L’induzione elettromagnetica

A cura di Enrica MaraglianoLiceo Classico C.Colombo

Genova

L’esperimento di FaradayFaraday costruì un circuito elettrico privo di generatore ma dotato di un solenoide e di un amperometro. Egli notò che, avvicinando un magnete al solenoide, nel circuito l'amperometro segnalava passaggio di corrente. Tenendo il magnete fermo non c'era passaggio di corrente nel circuito. Allontanando il magnete si notava invece passaggio di corrente nel verso opposto. Dunque il moto del magnete rispetto al circuito elettrico genera un passaggio di corrente. Inoltre l'intensità di corrente è tanto maggiore quanto minore è il tempo in cui avviene lo spostamento del magnete rispetto al circuito.

Le correnti indotte• Faraday dedusse che un campo magnetico che

varia nel tempo genera una corrente indotta. • La corrente indotta può avere valore positivo o

negativo a seconda del verso in cui si muove il magnete e della posizione del magnete stesso (polo nord o polo sud all’interno della bobina).

Come generare una corrente indotta?

Per generare una corrente indotta, è sufficiente variare:• l’intensità del campo magnetico oppure• la dimensione della spira oppure• l’inclinazione della spira rispetto al campo

magnetico

L’induzione elettromagnetica (I)Il fenomeno fisico che produce correnti indotte si chiama induzione elettromagnetica.Il fenomeno dell'induzione elettromagnetica si ha quando un circuito, percorso da corrente, genera una tensione indotta su un circuito vicino senza una connessione fisica, ma solo per via magnetica. La tensione indotta sarà necessariamente variabile. Perché sia variabile il campo magnetico generato dal primo circuito dobbiamo trovarci in presenza di due condizioni:• la corrente deve essere variabile;• il flusso del campo magnetico variabile generato dal primo

circuito deve concatenarsi, almeno in parte, col secondo.

L’induzione elettromagnetica (II)

La variazione della corrente nel circuito 1 genera una corrente indotta nel circuito 2 perché il flusso del campo magnetico che lo attraversa varia.

Se la corrente nel circuito 1 non cambia, non c’è variazione del flusso del campo magnetico e, quindi in 2 non circola corrente.

Il flusso di B e le correnti indotte

Il flusso rappresenta la “facilità” con cui le linee di campo magnetico attraversano la superficie e dipende proprio dai tre fattori per cui varia la corrente indotta:

Quindi, poiché il flusso indica il numero di linee di forza che attraversano la superficie delimitata dal circuito, la produzione di corrente indotta dipende dalla variazione del flusso.

• variazione di • variazione della superficie racchiusa dal circuito• variazione dell’orientazione fra il circuito e v

B

( ) cosB B s Bs αΦ = × =

Come produrre corrente con un magnete?

La corrente indotta è più intensa • se il magnete si muove più velocemente• se la bobina ha un maggior numero di spire

(quindi aumenta la superficie del circuito)• se viene modificata più rapidamente l’orientazione

del circuito rispetto ad un campo magnetico (ad esempio ruotando una spira entro un campo magnetico costante).

Un conduttore si muove in un campo magnetico (I)

Una sbarretta metallica si muove con moto rettilineo uniforme in un campo ad essa perpendicolare. • A causa della forza di Lorentz, gli elettroni di

conduzione sono spinti verso l’alto (mentre in basso si accumula carica positiva per la carenza di elettroni).

• Contemporaneamente, quanto più gli elettroni si accumulano all’estremità della sbarretta, tanto più questi respingono altri elettroni che per lo stesso fenomeno vogliono arrivare, spingendoli, quindi, verso il basso.

Un conduttore si muove in un campo magnetico (II)

v

Un conduttore si muove in un campo magnetico (III)

E

FL

FE

Se è uniforme e è costante, dopo un po’ c’è equilibrio fra la d.d.p. dovuta all’accumulo di cariche elettriche agli estremi e la forza di Lorentz, quindi la separazione delle cariche si interrompe.

B

v

Una “piccola” modifica…Se, invece, la sbarretta è a contatto con un filo a forma di U, fermo in , gli elettroni, anziché accumularsi, possono fluire generando una corrente elettrica. Questo rompe l’equilibrio che creerebbe se non ci fosse il filo e la sbarretta si comporta, quindi, come un generatore di f.e.m. Il flusso attraverso il circuito continua a diminuire perché la superficie di questo particolare circuito diminuisce, dato che la sbarretta si avvicina al lato opposto.

