06/05/2015

1

LIMIT FUNGSI

&

TURUNAN FUNGSI

Vanny Febian

LIMIT FUNGSI

06/05/2015

2

1. Definisi Limit FungsiLimit fungsi merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus diferensial dan

integral. Limit bersama-sama dengan kalkulus, fungsi, dan sebagainya masuk

dalam satu cabang matematika yang disebut matematika analisis.

Limit fungsi (nilai batas) 𝑦 = 𝑓 𝑥 adalah nilai yang didekati fungsi itu,

apabila 𝑥 mendekati nilai tertentu. Ini berarti nilai limit bukanlah nilai yang

sebenarnya, melainkan nilai pendekatan saja.

Limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati 𝑎, ditulis

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 .

Limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 ,mendekati ∞, ditulis

lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 .

∞ adalah lambang yang menyatakan bilangan yang

lebih besar dari bilangan mana saja.

Contoh :

1. lim𝑥→2

𝑥 + 1 = 3

Ini berarti jika 𝑥 mendekati 2, maka 𝑥 + 1 mendekati 3.

2. lim𝑥→∞

1

2𝑥2+3= 0

Hal ini karena jika 𝑥 mendekati ∞,

maka 1

2𝑥2+3semakin kecil dan

mendekati 0.

06/05/2015

3

2. Limit Fungsi Aljabar

1. Jika 𝑓 𝑎 = 𝑐, maka lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑎

2. Jika 𝑓 𝑎 =𝑐

0, maka lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = ∞

3. Jika 𝑓 𝑎 =0

𝑐, maka lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 0

4. Jika 𝑓 𝑎 =0

0, maka proses penyelesaian

bentuk ini bisa dengan beberapa cara, yaitu :

A. Limit mendekati 𝑎, dengan a ∈ 𝑅.

Limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati 𝑎 biasa ditulis lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥).

Untuk menentukan nilai lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)dapat digunakan cara :

A. Pemfaktoran

Metode ini umumnya digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar pada fungsi pecahan.

Langkah-langkanya adalah menyederhanakan bentuk pecahan dengan memfaktorkannya.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑥−𝑎 𝐻(𝑥)

𝑥−𝑎 𝑃(𝑥)

= lim𝑥→𝑎

𝐻(𝑥)

𝑃(𝑥)

=𝐻(𝑎)

𝑃(𝑎)

B. Merasionalkan bentuk akar

Bentuk akar pada umumnya tidak mudah untuk

difaktorkan, maka agar pecahan dapat disederhanakan,

pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar

sekawannya.

Contoh :

Tentukan nilai dari lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1

Jawab : lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1= lim

𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1∙

𝑥+1

𝑥+1

= lim𝑥→1

(𝑥−1)( 𝑥+1)

𝑥−1

= lim𝑥→1

𝑥 + 1

= 1 + 1 = 2

06/05/2015

4

3. Limit Mendekati Tak Hingga

1. Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi

Untuk jenis fungsi pecahan dengan 𝑥 mendekati ∞, maka digunakan

suatu metode dengan membagi pembilang (𝑓 𝑥 ) dan penyebut (𝑔 𝑥 )dengan 𝑥 pangkat tertinggi.

2. Mengubah bentuk 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 menjadi bentuk pembagian sehingga

diperoleh bentuk limit :

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ∙𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

= lim𝑥→∞

𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥)Dengan :

𝑢 𝑥 = 𝑓2 𝑥 − 𝑔2 𝑥

𝑣 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)

4. Limit Suku Banyak (Polinomial)

Jika 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah suku banyak, maka :

1. lim𝑥→𝑎

𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝑹

2. lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝑃(𝑎)

𝑄(𝑎)

06/05/2015

5

3. Teorema Limit

Jika 𝑘 suatu konstanta, 𝑓dan 𝑔 fungsi-fungsi yang

mempunyai limit untuk

𝑥 → 𝑎 dengan 𝑎 ∈ 𝑹 ,

maka berlaku :

a. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘, maka lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑘

b. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥, maka lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑎

c. lim𝑥→𝑎

𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

d. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

e. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

f. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)untuk lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0

g. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑛 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛

untuk 𝑛 ∈ 𝑩

h. lim𝑥→𝑎

𝑛𝑓 𝑥 = 𝑛 lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

i. lim𝑥→𝑎

[𝑓 𝑥 ]𝑚

𝑛=𝑛

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑚= 𝑛 lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥

𝑚

a

4. Limit Fungsi Trigonometri

b. Limit Fungsi Sinus :

1) lim𝑥→0

𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

2) lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

3) lim𝑥→0

sin 𝑥 = 0

4) lim𝑥→𝑐

sin 𝑥 = sin 𝑐

a. Limit Fungsi Tangen :

1) lim𝑥→0

𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

2) lim𝑥→0

tan 𝑎𝑥

𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

3) lim𝑥→𝑐

tan 𝑥 = tan 𝑐

06/05/2015

6

TURUNAN FUNGSI

1. Definisi Turunan

Diferensial sering juga disebut turunan. Turunan dapat ditemukan dalam

bidang matematika, sains, ekonomi, dan sebagainya. Contoh permasalahan yang

dapat diselesaikan dengan diferensial adalah cara menentukan percepatan suatu

kendaraan bermotor yang sudah diketahui rata-ratanya

Turunan fungsi 𝑓(𝑥) dinotasikan dengan 𝑓′(𝑥). Jika

𝑓′(𝑥) ada, maka :

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

06/05/2015

7

2. Arti Fisis dan Arti Geometri Turunan di Suatu Titik

a. Arti Fisis

Secara fisis, turunan fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 merupakankecepatan sesaat dari sebuah benda atau titik yang bergerakmengikuti kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 = 𝑎.

𝑣 = limℎ→0

𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎)

ℎ

Secara geometris, turunan fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 merupakan gradien garis

singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik yang berabsis 𝑥 = 𝑎. Gradien tali busur

tersebut adalah :

𝑚 =𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

𝑎 + ℎ − 𝑎=𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

ℎ

b. Arti Geometris

Sehingga gradien garis singgung tersebut adalah:

𝑚 = limℎ→0

𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

ℎ

06/05/2015

8

3. Turunan Fungsi Aljabar

Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak mengenal kata laju perubahan,

seperti pada tanaman, pertumbuhan anak, pertumbuhan penduduk, laju inflasi

dan masih banyak lagi.

Secara matematis, rumus laju laju perubahan nilai suatu fungsi di 𝑥 = 𝑎dinotasikan dengan 𝑓′ 𝑥 yang didefinisikan sebagai :

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Bentuk limit di atas disebut dengan 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑓 atau

turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) dan ditulis 𝑓′(𝑥). Proses

mencari derivatif disebut 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙.

Rumus-rumus turunan, antara lain :

a. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓′ 𝑥 = 0

b. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = 1

c. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥𝑛, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1, a, n ∈ 𝑹

d. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ± ℎ(𝑥), maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′(𝑥) ± ℎ′(𝑥).e. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥), maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑔 𝑥 ∙ ℎ′ 𝑥 + ℎ(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)

f. 𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥), ℎ 𝑥 ≠ 0 𝑥 ∈ 𝑹. Maka 𝑓′ 𝑥 =

ℎ 𝑥 ∙𝑔′ 𝑥 −𝑔 𝑥 ∙ℎ′ 𝑥

[ℎ 𝑥 ]2

g. 𝑓 𝑥 = [𝑔 𝑥 ]𝑛, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑔 𝑥 𝑛−1 ∙ 𝑔′(𝑥)

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) , maka turunannya dinotasikan

dengan 𝑦′ = 𝑓′(𝑥). Leibniz memberikan notasi

lain untuk turunan, yaitu :𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑦 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥).

