Límites

Límites y continuidad

Licda. Elsie Hernández S.

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Limites y continuidad

● Límites ❍ Idea intuitiva de límite ❍ Generalización del concepto de límite ❍ Formalización de la idea intuitiva de límite ❍ Definición de límite ❍ Límites laterales ❍ Definición de límites laterales o unilaterales ❍ Teoremas fundamentales sobre límites ❍ Otros aspectos sobre límites ❍ Límites que involucran funciones trigonométricas ❍ Límites infinitos y límites al infinito ❍ Teoremas sobre límites infinitos ❍ Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica ❍ Demostraciones

● Continuidad de funciones

❍ Introducción ❍ Definición de continuidad ❍ Discontinuidades evitables ❍ Continuidad en un intervalo [a,b] ❍ Definición de continuidad utilizando y ❍ Teoremas sobre continuidad de funciones ❍ Algunas propiedades de las funciones continuas ❍ Continuidad y funciones ❍ Valores máximos y mínimos para funciones continuas ❍ Demostraciones

● Software: ❍ Graficador para límites❍ Tabla de valores❍ Cálculo de límites

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR

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Idea intuitiva de límite

Lic. Elsie Hernández S.

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Software


En este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada a una función en un punto.

Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes de funciones.

Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.

La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del límite de una función en un punto.

Ejemplo 1:

Consideramos la función definida por con dominio en .

La representación gráfica es la siguiente:

Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2

pero no iguales a 2.

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Veamos las tablas siguientes:

Tabla a.

Tabla b.

Puede observarse de ambas tablas que conforme se aproxima más a 2, toma, cada

vez, valores más próximos a 3.

En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".

En este caso se dice que cuando tiende a 2, que se simboliza , entonces

, o sea tiende a 3. Esto puede escribirse como y utilizando

la notación de límites escribimos

que se lee: el límite de cuando tiende a 2, es igual a 3.



Ejemplo 2:

Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación , el

eje y la recta de ecuación .

La representación gráfica de esta región es la siguiente:

Dividimos el intervalo en partes iguales señaladas por los valores:

formando sobre cada una de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a

la parábola en un punto, y cuya base mide en cada caso. Luego, el área de cada uno de

estos rectángulos podemos expresarlas como sigue:

Así, la suma de todas la áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:



de donde

Como , cuya prueba está al final del

capítulo, entonces:

de donde

Tomando entonces

Observemos que si a "n" se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces se aproxima a cero.

Si en la figura 1 se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el

número de rectángulos y la suma de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura

curvilínea.

Como se aproxima a cero cuando crece indefinidamente, puede decirse que

se aproxima al número , y así el área de la región tiende a .

La expresión "n" toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por

,(n tiende a más infinito) y como , ( tiende a cuando ) ,

entonces, volviendo a utilizar la notación de límites escribimos:

que se lee: el límite de , cuando tiende a más infinito es .

Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma la función exactamente en el punto. Así, en el ejemplo 1, no importa cuál es el

valor de , sino el valor de cuando tiende a 2. Esto se debe a que el concepto

de límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función en este.



Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación.

Ejemplo 3:

Sea la función definida por la ecuación para toda .

La representación gráfica de es:

De la gráfica puede observarse que aunque la función no está definida para ,

cuando toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:







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Generalización del concepto de límite

Sea una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque

no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:

Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o no definida en

; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que

:



Observe que aunque , para valores de próximos a se tiene que ,

por lo que puede escribirse siempre

Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función .

En este caso, cuando tiende a por la derecha, que se escribe , la función tiende a , pero cuando tiende a por la izquierda, (denotado ) los valores de



tienden a T.

Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que no

existe

Consideremos ahora la función definida por con , cuya representación

gráfica es la siguiente:

Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vez

mayores, (es decir, ), y que cuando , toma valores negativos

cada vez menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y se

dice que no existe.







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Formalización de la idea intuitiva de límite

En el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función con ecuación

en las proximidades de 2.

Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la función

tanto como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente al valor 2, ( ).

De otra forma, puede decirse que es tan pequeño como se quiera, siempre que

sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.

Utilizaremos las letras griegas (epsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa lo anterior.

son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valor

absoluto de la diferencia entre y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre y 2

respectivamente.

Se dice entonces que será menor que , siempre que sea menor que

y .

Luego, si para cada puede encontrarse un tal que

, entonces se dice que

Observe que se establece la condición , ya que únicamente nos interesa saber

como es para valores de cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso sería

igual a cero.

Gráficamente tenemos:



Se tiene que, en el eje , los valores están entre y , siempre que los

valores de , en el eje de , se localicen entre , o sea

.

En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de la elección previa de . No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , si no que, para cada existe un específico.

Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será el valor del correspondiente .

Luego, para el ejemplo 1, decimos que , pues para cada , existe ,

tal que , siempre que .

En general, para una función cualquiera, el significa que "la diferencia

entre y puede hacerse tan pequeña como se desee, haciendo simplemente que

esté suficientemente próximo a , ".









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Definición de límite

Sea una función definida en una vecindad del punto .

Definición

Se dice que , si para cada número positivo , por pequeño que este sea,

es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de ,

diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la desigualdad

.

Luego, si y solo si para cada tal que si

, entonces .

En forma gráfica se tiene:

para cada existe



tal que si entonces

También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad

se deduce que , entonces todos los puntos en la gráfica de la

función con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una

distancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de una franja de ancho ,

limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que los

valores de la función se aproximan a un límite , conforme se aproxima a un

número , sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan



pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".

Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:

Ejemplo:

a.

Probar que

Solución:

Debe probarse que dado tal que siempre

que .

Vamos a establecer una relación entre .

Como o sea

.

Entonces, para hacer menor que , es suficiente que ,

por lo que puede tomarse .

Luego, dado , existe tal que si entonces

.

b.

Probar que

Solución:

Dada , debe encontrarse tal que siempre que

.

Como entonces

para que sea menor que es suficiente que por lo que

podemos tomar .

Luego, dado , existe tal que siempre que



.

c.

Probar que

Solución:

Debe encontrarse en términos de , tal que sea

menor que cuando . Se tiene que

Como lo que nos interesa es el límite cuando tiende a 1, vamos a considerar los valores de que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.

Así, tomamos de donde y por tanto .

Vamos a determinar un número para el que cuando .

De la desigualdad se obtiene que por lo que

y puede tomarse .

Luego cuando

Además es menor que

Por tanto, si se toma como el menor de los números entonces

cuando

Por ejemplo, si se toma entonces y

cuando

En general, el determinar el mediante el uso directo de la definición es

difícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.

Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje .



Ejemplo:

Determinar: , , , , , utilizando

para ello la siguiente representación gráfica de la función :

Solución

A partir de la gráfica de se tiene que:

, , , , ,

Ejercicio:

Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función , que se da a continuación:



a. e.

b. f.

c. g.

d.






