagen f = Codominio F

2) dado un elemento Y0 que pertenece a la imagen de F, debe existir un único x0 que pertenezca al dominio de F tal que F(x0) = Y0

A estas dos cosas le vamos a poner nombre. Decimos así (esto anótenlo): FUNCIÓN SURYECTIVA: una función es suryectiva si la imagen de la función coincide con el conjunto de llegada (codominio). FUNCIÓN INYECTIVA: una función será inyectiva si cada Y0 es imagen de un único elemento del dominio.

FUNCIÓN INVERSA

A f B A f-1 B

ESTA FUNCIÓN PUEDE TENER INVERSA


Ahora, si una función es suryectiva e inyectiva a la vez decimos que la función es BIYECTIVA. Siempre que una función sea BIYECTIVA tendrá inversa. Vamos a ver algunos ejercicios para reconocer cuándo una función es biyectiva, suryectiva y todo eso. EJEMPLO: Dada la función f(x)= x + 2 decir si tiene inversa.

Bueno, hagamos el gráfico: El Codominio son todos los reales. La imagen de la función también son todos los reales. De manera que la función es suryectiva. Toda la imagen coincide con todo el codominio. 2Para saber si es inyectiva tengo que fijarme si existe algún valor Y0 que sea imagen de dos elementos. Para eso trazo una recta paralela al eje x y me fijo si corta la función en más de un punto. Veo que la recta corta en un solo punto, ⇒ la función dada es inyectiva. Conclusión: F es suryectiva e inyectiva, ⇒ F es biyectiva y tiene inversa.

Vamos a este otro caso: Miren esta función: Veo que la imagen son ℝ≥0. El codominio son todos los reales, por lo tanto F(x)= x2

no es suryectiva. Si trazo una recta horizontal, veo que corta el gráfico en más de un punto. ⇒ la función dada tampoco es inyectiva. Entonces... ¿ tendrá inversa ? Rta : No, por que no es biyectiva.

← f(x)= x2

y ← y = x + 2

x

Y0


Ahora vamos a hacer unos ejemplos más:

EJERCICIO: Dado el siguiente gráfico: a) Resolver la ecuación F(x)=0. b) ¿ Para qué valores tiene solución la ecuación F(x)= Y0?

a) Bueno, ¿ cuándo la función dada valdrá cero ? Me tengo que fijar para Y0 = 0, cuánto vale x. Mirando el gráfico veo que F(x) es igual a cero en X = 0, por lo tanto la respuesta es X = 0.

Si me piden cuándo la función dada vale 1, trazo una recta horizontal en Y0 = 1 y me fijo dónde corta a la función. El x correspondiente al lugar donde la recta corte, será la solución.

b) Ahora, ¿ entre qué valores puedo mover la recta horizontal tal que corte a la función?. Bueno, entre –2 y 2. Cualquier recta horizontal que esté en el intervalo (-2;2) corta la función en un solo punto. Por lo tanto, la ecuación F(x) = Y0 tiene solución para todos los Y0 ε (- 2 , 2). La función dada, ¿tendrá inversa?. Bueno, así como está no, por que la Im f = (-2 , 2) y el codominio son todos los reales, de manera que en principio la función no sería suryectiva. Sin embargo, si restrinjo el codominio y digo que el codominio de f = (-2 , 2) , entonces ahí sí la función sería suryectiva. Esto de restringir el dominio o el codominio se puede hacer. Ahora: ¿la función dada es inyectiva? Sí, es inyectiva porque rectas horizontales la cortan en un sólo punto. Es decir, que si restrinjo el codominio la función dada es biyectiva y tendrá inversa. Si no restrinjo el codominio, la función no es nada. Fíjense entonces que el hecho de que una función tenga inversa o no, depende un poco de cuáles sean el dominio y el codominio. Vamos a otro ejemplo.

Esta es la solución

Esta recta trazo →

x


EJERCICIO: Dada la función F(x)= x2

+ 3 decidir en qué caso existe por lo menos una solución de la ecuación F(x) = Y0.

Bueno, supongamos que me dicen que Y0 = 7. Me queda:

F(x) = 7 ⇒ x2 + 3 =7 ⇒ x2 = 7 –3 ⇒ 4=x ⇒ x= ± 2

¿La función dada será inyectiva?. No. Porque hay dos valores de x (2 y –2) que vayan a parar al mismo Y0 (7). Esto se puede ver en el gráfico

Es decir, la ecuación: x2 + 3 = Y0 tiene solución para todos los Y0 ≥3. ¿Será única la solución? No. Siempre tendré dos soluciones. El único caso donde tengo una sola solución es para x=0 (ahí la función vale 3). Ahora piensen: F(x) = x2 + 3 ¿cuándo tendrá solución la ecuación f(x)=Y0? Y bueno, hago F(x)=Y0 y me fijo qué pasa: X2 + 3= Y0 ⇒ x2= Y0 – 3

⇒ 30 −= yx

Lo que se tiene que cumplir es que Y0 – 3 sea mayor que cero, entonces:

Y0 - 3 ≥ 0 ⇒ Y0 ≥ 3

La ecuación F(x)=Y0 tendrá solución siempre que Y0 sea mayor o igual que tres. La imagen de la función será [3; +∞). Lo importante de entender es esto: ¿ qué hacía la función F(x)? Yo le daba un x y ella me daba un Y. Ahora... ¿qué hace la función 3−= yx Exactamente lo contrario. Yo le doy un valor de Y, y ella me da un x. A esto apunta todo este asunto de las funciones inversas. ¿lo ven, chicos?.

EJERCICIO: Dada la función F(x)= (x-1)2 + 2 que va de ℝ en ℝ, decir si:

a) ¿es inyectiva? b) ¿es suryectiva? c) Calcular la imagen.

7

← y = x2 + 3

-2 2


← y = (x-1)2 + 2

2

1

Despejo x de Y= (x-1)2 + 2 . Me queda: y – 2 = ( x – 1 )2

⇒ x – 1 = ± 2−y ⇒ x= 1 ± 2−y

Me queda entonces: x= 1 ± 2−y

¿Cuál será la imagen de la función?. Tenemos que lograr que la raíz no me de negativa, entonces:

2−y ≥ 0 ⇒ y-2 ≥ 0 ⇒ Y ≥ 2

Entonces la imagen de la función será Imf = [2; +∞). Eso también se ve si grafico la función original que era F(x) = (x-1)2 + 2. Es una parábola. Ustedes ya saben eso. ¿ El vértice está en dónde ? Rta: En ( 1 ; 2 ). Ahora, ¿será suryectiva la función?. No. La imagen son todos los reales mayores o iguales que 2 y el codominio son todos los reales. La imagen no coincide con el codominio y la función no es suryectiva. ¿Es inyectiva?. No, tampoco. Fíjense que si trazo una recta horizontal ella me corta la función en dos puntos ⇒ no es inyectiva. ¿Tiene inversa? No. No es biyectiva, así que no tiene inversa. Ahora quiero que vean algo. Vamos a hacer que la función tenga inversa. Fíjense: Para hacer eso tendría que cambiar un poco la función. Es decir, elimino la parte que me hace que la función no sea inyectiva. La cosa queda así: Es decir, restringí el dominio para que la rama izquierda no exista. La función ya es inyectiva. Ahora tengo que hacer que sea suryectiva. ¿ Cómo hago ? Piensen. Lo que tengo que hacer es restringir también el codominio. Digo:

Cod f = [ 2, +∞ )

Lo saco→ ←Y= (x – 1)2 + 2

Con Dom F = ℝ ≥ 1


←Y= (x – 1)2 + 2

Dom (f) 1

Cod (f)

2

Ahora el codominio coincide con la imagen y la función es suryectiva. Entonces la función esta:

Va a ser biyectiva. ¿Tendrá inversa? Y sí. Justamente sí. Para eso hice todo esto de restringir dominio y codominio. Chicos, una cosa. Para hablar de la función inversa de F la ponemos así: F-1. Ahora, ojo. Esto no quiere decir “hago la cuenta 1/F”. Nada que ver. Por favor, no me hagan horrores en los parciales. Cuando les piden: “Hallar F-1” están queriendo decir que busquen la función inversa. Nada más. El asunto de poner que la inversa de F es F-1 es sólo una manera de escribirlo. F-1 es sólo una notación para expresar: “función inversa de F”. Es decir, lo que tengo es esto: La función va del dominio A al codominio B. La inversa va al revés, del conjunto B al conjunto A. Volvamos al ejercicio. Me habían dado la función F(x)= (x-1)2 + 2. Llegué a la conclusión que restringiendo el dominio y el codominio, podía encontrar la inversa que era: F(y)= 1 + 2−y

Ahora vean esto. F(y) es F-1 ¿ s i? Bien. ¿ Cómo hago para graficarla ?. ¿ Le doy valores a Y y saco los de X? No. Primero lo que tengo que hacer es reemplazar la Y por la X para poder graficarla. Tenía: F(y)= 1 + 2−y

Cambiando la Y por la X me queda: F(x)= 1 + 2−x

Ahora si, ya la puedo graficar. Tengo que darle valores a x y saco los de F(x). Noten una cosa. La función no me quedó 1 ± 2−x . Me quedó 1 + 2−x .Eso es por la restricción que hice del dominio al principio. Entonces, voy dando valores y me queda esto:

A B

f

f-1

X Y


2

Y= (x-1)2 ← recta y =x

←f-1 (x)= 1 + 2−x

Y

1 X

Lo que quiero que vean es que el gráfico de la función inversa es simétrico al gráfico de la función dada con respecto a la recta Y=X. Esto siempre es así. Es como si la función F-1 fuera la F pero reflejada en un espejo que sería la recta Y = X. Esto no lo olviden. Por favor. Repito: El gráfico de la función inversa es siempre simétrico al de la función dada respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta Y=X. Por ejemplo, si me dicen que una función cualquiera tiene esta forma: Yo sé que la función inversa será algo así:

En los parciales siempre pedimos que calculen funciones inversas y que las grafiquen. Por lo tanto, estudien esto bien. ¿Hay dudas? ¿Entienden? ¿ Voy demasiado rápido ? Bueno, vamos a ver otro ejemplo.

Hallar la función inversa de 21

1)( +−

=x

xf (si es posible). El dominio de

f=ℝ-{ 1 }. El codominio son todos los reales.

Bueno, lo que voy a hacer es igual que antes. Tengo que despejar x. Entonces:

21

1)( +−

=x

xf ⇒ Y-2 = 1

1−x

⇒ ( x-1).(y-2) = 1

Y

← función inversa

← recta y = x Función dada →

x


⇒ x - 1 = 2

1−y

⇒ X = 1 + 2

1−y

¿Cuál es la imagen de f ? Bueno, según lo que despejé, Im f = ℝ - { 2 }. Ahora, ¿ Es suryectiva ? Y...no. Porque el codominio eran todos los reales y la imagen son todos los reales menos el elemento 2. Por un elemento la imagen no coincide con el codominio y la función no es suryectiva. ¿Qué tengo que hacer para que si lo sea ? Bien, restringir el codominio. Digo que con el codominio Cod f= ℝ-{2} la función F(x) es suryectiva. Vamos ver ahora si la función es inyectiva. Bueno, hay que hacer el gráfico de F y ver qué pasa cuando trazo rectas horizontales. Miren.

El gráfico de y =x1 era así:

¿ Cómo será ahora el de F(x-1), es decir Y= 1/(x-1) ?. Bueno, tiene que quedar toda la función corrida para allá → en 1.

¿Y cómo será el gráfico de 21

1)( +−

=x

xf ? Y bueno, ahora tengo que correr este

último gráfico que hice así: ↑ en dos. El gráfico de la función queda así:

¿Qué pasa si trazo rectas horizontales ? Bueno, éstas cortan a la función siempre en un sólo punto. Quiere decir que la función dada es inyectiva. Fíjense que la recta Y = 2 nunca corta a la función. Bueno, eso no importa. Lo que importa, es que si la recta corta a la función, la corte en un solo punto. No importa que haya una recta que no la corte en ningún punto.

← Y = 1/x

←y= 1

1−x

Y

Recta horizontal→

← y = [1/(x-1)] +2

2

1 x


Y= 1 + 2

1−x

Conclusión, con la restricción del codominio, la función dada es suryectiva. Aparte la función así como está es inyectiva. Por lo tanto, con la restricción del codominio la función es biyectiva y tendrá inversa. Ahora viene la pregunta: ¿Cuál es la inversa? Y bueno, es la función que a cada Y le hace corresponder un x, es decir, es lo que tenía antes. A ver. ¿qué fue lo que hice al principio? Había despejado la x. Bueno, esa es la función inversa. Entonces:

X = 1 + 2

1−y

ES LA FUNCIÓN INVERSA !

¿ Cómo es el gráfico de la función inversa ? Y bueno, para graficarla puedo aplicar la regla que dice que la función inversa tiene que ser simétrica respecto de la recta Y = X. Es decir que el gráfico me va a dar así: Atención: ¿puedo graficarla dando valores y haciendo una tabla? Sí, claro. En la función f(y) = 1 + [ 1 / ( y – 2 ) ] reemplazo la y por la x. Esto lo hago sólo para poder graficar. No se olviden. Me queda: Ahora si me quiero tomar el trabajo de darle valores a x y sacar los de F(x), lo puedo hacer. Es un poco largo, pero lo puedo hacer. Con esto podría verificar si el gráfico de la función inversa me da simétrico respecto de la recta y = x. Otra cosa mas que quiero que vean es la siguiente: Tengo una función F. Hallo la inversa F-1. La función F era biyectiva, ¿ sí ? Y la F-1 ¿ Cómo será ? Claro, también biyectiva. Es decir que F-1 también tendrá inversa. Pregunta: ¿ Cuál será la función inversa de la función inversa ? Respuesta: la función dada.

Función inversa Función dada

ASIMOV ASINTOTAS - 93 -

Cuando una función crece todo el tiempo o decrece todo el tiempo digo que es una función MONÓTONA. Es como si fuera una función “aburrida”. Todo el tiempo hace lo mismo: o crece o decrece. Miren estos ejemplos:

1 2 3 4 5 sube baja sube baja ver

FUNCIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES O DECRECIENTES. Son funciones que no paran de crecer o no paran de decrecer. En los gráficos de arriba, todas las funciones son estrictamente crecientes o decrecientes salvo el número 5. E gráfico número 5 me muestra una función que no es estrictamente monótona. Eso pasa porque hay un momento en donde la función es constante. No crece ni decrece. Para saber si una función es creciente o decreciente lo que hago es mirar el gráfico. Si sube todo el tiempo es creciente. Si baja todo el tiempo es decreciente. Más adelante vamos a ver la manera rigurosa de demostrar que una función es creciente o decreciente.

¿ Qué es una asíntota ? Bueno, son rectas a las cuales la función se acerca pero

nunca toca. Por ejemplo, si tengo la función 21

1+

−=

xy , el gráfico da así:

¿Cuáles son sus asíntotas? Bueno, en el gráfico lo veo bien. Son las que marqué. Ahora, dada una función ¿cómo hago para saber si tiene asíntotas ? Bueno, miren, vamos a ver primero las asíntotas verticales. ¿ Qué pasa cuando me voy acercando al valor x = 1 ? Bueno, si vengo por derecha (← así) la función sube cada vez más y tiende a más infinito (+ ∞). Si me acerco a x = 1 por la izquierda (→ así) la función tiende a menos infinito. (-∞).

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES (MONÓTONAS)

ASÍNTOTAS

← Asíntota vertical x = 1

←Asíntota horizontal en y = 2


Es decir, acercándome a x = 1 la función tiende a tomar valores muy grandes. Estos valores tienden a infinito. De un lado es + ∞ y del otro - ∞. Esta es la condición para que haya asíntota vertical. Anoten: ASÍNTOTA VERTICAL: Para decir esto lo vamos a poner con la siguiente notación usamos la palabra límite que significa “ir acercándose al punto”. Por ejemplo, digo que:

Limx→1+ F(x)= + ∞

Y

Limx→1- F(x)= - ∞

El poner 1+ o 1- es una notación para indicar que me voy acercando por derecha o por izquierda. Vamos a poner esto en forma matemática. Fíjense. Digo que: UNA FUNCIÓN TIENE ASÍNTOTA VERTICAL EN x = a SÍ:

Limx→a+ F(x)= ± ∞ o Limx→a

- F(x)= ± ∞

Ojo, el “o” no es excluyente. Puede pasar una de las condiciones o las dos a la vez. Vamos ahora a las asíntotas horizontales. Acá pasa lo mismo. Cuando me daban

21

1+

−=

xy , la función tendía a y = 2 cuando x tendía a infinito o a menos infinito.

Una función tiene asíntota vertical en un punto x = a cuando acercándome al punto a la función tiende a + ∞ o a - ∞.

ESTO SE LEE: el límite de F(x) cuando x tiende a 1 por derecha es + infinito

ESTO SE LEE: el límite de F(x) cuando x tiende a 1 por derecha es - infinito.

Asíntota horizontal en y = 2. Asíntota vertical en x = 1

1y 2x 1

= +−


ASÍNTOTA HORIZONTAL

Puedo escribir esto en forma matemática usando el concepto de límite: UNA FUNCIÓN TENDRÁ ASÍNTOTA HORIZONTAL EN Y = b CUANDO SE CUMPLA QUE:

Limx→+∞ F(x) = b o Limx→-∞ F(x) = b

Ojo, el número b no puede ser infinito. Tiene que ser un valor constante como 1, 2, 500, 1.000,000 o algo por el estilo. Vamos a un ejemplo:

EJERCICIO: Hallar las asíntotas para la función ( )113)(

−+

=xxxxf

Lo que tengo que hacer primero es fijarme cuál es el dominio. El dominio serán todos los valores que NO hagan que se anule el denominador.

Dom F(x)= ℝ - { 0 ; 1 }

Ahora, siempre los lugares donde se anula el denominador son posibles candidatos a lugares donde puede haber asíntotas. Lo que hago entonces es tomar el límite de la función para x tendiente a cero y para x tendiendo a uno. Si me da infinito o menos infinito, tendré una asíntota vertical en esos puntos. ¿ Cómo hago para tomar el límite ? Bueno, voy dando valores con la calculadora y voy viendo qué pasa. Miren:

¿Qué veo? Veo que a medida que me acerco a cero por derecha, la función se acerca a -∞. Puedo poner entonces que:

Limx→0+ F(x) = - ∞

¿ Es suficiente esto para decir que la función tiene una asíntota vertical en x = 0 ? Rta: SI, es suficiente. Después veremos qué pasa cuando me acerco a cero por la izquierda. Pero por ahora, la función tiene asíntota vertical en x = 0,

X F(x) 0,1 - 14 0,01 - 104 0,001

-1004

La función tendrá una asíntota horizontal cuando tienda a tomar un valor constante al tomar x valores tendientes a infinito o a menos infinito

Me acerco a cero → ( )113)(

−+

=xxxxf


Bueno, entonces investiguemos qué pasa con la función cuando me acerco a 0 -. Voy dando valores con la calculadora, igual que antes:

x F(x) -0,1 6

-0,01 96 -0,001 996

Veo que la función tiende todo el tiempo a más infinito. Quiere decir que del lado izquierdo la función también tiene una asíntota vertical. Vamos ahora a X = 1 ¿qué pasa ahí ? Bueno, tendamos a acercarnos a 1 por izquierda y por derecha. Veamos qué pasa. Agarro la calculadora y hago miles de cuentas:

( )113)(

−+

=xxxxf

¿ Qué veo ? Veo que la función tiende a +∞ por derecha y a -∞ por izquierda. Puedo poner entonces que:

Limx→1+ F(x)= + ∞ y Limx→1

- F(x)= -∞

Bien. Con esto demuestro que la función tiene asíntotas verticales en x = 1. Vamos ahora a las asíntotas horizontales. ¿ Qué tenía que hacer ? Tenía que hacer tender a la función a +∞ y a -∞ y ver qué pasaba ¿ sí ? Bueno, hago eso. Otra vez agarro la calculadora y empiezo a darle valores cada vez más grandes.

( )113)(

−+

=xxxxf

¿Qué veo? Veo que Limx→+∞ F(x) = 0 y Limx→-∞ F(x) = 0

x F(x) 0,9 - 41 0,99 - 401 0,999 - 4001 0,9999 -40001

x F(x) 1.1 39 1.01 399 1.001 3999 1.0001 39999

x F(x) 10 0,3 100 0,03 1000 3 x 10-3 10000 3x 10-4

x F(x) -10 -0,26 -100 -0,029 -1000 -3 x 10-3 -10000 -3 x 10-4

La función toma valores cada vez más grandes

Por izquierda

← Por derecha

Por izquierda


No sé exactamente cuál va a ser el gráfico de la función, pero sé que va a tener esta forma. Eso es lo importante.

¿Qué comprobé, entonces? Comprobé que la función tiene asíntotas horizontal en Y = 0. Esto pasa porque la función toma un valor constante cuando x → ± ∞. Ese valor constante es Y = 0.

Ahora, quiero que vean para qué sirvió todo este asunto de buscar las asíntotas de una función. La cosa es así: el tener las asíntotas de una función me ayuda a graficarla. Es decir, a ustedes les dan una función... Ahora, ¿ Cómo saben qué forma tiene? Habría que dar valores y sería todo un lío. Teniendo las asíntotas es más fácil. Fíjense. Para la función dada sé que tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = 1. También sé que tiene una asíntota horizontal en y = 0. Comprobé que los valores que tomaba la función eran:

Limx→0- F(x)= +∞ ; Limx→0

+ F(x)= -∞

Limx→1- F(x)= -∞ ; Limx→1

+ F(x)= +∞

Limx→-∞ F(x)= 0 ; Limx→+∞ F(x)= 0

Eso quiere decir que la función que me dan va a tener esta forma:

( )113)(

−+

=xxxxf

Vamos a ver otro ejemplo de asíntotas:

HALLAR LAS ASINTOTAS DE LA FUNCIÓN 3

32)(2

−−−

=x

xxxf .

Vamos. Fijémonos primero cuál es el dominio de la función ¿por qué busco el dominio? Bueno, porque justamente estoy buscando los puntos problemáticos. Donde se anule el denominador voy a tener posibles asíntotas verticales. El denominador se anula en x = 3 ⇒ Dom F= ℝ - { 3 } Muy bien. Ya tengo el dominio. Sé que voy a tener problemas en el punto x = 3. Voy ahora al numerador. Quiero buscar los ceros de la función. Fíjense: Tengo x2 – 2x – 3. Si hago la cuadrática, me da:

X1=-1 X2 = 3

← Raíces de x2 – 2x – 3

y

1 x


¿Ahora qué pasa? Pasa que en x = 3 el numerador se hace cero, pero atención, x-3 también se hace cero en x = 3. Es decir, que en x = 3 la función valdría 0/0. O sea, la función no existe en x = 3. (Por favor piensen bien esto chicos !!) los ceros de F van a ser: ceros de F= { -1 } ( 3 NO ! )

Ahora que tengo las raíces del numerador, puedo factorear este polinomio y

ponerlo como: (x + 1) (x – 3). La función original que era 3

32)(2

−−−

=x

xxxf queda:

( )( )( )3

31)(−

−+=

xxxxf

Busquemos las asíntotas verticales ¿se acuerdan lo que había que hacer? Había que buscar el límite de la función para x tendiendo a algún número. Si ese límite daba infinito o menos infinito, iba a tener asíntota vertical. Escrito en forma matemática: Limx→a F (x) = ± ∞

Bueno, empiezo probando con x = 3. A ver. Tomemos primero el límite por izquierda:

Limx→3-F(x) = Limx→3

- = Limx→3- = (x + 1) = 4

El límite no me dio infinito ni menos infinito. Quiere decir que por ahora no tengo asíntota vertical en x = 3. Lo que si quiero que vean es lo siguiente: ¿ Por qué simplifiqué el (x-3) con el (x-3) ? ¿Puedo hacer eso? Si Puedo hacerlo x no es igual a 3. Es decir, yo me estoy acercando a x = 3, pero no estoy justo en x = 3. entonces si puedo tachar los paréntesis. Aclaro esto porque si x fuera justo 3, me quedaría la cuenta 0/0 y ahí la simplificación no se podría hacer.

