Linealización de problemas por medio de valores propios

Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizacion Metodos Multivariados

Linealizacion de problemas por medio de valorespropios

Pedro Fernando Morales

Departamento de MatematicasUniversidad de Baylor

pedro [email protected]

USAC, Guatemala, 20/11/2012

Pedro Fernando Morales Departamento de Matematicas

Linealizacion de problemas por medio de valores propios

mailto:[email protected]


Outline

1 Fundamentos

2 Series de Fourier

3 Filtrado y Equalizacion

4 Metodos Multivariados




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1 Fundamentos

2 Series de Fourier






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1 Fundamentos

2 Series de Fourier






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1 Fundamentos

2 Series de Fourier






Valor Propio




Fundamentos teoricos

Definicion

Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V ensı mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que

P(v) = λv (1)

v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.

En muchas aplicaciones P es una matriz y v es un vector de unespacio vectorial de dimension finita.





Definicion


P(v) = λv (1)







Definicion


P(v) = λv (1)






Ejemplos

• Sea A =

(−7 43 −6

), entonces

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

• Sea P =d

dx, entonces

λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .




Ejemplos

• Sea A =

(−7 43 −6

), entonces

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

• Sea P =d

dx, entonces

λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .




Ejemplos

• Sea A =

(−7 43 −6

), entonces

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

• Sea P =d

dx, entonces

λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .




Ejemplos

• Sea A =

(−7 43 −6

), entonces

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

• Sea P =d

dx, entonces

λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .




Ejemplos

• Sea A =

(−7 43 −6

), entonces

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

• Sea P =d

dx, entonces

λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .




Convenciones

• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como elespectro de P, σ(P)

• El espectro de P puede contener otras cosas (espectropuntual, residual, continuo)

• Se trabaja sobre C• En dimension finita, n = dimV




Convenciones







Convenciones







Convenciones



• Se trabaja sobre C

• En dimension finita, n = dimV




Convenciones







Caracterizacion (Dimension Finita)

Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0

Polinomio Caracterıstico

p(λ) = det(P − λI )

es el polinomio caracterıstico de P.





Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0








Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0








Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0








Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0







Valores propios como raıces de p(λ)P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)




Valores propios como raıces de p(λ)

P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)




Valores propios como raıces de p(λ)P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)




El ejemplo contraataca

A =

(−7 43 −6

)

A− λI =

(−7− λ 4

3 −6− λ

)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)

p(λ) = 0 provee una ecuacion caracterıstica para los valores propios





A =

(−7 43 −6

)

A− λI =

(−7− λ 4

3 −6− λ

)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)






A =

(−7 43 −6

)

A− λI =

(−7− λ 4

3 −6− λ

)

p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)






A =

(−7 43 −6

)

A− λI =

(−7− λ 4

3 −6− λ

)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)






A =

(−7 43 −6

)

A− λI =

(−7− λ 4

3 −6− λ

)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)





λ1 = −10, v1 =

(x1

y1

)vector propio

A− λ1v =

(3x1 + 4y1

3x1 + 4y1

)= 0

v = (−4t, 3t)




λ1 = −10, v1 =

(x1

y1

)vector propio

A− λ1v =

(3x1 + 4y1

3x1 + 4y1

)= 0

v = (−4t, 3t)




λ1 = −10, v1 =

(x1

y1

)vector propio

A− λ1v =

(3x1 + 4y1

3x1 + 4y1

)= 0

v = (−4t, 3t)




λ1 = −10, v1 =

(x1

y1

)vector propio

A− λ1v =

(3x1 + 4y1

3x1 + 4y1

)= 0

v = (−4t, 3t)




El ejemplo retorna

P =d

dx

Py = λy

y ′ − λy = 0




El ejemplo retorna

P =d

dx

Py = λy

y ′ − λy = 0




El ejemplo retorna

P =d

dx

Py = λy

y ′ − λy = 0




El ejemplo retorna

P =d

dx

Py = λy

y ′ − λy = 0




El ejemplo retorna

P =d

dx

Py = λy

y ′ − λy = 0




Ecuacion auxiliar o caracterıstica:

s − λ = 0

y = eλx

todo λ ∈ C es valor propio





s − λ = 0

y = eλx






s − λ = 0

y = eλx






s − λ = 0

y = eλx





Espacio Propio (Dimension Finita)