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Límites laterales

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe una

discontinuidad cuando :

notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos para indicar que tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a".

Similarmente indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a".

Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y .

Estos límites reciben



el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.

Ejemplo:

Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

y

y





Definición de límites laterales o unilaterales


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Definición de límite por la derecha

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el límite por la derecha de en "a".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que

cero ya que .



Definición de límite por la izquierda

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el límite por la izquierda de en

"a".

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.

Ejemplo:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:

Primero hagamos la gráfica de la función:



El punto de discontinuidad se presenta cuando

Luego: y

Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Ejercicio:

Represente la función definida por

y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que los

límites laterales existan y sean iguales.

Es decir, si y solo si y

Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe.

Ejemplo:

Representemos gráficamente la función definida por:



Como y , entonces

Como y , entonces no existe.

Ejercicio:

Considere la representación gráfica de la función definida por:

Determine si existen cada uno de los límites siguientes:

a.

b.

c.

d.

e.









1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Teoremas fundamentales sobre límites

En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.

Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)

Sea una función definida en un intervalo tal que .

Si y entonces .

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único. Prueba: Al final del capítulo.

Teorema 2

Si son números reales entonces

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los siguientes límites:

1.

2.



Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a. con , en

b. con en

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Teorema 3

Si y es un número real entonces se cumple que


Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

1.



2.

Teorema 4

Si entonces .


Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites indicados.

1.

2.

Teorema 5

Si y son dos funciones para las que y entonces se

cumple que:

Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.




Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.

Teorema 6

Si y son dos funciones para las que y entonces se

cumple que

Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones.


Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:



1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones

Corolario

Si entonces

Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:

(n factores)

Ejemplos:

1.

2.

En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del

límite de . Es decir

Ejemplos:

1.

2.



Teorema 7

Si y son dos funciones para las cuales y entonces

se tiene que:

siempre que

Prueba: Se hará posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidad de funciones, y el siguiente teorema.

Teorema 8

siempre que


Ejemplos de los teoremas 7 y 8

1.

2.

3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)

4. (por teorema 7)

(por teorema 5)



(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)

5.

Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

Teorema 9

Si si:

i. es cualquier número positivo.

ii. es impar.


Ejemplos:

1.



2.

3.

4.

Teorema 10

Si , entonces si se cumple alguna de

las condiciones siguiente:

i.

es cualquier entero positivo ( ).

ii.

es un entero impar positivo.


Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.



2.

Teorema 11

Si , y son funciones tales que para todo de cierto

entorno reducido y además entonces se cumple

que .


El teorema anterior nos dice que si para próximo a , la función está comprendida

entre dos funciones que tienden a un mismo límite , entonces también tiende a .

Gráficamente podemos tener lo siguiente:

Por ejemplo, si es una función tal que y como

entonces se tiene que .

Sea ahora una función tal que

Se tiene que



Luego

Ejercicio:

Sea una función tal que

Calcule







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Otros aspectos sobre límites

En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites, especialmente el del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma

indeterminada .

En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego determinar el valor del límite.

Es indispensable en esta parte tener muy en claro los conceptos sobre factorización, racionalización y valor absoluto.

Por medio de ejemplos estudiaremos:

a. Límites que involucran factorizaciones

1.

Si evaluamos el numerador se obtiene: y en el

denominador:

Luego se tiene la expresión que no tiene sentido.

Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:

Luego el límite dado puede escribirse

como , y simplificando se obtiene: que sí puede

determinarse pues

es diferente de cero.



Luego:

2.

Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:

Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como:

simplificando la expresión anterior.

Aplicando el teorema 7

3. Ejercicio

Determinar:

b. Límites que involucran racionalizaciones

1.

Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente:



en este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas

respectivos se obtiene como resultado

2. Recuerde que

Como vuelve a presentarse la forma , procedemos a racionalizar como

sigue:

3. Ejercicio

Determinar

c. Límites con valor absoluto

Recuerde que

1.



Como vuelve a obtenerse la forma .

Como aparece de acuerdo a la definición de valor absoluto se tiene

que:

Así, para valores de mayores que 2 la expresión se puede

sustituir por , y para valores de mayores que 2 se sustituye por

, por lo que se hace necesario calcular los límites cuando

, es decir, se deben calcular los límites laterales.

Luego:

Como los límites laterales son diferentes entonces el no existe.

2.

Vuelve a presentarse la forma . Analizando el valor absoluto se obtiene

que:

Como se desea averiguar el límite cuando es mayor que 1,

entonces se analiza únicamente el siguiente límite:



En este caso el límite sí existe.

3. Ejercicio

Determinar el

d. Límites que involucran un cambio de variable

1.

Al evaluar numerador y denominador en se obtiene . Aunque en

este caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muy largo pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un cambio de variable en la forma siguiente.

Se desea sustituir la expresión por otra que tenga tanto raíz cúbica

como raíz cuadrada. Luego, sea (observe que

).

Además cuando se tiene que y por tanto , es decir,

; en el límite original se sustituye

Sustituyendo se tiene que:



Aunque vuelve a presentarse la forma , la expresión ahora es fácilmente

factorizable.

Así:

2.

Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene

En este caso vamos a sustituir por una expresión que posea raíz

quinta. Tomamos entonces .

Cuando tiende a 1 se tiene que también tiende a 1 y por tanto

de donde

Sustituyendo se obtiene que:



3. Ejercicio







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Límites que involucran funciones trigonométricas

Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.

Vamos a probar que:

a. donde es un ángulo que se mide en radianes.

Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad

siguiente: , donde el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre

una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

es la medida del arco es el radio del círculo

Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en radianes es

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En este caso como se tiene que por lo que

El triángulo es rectángulo y sus catetos miden respectivamente

(Note que ).

Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que , se tiene que:

Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:

y como entonces:

de donde

Si es un número positivo, podemos tomar de tal forma que

siempre que .



De otra manera: siempre que por lo que , y

similarmente, siempre que por lo que

De esta forma hemos probado los dos límites.

b.

Vamos a probar ahora que

Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar

directamente se obtiene la forma .

Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulo

central (siendo en radianes su medida), con , como se muestra

en la figura siguiente:

Puede observarse que: el área del el área del sector el área del

(1). Además se tiene que:

el área del .

el área del sector



el área del

Sustituyendo en (1):

de donde

Como entonces , por lo que podemos dividir los términos de la

desigualdad anterior por , sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que:

por lo que

Esta última desigualdad también es válida cuando pues

y además

Como y y , aplicando el teorema 11 se

concluye que:

Ejemplos:

1.

2.

Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:



3. pues cuando

4.

5.

6. Ejercicio

7. Ejercicio

En los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión.

8.

Multiplicamos por el conjugado de que es como sigue:



9.

10.

Como entonces cuando .