¿Queda claro esto, che? Pregunten si no entienden, chicos. Veo caras que... Bueno, sigo. Pruebo ahora por derecha. Tomo el Limx→3

+f(x). Veamos:

Limx→3+

Limx→3

+ (x + 1) = 4 Otra vez el límite no me dio infinito. Quiere decir que la función no va a tener asíntota vertical en x = 3. ¿Hay algún otro punto en donde se anule el denominador ? Rta: NO. No hay ningún otro. Entonces puedo decir que la función dada NO tiene asíntotas verticales. Voy a buscar ahora las asíntotas horizontales ¿se acuerdan lo que había que hacer?

Condición para que haya asíntota vertical

(x+1)(x-3) (x-3)

(x+1)(x-3) (x-3)


Había que buscar los límites para x tendiendo a ∞ y a -∞. Si alguno de esos límites daba un número que no fuera ∞ o -∞ iba a tener asíntota horizontal. Bien, empece-mos. Hago tender primero x a + ∞:

Lim x→+∞ F(x) = Lim x→+∞ +∞=−

+−3

322

xxx

¿Cómo hice para saber que el límite da infinito? Muy simple. Le fui dando valores con la calculadora. Si le doy a x valores muy grandes, la función toma valores muy grandes. Prueben. Agarren la calculadora y prueben. Bueno, ahora me fijo qué pasa para x→-∞

Lim x→-∞ F(x) = Limx→-∞ +∞=−

+−3

322

xxx

Otra vez el límite no me dio un número. Significa que la función NO va a tener asíntotas horizontales.

Una cosa más quiero que vean. En la función ( )( )( )3

31)(−

−+=

xxxxf puedo simplificar

siempre (x – 3) con (x – 3) salvo justamente para x = 3. de manera que puedo poner a la función que me dan como:

F(x)= x + 1 para cualquier x salvo x = 3

¿Puedo hacer esto? Sí, claro que puedo. Es decir que la F que me dan es en realidad la ecuación de una recta. Esto vale para todo x≠ 3. ¿Y en 3 qué pasa? Y bueno, en 3 la función NO EXISTE. ¿A qué voy? Voy a que traten de darse cuenta de que el gráfico de la función va a ser el gráfico de la recta y = x + 1 salvo para el punto x = 3 (ahí la función no va a existir) Es decir que la representación de f es:

¿Hago otro ejemplo de esto, quieren?

EJERCICIO: Hallar las asíntotas verticales y horizontales (si existen) de la

función ( )3332)(

2

−++−

=xx

xxxf

4

3

←Y = (x + 1)(x – 3) (x – 3)

Acá la función no existe !!


Limx→+∞f(x) = Limx→+∞ ( )31

31

−=+−x

x HAY ASÍNTOTA

( )( )( ) =−

−+−33

31xx

xx

Busco el dominio de la función. Lo de abajo se me anula para x = 0 y para x = 3. esos serán posibles puntos de asíntotas verticales. Entonces:

Dom F=ℝ - { 0 ; 3 }

Busco los ceros de F. El polinomio de arriba - x2 + 2x + 3 se anula en x1 = -1 y x2 = 3. (eso lo saco de la cuadrática). Entonces:

Ceros de F= {-1} (3 NO)

Igual que antes. Aclaro que 3 NO es cero de F porque ahí se me anulan numerador y denominador. La función NO EXISTE en x = 3 ( la cuenta me daría 0/0 ). Busco ahora asíntotas verticales. Los puntos posibles serán x = 0 y x = 3. Empiezo con cero por la derecha. Como ya saben, hay que ir dándole valores con la calculadora.

Limx→0+ f(x)= Limx→0

+ ( )( ) =−

++−33

322

xxxx

Limx→0+

Limx→0+ ( )

−∞=+−x

x3

1

El límite me dio – infinito. Quiere decir que F tiene asíntota vertical en x = 0, Aclaro que de ahora en adelante voy a trabajar con la función F(x)= -(x + 1)/3x Esta función vale para todo x≠ 3. Vamos al límite tendiendo a cero por la izquierda. ⇒ También hay asíntota vertical en x = 0 del lado izquierdo. Probemos ahora con x = 3 por izquierda y por derecha:

Los límites NO me dieron ∞. La función NO tiene asíntota vertical en x = 3. Vamos a las asíntotas horizontales. Tomo el límite para x→+∞. Voy dando valores grandes con la calculadora:

Limx→0- f(x)= Lim x→0

- ( )+∞=

+−x

x3

1

Limx→3- ( ) ( )

94

3313

31

−=×+−

=+−x

x

Limx→3+ ( ) ( )

94

3313

31

−=×+−

=+−x

x


Lim x→-∞ ( ) 31

33322

−=−

++−xx

xx HAY ASÍNTOTA

Tomo ahora el límite para x tendiendo a menos infinito. Probemos dando valores grandes negativos. Igual que antes. Tengo dos polinomios de igual grado, de manera que el límite para x tendiendo a infinito o a menos infinito va a dar un número. ¿Hay asíntota horizontal? Si, hay. La asíntota es Y= -1/3. El gráfico de la función va a dar así: Esto es todo sobre el tema asíntotas. ASINTOTAS - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES

La función que nos dan es: f(x) = ( 8 x – 7 ) / ( k x - 4 ). Nos preguntan cuanto tiene que valer k para que: . Hagamos el truquito de dividir numerador y denominador por x para resolver este límite

y

Y= -1/3 asíntota →

En x=3 no existe.

3

-1/3

)3(332)(

2

−++−

=xx

xxxf

xxxk

xxx

x 4

78lim

−

−

+∞→

2)(lim =+∞→

xfx

xk

xx 4

78lim

−

−

+∞→


Cuando x → +∞ tanto 7/x como 4/x se van a cero, esto queda así:

Nos dicen que . Entonces ⇒ 8/k = 2. Llegamos a que: Reemplacemos este valor de k en f(x):

Calculemos las asíntotas verticales y horizontales. Los candidatos a asíntotas verticales son los puntos que no están en el dominio. En este caso, x = 1, porque es el valor de x donde se anula el denominador. Entonces, calculamos el límite de la función en esos puntos.

fx 1lim→

= 4478lim

1 −−

→ xx

x = ∞ ⇒ x = 1 es una asíntota vertical

Las asíntotas horizontales son más fáciles de calcular. Todo lo que hay que hacer es calcular el límite de f(x) en el infinito. Si nos da un número, es una A.H.:

fx ∞→lim =

4478lim−−

∞→ xx

x

Como el límite queda indeterminado debido a la división, entonces divido por x tanto en el numerador como en el denominador.

4478lim

−−

∞→ xx

x =

x

xx 44

78lim

−

−

∞→ = 2 ⇒ y = 2 es asíntota horizontal.

Rta: ⇒ y = 2 es asíntota horizontal ⇒ x = 1 es una asíntota vertical. Hagamos un dibujito:

kx

k

xx

84

78lim =

−

−

+∞→

2)(lim =+∞→

xfx

f(x) = 8 x - 7 4 x - 4

k = 4

f(x) = 8 x - 7 4 x - 4

Y = 2

↑ X = 1


Calculamos el límite en el infinito. Veamos:

Nos dicen que este límite vale 4. Entonces tenemos:

2b = 4 → b = 4 x 2

Para calcular f-1 (x) despejamos la x de la fórmula de la función original:

f(x) = y = 32

148−−

xx

y (2x - 3) = 8x – 14 → 2xy – 8x = 3y – 14

→ x (2y - 8) = 3y – 14

x = 82

143−−

yy → cambiamos y por x y x por f-1 (x)

f-1 (x) = 82

143−−

xx

lim 32

14−−

xbx = lim

)/32()/14(

xxxbx

−− =

2b

x→+∞ x→+∞

b = 8


M MATEMATICA PRIMER PARCIAL TEMA 6

APELLIDO:………………………………………….NOMBRES:…………………………………………………….D.N.I:…………………………………

INSCRIPTO EN: SEDE:……………………DIAS:………………… HORARIO:……………AULA:…………………

CORRECTOR: ………………………………………….

3. Sean f(x)= -x-2 y g(x)=4

32

2

+− xx y h = g◦f. Hallar las ecuaciones

de todas las asíntotas de h, mediante el cálculo de los límites correspondientes.

f(x) = - x -2 g (x) = 4

32

2

+−xx

Calculamos la composición: h = g(f(x))

h(x) = 4)2(

)2(32

2

+−−−−−

xx → h (x) =

xxxx4

121232

2

−−++

A.H.:

A.V. Hay que ver en qué puntos la función tiende a infinito. Esto va a pasar en los bordes del dominio. Los puntos que no pertenecen al dominio son los que hacen 0 al denominador: x = 0 y x = -4. Si calculamos los límites, nos dan infinito → son A.V.

Rta: Las asíntotas son y = -3 (A.H.) x = 0 y x = -4 (A.V.) FIN ASINTOTAS

En cada ejercicio escriba los razonamientos que justifican la respuesta

lim xx

xx4

121232

2

−−++ = lim

)/41()/12/123(

2

22

xxxxx

−−++ =

13−

= -3

x→+∞ x→+∞


FUNCIÓN Y = SEN X

ASIMOV TRIGONOMETRICAS - 106 -

← sentido positivo

Se definen de la siguiente manera. Supongan que me dan un triángulo rectángulo, es decir que tiene 90°. Tomo un ángulo α. Para ese ángulo:

Ahora vamos a ver otra definición: supongamos que me dan una circunferencia de radio 1. y 1 P α α x -1 1 x El punto P tiene coordenadas x e y. Como el radio de la circunferencia es 1, la hipotenusa vale 1. Entonces el sen α y el cos α quedan así: Esta segunda definición me permite trabajar con ángulos mayores que 90°. Por ejemplo, si el ángulo es de 180°, las coordenadas de P son x = - 1 , y = 0 .


Sen α = opuesto Cos α = adyacente ← funciones trigonométricas Hip Hip

Sen α = y/1 ⇒ sen α = y

Cos α = x/1 ⇒ cos α = x

Adyacente

opuesto Hip

α ←Ángulo de 90°

Triángulo rectángulo→

180

-1


Mirando el dibujo veo que, como x = cos α e y = sen α :

Sen 180°= 0, Cos 180°= -1

Vamos a hacerlo ahora, por ejemplo, para 270°. Para 270° el punto P queda ubicado así:

Las coordenadas de P van a ser: x = 0, y = - 1, entonces:

Sen 270°= -1, Cos 270°= 0

Si hago esto para todos los puntos que están en el primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, tengo:

1° cuadrante: sen α= +, cos α= + 2° cuadrante: senα = +, cos α = -

3° cuadrante: sen α= -, cos α = - 4° cuadrante: sen α= -, cos α = +

Esto lo puedo resumir en este cuadrito:

A la circunferencia de radio 1 se la llama circunferencia trigonométrica. Otra cosa que tienen que recordar es el teorema de Pitágoras que dice que:

Teorema de Pitágoras:

Cos α = - Cos α = + Sen α = + Sen α = + Sen α = - Sen α = - Cos α = - Cos α = +

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

α = 270°

P


Es decir:

Como en la circunferencia trigonométrica la hipotenusa vale 1, me queda: X2 + Y2 = 1. Ahora, como x = cos α e Y= sen α , reemplazando:

(cos α) 2 + (sen α)

2= 1

A esto se lo llama identidad pitagórica o algo así. Otra cosa: ustedes saben que los ángulos se miden también en radianes. Para calcular un ángulo en radianes hacemos lo siguiente: la longitud de la circunferencia es 2πr. Acá el radio vale 1 (r = 1), de manera que la longitud total de la circunferencia es 2π. Entonces: La equivalencia es 2π radianes = 360° ¿Qué pasa si quiero saber cuánto vale un ángulo cualquiera? Bueno, parto de la equivalencia 2π radianes igual a 360° y hago regla de tres simple. Por ejemplo, si α = 180°:

360°_____2π rad 180°_____x(Rad.)

x(Rad.) = 180° 2π/360°

x = π Rad. Si hago esto para varios ángulos, puedo construir esta tablita:

α en grados α en radianes 0 º 0

30 º π/6 45 º π/4 60 º π/3 90 º π/2 180 º π 270 º 3π/2 360 º 2π

← todo este ángulo vale 2π radianes.

α

x

Hip y Hip2 = x2 + y2


Convendría que recuerden estos valores. Los van a tener que usar para hacer estos ejercicios. ¿Alguna pregunta sobre esto, chicos ? Bueno. Vamos a ver ahora cómo se grafican las funciones trigonométricas. Es decir, cómo se representan y qué forma tienen. ¿ Cómo ? ¿ La clase que viene ? Bueno, está bien. La clase que viene. Quiero que ahora vean esto. ¿ Qué pasa si tengo un ángulo α y le sumo una vuelta ? (2π rad). Bueno, el ángulo va a ser el mismo. Fíjense:

Entonces, Como el ángulo es el mismo, el seno y el coseno van a valer lo mismo. Es decir:

Sen (α + 2π) = Sen α

Cos (α + 2π) = Cos α

Por esto se dice que las funciones trigonométricas son periódicas de período 2 π. Quiere decir, si le sumo 2 π (360°), van a valer lo mismo. Algunos valores del seno y el coseno de α que se tienen que acordar son los siguientes:

0 (0°) π/6 (30°) π/4 (45°) π/3 60 π/2 (90°)

Sen α 0 ½ √2/2 √3/2 1

Cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 0 Vamos a graficar las funciones trigonométricas. Tomo las funciones F(x) = sen x y G(x) = cos x. Usando la tablita de recién o la calculadora voy dando valores a x y saco los de sen x. Eso da así:

-1

1

0 π/2 π 3π/2 2π

← Sen x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. REPRESENTACIÓN.

α α + 2π


Fíjense que la función se repite a partir de 2π. También vean que el dominio van a ser todos los reales, pero la imagen va a ser siempre Im (sen x) = [-1, 1]. Vamos ahora a las función Cos x. La voy graficando dándole valores a x: Lo que tienen que ver acá es que la función cos x es la función seno pero corrida para allá ← en π/2.

Hagamos un ejercicio.

Me dicen: Sabiendo que cos π/6=23 , calcular el sen π/6.

Bueno, uso la identidad: (sen α)2 + (cos α)2 = 1

en este caso: (sen π/6)2 + (cos π/6)2 = 1 Reemplazando Cos (π/6) por √3/2:

(sen π/6)2 + (√3/2 )2 =1

⇒ sen2 π/6 + 3/4 = 1 ⇒ sen2 π/6 = 1 -3/4

⇒ sen2 π/6 = ¼

⇒ sen π/6 = ± 1/2

Ahora, acá hay que tener cuidado ¿ Me quedo con la solución + ó - ?. Bueno, sé que π/6 es un ángulo que está en el primer cuadrante, de manera que el seno debe dar positivo. Entonces la solución va a ser:

Sen π/6= 21

Vamos a volver ahora a los gráficos del sen x y del cos x. Analicemos Dominio e Imagen:

0 π/2 π 3π/2 2π

← Cos x

-1

1

Dom f= ℝ Im f= [-1,1]


La función se repite a intervalos de 2π. Por lo tanto el período es 2π. La amplitud es la altura de la función. En este caso la amplitud es 1.

¿Dónde tendrá los ceros la función seno de equis ? Bueno, sen x = 0 para x = 0,π, 2π, 3π o también en x = -π, - 2π, etc. Entonces puedo decir que la función sen x tiene ceros en los puntos:

x= kπ (k∋ℤ) ← ceros del sen x.

La función seno toma su valor máximo en x=π/2 o x= π/2 + 2π o x= π/2 + 4π, etc. Fíjense que el ángulo es el mismo si yo le sumo 360° (2π rad).

Vamos a poner en forma genérica los lugares donde el sen x toma su valor máximo (que es 1).

X = π/2 + 2 k π ← lugares donde el sen x vale 1.

El número k pertenece a los números enteros (ℤ). Eso quiere decir que k podrá también ser negativo. Es decir, k = - 2, - 1, 0, 1, 2, etc.. ¿ Cuándo el sen x vale – 1 ? Bueno. Veamos. Eso pasa en x = 3π/2, 3π/2 , 2π, 3π/2 , 4π, etc.. También pasa lo mismo del lado negativo. Sen x será – 1 en:

x = 3π/2 + 2 k π (k∋ℤ) ← lugares donde el sen x vale –1.

Para entender bien esto tienen que hacer el grafiquito de la función. Ahí se ve bien. Vamos a hacer el mismo análisis pero para el cos x.

FUNCIÓN SEN X

← Sen x= sen (x +2π)

←X + 2π

-1

1

0 π/2 π 3π/2 2π

← Sen x


¿ Cómo era el gráfico ?. Era igual al del sen x pero empezando en 1. (o lo que es lo mismo, era la función sen x pero corrida así ← en π/2 ). Dibujemos : Mirando el gráfico veo que es una función periódica de período 2π y amplitud 1. La función es simétrica respecto del eje vertical. Busquemos los ceros de la función cos x. Miren el dibujo. La función vale cero en π/2, π/2 + π, π/2 + 2π. Lo mismo pasa del lado negativo. Tendré ceros en -π/2, -π/2 - π, -π/2 - 2π, etc.. Entonces: x= π/2 + kπ (k∋ℤ) ← ceros del cos x.

¿Cuándo vale uno la función? Miren la gráfica y piensen. Eso pasa en x = 0, x = 2π, x= 4π o también en x = -2π, x= - 4π, etc.. Escribiendo en forma compacta esto:

x = 2kπ ← lugares donde cos x vale 1.

La función valdrá –1 en π, 3π, 5π, -π, -3π, etc. Esto escrito en forma compacta queda:

X= π + 2kπ (k∋ℤ) ← lugares donde cos x vale –1.

Vamos a ver un ejercicio. EJERCICIO

Fíjense. Dibujo primero la función sen x. Eso ya lo sabemos hacer:

FUNCIÓN COS X

T= 2π

-1

0 π 2π

← f(x) = cos x a=1 1

-1

1

0 π/2 π 3π/2 2π

← Sen x

A partir de los gráficos de sen x y cos x, graficar la función sen ( x - π/2).


¿ Cómo hago para graficar sen (x- π/2) ?. Bueno, hay que acordarse de que si me dan el gráfico de una función f(x), el gráfico de la función f(x –a) será el mismo gráfico pero todo corrido para allá → en a. Esto mismo pasa con la función sen (x - π/2). El gráfico será el mismo pero corrido para allá → en π/2. Lo dibujo:

1

-1 Grafiquemos ahora cos (x + π). El gráfico será el de la función cos x pero corrido para allá ← en π. Eso da así: Grafiquemos ahora f(x) = sen (-x). Ahora hay que acordarse de que si me dan el gráfico de una función f(x), el gráfico de la función f(-x) será el mismo gráfico pero simétrico respecto del eje vertical. Es decir, la función se refleja en el eje y. La representación queda así:

Grafiquemos f(x)= - sen x. Ahora la función se ve reflejada sobre el eje x.

← f(x) = - sen (x)

π/2 π 3π/ 2 2π

← f(x) = sen (x - π/2)

π 2π ← F(x) = cos (x + π)

← F(X) = cos x

π/2 π

← f(x) = sen (-x)


Acá quiero que vean una cosa. La representación de las funciones sen (- x) y – sen x resultó ser la misma. Esto es importante que lo recuerden.

Sen (-x )= - Sen x.

Vamos a hacer lo mismo con la función coseno. Grafiquemos cos (-x) y – cos x.

Fíjense que la función cos (-x) me dio igual que cos x. Eso también es importante. Aprendanselo: Cos (-x) = Cos x Grafiquemos ahora esta otra función: f(x) = 2 sen x. ¿Qué diferencia tengo con sen x ? Bueno, lo que pasa ahora es que los valores máximos que antes eran 1 y – 1 ahora serán 2 y – 2. Es decir, ¿ qué cambió ? Cambió la amplitud. La función se estiró. Se alargó en sentido vertical. El gráfico queda así:

EJEMPLO: Graficar f(x) = cos x – 3.

El –3 lo que hace es bajarme la función en tres para abajo. Entonces me queda el mismo dibujito pero bajado en tres.

← f(x)= -cos x (Reflexión respecto del eje x)

← F(x) = cos (-x) (reflexión respecto del eje y)

a = 2

2

-2

← f(x)= 2 sen x

← f(X) = sen x


Es decir, cambió la imagen de la función. Im (cos x – 3) = [-2, -4].

Resumiendo todas estas posibilidades:

Sen (x + c) ← cambia la posición de los máximos y mínimos.

a Sen x ← cambia la amplitud y la imagen en el factor a.

Sen x + b ← sube o baja la función en b. Esto mismo pasa para la función cos x. Si me dan ahora la función sen (2x), el gráfico me queda así: Es decir, el factor 2 dentro me comprimió toda la función en este sentido → ←. Lo que pasó acá es que cambió el período de la función. La conclusión es que si tengo una función que es sen (bx) o cos (bx), el período de estas funciones será:

Es una función tal que uno mete el valor del seno del ángulo y ella da el ángulo. Es decir:

Sen x: [ℝ] → [-1,1]

Arc sen x: [-1,1] → [-π/2, π/2]

Por ejemplo, si me dicen que tengo un ángulo tal que su seno vale –1/2, quiere decir que ese ángulo vale –30°. ¿ Cómo calculé eso ?

FUNCIÓN ARCOSENO

tomo este intervalo para que sea biyectiva.

-3

π/2 π

← f(x) = cos x -3

← Período para las funciones de la forma sen (b x) o cos (b x)

T = 2 π/ b

Sen 2x Sen x


Rta: Bueno, preguntándoselo a la calculadora. Pongo: Piénselo así: tomemos la circunferencia trigonométrica. x1

El ángulo que obtuve es el valor x1 ( x1 = - 30° = - π/6). Ahora, ojo !. El otro ángulo que marqué con x2 también cumple lo pedido. Quiere decir que las soluciones de la ecuación sen x = 0,5 son: x1= -π/6 y x2 = 7π/6 (210°)

OTRO EJEMPLO: Calcular x tal que Cos x = 2.

Bueno, acá no hay solución. No existe ángulo tal que su coseno valga 2. El Coseno de un ángulo y el seno de un ángulo van siempre entre –1 y 1. Para hacer este tipo de ejercicio siempre tienen que dibujar la circunferencia trigonométrica y marcar los ángulos que correspondan. Me piden hallar x tal que Cos x = -√ 2/2 hago esto:

Las respuestas van a ser x1 = 135 ° (3π/4) y x2= -135° ( 5 π/4 ). Pregunto: ¿ Podría expresar el ángulo de –135° como 225° ? Sí, claro. Es lo mismo. ¿ Qué hace la calculadora ? Ella me da un único valor que está en el 1° o 4° cuadrante. Si quiero el otro valor lo tengo que sacar yo con el dibujito. Creo que se entiende no ?. Bueno, vamos a ver esto otro.

Chicos, qué era el arco seno ? Era la función inversa del seno ¿ si ? Se acuerdan?

- 0 . 5 INV SEN =

REPRESENTACIÓN DEL ARCO SENO Y ARCO COSENO

X2

- 0,5 - 0,5

2

2−

Para x1 y x2 cos x= -√2/2

X1

X2


Bueno, vamos a graficarla para ver qué forma tiene. Ahora, una cosa. Esto ya se los dije pero es importante. Cuando se habla de la inversa de una función, no quiere decir que haya que hacer “ 1 sobre la función”. A ver si me entienden. Si les piden graficar la función inversa del seno, tienen que graficar el arco seno, NO “ 1 / sen x ” ¿ estamos ?. Es decir:

Si F(x)= sen x

F-1(x)= Arco sen x ( y no 1/sen x )

Bueno, ¿cómo hago? Claro, tengo que trazarla bisectriz del 1° cuadrante (que es la recta y = x) ¿ y ahora ? Bien, por simetría respecto a esta recta, voy trazando la función inversa. Es decir:

En realidad el gráfico del arco seno va de – 1 a 1. En esa zona la función es biyectiva.

