INTRODUCCION

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)

El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

INDICELIMITES DE FUNCIONES.......................................................................................................3

LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:.....................................................................3

LIMITES INFINITOS.................................................................................................................5

LIMITES EN EL INFINITO...................................................................................................6

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES........................................................................................7

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES......9

CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES...........................11

Limites des de la forma: limx→a

( f ( x ))g(x )=L......................................................................14

Teoremas de límites.............................................................................................................14

Procedimiento para calcular límites.................................................................................16

Continuidad............................................................................................................................16

EJERCICIOS...........................................................................................................................21

Bibliografía..............................................................................................................................38

LIMITES DE FUNCIONES.LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:

Sea f una función real de variable real . Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L y escribiremos

límx→x 0

f ( x )=L

si a medida que x se aproxima a x0 (por valores menores y mayores que x0) las imágenes de x , las f(x), se aproximan a L.

Esto nos llevaría a definir los límites laterales:

 

Límite por la derecha cuando x se aproxima a x0 por valores mayores: límx→x

0+

f ( x )=L

Y límite por la izquierda cuando x se aproxima a x0 por valores menores: límx→x

0−

f ( x )=L

 EJEMPLO I

  Consideremos la función

 

 

Esta función no está definida en el punto 2. Cuando nos aproximamos a este punto por la izquierda, la función se aproxima a 1. Decimos por tanto que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 1, y lo expresamos:

Del mismo modo al aproximarnos a 2 por la derecha (tomando valores mayores que 2) la función se aproxima a 0. Por tanto "el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 0", lo expresamos:

 EJEMPLO II

 

2 xsi 2x-2 xsi 32x

=f(x)

1)(2

xflimx

0)(2

xflimx

2 xsi 2x-2 xsi 4-

2 x si 32x=f(x)

 

En este caso: f(2)=-4

  EJEMPLO III

 

2 x xi2x-2 xsi 32

)(x

xf

f(2)=0

 Observemos que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el límite por la

derecha, sin embargo el valor de la función en el punto 2 es distinto en cada caso; o incluso puede no estar definida en ese punto (Ejemplo I). Es decir, a la hora de calcular el límite de una función en un punto no nos interesa el valor de la función en ese punto sino en sus cercanías.

 

EJEMPLO IV

 

 

cuando el límite por la izquierda y por la derecha coincide se dice que existe el límite de f(x) cuando x tiende a 2 y es igual a ese número. Escribiremos:

 La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de f(x) cuando x

tiende a x0 y éste valga L, es que existan los límites laterales y que coincidan con L.

0)(2

xflimx

1)(2

xflimx

0)(2

xflimx

1)(2

xflimx

3 xsi 53 xsi 1

)(x

xxf

2)(lim 2)(3x3

xfxflimx

2)(3

xflimx

límx→x 0

f ( x )=L⇔

límx→x

0+

f ( x )= límx→ x

0−

f (x )=L

LIMITES INFINITOS.De la misma forma que en el apartado anterior se puede decir que:

si a medida que x se aproxima hacia a, f(x) crece indefinidamente, es decir, tiende a infinito.

Ejemplo

f(x)=1/x

Esta función tiene como gráfica la de la figura, se puede observar que a medida que nos acercamos al punto cero por la derecha la función se dispara a infinito, mientras que si nos acercamos por la izquierda la función se dispara a menos infinito.

Analíticamente:

límx→0+

f ( x )= 10+ =+∞

 

 límx→0−

f ( x )= 10−

=−∞

Ejemplo2:

f(x)=

1( x−1)2

 En este caso se puede comprobar sin más que hallar los límites laterales que

límx→1

f ( x )=+∞

Cuando decimos que una función tiene límite infinito estamos expresando una tendencia, pues infinito no es un número. 

 

)(xflimax

 LIMITES EN EL INFINITO

lim f x

lim f xx

x

( )

( )

valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido positivo

valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido negativo

Ejemplo:

límx→∞

x+1x+3

=1. Como vemos en la gráfica, la función tiende a 1 cuando x tiende

a +∞ y a -∞

Los casos que se pueden dar al estudiar el comportamiento en el infinito de

una función son:

o La función tienda a un cierto valor l (como en el ejemplo anterior)

o La función tienda a +∞ o a -∞, como por ejemplo:

límx→+∞

(−x3−3x2+x+3 )=−∞ y límx→−∞

(−x3−3 x2+x+3 )=+∞

o La función no tenga límite cuando x tienda a +∞ y a -∞, como por

ejemplo, cuando f(x)=senx

o La función no está definida para valores muy grandes de x con lo que no

tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a +∞, o

la función no está definida para valores muy pequeños de x con lo que

adaindeterminada 00

no tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a -∞.