Además



Desarrollemos :

Luego:

11. Ejercicio

12. Ejercicio









1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Límites infinitos y límites al infinito

El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través

de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez

mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos

.

Consideramos la función definida por para . Vamos a

determinar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando

. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

a.

En este caso, cuando , la función tiende a tomar

valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como

, es decir

b.

Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a



valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea

.

c.

Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores,

obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.

Así , o sea, cuando .

d.

En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es

decir,

Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma

siguiente.



Consideramos ahora la función definida por para ,

cuya representación gráfica es la siguiente:

Podemos decir que:

a. y

b. y

Ejercicio

Determine: , , , , , ,

utilizando para ello la función .



Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

Definición

Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota

, si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe

tal que siempre que .

Gráficamente se tiene:

Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir,



mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función definida por:

Demostremos ahora que

Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que

.

Observe que: .

Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que

.



Si tomamos, por ejemplo, cuando , es

decir, cuando .

Definición

Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por

, si para todo número real , existe una tal que

Gráficamente se tiene que:

La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número

negativo , tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función definida por



Demostremos ahora que

Para hacer la prueba debe establecerse que dado un , existe

siempre que

Observe que (el sentido de la desigualdad cambia pues

).

Además .

Note que sí tiene sentido pues

Luego, si y solo si por lo tanto tomamos .

Así, dada , existe , tal que siempre que

Si por ejemplo, tomamos entonces o sea , por lo

que siempre que



Definición

Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe

, si se cumple que a cada número positivo , (tan grande como se

quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de ) tal que

.

Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y se

escribe si siempre que (Observe que es

mayor que cero pues ya que ).

-El comportamiento de la función definida por cuando , está

regido por la definición anterior.

Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.

-Los símbolos y se definen análogamente,

escribiendo en vez de . (note que si entonces )


En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha como



por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el

valor absoluto), es decir, se tiene que y cuando

Definición

Se dice que cuando es decir, si para cada

número positivo existe otro número positivo , tal que

.

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue:

Observe que y que

Podemos anotar que

Ejemplo:

Demostraremos que



Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existir

siempre que

Ahora, como si y solo si , entonces, para cualquier número ,

podemos tomar de tal forma que se cumpla que .

Por ejemplo, si entonces . Esto significa que es

mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.

La función f definida por , con , tiene como representación gráfica la

siguiente

Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse ,

y

En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de



una función f en el que se evidencien los límites anteriores:

a.

b.

c.

Ejercicio:

En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:



a) b) c) d)

a) b) c) d)

Consideraremos ahora la función f definida por

En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando y

cuando :



a.

b.

En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valores

negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función tiende

a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que:

y

A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función :

Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando y cuando



Definición

Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen

elementos de en el intervalo .

El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa

, si para cada existe un número tal que para

toda y .

Ejemplo

Probar que

Hay que demostrar que para existe tal que si

Se tiene que

Si entonces por lo que:

Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si

, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique que

siempre que .

Por ejemplo, si entonces por lo que:



La representación gráfica de la función es la siguiente:

Definición

Sea una función con dominio tal que para cualquier número , existen

elementos de en el intervalo .

El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa

, si para todo existe un número tal que para

cada y .

Ejercicio

Utilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemplo inmediato anterior, pruebe que:







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Teoremas sobre límites infinitos

Teorema 12

Si es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:

1.

2. si es par

3. si es impar


Ejemplos:

1. en este caso

2. con

Gráficamente se tiene que:



3.

4.

5.

6.

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

3.



Teorema 13

Si es cualquier número real, y con , entonces:

1. si se tiene que y





Ejemplos: de cada uno de los casos que se mencionan en el teorema anterior.

1.

Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la forma indeterminada

.

Como la expresión puede aproximarse a cero a través de valores positivos o a

través de valores negativos, estudiaremos los límites laterales como sigue:

a.

Como , entonces por lo que y se dice que .

Así, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a .

Luego, aplicando la parte 1 del teorema se obtiene que



b.

Como , entonces por lo que y se tiene que .

Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a

aplicando la parte 2 del teorema anterior se obtiene que

Como los límites laterales son diferentes decimos que no existe.

2.

Observe que y que

Como la expresión puede tender hacia cero a través de valores positivos o a través

de valores negativos debemos calcular los límites laterales de la siguiente forma:

a.

Como entonces por lo que y de donde

.

Así el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a , por lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior se obtiene que

b.

Como entonces y de donde y puede decirse

que .

Luego, el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a , por lo que aplicando la parte 4 del teorema anterior se obtiene que



Como entonces no existe.

Ejercicio:

Calcular cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

Teorema 14

Sean y funciones con dominios respectivamente y sea "a" un número

tal que todo intervalo abierto que contenga a "a" contiene números diferentes de "a"

en .

Si y entonces

1.

2. si

3. si

4.


Ejemplos:



a.

En este caso y pues y en el

numerador se tiene una constante positiva, obteniéndose el resultado anterior al aplicar la parte 1 del teorema 13.

Luego:

b.

Este límite anterior puede escribirse como siendo

y

Calculamos el

Como entonces y ; además la constante en el

numerador es positiva por lo que aplicando la parte 1 del teorema 13 se tiene que

Ahora, el y aplicando la parte 2 del teorema anterior se

tiene que

c.

Este límite puede escribirse como sabemos que

y además por lo que aplicando la

parte 3 del teorema anterior concluimos que

d.



En este caso se tiene que y que por parte 1 del

teorema 13 de donde, aplicando la parte d) del teorema 14 concluimos que

Teorema 15

Sean y dos funciones, "a" un número con la propiedad mencionada en el

teorema 14.

Si y entonces:

1.

2. si

3. si

4.

Prueba: Similar a la del teorema 14.

Ejemplos:

1.

En este caso y

Calculemos

Si entonces por lo que puede decirse que



Como la constante en el numerador es positiva, aplicando la parte 2 del teorema 13 se deduce que:

Por otra parte , y aplicando el punto 1 del teorema 15 se obtiene que

2.

Este límite puede escribirse como

Como y , aplicando la parte 2 del teorema 15 se

obtiene que

3.

El límite anterior puede escribirse como

Como , y , entonces aplicando el punto 3

del teorema 15 se obtiene que

4.

En este caso se tiene que y por parte 2 del

teorema 13 (compruébelo). Luego aplicando el punto 4 del teorema 15 se tiene que

Ejercicios: aplicación de los teoremas 13,14 y 15

Calcule los límites siguientes:



1.

2.

3.

Teorema 16

Si y son funciones tales que y entonces se

cumple que:

1.

2.

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo:

Determinar el límite siguiente

En este caso calculemos: y

Como entonces y por lo que y o sea

y . Luego, se tiene que y

(por teorema 13), y concluimos de acuerdo al teorema anterior que:



Ejercicio

Calcule cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

Teorema 17

Si y son funciones tales que y entonces:

1.

