LÓGICA ARISTOTÉLICA

Y LÓGICA DE

CLASESRAFAEL MORA

CEPRE-UNI

LÓGICA ARISTOTÉLICA

Recibe este nombre por ser desarrollada por Aristóteles en base a las llamadas proposiciones categóricas.

También es llamada lógica tradicional o lógica silogística.

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA Son aquellas proposiciones que establecen una

relación de inclusión o exclusión entre dos conjuntos de individuos: un sujeto y un predicado. A estos conjunto de individuos se les llama categorías y, precisamente por eso, al tipo de proposiciones que se construye con base en ellas se les llama ‘proposiciones categóricas’.

Ejemplos sencillos de proposiciones categóricas: -Todas las aves son animales -Todo león no es un pez -Algún perro es rabioso -Alguna ave no es gallina -Todos los pensionistas son trabajadores -Ningún felino es lento -Algún oso es viejo -Algún libro no es pirata

LÓGICA DE CLASES George Boole planteó el álgebra de la

lógica con la cual logró convertir en ecuaciones las proposiciones categóricas. Sin embargo, su trabajo será completado años más tarde por Euler y Venn constituyendo así la lógica de clases.

CLASE

Se llama clase a la colección de objetos que tienen alguna característica en común. Podemos representar una clase mediante una lista o mediante la mención de una

propiedad. Por ejemplo, la clase de los países subdesarrollados puede representarse por E, donde E={x/x es subdesarrollado}. Esta es la definición por comprensión. Siguiendo con E, diremos que E = {p, q, r, , …}, donde p=Perú, q=Bolivia, r=Sudáfrica, etc. Esta es la definición por extensión.

TIPOS DE CLASES CLASE UNIVERSAL Es la clase de todas las clases. Por ejemplo si tenemos la clase

de los leones, la de los delfines, la de los monos, etc., podemos reunirlas en la clase de los mamíferos que las abarca a todas. Esta clase de los mamíferos es la clase universal. Es de notar que la clase universal es un concepto relativo.

Gráficamente se representa mediante un cuadrilátero con una U en la esquina superior derecha.

TIPOS DE CLASES CLASE INDETERMINADAEs aquella clase, en la que no se puede

determinar la existencia o no existencia de elementos. Por ejemplo: la clase de los extraterrestres, la clase de los dioses, la clase de las almas, la de los mundos, etc.

TIPOS DE CLASES

CLASE VACÍA Es la clase formada por todos los objetos que no existen, es decir,

no contiene elementos. Por ejemplo, la clase de todos los objetos que son círculos cuadrados. Esta cualidad ciertamente, es un absurdo, pero siento una cualidad, permite constituir una clase, si bien carente de elementos. Simbólicamente se representa por la letra griega “”. Representa como un diagram sombreado

TIPO DE CLASES

CLASE NO VACÍA Es la clase que tiene al menos un elemento. Por ejemplo, la

clase de presidentes, o la de constituciones, etc. Se representa mediante un diagrama con una X encima

TIPOS DE CLASES COMPLEMENTO DE UNA CLASE La clase complemento de A es la clase formada por todos los

elementos que no pertenecen a A. Por ejemplo, la clase complemento de la clase de lo dulce, es la clase de lo agrio, la de lo amargo, la de lo ácido, etc. El símbolo del complemento es “–” que se coloca encima de la letra de la clase en referencia. Veamos dos posible situaciones

RELACIONES ENTRE DOS CLASES Este es el diagrama de dos clases, en el se representan las relación de inclusión

o exclusión que encontraremos en la proposición. Por lo tanto, describiremos las áreas numeradas.

Área 1: Están los elementos que no pertenecen a la clase S y que no pertenecen a la clase P.

Área 2: Están los elementos que pertenecen a S pero que no pertenecen a P. Área 3: Están los elementos que pertenecen a S y a la vez a P. Área 4: Están los elementos que, no pertenecen a S pero si a P.

RELACIONES ENTRE TRES CLASES Este es el diagrama de tres clases. A continuación,

describiremos las áreas numeradas.  Área 1: Están los elementos que no pertenecen a

la clase S, que no pertenecen a la clase P y que no pertenecen a la clase M.

Área 2: Están los elementos que pertenecen a S, que no pertenecen a P y que no pertenecen a la clase M.

Área 3: Están los elementos que pertenecen a S y a la vez a P pero no pertenecen a la clase M.

Área 4: Están los elementos que no pertenecen a S, que sí pertenecen a P pero que no pertenecen a M.

Área 5: Están los elementos que pertenecen a la clase S, que no pertenecen a la clase P, pero que sí pertenecen a la clase M.

Área 6: Están los elementos que pertenecen a S, a P y a M.