El arco sen x va del [-1,1] → [-π/2, π/2] Para graficar el arco cos, hago lo mismo. Trazo la recta y = x y razono por simetría. Si piensan un poco van a ver que les da así:

Che, ¿ Qué pasa ? ¿ Por qué charlan ? ¿ Qué es lo que no entienden ? Miren, tienen que estudiar y hacer los ejercicios de la guía. Con escuchar lo que yo digo no

π/2

π/2

← f(x)= cos x

f-1 (x)= arc cos x

π/2 π

← f(x)= sen x

Sen x

Arco Sen x

Recta y = x

( recta a 45º )


alcanza. Vienen acá, copian y después no hacen nada. Entonces, cuál es, loco ? Tienen que ES-TU-DI-AR !! Y si no entienden, pregunten. ¿Cuál ejercicio? ¿ El del péndulo ? ¿ Qué péndulo ? Ah, sí ! El ejercicio del péndulo que estaba en la guia del año pasado. Vamos a hacer ese, dicto: EJERCICIO: Un péndulo oscila de acuerdo a la ecuación S(t)= 5 sen 4πt ( S es la amplitud de la oscilación ). Se pide:

a) representar la función S(t). b) Calcular S para t=10 seg y para t=0.4 seg. c) Calcular el período. d) ¿cuándo la separación s es máxima?

Bueno, el problema acá es que es medio difícil de entender el enunciado. Tienen que saber algo de física. Explico. Lo que pasa es lo siguiente:

El péndulo va de un lado al otro. La posición de la pesa respecto de la vertical es la distancia S. El problema dice que la posición S viene dada por la expresión:

Ustedes no tienen porqué saber de dónde salió esa ecuación. Ellos dicen que viene dada por esa función y listo. S(la elongación) depende del tiempo siguiendo la función:

S(t)= 5 sen 4 π t (t en seg ; S en cm)

Eso es todo. Ahora, representamos esta ecuación. Ustedes no piensen que es un problema de péndulo. Sólo tienen que representar la función S(t) = 5 sen 4πt. Veamos. La amplitud de la función será el valor máximo que tome. Ese valor es a = 5. ¿Por qué? Bueno, porque el valor máximo que puede tomar el sen 4πt es 1. (el seno va siempre de –1 a 1 ). Habrá algún valor del tiempo que haga que el valor de sen 4πt valga 1. Busquemos ese valor: se tiene que cumplir que sen 4πt = 1, sí ? Entonces:

Sen 4πt = 1 ⇒ 4πt = 90°

Lo igualé a 90° porque sé que el seno de 90° es 1. ahora, ojo. Tengo que poner 90° en radianes. Noventa grados equivalen a π/2 radianes, o sea:

← esta es la amplitud de la oscilación

← este es el péndulo que oscila

5 (+)5 (-)

S(t) = 5 sen 4 πt


4πt = π/2 ⇒ 4t = 21

⇒ t(S= smax) = 1/8 seg

Conclusión: el péndulo alcanza la máxima separación de la vertical para t = 1/8 seg. ¿ Lo ven ? En realidad habrá instantes posteriores donde la función vuelva a tomar su valor máximo. Ya saben que el seno es una función periódica. También podría haber calculado la separación máxima pero para el otro lado. Es decir, para allá ←. Ahí el seno tendría que valer –1, es decir, el ángulo tendría que ser 270° (3π/2)

¿ cómo es la pregunta ? ¿ Cuánto vale ? ¿ Cuánto vale qué ? Ah, la separación ! Bueno, en el primer caso la separación será de 5 cm y en el 2do es de – 5 cm. Esas serán las amplitudes máximas de oscilación (que ocurrirán a los 1/8 y 3/8 seg., hagan la cuenta). ¿ Hasta acá está bien ? ¿ Voy rápido ?

Bueno, sigamos ¿ Cuánto vale S para t= 10 seg. ? Lo único que tengo que hacer es reemplazar t por 10 seg. y calcular S. Veamos.

S(10 seg.)= 5 cm. Sen (4 π 10 ) ← t = 10 seg.

S(10 seg.)= 5 cm x Sen 40π ⇒

S(10 seg.)= 5 cm Sen 20 [2π]

⇒ S(10 seg)= 0

Significa, a los 10 segundos el péndulo estará pasando exactamente por la vertical. El resultado es razonable. 20 por 2π significa: “la posición del péndulo después de 20 oscilaciones completas a partir del momento en que salió”. Eso significa que debe estar en el mismo lugar de donde salió. ¿ Y para S = 0,4 seg, qué pasa ? Bueno, probemos:

S(0.4 s)= 5 cm sen 4π 0.4 ←t= 0.4 s

⇒ S(0.4 s) = 5 cm sen 1.6 π

⇒ S(0.4 s) = 5 cm (-0.951)

⇒ S(0.4 s) = -4,75 cm

Esto significa que la posición de la pesa será de 4.75 cm pero para allá ←. Bueno, representemos ahora la función. Sé que tengo un bicho senoidal cuya amplitud es 5. También sé que S es máxima para t = 1/8 y 3/8 de segundo. Entonces el asunto debe dar algo así:


S (cm)

5

¿Qué era lo último que preguntaba el ejercicio? Ah, el período. Bueno, eso se ve en el dibujo. ¿ El período qué es ? Es el intervalo a partir del cual la función se repite otra vez con la misma forma. ¿Cuándo pasa eso? Miren el dibujo. Eso pasa después que la función corta por 2da vez al eje t. Si piensan un poco, verán que ese tiempo es t = 4/8 seg = 1/2 seg. Por lo tanto:

T= 0,5 seg. ← período.

No se asusten con problemas como este. Lean el enunciado, eso es todo. ¿Qué si los tomamos? Si, a veces tomamos cosas por el estilo.

Che, se pueden callar ? Gracias. Les voy a dictar otro tipo de ejercicio que a veces tomamos. Anoten:

Hallar todos los x que pertenecen a [0,2π] tales que sen x= ½ y cos x= 23

Fíjense. Acá me están pidiendo 2 cosas. Por un lado los x tales que se cumpla que el seno de x valga 0.5 y por otro lado los x tales que cos x sea 0.866. Lo que hay que buscar son las soluciones de la 1° ecuación y las de la 2da ecuación. La solución común a ambas va a ser el resultado pedido. Ahora, es lo mismo pedir soluciones de sen x = 0,5 que soluciones de arc sen 0,5 ? NO, no es lo mismo por lo siguiente. Miren el dibujo: En cambio la solución de arc sen 0,5 me da π/6. Es decir, una sola solución . ¿ entienden? Esto pasa porque para que la función arco sen x sea biyectiva tiene que ir entre –1 y 1 ¿ Se acuerdan ? Entonces las 2 soluciones de la ecuación

Las soluciones de Sen x= 0,5 son DOS

x1 = π/6 x2 = 5π/6

1/8 3/8 t(seg)

ACA

← S(T) = 5 Sen (4πT)


sen x = 1/2 son x1 = π/6 y x2 = 5π/6. Para cos x = √ (3/2) pasa lo mismo. Hago el dibujo y miro.

Entonces, ¿ qué soluciones coinciden ? Solamente x = π/6. ¿Es la única solución ? Si, es la única. Fíjense que seno y coseno son positivas solo en el 1er cuadrante, quiere decir que la solución va a estar ahí. ¿ Puedo sumarle 2 Kπ a la solución ? Rta: NO, no puedo porque me dicen que trabaje entre 0 y 2π. Hagamos este: Hallar los x tales que se cumpla que sen x = 1 y cos x = -1. ¿ Qué pasa acá ? Primero, el dibujito.

Entonces cuál es la solución ? Y bueno, no hay solución ! ¿ Por qué no hay ? Porque no hay coincidencia. X1 es 90° y x2 es 180°. De esto se tendrían que haber dado cuenta antes !! ¿ Por qué ? Porque siempre se tiene que cumplir que sen2 x + cos2 x sea igual a 1. ¿ y eso se cumple en este caso ? NO. Fíjense que no. Tengo:

(sen x)2 + (cos x)2 = ( 1 )2 + (- 1)2 = 2 !

⇒ no hay ángulo x que cumpla !

Hagamos otro: Graficar la función F(x) = 1 + cos x en [0, 5π]

Bueno, este es fácil. Ustedes conocen la gráfica de cos x, ¿ si ? Da así:

f(x) = cos x

Sen x = 1 ⇒ x1 = 90° (π/2)

Cos X = - 1 ⇒ x2 = 180°(π)

-1

1 x2

0,866

x1 = π/6 x2 = 11 π/6


¿ Y si le sumo 1 a la función cómo da ? Y bueno, tiene que quedar toda la función subida para arriba en 1. Es decir que da así:

¿ Qué cambió? A ver. ¿ Cambió la amplitud ? No, la amplitud sigue siendo 1. ¿ Cambió el período ? No, el período sigue siendo 2π. ¿Cuáles son los conjuntos de positividad y negatividad?. Bueno, busquemos primero los lugares donde la función se hace cero. Miren el dibujo. Eso pasa en π, 3π y 5π.

¿Y los conjuntos C+ y C- ? Bueno, C- NO HAY. La función no es negativa en ningún momento. Es toda positiva salvo en los lugares donde vale cero. Entonces queda así: ¿ Podría haber hallado los ceros analíticamente ? Sí se puede. Tendría que haber planteado la ecuación 1 + cos x = 0, es decir, cos x = - 1. ¿ Qué resultado me da esto ? Me da lo mismo: C0= { π, 3π, 5π }

Analicemos este otro ejercicio:

Graficar F(x) = 2 sen ( x – π/3 ) entre [ 0 y 5 π ]. Indicar los ceros y los conjuntos de positividad y negatividad.

Bueno, acá hay que acordarse lo siguiente: si me dan una función que tiene la forma y = a sen ( bx + c), entonces:

Amplitud = a Período = 2π/b Corrimiento = c

La amplitud es 2, el período es 2π/1 = 2π y el corrimiento es 60° (π/3) así →

π 2π 2

← f(x) = 1 + cos x

+ + +

π 2π

← 1 + cos x 2


Ahora falta agregarle a este gráfico un corrimiento de π/3 para allá →. Entonces:

Los conjuntos de positividad y negatividad quedan así:

C0= ceros de f= {π/3; 4π/3; 7π/3}

C+= { (π/3, 4π/3) U (7π/3, 10π/3)}

C-= {(0, π/3) U (4π/3, 7π/3)

Bueno, un último ejemplo. ¿ Qué pasa si me piden hallar los ceros y los conjuntos de positividad y negatividad de una función como cos2 x – cos x ? Supongamos el intervalo [0, 3π]. Acá hay algo que no vimos. Ustedes no saben graficar la función cos2 x. Entonces este ejercicio habrá que resolverlo analíticamente. Lo que hago es esto:

Tengo f(x) = cos2 x - cos x. Saco cos x factor común. Me queda:

F(x) = cos x (cos x – 1)

Si quiero buscar los ceros de esta función lo que tengo que hacer es igualar todo a cero. Entonces:

F(x) = 0 ⇒ cos x (cos x – 1) = 0

Ahora tengo 2 posibilidades:

Cos x = 0 o (cos x -1) = 0

← y = sen x

-1

-2 ← Y= 2 sen x

2

1

+ +

-

π + π/3

0 + π/3 2π + π/3


Los x que cumplan cualquiera de las dos condiciones serán los ceros de la función. Entonces: Cos x = 0 ⇒ x = π/2 o x = 3π/2 o x = π/2 + 2π

(cos x – 1) = 0 ⇒ cos x = 1

⇒ x = 0 o x = 0 + 2π

Puedo hacer la siguiente tablita:

(0, π/2) -

(π/2, 3π/2) +

(3π/2, 2π) -

(2π, 5π/2) -

(5π/2, 3π) +

Hagamos un gráfico aproximado :

Antes de pasar al tema siguiente, déjenme darles la definición de tangente que tienen que saberla. Se define función tangente de un ángulo α como: tg α = y/x o también: tg α = sen α/cos α. Nosotros no vamos a usar la tangente, pero por las dudas ténganlo. Ah ! Y también les dejo otras definiciones que tampoco vamos a usar, pero tenganlas anotadas

Cosec x = 1/ sen x, sec x = 1/cos x, cotg x = 1/ tg x. Y también recuerden esta fórmula: Sen2 x + Cos2 x = 1 Vamos ahora a resolver unos ejercicos que fueron tomados en parciales. En el examen el ejercicio de trigonométricas suele ser el último ( Nro 4 )

← Cómo es la forma exacta de la función no lo sé, pero el gráfico se debe parecer a esto.


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS - EJERCICIOS DE PARCIALES Tenemos la función f(x) = 5 cos (2x) + 1. Nos piden calcular los x para los que se cumple que f(x) = - 4. 5 cos (2x) + 1 = -4 5 cos (2x) = -5

cos (2x) = -1 Llamemos z = 2 x

Cos (z) = -1

De lo que conocemos de funciones trigonométricas esto ocurre cuando:

z =(2k + 1) ∏

2x = (2k + 1) ∏

2x = (2k + 1) ∏

x = (2k + 1) ∏/2

Rta: f(x) = - 4 cuando x = (2k + 1) ∏/2

Queremos ver cuándo se cumple que f(x) = - 1. Entonces planteamos:

4 sen (2x) – 3 = -1 → 4 sen (2x ) = -1 + 3 = 2

sen (2x) = 2/4 = 1/2

¿ El seno de qué angulo vale 1/2 ? Si lo hacemos con la calculadora, nos da π/6. Esto está bien, pero hay otro resultado que no aparece en la calculadora: 5π/6. Si querés, para ayudarte podés hacer la circunferencia trigonométrica. Entonces:

2x = 1/6 π + 2k π ó 2x = 5/6 π + 2k π x = 1/12 π + k π ó x = 5/12 π + k π

Probamos dándole valores enteros a k.

- Si k = 0 → x = 1/12 π ó x = 5/12 π → son soluciones válidas - Si k = 1 → x = 13/12 π ó x = 17/12 π → no pertenecen a (-π , π) - Si k = -1 → x = -11/12 π ó x = - 7/12 π → son soluciones válidas

Entonces, las soluciones válidas son: 11/12 π ; 5/12 π ; -11/12 π ; -7/12 π


Nos dan f(x) = 2 . sen (x + π/4) + 1. Tenemos que encontrar los ceros de esta función. Eso no es otra cosa que los valores de x para los que f(x) = 0. O sea hay que resolver esta ecuación:

f(x) = 2 . sen(x + π/4) + 1 = 0

⇒ sen (x + π/4) = - ½ ¿ Cómo se resuelve esto ? Bueno, esta ecuación tiene infinitas soluciones, porque las funciones trigonométricas como el seno son periódicas, o sea que cada tanto se repiten. En este caso el período es 2π, o sea que si encontramos una solución y le sumamos 2π también es solución. Tal vez te estás preguntando de donde saqué que el período es 2π. Bueno, en general el período de sen (A.x + B) se calcular como 2π/A. Como en este caso A = 1 ⇒ el período es 2π.

Ahora que sabemos cuánto es el período y podemos encontrar todas las soluciones sumando 2π a las que ya tenemos. Resolvamos esto en algún período que sea fácil, por ejemplo entre 0 y 2 pi ( o sea entre 0 y 360º ).

Ahora, ¿ El seno de qué ángulo vale –½ ? Hay dos: sen (7π/6) = sen (11 π/6) = - ½. O sea que x + π/4 = 7π/6 ⇒ x = 11 π / 12

x + π/4 = 11π/6 ⇒ x = 19 π / 12

Y listo, ahora con estas dos soluciones, podemos encontrar todas sumando múltiplos de 2π.

x = { …- 13 π/12 ; - 5 π/12 ; 11 π/12 ; 19 π/12 ; 35 π/12 ; 43 π/12 ; … }

Pero sólo nos piden las soluciones tales que x ∊ [0,2π]. Bueno, si nos fijamos, las únicas dos que están en ese intervalo son:

x = 11 π / 12 ; x = 19 π / 12

FIN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

Y = ex

Y

X

ASIMOV EXPONENCIALES - 128 -

Quiero que grafiquen la siguiente función: f(x) = 2x. Pregunto: ¿ Es función ? Piensen. A ver ?, sí, es función. Den valores y grafiquen.

Grafiquemos ahora otras parecidas. Por ejemplo (1/2)x y 3x:

El dominio de este tipo de funciones son los reales y la imagen es ℝ > 0, es decir Im f = (0, +∞). Anoten entonces: Llamamos funciones exponenciales a las funciones que tienen la forma: Al número a se lo llama base y es positivo. Lo tomamos siempre positivo por que si tuviera que elevar a la ½ (es decir, sacar raíz cuadrada) NO podría hacerlo para valores negativos de a. (por ejemplo, 2− NO EXISTE).

Suponemos también que a ≠ 1 porque sino siempre me daría 1 ( 13 = 1; 14 = 1; etc). Fíjense que cuando la base a es mayor que 1, la curva da así Es decir, será siempre creciente.

Si a < 1, la curva da al revés, es decir, todo el tiempo es decreciente. A su vez, cuanto más grande sea a, más rápido crecerá o decrecerá la función. A veces van a ver que aparece la función ex. El número e es un número irracional vale 2,7182..... etcétera.

FUNCIONES EXPONENCIALES

F(x) = ax ← FUNCIÓN EXPONENCIAL

1

f(x)= 3x (crece más rápido que 2x ) f(x)=(1/2)x (es como

2x pero al revés)

y 2

-1 1 x

f(x) = 2x


No es importante que se acuerden cuánto vale e con 7 decimales. Es importante que sepan que entre 2 y 3, de manera que el gráfico de ex va a dar así:

Vamos A graficar algunas funciones exponenciales, aplicando las cosas que ya vimos. A ver. Hagamos por ejemplo f(x)= 3 + ex.

El dominio son todos los reales y la imagen serán los reales mayores que 3. Es decir que Im f = (3 , +∞). Piensen: ¿Es biyectiva esta función ? ¿ Es o no es ? Si, es biyectiva. Grafiquemos ahora ex-2. Eso queda ex e-2 . ¿ Qué pasa ? e-2 es un número, de manera que es como si tuviera la función kex. Da así:

No corta en 1 porque el número e-2 (e-2 = 1/e2) vale 0,36... Las funciones expo-nenciales tienen siempre la forma ax. Todas las funciones exponenciales de este tipo cortan al eje vertical en 1. Eso es por que a0 siempre es 1. A ver esto: ¿ Qué les parece ? ¿ Son biyectivas las funciones exponenciales ? Bueno, así como están, no. Tengo que redefinir el codominio. Es decir, para poder tener la inversa de una función exponencial voy a tener que tomarla de ℝ → ℝ > 0

f(x) = ex + 3

Asíntota y = 3

e-2 x

y f(x)= ex-2

1

1

f(x) = ex


¿ La función exponencial qué hace ? Supongamos que tengo 2x . Yo le doy el expo-nente y ella me da el resultado. Lo que estoy buscando es una función tal que si yo le doy el resultado, ella me de el exponente. Esta función inversa se llama

LOGARITMO.

La función logaritmo va de ℝ > 0 → ℝ. Es decir, para 2x tengo lo siguiente:

Si 2 = 2x ⇒ x = 1

Si 4 = 2x ⇒ x = 2

Si 1/8 = 2x ⇒ x = -3.

Entonces, mis incógnitas son los exponentes. La función inversa de 2x será log2 x.

(se lee: logaritmo en base dos de x).

F(x) = 2x → F-1 (x) = log2x

Con f-1(x): ℝ > 0 → ℝ.

Fíjense que sólo puedo sacar logaritmo de números positivos. Eso pasa porque el dominio de la función logaritmo son sólo los reales positivos. Es decir, no puedo hacer la cuenta log2 (-3). ( Por ejemplo ). Eso es razonable. ¿ A qué número tengo que elevar el 2 para que me de –3 ? Claro, no existe.

Grafiquemos ahora la función logaritmo. Sabemos que es la inversa de la exponencial.

¿ sí?. Eso quiere decir que será simétrica respecto de la recta y = x. Hagámoslo.

Quiero que vean que el eje vertical es una asíntota de la función logaritmo.

Todas las funciones logaritmo en donde la base a sea mayor que 1 van a dar así:

FUNCIÓN LOGARITMO

2x

log2 x

1

1

← Recta y = x


¿ Qué pasa ahora si la base a es menor que 1 ? Bueno, va a dar al revés. ¿ Cómo eran las exponenciales cuya base a era menor que 1 ? Grafiquemos una exponencial con a < 1 y grafiquemos la función inversa.

En el parcial solemos tomar 4 ejercicios. Dos de esos suelen ser muy - muy parecidos a los de la guía. También a veces tomamos problemas. Miren los problemas que hay en la guía.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Ahora quiero que vean algunas propiedades del logaritmo: Supongamos que me piden calcular el loga ( ax ) ¿ Cuánto me va a dar esto? Bueno, piénsenlo. Tengo que elevar a a la x para obtener ax. Eso es razonable, por que en realidad estoy componiendo un función con su inversa. Al componer f(x) con f-1(x) siempre obtengo x. Es decir:

loga ( ax ) = x

También hay otra propiedad que quiero que vean:

a ( log

ax ) = x

Esto sépanlo. No hace falta ver ahora la demostración. Hay algunos ejercicios de la guía en los que se aplica esto. Vamos a ver qué pasa con el producto y la división. Si tengo dos números x e y se cumple que:

Loga (x.y)= loga (x) + loga (y)

Loga (x/y)= loga (x) – loga (y)

← representación de la función loga x con base a > 1

y

x

(1/3)x

Log 1/3x

1

1


Vamos a la potenciación: Si me dan x elevado a la r y tomo logaritmo, me queda:

Loga ( xr ) = r.loga x

Por ejemplo:

Loga(2.3) = Loga (2) + Loga (3)

Loga(2/3) = Loga (2) – Loga (3)

Loga (23) = 3. Loga (2)

LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO ( ln )

La calculadora trabaja en base 10 o en base e. Los logaritmos en base e se llaman logaritmos naturales o neperianos. e era ese número 2,7182....

¿se acuerdan?. Vamos a ver cómo se cambia de base. Les voy a dar la fórmula:

Por ejemplo. Supongamos que queremos calcular el log23 con la calculadora. Para eso hago la cuenta:

Eso quiere decir que si elevo 2 a la 1,58... voy a obtener 3. Usando la calculadora que trabaja con logaritmos en base 10 puedo conocer el logaritmo en base 2 de 3. Una cosa. Cada vez que usamos logaritmo en base 10 no ponemos la base. Es decir, no se pone log10 2. Se pone log 2. Ya se sobreentiende que es en base 10. Cuando use logaritmos en base e uso la abreviatura ln (logaritmo natural).

Ahora quiero que vean algunos ejemplos: EJERCICIO: Calcular los siguientes logaritmos.

1 ) log3 ( log3 (1/27)).

Hago: log3 ( log3 (1/27)) = log3 (log3 1 – log3 27 )

Para hacer esto apliqué logaritmo de un cociente. Me queda:

= log3 (0 – 3) = log3 (- 3 ) = NO EXISTE !

No existe por que no existen los logaritmos de números negativos.

2 ) Log2 ( log3 35 )

Log2 (log3 35) = log2 ( 5 log3 3 )=

axx

b

ba log

loglog = ← Fórmula para el cambio de base

...58.12log3log3log

10

102 ==


log2 5 = log 5/log 2 = 2,32

3) 4( log29 )

4( log29 )= (22) log

29 = 22 log

29 = 2 log

2( 81 )= 81.

Acá apliqué la propiedad que decía que a ( log

ax ) = x.

Ahora ¿ podría haber resuelto esto haciendo cuentas con la calculadora ? Si, como poder podría. Pero nosotros preferimos que lo hagan aplicando las propiedades.