2.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Ejemplo:

Calculemos:

y

Como entonces por lo que , o sea y

. Luego, se tiene que (por teorema 13 parte 2) y

(por teorema 13 ).

Entonces, utilizando el teorema anterior se tiene que:

y



Ejercicio

Calcule los límites siguientes:

1.

2.

Teorema 18

Si y son funciones tales que y entonces:


Ejemplo:

Calculemos:

y

Como entonces además y cuando .

Luego, se tiene que: y y aplicando el teorema

anterior tenemos que:

Ejercicio:

Calcule



Nota: los teoremas 12 a 18 son válidos cuando

Teorema 19

Si entonces


Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

Teorema 20

Si es un número positivo tal que es un número real para , entonces

Prueba: Similar a la del teorema 19.

Nota: observe que, como está creciendo a través de valores negativos es necesario que

sea un número real, no teniendo sentido expresiones como:

Ejemplos:



1.

2.

3.

4.

Note que si entonces por lo que sí tiene sentido cuando

.

Daremos ahora ejemplos de límites cuando y cuando . Para calcular

y factorizamos la variable de mayor exponente como se evidencia

a continuación.

1.

Note que cuando

2.

pues



3. ejercicio para el estudiante

4.

Recuerde que cuando

5.

Observe que evaluando, el numerador tiende a una constante (5), y el denominador tiende a .

(por teorema 19)

6.



Como está definida a través de valores positivos entonces

Observe que y que la expresión dentro del paréntesis tiende a .

7.

Como crece a través de valores negativos se tiene que

Nota: Recuerde si es par.



8. Ejercicio

9.

Note que

10.

Observe que:

Luego se presenta la forma para la que no tenemos ningún teorema

que nos permita dar el resultado.

Cuando se presenta esta situación, primero racionalizamos y luego evaluamos el límite con el proceso que ya conocemos:

Así tenemos que:



11.

Observe que:

y

Por lo que en este caso se presenta la forma , o sea, para la

que sí existe un teorema y concluimos que:

Ejercicio



1. (respuesta: 2)







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica

Recordemos primero el comportamiento de la función exponencial y el de la función logarítmica.

1. con

Note que: y

2. con



Note que: y

3. Función logarítmica de base

Observe que: y

Además y



Si entonces y , o sea y por tanto .

Si entonces y por lo que y

Tomando en cuenta las representaciones gráficas de las funciones exponenciales y

logarítmicas, estudiaremos límites que involucran funciones de la forma

con constante.

Calculemos los siguientes límites:

1.

En este caso se tiene la función exponencial de base .

Observe que en la expresión el denominador tiende a cero cuando ,

por lo que analizaremos el comportamiento de esta expresión cuando , y cuando

a.Si entonces , por lo que

(Teorema 13)

Como entonces

pues estamos trabajando con la función exponencial con base mayor que .

Luego

b.



Si entonces , por lo que

Como el exponente de la función exponencial tiende a más infinito entonces:

cuando y por tanto:

Como los límites laterales son diferentes entonces

no existe

2.

Tratamos nuevamente con la función exponencial, pero ahora la base es

(Revise la representación gráfica de )

Calculamos los límites laterales nuevamente pues el denominador de la expresión

tiende a cero cuando

a.

❍

Si entonces por lo que y

como se tiene que



Luego

b.

Si entonces por lo que y

como entonces

Luego

Como

entonces no existe.

3.

Observe que cuando se tiene que por lo que

. Como el numerador tiende a una constante, y el denominador

tiende a cero, es necesario calcular los límites laterales como sigue:

a.



Como entonces por lo que

y por tanto , de donde y se

tiene que

Luego

b.

Como entonces por lo que

y por tanto , de donde o sea que

y se tiene que

Por tanto:

Como los límites laterales son diferentes, se concluye que:

no existe.

4. Ejercicio

5. Ejercicio

6.

Se deben analizar dos casos:

i.

ii.

Además se debe tomar en cuenta el comportamiento de la función

en los alrededores de , pues y por lo que el

denominador tiende a cero cuando .



La representación gráfica de la función , en el intervalo es la siguiente:

Observe que cuando se tiene que y que cuando

entonces , por lo que y

Ahora analicemos el límite pedido.

i.Cuando

1)

2)

Como los límites laterales son diferentes entonces:

no existe.

ii.

Cuando

1)



2)

Luego, los límites laterales son diferentes por lo que no existe.

7.

En este caso la base de la función exponencial es y .

Como y cuando , analicemos la gráfica de

cuando , analicemos la gráfica de en los

alrededores de

Si entonces por lo que y , es

decir,

Si entonces por lo que y , o

sea, .

Luego al calcular los límites laterales se tiene que:

y



Por lo que no existe.

8. Ejercicio para el estudiante.







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Introducción

"Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.

A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad: Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo. Continuo: Que tiene continuidad entre las partes. Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino.

Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por medio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por primera vez en 1821 por el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857)". (Apóstol, 1977, 156)

Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el comportamiento de algunas funciones que no son continuas.

a.

Sea f la función definida por

Su representación gráfica es la siguiente:



En este caso la función f estádefinida en pues .

Sin embargo el no existe ya que

, y,

y se tiene que los límites laterales son distintos.

b.

Sea g la función definida por para ,

Su representación gráfica es la siguiente



Note que la función g no estádefinida en 2 y que además no existe pues

y

c.

Consideremos ahora la función h definida por:




En este caso, la función h estádefinida en 1 pues , además existe y es

igual a 1, pero

Puede observarse que las gráficas de las funciones f, g y h, presentan "saltos bruscos" o discontinuidades en los puntos en los que no está definida la función o en los puntos, en los que aún cuando la función está definida, el límite de la función en ese punto no existe, o su valor es diferente al que toma la función en ese punto. Luego, debemos establecer condiciones bajo las cuales se sepa con certeza cuándo una función es continua. De los ejemplos anteriores podemos deducir intuitivamente lo que se establece en la siguiente definición.







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Definición de continuidad

Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.

está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)

2.

existe

3.

La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo

Determinar si la función definida por es continua en

Primero por lo que f está definida en 2

Calculemos

(de aquí existe)

Como entonces f es continua en

Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo

Determine si la función definida por



es o no continua en Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además

Pero por lo que es discontinua en .


Ejemplo

Sea f la función definida

Determinar si f es continua en Según la definición de la función .

Además



Luego por lo que f es continua en

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

Ejercicios

Determine si la función f definida por es o no continua en

Similarmente para la función h definida por , en los puntos y







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Discontinuidades evitables

Si una función f es discontinua en pero se tiene que existe, entonces

sucede que no existe o que es diferente de . Ambas situaciones se

ilustran a continuación:

y no existe y ( )

En ambos casos, la discontinuidad de la función puede evitarse predefiniendo la función

de tal forma que sea igual al resultado del

Ejemplo


Determinemos si f es continua en Se tiene que y que

Se observa que existe pero es diferente de



Luego, si le asignamos a el valor de 0 (cero), la función es continua. Puede

escribirse de nuevo la definición de f como sigue:

Ambas situaciones se ilustran a continuación:

La discontinuidad será inevitable o esencial si el limite de la función en el punto de discontinuidad no existe.