λ un valor propio de P

Espacio Propio

N1λ = ker(P − λI )

P|N1λ

= λ






Espacio Propio


P|N1λ

= λ






Espacio Propio


P|N1λ

= λ






Espacio Propio


P|N1λ

= λ




Multiplicidad

Espacio propio generalizado

Sea k entero positivo,

Nkλ = ker(P − λI )k ,

se dice el k esimo espacio propio generalizado.

mkλ = dimNk

λ es la multiplicidad generalizada




Multiplicidad





mkλ = dimNk





Multiplicidad





mkλ = dimNk





Multiplicidad





mkλ = dimNk





Sea ν(λ) ∈ N tal que

mν(λ)−1λ < m

ν(λ)λ = m

ν(λ)+1λ

• mν(λ)λ es la multiplicidad algebraica de λ

• m1λ es la multiplicidad geometrica de λ





mν(λ)−1λ < m

ν(λ)λ = m

ν(λ)+1λ







mν(λ)−1λ < m

ν(λ)λ = m

ν(λ)+1λ







mν(λ)−1λ < m

ν(λ)λ = m

ν(λ)+1λ







mν(λ)−1λ < m

ν(λ)λ = m

ν(λ)+1λ






Decomposicion

Decomposicion de Jordan

V =⊕

λ∈σ(P)

Nν(λ)λ

• Descompone al espacio en partes sencillas

• Descompone al operador en multiplos escalares




Decomposicion


V =⊕

λ∈σ(P)

Nν(λ)λ






Decomposicion


V =⊕

λ∈σ(P)

Nν(λ)λ






Decomposicion


V =⊕

λ∈σ(P)

Nν(λ)λ






El ejemplo recargado

A =

(−7 43 −6

), V = C2

C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉

A = −10 · ⊕ − 3·





A =

(−7 43 −6

), V = C2

C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉

A = −10 · ⊕ − 3·





A =

(−7 43 −6

), V = C2

C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉

A = −10 · ⊕ − 3·





A =

(−7 43 −6

), V = C2

C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉

A = −10 · ⊕ − 3·




Dimension Infinita

• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ

• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)

H =⊕

λ∈σ(P)

Eλ

P|Eλ= λ




Dimension Infinita

• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}

• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ


H =⊕

λ∈σ(P)

Eλ

P|Eλ= λ




Dimension Infinita



H =⊕

λ∈σ(P)

Eλ

P|Eλ= λ




Dimension Infinita



H =⊕

λ∈σ(P)

Eλ

P|Eλ= λ




Dimension Infinita



H =⊕

λ∈σ(P)

Eλ

P|Eλ= λ




Dimension Infinita



H =⊕

λ∈σ(P)

Eλ

P|Eλ= λ




Sea P = − d2

dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0

− d2

dx2f (x) = λf (x)

f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N

Serie de Fourier

L2[0, 1] =∞⊕

m=0

〈sin(√mπx)〉




Sea P = − d2

dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0

− d2

dx2f (x) = λf (x)

f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N

Serie de Fourier

L2[0, 1] =∞⊕

m=0

〈sin(√mπx)〉




Sea P = − d2

dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0

− d2

dx2f (x) = λf (x)

f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N

Serie de Fourier

L2[0, 1] =∞⊕

m=0

〈sin(√mπx)〉




Sea P = − d2

dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0

− d2

dx2f (x) = λf (x)

f (x) = C sin(√λx) ,

λ = m2π2 ,m ∈ N

Serie de Fourier

L2[0, 1] =∞⊕

m=0

〈sin(√mπx)〉




Sea P = − d2

dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0

− d2

dx2f (x) = λf (x)

f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N

Serie de Fourier

L2[0, 1] =∞⊕

m=0

〈sin(√mπx)〉




Sea P = − d2

dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0

− d2

dx2f (x) = λf (x)

f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N

Serie de Fourier

L2[0, 1] =∞⊕

m=0

〈sin(√mπx)〉




Polinomios Ortogonales

• Polinomios de Hermite

− d2

dx2f (x) + x

d

dxf (x) = λf (x)