Por ejemplo, la función f(x) = √ x+5−3 no está definida para valores de

x inferiores a -5, por lo que no tiene sentido estudiar su límite cuando x

tiende a -∞

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.A)      LIMITE DE UNA SUMA:

CASOS:

± k =

+ =

- INDETERMINADA

B) LIMITE DE UN PRODUCTO:

)().())(.(000

xglimxflimxgflimxxxxxx

CASOS:

. k =

. =

. 0 INDETERMINADA

C) LÍMITE DE UN COCIENTE:

 

 

 CASOS:

k

00

k

0

)()())((000

xglimxflimxgflimxxxxxx

)(

)()(

0

0

0 xglim

xflimx

gflim

xx

xx

xx

adaindeterminada

0k

0k 00

 Luego otros dos casos de indeterminación son:

00y ∞∞

D)  LIMITE DE UNA POTENCIA:

)()(0

00

)()( xglim

xx

xg

xxxxxflimxflim

CASOS

0k=00=0   00 indeterminada 1 indeterminada

k = =

  0 indeterminada k=0 si 0<k<1

k= si k>1

 

Surgen 3 nuevas indeterminaciones: 00, ∞0 y 1

∞

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES: límx→x 0

(f ( x )+g( x ))

f(x)

g(x) L +∞ -∞

L’ L+L’ +∞ -∞

+∞ +∞ +∞ ∞-∞

-∞ -∞ ∞-∞ -∞

01

010

011

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES

f(x)

g(x)L¿ 0 0 +∞ -∞

L’¿ 0 L . L’ 0

+∞ si L’>0

-∞ si

+∞ si L’<0

-∞ si

0 0 0 0. ∞ 0. ∞

+∞

+∞ si L>0

-∞ si 0. ∞ +∞ -∞

-∞

+∞ si L<0

-∞ si 0. ∞ -∞ +∞

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES

f(x)

g(x)L¿ 0 0 +∞ -∞

L’¿ 0 L / L’ 0

+∞ si L’>0

-∞ si

+∞ si L’<0

-∞ si

0 ±∞00

∞ ∞

+∞ 0 0∞∞

∞∞

-∞ 0 0∞∞

∞∞

CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE UNA POTENCIA DE FUNCIONES Como la base f(x) es definida positiva, su límite nunca podrá ser -∞

f(x)

g(x)

L>0L¿ 1 0 1 +∞

L’¿ 0 LL’

0 si L’>0

∞ si L’<0

1

0 si L’<0

∞ si L’>0

0 100

1 ∞0

+∞

0 si 0<L<1

∞ si L>10 1 ∞

-∞

∞ si 0<L<1

0si L>1

∞1 0

CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

Cálculo del límite de una función en un punto.

En la práctica, para calcular el límite de una función cuando x tiende a x0, basta con sustituir, en la expresión analítica de la función, la variable por x0. Pero al efectuar la sustitución no siempre obtenemos un nº real; puede suceder que la función tienda a . Es lo que ocurre cuando tenemos k/0 (k distinto de 0). El resultado es , pero lo que no sabemos es su signo. Para ello hay que estudiar los límites laterales.

Ejemplo1:

límx→0

1x2

=+

Ejemplo2:

límx→3

x+1x−3

={ límx→3+

x+1x−3

=+∞

límx→3−

x+1x−3

=−∞

Cálculo del límite de una función definida a trozos

Para obtener el límite en el punto en el que cambia la expresión de la función, calcularemos los límites laterales y analizaremos el resultado. En el resto de los puntos, procederemos de la forma habitual.

Cálculo del límite de una función en el infinito

Para calcular el límite de una función en el infinito no podremos aplicar la técnica anterior de sustituir en la variable de la función por el infinito, puesto que no se trata de un nº. Procederemos de manera diferente según el tipo de función:

Límite de una función polinómica

El comportamiento en los extremos de una función polinómica coincide con el comportamiento del término de mayor grado, es decir:

límx→∞

(a0+a1 x+a2 x2+.. . .. .. . .. .+an x

n )= límx→∞

( an xn)

Límite de una función racional

límx→∞

a0+a1 x+ .. .. .+an xn

b0+b1 x+. .. . .+bm xm= lím

x→∞

an xn

bm xm={ 0 si n<m

±∞ si n>manbn

si n=m

Límite de una función exponencial

Al calcular el límite en el infinito de la función f(x)=ax hemos de tener en cuenta el valor de a (que siempre ha de ser positivo) y la tendencia del exponente. Los casos posibles son:

- Si 0<a<1

⇒ { límx→+∞

ax=0

límx→−∞

ax=+∞

- Si a > 1

⇒ { límx→+∞ax=+∞

límx→−∞

ax=0

Nota: En la práctica, para calcular límx→−∞

f ( x )= límx→∞

f (−x )

Resolución de indeterminaciones

INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador y simplificar. Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

Limites des de la forma: limx→a

( f ( x ))g(x )=L

Al evaluar límites de este tipo se tiene 3 casos:

Caso 1: Si existen los limites finitos

limx→a

f ( x )=A Y

limx→a

g( x )=B→L=AB

Caso 2: Si limx→a

f ( x )=A≠1y

limx→a

g( x )=±∞, el problema de hallar L se resuelve

directamente, pues al tener L la forma indeterminada 1±∞

, ocurre que :

a) Si A>1→L=A+∞ =+∞; L=A−∞=0b) Si 0<A<1→L=A+∞=0 ; L=A−∞ =+∞

Caso 3: Si limx→a

f ( x )=1ylimx→a

g( x )=±∞ tendremos la indeterminación 1

±∞

El problema se resuelve suponiendo que f ( x )=1+h( x ) donde limx→a

h( x )=0,

entonces: L=lim

x→a{(1+h( x ))

1h(x )}h(x )∗g( x )=eu

donde: u=lim

x→ah( x )∗g (x )=lim

x→a( f ( x )−1 )∗g( x )

Teoremas de límites

     Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

 Teorema de límite1:

Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

 Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

 Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

 Teorema de límite4:

 Teorema de límite5:

 Teorema de límite6:

Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

 Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

 Teorema de límite8:

 

Procedimiento para calcular límites     Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.

     Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.

ContinuidadCondiciones: El análisis se realiza en un contorno pequeño de intervalo <a,b> donde c pertenece a dicho intervalo

i) f (c )existe

ii ) limx→ c

f ( x )existe

ii ) limx→ c

f ( x )= f (c )

Para que una función sea continua en el punto “c” debe cumplir con las tres condiciones anteriores.

Tipos de discontinuidad.

1) Discontinuidad evitable:

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0

cuando el límite de la función en ese punto existe y es finito pero no coincide con el valor que toma la función en ese punto, o bien la función no está definida en ese punto.

Vemos ambas situaciones gráficamente:

Caso 1.

∃ límx→ x0

f (x )

y es finito. ∃ f ( x0 )

, (la función esté definida en el punto x0

).

Pero, límx→ x 0

f ( x )≠f ( x0 )

Límx→1

f ( x )=2≠f (1)=3

Esta función tiene una discontinuidad evitable en el punto x=1

Caso 2.

∃ límx→ x0

f (x )

y es finito.

∃ f ( x0 ), (la función no está definida en el punto

x0).

NOTA: Este tipo de discontinuidad se dice evitable porque se puede evitar redefiniendo nuevamente la función, haciendo que el valor que tome la función

en el punto x0

coincida con el valor del límite de la función en ese punto.

2) Discontinuidad de salto (o de primera especie):

a) Con salto finito

Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera

especie), con salto finito, en un punto x0

cuando existen los límites laterales en ese punto y son finitos pero no coinciden. Se llama salto a la diferencia, en valor absoluto, entre los límites laterales.

Límx→2−

f ( x )=−1≠Límx→ 2+

f ( x )=1

b) Con salto infinito.

Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera

especie), con salto infinito, en un punto x0

cuando uno de los límites laterales sea finito y el otro infinito, o bien, cuando ambos límites laterales sean infinitos.

Este tipo de discontinuidad viene marcada por la existencia de una asíntota vertical.

Límx→2−

f ( x )=−∞ y Límx→2+

f ( x )=+∞

3) Discontinuidad esencial (o de segunda especie):

Decimos que una función tiene una discontinuidad esencial (o de segunda

especie) en un punto x0

cuando uno o los dos límites laterales no existen.

Por ejemplo:

La función f ( x )=sen π

x tiene una discontinuidad esencial en el punto

x=0

NOTA: Algunos autores clasifican las discontinuidades en evitables y no evitables, reuniendo en este segundo grupo todas aquellas discontinuidades que no son evitables (1ª y 2ª especie).

TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS.

TEOREMA DE BOLZANO.