Ejemplo

Consideremos la función definida por

Analicemos la continuidad en . Como f no está definida en 2, automáticamente f es discontinua en ese valor. Sin

embargo, si el existe puede redefinirse la función para que sea continua.

Calculemos por tanto el .

Para ello vamos a analizar los límites laterales como sigue:

Como los límites laterales son diferentes entonces no existe y la discontinuidad

es inevitable, ya que no podemos redefinir la función. La representación gráfica de la función f es la siguiente:



Ejercicio

Para cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o no continua en el valor de especificado. En caso de discontinuidad, especifique si ésta es evitable o no. Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de la función.

1.

2.

3.







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Continuidad en un intervalo [a,b]

Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:

a. es continua para todo tal que

b. es continua por la derecha en "a"

c. es continua por la izquierda en "b"

Es decir, f es continua en si:

a.

b.

c.

Ejemplo

Consideremos la función f definida por .

Esta función es continua en el intervalo cerrado , ya que si se tiene

que:

; además

, y,

La representación gráfica de esta función es la siguiente:



También se tiene que una función definida en el intervalo , es continua en ese

intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto y es continua por la derecha

de "a". Similarmente, para que una función definida en el intervalo sea continua en ese

intervalo, es necesario que sea continua en el intervalo abierto y a la vez que sea

continua por la izquierda en "b".

Ejemplo

Consideremos la función definida por en el intervalo .

Para , se tiene que

Además , por lo que la función es continua por la

derecha en . Luego f es continua en

Ejemplo

Considere la función definida por en el intervalo .



Pare se tiene que y

por lo que es continua en

Además, y es continua por la izquierda en 2.

Luego es continua en el intervalo







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Definición de continuidad utilizando y

Según la definición de continuidad, una función f es continua en un punto c si

.

Utilizando la definición de límite, la anterior igualdad significa que para cada existe

tal que si entonces

Sin embargo ahora la restricción no es necesaria, ya que si toma

entonces y por lo que y cero es menor que , lo cual

cumple con lo que estipula la definición de límite.

Luego puede decirse que

Definición

Una función es continua en si y solo si para cada existe tal que si

entonces .

Note que si la función es continua en c, entonces el punto está en la gráfica de

f y existen puntos de ella tan cercanos como se desee al punto .

Según la definición dada de continuidad, dada una y para cualquier selección de las

rectas cuyas ecuaciones son , , existen rectas con ecuaciones

, tales que la parte gráfica de f que está entre las dos últimas líneas,

queda enteramente contenida en el rectángulo determinado por las cuatro rectas ya mencionadas, como se muestra en la figura siguiente:









1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Teoremas sobre continuidad de funciones

Teorema a

Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos y respectivamente y

si entonces:

a.

es continua sobre el intervalo U

b.

es continua sobre U

c.

es continua sobre U (Producto de dos funciones)

d.

es continua sobre U, excepto para tal que

Demostración: al final del capítulo.

Teorema b

La función f definida por , donde es un polinomio real, es

continua para todo número real.

(Recuerde que , , ,

para )

Demostración: al final del capítulo

Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:



Teorema c

Una función definida por

y


Ejemplos

1.

La función definida por es continua para todo

, ya que el polinomio en el denominador se hace cero cuando se evalúa

en , o

2.

La función definida por es continua para tal que y

Teorema d

Sean y dos funciones tales que

Además y g es continua en d.

Entonces


Ejemplo:



Sean y dos funciones tales que:

,

Como y g es continua para pues

, entonces

Teorema e

Si es una función continua en y es una función continua en , entonces la

composición de funciones es continua en .


Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo

1.

Sean y dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,

.

Note que es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La función f

es continua para

Luego la función será continua para los

valores de x tales que sea mayor o igual que cero.

Como y , entonces la función h será continua

para todo valor real.

2.

Consideremos las funciones definidas por



, .

La función es continua para , y la función es continua para todo valor real

por ser función polinomial.

Luego la función , dada por sea continua siempre , es

decir, siempre que .

3.

La función h definida por es continua siempre que sea mayor que

cero.

Esta última condición se satisface cuando

Teorema f

La función seno definida por es continua sobre todo su dominio, o sea.

sobre todo .


Ejemplo

La función f definida por es continua siempre que x sea diferente de cero, pues en

se tiene que no está definida.

Teorema g

La función coseno denotada por es continua sobre todo su dominio . Demostración: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo

La función puede considerarse como la composición de las funciones con ecuaciones



, . Como la función f es continua para y la función g es continua para

todo x en , entonces la función h es continua siempre que sea mayor o igual a cero, lo que sucede cuando:

, , par.







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Algunas propiedades de las funciones continuas

Daremos ahora algunas propiedades de las funciones continuas sobre un intervalo, cuya interpretación geométrica parece hacerlas evidentes.

Teorema h

Sea f una función continua en c tal que .

Existe entonces un intervalo en el que f tiene el mismo signo que .

Demostración: al final del Capítulo.


En este caso para x cercano a c, pues

Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en cada punto de un intervalo cerrado , de donde

y tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un punto en

el intervalo abierto tal que




Geométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:

la gráfica de la función continua con ecuación , que une los puntos y

, donde y , (o bien , ), corta o interseca el

eje X por lo que menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:

Note que En este caso , y

Ejemplos

1.

Consideremos la función f con ecuación en el intervalo .

Como , , , , entonces existe por lo menos un

en tal que .

En este caso .




2.

Consideremos ahora la función con ecuación en el intervalo

Como y , entonces existe por lo menos un valor en el

intervalo tal que


Note que la función interseca al eje X en un valor entre -2 y -1 en , y en un valor

entre 3 y 4. Resolviendo se obtiene que , ,



Teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo . Sin y

son dos puntos cualesquiera de tales que y ,

entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre y por

lo menos una vez en el intervalo .

Demostración: al final del Capítulo.

Gráficamente se tiene lo siguiente:

En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes

, , siempre se encontrará un punto , comprendido entre y

, tal que , cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.

Ejemplo

Consideremos la función f con ecuación definida en el intervalo , cuya

representación gráfica es la siguiente:



En este caso y (obviamente )

Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre y 4 cuya

imagen esté comprendida en y .

Si existe , tal que

Si existe , tal que ; en este caso

Es necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamente cuando la función es continua en un intervalo dado. En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple. Por ejemplo, consideremos la función en el intervalo definida por la siguiente

ecuación:

La representación gráfica es la siguiente:



Note que la función es discontinua en el intervalo , pues en , el no

existe. Se tiene que y que .