B

…Ossia…

In questo caso il valore di B non varia nel tempo, varia unicamente la superficie concatenata col circuito.

i

i

i

vF

Calcolo della variazione del flusso (I)

• Se , dove A è l’area racchiusa dal circuito.

• In particolare il flusso del campo magnetico diminuisce, visto che la sbarretta si avvicina al lato opposto del circuito.

• Nell’intervallo ∆t la sbarra che si muove con velocità v percorre un intervallo ∆s=v∆t l’area racchiusa nel circuito diminuisce di lv∆t, dove l è la lunghezza del lato del circuito opposto alla sbarretta.

B v⊥ ( )B BAΦ =

Calcolo della variazione del flusso (II)

Se l è la lunghezza della sbarretta, abbiamo: Ai−Af=lv∆t Ai =Af +lv∆t dove Ai e Af sono l’area iniziale e finale del circuito.

v

Ai−Af

( ) ( )f fB B A A lv t Blv t∆ Φ = − − ∆ = − ∆

( )BBlv

t

∆ Φ= −

∆

( )BBlv

t

∆ Φ− =

∆

( ) ( ) ( ) ( )f i f i f iB B B BA BA B A A∆ Φ = Φ − Φ = − = −

Calcolo della forza elettromotrice (I)

Nel circuito viene dissipata per effetto Joule una potenza pari a dove f rappresenta la forza elettromotrice indotta e i è la corrente indotta che circola nel circuito. Se la sbarretta si muove nel verso indicato dalla freccia nella figura precedente, la corrente, per la convenzione secondo cui la corrente circola nel verso contrario a quello degli elettroni di conduzione, circola in senso antiorario e, dato che al filo, abbiamo che F=Bil: questa è la forza che il campo magnetico oppone al movimento della sbarretta.

dP fi=

B ⊥

Calcolo della forza elettromotrice (II)

Ricordando la definizione di lavoro abbiamo:

la potenza erogata dalla forza esterna per fare spostare la sbarretta è, quindi,

imponendo che la potenza fornita dall’esterno sia uguale a quella dissipata per effetto Joule abbiamo che: Pe=Pd fi=Bilv f=Blv

cosL F s F s F s Bil s Bilv tα∆ = ×∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆

eL Bilv tP Bilvt t

∆ ∆= = =∆ ∆

La legge di Faraday-NeumanQuindi, mettendo assieme le relazioni trovate in precedenza abbiamo che:

( )Bf

t

∆ Φ= −

∆

( )BBlv

t

∆ Φ− =

∆

f Blv=La forza elettromotrice indotta in un circuito

chiuso da un campo magnetico è proporzionale alla variazione del flusso magnetico di tale campo

che attraversa l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo.

Considerazioni sulla legge di Faraday-Neumann

Questa legge quantifica il fenomeno dell'induzione elettromagnetica, ovvero l'effetto di produzione di corrente elettrica in un circuito posto in un campo magnetico variabile oppure un circuito in movimento in un campo magnetico costante. È stata scoperta a partire dagli esperimenti eseguiti 1831 dal fisico inglese Michael Faraday, ed è attualmente alla base del principio di funzionamento delle macchine elettriche come motori elettrici, generatori elettrici e trasformatori.La relazione f=−∆Φ/∆t fu scoperta dallo scienziato tedesco Franz Neumann nel 1845: è per questo che la legge è nota come legge di Faraday-Neumann.

La legge di Lenz (I)Il segno meno che compare nella legge di Faraday-Neumann sta ad indicare che la corrente prodotta si oppone alla variazione del flusso magnetico, compatibilmente con il principio di conservazione dell'energia:• se il flusso concatenato è in diminuzione, il campo

magnetico generato dalla corrente indotta sosterrà il campo originario opponendosi alla diminuzione

• se il flusso sta crescendo, il campo magnetico prodotto contrasterà l'originario, opponendosi all'aumento.

Questo fatto è noto anche come legge di Lenz.

La legge di Lenz (II)

La scoperta che la corrente indotta in una spira ha un verso tale da opporsi alla variazione di flusso che la ha prodotta si deve al fisico russo Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865) che la mise in luce nel 1834.

Dimostrazione della legge di Lenz (I)

• Quando un magnete si avvicina ad un circuito, il campo magnetico prodotto dal magnete nella zona dove si trova il circuito, aumenta.

• La variazione di flusso delimitata dal circuito produce una corrente indotta che, a sua volta, genera un proprio campo magnetico.

magnete indottoB B∆ + In che senso circola la corrente indotta in base alla

somma vettoriale ?