Área 7: Están los elementos que no pertenecen a S, que sí pertenecen a P y que también pertenecen a M.

Área 8: Están los elementos que no pertenecen a S, que no pertenecen a P, pero que sí pertenecen a M.

PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

CASO 1

Si el cuantificador no está explícito, entonces se busca interpretar el sentido de la expresión y se considera como si fuera cualquiera de las proposiciones categóricas conocidas.

Todos los colombianos son solidarios Esta proposición es equivalente a:

-Cada colombiano es solidario -Un colombiano es un ser solidario -Los colombianos son solidarios -Si es colombiano, entonces es solidario -Sólo si es solidario, entonces es colombiano -Cualquier colombiano es solidario -Ser colombiano es ser solidario -Los colombianos son siempre solidarios -Los colombianos son, sin excepción, solidarios -Los colombianos son, invariablemente, solidarios -Todos y cada uno de los colombianos son solidarios -Quien quiera que sea colombiano es solidario

4 CASOS ATÍPICOS

SINÓNIMOS Ningún americano es patriota Esta proposición es equivalente a:

-Ni un solo americano es patriota. -Bajo ninguna circunstancia los americanos son patriotas. -Ninguno de los americanos son patriotas. -Si es americano, entonces no es patriota. -Sólo si no es patriota, es americano. -Quien quiera que sea americano no es patriota. -Los americanos nunca son patriotas. -Los americanos, sin excepción, no son patriotas. -Los americanos no son patriotas. -El 0% de americanos son patriotas.

SINÓNIMOS Algunos latinos son alegres Esta proposición es equivalente a:

-Existen latinos alegres. -Varios latinos son alegres. -Muchos latinos son alegres. -Los latinos frecuentemente son alegres. -Con frecuencia los latinos son alegres. -Los latinos, generalmente, son alegres. -Unos latinos son alegres. -Hay latinos alegres. -Ciertos latinos son alegres.

CASO 2• Si en una proposición categórica encontramos

negado el sujeto o el predicado, o ambos, se procede a aplicar la fórmula booleana tomando en cuenta la respectiva negación. Ejemplos:

• 1. Todos los no sabios son apolíticos• 2. Ninguna no abeja es no arácnida• 3. Algunos alimentos son no cocidos• 4. Algunos alumnos no son deshonestos

• ¿Qué hacer, por ejemplo, con 1?• Primero, hallemos la estructura formal• EF: Todo no-S es no-P

• Segundo, determinemos la fórmula atípica• FA:

• Tercero, hallemos ahora la fórmula booleana• FB: =

• Cuarto, representemos el diagrama de Venn. • DV:

CASO 3 Si en una proposición categórica el cuantificador se encuentra

negado, entonces al aplicársele la formula booleana la negación pasará a afectar la igualdad o la desigualdad. Ejemplos: 1. Es falso que todos los cubanos son comunistas 2. Nunca ningún militar es cobarde 3. Es imposible que algunos santos sean malvados 4. Jamás algunos niños serán indecentes

¿Qué hacemos, por ejemplo, con 4? Primero, hallemos la EF EF: Es falso que algunos N sean no-D

Segundo, determinemos la FT FA: ~( NiD )

Tercero, hallemos ahora la FB de lo que está entre paréntesis. FB: ~ ( ND ) → =

Cuarto, representemos por diagramas. DV:

CASO 4• Si en una proposición categórica universal

(A,E) encontramos que el verbo copulativo está negado, la negación funciona como si negara al cuantificador y se procede como en el caso anterior. Ejemplos:• 1. Todos los viejos no son amargados• 2. Ningún abogado no es filósofo.

• ¿Qué hacemos en “Todos los viejos no son amargados”?

• En primer lugar le hallamos su equivalente:

• Es falso que todos los viejos sean amargados.

• Enseguida, le hacemos todo el análisis:• EF: Es falso que todos V sean A• FA: ~(VaA)• FB: ~( VA = ) → • DV:

EL SILOGISMO. DEFINICIÓN. Es una inferencia deductiva que consta de tres

proposiciones categóricas: 2 premisas y 1 conclusión. Decimos que es deductiva porque su conclusión se establece de manera necesaria.

Ejemplo: (1) Todos los hombres son mortales (2) Todos los griegos son hombres (3) Todos los griegos son mortales Este argumento está formado por 3

proposiciones categóricas Las proposiciones 1 y 2 son las premisas y la proposición 3 es la conclusión. Si examinamos con detalle notaremos que en el argumento solo intervienen 3 términos: hombres, griegos y mortales.

