2a LISTA DE MEDIDA E INTEGRACAO(PARTE 1)

(1) Seja µ uma medida com valores em [0,+∞] e f uma funcao mensuravel. Entao, f ∈ L1(µ) se,e somente se, a funcao t 7→ µ (x : |f(x)| > t) sobre (0,+∞) e integravel com relacao a medida deLebesgue. Alem disso, vale que∫

X

|f(x)| dµ(x) =

∫ ∞0

µ (x : |f(x)| > t) dm(t).

(2) Seja A ⊂ Rn um conjunto de medida de Lebesgue maior que 1. Prove que existe dois pontos distintosx, y ∈ A tais que o vetor x− y tem coordenadas inteiras.

(3) Prove que todo conjunto convexo em Rn e Lebesgue mensuravel.(4) Seja F uma classe de funcoes reais sobre um conjunto X. A menor σ-algebra com relacao a qual

todas funcoes em F sao mensuraveis e chamada de σ-algebra gerada pela classe F e e denotada porσ(F). Seja F uma classe finita de funcoes sobre um conjunto nao vazio X. Mostre que toda funcaog mensuravel com relacao a σ(F) e da forma:

g(x) = ψ(f1(x), · · · , fn(x)),

onde fi ∈ F e ψ e uma funcao boreliana sobre Rn.(5) Seja f : Rn → Rm uma funcao boreliana. Prove que seu grafico e um boreliano de Rn+m.(6) Seja 0 ≤ f ∈ L1(µ). Prove que∫

f dµ = limr→1

∞∑n=−∞

rnµ(x : rn ≤ f(x) < rn+1

).

(7) Seja (X,M, µ) um espaco de probabilidade e fn funcoes mensuraveis. Prove que as seguintescondicoes sao equivalentes:(a) Existe uma subsequencia fnk

convergindo para 0 µ-q.t.p.(b) Existe uma sequencia de numeros tn tais que

lim supn→∞

|tn| > 0 e

∞∑n=1

tnfn(x) converge q.t.p.

(c) Existe uma sequencia de numeros tn tais que

∞∑n=1

|tn| =∞,∞∑n=1

|tnfn(x)| <∞,

para q.t.p. x ∈ X.(8) Seja f ∈ L1(0, 1) e α ∈ (0, 1). Suponha que a integral de f sobre qualquer conjunto de medida α e

zero. Prove que f = 0 q.t.p.(9) Construa um conjunto compacto totalmente desconexo K ⊂ R tal que m(K) > 0.

(10) Mostre que todo compacto de R e o suporte de uma medida boreliana.(11) Seja f uma funcao real Lebesgue mensuravel sobre Rk. Prove que existe funcoes borelianas g e h

tais g(x) = h(x) para m-q.t.p. x e g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x ∈ Rk.(12) Suponha que V ⊂ Rk e um aberto e que µ e uma medida boreliana positiva sobre Rk. A funcao

x 7→ µ(V + x) e contınua? Semicontınua inferiormente? Semicontınua superiormente?1

2 2A LISTA DE MEDIDA E INTEGRACAO(PARTE 1)

(13) Uma funcao degrau e, por definicao, uma combinacao linear finita de funcoes caracterısticas deintervalos limitados. Prove que as funcoes degrau sao densas em L1(R). Prove tambem que paratoda f ∈ L1(R) vale que

limn→∞

∫Rf(x) cos(nx) dm(x) = 0.

(14) Prove a seguinte versao do teorema de Lusin: Seja f : Rn → R uma funcao Lebesgue mensuravel.Entao, ∀ ε > 0,∃ fechado F ⊂ Rn tal que f e contınua em F e m(Rn − F ) < ε, onde m e a medidade Lebesgue em Rn.

(15) Seja µ uma medida de probabilidade sobre R. Prove que se para alguma funcao estritamente convexaf : R→ R vale que ∫

Rf(x) dµ(x) = f(x0),

para algum x0 ∈ R, entao, µ = δx0.

(16) Seja µ uma medida positiva finita sobre um espaco mensuravel X. Uma sequencia de funcoesmensuraveis fn : X → Rm e dita convergir em medida para uma funcao mensuravel f : X → Rm sedado ε > 0 vale que

limn→∞

µ ({x : |fn(x)− f(x)| > ε}) = 0.

Prove que:(a) Se fn(x)→ f(x) q.t.p. x, entao fn → f em medida.(b) Se fn ∈ Lp(X) para algum 1 ≤ p ≤ ∞ e ‖fn − f‖p → 0, entao fn → f em medida.(c) Se fn → f em medida, entao {fn} tem uma subsequencia que converge para f q.t.p.

(17) Uma funcao f ∈ L1loc(Rm) se f ∈ L1(K) para todo compacto K ⊂ Rm. Seja f ∈ L1

loc(Rm). Defina

M(f) := limr→∞

1

(2r)m

∫[−r,r]m

f(x) dm(x),

se o limite existe. Seja µ uma medida boreliana finita sobre Rm. Faca os seguintes itens:(a) Se f ∈ Lp(Rm) ou lim|x|→∞ f(x) = 0, entao, M(f) = 0. A recıproca vale? Aqui, 1 ≤ p <∞.

(b) Se f ∈ L1loc(R) e tal que f(x+ 1) = f(x) para q.t.p. x, entao M(f) =

∫ 1

0f(x) dm(x).

(c) Se f(x) =∫Rm eix·y dµ(y), entao f e uniformemente contınua e M(f) = µ({0}).

(18) Seja f ∈ Lp(Rm) para algum 1 ≤ p < ∞. Defina a funcao g : Rm → Lp(Rm) por g(y) := f(· + y).Prove que g e uniformemente contınua.

(19) Seja µ uma medida positiva sobre um espaco mensuravel X e fn, f ∈ L1µ(X) para todo n. Se

lim infn→∞ fn ≥ f, para µ-q.t.p. e lim supn→∞∫Xfn(x) dµ(x) ≤

∫Xf dµ, entao, fn → f em L1

µ(X).