Si se toma un valor k entre y 1, , no existe ningún valor C entre 0 y 2,

tal que , pues la función nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una recta

con ecuación , ésta nunca intersecaría a la curva.

De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se cumpla el Teorema.







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Continuidad y funciones

Antes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobre continuidad, daremos las siguientes definiciones.

Definición: Función estrictamente creciente

Se dice que una función f definida en un intervalo es estrictamente creciente, si

para cada , con se tiene que



Definición: Función estrictamente decreciente

Similarmente, una función f es estrictamente decreciente si pero

Por ejemplo, la función con ecuación es estrictamente creciente en el

intervalo de , como se muestra en la gráfica siguiente:



La función con ecuación es decreciente en el intervalo como se

muestra en la figura siguiente:

Consideremos ahora la gráfica de una función f, denotada por , que es continua y

estrictamente creciente en un intervalo

Según el Teorema del valor intermedio, si "y" está comprendido entre y ,

entonces existe por lo menos un tal que . En este caso, como f es una

función estrictamente creciente, si , existe un único valor tal

que

Podría establecerse una nueva función g que tomara a "y" como la variable independiente,

de tal forma que x sea igual a . Esta nueva función g recibe el nombre de función

inversa de la función f y se denota por .



Definición: Función inversa

Sea f una función determinada por

Si existe una función tal que si y solo si , entonces

recibe el nombre de función inversa y está determinada por

El dominio de es el rango de , y el rango de es el dominio de f.

Así:

Por ejemplo, la función

tiene como función inversa, la función definida por

La representación gráfica de ambas funciones es la siguiente



Note que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la función identidad.

Propiedades de las funciones inversas



Teorema k

Si una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo , entonces:

1.

existe la función inversa en el intervalo

2.

es estrictamente creciente en

3.

es continua en


Ejemplo

Sea f la función definida por:


Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según el

teorema existe una función inversa que también es continua y estrictamente

creciente. Dicha función está definida de la manera siguiente:




Teorema L

Si una función es continua y estrictamente decreciente en un intervalo

entonces:

1.

f posee una función inversa denotada , definida en

2.

es decreciente en

3.

es continua en

Ejemplo

Consideremos la función f definida como sigue:




La función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa que también es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:


Ejercicios

1.


Represente gráficamente esta función.

Si f cumple las condiciones del teorema L o del teorema k, determine y haga

la respectiva representación gráfica.



2.

Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. para

Nota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente, serán de gran utilidad cuando estudiamos las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas en el próximo capítulo.







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Valores máximos y mínimos para funciones continuas

Definición Máximo absoluto y mínimo absoluto

Sea f una función real de variable real definida en un conjunto U de números reales.

a.Se dice que la función f posee un máximo absoluto en el conjunto U, si existe

por lo menos un valor c en U tal que para todo .

El número recibe el nombre de máximo absoluto en en U.

b.Se dice que f posee un mínimo absoluto en U si existe un valor d en U tal que

para todo .

Ejemplo Consideremos la función f definida por:

en el intervalo

Su representación gráfica en este intervalo es la siguiente:



Como para todo entonces el máximo absoluto de la función es

Como para todo entonces el mínimo absoluto de la función es

Ejemplo

Consideremos la función f definida por:


En este caso para todo , por lo que es el máximo

absoluto de .

Sin embargo, esta función no posee un mínimo absoluto.

Note que



Teorema de acotación para funciones continuas

Si f es una función continua en un intervalo cerrado entonces es acotada en

, es decir, existe un número tal que para todo .

Una demostración de este teorema aparece en el libro Calculus de Tom M. Apóstol.

Ejemplo

Sea f una función definida por:


es continua para todo

Note que lo que puede escribirse como , de donde

Luego para por lo que es acotada en

Ejemplo Considere la función definida por:



Su representación gráfica es la siguiente

es continua para todo

Se tiene que para , por

lo que de donde y por tanto para

. Luego es acotada en

Si una función f es acotada en un intervalo cerrado , entonces el conjunto de todos los

valores de está acotado tanto superior como inferiormente.

Luego, este conjunto posee un extremo superior y un extremo inferior denotados por

e respectivamente. Se escribe entonces:

El es el mayor de los para

El es el menor de los para



Para cualquier función acotada se tiene que para todo

En el ejemplo inmediato anterior se tiene que el es , y que el es

Teorema del máximo (mínimo) para funciones continuas

Si una función es continua en un intervalo cerrado , entonces existe puntos

y en tales que y


Según el teorema, podemos decir que si f es continua en entonces el es su

máximo absoluto, y el es su mínimo absoluto. Luego, por el teorema del valor

medio, los valores que toma estarán en el intervalo .

Es indispensable que el intervalo sea cerrado, pues de no serlo, puede ocurrir que aunque una función sea continua en un intervalo abierto, no alcance en él ni su valor máximo ni su valor mínimo. Ejemplo Sea la función definida por:




Observe que aunque es continua en no posee ni máximo ni mínimo absoluto,

o sea no tiene ni ni

Ejemplo


En la gráfica siguiente puede apreciarse que para , por lo que

. Sin embargo no posee un valor máximo absoluto.



Note que

Ejemplo



En este caso, el intervalo en el que está definida la función f sí es cerrado. Note que

para por lo que existe en tal que .

Además para , por lo que existe en tal que

Se tiene entonces que es el máximo absoluto de la función y el corresponde a

su mínimo absoluto.








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Demostraciones


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Demostraciones

1. Probar que

Consideremos la siguiente igualdad:

Sustituyendo por se obtiene

Sumando, por separado, cada uno de los términos en ambos lados de la igualdad se obtiene

Como entonces

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Demostraciones

de donde

Efectuando la suma del lado izquierdo, se obtiene que

y por lo tanto , que era lo que se

quería probar.

Puede utilizarse también el método de inducción matemática para probar la validez de esta igualdad, lo mismo que para probar que se cumple

2. Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)

Vamos a suponer que y demostraremos que ello es imposible.

Si , hagamos que será positivo por estar tomando el valor

absoluto.


Demostraciones

Como entonces, por la definición de límite, se sabe que tal

que siempre que

Además, y también por definición se sabe que existe Tal que

cuando . Puede suceder que o que .

Supongamos que .

Como entonces

de donde

(Recuerde que )

Como y entonces

y por lo tanto

Pero habíamos definido y hemos llegado a que lo que es absurdo.

Luego la suposición de que es diferente de nos ha llevado a una contradicción, por lo que debe ser falsa.

Entonces, necesariamente , con lo que queda demostrado el teorema.

3. Teorema 2. Sea , números reales. Nos interesa encontrar una

tal que siempre que


Demostraciones

Como entonces

.

Considere los casos siguientes

1.

Dada cualquier se tiene que es menor que siempre que

sea menor que

Luego si entonces , siempre que

.

2.