Dimostrazione delle legge di Lenz (II)

• Se la corrente indotta circolasse in senso orario, sarebbe diretto verso il basso e rinforzerebbe l’aumento di

• In questo caso si aumenterebbe il flusso totale, creando una corrente indotta più intensa e, quindi, un nuovo , e così via, innescando un processo senza fine. Si otterrebbe, così, corrente elettrica gratis, cosa che contrasta con il principio di conservazione dell’energia.

indottoB

indottoB

i NS

mangeteB∆

indottoB

Dimostrazione delle legge di Lenz (III)

• Se, invece, la corrente indotta circola in senso antiorario, è diretto verso l’alto e contrasta l’aumento di

• In questo caso non si va contro al il principio di conservazione dell’energia

indottoB

magneteB∆

i N

S

magneteB∆

indottoB

Enunciato della legge di LenzIl verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che la genera.

magneteB∆

i

indottoB

magneteB∆

i

indottoB

La legge di Lenz e il principio di conservazione dell’energia

Questa legge è diretta conseguenza del principio di conservazione dell’energia: bisogna fare lavoro contro una forza esterna per avere energia elettromagnetica.La corrente, infatti, provoca una forza di origine magnetica che deve essere sovrastata e il lavoro impiegato per fare ciò è l'energia meccanica che si converte in energia termica durante il processo.

L’autoinduzione Per avere l’induzione elettromagnetica non è necessaria la presenza di un campo magnetico esterno. Infatti la variazione della corrente in un circuito elettrico genera una f.e.m. indotta nel circuito stesso. Per la legge di Lenz nasce nel circuito una corrente elettrica indotta il cui verso tende ad opporsi alla variazione di del flusso, producendo un campo magnetico il cui flusso tende a compensare il decremento di flusso concatenato. Questo fenomeno si chiama autoinduzione.

Cosa succede quando si chiude un circuito?

• Quando si chiude l’interruttore di un circuito elettrico la corrente inizialmente nulla cresce rapidamente creando un campo magnetico sempre più intenso attraverso la superficie del circuito stesso.

• In questo modo aumenta il flusso del campo magnetico e si genera una corrente indotta che, per la legge di Lenz, tende ad opporsi alla variazione di flusso che l’ha generata.

• Quindi queste due correnti circolano contemporaneamente in versi opposti e la seconda rallenta la crescita della prima corrente nel circuito.

Cosa succede quando si apre un circuito?

• Quando si apre il circuito la corrente non si annulla istantaneamente ma lo fa con un certo ritardo.

• L’apertura di un circuito provoca una diminuzione del flusso e, di conseguenza, la corrente indotta circola nello stesso verso di quella che era presente prima.

L’induttanza in un circuitoIl flusso di campo magnetico è direttamente proporzionale all’intensità di corrente che fluisce nel filo che forma il circuito stesso

( )B LiΦ =

La costante di proporzionalità L è caratteristica del circuito e del materiale in cui esso è immerso e si chiama induttanza. Si misura in Henry (W/A) e si rappresenta nei circuiti con il simbolo

Induttanza e solenoidi

La grandezza L può rappresentare: • il coefficiente di autoinduzione presente

(sempre!!!) nel circuito• quello di un solenoide inserito nel circuito

per amplificare l’effetto di autoinduzione

Circuiti RLUn circuito in cui sono presenti sia un’induttanza che una resistenza si dice RL.

Appena si chiude il circuito si ha:

Appena si apre il circuito si ha:

( ) 1RtLfi t e

R

= − ÷

( )RtLfi t e

R−

=

La legge di Faraday-Neumann per il circuiti RL

Possiamo riscrivere allora la legge di Faraday-Neumann:

( ) ( ) ( )f i f iB B B Li Li L i∆ Φ = Φ − Φ = − = ∆

if Lt

∆= −∆

L’induttanza di un solenoideIn un solenoide rettilineo composto da N spire e di lunghezza l ed area S abbiamo:

con B perpendicolare alle spire.Dato che la superficie attraverso cui si calcola il flusso è quello delle N spire del solenoide, abbiamo:

0NiBl

µ=

( )2

0 0Ni N iB NBS N S Sl l

µ µΦ = = =

2

0NL Sl

µ=

La corrente alternata• La corrente alternata è caratterizzata da un flusso di corrente

variabile nel tempo sia in intensità che in direzione.• L'utilizzo della corrente alternata deriva dal fatto che i

generatori, per convenienza economica e semplicità costruttiva, producono con maggiore facilità corrente alternata, quindi l'utilizzo della stessa corrente alternata evita modifiche.