• Polinomios de Laguerre

−x d2

dx2f (x) + (x − 1)

d

dxf (x) = λf (x)






− d2

dx2f (x) + x

d

dxf (x) = λf (x)


−x d2

dx2f (x) + (x − 1)

d

dxf (x) = λf (x)






− d2

dx2f (x) + x

d

dxf (x) = λf (x)


−x d2

dx2f (x) + (x − 1)

d

dxf (x) = λf (x)






− d2

dx2f (x) + x

d

dxf (x) = λf (x)


−x d2

dx2f (x) + (x − 1)

d

dxf (x) = λf (x)






− d2

dx2f (x) + x

d

dxf (x) = λf (x)


−x d2

dx2f (x) + (x − 1)

d

dxf (x) = λf (x)




Importancia

• La mayorıa de sistemas fısicos son modelados por ecuacionesdiferenciales

• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene elprincipio de superposicion

• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada

• Se puede la cantidad de informacion que aporta unacomponente




Importancia








Importancia








Importancia








Importancia








Tratamiento de espectro

En espectrometrıa y filtrado se mide o se altera la cantidadpresente de cierta frecuencia

• Sonido

• Procesamiento de imagenes

• Espectroscopıa






• Sonido


• Espectroscopıa






• Sonido


• Espectroscopıa






• Sonido


• Espectroscopıa




Sonido

Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)




Sonido

Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.

Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)




Sonido

Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocina

Modelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)




Sonido

Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)

Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)




Sonido

Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)




Imagenes

Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,distorsiones, formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: M2 × Lk con transformaciones linealesVectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices




Imagenes

Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,distorsiones, formatos digitales, compresion, etc.

Sistema base: M2 × Lk con transformaciones linealesVectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices




Imagenes

Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,distorsiones, formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: M2 × Lk con transformaciones lineales

Vectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices




Imagenes

Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,distorsiones, formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: M2 × Lk con transformaciones linealesVectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices




Espectroscopıa

Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particular

Ver patrones de resonancia sensibles solo a determinadasfrecuencias (independencia lineal)




Espectroscopıa

Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particularVer patrones de resonancia sensibles solo a determinadasfrecuencias (independencia lineal)




Metodos Multivariados

Analisis Factorial

Es un metodo multivariado para reducir el numero de variablesinfuyentes en un estudio

Utilizado con un numero grande de datos (muchas variables)Se desea reducir el numero de variables estudiadas (costo ylogıstica)





Analisis Factorial







Analisis Factorial


Utilizado con un numero grande de datos (muchas variables)

Se desea reducir el numero de variables estudiadas (costo ylogıstica)





Analisis Factorial






• Se analiza la matriz de correlaciones Σ

• Se obtienen los valores propios de Σ

•∑

λ∈σ(Σ)

λ representa la cantidad total de informacion

• Se trunca la suma para perder parte de la informacion sin queafecte mayormente






•∑

λ∈σ(Σ)








•∑

λ∈σ(Σ)








•∑

λ∈σ(Σ)








•∑

λ∈σ(Σ)






Responde a la pregunta ¿que variables son importantes?Reduce el numero de variablesExplica el fenomeno con una menor cantidad de variables




Responde a la pregunta ¿que variables son importantes?

Reduce el numero de variablesExplica el fenomeno con una menor cantidad de variables




Responde a la pregunta ¿que variables son importantes?Reduce el numero de variables

Explica el fenomeno con una menor cantidad de variables




Responde a la pregunta ¿que variables son importantes?Reduce el numero de variablesExplica el fenomeno con una menor cantidad de variables




Preguntas

¡Gracias!



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