06/05/2015

9

4. Turunan Fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan definisi fungsi turunan,

a. Jika 𝑓 𝑥 = sin 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥b. Jika 𝑓 𝑥 = cos 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = −sin 𝑥c. Jika 𝑓 𝑥 = tan 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = sec2 𝑥

d. Jika 𝑓 𝑥 = cot 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = −csc2 𝑥e. Jika 𝑓 𝑥 = sec 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 ∙ tan 𝑥f. Jika 𝑓 𝑥 = csc 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = −csc 𝑥 ∙ cot 𝑥

5. Aturan Rantai untuk Mencari Turunan dari

Komposisi Fungsi

Jika 𝑢 adalah fungsi dalam 𝑥, 𝑣 adalah fungsi dalam 𝑢,

dan 𝑦 adalah fungsi dalam 𝑣 , dimana 𝑢, 𝑣, dan 𝑦terdiferensialkan, maka berlaku :

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑣∙𝑑𝑣

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

06/05/2015

10

6. Persamaan Garis Singgung Kurva

Secara geometris turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 merupakan

gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang berabsis 𝑥 = 𝑎.

Ini berarti terdapat kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan titik 𝐴(𝑎, 𝑏) terletak pada

kurva tersebut, sehingga persamaan garis singgung kurva

𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝐴 adalah :

Dengan : 𝑚 = 𝑓′ 𝑎 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)

7. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Jika fungsi 𝑓 kontinu dan terdiferensialkan dalam interval 𝐼, maka :

a. 𝑓(𝑥) naik dalam interval 𝐼 jika

𝑓′ 𝑥 > 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼

b. 𝑓 𝑥 turun dalam interval 𝐼 jika

𝑓′ 𝑥 < 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼

06/05/2015

11

8. Nilai StasionerApabila fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) kontinu dan diferensiabel, maka 𝑓(𝑎)dikatakan nilai stasioner dari 𝑓(𝑥) jika dan hanya jika 𝑓′ 𝑎 = 0,

sedangkan titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dinamakan titik stasioner.

𝒙 < 𝒂 𝒙 = 𝒂 𝒙 > 𝒂

+ 0 −

maksimum

a. Jenis-jenis nilai stasioner

1. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑎Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda positif, kemudian bernilai

nol di 𝑥 = 𝑎 , dan berganti tanda menjadi

negatif. Dikatakan bahwa 𝑓 mempunyai

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑓(𝑎).

2. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑐

Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda negatif, kemudian bernilai nol di 𝑥 = 𝑐, dan

berganti tanda menjadi positif. Dikatakan bahwa 𝑓 mempunyai

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑓(𝑐).

𝒙 < 𝒄 𝒙 = 𝒄 𝒙 > 𝒄

− 0 +

Minimum

𝒙 < 𝒃 𝒙 = 𝟎 𝒙 > 𝒃

− 0 −

Belok

3. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑏Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda negatif, kemudian

bernilai nol di 𝑥 = 𝑏 , dan tandanya

menjadi negatif kembali. Dikatakan

fungsi 𝑓 mempunyai titik belok 𝑓(𝑏).

06/05/2015

12

4. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑑

Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda positif, kemudian bernilai nol do 𝑥 = 𝑑, dan

tandanya kembali menjadi positif. Dikatakan bahwa fungsi

mempunyai titik belok horizontal di titik (𝑏, 𝑓 𝑏 ) dan (𝑑, 𝑓 𝑑 ).

𝒙 < 𝒅 𝒙 = 𝒅 𝒙 > 𝒅

+ 0 +

Belok

b. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum di Suatu Interval Tertutup

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi

dalam suatu interval tertutup, dapat digunakan langkah-langkah

sebagai berikut :

1. Tentukan nilai-nilai stasioner untuk nilai-

nilai 𝑥 yang termasuk dalam interval.

2. Tentukan nilai-nilai fungsi di ujung

interval.

3. Dari nilai-nilai tersebut, nilai terkecil

adalah nilai minimum dan nilai terbesar

adalah nilai maksimum.

06/05/2015

13

c. Titik belok

Titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dikatakan titik belok dari 𝑓(𝑥), jika :

1. 𝑓′ 𝑎 = 02. 𝑓′′ 𝑎 = 0, dimana 𝑓′′(𝑥) adalah turunan

pertama dari 𝑓′(𝑥) atau turunan kedua dari

𝑓(𝑥)

Terima kasihvhannyfebian@yahoo.co.id