4) logπ 1

¿ Y este cómo se hace ? Hay que pensar un poco. Bueno, a qué número tengo que elevar a π para que me de 1 ? Y claro, a la cero. Cualquier número elevado a la cero me da uno. Entonces:

logπ 1 = 0

Vamos a hacer algunos ejercicios de funciones exponenciales y logarítmicas

EJEMPLO:

El capital depositado en un banco aumenta de acuerdo con la siguiente función A(x) = P. erx

P es el capital puesto inicialmente. r es el interés anual, x es el tiempo transcurrido y A(x) es el dinero que uno recibe después de ese tiempo.

a) Supongamos que me dice que deposito $ 100 al 4 % anual y quiero saber cuánta plata después de dos años. Entonces tengo que hacer esta cuenta:

A( 2 años) = 100 . e0.04.2 = 108,32

⇒ A(2 años) = $ 108,32 ← dinero que uno recibe después de dos años.

b) Me piden qué plata inicial tendría que depositar para tener $ 100 después de 2 años ( también suponiendo r = 4/100). Entonces:

100= P .e0.04.2

⇒ 100 = P. 1,08

⇒ P = 92,31 ←dinero que hay que depositar inicialmente

c) Ahora piensen esto. Supongamos que me piden calcular cuánto tiempo tiene que pasar para que el monto inicial se triplique. Acá hay que usar logaritmos. Fíjense. Planteo esto: si inicialmente deposito un capital P, después tantos años tendré un capital de 3 P.


No hace falta trabajar con cifras como $ 100 y $ 300. Yo pongo P y 3 P. Entonces:

3 P = P. erx

⇒ 3 = e0,04 x

¿Qué hago ahora? ¿Cómo despejo x?. Y bueno, justamente. Me piden que calcule el exponente. ¿Cómo se hace eso? Rta.: con la función logaritmo. Fíjense. Tomo logaritmo a ambos lados de la igualdad:

Ln 3= ln e0,04 .x

⇒ ln 3 = 0,04 . x. ln e

⇒ ln 3 = 0,04 . x 1

⇒ x = ln 3/0,04

⇒ x = 27,46 años ←

FUNCIONES EXPONENCIALES - EJERCICIOS DE PARCIALES

4. Sea f(x) = -2 + ex-3. Calcular f-1(x), Dom f-1 e Im f-1

f(x) = - 2 + ex-3. Para calcular la inversa, despejamos la x

f(x) = y = -2 + ex-3

ex-3 = y + 2

→ x - 3 = ln (y + 2)

x = ln (y + 2) + 3 → cambiamos y por x y x por f-1 (x)

f-1 (x) = 3 + ln (x + 2)

Es una función logarítmica. Entonces, para calcular el dominio y la imagen hay que tener en cuenta un par de cosas:

- Dominio: el logaritmo se puede aplicar solamente a números positivos:

x + 2 > 0 → x > -2 → Dominio f-1 (x) = (-2 ; + ∞)

- Imagen: Como toda función logarítmica, su imagen es todos los reales. Imagen f-1 (x) = R = (-∞ ; +∞)

Tiempo que hay que depositar la plata para que el capital se triplique


Tenemos la función f(x) = 2 – ln (3x + 5). Para calcular el dominio hay que ver para qué valores de x esta cuenta se puede hacer y para cuáles no. El problema en este caso es que no se puede calcular el logarítmo cuando (3x + 5) < 0. Tenemos que pedir que todo esto sea positivo

(3x + 5) > 0 ⇒ x > -5/3.

El Dominio de f(x) es el intervalo (-5/3 ; +∞)

Ahora bien, tenemos que calcular la función inversa de f(x) o sea, haciendo uso de la notación f-1(x).

y = f(x) = 2 – ln (3x + 5)

Despejando x en función de y: y = 2 - ln ( 3 x + 5 )

⇒ y – 2 = - ln ( 3 x + 5 )

⇒ - y + 2 = ln ( 3 x + 5 )

⇒ e( -y +2) = 3 x + 5 Finalmente llegamos a que:

⇒ 1/3 [ e( -y +2) – 5 ] = x

Por lo tanto, f-1(y) = 1/3 [ e( -y +2) – 5 ]

Expresando f-1 en función de x:

f-1(x) = 1/3 [ e( -x+2) – 5 ]

Tenemos ( ) 37 += xxf y ( ) xxg ln= . Calcular g◦f (x) equivale a calcular g(f(x)). Esto es: ( )( ) ( ) ( ) ( )xhxxgxfg =+=+= 37ln37

El dominio de la función h(x) se obtiene considerando que el argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero: 037 >+x ⇒

73

−>x .


Luego tenemos: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−= ,

73xDomh

• Ahora buscamos los ceros de h(x) :

( ) ( ) 037ln =+= xxh ⇒ Tomo la exponencial a ambos lados porque se trata

de una función creciente: ( ) 037ln ee x =+

Entonces tenemos: 137 =+x ⇒ 72

−=x

• Ahora vemos los intervalos de positividad:

( ) ( ) 037ln >+= xxh ⇒ volviendo a tomar exponencial a ambos lados, llegamos a

137 >+x ⇒ 72

−>x

• Para el conjunto de negatividad:

( ) ( ) 037ln <+= xxh ⇒ 137 <+x ⇒ 72

−<x

Conclusión: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−= ,

73xDomh

Ceros de h (x): 72

−=x

Intervalo de positividad: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞− ,

72

Intervalo de negatividad: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−

72,

FIN FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

MATEMÁTICA PARA EL CBC PARTE 1

¿ Ves algo en este libro que no está bien explicado ? ¿ Encontraste algún error ? ¿ La notación que usé yo no es la que usa la cátedra ? Mandame un mail y lo corrijo. www.asimov.com.ar


MATEMÁTICA CERO Pag

2........Pasar de término - Despejar 4 Suma de fracciones 5 .......Distributiva - Factor común 6 Ecuación de la recta 10.......Ecuación cuadrática - Parábolas 13 Solución de una ecuación cuadrática 16.......Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

FUNCIONES

20........Funciones Crecientes y decrecientes. 30 Funciones Lineales 34.......Intervalos 36 Función módulo 37.......El caso del movimiento rectilíneo uniforme 38 Distancia entre 2 puntos 40.......Ejercicios de parciales


44……Funciones cuadráticas 46 Vértice de una parábola 47.......Recta tangente. 49 Conjunto de positividad 50.......Intersección entre una recta y una parábola. 54 Ejercicios de parciales

ÍNDICE

CONTINUIDAD - POLINOMIOS

58 Continuidad 60.......Teorema de Bolzano 63 Funciones polinómicas 68.......División de polinomios. Teorema del Resto 74 Ecuaciones bicuadráticas


76…...Composición de funciones 80 Cambio de escala. FUNCIÓN INVERSA - ASINTOTAS

84.......Función inversa 93 Asíntotas - Concepto de Límite

101..... Ejercicios de Parciales


106....... Funciones trigonométricas 107 Teorema de Pitágoras 109....... Representación de las funciones trigonométricas 111 Representación de las funciones sen x y cos x

115........Funciones arco seno y arco coseno 125 Ejercicios de parciales

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

128.......Función exponencial 130.......Función logaritmo. Propiedades 132 Logaritmo natural o neperiano 134...... Ejercicios de parciales


* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA Son los ejercicios de la guía resueltos y explicados. * PARCIALES RESUELTOS Son exámenes que fueron tomados el año pasado. Todos los ejercicios están explicados También hay parciales resueltos de años anteriores. * FINALES RESUELTOS Son exámenes que fueron tomados el año pasado. También hay finales resueltos de años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos * OTROS LIBROS DE ASIMOV:

* QUÍMICA PARA EL CBC

* FISICA PARA EL CBC

* BIOFISICA PARA EL CBC Tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.

- 1 -

DERIVADAS

Función Y = x2

Recta tangente a la función Y = x2

en el punto x = 1 ( Derivada )

y

X


Matemática para el CBC, Parte 2 - 2da. edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2010 116 p.; 21 x 27 cm. ISBN: 978-987-23534-4-5

Matemática para el CBC, Parte 2 - 2da ed. - Buenos Aires : Asimov, 2010 v. 2, 116 p. ; 20 x 27 cm. ISBN 978-987-23534-4-5 1. Matemática - Enseñanza. I. Título CDD 510.07 Fecha de catalogación: 20/MAYO/2007 © 2010 Editorial Asimov Derechos exclusivos Editorial asociada a la Cámara del Libro 2da edición. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en octubre de 2010 HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723 Prohibida su reproducción total o parcial IMPRESO EN ARGENTINA

MATEMATICA

PARA EL CBC

* DERIVADAS * INTEGRALES

PARTE 2

f(x)= x2- 4 x

g(x)= 2 x - 5

¿ Ves algo en este libro que no está bien explicado ? ¿ Encontraste algún error ? ¿ La notación que uso yo no es la que usa la cátedra ? Mandame un mail y lo corrijo.

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MATEMATICA PARA EL CBC

DERIVADAS e INTEGRALES

DERIVADAS : Derivadas por definición. Derivada del producto y del cociente. Derivada de composición de funciones. Regla de la cadena. Derivada de funciones inversas. Derivadas sucesivas. Crecimiento y decrecimiento. Puntos críticos. Máximos y mínimos. Puntos de Inflexión. Concavidad. Método de la derivada segunda. Ejercicios tomados en parciales INTEGRALES : Integral indefinida. Método de Sustitución. Integración por partes. Integral Definida. Regla de Barrow. Propiedades de la integral definida. Cálculo de Áreas. Ejercicios de parciales.

- PARTE 2 -

INDICE

La recta es el techo y la hipérbola es el piso ∫ −=

5

1)()( dxxgxfA

Pag

2 ....... DERIVADAS 7 Cálculo de derivadas por definición 9 .......Función derivada 11 Propiedades de las derivadas 14.......Derivada del producto y de la división 15 Tabla de derivadas 16....... Derivada de composición de funciones. Regla de la cadena 19 Velocidad 23.......Derivada de funciones inversas. 25 Derivadas sucesivas 25.......Crecimiento y decrecimiento. 27 Análisis de una función. Puntos críticos 27.......Máximos y mínimos. Puntos de Inflexión. Concavidad 34 Método de la derivada segunda 41...... EJERCICIOS DE PARCIALES

53 ...... INTEGRALES. 56 Integral indefinida. 58.......Integral indefinida de una función f(x) 59 Propiedades de la integral indefinida 61.......Método de Sustitución. 64 Integración por partes

70....... Integral Definida 70 Regla de Barrow 72.......Propiedades de la integral definida. 73 Cálculo de Áreas. 77.......Ejercicios de parciales. 97 Fórmulas útiles

Índice

OTROS APUNTES

ASIMOV * MATEMATICA - EJERCICIOS RESUELTOS Son los ejercicios de la guía resueltos y explicados. * PARCIALES RESUELTOS DE MATEMATICA Son exámenes que fueron tomados el año pasado. Todos los ejercicios están explicados También hay parciales resueltos de años anteriores. * FINALES RESUELTOS Son exámenes que fueron tomados el año pasado. También hay finales resueltos de años anteriores. Todos los ejercicios están explicados OTROS LIBROS DE ASIMOV:

* QUÍMICA PARA EL CBC * FISICA PARA EL CBC * BIOFISICA PARA EL CBC Estos libros tienen la explicación de lo que se da en clase pero hablado en castellano.

Temas que están en el libro 1:

FUNCIONES

ASIMOV DERIVADAS

- 2 -

DERIVADAS

Vamos a agarrar una función cualquiera f(x). Por ejemplo esta:

La recta que dibujé es la recta tg en el punto x0. Acuérdense que la recta tangente es una recta que toca a la función en un solo punto. Digamos que “roza” a la función. ¿Hasta acá me siguieron? Bien. Lo que buscamos es un método para determinar la recta tg a una función en un punto. Hacer esto se llama DERIVAR una función. Entonces anoten lo siguiente. Dicto:

DERIVAR UNA FUNCIÓN ES HALLAR LA RECTA TANGENTE A ESA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Vamos a buscar un método matemático para encontrar esto. A ver, a ver, pensemos. Supongamos que tomo una recta secante a la curva. Eso significa agarrar a una recta que corte a la función en 2 puntos. Si conozco los puntos… ¿ Puedo determinar la pendiente de esa recta ? Piensen Rta: Sí, puedo. Fíjense:

La pendiente de la recta secante la calculo hallando la tangente al triangulito que marqué: ady

op tg =α

ASIMOV DERIVADAS

- 3 -

Es decir: Bueno, con esto obtuve la recta SECANTE. ¡ Pero ojus ! Yo buscaba la recta TANGENTE, no la recta secante. ¿ Entonces qué hago ? Y bueno, voy achicando el intervalo h más y más. A medida que h se achica, la recta secante va a ir tendiendo a la recta tangente. Voy tomando h más chico y me queda lo siguiente: (miren bien este dibujo por favor) Es decir ¿Qué es lo que voy haciendo? Voy acercando el punto P al Punto P0. Cuánto más lo acerque, más cerca estoy de obtener la recta tangente. ¿ Cuándo tendré EXACTAMENTE la recta tangente ? ¡ Piensen ! Muy bien. En el límite cuando h tienda a cero. ¿ Lo ven ? ¿ Ven esto ? Pregunten si no entienden porque esto es importante. Entonces, esto de que en el límite cuando h es infinitamente chiquito me da la recta tangente, se escribe matemáticamente así: Pero la pendiente de la recta tg es la derivada de la función en ese punto. Entonces si me dan la función f(x), voy a llamar f’(x) (efe prima de equis ) a la derivada de la función. ( Es la misma letra f con una comita arriba ). Me queda:

h)f(xh)f(xlimm 00

0h

−+=

→

00

00

xh)(x)f(xh)f(x

adyop tg

−+−+

==⇒ α

h)f(xh)f(xlim)(xf 00

0h0−+

=′→

Definición de derivada de una función en un punto

h)f(xh)f(x)tg( m 00 −+

== α ← Pendiente de la recta secante

El punto p se va corriendo, acercándose al punto P0

ASIMOV DERIVADAS

- 4 -

¿ Hasta acá está bien ? Che, ¿ Voy muy rápido ? Pregunten, chicos estos conceptos son muy importantes. Todo lo que tienen que entender hasta ahora es que la derivada de una función en un punto x0 es un NÚMERO. 3, 5, 20000, lo que sea. Ese número es LA PENDIENTE DE LA RECTA EN ESE PUNTO. Si yo a ese número le saco el arco tangente, voy a tener QUÉ ? Bien. El ángulo que forma la recta tangente. Vamos a hacer algunos ejemplos de cómo se calcula la derivada de una función. CÁLCULO DE DERIVADAS

Vamos a tomar la función lineal. Supongamos que me dan la recta Grafiquémosla.

¿Cuál va a ser la derivada de esta función? Bueno, va a ser la pendiente de la recta. La pendiente de la recta es m = 2. Entonces:

¿ En qué punto de la función la pendiente vale 2 ? Rta: En TODOS los puntos. La recta tg a la función es la función misma, quiere decir que la pendiente es cualquier punto es siempre la misma. (Y vale 2) ¿ Hay preguntas sobre esto ? ¿ Lo ven ? ¿ Qué pasaría si la recta fuera horizontal ? Lo que quiero decir es esto. Miren el dibujo:

12xy +=

12xy +=

2(x)f12xf(x) Si =′⇒+=

α

ASIMOV DERIVADAS

- 5 -

¿Qué pasa acá? ¿Puedo derivar? ¿Cuánto vale la pendiente de la recta tangente? Bueno, vamos por partes ¿ Tiene pendiente la recta que grafiqué ? Rta: Sí, tiene. Vale cero. Es una recta horizontal de manera que no forma ángulo. m vale cero. Entonces la derivada de la función y = 5 ¿ Cuál va a ser ? Y bueno, CERO. Es decir:

Fíjense que estamos calculando derivadas sin aplicar ninguna fórmula. Sólo estamos analizando pendientes de rectas tangentes. Vamos ahora a este caso: ¿ Qué pasa si tengo una recta vertical ? ¿ Cuál será la pendiente ? ¿ Tiene pendiente esta recta ? Piensen ¿ Qué ángulo forma la recta ? 90°, ¿ Sí ? ¿Cuál será su pendiente? Bueno, la cosa es que esta recta no tiene pendiente. Es decir, la tg de 90° no existe. Podríamos decir que es infinita pero… quedemos en que no existe. Las rectas verticales NO TIENEN PENDIENTES. Entonces:

Vamos al último caso de las funciones lineales. Supongamos que la recta está inclinada pero va para abajo. Es decir, tengo una función del tipo Tengo esto: La pendiente de esta recta es -2. En cualquier punto de la recta tangente del ángulo que forma es -2. ¿Entonces cuánto va a vale la derivada de la función 1-2xy += . Bueno, -2. Esa es la derivada. Lo escribo:

Lo que quiero que vean es que la derivada de una función en un punto es un NÚMERO. Ese número puede ser +,- o cero.

∃=′⇒= (x)f4x Si

1-2xy +=

0(x)f5f(x) Si =′⇒=

-2(x)f1-2xf(x) Si =′⇒+=

1-2xf(x) +=

ASIMOV DERIVADAS

- 6 -

Si es positivo, las rectas tangentes irán así: Si es negativo, irán así: ¿Y si es cero? Si es cero serán rectas horizontales: Entonces, resumo todo esto en un dibujo: Ahora… ¿Toda función tiene derivada? Piensen ¿ A ver ? Fíjense la función módulo. ¿Se acuerdan de la función módulo ? Era así: ¿Cuál es la pendiente de la función en xo = 0 ? Bueno, ahí la función no tiene pendiente. No se puede hablar de la recta tg a la función módulo en el punto xo= 0 . No tiene sentido. Entonces: Pero ojo. La función no tiene derivada SÓLO EN ESE PUNTO. Del cero para allá → la pendiente es 1. La derivada de la función será 1. Ahora, del cero para allá: ← la pendiente es -. Vale -1. Resumiendo: Lo mismo pasa cuando me dan una función que no es continua. No se puede hablar de derivada de una función discontinua. Es decir, puede ser que en algunos puntos tenga derivada, pero en otros no. A ver si nos entendemos.

( )−=′ )(xf 2( )+=′ )(xf 0

0)(xf 1 =′

positiva es pendiente

la x En 0

nula es pendiente

la x En 1

negativa es pendiente

la x En 2

|x| f(x) =

∃==⇒= 0)(xf' |x|f(x) Si 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∃=−==

=0x para (x)f'0 ‹ x para 1(x)f'

0 › x para 1(x)f'|x|f(x) Si

Derivada de la función módulo

ASIMOV DERIVADAS

- 7 -

Miren: No puedo hablar de derivada de una función discontinua. Siempre vamos a sacar derivadas de funciones CON-TI-NUAS. CÁLCULO DE DERIVADAS POR DEFINICIÓN

Lo que vamos a hacer es lo siguiente. A mí me dan una función f(x). La pendiente de la recta secante entre 2 puntos x0 y x1 será: A esta cuenta se la llama cociente incremental. Cociente porque es un cociente (división) e incremental porque h se va incrementando (Aumenta o disminuye). El límite del cociente incremental cuando h tiende a cero, es la derivada de la función en el punto x0. Entonces lo que tengo que hacer… ¿ Qué es ? Plantear el cociente incremental y hallar el límite hache tendiendo a cero. Es decir: Por ejemplo, supongamos que me dan la función f(x)= 3x+2 . La derivada de esta función es f’(x)= 3. Hagámoslo según la fórmula y lo verificamos:

tangente? Recta

h)f(xh)f(xm 00 −+

=

h)f(xh)f(xlim)(xf' 00

0h0−+

=→

3h

3hlim)(xf'

h2-3x23h3xlim)(xf'

h2)(3x2h)3(xlim

h)f(xh)f(xlim)(xf'

0h0

00

0h0

00

0h

00

0h0

==⇒

−++=⇒

+−++=

−+=

→

→

→→

ASIMOV DERIVADAS

- 8 -

f'(x) = 3 ( Verifica ) La derivada de la función dio 3, es decir verificó. Fíjense que los términos con x0 se simplificaron. Eso pasa porque la pendiente de la recta (la derivada) es independiente del punto x0 que uno tome. Para cualquier x0 (1, -1, 0, 10, etc) la pendiente es siempre la misma y vale 3.

Hagamos este otro ejemplo:

CALCULAR LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN f(x) = 4 La función f(x) = 4 es una recta horizontal así: su pendiente vale cero y la derivada va a tener que dar cero. Veamos:

Hagamos otro ejemplo más difícil.

CALCULAR LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN f(x) = x2 en X0 = 2

Me están pidiendo que calcule la pendiente de la recta tg a la curva en el punto x0 = 2. Hago un dibujito para entender mejor: Planteo la formulita del límite del cociente incremental y hago las cuentas. Veamos:

Verifica0h

44limh

)f(xh)f(xlim)(xf'0h

00

0h0 ==−

=−+

=→→

( ) ( )

4(2)f'

4hlimh

4hhlim(2)f'

h2h4h2lim(2)f'

h2h)(2lim

hf(2)h)f(2lim(2)f'

0h0h

222

0h

22

0h0h

=⇒

+=+

=

⇒−++

=⇒

−+=

−+=

→→

→

→→

ASIMOV DERIVADAS

- 9 -

Quiere decir que la derivada de la función y= x2 en el punto x0= 2 es 4. ¿ Qué significa eso ? ¿ Entienden lo que significa ? Fíjense. 4 es la pendiente, ¿ Sí ? ¿ Eso lo ven ? Bueno, y.... ¿Y qué es la pendiente de la recta? Es la tangente del ángulo que forma. Entonces, si la pendiente me dio 4, ¿ Cuál será el ángulo que forma la recta tangente ? Muy simple. El ángulo me dio 76º. ¿ Qué es este ángulo ? Hagamos un dibujito : Si ustedes quieren lo pueden hacer dando valores a la función. Yo lo voy a hacer todo en forma cualitativa. O sea, sin dar valores. Miren : Quiere decir que el ángulo que forma la recta tg a la curva es de 76 grados. ¿ Está bien eso ? ¿ Cómo sé si está bien ? ¿Se les ocurre alguna manera de verificarlo? Bueno, yo les paso una manera. Grafiquen en su casa la función y = x2 con mucha precisión. Agarren una regla y tracen la tangente en el punto x0 = 2 ¿ Y ahora ? Bueno, ahora me consigo un transportador y mido el ángulo . Si lo hicieron bien ese ángulo tiene que dar aproximadamente 76 grados. ¿ Lo ven ? Así uno puede ir agarrando funciones y calcular la derivada por definición. A veces eso es fácil y a veces es difícil. Eso depende de la función que me toque. FUNCIÓN DERIVADA Fíjense ¿ Cuánto me dio la derivada de la función y = x2 en el punto x0 = 2 ? Rta: me dio 4 ¿ Y si cambio el punto x0 qué pasa ? Bueno, la derivada (= la pendiente) va a cambiar.

°=

⇒=⇒=

75,96

4 arctg 4tg Si

α

αα

α

VER ACA

ASIMOV DERIVADAS

- 10 -

Si yo hago la derivada de la función para un punto genérico x, lo que voy a obtener es la FUNCIÓN DERIVADA. Fíjense:

¿ Qué obtuve ? Obtuve una función que me va dando todo el tiempo el valor de la derivada. La derivada de la función y = x2 es 2x. Yo le pongo el valor de x y ella me da el valor de la pendiente. Es decir, por ejemplo, si x0= 0, f’(x0= 0)= 2 .0 = 0. ¿Está bien eso? Sí, está bien. En x0 = 0 una parábola tiene pendiente nula. ¿ Y si x0 = 1 ? Bueno, ¿Y si x0 = 2? Lo mismo. Lo mismo puedo hacer para otros valores de x0. 1, 10.000, 1 millón, lo que se me ocurra. Ahora, piensen: ¿ Podría tomar valores negativos ? (-1, -10, etc). Rta: Sí, podría. En ese caso la derivada daría negativa. ¿ Está bien eso ?