• La distribuzione in corrente alternata si è dimostrata più efficiente della corrente continua per le trasmissioni di potenza elevata: – sono le minori dispersioni per effetto Joule (occorrono

quindi sezioni di conduttore inferiori, cioè fili più piccoli)– permette la massima estensione delle linee di trasporto su

lunghe distanze

L’alternatore• Per utilizzare l’autoinduzione servono generatori di

correnti non continue. Si possono generare correnti non costanti nel tempo attraverso un alternatore, ossia un dispositivo che trasforma energia cinetica in energia elettrica.

• Il simbolo di un alternatore nei circuiti è il seguente: • Un alternatore schematicamente è costituito da una

spira che ruota con velocità angolare costante all’interno di un campo magnetico: in questo modo il flusso varia costantemente generando, così, una corrente indotta.

Caratteristiche della f.e.m. e della corrente alternata

Si verifica che l’andamento della f.e.m. prodotta dall’alternatore e la corrente ad essa associata variano secondo le leggi

f(t)=f0sen(ωt) i(t)=i0sen(ωt)

con f0=BSω e i0=f0/Rf0 e i0 sono detti ampiezze, mentre ω è la pulsazione.Il periodo è e la frequenza è

2T πω

=1

2f

Tωπ

= =

Il valore efficace della corrente

• In un circuito ohmico attraversato da corrente alternata la potenza istantanea che varia continuamente è: P(t)=R[i(t)]2

• Il valore massimo della potenza è: Pmax=Ri02

• Il valore medio della potenza è:• La corrente continua, detta corrente efficace, che

eroga la stessa potenza di una corrente alternata di valore massimo i0 vale:

20

12

P Ri=

0

2effii =

Il valore efficace della f.e.m.• Si definisce la f.e.m. efficace:

• Quando si dice che la f.e.m. è 220V si sottintende la feff.

0

2effff =

Il grafico della potenza

In rosso il grafico della potenza istantanea.

In blu il grafico della potenza media.

In verde il grafico della potenza efficace Peff(t)=R[ieff (t)]2

Gli elementi circuitali in corrente alternata

• Circuito puramente ohmico (solo resistenze)

• Circuito puramente induttivo (solo induttanze)

• Circuito puramente capacitivo (solo condensatori)

Circuito ohmicof(t)=Ri(t)

Le due funzioni seno hanno lo stesso argomento e f.e.m. e corrente sono in fase

In blu la corrente

In rosso la f.e.m.

Circuito induttivo

La corrente ritarda rispetto alla f.e.m. di un quarto di periodo.Non c’è caduta di potenziale dovuta alla legge di Ohm, ma le continue variazioni del flusso del campo magnetico nella bobina provocano ai capi di essa una f.e.m. indotta

( )( ) i tf t Lt

∆=∆

In blu la corrente

In rosso la f.e.m.

Circuiti capacitivi

È un circuito aperto. La corrente anticipa di un quarto di periodo rispetto alla f.e.m. Il condensatore si carica e si scarica continuamente.

( ) Qf tC

=

In blu la corrente

In rosso la f.e.m.

I circuiti RLC in corrente alternata

Un circuito RLC è formato da un alternatore, da una resistenza, da un’induttanza e da un condensatore posti in serie fra loro.

L’impedenza

Si definisce impedenza la quantità

22 1Z R L

Cω

ω = + − ÷

L'impedenza è una grandezza fisica che rappresenta la forza di opposizione di un circuito formato da resistenze, induttanze e condensatori al passaggio di una corrente alternata.

Caratteristiche dell’impedenza

• feff=Zieff

• Se L=0 e C=∞, il circuito è puramente ohmico, Z coincide con la resistenza

• Se

Z=R (condizione di risonanza)

1 0LC

ωω

− =1LC

ωω

= 2

1LCω

=

Caratteristiche dell’impedenza

• feff=Zieff

• Se L=0 e C=∞, il circuito è puramente ohmico, Z coincide con la resistenza

• Se

Z=R (condizione di risonanza)

1 0LC

ωω

− =1LC

ωω

= 2

1LCω

=

La corrente nei circuiti RLCLa corrente che fluisce nel circuito RLC in serie, a cui è applicata la f.e.m. f(t)=F0sen(ωt), è descritta dalla legge:

φ è detto angolo di sfasamento ed il suo valore è dato da:

( )0( ) Fi t sen tZ

ω ϕ= −

1LCtg

R

ωωϕ

−=

Se è soddisfatta la condizione di risonanza f(t) e i(t) risultano in fase perché tg φ =0.