De aquí podemos obtener las 2 primeras características básicas de un argumento silogístico:

1. En un argumento silogístico hay 2 y solo 2 premisas

2. En un argumento silogístico intervienen 3 y solo 3 términos.

EL SILOGISMO Examinemos ahora las premisas: (1) Todos los hombres son

mortales (2) Todos los griegos son

hombres

Notemos que en las 2 premisas de nuestro ejemplo aparece el término “hombres”. Este término común a las 2 premisas es el que permite vincular los términos no comunes de una y otra, es el intermediario entre ellas, por eso se le conoce como el término medio. El término medio es el que es común a las 2 premisas.

Si diagramamos nuestro argumento premisa por premisa encontraríamos lo siguiente:

ELEMENTOS DE UN SILOGISMO Del anterior esquema podemos obtener un par de conclusiones. Si nos

fijamos en el término “mortales” nos damos cuenta de que es el más abarcante de los 3, el de mayor extensión, y es el que funciona como predicado de la conclusión. Por su parte, el término “griegos” es el menos abarcante de todos, el de menor extensión, y funciona como sujeto de la conclusión. El término “hombres” es el medio, no es ni el más abarcante ni el menos abarcante, no es ni el mayor ni el menor en extensión. Esta razón ha hecho que se asignen los siguientes nombres a los elementos de un silogismo:

1. Término mayor: es el predicado de la conclusión (representado por P)

2. Término menor: es el sujeto de la conclusión (representado por S) 3. Término medio: es el término común a las 2 premisas que

desaparece en la conclusión (representando por M) 4. Premisa mayor: es la premisa que contiene el término mayor. 5. Premisa menor: es la premisa que contiene el término menor. 6. Conclusión: es la proposición que contiene el término menor y el

término mayor Así, en nuestro ejemplo tendríamos lo siguiente: 1. Término mayor: mortales 2. Término menor: griegos 3. Término medio: hombres 4. Premisa mayor: todos los hombres son mortales 5. Premisa menor: todos los griegos son hombres 6. Conclusión: todos los griegos son mortales Ahora bien, en nuestro ejemplo hemos encontrado que la premisa

mayor es la 1, la premisa menor es la 2 y la conclusión es la proposición 3. Sin embargo, en los argumentos de la vida ordinaria no siempre los silogismos se encuentran así de claros. En muchas ocasiones las premisas y la conclusión se encuentran en distintos órdenes y siempre es preciso llevar los argumentos a esta forma estándar

FORMA ESTANDAR Llamamos forma estándar de un silogismo a esa

estructura en la que aparecen en su orden: (1) la premisa mayor, (2) la premisa menor y (3) la conclusión. Un ejemplo de traducción a forma estándar para el

siguiente argumento sería: 1. Todos los ladrones son de negro corazón 2. Todos los seres de negro corazón son inmorales. 3.Todos los ladrones son inmorales Una vez que hemos identificado la conclusión ya podemos

determinar el término mayor y el término menor. Así, dada la conclusión

C: Todos los ladrones son inmorales tenemos lo siguiente: El predicado de esa conclusión será el término mayor:

“inmorales”. El sujeto de esa conclusión será el término menor:

“ladrones”. Después de identificar los términos mayor y menor

podemos saber cuál es la premisa mayor y cuál es la premisa menor así:

La premisa que contenga el término mayor (“inmorales”) será la premisa mayor; luego, la premisa mayor es:

PM: Todos los seres de negro corazón son inmorales La premisa que contenga el término menor (“ladrones”)

será la premisa menor, luego la premisa menor es: Pm: Todos los ladrones son seres de negro corazón.

FORMA ESTÁNDAR Ahora que tenemos las 2 premisas,

podemos identificar fácilmente el término medio, es decir, el término común a las 2 o el que se repite. Ese término es: “seres de negro corazón”.

Ahora que hemos identificado los componentes del silogismo podemos reescribirlo en forma estándar, así:

(1) Premisa mayor: Todos los seres de negro corazón son

inmorales (2) Premisa menor: Todos los ladrones son seres de

negro corazón (3) Conclusión: Todos los ladrones son inmorales.

MODO Y FIGURA Cuando examinamos un silogismo categórico en forma

estándar es posible reconocer en él una estructura en la que se conjugan los elementos que previamente identificamos por separado.

Si consideramos el último ejemplo encontramos lo siguiente:

(1) Todos los seres de negro corazón son inmorales (premisa mayor, tipo A) (2) Todos los ladrones son seres de negro corazón (premisa menor, tipo A) (3) Todos los ladrones son inmorales (conclusión, tipo A)

El conjunto de 3 elementos que forman los 3 tipos de proposiciones que intervienen en él si las consideramos en su orden; es decir, premisa mayor, premisa menor y conclusión, es este: A, A, A. Para determinar el modo del silogismo es indispensable siempre colocar el silogismo en forma estándar, pues el orden de las letras corresponde exactamente al orden: premisa mayor, premisa menor y conclusión.