Si entonces , por lo que dada cualquier ,

la desigualdad será cierta para todos los valores de y

por lo tanto, para cualquier se cumple que cuando

4. Teorema 3. Debemos probar que dada cualquier , existe tal que

siempre que .

Como entonces será

menor que si (A) Como entonces dada


Demostraciones

una , existe tal que cuando .

Considerando lo especificado en (A), podemos utilizar esta misma para que

y así queda demostrado el teorema.

5. Teorema 4. Consideremos los siguientes casos

1.

En este caso debemos probar que , es decir que dada cualquier

, existe tal que o sea , cuando

, con , lo que convierte en .

Tenemos que si entonces por lo que si se cumple que

cuando y así queda demostrado este caso.

2.

En este caso debe probarse que es decir que para cada

existe una tal que es menor que cuando

, con .

Se tiene que para la expresión puede escribirse como sigue:

de donde


Demostraciones

Luego, , siempre que Tomando

se cumple que cuando y así

queda demostrado el segundo caso.

6. Teorema 5. Para demostrar que dada

debemos probar que existe tal que si entonces

Si se tiene que también

Como:

1. se sabe que existe tal que si

entonces

2. se sabe que existe tal que si

entonces

Tomando como el mínimo de y se tiene que si entonces

y

Ahora:

y como y se tiene que

Por lo tanto, si es igual al mínimo de y se obtiene que si

entonces


Demostraciones

7. Teorema 6.

Dado hay que demostrar que existe tal que si

Como y entonces multiplicando y

restando se obtiene que:

Luego:

Por hipótesis, como , existe tal que

si

Tambíen como , existe tal que si

Tambíen se tiene que si y

si Si es el mínimo de , las

desigualdades anteriores se cumplen para toda tal que

Luego:

es menor que:


Demostraciones

Además como y se tiene que

y

Luego:

para . Y así queda demostrado el teorema.

Nota

Se utilizó y en los denominadores de y en lugar

de y , pues si es igual a cero no puede estar en el denominador, en tanto

que no puede hacerse cero y como ya se dijo es siempre menor que 1, ya

que el denominador es mayor que el numerador.

8. Teorema 8. , con

Hay que considerar dos casos; cuando y cuando Haremos el desarrollo

para

Debe probarse que para cualquier , existe un tal que sea menor que


Demostraciones

siempre que

Note que:

pues (*).

Como la desigualdad es equivalente a y por tanto

, y como entonces

Luego, siempre que se tiene que

Volviendo a (*) podemos escribir que:

por lo que

siempre que

Como queremos que sea menor que , , al tomar como

la más pequeña entre y , nos aseguramos que siempre que y

Luego


Demostraciones

de donde

siempre que donde es igual al mínimo entre y

De esta forma queda demostrado que , con

9. Teorema 9.

Vamos a demostrar que cuando y es cualquier

número positivo.

Luego debe demostrarse que para cualquier , existe un tal que ,

siempre que .

Vamos a utilizar la fórmula siguiente válida para cualquier entero positivo

para expresar en términos de como sigue:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (10 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.

Demostraciones

Se desea encontrar un número tal que la fracción en el lado derecho de la igualdad anterior sea menor que ese número.

Si se condiciona que la que se está buscando sea menor o igual que entonces siempre

que se sabe que , lo que es equivalente a:

o sea

Luego siempre que se tiene que x>0, por lo que, si en el denominador de la

fracción del lado derecho de la igualdad dada en , la se sustituye por 0, se tiene

que:

que es la fracción mencionada.

Luego, siempre que se tiene que

Se desea que sea menor que es decir que

Así tomando como la más pequeña entre y nos aseguramos que siempre que


Demostraciones

se cumple que y

Por tanto

siempre que , donde es igual al mínimo entre y , con lo que

queda demostrado el teorema.

10. Teorema 10.

Será demostrado más adelante, utilizando el teorema 8, y un resultado sobre continuidad.

11. Teorema 11.

Como entonces para cualquier existe un

entorno reducido de tal que y es decir

y

Ahora, para toda toda que pertenece a donde se tiene que:


Demostraciones

por lo que

De aquí que para lo que significa que y el

teorema queda demostrado.

12.Teorema 12.

Probaremos la parte a)

Se debe demostrar que dada , existe tal que siempre que

(Recuerde la definición 1.10.3)

Como y entonces se tiene que siempre que .

Además por lo que siempre que .

Tomando se cumple que siempre que .

Las demostraciones de las partes b) y c).

13. Teorema 13.

Vamos a probar la parte a) o sea si y cuando

.

Para ello debe probarse que dada , existe una tal que siempre

que (Recuerde la definición 1.10.1)


Demostraciones

Como , con c>0, tomando , se tiene que existe una tal

que siempre que (Por definición en un punto de

límite en un punto).

Luego, de la desigualdad se sigue que siempre que

, por lo que siempre que .

Luego existe una tal que siempre que (*)

Por otra parte, como se tiene que dada , (cualquiera), existe una

tal que siempre que . (También por definición de

límite).

Como tiende a cero a través de valores positivos entonces

Luego, dad , existe una tal qu siempre que

(**)

De las afirmaciones hechas en (*) y (**) se puede concluir que dada una , existe una

y una tales que:

siempre que que es lo que se quería demostrar, como se indicó al

principio de la prueba.

14. Teorema 14.

Probaremos la parte 1), o sea que si y


Demostraciones

Para ello se necesita que dada , (sin importar que tan grande), exista con la

propiedad que siempre que .

Como , para , existe tal que siempre

que .

Luego se tiene que , siempre que de donde

siempre que .

Además, como , dada , existe tal que

siempre que . Tomando como el mínimo de y , las

desigualdades y se cumplen si .

Luego cuando y el teorema queda

demostrado pues es suficientemente grande.

15. Teorema 18.

Para demostrar este teorema se necesita que para un dado, (sin importar lo pequeño),

exista tal que si .

Como entonces dada (sin importar su magnitud), existe tal

que siempre que .

Además, como , dada (sin importar lo pequeña que sea); existe

tal que si .


Demostraciones

Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que , , y

.

Se tiene entonces que si y por tanto

si y .

Tomando como el mínimo de y y , se cumple que

siempre que .

Como puede ser arbitrariamente pequeña, (por tanto negativa), y puede ser

arbitrariamente grande, (por tanto positiva), entonces puede ser arbitrariamente

pequeña y se tiene demostrado el teorema.

16. Teorema 19.

Para demostrar que se necesita que para cualquier dado exista

K tal que:

para toda (Recuerde la definición 1.10.5).

Ahora, si entonces

por lo que si y solo si . Además, si y solo si:


Demostraciones

Luego, dada , si escogemos entonces

para toda y el teorema queda demostrado





Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones

Lic. Elsie Hernández S..

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Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones.

A. Probaremos la parte a)

Sea cualquier número en .