Sea f ( x )

una función continua en el intervalo cerrado [a , b ]

, y toma valores de

distinto signo en los extremos del intervalo, signo f (a )≠signo f (b )

, entonces

existe al menos un punto x0∈ ( a , b )

tal que f ( x0)=0

.

TEOREMA DE WEIERSTRASS.

Sea f ( x )

una función continua en un intervalo cerrado [a , b ]

, entonces f

alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo.

TEOREMA DE DARBOUX.

Sea f ( x )

una función continua en el intervalo cerrado [a , b ]

, y tal que f (a )≠f (b )

. Entonces f ( x )

toma cualquier valor k

comprendido entre f (a )

y f (b )

, al menos una vez en un punto interior del intervalo (a , b )

, es decir:

∃ c∈ (a , b ) / f (c )=k con f (a )<k< f (b ) ó f (b )<k< f (a )

EJERCICIOS

Ejercicio nº 1.-

Calcula:

22

3a) xlimx

xlimx

21b)8

xsenlimx

2

c)

Solución:

2553a) 22

2

xlim

x

54116121b)8

xlimx

12

lim)2

senxsencx

Ejercicio nº 2.-

Calcular

limx→ π

2

(1+cos( x ))3sec x

Solución:

Observese que si f(x)=cos(x)el limite cuando x tiende a pi medios de f(x)=0 , haciendo uso de un arreglo trigonométrico tenemos:

limx→π

2

((1+cos( x ))1

cos x )3=e3

Ejercicio nº3.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:

xxxlim

x 212

20

Solución:

212

212

020

xx

xlimxx

xlimxx

Calculamos los límites laterales:

xx

xlimxx

xlimxx 2

12212

2020

Ejercicio nº 4.-

Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

13354

23

2

1

xxxxxlim

x

Solución:

213123

2

1 1

5

1

51133

54

xxlim

x

xxlimxxx

xxlimxxx

Ejercicio nº 4.-

funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x

y representa la información que obtengas:

3

421 2 xxxf

Solución:

3421

3421 22 xxlimxxlim

xx

Ejercicio nº 5.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

xxlim

x 353a)

xxlim

x 353b)

Solución:

133

353a) x

xlimx

135

3b) x

xlimx

Ejercicio nº 6.-

representa yfunción siguiente la deycuando infinitas, ramas las Halla xxlos resultados obtenidos:

xxxxf 223

23

Solución:

xxxlim

xxxlim

x

x

223

22323

23

Ejercicio nº 7.-

Dada la función:

313

xxxf

resultados los representa ycuando ycuando infinitas, ramas sus halla ,xx

obtenidos.

Solución:

313

xxlim

x

313

xxlim

x

Ejercicio nº 8.-

yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

representa los resultados que obtengas:

112

2

2

xxxf

Solución:

2112

2112

2

2

2

2

xxlim

xxlim

x

x

Con calculadora podemos comprobar que:

Dando valores muy grandes y positivos , la curva va por debajo de lax

asíntota y 2.

Dando valores muy grandes y negativos , la curva va por debajo de lax

asíntota y 2.

Ejercicio nº 9.-

a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

2

23 2

xxxf

b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:

a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

23 2 103 6 Asíntota oblicua: 3 62 2

x x y xx x

10Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.2

xx

10Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.2

xx

• Representación:

2

6

y x= 3 6

Ejercicio nº 10-

Calcula estos límites:

1b)13a) 92

xelímxxlím

x

xx

Solución:

29

92 13a) xlímxxlímxx

0011

)b

xelím

xelím

x

x

x

x

Ejercicio nº 11.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

103

8232

2

xxxxxf

Solución:

25

243103

8232

2

xxxx

xxxxxf

Dominio {5, 2}

f (x) es continua en {5, 2}.

Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:

:laterales límites los Hallamos .)0(

11543

55

x

xlímxflímxx

xflímxflímxx 55

;

Discontinuidad de salto infinito en x 5.

7

10543

22

x

xlímxflímxx

Discontinuidad evitable en x 2.

Ejercicio nº 12.-

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

2si1321si2

1si32

xxxabxx

xaxxf

Solución:

Dominio

Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x 1:

abf

ababxxlímxflím

aaxlímxflím

xx

xx

21

22

33

2

11

11

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:

3 a 2 b a 2a b 1

En x 2:

72

713

282

22

2

22

f

xlímxflím

ababxxlímxflím

xx

xx

Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:

8 2b a 7 a 2b 1

Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:

1;133142121221

1212

baaaaaaab

baba

Ejercicio nº13.-

A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

Solución:

En x = 0, sí es continua.

