Manualul profesorului

Tehnica Backtracking - Manualul profesorului Clasa a X-a

- 2 -

Cuprins:

1. Terminologie 2. Structură generală

2.1. Obiective didactice 2.2. Conţinut 2.3. Recomandări de structurare şi predare

3. Obiecte de conţinut - detaliere

3.1. M1 – Backtracking iterativ – Generarea aranjamentelor 3.2. M2 – Colorarea hărţilor 3.3. M3 – Colorarea hărţilor – Aplicaţie : Harta României 3.4. M4 – Backtracking recursiv – Plata unei sume de bani 3.5. M5 – Problema labirintului

4. Bibliografie


- 3 -

1. Terminologie Butoane instructaj – – sunt amplasate în partea din dreapta-sus a ecranului şi, atunci când sunt accesate, prezintă pas cu pas, într-o fereastră de detaliu, instrucţiuni despre folosirea unei aplicaţii. Butoane demonstraţie – – sunt amplasate în dreptul enunţurilor “Teoremă” sau în dreptul unui rezultat, şi îi oferă utilizatorului, într-o fereastră de detaliu, demonstraţia teoremei, respectiv modul în care s-a ajuns la acel rezultat. Butoane start animaţie / trecere la pasul următor – – se regăsesc în cadrul animaţiilor şi al aplicaţiilor ce conţin mai mulţi paşi. Prin apăsarea lor se începe rularea animaţiei, respectiv se trece la următorul pas al aplicaţiei. Butoane de reiniţializare a animaţiei / aplicaţiei - - Prin apăsarea lor se reiniţializează animaţia, respectiv aplicaţia. Butoane de navigare între soluţii - - se regăsesc în cadrul aplicaţiilor ce conţin prezentarea unor algoritmi care trebuie să afişeze toate soluţiile unei probleme date. Apăsarea primului buton duce la afişarea directă a următoarei soluţii a problemei, sărind peste etapele intermediare. Apăsarea celui de-al doilea duce la afişarea directă a ultimei soluţii a problemei, sărind peste etapele intermediare. Apăsarea ultimului buton duce la întreruperea animaţiei, reluarea facându-se prin apăsarea butonului start animaţie. Butoane pentru navigare secvenţială – – fac legătura între ferestre de conţinut asemănător din interiorul unui modul. Texte de reper – – reprezintă simboluri grafice prezente intr-un text care, atunci când sunt accesate, prezintă ferestre de ajutor, in care se detaliază o anumită noţiune.


- 4 -

Ferestre detaliu – sunt ferestre care oferă informaţii suplimentare despre o anumită noţiune. Exemplu : Butoane pentru închis ferestre - – sunt amplasate în dreapta ferestrelor de detaliu iar apăsarea lor duce la închiderea ferestrei.


- 5 -

2. Structura generală În acest capitol sunt prezentate detaliat obiectivele didactice care pot fi atinse cu ajutorul acestor lecţii. De asemenea sunt prezentate succint conţinuturile materialului şi câteva sugestii pentru folosirea lecţii. 2.1. Obiective didactice Obiectiv Detaliere Obiective de referinţă R1 Să identifice problemele care pot fi rezolvate cu ajutorul

metodei backtracking. R2 Să însuşească tehnica backtracking – metodă de alaborare

a algoritmilor. R3 Să urmărească etapele de realizare a unei aplicaţii prin

metoda backtracking. Obiective operaţionale OP1 să utilizeze corect noţiunile învăţate în scrierea modulară

a programelor; OP2 să evidenţieze condiţiile interne şi condiţiile de continuare

ale aplicaţiilor; OP3 să identifice şi să construiască soluţiile posibile ale

aplicaţiilor; OP4 să verifice soluţiile posibile care satisfac condiţiile interne,

conducând raţionamentul către soluţiile rezultat; OP5 să analizeze corect fiecare problemă şi să dezvolte

gândirea algoritmică, capacitatea de generalizare şi problematizare


- 6 -

2.2 Conţinut Se prezintă lista obiectelor de conţinut şi caracteristicile lor generale.

M2 – Colorarea hărţilor Obiective didactice OP2, OP3, OP4 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, algoritmizare ;

• metode de acţiune: exerciţiul, învăţarea prin descoperire;

• proceedee de instruire: explicatia în etapa de comunicare; învăţarea prin descoperire dirijată, inductivă, experimentală; conversaţia de consolidare în etapa de fixare a cunoştinţelor;

Descriere • exemplificarea colorării unei hărţi compusă din şase ţări folosind cel mult patru culori;

• explicarea tehnicii backtracking folosită în colorarea hărţii

Cuvinte cheie metoda backtracking, matricea asociată hărţii, stiva st[]

M1 – Backtracking iterativ – Generarea aranjamentelor Obiective didactice OP1, OP2, OP3, OP4 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, studiu de caz;


• proceedee de instruire: explicatia în etapa de comunicare; învăţarea prin descoperire dirijată, inductivă, experimentală; conversaţia de consolidare în etapa de fixare a cunoştintelor;