42.22)(xf' 0 ===

FUNCIÓN DERIVADA DE LA FUNCIÓN Y = X2

0x punto el tome yodóndesegún cambia pendiente La

22.11)(xf'2x(x)f' 0 ===⇒=

ASIMOV DERIVADAS

- 11 -

Sí, está bien. Miren el dibujo. De cero para allá las rectas tangentes van así: \ , es decir que su derivada tendrá que ser negativa. Ahora, pregunta: ¿ Para qué me sirve la función derivada ? O mejor dicho, cambiemos la pregunta. ¿ Qué es la función derivada ? Rta: Es una función tal que yo le pongo el punto x0 que yo quiera y ella me da la derivada de la función en ese punto. Esto viene bien porque así me ahorro ir calculando la derivada en cada punto. Yo calculo la derivada en forma genérica y listo. La función derivada es la función que me da la derivada en función de x. Por ejemplo, a ver, sin hacer cuentas díganme: ¿ Cuál va a ser la función derivada para la recta f(x) = mx + b ? Bueno, tiene que ser m, porque m es la pendiente de la recta.

¿ Y si la función fuera y= cte (por ejemplo, y = 5) ? Bueno, la derivada va a tener que ser cero porque son rectas horizontales:

De esta manera puedo ir haciendo una tabla de funciones y sus derivadas. Hasta ahora vimos sólo 3 funciones, pero eso se puede hacer para cualquier función que se les ocurra. Para las 3 funciones que vimos la tabla quedaría así

Función Derivada y = k y’ = 0

y = mx+b y’ = m y = x2 y’ = 2x

Van a ver que los libros tienen esta tabla hecha para un montón de funciones. PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

Estas propiedades las vamos a ver sin demostración.

ASIMOV DERIVADAS

- 12 -

1) La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. Es decir: 2) La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. Es decir: Hay más propiedades pero las vamos a ir viendo más adelante. Ahora quiero que apliquen esto en el siguiente ejercicio. Calcular la derivada de la función Y = 2 + 3 x + 5 x2

¿ Qué hago ? Bueno, puedo poner a la función Y = 2 + 3 x + 5 x2 de esta manera: Haciendo eso puedo derivar considerando que la función original f es una suma de 3 funciones. O sea: Ahora voy derivando casa función por separado y listo: Usando estas propiedades puedo ir derivando funciones choclazas sin tener que usar el límite del cociente incremental. Chicos, derivadas es un tema largo. Les pido que no se atrasen. Empiecen ya a hacer los ejercicios de la guía.

CÁLCULO DE DERIVADAS POR DEFINICIÓN

Quiero que vean un ejemplo más del cálculo de una derivada por definición. Tomemos la función f(x) = x3. Aplico la fórmula del límite del cociente incremental:

g'f'g)'(f +=+

( ) (x)a.f')x(a.f =

2321

321

5xf y3xf 2,f Con

fffy

===

++=

)'(5x(3x)'(2)'f'f'f'f'f'

)'ff(ff'ffff2

321

321321

++=⇒++=⇒

++==++=

10x3(x)f'

5.(2x)3.10f'

)'(5x(3x)'(2)'f' 2

+=⇒

++=⇒

++=

ASIMOV DERIVADAS

- 13 -

Ahora:

Entonces: Bueno. Saco h factor común y lo simplifico con el de abajo: Ahora hago cero los términos que tienen h y me queda: Derivada de la función f(x)= x3

Conclusión: La derivada de la función y = x3 es 3 x2 ¿ Siguieron este razonamiento ? Lo único que hice es aplicar la definición. Quiero que presten atención a lo siguiente. A ver: La derivada de la función x2 me dio 2x. La derivada de la función x3 me dio 3x2… ¿ Sí ? ¿ Cuánto me dará la derivada de la función x4 ? Bueno, habría que hacer toda la cuenta, pero da 4x3. Lo que quiero es generalizar esos resultados. Si me dan la función y= xm, ¿ Cuál será su derivada ? Y bueno, tendrá que ser m.xm-1. Es decir: Aplicando esta propiedad hagamos algunos ejemplos; derivar:

hxh)(xlim

hf(x)h)f(xlim(x)f'

33

0h0h

−+=

−+=

→→

32233

3222233

2223

h3xhh3xxh)(x

h2xhhxxhh2xxh)(x

)h2xhh)(x(x)hh)(x(xh)(x

+++=+⇒

+++++=+⇒

+++=++=+

hxh3xhh3xxlim(x)f'

33223

0h

−+++=

→

h)h3xhh(3xlim(x)f'

22

0h

++=

→

23x(x)f' =

1mm mx)(x −=

( )

( )x2

1y' x1

21y'x

21 y'

x21y'xyx y3)

x11)x(1).x(y'xy

x1 y2)

5xy'x y1)

21

21

121

21

221)1(1

45

=⇒=⇒=

⇒=→=→=

−=−=−=→=→=

=→=

−

−

−−−−

ASIMOV DERIVADAS

- 14 -

DERIVADA DEL PRODUCTO Y DE LA DIVISIÓN

La demostración de esto la pueden ver en algún libro por ahí. Yo no voy a hacer la demostración. No es el objetivo. La idea es que vayan entendiendo el método para derivar. ¿ Me siguen, che ? Esto sí anótenlo porque lo vamos a volver a usar:

Combinando todas estas propiedades se pueden resolver derivadas de funcio-nes choclazas. Por ejemplo, hagan estas:

Vamos a ver si sacan esta derivada:

Acá lo que hay que hacer es poner cada x a su potencia respectiva. Acuérdense que Entonces:

cociente un de Derivadag

f.g'f'.g'gf

producto del Derivadaf.g'f'.g(f.g)'

2 ←−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

←+=

( ) 25

112

71

27

1 x27(x)f'x

27(x)f'x(x)f 1) =⇒=⇒=

−

3 2

3

xxxf(x) =

.3132

1xx yx es x =

( )

⇒=⇒

=⇒=

⇒=⇒=⇒

===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−

66

617

1617

617

64

63

618

32

213

32

213

32

213

x617y'

x617y'xy

xyxy

.x.xxx.xxy

33

43

23

22

22

4x(x)f'x(x)fx.x.x(x)f 3)

26x(x)f'23.2x(x)f'

12x3x(x)f 2)

=⇒=⇒=

−=⇒−=

+−=

611

x617y'=

ASIMOV DERIVADAS

- 15 -

TABLA DE DERIVADAS

Vamos a hacer una tabla con todas las derivadas que vimos hasta ahora:

F F’

k 0 mx+b m

xm m.xm-1 Ahora les voy a dar las derivadas de otras funciones que van a tener que usar. Estas tienen que saberlas. Se las acuerdan de memoria y chau.

F F’ sen x cos x cos x -sen x ln x 1/x ex ex ax ax.ln a

Vamos a aplicar estas derivadas para calcular otras derivadas. Por ejemplo, calculemos la derivada de la tg x. Acuérdense que la tg x se puede poner como seno sobre coseno. Entonces: Ahora aplico la derivada de un cociente: Ahora, cos2x + sen2x es 1. Entonces reemplazo:

Hagamos ahora este ejercicio: Hallar la derivada de la función f(x) = x.ln x

'x cosx sen(x)y'

x cosx senx tgy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒==

xcosxsenxcosy'

x) (cosx) sen (- x sen-x x.cos cosy'

x) (cosx)' (cos x sen-x x)'.cos (sen

g'fg'f'gy'

2

22

2

2

+=⇒

=⇒

=−

=

xcos1y' 2= tangente la de Derivada ←

Función → ← Derivada de

esa función

ASIMOV DERIVADAS

- 16 -

Bueno, acá lo que tengo que hacer es la derivada de un producto. ¿ Lo ven ? Tengo el producto de 2 funciones que son x y ln x. Entonces hago: En base a este resultado que obtuvimos recién, quiero que calculen la derivada de la función: f(x)= x ln x - x. Veamos, me queda: pero (x ln x)’ es la derivada que hicimos recién, así que me queda Este resultado lo vamos a usar cuando veamos integrales. DERIVADA DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Supongamos que me dan para derivar la función h(x) = (x2 + 1)5. Puedo considerar esta función como composición de 2 funciones. Es decir, tomo f(x) = x5 y g(x) = x2 + 1. Entonces: Lo que puedo hacer ahora es lo siguiente. Todo lo que hay adentro del paréntesis lo pongo dentro de una caja. Me queda así:

h(x) = ( ) 5 Adentro de esta caja puede haber cualquier cosa Si tengo h(x) = x5 la derivada me da 5 x4

¿ Puedo hacer ahora h’(x) = ( 5)’= 5.( )4 ?

Rta: NO. No se puede hacer así, pero es parecido. Hay que hacer esto:

Es decir, voy a poner esto en forma general: Escrito en forma matemática me queda:

(x)'x)' ln (xx)'-x ln (x(x)f' −==

⇒+= 1-1x ln(x)f'

lnx(x)f' = x-x ln x función la de Derivada ←

522 1)(x1]f[xf[g(x)] +=+=

ver Esto )' .( 5(x)h' h(x) :Si 45 ←=⇒=

)' ( ). (f'(x)h') F(h(x) Si =⇒=

⇒= f[g(x)]h(x) Si (x)[g(x)].g'f'(x)h' = cadena la de Regla←

1x ln(x)f'

x1x.x 1.lnx)' x(lnx (x)'.lnf.g'f'.g(x)f'

+=⇒

+=+=+=

ASIMOV DERIVADAS

- 17 -

A esto se lo llama regla de la cadena o derivada de función de función. Para entender la regla de la cadena hay que hacer un par de ejercicios. Por ejemplo este: Derivar: Tengo Hagamos otro ejercicio aplicando la regla de la cadena: Derivar: Hagamos otro más. Derivar aplicando la regla de la cadena:

Bueno, primero voy a poner este choclazo a la ½ para verlo mejor.

2xxf(x) 3 +−=

:haciendo derivo Entonces f(x) 21

.=

2x1x- h(x)

26 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

( ) 2x)'x.(2x)x(21(x)f')' .( .

21(x)f' 32

13121

+−+−=⇒=−−

2xx223x-(x)f'

2)3x.(2x)x(

121(x)f'

3

2

2

21

3

+−

+=⇒

+−+−

=⇒

[ ] ⇒++−=

=⇒++=

21

32

2132

11)2x(h(x)

) (h(x)11)(-2xh(x)

[ ] ( )[ ]

[ ][ ]4x).(1)2x3(.

11)2x(21(x)h'

'112x.11)2x(

21(x)h'

22

2132

32121

32

−+−++−

=

++−++−= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

11)2x(1)6x.(-2x-(x)h'

11)2x(21)x(-4x)3.(-2(x)h'

32

22

32

22

++−

+=⇒

++−

+=⇒

ASIMOV DERIVADAS

- 18 -

Hagamos este otro: Derivar la siguiente expresión:

Acá queda el asunto así: Ahora, para hacer la derivada del paréntesis , lo hago como la derivada de un cociente:

( )( )

( )( )( )

( ) 221x-

1.x6x-.x1x-

(x)h'

221x-2

'x

1x-.x1x-2

(x)h'

26

256

21

26

66

++

−+=⇒

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

++=⇒

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 3

2

x1x cos h(x)

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⇒=

⇒=

'x

1x x

1x -sen(x)h'

)' ).( -sen((x)h'

) ( cos h(x)

3

2

3

2

.

3

2

x1x +

2gf.g'f'.g'

gf −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=⇒

+−=

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⇒

−−=

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⇒

4

2

3

2

6

22

6

24

3

2

6

244

6

223

3

2

x3x.

x1xsen(x)h'

x3)(xx

x3xx'

x1x

x3x3x2x

x1)3x(x2x.x'

x1x

'2

x1x-.2

x1x-

21(x)h'

26

121

26

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

−

( )( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

=⇒'

x1x-.x

1x-2.

221x-

121(x)h' 66

21

26

ASIMOV DERIVADAS

- 19 -

Hagamos este: Derivar h(x)

Lo que hay que darse cuenta acá es que en lo que tengo es . Entonces al derivar tengo que hacer: ¿ Van viendo cómo se hacen estos ejercicios ? ¿ Tienen dudas ? Es siempre lo mismo, chicos. Lo que tienen que saber bien son las reglas de derivación y la regla de la cadena. ¿ Los de derivada por definición ? ¿Si los tomamos en el parcial ? Bueno, no. Generalmente no. Al menos yo nunca vi que los tomaran. Derivada por definición es un tema que hay que darlo para que ustedes puedan ver qué es la derivada y de dónde sale. Esto es todo.

VELOCIDAD

Hay algunos ejercicios de la guía que piden calcular la velocidad de un móvil. Alguien dijo por ahí que hay que derivar la función que da el espacio recorrido. Eso está bien, pero quiero que vean de dónde sale. Supongamos que un auto viene moviéndose y la función que me da el espacio recorrido es:

S(t) = 3 t2 - 5 t + 2

¿ Qué es esta función? Bueno, grafiquémosla. Es una parábola, ¿ No es cierto ? Bueno ¿ Se acuerdan cómo se graficaba ? Debe dar una cosa así:

Es decir, yo meto un tiempo cualquiera en la ecuación y ella me da el espacio recorrido hasta ese momento. Supongamos que quiero saber la velocidad del móvil a los 4 segundos. ¿ Cómo hago eso ?

2x-e e

2x-

22x-

ee

.ee

2x.(x)h'

)'x.((x)h'

)' ()'(

−=

⇒−=⇒

=

25t-3tS(t) 2 +=

empleadoTiempo

recorridoEspacio

2x-e=

ASIMOV DERIVADAS

- 20 -

Bueno, ustedes saben que la velocidad se calcula como espacio recorrido dividido el tiempo empleado. ¿ Puedo hacer eso acá ? Rta: No, no puedo porque la velocidad es VARIABLE. Es decir, si la ecuación del movimiento de un auto es S(t) = 3 t2 - 5 t + 2 eso quiere decir que el auto se mueve con aceleración, o sea, va cada vez más rápido.

La cuenta: NO me da la velocidad a los 4 segundos. Miren el gráfico.

La cuenta S (5 seg) - S (4 seg) / 1 seg me da la velocidad MEDIA en ese intervalo. Yo estoy buscando la velocidad exactamente a los 4 segundos. En el gráfico se ve que la recta que tracé es la recta secante entre esos 2 puntos. ¿ Qué recta tendría que trazar para tener la velocidad exactamente en un instante determinado ? Bien. La recta tangente. Muy bien, y… ¿ En qué punto ? En t = 4 segundos, ¿ No es cierto ? Es decir, el gráfico quedaría así: Conclusión: Si me dan la ecuación de movimiento de un móvil S(t) ( espacio recorrido en función del tiempo ), la derivada de esta función me va a dar la velocidad. Por ejemplo, si me dicen que S(t) es:

S(t) = 3t2 - 5t + 2

seg 1seg) (4 Sseg) (5 S −

ASIMOV DERIVADAS

- 21 -

La velocidad será: V(t) = S’(t) = 6t - 5

Esta función V(t) (= S’(t)) = 6t - 5 es la función derivada, y me va dando todos los valores de la velocidad en función del tiempo. Si ahora yo quiero v justo a los 4 segundos, tengo que reemplazar t por 4 segundos, es decir:

V (4 seg ) = 6.4 - 5 = 19

Si la función s(t) venía dada en m y en segundos, la velocidad a los 4 segundos será de 19 m/s. ¿ Lo ven esto ? ¿ Se entendió ?

Vamos a ver este ejemplo.

Un auto se mueve según la ecuación S(t) = t3 + 2t2 - t. Calcular la velocidad en t = 1 seg. y en t = 2 seg.

Bueno, como me dan la función espacio recorrido en función del tiempo, la derivo y tengo la velocidad. Entonces: Entonces para t = 1 seg y para t = 2 seg voy a tener:

Ejercicios

Vamos a seguir derivando funciones. Hagamos este: Acá hay que aplicar la derivada de un cociente, pero primero hallemos las derivadas del numerador y del denominador: Busquemos

14t3tV(t)(t)S'

t-2ttS(t)2

23

−+==

⇒+=

sm6seg) (1 V

1s) 4(1s) 3(1seg) 1(tS'seg) V(1 2

=⇒

−+===

expresión esta Derivarf(x) xx

xx

eeee

←+−

= −

−

)'( xe−

.algoalgoalgo eee (algo)')'( ⇒=⇒

sm 19seg) (2 V

:segundos 2 a t para mismo lo Haciendo

=

=

ASIMOV DERIVADAS

- 22 -

Tengo

Acá lo que puedo hacer es distribuir el denominador y me queda:

No se puede reducir más el resultado.

Hagamos este otro ejemplo: Esta función la tengo que tomar como si fuera ln ( ). La derivada será:

2

xx

xx

eeee1(x)f' ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−= −

−

expresión estaDerivar ]1)(x[ lnf(x) 32 ←+=

1x6x(x)f'

1)(x.2x1)3(x(x)f'

]'1).[(x1)(x

1(x)f'

)' .( 1)' (ln(x)f'

2

32

22

3232

+=⇒

++

=⇒

++

=⇒

==

2xx

2xx2xx

2xx

xxxxxxxx

2xx

xxxxxxxx

2

)()()((x)f'

)())(())(((x)f'

)()')(()()'((x)f'

cociente) un de (derivadag

f.g'f'.g(x)f' Entonces

eeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

−

−−

−

−−−−

−

−−−−

+−−+

=

⇒+

−−−++=

⇒+

+−−+−=

−=

x-x-x- eee x)'()'( −=−=

ASIMOV DERIVADAS

- 23 -

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS

Con este método se pueden calcular las derivadas del arco seno y del arco coseno. ¿ Qué pasaba cuando yo tenía una función y la componía con su inversa ? Esa composición me daba x ¿ Se acuerdan ? Eso lo poníamos así:

Ahora lo que yo pregunto es lo siguiente : ¿ Qué pasa si trato de derivar esto ? Bueno, probemos. La derivada de x es 1 y la derivada de la composición es: Entonces me va a quedar:

Esta es la fórmula que usamos para derivar funciones inversas. Hagamos un ejemplo: Hallar la derivada de la función arc sen x

Bueno. Acá hay que pensar. Tengo una función f(x) que es sen x. Su derivada es f’(x) = cos x. También tengo su función inversa f-1(x) que es arc sen x. Lo que me están pidiendo es la derivada de f-1(x). Para calcularla uso la fórmula 1.

Entonces, va a ser:

Ahora, el cos (arc sen x) es siempre positivo. Supongo que se acuerdan que sen2 + cos2 = 1, ¿ No ? De acá despejo el cos . Reemplazando me queda:

α

(x)]'(x)].[f[f'

(x)][f 1-1-1- f'f =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

(x)]'[f-1

acá bien Verx) sen cos(arc1x)' sen (arc(x)]'[f 1-

←==

αα 2sen1 cos −=

x) sen (arcsen1x) sen (arc cos 2−=

1(x)]'(x)].[f[ff'

(x)''

(x)][f

1-1-

1-f

=⇒

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

1 (x)][f

1(x)]'[f1-

1-

f'=⇒

α α

acá bien Verx) sen (arc cos1x)' sen (arc(x)]'[f 1-

←==

x (x)][f 1-f =

ASIMOV DERIVADAS

- 24 -

Lo que hay que darse cuenta acá es que es el (seno del arco seno de x). A ver,,, ¿ Qué es ? Piensen. Seno y arco seno son funciones inversas ¿ Sí ? ¿ Entonces que obtengo si hago sen (arco sen x) o lo que es lo mismo, ? Claro, obtengo x. Entonces el choclazo [sen (arc sen x)]2 me da nada más y nada menos que x2. De manera que la expresión cos (arc sen x) vale . Reemplazando esto que obtuve en lo que tenía antes que era: De la misma manera se pueden halar las derivadas del arco coseno y del arco tangente.

(x)]'[f-1

2x-1

x seno arco del Derivadax1

1x)' sen (arc

:queda me

x) sen (arc cos1x)' sen (arc

2←

−=

=

ASIMOV DERIVADAS

- 25 -

DERIVADAS SUCESIVAS

Supongamos que me dan la función f(x) = 4x3 - 2x2 - x + 3. La derivo y obtengo:

f’(x) = 12 x2- 4x - 1

Esta es la derivada de la función. ¿ Puedo ahora a su vez derivar esta derivada ? Rta: Sí, puedo. Si hago eso lo que obtengo es la derivada SEGUNDA de la función. Lo ponemos así:→f’’(x). Entonces:

f’’(x) = 24 x - 4 ← Derivada 2da

¿ Puedo derivar a f’’ ? Sí, puedo y obtengo la derivada TERCERA. Me queda así:

f’’’(x) = 24 ← Derivada 3ra Lo que quiero que vean es que si a uno le dan una función, puede derivarla un montón de veces. Hacer esto se llama hallar las derivadas sucesivas de la función. ¿ Está ? No tiene nada de nuevo esto. Es derivar y volver a derivar. Si me piden la derivada 2da, derivo 2 veces. Si me piden fIV derivo 4 veces. Eso es todo. EJEMPLO DE DERIVADAS SUCESIVAS

Dada f(x) hallar f’(x), f’’(x) y f’’’(x). Así uno puede ir hallando todas las derivadas sucesivas que quiera.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Con esto de la derivada podemos saber cuándo una función crece y cuándo decrece. Fíjense, si la función crece, la pendiente tendrá que ser así: , es decir, la derivada será positiva. Cuando la función decrece tengo exactamente lo contrario: , es decir, la derivada será negativa.

Lo van a ver mejor en este dibujito:

x -cos(x)fx -sen(x)fx cos(x)fx senf(x) 3)

2x(x)f-1x(x)f)x(x1(x)fx lnf(x) 2)

0(x)f0(x)f1(x)fxf(x) 1)

321

=′′′→=′′→=′→=

=′′′→=′′→==′→=

=′′′→=′′→=′→=

−−−

ASIMOV DERIVADAS

- 26 -

Hagamos un ejemplo.

Estudiar las zonas de crecimiento y decrecimiento de la función ¿Qué hago? Bueno, busco la derivada y me fijo qué da: Veamos: ¿ Cómo sé cuándo esta ecuación cuadrática es + o – ? Bueno, esta es una parábola que va para arriba. ( El término cuadrático es positivo). Quiere decir que tomará valores negativos únicamente entre las 2 raíces. Aplicando la fórmula para la cuadrática calculo x1 y x2. Me da:

x1 = 1

x2 = 5

Quiere decir que la parábola tendrá esta forma:

Entonces, la función original será creciente en las zonas que marqué con + (derivada primera +) y decreciente en la zona que marqué con – ( Derivada 1ra negativa). En resumen, tengo:

25x3xx31f(x) 23 −+−=

56xx(x)f'

25x3xx31f(x)

2

23

+−=⇒

⇒−+−=

25x3xx31f(x) 23 −+−=

ASIMOV DERIVADAS

- 27 -

CRECIENTE en ( -∞ , 1 ) DECRECIENTE en ( 1 , 5 ) CRECIENTE EN ( 5 , +∞)

El gráfico de la función tendrá aproximadamente esta forma:

Esto que hicimos se llama hacer el análisis de la función. Para hacer el análisis completo faltaría dar la posición de los máximos y de los mínimos. Ya vamos a ver bien-bien esto más adelante. El análisis de una función es un tema impor-tante. Y se suele tomar bastante. Traten de entenderlo bien. Vamos a hacer otro ejemplo:

Estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = x4 - 4 x3 + 10. Hacer un gráfico aproximado y señalar la posición de los máximos y mínimos relativos.