En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

Ejercicio nº14.-

Estudia la continuidad de la función:

4si15

4si3

1

2 xx

xxxf

Solución:

Si x 4, la función es continua.

Si x 4:

4 4

2

44 4

1lim lim 13

lim lim 15 1 También es continua en x 4 porque lim 4 .

4 1

x x

xx x

xf x

f x x f x f

f

Ejercicio nº 15.-

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

1si531si2

2 xaxxaxf

x

Solución:

Si x 1 la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x 1:

af

aaxlímxflím

aalímxflím

xx

x

xx

21

3653

22

2

11

11

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:

2 a 6 3a 4a 4 a 1

Ejercicio nº 15.-

:xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La

4

6

8Y

X

2

6 82 4 2 8 6 2

4

6

4

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

Solución:

En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que

1 1

lim lim .x x

f x f x

En x 2 sí es continua.

Ejercicio nº16.-

Estudia la continuidad de la función:

0si2

20si12 2

xxxx

xf

Solución:

Si x 0, la función es continua.

.0 porque0 en continua Es

10

12

2

112

000

2

00

fxflimx

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx

Ejercicio nº 17.-

de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103

5153 función la Dada 2

23

xx

xxxxf

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

Solución:

25

135103

5153 2

2

23

xxxx

xxxxxxf

Dominio {5, 2}

f (x) es continua en {5, 2}.

Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:

776

776

213 2

55

x

xlímxflímxx

Discontinuidad evitable en x 5.

:laterales límites los Hallamos .)0(

132

13 2

22

x

xlímxflímxx

xflímxflímxx 22

;

Discontinuidad de salto infinito en x 2.

Ejercicio nº18.-

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

2si321si4

1si22

2

xbxxbaxx

xxaxxf

Solución:

Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x 1:

baf

babaxxlímxflím

axaxlímxflím

xx

xx

41

44

22

2

11

2

11

Para que f (x) sea continua x 1, ha de ser:

a 2 4 a b b 6

Ejercicio nº19.-

Estudia la continuidad en x 2:

02

063

21064

22

2

22

f

xlímxflím

aaxxlímxflím

xx

xx

Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:

10 2a 0 2a 10 a 5

Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6.

Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto x=2

f ( x )=¿ {x2−1 si x≤2 ¿¿¿¿

Como en el punto x=2

cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales:

Límx→ 2−

f ( x )= Límx→ 2−

(x2−1 )=3

Límx→ 2+

f ( x )= Límx→ 2+

(2 x−1 )=3

Como Límx→ 2−

f ( x )= Límx→ 2+

f (x )

∃ Lím

x→ 2f ( x )=f (2)

⇒f

es continua en el punto x=2

Ejercicio nº20.-

Dada la función f ( x )= x2+2 x

x2−4 determina los puntos de discontinuidad y

clasifícalos.

Una función racional esta definida ∀ x∈ℜ

excepto para aquellos valores de x para los cuales se anula el denominador.Por tanto, hallamos los valores de x para los cuales se anula el denominador:

x2−4=0 ⇒ x2=4 ⇒ x=±√4=±2

∃ f (2 ) y ∃ f (−2)

(la función no está definida en los puntos x=2 y x=−2

, por tanto no es continua en dichos puntos.Para clasificar los puntos de discontinuidad tenemos que ver como se comporta la función en las proximidades de esos puntos. Esa información me la da el estudio del límite.

En x=−2

.

Límx→−2 ( x2+2 x

x2−4 )= 00

= Límx→ −2

x⋅(x+2 )( x+2 )⋅( x−2 )

= Límx→−2

x( x−2 )

=−2−4

= 12

Nota: También podíamos haber resuelto el límite aplicando la regla de L'Hôpital.

Como ∃ lím

x→−2f (x )

y es finito, y ∃ f (−2)

(la función no está definida en el punto x=−2

), se concluye que la función tiene una discontinuidad evitable en el punto x=−2

.

En x=2

Límx→ 2 ( x2+2 x

x2−4 )= K0

(estudiamos los límites laterales)

Límx→ 2− ( x2+2 x

x2−4 )= 80− =− ∞

y Límx→ 2+ ( x2+2 x

x2−4 )= 80+ =+ ∞

Con lo que la función tiene una discontinuidad de salto (con salto infinito) en el

punto x=2

, ya que ambos limites laterales son infinitos.

o

Bibliografía

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Pita Ruiz, Claudio. Cálculo en una Variable. Prentince Hall

Hispanoamericana. México, 2011. 5.

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