Descriere • exemplificarea generării aranjamentelor • explicarea mecanismului de generare a

aranjamentelor prin utilizarea unei stivei

Cuvinte cheie metoda backtracking, aranjamente de n elemente luate căte p


- 7 -

M3 – Colorarea hărţilor – Aplicaţie : Harta României Obiective didactice OP2, OP3, OP4, OP5 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, problematizare, brainstorming;


• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, problematizarea prin crearea de situaţii problemă, exerciţiul de consolidare;

Descriere exemplificarea colorării hărţii reprezentând regiunile istorice ale României folosind cel mult patru culori;

Cuvinte cheie metoda backtracking, matricea asociată hărţii

M4 – Backtracking recursiv – Plata unei sume de bani Obiective didactice OP2, OP3, OP4, OP5 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, algoritmizare, studiu de caz;


• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, învăţarea prin descoperire dirijată, inductivă, experimentală, exerciţiul de consolidare;

Descriere transpunerea unei algoritm backtracking în termeni recursivi

Cuvinte cheie formule recursive, backtracking recursiv


- 8 -

M5 – Problema labirintului Obiective didactice OP2, OP3, OP4, OP5 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, problematizare, studiu de caz;


• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, problematizarea prin crearea de situaţii problemă, exerciţiul de consolidare;

Descriere exemplificarea generării tuturor soluţiilor de ieşire dintr-un labirint, pornind dintr-o poziţie dată.

Cuvinte cheie tehnica backtracking


- 9 -

2.2. Recomandări de structurare şi predare

1. Planul unităţii de învăţare Timp: 1 oră

Obiect de conţinut Timp (min) M1 25 M2 25


Obiect de conţinut Timp (min)

M3 25 M4 25


Obiect de conţinut Timp (min)

M5 25 M6 25


- 10 -

3. Obiecte de coţinut - detaliere În continuare vom prezenta în detaliu modul de utilizare a elementelor din ferestrele lecţiei. (navigare, elemente specifice, funcţionarea aplicaţiilor, etc.). Subliniem că navigarea elementară se face cu ajutorul butoanelor descrise în Cap. 1 – Terminologie, al acestui manual. Nu ne vom referi la acestea decât spicuitiv. 3.1. Backtracking iterativ – Generarea aranjamentelor În acest obiect de conţinut este rezolvată grafic problema generăriii tuturor aranjamentelor de n obiecte luate câte p, particularizată pentru n = 4 şi p = 3. În partea stângă a obiectului de conţinut sunt reprezentate grafic elementele teoretice cu care se lucrează: stiva, figurată printr-un cilindru transparent în care se pot introduce obiecte printr-un singur capăt, şi obiectele cărora li se aplică algoritmul, figurate prin bile de culoare albastră, diferenţiate prin numere. Alături de aceste elemente sunt afişate, prin enumerare, soluţiile găsite cu ajutorul algoritmului până în momentul curent.

Bilele care se află la un moment-dat în cilindru corespund elementelor ce se află în stivă. Elementele care nu se află în stivă sunt reprezentate prin bilele aflate în secţiunea “Numere valide”. În partea dreaptă este afişat programul sursă ce rezolvă problema propusă. Săgeata roşie împreună cu dreptunghiul roşu marchează linia şi instrucţiunea curente.

Elemente aflate în stivă Stiva

Soluţii afişate

Elemente în afara stivei


- 11 -

Programul sursă se parcurge pas cu pas, folosind butoanele de navigare între soluţii. 3.2. Colorarea hărţilor În acest obiect de conţinut este rezolvată grafic problema colorării hărţilor utilizând cel mult 4 culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorate diferit. Problema este particularizată pentru n = 6 ţări, a căror hartă este reprezentată în partea din stânga jos: Matricea vecinătăţilor ilustrează modul în care se învecinează ţările: dacă a[i, j] are valoarea 0 înseamnă că ţara i nu se învecinează cu ţara j, iar dacă [i, j] are valoarea 1, ţările i şi j sunt vecine. Tot în partea stângă, sub hartă, se află un tabel în care sunt afişate valorile intermediare ale principalelor funcţii şi variable ale programului. Acestea sunt: k – contor care indică nivelul curent în stivă; st[] – stiva la momentul curent; succ(), valid(), sol() – funcţii ale algoritmului implementat; varianta – ultima soluţie găsită.

Săgeata marchează linia de program curentă

Dreptunghiul marchează instrucţiunea curentă

Harta ţărilor Matricea vecinătăţilor


- 12 -

În partea dreaptă este afişat programul sursă ce rezolvă problema propusă. Săgeata roşie împreună cu dreptunghiul roşu marchează linia şi instrucţiunea curente.