Bueno, nos dan una función media rarófila… ¿ Qué hago ? Y bueno, derivo:

Esta es la derivada. Ahora tengo que igualarla a cero. Los puntos en donde la función sea cero son CANDIDATOS a ser máximos o mínimos. Digo "candida-tos" porque pueden no ser nada. A estos puntos los llamo puntos críticos. Acuérdense que no siempre en un punto crítico voy a tener un máximo o mínimo. Puedo no tener nada. Sería, por ejemplo, este caso:

25x3xx31f(x) 23 −+−=

34 104xxy ⇒+−=

1xx punto elen mínimo ni máximo

tengo no caso este En

=

23 12x4x y' −=⇒

ASIMOV DERIVADAS

- 28 -

Bueno, trabajemos con la derivada y fijémonos cuándo es + y cuándo es -. ¿ Cuáles son las raíces de esta ecuación ? Bueno, son x1 = 0 y x2 = 3. Ahí la función vale cero. Ahora, ¿ Cómo hago ahora para saber qué pasa en los puntos intermedios ? Rta: Tomo valores cualquiera y me fijo qué signo me da. Voy probando con la calculadora. La tabla queda así:

Intervalo Signo de f’ (-∞, 0) - (0, 3) -

(3, +∞) + Entonces donde la derivada 1ra me da -, tengo una región de decrecimiento. Donde la derivada da + tengo una región de crecimiento. Conclusión:

En (-∞, 0) la función DECRECE En ( 0, 3 ) la función DECRECE

En (3, +∞) la función CRECE Lo que quiero que vean acá es lo siguiente. ¿Qué pasa en el punto x = 0 ? ¿ Hay un máximo o un mínimo ? Bueno, en x = 0 no hay nada. Fíjense que entre (-∞ y 0) la función viene decreciendo y después de cruzar el cero la cosa sigue decreciendo quiere decir que voy a estar en este caso: Quiere decir que en x = 0 no tengo ni un máximo ni mínimo. Tengo un punto donde la curva cambia la concavidad. A estos puntos se los llama puntos de inflexión. Ahora, en x = 3 sí tengo un mínimo porque en ese punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Quiere decir que el gráfico aproximado de f será:

f12x4x(x)f' 33 ⇒−=

3)(x4x(x)f'104xxf(x)

2

34

−=

+−=

3)(x4x(x)f' 2 −=⇒

ASIMOV DERIVADAS

- 29 -

Les repito, chicos. Este es un tema importante. Tienen que saber bien este tipo de ejercicios que piden hacer el análisis de una función.

Vamos a hacer otro ejemplo de análisis de una función:

Hallar máximos, mínimos, asíntotas, crecimiento y decrecimiento

para la función . Hacer un gráfico aproximado.

Para buscar máximos o mínimos lo que hacemos es buscar los lugares donde la derivada vale cero o donde la derivada no existe. Esos puntos serán posi-bles CANDIDATOS a ser máximos o mínimos. Ojo, digo POSIBLES. No es seguro que ahí vaya a haber un máximo o un mínimo. Bien. Eso ya lo aclaramos antes. ¿ Se acuerdan ? Seguimos.

Vamos a ver 1ro el dominio de la función. ¿ Cuál es el dominio de f(x) = x3 + 3/x ? La función NO EXISTE en x = 0, por lo tanto:

El elemento cero no pertenece al dominio de la función. Busquemos ahora las asíntotas ¿ Se acuerdan cómo se hacía ? Tenía que tomar el límite para x tendiendo a los puntos críticos. De esa manera determinaba las asíntotas verticales. El único punto crítico es x = 0. Entonces:

Los límites me dieron +∞ y -∞. Eso significa que la función tiene una asíntota vertical en x = 0. Hasta acá vamos bien, ¿ No ? Bueno. Vamos a las asíntotas horizontales. ¿ Cuándo yo tenía una asíntota horizontal ? Era cuando los límites para daban un valor finito. Veamos:

104xxf(x) 34 +−=

x3xf(x) 3 +=

{0}f Dom −ℜ=

−∞=+

+∞=+

−→

+→

x3xlim

x3xlim

3

0x

3

0x

∞∞→ - yx

+∞=++∞→ x

3xlim 3

x

ASIMOV DERIVADAS

- 30 -

Los límites no dieron valores finitos → no voy a tener asíntotas horizontales. ¿ Cómo hago ahora para ver si hay máximos o mínimos ? Bien, busco la deriva-da y la igualo a cero. Entonces:

¿ Para qué valores de x es cero esta función ? A ver: ¿ Son estos los únicos candidatos a ser máximos o mínimos ? Rta: No. En x = 0 la derivada no existe, quiere decir que los posibles máximos o mínimos son:

x1 = 0 ó x2 = 1 ó x3 = -1 Tenemos que analizar entonces lo que pasa en estos 3 puntos. Para eso voy sacando los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La cosa es así: Donde la derivada sea + tendré a la función creciendo y donde la derivada dé negativa tendré a la función decreciendo. Me fijo entonces en qué puntos f’(x) es + o -. Sé que en x = 1 y en x = - 1 la función derivada vale cero. Eso quiere decir que entre esos dos puntos será positiva o que entre esos dos puntos será negativa. Doy un valor con la calculadora y me fijo: Por ejemplo:

22

22

1-3

3

x33x(x)f'

1)x3(3x(x)f'

3.xxf(x)

:poner puedo lo Estox3xf(x)

−=⇒

−+=⇒

+=

⇒+=

−

0x3 x3 2

2 ⇒=−

) Posibles( mínimo un omáximo unhaber puededonde puntos posibles

←

22

x33x(x)f' −=

) ( 8)3(-f' y) ( 8)3(f' +==+==

−∞=+−∞→ x

3xlim 3

x

-1x o 1x

1 x 4

==⇒

=⇒

33x

x3 x3 42

2 ===

ASIMOV DERIVADAS

- 31 -

Quiere decir que de 1 para allá: → y de - 1 para allá ← la derivada será positiva. O sea, la derivada será – entre 1 y - 1. Conclusión: la función decrece entre - 1 y 1 y crece en FUNCION. Es decir:

Intervalo Signo de f’ Conclusión (-∞, -1) + f crece (-1, 1) - f decrece (1, +∞) + f crece

Sabiendo los intervalos de crecimiento y decrecimiento ya puedo conocer los máximos y los mínimos. Por ejemplo, en x = - 1 la función pasa de crecer a decrecer, eso quiere decir que

En x = 1 la función pasa de decrecer a crecer, por lo tanto: X = 1 es MINIMO ¿ Qué pasa ahora en x = 0 ? ¿ Hay extremos ahí ? ¿ Eh ? Rta: No. No hay nada. En x = 0 la función no existe, de manera que los únicos puntos donde hay máximos o mínimos son 1 y - 1. Eso es todo sobre el análisis de esta función. Ahora tengo que dibujar el gráfico aproximado ¿ Cómo hago ? ¿ Voy dando valores con la calculadora ? Rta: No. No hace falta dar valores. Tengo la posición de los máximos, de los mínimos y las asíntotas. Entonces basándome en esto puedo hacer el gráfico. Justamente quiero que vean que este es el objetivo de este tipo de ejercicios. La idea es siempre la misma: hacer un análisis de función para poder tener una idea de la forma que tiene. El gráfico queda algo así. Miren:

x3xf(x) 3 +=

MÍNIMO

MÁXIMO

vertical asíntota

es y eje El

X = - 1 es MÁXIMO

ASIMOV DERIVADAS

- 32 -

¿ Preguntas ? ¿ Hay dudas ? Estos ejercicios son importantes, así que cualquier cosa que no entiendan, pregunten.

Bueno, vamos a otro ejemplo.

Ejercicio

Hallar el dominio, asíntotas y extremos para la función Hacer un gráfico aproximado.

¿ El dominio de esta función cuál va a ser ? Van a ser todos los valores donde no se anule el denominador ¿ Sí ? Bien. Busquemos esos valores: No existen valores de x que hagan que se anule el denominador. Quiere decir que el dominio de la función serán todos los reales. Tonces: ¿ Hay asíntotas ? Bueno, busquemos los límites: Va a haber asíntota. La función se hace asintótica al eje x para x tendiendo a ∞ y a -∞. Quiere decir que la asíntota horizontal va a ser y = 0 ← Asíntota horizontal. ¿ Asíntotas verticales va a haber ? Rta: No. No va a haber porque no hay puntos donde se anule el denominador. Busco ahora los máximos y los mínimos. Tendré máximos o mínimos en donde se anule la derivada o en donde la derivada no exista. Entonces, derivo e igualo a cero: ¿ Habrá lugares donde la derivada no existe ? Rta: No. El paréntesis x2 + 4 no se anula para ningún valor real de x. El numerador -32 x se anula en x = 0.

4x16f(x) 2 +

=

función la de Dominiof Dom ←ℜ=

04x

16 lim

04x

16 lim

2x

2x

=+

=+

−∞→

+∞→

122 4)16(x

4x16f(x) +=+

= −

∃=⇒

−=⇒=+

x

4x04x 22

22

22

4)(x32x-(x)f'

.(2x)4)1)(x16((x)f'

+=⇒

+−=⇒ −

ASIMOV DERIVADAS

- 33 -

¿ Conclusión ? X = 0 es posible máximo o mínimo.

Para ver si x = 0 es máximo o mínimo busco los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Veamos: En x = 0 tengo o un máximo o un mínimo. Quiere decir que tengo que probar con valores menores que cero y mayores que cero. La derivada era , entonces por ejemplo, si x = - 1, f’(x) = + Ahora, si x = 1, f’(x) = -, esto quiere decir que puedo hacer la siguiente tabla:

Intervalo Signo de f’ (-∞, 0) + f crece (0, +∞) - f decrece

Conclusión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento serán:

En (-∞, 0) la función crece

En (0, +∞) la función decrece Bueno, falta ahora saber si en x = 0 tengo un máximo o un mínimo. Bueno, eso no es difícil. Fíjense: Antes de llegar al cero la función venía creciendo, ¿ No es cierto ? ¿ Y después de pasar el cero ? Después de pasar el cero la función va decreciendo. ¿ Qué me dice esto ? Me dice que

X = 0 es un máximo

Ahora hago el gráfico aproximado de la función. Sé que y = 0 es una asíntota horizontal. También sé que a la izquierda del cero la función crece y a la derecha del cero la función decrece. Sé que x = 0 es un máximo. Quiere decir que la forma aproximada de la función será la siguiente:

X = 1 es MINIMO

¿ Lindo dio el gráfico, no ? ¿ Qué pasa ? ¿ No les gusta mi dibujito ? ¡ Bah, lo que pasa es que ustedes son unos amargados ! ¡ Sonrían ! ☺ ( risas ). Bueh, ¡ Ahora está mejor !

22 4)(x32x-(x)f'+

=

4x16f(x) 2 +

=

ASIMOV DERIVADAS

- 34 -

Bueno, ahora viene la conclusión de todo este tema. Y esa conclusión es la siguiente : ¿ Cómo hay que hacer para resolver los ejercicios que piden hacer el análisis de una función ? Bueno, hay que seguir estos pasos:

1) Dada la función me fijo cuál es el dominio buscando los puntos donde se anula el denominador.

2) Busco asíntotas horizontales y verticales (Hallando los límites) 3) Busco posibles extremos (máximos o mínimos) en los puntos donde se anula la derivada o donde la derivada no existe.

4) Hallo los intervalos de crecimiento y decrecimiento probando con puntos que estén a la izquierda y a la derecha del posible máximo o mínimo. Si en esos puntos la derivada es +, la función crece. Si en esos puntos la derivada es -, la función decrece.

5) Fijándome si la función cambia de creciente a decreciente o viceversa, resuelvo el asunto de si el posible extremo es un máximo o un mínimo. Eso es todo. Sigan estos pasos y no van a tener problema para resolver estos ejercicios. ¿ Alguna duda chicos ? ¿ Algo que quieran preguntar ? ¿ Están haciendo los ejercicios de la guía ? Mejor no pregunto, ¿ No ? MÉTODO DE LA DERIVADA SEGUNDA ( Para hallar máximos y mínimos )

Quiero que veamos hoy un nuevo método que facilita un poco todo esto de buscar los máximos y los mínimos de una función. Lo vamos a ver con un problema. Hay algunos problemas en la guía. Son problemas de máximos y mínimos. Les doy uno. Dicto:

Problema:

De todos los rectángulos de área A, encontrar el que tiene diagonal más corta.

Bueno ¿ Cómo se hace esto ? Rta: Y, hay que pensar. Vamos, no sean fiacas. Empecemos por hacer un dibujo. El rectángulo que tengo es este:

ASIMOV DERIVADAS

- 35 -

Fíjense que a los lados los llamé x e y ¿ Hasta acá está bien ? No hice nada nuevo. Sólo dibujé un rectángulo y le puse nombre a los lados. ¡ Vamos, no protesten, che ! Ahora, dicen que tiene superficie A. La superficie de un rectángulo es base por altura ¿Sí? A la base la llamé x y a la altura la llamé y. Quiere decir que la superficie será x por y. Entonces puedo poner que:

Ahora quiero saber cuánto mide la diagonal norte del rectángulo ¿ Qué hago ? ¿ Puedo aplicar pitágoras ? Sí, claro. Es lo que tengo que hacer. Me queda: Bueno, de la expresión del área despejo Y y me queda: Esto lo reemplazo con la expresión que me da lo que mide la diagonal. Entonces: ¡ Chicos, no se confundan por favor ! A es un número. 20, 50, 100, lo que sea. Se supone que es dato. Quiero decir, la única incógnita del problema es x. ¿ Estamos ? Entonces: la función que me da la longitud de la diagonal en función de x es: Si quiero saber cuando esta función tiene un máximo o un mínimo, ¿ Qué tengo que hacer ? Bien, la derivo y la igualo a cero. Está bien. Lo hago:

22

22

yxD

ladoladodiagonal

+=⇒

+=

xAyx.yA =⇒=

22

xAxD ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

222 xAxD −+=

A = x . y ← Área del rectángulo

( ) 21

21

222'

'

.xAxD' − ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

222 .xAxD −+=⇒

2

22

xAxD +=⇒

ASIMOV DERIVADAS

- 36 -

¿ Sí ? ¿ Hasta acá está bien ? Derivé el choclazo y me quedó eso. Ahora lo igualo a cero y despejo x:

¿ Me siguieron ? ¿ Qué es este valor de x que calculé ? Es el valor que hace que la derivada 1ra sea cero, es decir, un POSIBLE candidato a ser máximo o mínimo. Bien ¿ Cómo sé ahora si es un máximo o un mínimo ? Bueno, para resolver esto voy a usar el criterio de la derivada 2da. Quiero explicárselos. Lo que hay que hacer es derivar todo otra vez. Y bueno, hay que hacerlo. Ya sé que es pesado. Vamos. Tenía: Miren, lo voy a poner de otra forma para que sea más fácil derivar: Ahora tengo un producto y lo derivo con la derivada de un producto:

Este denominador existe porque x y A están al 2 (No pueden ser -)

AxAxAx

AxxxAx

0xAx

0xAx2

.x2A2xD'

4 224

23

32

32

222

32

+=⇒=⇒=⇒

=⇒=⇒

=−⇒

=+

−=

−−

−

−

−

222

32

xAx.xAxD'

−

−

+

−=

( )( ) 21

22232 xAx.xAxD' −−− +−=

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]3223

2223221

22242 x2A2xxAx21.xAxxAxx3A1 −−−−−−− −++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−++−−=

( )

( ) ( )

( )[ ]32222

22221

222

121

x2A2x.xAx2

1D'

'xAx.xAx21D'

' . 21D'

−

−

−−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−++

=⇒

++=⇒

=

( ) ⇒+= f.g'f'.g'f.g

( ) ( ) ( ) ( ) 21

2223221

22232'

xAx.xAxxAx'.xAx'D' −−−−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−=

ASIMOV DERIVADAS

- 37 -

¡ Uhhh ! ¡ Qué choclazo ! Ahora tendría que reemplazar en este coso por x = √A para ver si da + o -. Así es el método. Si f’’ da + es que tengo un MÍNIMO. Si da negativo tengo un MÁXIMO Bueno, ¿ Derivo ? No. No lo voy a hacer así. Es muy largo. Voy a usar otro método. Fíjense. Estoy buscando que la diagonal sea mínima. ¿ Es lo mismo que buscar que D2 sea mínima ? Sí, es lo mismo. Si yo encuentro el valor de x para el cual D2 es mínima, la función será mínima. Empiezo todo de nuevo. Tenía que la diagonal al 2 valía:

D2 = x2 + A2.x-2

Esta va a ser ahora la función f que tengo que derivar. Ahora igualo esto a CERO: ¿ Vieron ? Dio lo que mismo que antes. Ahora sí puedo hacer la derivada segunda. ¿ Que para qué quiero la derivada segunda ? ¿ Quién preguntó ? Bueno, repito, porque quiero enseñarlos otro método para saber si tengo máximo o mínimo basándome en el signo de la derivada segunda. Si da positiva tengo un mínimo. Si da negativa tengo un máximo. Es un método así. No voy a explicar de dónde sale. Creo que en la guía está. Bueno, tenía que f’ era: f’ = 2x - 2 A2x-3 ¿ Sí ?

Derivo otra vez y me queda: f’’ = 2 + 6 A2x-4 ¿ Sigo ?

Reemplazo por y me fijo si da positivo ó negativo. Tonces:

( )( )

3

2

32

2222

x2A2xf'

x2A2xf'

.xAxDf

−=⇒

−+=⇒

+=≡

−

−

Ax =

( ) ( )A6A2Ax'f' 4

2

+==

←+=⇒

=⇒=⇒

=⇒=⇒

=−⇒=

Ax

AxAx

Ax.xx

2A2x

0x

2A2x0f'

4 224

233

2

3

2

Valor donde hay un máximo o un mínimo

( )( )

A6A2A'f' 2

2

+=⇒

ASIMOV DERIVADAS

- 38 -

La derivada segunda dio positiva. ¿ Entonces qué tengo ? ¿ Un máximo o un mínimo ? Bueno, según el método tiene que ser un mínimo, ¿ Cierto ? Entonces… ¿ Qué verifiqué con esto ? Verifiqué que en la función que me da la longitud de la diagonal tiene un MÍNIMO. Bien, ahora piensen. Este es el valor de x ¿ Cuál será el valor de y ? Bueno, la relación era x.y = A. Como me queda:

Es decir, el rectángulo de diagonal más corta es un cuadrado de lado .

Hagamos este otro.

Se quiere construir una ventana que tenga la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo cuyo perímetro sea 12 m. Hallar las dimensiones que debe tener la ventana si se quiere que deje pasar la mayor cantidad de luz posible.

Bueno. Lo más complicado de este ejercicio es el enunciado. ¿ Entienden lo que dice ? Fíjense. Dice que es un rectángulo con un semicírculo. Eso es así: Esta es la forma que tiene la ventana. Ahora lo que tengo que hallar es el área de toda la cosa. La superficie total va a ser:

SUPERFICIE = SUP + SUP La superficie del rectángulo es base por altura, es decir, x.y. La superficie del semicírculo es π por radio al 2 sobre 2.

Entonces: Bueno, hasta acá estamos. Tengo la superficie. Ahora tengo que poner todo en función de x. Veamos. ¿ El radio cuánto vale ? El radio es la mitad de x . ¿ Sí ?. O sea Radio = x / 2

Me queda:

Ax =

Ax =

A

AyAAy. =⇒=

2r πx.ysup

2

+=

( )22

x/2πx.yS +=

( ) 8A'f' =⇒

( )22

x/2πx.yS +=

ASIMOV DERIVADAS

- 39 -

Bien. Ahora fíjense ¿ Cuánto vale y ? ¿ Tengo alguna manera de calcularla ? A ver, a ver. Dicen que el perímetro de toda la ventana tiene que ser 12. Hagamos un dibujito. El perímetro total de toda la cosa a va a ser:

Perímetro = Perím + Perím

Per = (y + x + y) + (2 π r/2)

El radio es igual a x/2 y todo el perímetro vale 12. Entonces: De acá puedo despejar y:

Ahora reemplazo esto en la expresión de la superficie. Tenía:

Esto queda:

Esto es el perímetro de toda la ventana

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⇒

−−=

x2πx12

21y

x2πx122y

2xπx2y12 ++=

2

2

x8πx

4π

2x6xS

x4π

2x6 ye x

8πx.yS

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⇒

−−=+=

+−−= x8πx

4π

2x6xS 22

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=⇒

8π

4πx

2x6xS 2

2

−−=⇒8πx

2x6xS 2

2

2.x8πx.yS +=⇒

ASIMOV DERIVADAS

- 40 -

Esta es la función que me da la superficie de la ventana. Ahora hay que entender lo que pide el enunciado. El enunciado dice: “que pase la mayor cantidad de luz posible” ¿ Qué significa esta frase ? Rta: Significa que quieren que la superficie de la ventana sea máxima. ¿ Entonces ? Entonces tengo que buscar el máximo de esta función.

La derivo y la igualo a cero: Bueno. Ahora bien ¿ Cómo verifico que en este valor tengo un máximo ? ¿Hago la derivada segunda ? Rta: No. No hace falta. Fíjense que la función es una parábola. ¿ Va para arriba o para abajo ? Bueno, tiene que ir para abajo porque el término cuadrático es - . Es decir que tengo algo así: Conclusión: La única posibilidad es que la función tenga un máximo. Reempla-zando el valor de x que obtuve en FUNCION saco el valor de y. El par de valores x e y son los que hacen que la superficie de la ventana sea máxima, o lo que es lo mismo, hacen que la cantidad de luz que entra por la cosa sea la mayor posible. Eso es todo con este ejercicio y con el tema de derivadas.

FIN TEORIA DE DERIVADAS

08π

212x-60S' :Ahora

8π

212x6S'

'

8π

21x6xS' 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

π424x

64π4x

04π4x60

4π1x6

+=⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⇒

Valor de x que hace máxima la superficie

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

8π

21x6x 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⇒

8π

21x6xS 2

- 41 -

Derivadas

Ejercicios Sacados de Parciales

ASIMOV EJERCICIOS

- 42 -

Ejercicio 1

Nos dicen que f(x) = x3 + 3x2 – 10 x + 2. Piden que calculemos los puntos donde la pendiente de la recta tangente 14. Pero… ¿ cómo se calcula la pendiente de la recta tangente ? Rta: Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto, es igual a la derivada de la función en ese punto. Entonces, lo primero que hay que hacer es encontrar f’(x). Para esto usamos que la derivada de xn es n.xn-1.

Tengo que f´(x) = 3x2 + 3.2x – 10. Igualo a 14 y averiguo x

Uso la fórmula para calcular las raíces de una ecuación cuadrática

3.2)24.(3.466 2 −−±−

=x

Rta: Los puntos donde la pendiente de la recta tangente es 14 son:

(2 , 14) y (- 4 , 14).

f(x) = x3 + 3 x2 – 10 x + 2

f’ (x) = 3.x2 + 3.2.x – 10

3.x2 + 3.2.x – 10 = 14

3.x2 + 3.2.x – 10 - 14 = 0

3.x2 + 3.2.x – 24 = 0

x = - 6 ± 18 6

x = 2 y x = - 4

ASIMOV EJERCICIOS

- 43 -

Ejercicio 2

Nos piden el estudio completo de la función 34

)(2

−=

xxxf . Bueno, vamos por partes:

- Dominio: Son todos los valores de x para los que podemos hacer la cuenta de f(x). Como no puedo dividir por cero tengo que pedir que 4 x – 3 ≠ 0, o sea que x ≠ ¾.

Así que - Asíntotas: Hay que fijarse si hay asíntotas verticales y horizontales. Los candidatos a asíntotas verticales son los puntos que no están en el dominio. En este caso x = 3/4. Entonces, calculamos el límite de la función en ese punto.

)(lim4

3xf

x→=

34lim

2

43 −→ x

xx

= ∞ ⇒ x = 3/4 es una asíntota vertical

Las asíntotas horizontales son más fáciles de calcular. Todo lo que hay que hacer es calcular el límite de f(x) en el infinito. Si nos da un número, es una A.H.:

)(lim xfx ∞→

= 34

lim2

−∞→ xx

x = ∞ ⇒ no hay asíntota horizontal

Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos tengo que derivar la función. Como hay una división uso la regla para derivar una división.