Por otra parte, si examinamos el término medio (“seres de negro corazón”) notamos que en la premisa mayor aparece como sujeto, que en la premisa menor aparece como predicado y que desaparece en la conclusión. Esa posición que ocupa el término medio se llama la figura del silogismo y puede tener 4 versiones:

FIGURA DEL SILOGISMO

Primera figura (I): el término medio es el sujeto de la premisa mayor y el predicado de la premisa menor.

M P S M S P Segunda figura (II): el término medio es predicado de la premisa

mayor y también predicado de la premisa menor. P M S M S P Tercera figura (III): el término medio es sujeto de la premisa mayor

y también es sujeto de la premisa menor. M P M S S P Cuarta figura (IV): el término medio es predicado de la premisa

mayor y sujeto de la premisa menor P M M S S P

MODO Y FIGURA Según esto, nuestro ejemplo sería un silogismo de

primera figura, puesto que el término medio aparece como sujeto de la premisa mayor y como predicado de la premisa menor.

(1) Todos los seres de negro corazón son inmorales (premisa mayor, tipo A)

(2) Todos los ladrones son seres de negro corazón (premisa menor, tipo A)

(3) Todos los ladrones son inmorales (conclusión, tipo A)

Nuestro silogismo tiene entonces las siguientes características:

1. Su modo es AAA 2. Si figura es I. Cuando hemos dado el modo y la figura de un

silogismo ya lo hemos caracterizado completamente, pues el modo y la figura son las características esenciales del silogismo categórico. Sin embargo, en cualquier ejercicio de argumentación no basta argumentar sino que se busca que los argumentos sean correctos. En ese sentido, además de saber construir silogismos es fundamental saber determinar si han sido correctamente construidos o no; es decir, si son argumentos válidos o inválidos.

VALIDEZ DEL SILOGISMO Se sabe que el silogismo categórico

estructuralmente está compuesto por 3 proposiciones categóricas que contienen a su vez dentro de ellas 3 términos. Además, estas 3 proposiciones categóricas se pueden representar mediante la fórmula booleanas en diagramas.

Por este motivo es posible analizar el silogismo como la resultante de un intersección de 3 clases, cada una de las cuales representa respectivamente al término medio (T. medio), al término mayor o predicado de la conclusión (TM) y al término menor o sujeto de la conclusión (tm).

De la relación de estas 3 clases resulta el siguiente diagrama en el que se distinguen 8 áreas.

PASOS 1er. Paso: determinar las premisas y la conclusión. Hallar

los 3 términos. 2do. Paso: determinar la fórmula booleana de cada

proposición categórica. 3er. Paso: dibujar las 3 clases (términos mayor, menor y

medio) así por convención. 4to. Paso: Diagramar solo las premisas. El silogismo será

válido si aparece, se comprueba o verifica la conclusión.

EJEMPLO

Determine la validez del siguiente silogismo:

1) Todo argentino es sudamericano, además, algún lógico es argentino. Por lo tanto, algún lógico es sudamericano.

PRIMER PASO: PM: Todo A es S Pm: Algún L es A C: Algún L es S SEGUNDO PASO: PM: AS= Pm: LA C: LS

• TERCER PASO:

• CUARTO PASO:• Vemos que la conclusión C,

que señala que existen elementos comunes a L y S, efectivamente queda diagramada cuando dibujamos las premisas. El silogismo es válido

EJEMPLO

Determine la validez del siguiente silogismo:

2) Todo religioso es creyente. Ningún ateo es religioso. En conclusión, ningún ateo es creyente.

PRIMER PASO: PM: Todo R es C Pm: Ningún A es R C: Ningún A es C SEGUNDO PASO: PM: RC= Pm: AR= C: AC=

• TERCER PASO:

• CUARTO PASO:• Vemos que la conclusión C,

que indica que no hay elementos comunes a A y C, no queda diagramada cuando dibujamos las premisas. El silogismo es inválido.

EJERCICIO

EJERCICIOS

10. Dado un silogismo de forma 1-AAA, determine su premisa menor, teniendo en cuenta que su término medio es atrevido y su conclusión es Todos los acróbatas son valientes.

BIBLIOGRAFÍA

GARCÍA ZÁRATE, Óscar. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.

CHÁVEZ N., A. (2000) Introducción a la Lógica. Lima: Noriega.

REA RAVELLO, Bernardo. (2003) Introducción a la Lógica. Lima: Mantaro.

PEREZ, M. (2006) Lógica Clásica y Argumentación Cotidiana. Bogotá: Editorial Pontificia Universidad Javeriana.

MANZANO, María y A. Huertas (2004) Lógica para principiantes. Madrid: Alianza Editorial.