Como y son continuas entonces se tiene que y

.

De los teoremas sobre límites se sabe que:

Luego

por lo que se cumple lo establecido en la definición de continuidad y es continua en

. El resto de los apartados se demuestran similarmente.

B. Sea , , ,

, .

Aplicando los diferentes teoremas sobre límites se tiene que:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIF.../limitesycontinuidad/html/demostraciones%20116.html (1 de 12)27/11/2005 12:47:29 a.m.



Al cumplirse lo establecido en la definición de continuidad, se ha demostrado que la

función es continua para toda .

C. Sea una función definida por donde y son funciones

polinomiales.

El dominio de es decir, .

Aplicando el teorema para el límite de un cociente se tiene que:

Como y son funciones polinomiales, por el teorema B se tiene que son funciones continuas y por tanto

y .

Luego



y concluimos que es continua en todo número de su dominio.

D. Sea

Como es continua en d, entonces lím por lo que existe una tal

que cuando .

Como entonces dada dicha , existe una tal que

siempre que .

Luego para esta se tiene que cuando entonces

, con lo que queda demostrado el teorema.

E. Debemos probar que:

, o sea que, dada una debe existir algún número

tal que si entonces .

Como es continua en entonces lím .

Tomando como es continua en entonces , por lo que

existe un número tal que si entonces .

Luego, si entonces y , que era



lo que se quería demostrar.

Así los números que están a una distancia menor que de , por medio de la función ,

son llevados una distancia menor que de , y a continuación son transportados por

una distancia menor que de .

F. Debemos probar que , o equivalentemente que:

lím

Como , entonces se tiene que

lím lím

= lím lím

=

=

Con lo que queda demostrado el teorema.

G. Demostración del teorema de límite de un cociente cuyo enunciado es el siguiente:

"Si y con entonces

."



Sea h la función definida por . Para una función dada , la función continua

para todo número real tal que , entonces:

Luego aplicando el teorema sobre el límite de un producto se tiene que:

y el teorema queda demostrado.

H. Supongamos que . Como es continua en entonces

, por lo que para cada , existe un tal que:

siempre que , es decir:

siempre que .

Tomando el correspondiente a que es positiva pues , entonces se

tiene que siempre que , o sea

cuando .

Luego concluimos que en este intervalo y por tanto y poseen el

mismo signo.



Si entonces se tomo correspondiente a y se llega a la misma

conclusión

I. Teorema de Bolzano

Supongamos que y . De hecho , pueden existir muchos valores de x

entre y tales que . Vamos a encontrar uno determinado el mayor para el

cual .

Sea el conjunto de todos los puntos del intervalo para los que . Note

que hay por lo menos un punto en , ya que .

Luego, es un conjunto n vacío. está acotado superiormente pues todos los puntos de

están en .

Como todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un

extremo superior, designemos a éste con . Se debe probar entonces que .

Existen solo tres posibilidades: , y . Si entonces

hay un intervalo o si , tal que es positivo si está

en este intervalo.

Por tanto, ningún punto de puede estar a la derecha de , por lo que es una

cota superior del conjunto . Pero y es el extremo superior de . Luego la

desigualdad es imposible.

Si , entonces hay un intervalo o si , en el que



es negativa, por lo que para algún , lo que contradice el hecho que es

una cota superior de .

Luego también es imposible, quedando únicamente la posibilidad de .

Además, puesto que y .

Queda demostrado el teorema.

J. Teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Supongamos , y sea un valor cualquiera que se encuentra entre

y . Sea una función definida en el intervalo de la siguiente manera:

.

Se tiene que es continua en cada punto de , pues es la diferencia de dos

funciones continuas, y además:

,

pues .

Aplicando el teorema de Bolzano a la función se tiene que para algún entre

y , lo que significa , quedando demostrado el teorema.



K. 1. Como es continua en entonces si es un número entre y , es

decir , según el teorema del valor medio, existe un número tal

que

Luego, si , existe al menos un número tal que . Se

quiere demostrar que a cada número le corresponde un único número .

Supongamos tal que y con y en

, . Así .(*)

Al suponer puede suceder que sea menor que o que sea menor que

.

Si , como es creciente en entonces , lo que contradice

lo señalado en (*).

Si entonces y también contradice (*).

Luego es falso suponer que , y por tanto a cada valor de en le

corresponde exactamente un número x en tal que .

Luego posee una función inversa denotada que está definida para todos los

números en

2. Para probar que es creciente en , hay que demostrar que si y

son dos números en tales que entonces .

Como está definida en entonces existen números y en

tales que y .



Luego

y

. (**)

Como es decreciente en , si entonces o sea .

Pero y por tanto no puede ser menor .

Si , por ser una función entonces , o sea que , lo que

también contradice que sea menor que .

Luego . Si no es menor que , y entonces necesariamente

, de donde (ver (**)).

Luego es creciente en .

3. Para demostrar que es continua en el intervalo , se debe probar que si

, entonces , es continua en , es continua por la derecha en

y es continua por la izquierda en .

Para probar que lím , o sea, para suficientemente pequeño

para que y estén ambos en , existe tal que



siempre que .

Sea , luego .

Como es estrictamente creciente en entonces por lo que

.

Como es estrictamente creciente en entonces:

Sea el más pequeño de los dos números: y ; así

y es decir:

y .

Siempre que se cumple que o sea .

Luego, siempre que se cumple que

.

Como es creciente en se deduce de lo anterior que:

cuando o sea , siempre que , de

donde si , es decir



cuando .

Se ha probado así que es continua en .

Se deja como ejercicio la prueba de que es continua por la derecha en y por la

izquierda en .

Teorema del Máximo (mínimo) para funciones continuas

Vamos a probar que alcanza su extremo superior en . Para el extremo inferior es

suficiente tener en cuenta que el extremo inferior de es el extremo superior de .

Sea . Supongamos que no existe un para el que .

Sea . Para todo se tiene que con lo que la

función recíproca es continua en . Escribamos para todo ,

siendo .

Lo anterior implica que con lo que , para todo

, pero esto está en contradicción con el hecho que es la menor de las cotas

superiores de en .

Luego para un por lo menos en







Tangentes



http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCI...software/graficadorparalimites/Graficadorparalimites.html27/11/2005 12:47:30 a.m.



Límites



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Limites

Límite

Límite de Por la izquierda

Cuando x tiende a Por la derecha-

izquierda

Por la derecha

El valor del límite es

Este guión calcula el límite de la función dada en el valor y en la dirección indicadas.

http://www.cidse.itcr.ac.cr:8080/webMathematica/NewScript/limite.jsp27/11/2005 12:47:31 a.m.

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Límite

Límite de Por la izquierda

Cuando x tiende a Por la derecha-

izquierda

Por la derecha

El valor del límite es

3-2

Este guión calcula el límite de la función dada en el valor y en la dirección indicadas.

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