Sabemos que la función crece cuando su derivada es positiva, y decrece cuando

f’ (x) = 2x. (4x-3) - 4x2 (4x – 3)2

f’ (x) = 2. 4x2- 2.3x - 4x2 (4x – 3)2

f’ (x) = 8x2 - 4x2 - 6x (4x – 3)2

f’ (x) = 4x2 - 6x (4x – 3)2

{ } 43 IRDom −=

ASIMOV EJERCICIOS

- 44 -

f’(x) es negativa. Entonces, tenemos que ver el signo de f’(x) en todo el dominio. Lo que hacemos es ver donde no existe o vale cero (puntos críticos). Esto pasa cuando el denominador es cero (x = 3/4). Igualo a cero f’ y despejo x

Uso la fórmula para calcular las raíces de una ecuación cuadrática:

4.2

0.4.4)6()6( −−±−−=x

las soluciones son x = 3/2 y x = 0

- Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: La función crece cuando f’(x) es positiva, y decrece cuando es negativa. Entonces, tenemos que ver el signo de f’ en todo el dominio. Para eso, hay que ver donde se hacer cero y donde no existe (puntos críticos). Dividimos el dominio en intervalos y vemos el signo de f’ en cada uno probando con un número.

x (-∞.0) (0,3/4) (3/4,3/2) (3/4, ∞) f’(x) + - - +

Entonces, ya tenemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento:

Crec: (-∞ ; 0) ∪ (3/2 ; +∞) y Decr.: (0 ; 3/4) ∪ (3/4 ; 3/2 )

Ya sabemos cuando crece y cuando decrece f(x). Buscamos los máximos y mínimos . En x = 0, la función venía creciendo, y empieza a decrecer ⇒ x = 0 es un máximo En x = 3/2, pasa al revés ⇒ x = 3/2 es un mínimo de la función. Con lo que calculamos tenemos que el gráfico aproximado es:

f´(0)> 0

Asíntota vertical en x = 3/4

Máximo en x = 0

Mínimo en x= 3/2

x = 6 ± 6 8

4 x2 – 6 x = 0 . (4 x - 3)2 4x2 – 6x = 0

4x2 – 6x = 0 (4x – 3)2

ASIMOV EJERCICIOS

- 45 -

Tenemos la función f(x) = ln (4x2 + 3x + a) y queremos la pendiente de la recta tangente. Para averiguar esto hay que saber dos cosas: la pendiente de la recta tangente en un punto, es igual a la derivada de la función en ese punto. O sea: La pendiente de la recta tangente en x = - 1 es f´(- 1)

Primero calculo la derivada y después evalúo. Uso la regla de la cadena,

Evalúo en x=-1

Como me piden que la pendiente sea igual a 21− tengo que:

f’(-1) = - ½

5.2 = 1 + a ⇒ 10 -1 = a

a = 9

RTA: a tiene que valer 9 para que la recta tangente sea igual a - 1/2 en x = -1

f’(x) = 1 . (4x2 + 3x + a)’ 4x2 + 3x + a

f’(x) = 1 . (2.4x + 3) = 4x2 + 3x + a

= (8x + 3) 4x2 + 3x + a

f’ (x) =. (8(-1) + 3) . 4 (-1)2 + 3(-1) + a

f’ (x)= . (-5) . 1 + a

(-5) = -1/2 1 + a

⇒ (-5) = -1/2. (1 + a)

ASIMOV EJERCICIOS

- 46 -

Acá tenemos un ejercicio de estudio completo de una función. Parece ser un poco difícil, pero a no asustarse. La función que me dan es: f(x) = x. e1-8x^2

- Domino: esta cuenta se puede hacer para cualquier x, por lo tanto no hay problemas. Dominio = ℝ

- Asíntotas: no existen asíntotas en esta función.

Para buscar los máximos y mínimos derivo la función e igualo a cero. Uso la regla de la derivada de un producto

f’ (x) = 1.e1-8x^2 + (x.(e1-8x^2))’

y ahora uso la regla de la cadena para derivar lo que esta entre paréntesis

f’ (x) = 1.e1-8x^2 + x.(e1-8x^2). (-8.2.x)

f’ (x) = e1-8x^2 - x.(e1-8x^2). (16.x)

f’ (x) = e1-8x^2 - 16x2.(e1-8x^2) Igualo a cero y despejo

e1-8x^2 - 16x2.(e1-8x^2) = 0 Saco factor común

281 xe − e1-8x^2 . (1- 16x2) = 0

Y como e1-8x^2 no vale nunca cero, para que esa multiplicación dé cero, lo otro tiene que ser cero. Entonces: 1 – 16x2 = 0 1 = 16x2 1/16 = x2

41161 =⎯→⎯= xx Los puntos críticos son Como también tengo que calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Me conviene usar el criterio de la primera derivada. Calculo la derivada en los puntos a la derecha y a la izquierda de los puntos críticos

x (-∞.-1/4) (-1/4,1/4) (1/4, ∞) f’(x) - + -

x1 = ¼ x2 = ‐¼

ASIMOV EJERCICIOS

- 47 -

Por el criterio de la primer derivada x = 1/4 es máximo y x = - 1/4 es mínimo. Rta: El máximo se encuentra en x = 1/4 y el mínimo en x =- 1/4. Los intervalos de decrecimiento son (-∞ ; -1/4) y (1/4 ; +∞). El intervalo de crecimiento es (-1/4 ; 1/4)

Si la recta tangente es paralela al eje x entonces va a tener pendiente igual a cero. Como la derivada evaluada en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto, calculo la derivada e igualo a cero

( )′=′ +−− xxxexf 93 23

)( Uso la regla de la cadena

( )′+−−= +−− xxxe xxx 93. 2393 23

Derivo – x3 – 3x2+ 9x. Esta deriva da: –3x2 – 6 x+ x . Entonces

( )963.)( 293 23

+−−=′ +−− xxexf xxx

Busco x que cumpla que

( ) 0963. 293 23

=+−−+−− xxe xxx

En Nro e elevado a cualquier cosa nunca da cero. Entonces para que la multiplicación sea cero, el paréntesis tiene que valer cero. O sea:

f´(-1/2)<0 f´(1/2)<

-1/4 0 1/4

f´(0)> 0En f(1/4) hay un máximo

En f(-1/4) hay un mínimo

ASIMOV EJERCICIOS

- 48 -

–3 x2 – 6 x + x = 0 Busco las raíces

61446

)3.(29).3.(4)6()6( 2

−±

=−

−−−±−−=x

las raíces son x = -3 y x = 1

Rta: los puntos donde la tangente es paralela al eje x son 1 y –3

La función a la cual tenemos que hacer el estudio completo es: - Dominio: En el dominio no van a estar aquellos puntos donde (x + 4) = 0. Entonces necesito que x + 4 ≠ 0. Y el dominio me queda { }4−−= IRDom

- Asíntotas : En x = - 4 tengo una asíntota vertical.

- Máximos y mínimos: Ahora busco los máximos y mínimos viendo donde la derivada se anula,

Usé la regla de la derivada de la división

Busquemos los puntos donde la derivada no existe o vale cero:

- Cuando la derivada no existe: el denominador es 0, esto ocurre en x = - 4 - Cuando la derivada se anula:

( )24

251+

=⎯→⎯x

1. (x + 4)2 = 25 ( ) 54254 =+⎯→⎯=+⎯→⎯ xx

Saco el módulo y queda x + 4 = 5 ⇒ x = 5 - 4

f’ (x) = 1 + 0.(x + 4) – 25. 1 (x + 4)2

f’ (x) = 1 - 25 . (x + 4)2

1 - 25 = 0 (x + 4)2

( )425)(+

+=x

xxf

ASIMOV EJERCICIOS

- 49 -

X = 1

x + 4 = - 5 ⇒ x = - 5 - 4

X = - 9

Ya tengo los puntos críticos, dividimos el dominio en intervalos. En cada intervalo, podemos calcular el signo de f’(x) probando para algún valor.

x (-∞.-9) (-9,-4) (-4,1) (1, ∞) f’(x) + - - +

Donde f’ (x) es positiva, la función crece ⇒ Int. Crec. = ( -∞ , - 9 ) ∪ ( 1 , ∞ )

Y donde es negativa, la función decrece ⇒ Int. Decrec. =(- 9 ,- 4 ) ∪ (- 4 , 1) Ojo: - 4 no puede ser nunca ni un máximo ni un mínimo porque ahí la función no existe.

Y el gráfico aproximado me queda

Para poder encontrar el valor de k, lo primero que debemos hacer es buscar la derivada de la función. Vamos a tener que usar propiedades de la derivada para poder hacerlo: primero acordate que la derivada de una multiplicación es

f(x) . g(x) f(x)´g(x) + f(x) . g(x)´.

Y también tenemos que acordarnos de la regla de la cadena. Derivemos:

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += xx

xkxf

41ln5)(

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += xx

xkxx

xkxf

41ln5

41ln5)´(

41

41

5

41ln5)( 2

x

xxk

xxkxf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=′

ASIMOV EJERCICIOS

- 50 -

Simplificando este choclazo horrible, nos queda:

Ahora, nos dicen que “la pendiente de la recta tangente en x = 4 sea 3”. Esto significa que si evaluamos la derivada en x = 4, nos tiene que dar 3 (es decir, f´(4) = 3) Sabiendo esto podemos despejar k:

Como el logaritmo de 1 es cero, todo el primer término desaparece y la cosa se simplifica. Despejemos el valor de k y terminemos este ejercicio...

⇒ ← Nos dan la función 212

31)( ++=

xxxf y nos piden que hagamos un análisis completo

de la función (yo voy a hacer un poquito más de lo que piden así practicamos).

- Dominio.

Tenemos que fijarnos si existe algún valor de x en donde la función tenga problemas... fijate que si x = 0 el segundo término de la ecuación nos queda 12/0 y eso no puede ser. Por lo tanto x = 0 no pertenece al dominio.

⇒ Dom f(x) = { }0−ℜ

- Asíntotas. Primero veamos las AV: los valores de x que no pertenecen al dominio de la función son muy buenos candidatos para ser AV. Fijémosnos qué pasa con el límite de x tendiendo a cero:

Lim x→0 ∞=++ 21231

xx

k=-32

x

xxk

xxkxf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=′

5

41ln5)( 2

34

204/1ln516

)4( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=′

kkf

4204/3)4( +

==′kf

Este es el valor de k que hace que la derivada de f(x) en x = 4 sea 3

ASIMOV EJERCICIOS

- 51 -

∞=++ 21231

xx ⇒ Por lo tanto x = 0 es AV.

Ahora, miremos qué pasa cuando x tiende a infinito:

Limx→∞f(x) = ∞ ⇒ No existe AH

- Máximos y mínimos. Para encontrarlos tenemos que buscar los puntos críticos de la función ¿Cómo se hace eso?, Fácil, tenemos que ver cuándo la derivada de la función vale cero o no existe. Pero para eso, primero tenemos que saber cuál es la derivada. Busquemos f(x)´:

Fijate que la igual que f(x), f´(x) no está definida en x = 0 (no se puede dividir por cero!), esto significa que x = 0 es un punto crítico. Busquemos ahora cuándo la derivada se hace 0 (que son los posibles máximos y mínimos de nuestra función).

f(x)´= 0 ⇒ 01231

2 =−x

⇒ 2

1231

x= ⇒ |x|=6

Esto significa que en x=6 y x=-6 tenemos 2 puntos críticos. Para saber si son máximos o mínimos nos fijamos cuánto vale la derivada entre estos valores:

Las flechitas indican el sentido de crecimiento de la función. Cuando apuntan para arriba, significa que f(x) crece y cuando lo hacen para abajo, que decrece. Podemos ver que a la izquierda de –6 la función crece, y a la derecha decrece ⇒ -6 es un máximo. Lo contrario ocurre en 6: decrece a la izquierda y crece a la derecha ⇒ 6 es un mínimo.

Los intervalos nos quedan: Crec = (-∞,-6) ∪ (6,+∞)

y Decrec = (-6,0) ∪ (0,6)

Ahora con toda esta información podemos graficar (aproximadamente) la función que nos dieron. Es algo así:

-6 0 6

f´(-7)>0 f´(7)>0

f´(-2)< 0 f´(2)<0

Tiende a cero tiende a infinito

2

1231)(

xxf −=′

ASIMOV EJERCICIOS

- 52 -

Nos piden que busquemos el valor de la constante a para que la recta tangente en x = 1 tenga pendiente igual a –2 (es decir, f´(1) = -2). Para hacerlo tenemos que encontrar primero la derivada de la función. Usamos la regla de la cadena:

( )310ln)( axxf += ⇒ 3

2

103)(

axaxxf+

=′

Una vez que tenemos la derivada, y como nos piden que busquemos el valor de a que haga que f´(1) = - 2, podemos plantear:

3

2

11013)1(a

af+

=′ ⇒ a

af+

=−=′10

32)1(

( ) aa 3102 =+− ⇒ aa 3220 =−− ⇒ a520 =− ⇒

Ahora, simplemente despejamos el valor de a:

Y eso es todo lo que nos pedían.

y

-20 -10 0 10 20 3

-10

0

10

20

Máximo en x = -6

Mínimo en x = 6

Asíntota vertical en x = 0

a = - 4

- 53 -

TECHO PISO

ASIMOV INTEGRALES

- 54 -

INTEGRALES - TEORÍA Y EJEMPLOS

Este el último tema de esta materia. Aprender esto te va a ayudar a calcular áreas de figuras o areas bajo curvas. Algunas ya las conocés. Por ejemplo, un rectángulo que tiene superficie = Base x altura. Otras áreas son más difíciles de calcular, como por ejemplo : La derivada de una función en un punto x = a del dominio es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto del plano (a; f(a)). Este dibujito que hago ahora es gráfico que habíamos hecho para mostrar la recta tangente a una función en un punto. ( O sea, la derivada de f(x) en x = a ). La integral de una función también tiene un significado geométrico. La integral de una función va a ser el área que encierra el gráfico de la función. Hay una relación entre derivar e integrar que les voy a explicar después Veamos un gráfico para ver qué quiere decir “la integral de la función f(x) en el intervalo [a; b] ”. Miren bien esto, che :

ASIMOV INTEGRALES

- 55 -

Lo ponemos así : Mientras la función f(x) sea positiva la integral representará el valor del área encerrada entre esos 4 bordes. Por ejemplo: Supongamos que f(x) = 5 ( Recta constante = 5 ). La Integral entre a = 1 y b = 4 quedaría:

Se escribiría y se lee “la integral entre 1 y 4 de la función f(x) = 5 ”. En este caso el área de la región sombreada es un rectángulo de base 3 y altura 5 Calculé el área con la fórmula base x altura. Pero no siempre va a ser fácil calcular el área encerrada por la función. Vamos a generalizar el cálculo de áreas a través de las integrales. Entonces vamos a definir las integrales Empecemos. Este proceso de tres etapas formado por:

∫4

1dx 5

AREA ENCERRADA BAJO LA CURVA

El área sombreada está marcada por los bordes x = a, x = b, el eje equis y la curva de la función f de equis

ACÁ LOS BORDES SON

ASIMOV INTEGRALES

- 56 -

Entonces vamos a la primera etapa: la integral indefinida y los métodos de integración. Ahora presten atención porque esto lo tienen que saber bien .

1 - INTEGRAL INDEFINIDA

Definición: Dada una función f(x) vamos a llamar primitiva de f(x) a cualquier función g(x) con la siguiente propiedad:

g’(x) = f(x)

Es decir que si derivamos la g(x), obtenemos la función original f(x). Por ejemplo: Dada f(x) = 2 x → Una primitiva de f es g(x) = x2 porque También, dada f(x) = cos x → Una primitiva de f(x) es g(x) = sen x porque ¿ Está claro ? ¿ Lo ven ? Supongo que ya habrán escuchado por ahí que buscar una primitiva de una función f(x) es lo contrario que derivar. O sea:

{ {f(x)2.x

(x)g')'(x2

==

32143421f(x)cosx

(x)g'x)' (sen

==

ASIMOV INTEGRALES

- 57 -

Entonces: Buscar una primitiva de una función f(x) es buscar otra función g(x) tal que si la derivo obtengo la original f(x): g’(x) = f(x) Ahora… ¿Qué pasa si alguien nos dice que g(x) = x2 + 12 es una primitiva de f(x) = 2x ? ¿ Tiene o no razón ? Veamos: → Tiene razón… ¿ Y si nos dice que x2 + 7 es una primitiva de 2x ? Podés verificar, derivando (x2+7) que también cumple. Entonces: Cada función f(x) que nos den tiene infinitas primitivas, tantas como constantes diferentes se nos ocurra sumarles

Para abarcar todas esas respuestas podemos poner una constante C que se llama constante de integración. PRIMITIVAS DE f(x) = 2.x son g(x) = x2 + C con PRIMITIVAS DE f(x) = cos x son g(x)= sen x + C con Si buscar primitivas es lo contrario que derivar, acá surge otra diferencia entre buscar primitivas y derivadas porque derivada de una función HAY UNA SOLA. Pero primitivas de una función HAY INFINITAS

{ { f(x)(x)g' f(x) de primitiva es g(x) =⇔

( ) 2.x'12x 2x de primitiva es 12x 22 =+⇔+43421

cierto! Es¡

2.x02.x =+

321 ℜ∈c

876ℜ∈c

Cualquier real

ASIMOV INTEGRALES

- 58 -

En nuestro caso: Ya estás en condiciones de hacer los primeros ejercicios de la guía de trabajos prácticos. Vamos a un ejemplo: hallar una g(x) tal que g’(x) = 3 Tengo g’(x) = 3 y busco una g(x) tal que su derivada sea g’(x) = 3, busco una primitiva de “3”, una antiderivada. Pero sabemos que g(x) = 3 + C con también cumple que: g’(x) = 3 ya que cualquier constante que sume o reste, desaparece al derivar.

Vamos a este otro ejemplo :

¿ Cuál es la función g(x) tal que su derivada es g’(x) = x2 ? Y como sumando cualquier constante sigue valiendo

Primitivas de g’(x) = x2 son g(x) = 1/3.x3 + C Definamos ahora la Integral indefinida de una función: INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN f(x)

∫f(x) dx= g(x) si ocurre que g’(x)= f(x) Se lee: “La integral de f(x) es g(x)” O sea, integrar f(x) es hallar una g(x) tal que g’(x) = f(x)

ℜ∈c

ASIMOV INTEGRALES

- 59 -

Entonces aprendete bien que las siguientes frases: ¡¡ Son todas la misma frase !! Vamos a este ejercicio: Calcular las siguientes integrales La integral de x2 es 1/3.x3 + C porque si derivo esta respuesta, obtengo la x2 original” como cuando buscábamos primitivas… Ya que “integrar” es buscar primitivas. PROPIEDADES: a)

.integrales las de restasuma

la esrestasuma

una de integral la sea, O

dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) ∫∫∫ ±=±

ASIMOV INTEGRALES

- 60 -

Por ejemplo, resolver: Otra propiedad:

b) O sea, vale “apartar” las constantes que multiplican. Por ejemplo: Las propiedades de las integrales son muy parecidas a las de las derivadas. Eso es porque al integrar uno hace “la operación contraria” que al derivar. Ejercicio calcular la integral:

∫∫∫ ±=+ dx xdx 2xdx x2x 55

ℜ∈= ∫∫ k si dx f(x)k.dx k.g(x)

ASIMOV INTEGRALES

- 61 -

Y fijate que si derivás el resultado te dará la función original Con todo lo visto hasta ahora podemos construirnos la siguiente tabla de integrales (o primitivas, o antiderivadas)

f(x) ∫ f(x) dx xn

x-1 ln|x|+C ex ex+C

Sen x -cos x + C Cos x Sen x + C

Tang x + C

f(x) + g(x) ∫f(x) dx +∫g(x) dx k. f(x) k. ∫f(x) dx

Los resultados de esta tabla se suelen llamar Integrales inmediatas Hay otros ejercicios más difíciles para las cuales hay que aprender dos métodos que ayudan a resolverlos. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Se basa en una aplicación de la regla de la cadena para derivada de funciones compuestas, pero la explicación prefiero hacerla sobre un ejemplo: La idea de este método fue buena porque estamos cerca de ∫sen x dx.

( )1n −≠ C.x1n

1 1n ++

+

xcos1

2

ASIMOV INTEGRALES

- 62 -

Esta integral está en la tabla. Propongo hacer una sustitución ( Y de allí el nombre de " Método de sustitución " ). Hago : u = 3x. Fijensé : Con el reemplazo el asunto queda:

Otro ejercicio: Hallar la Integral

Reemplazo en la integral original:

ASIMOV INTEGRALES

- 63 -

Atención: Si al hacer una sustitución no se reemplaza o simplifica toda la variable “x” y aparece sólo la nueva variable “u”… ¡¡¡ No sirve !!! ¡ Jamás, después de hacer una sustitución pueden quedar conviviendo la vieja variable con la nueva ! Si eso te ocurre es porque están usando mal el método o porque este método no servía para este ejercicio.

Otro: Resolver la Integral:

¿ Estamos ? En breve, el método de sustitución consiste en:

1) Proponer la sustitución u = algo con x 2) Derivando a ambos lados, despejar dx = algo con du 3) Reemplazar en el enunciado lo de 1 y 2 rezando para que desaparezca

todo lo que tenía “x” y sólo aparezcan términos con la nueva variable “u” (Si no lo lográs, intentá otro camino PERO NO SIGAS)

ASIMOV INTEGRALES

- 64 -

4) Resolver la nueva integral con “u” 5) A la primitiva ya hallada, volver a poner lo que corresponda con “x”

donde decía “u” (según sustitución del punto 1) No todo ejercicio sale con este método, por eso también tenés que saber el método de integración por partes. Vamos. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES:

Este método está basado en la propiedad de la derivada de un producto entre funciones. Sirve para hallar integrales de un producto. Dice:

∫u’.v dx = u.v - ∫u.v’ dx

Es decir que la integral del producto u’.v si bien no la resuelvo en un paso, la cambio por

u.v -∫u.v’ dx

Esperando que la nueva integral que se formó sí sea fácil así la puedo resolver un paso más adelante. Miren este ejemplo: Resolver la integral : ∫ x . cos x dx

ASIMOV INTEGRALES

- 65 -

Lo complicado en estos ejercicios es saber elegir quién hace de v y quién hace de u’. Practiquemos a ver si le encontramos la lógica: Resolver la integral : ∫ x2

. sen x dx Pero si la comparamos con el enunciado original está más fácil porque el ejercicio decía

Si volvemos a aplicar el método de partes a esta nueva integral, caerá el grado del polinomio a grado 0 (¡ Constante real !). Ahí saldrá la primitiva. O sea: Este choclin queda :

ASIMOV INTEGRALES

- 66 -

Toda la ciencia en el método de integración por partes radica en cómo elegimos quién es u’ y quién es v. Acá van unas pistas. Si el ejercicio dice: Así cuando usás la fórmula de integración por partes, aparece el polinomio derivado (v’) que, como tiene un grado menos (ya que al derivarlo se le resta 1 al exponente), te quedará una nueva integral más fácil de resolver. Aunque quizás, como recién ocurrió, haya que usar varias veces el método. Resolver la integral : ∫ ( x2 + 3x ) . ( x + 2 )-5 dx

( )

Integro!u' )'(polinomiov'

u' yDerivo! polinomiov elegí

.dx

otra uricatrigonométalogarítmiclexponencia

.polinomio

OtraLogExpTrig

=⇒=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫

ASIMOV INTEGRALES

- 67 -

ASIMOV INTEGRALES

- 68 -

Resultado lindo, ¿ No ? Lo importante es ver cómo se actúa ante un ejercicio de este tipo, con prolijidad y tratando siempre de no perderse en cada paso respecto de lo que estás haciendo y a qué apuntás.

Regla útil: Elijo v = (polinomio); u’ = (La otra). En el 99 % de los casos sale Otra ayuda útil es: Elegir como u’ aquella cuya primitiva u sea más fácil de obtener y la otra será v Ejemplo: Integrar ∫ eX

. sen x dx

Aplico de nuevo el método de partes. Elijo :

( ) dx funciónotra

polinomio x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫

( ) ( ) dx ricatrigonomét xpolinomio∫

VER

ASIMOV INTEGRALES

- 69 -

Se me formó de nuevo la integral que tenía al principio. Parece que no hay salida, pero no, es al revés. Lo paso al otro lado sumando : En la guía hay algunos ejercicios en los que hay que usar los 2 métodos. Ejemplo: Integrar ∫ ln x .. sen ( ln x ) dx x

ASIMOV INTEGRALES

- 70 -

Pero como hicimos la sustitución t= ln x, volvamos a la variable x para terminar: Vamos ahora a la segunda parte de este tema que es la aplicación de la integral. Presten atención que esto se toma mucho. Entonces : 2. INTEGRAL DEFINIDA:

La integral definida de una función es una expresión del tipo:

a, b son dos elementos reales

La integral indefinida devolvía todas las primitivas de f(x)). La integral definida da un número. O sea, puede 2, 5, 28, 3,14, etc Ahora bien, ¿Cómo se calcula ese número real resultado de una integral definida ? Rta: Aplicando la REGLA DE BARROW que paso a explicarte: REGLA DE BARROW ( LEER ) Si O sea, si tenemos una primitiva g(x) de la función f(x) a integrar, la integral definida de f(x) entre a y b es el número que resulta de calcular la primitiva g(x) en x = b y restarle la misma primitiva g(x) pero calculada en x = a.