Programul sursă se parcurge pas cu pas, folosind butoanele de navigare între soluţii. 3.3. Colorarea hărţilor – Aplicaţie : Harta României Acest obiect de conţinut reprezintă aplicarea algoritmului de colorare a hărţior pentru regiunile istorice ale României. În partea dreaptă este reprezentată harta României, ale cărei regiuni trebuie colorate cu ajutorul steguleţelor de diverse culori.



Steguleţe colorate

Harta de colorat

Contorul care indică nivelul curent în stivă

Stiva curentă

Valorile funcţiilor implementate de algoritm

Ultima soluţie găsită


- 13 -

Selectaţi cu mouse-ul unul din steguleţele disponobile şi trageţi-l deasupra zonei a cãrei culoare doriţi sã o schimbaţi, ţinând apãsat butonul stânga al mouse-ului. Eliberaţi steguleţul deasupra cerculeţului corespunzător fiecărei regiuni : . Pentru a schimba culoarea unei zone deja colorate, plasaţi steguleţul nou deasupra vechiului steguleţ. 3.4. Backtracking recursiv – Plata unei sume de bani În acest obiect de conţinut este rezolvată grafic problema plăţii uneii sume de bani s având la dispoziţie n tipuri de bancnote de diferite valori date. În partea stângă se pot alege datele de intrare, astfel:

• alegeţi mai întâi suma ce trebuie plãtitã, folosind butoanele şi pentru a o scădea sau creşte valoarea ei. Această valoare este reprezentată în chenarul dintre cele două butoane ;

• alegeţi apoi tipurile de bancnote cu care se face plata apãsând pe butoanele corespunzãtoare :

• în cazul în care suma este diferitã de 0 şi aţi selectat cel puţin o bancnotã, în partea dreaptã a ecranului vor apărea butoanele necesare pentru execuţia pas cu pas a programului.

Tot în partea stângă se află un tabel cu valorile intermediare ale diverşilor parametri ai programului. Astfel, datele de intrare în program sunt:

Suma de bani Numărul de bancnote selectate

Mulţimea valorilor bancnotelor selectate


- 14 -

iar valorile prelucrate de program în timpul rulării sunt : În partea dreaptă este afişat programul sursă ce rezolvă problema propusă. Săgeata roşie împreună cu dreptunghiul roşu marchează linia şi instrucţiunea curente.

Programul sursă se parcurge pas cu pas, folosind butoanele de navigare între soluţii. 3.5. Problema labirintului

În acest obiect de conţinut este rezolvată grafic problema găsirii tuturor drumurilor de ieşire dintr-un labirint, plecând de la o poziţie iniţială dată. Labirintul este reprezentat printr-o matrice cu m linii şi n coloane. Fiecare element al matricei reprezintă o “poziţie” (celulă, cameră) a labirintului. Fiecare astfel de cameră are una sau mai multe ieşiri. Nu există camere izolate.

Numărul maxim de bancnote din fiecare tip cu care se poate plăti suma de bani

Nivelul curent în stivă

Suma curentă Stiva la momentul curent

Ultima soluţie găsită




- 15 -

Se consideră direcţiile de deplasare ale omului în labirint: nord, est, sud, vest, luate în această ordine. Astfel, ajungând într-o anumită cameră, se încearcă mai întâi deplasarea către camera din nord. Dacă există legătură între cele două camere, se face deplasarea. Dacă nu, se încearcă deplasarea în următoarea direcţie. Acest algoritm se repetă până s-au epuizat toate posibilităţile. Pentru fiecare cameră a labirintului se reţine numărul zecimal a cărui reprezentare binară este dată de ieşirile posibile, astfel: pentru fiecare direcţie cu ieşire se reţine 1, iar în caz contrar se reţine 0. Drumurile de ieşire din labirint sunt afişate în momentul găsirii lor, într-o fereastră de soluţii : O soluţie este formată de toate camerele prin care trebuie să se treacă pentru a se ieşi din labirint. O cameră este caracterizată de linia (x) şi coloana (y) din labirint. Afişarea soluţiilor se face astfel: pe prima linie, notate cu x, se pun coordonatele liniilor camerelor ce


- 16 -

fac parte din soluţie, iar pe a doua linie, notate cu y, coordonatele coloanelor camerelor. Algoritmul respectă regulile tehnicii backtracking şi rulează până când toate camerele labirintului au fost parcurse.


- 17 -

4. Bibliografie

• Bucur Carmen, Bucur Doina, Pintea Adrian, Salaţiu, Cristina, Stanca Florentina, Vaida Dana; Informatica –Culegere de probleme pentru liceu, Editura U.T. Pres, Cluj-Napoca, 2002

• Cerchez Emanuela, Şerban Marinel; Informatica –

Manual pentru clasa a X-a, Editura Polirom, 2000

• Livovschi L., Georgescu H., Sinteza şi Analiza algoritmilor, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1986

• Sorin Tudor; Manual de informatica-clasa a X-a, varianta

C++, Editura L&S Infomat, 2000

• Knuth D. E; Tratat de programarea calculatoarelor Algoritmi fundamentali, Editura Tehnică, 1974

Education

Manualul profesorului