Veamos un ejemplo:

C) xln( sen) xln( ).cos xln(dxx

) xln( x.senln

++−=∫

∫b

a

dx f(x)

)b(a, ℜ∈

∫∫ −=⇒=b

a

g(a)g(b)dx f(x) g(x)dx f(x)

{

2

2

0 f(x)

2

x de primitiva Busco

calcularla para Barrow Usemos

definida integral una es

que yaresultado como

real número un dar debe

dxx ⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∫

ASIMOV INTEGRALES

- 71 -

Esto es hacer Barrow Calculemos esa primitiva en x = 2 y le restamos lo que vale en x = 0 Ahora, como dice Barrow, restemos: Hagamos otro: En general, vamos a escribir:

Barrow dice: Ejercicio: Hallar

48476 g(x)

32

0

2 c.x31dxx +=∫

g(0)c0c.031c.0

31 :vale 0x en c.x

31

g(2)c38c.8

31c.2

31 :vale 2x en c.x

31

33

33

→+=+=+=+

→+=+=+=+

( ) ℜ∈→=−−+=+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∫ Resultado el

38c0c

38c0c

38dxx

2

0

2

Cambia signos

g(a)-g(b) :decir quiera cuando g(x)a

b

g(x)g(a)-g(b)f(x)dx

restarlos! luego yg(a) g(b);buscar que hay que Indica

a

bb

a 321

==∫

∫ +4

2

dx 2)(-x

ASIMOV INTEGRALES

- 72 -

Algo que ya ocurrió dos veces (Y va a ocurrir siempre) es que cuando hacemos Barrow, la constante “c” real se simplifica porque: Al restar se anula la constante. Nos olvidamos de la constante de integración cuando hacemos una integral definida. PROPIEDADES Como en la integral indefinida:

Y una nueva: Con esto ya podés hacer los primeros ejercicios de la guia de integrales definidas. Te cuento que al hacer Barrow integrando por el método de integración por partes, tenés que usar la fórmula:

Vamos a un ejemplo: Resolver:

{ {∫++

−=4

2C"" unhay Acá

C"" unhay Acá

g(a)g(b)dx f(x)

4434421

ASIMOV INTEGRALES

- 73 -

Pasemos a la última parte de integrales. Este es el último temade la materia. 3. CÁLCULO DE ÁREAS

La fórmula con la que vamos a calcular el área de cualquier región del plano, delimitada por dos funciones cualesquiera f(x) y g(x) es: Donde:

∫ −b

a

dx g(x)f(x)

ASIMOV INTEGRALES

- 74 -

Importante: Cuando digo

En número “a” es el valor en el eje x donde “comienza” el área. El número “b” es el valor en el eje x donde “termina” el área encerrada. Ejemplo: Hallar el área encerrada por la función f(x) = x2 entre x = 1, x = 2 e y = 0 Hagamos un gráfico: Entonces, de acuerdo al dibujo:

Ejemplo: Hallar el área encerrada por : f(x) = 1/(x-2) Y = 0 X = 3 De nuevo hago el gráfico: x = 5

∫ −b

a

dx g(x)f(x)

Debe ser la función que hace de “techo” del área encerrada

Debe ser la función que hace

de “piso” del área encerrada

37

31

38.1

31.8

31.1

31.2

31.x

31

Barrow yprimitivabusco

33

1

23 =−=−=−==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

ASIMOV INTEGRALES

- 75 -

Planteo: (Con calculadora) Área = ln 3 - ln 1

Área = 1,098…- 0 = 1,098… Ejemplo: Hallar el área encerrada entre f(x) = cos x, x = π, x = 3π y g(x) = - 1 (ó y = -1). Gráficamente:

{⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===−

−= ∫

dxdu2-xu

sustituyodx 0

2x1Área

5

3 PisoTecho321

=−−−=−=== ∫ 23 ln25 ln2x lnu ln.duu1

3

5

Inmediata (Tabla)

u = x - 2 Barrow

{ {Barrowπ

3π

π

3π

Integro

3π

π

3π

π

xx sendx 1dx x cosÁrea =+=+=⇒ ∫∫

ASIMOV INTEGRALES

- 76 -

Ejercicio: Calcular el área comprendida por las curvas y = x ; y = x2 - 1. Empecemos graficando: ¿ Pero cómo hallar a y b ? a y b son los valores de x donde las funciones se intersecan, o sea, donde se igualan: planteo y resuelvo esa igualdad: Paso “x”: 0 = x2 - x -1 Aplico fórmula de cuadráticas con a = 1 , b = -1 y c = -1 : Ahora resuelvo:

FIN INTEGRALES

( ) ( )

( ) ( ) buscada. área el Es2π2π0-0

:paréntesis cada Calculandoππ 3π senπ 3 sen

→=+

→−+−=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−≅−

≅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−±−=⇒

43421

876

a

b

2

0,61...2

51

1,61...2

51

...cuentas

las Hacé...

2a4acbbx

( )

( ) ( ) pedida área el Es1,86...0,341,51......cuentas las hacé

xx31x

21dx 1xxdx1xxÁrea

0,61...

1,61...32

1,61...

0,61...-

21,61...

0,61...-

2

→=−−==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+−=−−=

−∫∫

{ 321Cuadrática

2

Recta1xx −=

ESTA ES EL AREA QUE ME PIDEN

ASIMOV INTEGRALES

- 77 -

INTEGRALES - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES

Ahora que ya sabés calcular áreas encerradas por funciones, te prepongo que hagas los ejercicios de la guía. Además podrías releer los primeros ejemplos que puse en la teoría a ver si se entiende mejor. Por favor tenés que entender que esto de integrales es como todo, lleva práctica. O sea, mucha transpiración. La matemática es la matemática. Antes de empezar con los ejercicios de parciales quiero que veas este ejem-plo facilongo. Lo había resuelto en la teoría calculando el área. Ahora lo voy a resolver por integrales. Fijate:

Hallar la Integral entre la función f(x) = 5 ( Recta constante = 5) entre a = 1 y b = 4.

El dibujo quedaría:

ASIMOV INTEGRALES

- 78 -

Empecemos ahora con los ejercicios de parcial. Hago el 4 : Como siempre, empecemos ayudándonos con un dibujo: ¡ CUIDADO ! El área debe ser la que está encerrada por las dos funciones con el eje “y”. ( No es el sector porque allí el eje “y” no lo estarías usando)

Como el techo es 3 x2 - 15 x + 12 y el piso es 5 x - 16, me queda : Planteo:

¿ Pero quiénes son a y b ? ¿ Dónde “empieza” y dónde “termina” el área a buscar ?. analicemos un poco este asunto. Creo que se ve que a = 0 porque la región empieza en el eje “y”, o sea, x = 0.

( ) ( ) =−−+−= ∫b

a PisoTecho

2 dx165x1215x3xÁrea 4342144 344 21

ASIMOV INTEGRALES

- 79 -

Para ver b hay que buscar la intersección entre la recta y la cuadrática. Hay dos: nos quedaremos con la menor.

5 x - 16 = 3 x2 - 15 x + 12

0 = 3x2 - 20 x + 28

Fórmula de cuadráticas con a = 3 b = - 20 c = 28 Pero yo buscaba el “primer” encuentro de la recta con parábola → b = 2 ( porque ). Entonces, ahora sí :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

3142

x )(Hacelo!:Queda

64,314 )

=

( ) ( )dx165x1215x3xÁrea 2 =−−+−= ∫

{ ( ) ( )4444 34444 21

2400056408

Barrow=

+−−+−=

16dx5x1215x3xx2

0

2 +−+−= ∫

{ 28x10xxdx 2820x3x0

22

0

23

Integro

2 +−=+−∫

Hago este

ASIMOV INTEGRALES

- 80 -

Hagamos el 3 (A vos te queda el 4 ). Grafiquemos cada borde: f(x) = 3 + ex . Esta función es como ex pero subida 3 unidades. Pero atención que en el medio, cambian los roles de cuál está de techo y cuál de piso. Busquemos el valor de x donde y = 3 + e2 e y= 4. Se encuentran.

Igualo:

Tomando ln x a ambos lados queda: Como (log xn = n . log x) → Se cruzan en x = 0. Bien graficado es:

⇔⇔⇔ ==−+=⇒ xxx eee 13434

{xe ln1 nl =

x0x.10

x.ln0 xe

==

=

ASIMOV INTEGRALES

- 81 -

Sigamos con ejercicios de parciales: Hagamos el 3: Ayudándonos con un gráfico: ¿ Cuál es la región encerrada ? Igualemos las funciones para ver qué valores de “x” se encuentran:

}( )

( ) {

{

factores de signoscambian - Los4

2 enPiso2 en Techo

x

0

1

2 en ¿o Pis

x1 en

Techo

2 Área 1 Áreatotal Áreadx 432 Área

dx341 Área=++=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

++=⇒

+−=⇒

∫

∫−

043421

48476

e

e

=+−+−=+−+−−= ∫∫∫∫−−−

4

0

x0

1

x4

0

x

1

0

1

x

1

dx1dx1dx43dx34 eeee 321321

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )4342143421

041-0

0

4x

1

0x

eeeeee

0410

x-xBarrow yo)(integrand

+−−+−+−−−−=

=+−+==−

( ) ( ) ( ) ( )

49,96...54,598...0,367...5- a)calculador (Con5

1411paréntesis los abro1 41 1

41-

41-

4-1

eeee

ee

=++=

=++−=

=−+−++−=

=−+−+−−−−=

ASIMOV INTEGRALES

- 82 -

pedida. área el es 662,16

3736

493246

49546

1536254256

319036.216

31

)≅=

+=

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

El gráfico es: Cuya área encerrada sale como resultado de plantear:

( ) ( )

} } }( )}

( ) ( ) =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++−−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++−=

=++=

=++−=−−+−=

−

−

−−∫∫

876876

321

32143421

25

1.251-6.1-.

316.

256.66.

31

x256xx

31-

dx 5x6xdx5x6xÁrea

6-1-3

90

362

362163

1

623

Integro

6

1

26

1)paréntesis (Abro

PisoTecho

2

{⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔−−=⇔−=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ -6c

-5b1a

con cuadrática de Fórmula65xx0 5.x6x 2

término detodo Paso

2

( )

⎩⎨⎧−

=⇔±

=⇔

±=⇔

+±=⇔

−−±=⇔

16

x2

75x

2495x

224255x

2.164.1.255x

ASIMOV INTEGRALES

- 83 -

Hagamos el 2 del mismo parcial: El asunto parece imposible. Pero a no desesperar. Fijate. Tengo : Reemplazo y me queda:

∫ =+

42e

edx

x3.lnxxln

ASIMOV INTEGRALES

- 84 -

Hago el 4to ejercicio de otro parcial: Grafiquemos la homográfica y = 3/x y la lineal y = - x + 4

m = - 1 ; b = 4

ASIMOV INTEGRALES

- 85 -

Hagamos este ejercicio que estaba en la guía vieja:

Antes de graficar f(x) = ln (x/2 - 3 ) fijémonos dónde este “logaritmo corrido y estirado” por culpa del (-3) y del (x/2) tiene su raíz:

única raíz de f(x)

8x4.2x312x

=⇔=⇔+=⇔

ASIMOV INTEGRALES

- 86 -

El área encerrada es: Como el techo y el piso cambian según la regióndel dominio donde estemos integrando, separemos la búsqueda del área en dos integrales:

[ ]

{

[ ] [ ][ ]

{ =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

====

∫∫444 8444 76

43421

444 8444 76

43421

9x y8x entre Área

9

88;9

en Piso

8;9 enTecho

8x 7 y x entre Área

8

7

7;8en Piso

7;8 enTecho

dx 032xlndx3

2xln0

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

9

8

8

7

dx32xlndx3

2xln

ASIMOV INTEGRALES

- 87 -

Atención: En * yo supuse que alguna vez ya resolviste (en clase o por tu cuenta) la integral del logaritmo natural de “x”. Supuse que sabías que Si nunca lo hiciste o no lo sabías, acá va la explicación usando el método de integración por partes : Acá sólo tenemos que calcular una integral que es:

Resuelvo cada integral por separado y después las sumo :

ASIMOV INTEGRALES

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Para la otra integral como la que está adentro del seno aparece afuera me va a convenir usar una sustitución Haciendo la sustitución Y ahora la integral que queda es Reemplazando por lo que sustituí tengo La integral que me daban vale: Ojo: esta es una integral indefinida. No te olvides de la constante C ( ! )

Tenemos un ejercicio de área entre dos funciones. Todos estos ejercicios salen con la fórmula: a y b son los límites de integración. f es la función que está por arriba en el gráfico, y g por abajo. Entonces, es un poco más fácil de ver si hacemos un dibujito : Fijate una cosa, e5x corta con la recta vertical x = 2 cuando y = e10, ya que y es tan grande en la región del gráfico que está arriba no está la región completa. Como y = e5x es el techo e y = e-x es el piso, queda que el área es:

ASIMOV INTEGRALES

- 89 -

Antes de empezar a hacer cuentas, tenemos que ver quiénes son a y b. O sea, ver dónde se cortan las funciones. Para esto igualamos. Me conviene ver en qué puntos se cruzan las funciones, o sea, dónde son iguales.

Aplico logaritmo para bajar la x Ya tenemos los límites de integración. Son : x = 0 (Que era donde ambas funciones se cortaban) y x = 2 (te lo daban en el enunciado).

Como y= e5x es el techo e y= e-x es el piso, queda que el área es:

Puedo separar la resta y queda:

Y resuelvo cada integral por separado: Haciendo sustitución Falta la otra integral que es muy parecida así que vamos a hacer otra sustitución Reemplazando en la integral: Entonces el área que buscábamos es: El área encerrada entre f(x) y g(x) es

ASIMOV INTEGRALES

- 90 -

Para calcular la integral, como tengo una multiplicación, voy a hacer partes:

u = x – 4 → u’ = 1 Tomo Para sacar v’ lo que hago es una sustitución Vuelvo a la integral que tenía La integral que quedó parece fea, pero si hacemos una sustitución como hicimos antes, Entonces juntando lo que calculé, tengo:

Hagamos este otro:

ASIMOV INTEGRALES

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Igualo las funciones y veo dónde se cortan: Se cortan en x = 3 y x = -3. Hago el gráfico para ver qué tengo que integrar. La región a integrar tiene a y = 9/x como techo y a y = x como piso. Y voy a integrar entre x = 3 (que es dónde se corta con la otra función) y x = 1 (que te lo dan como dato). Calculo la integral. Entonces el área total es:

Area = 9. ln 3 - 4

Nos dan la integral . Para poder resolverla, usemos el método de sustitución. Probemos usando la siguiente sustitución:

Ahora, usando esto, podemos plantear: Saquemos el 1/3 fuera de la integral (Es una constante) y resolvamos:

ASIMOV INTEGRALES

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Nos piden que calculemos el área encerrada entre las dos parábolas. Para darnos cuenta cuál es el techo y cuál el piso del área, lo mejor es graficarlas y verlo directamente. Pero si no podemos (O no nos damos cuenta de cómo es la función) tenemos unos truquitos que nos van a dar una pista: Primero, si igualamos las dos ecuaciones ( f(x) = g(x) ) podemos obtener los valores en dónde se cruzan (Es decir, los límites del área): Esos son los valores de x entre los que tenemos que integrar. Ahora, para saber (sin graficar) cuál función es el techo y cuál el piso, evaluemos ambas funciones en algún valor perteneciente a ese intervalo (0, 4) y veamos qué valor de y toma cada función: la función que tome el valor más alto será el techo del área, y la otra el piso.

f(2) = 14 g(2) = 6 → como en x = 2 f toma valores más altos, podemos saber que es porque está por arriba de g. f es el techo y g es el piso ! Por si no me crees, acá te dejo el grafiquito de ambas funciones… Bien, ahora planteemos la integral, nos queda: Para poder resolverlo más fácil, saquemos los paréntesis y planteemos las integrales por separado:

ASIMOV INTEGRALES

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Son dos integrales de tablas… así que hagámosla: Ahora, evaluemos cada función en 4 y restémosle a función evaluada en 0: Hacemos las cuentas y obtenemos el valor del área

A= 64/3

Tenemos que calcular la integral , usando alguno de los

métodos de sustitución o partes. No parece muy fácil hacer integral por partes. Entonces, tenemos que hacer una sustitución. Pero ¿Cómo nos damos cuenta de qué sustitución hay que hacer ? Bueno, en el numerador tenemos algo bastante complicado, con una raíz cuadrada y un logaritmo. Además, todo esto está dividido por x. Pero acordate que 1/x es la derivada de ln x. Entonces podemos hacer la sustitución:

U = 5 + 3 ln x → du = u’.dx = 3 . 1/x dx

La integral nos queda: Esta integral la sabemos calcular. Nos queda:

ASIMOV INTEGRALES

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Ahora, nos falta reemplazar u por su valor: OJO: Esta es una integral indefinida. No te olvides de la constante C.

Lo primero es hacer un gráfico para tener una idea de qué área calculamos: Este área tiene como piso la función g(x) = 2 x2 + 1, y como techo a f(x) = -x2 + 4. Entonces, calculemos el área como:

a y b son los límites de la integración: son los valores de x donde se cortan las funciones. ¿ Cómo los calculamos ? Las funciones se cortan cuando son iguales. Entonces, lo que hacemos es igualarlas, y calculamos x: Entonces, tenemos a = -1 y b = 1. Ahora calculamos la integral: Evaluamos la integral en x = 1 y en x = 0 - 1 y hacemos la resta: Nota: Si te equivocaste y pusiste al revés el techo y el piso, no hay problema. Te vas a dar cuenta porque el área te queda negativa, y no puede ser.

ASIMOV INTEGRALES

- 95 -

Tenemos que calcular la integral Así como está escrita, esta integral no la podemos calcular directamente. Entonces, vamos a tener que usar algún método para que nos quede algo más fácil. El más cómodo es el de sustitución, porque hay que hacer menos cuentas. Siempre fijate si no se puede hacer una sustitución para que quede más fácil. En este caso, podemos tomar

u = 2x2 - 2x → du = u’.dx = (4x - 2) dx Esto nos sirve bastante, porque en el integrando tenemos (x - 1/2) = 1/4.(4 x - 2). ¿ Pero cómo te das cuenta que conviene hacer una sustitución ? La única forma es después de hacer muchos, muchos ejercicios. Así que antes del parcial, practicá mucho estos ejercicios porque sino, no salen. Veamos cómo nos queda: Esta integral la sabemos calcular. Nos queda: ¼. eu + C. Ahora solamente nos falta volver a la variable original. Cambiamos u por 2x2-2x y nos queda:

FIN DE LOS EJERCICIOS DE PARCIALES DE INTEGRALES

ASIMOV INTEGRALES

- 96 -

ASIMOV FORMULAS - 97 -

RESUMEN Y FÓRMULAS ÚTILES

Cuadrado de un binomio

Ecuación de una recta Soluciones de una ecuación cuadrática

Trigonometría

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Si en la ecuación Y = a x2 + b x + c el valor de a es negativo, la parábola va para abajo


CONJUNTO DE POSITIVIDAD Es la parte del eje x donde la función es positiva FUNCIÓN INVERSA De la función que me dan tengo que despejar x. La función inversa se grafica como si estuviera reflejada en la recta y = x

ASINTOTAS

ASÍNTOTA VERTICAL: Una función tiene asíntota vertical en un punto a cuando acercándome al punto a la función tiende a + ∞ o a - ∞. Una función tiene asíntota vertical en x = a si:

Limx→a+ F(x)= ± ∞ o Limx→a

- F(x)= ± ∞ ASÍNTOTA HORIZONTAL: Una función tiene una asíntota horizontal cuando tienda a tomar un valor constante al tomar x valores tendientes a infinito o a menos infinito. Una función tendrá asíntota horizontal en y = b cuando se cumpla que:

Limx→+∞ F(x) = b o Limx→-∞ F(x) = b

hip 2 = ady 2 + op 2 TEOREMA DE PITAGORAS

1 αcos αsen 22 =+ α cosα sen α tg =

Recta a 45º ( Espejo )


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS loga ( ax ) = x a

( logax ) = x Loga (x.y)= loga (x) + loga (y)

Loga (x/y)= loga (x) – loga (y) Loga ( xr ) = r.loga x

1y 2x 1

= +−

Asíntota horizontal en y = 2. Asíntota vertical en x = 1

FUNCIÓN Y = Sen X

0 π/2 π 3/2 π 2π

Y = ex2x

log2 x

1

1

← Recta y = x


DERIVADAS La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Si la función crece, la derivada es positiva. Si la función decrece, la derivada es negativa. Si la función es horizontal, la derivada es cero.

Donde la derivada de una función es cero, ahí hay un posible máximo o mínimo. ( Pero no es seguro porque puede ser un punto de inflexión, también )

Recta tangente a la función Y = x2

en el punto x = 1 ( Derivada )

y

X

Función Y = x2

h)f(xh)f(xlim)(xf 00

0h0−+

=′→

Definición de derivada de una función en un punto

cociente un de Derivadag

f.g'f'.g'gf

producto del Derivadaf.g'f'.g(f.g)'

2 ←−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

←+=

⇒= ] g(x) [ fh(x) Si (x)[g(x)].g'f'(x)h' = cadena la de Regla←

MÍNIMO

MÁXIMO En el punto x1 no hay máximo ni mínimo. x1

es punto de inflexión


INTEGRALES La integral de una función entre 2 puntos a y b es el área bajo la curva entre esos 2 puntos AREA ENCERRADA ENTRE 2 CURVAS REGLA DE BARROW ( LEER ) Si

TECHO PISO

∫∫ −=⇒=b

a

g(a)g(b)dx f(x) g(x)dx f(x)

AREA ENCERRADA BAJO LA CURVA

El área sombreada está marcada por los bordes x = a, x = b, el eje equis y la curva de la función f de equis


TABLA DE DERIVADAS


TABLA DE INTEGRALES



Pag

2 ....... DERIVADAS 7 Cálculo de derivadas por definición 9 .......Función derivada 11 Propiedades de las derivadas 14.......Derivada del producto y de la división 15 Tabla de derivadas 16....... Derivada de composición de funciones. Regla de la cadena 19 Velocidad 23.......Derivada de funciones inversas. 25 Derivadas sucesivas 25.......Crecimiento y decrecimiento. 27 Análisis de una función. Puntos críticos 27.......Máximos y mínimos. Puntos de Inflexión. Concavidad 34 Método de la derivada segunda 41...... EJERCICIOS DE PARCIALES

53 ...... INTEGRALES. 56 Integral indefinida. 58.......Integral indefinida de una función f(x) 59 Propiedades de la integral indefinida 61.......Método de Sustitución. 64 Integración por partes

70....... Integral Definida 70 Regla de Barrow 72.......Propiedades de la integral definida. 73 Cálculo de Áreas. 77.......Ejercicios de parciales. 97 Fórmulas útiles

INDICE


* MATEMATICA - EJERCICIOS RESUELTOS Son los ejercicios de la guía resueltos y explicados. * PARCIALES RESUELTOS Son exámenes que fueron tomados el año pasado. Todos los ejercicios están explicados También hay parciales resueltos de años anteriores. * FINALES RESUELTOS Son exámenes que fueron tomados el año pasado. También hay finales resueltos de años anteriores. Todos los ejercicios están explicados OTROS LIBROS:

* QUÍMICA PARA EL CBC * FISICA PARA EL CBC * BIOFISICA PARA EL CBC Tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.

Temas que están en la 1era parte:

FUNCIONES

Education

libro matematica para el cbc