Mat geometria plana 001

COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 1 PÁGINA 1

ANOTAÇÕES

Geometria plana

1.1. Introdução

1.1.1. Noções Primitivas:Ponto – Reta – Plano

Representação Ponto

Reta

Plano

• O ponto não possui dimensão • A reta possui uma só dimensão • O plano possui exatamente duas

dimensões • Não confundir os conceitos de me-

dida e dimensão

1.1.2. Semi-reta

Qualquer ponto de uma reta a di-vida em duas semi-retas ditas opos-tas.

O ponto O divide a reta r nas se-

mi-retas OAuuuur

e OBuuur

.

1.1.3. Segmento de Reta

O segmento AB = ABuuur

∩ BAuuur

.

A medida do segmento será

indicada por

1.1.4. Pontos Alinhados ou Colinea-res

São pontos que pertencem a uma mesma reta.

A ∈ r, B ∈ r e C ∈ r são colineares

1.1.5. Conjunto Convexo

∀ A ∈ α, ∀ B ∈ α; ⊂ α

1.1.6. Conjunto não Convexo

∃ A ∈ β, ∃ B ∈ β; ⊄ β

1.1.7. Ângulo Geométrico

É a união de duas semi-retas de mesma origem

Matemática

Geometria Plana

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA

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ANOTAÇÕES O .. vértice

..e . lados

α = A B . ângulo

1.1.8. Congruência

Duas figuras geométricas (conjun-to de pontos) serão ditas congruentes, se e somente se, coincidirem por su-perposição.

≅ ou AB = CD

1.1.9. Ângulo Convexo

É o ângulo que determina no pla-no uma região convexa

α é convexo

1.1.10. Ângulo não Convexo

É o ângulo que determina no pla-no uma região não convexa

β é não convexo

1.1.11. Ângulo Reto Se duas retas que têm um só pon-to em comum e determinarem 4 ân-gulos congruentes, cada um deles se-rá chamado de ângulo reto

α é ângulo reto

1.1.12. Medida de ângulo Vamos admitir o ângulo reto, com um ângulo que mede noventa graus. Indicaremos 90º.

1.1.13. Submúltiplos do grau

190

do ângulo reto = 1º

1

60 de 1º = 1 ( 1 minuto)

1

60 de 1’ = 1” (1 segundo)

Assim: 1º = 60’ e 1’ = 60”, logo 1º = 3600”

1.1.14. ângulo Agudo

α é agudo ⇔ 0º < α < 90º

1.1.15. Ângulo Obtuso

β é obtuso ⇔ 90º < β < 180º

1.1.16. ângulo Raso

θ é raso ⇔ θ = 180º

1.1.17. Ângulo de uma volta

γ é de uma volta ⇔ γ = 360º

1.1.18. Bissetriz É a semi-reta que partindo do vértice divide o ângulo em 2 ângulos congruentes.

1.1.19. Ângulos Consecutivos Têm o mesmo vértice e um lado comum

1.1.20. Ângulos Adjacentes São ângulos consecutivos em que os lados não comuns estão em semi-planos opostos. Na figura anterior vemos que α e β são adjacentes e γ e θ não são.

GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

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ANOTAÇÕES 1.1.21. Ângulos Opostos Pelo Vérti-ce

São ângulos em que o lado de um é o prologamento do lado do outro.

1.1.22. Complemento, Suplemento e Replemento

• e β são complementares ⇔ α e β = 90º

• e β são suplementares ⇔ α e β = 180º

• e β são replementares ⇔ α e β = 360º

Indicamos: − complemento de x = 90º – x − suplemento de x = 180º - x − replemento de x = 360º - x

1. Verifique se são convexos ou não con-

vexos, cada um dos conjuntos seguin-tes: a) reta b) o segmento da reta c) a semi-reta d) a reta menos um ponto e) a circunferência f) o círculo

2. Efetuar as operações indicadas

a) (2º 20’ 30º) + (10º 10 10”) b) (20º 40’) + (19º 20’) c) (40º 40’) + (20º 25’) d) (10º 42’ 50”) + (30º 20’ 20”) e) (20º 20’ 20”) + (10º 39” 40”) f) (10º 20’) – (8º 12’) g) 40º (12º 20’) h) (30] 30’) – (10º 40’) i) 15º (10º 20’ 25”) j) (22º 18’ 10”) – (4º 20’ 2”) k) (32º 42’ 42”) – (10º 50’ 50”) l) (20º 20’) x 4 m) (10º 22’ 32”) x 5 n) (12° 24’ 36”) ÷ 3 o) (12º 21” 12”) ÷ 5

3. Encontre o complemento e o suplemen-

to de: a) 12º b) 20º 12’ c) 35º 43’ 42” d)

4. Dois ângulos são complementares e a medida de um excede a do outro em 20º. Achar a medida desses ân-gulos.

5.Dois ângulos são suplementares e a ra-

zão das medidas é . Quais são as medidas dos ângulos?

6.O ângulo igual a do seu suplemento mede:

a) 100º c) 36º e) 72º b) 144º d) 80º 7.Um ângulo mede a metade do seu com-

plemento. Então esse ângulo mede: a) 30º c) 45º e) 75º b) 60º d) 90º 8.O triplo do complemento de um ângulo

é igual a terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo, em radia-nos, mede

a) 78π

c) 74π

e) 58π

b) 516

π d)

716

π

9.Provar que dois ângulos opostos pelo

vértice são congruentes. 10.Achar o valor de x nas figuras seguin-

tes: a)

b)

c)

d)

e)

1.2. Ângulos entre duas retas paralelas e uma transversal

1.2.1. Retas Paralelas

Duas retas de um mesmo plano são paralelas, se e somente se, não tiverem ponto em comum.

EXERCÍCIOS



ANOTAÇÕES

r//s ⇔ r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅

1.2.2. Ângulos entre duas retas pa-ralelas cortadas por uma re-ta transversal

ˆ ˆˆ ˆ1 e 7, 2 e 8 → alternos, externos

(congruentes) ˆ ˆ ˆˆ3 e 5, 4 e 6 → alternos, internos

(congruentes)

→correspondentes (congruentes)

ˆ ˆˆ ˆ1 e 8, 2 e 7 → colaterais, exter-nos (suplementares)

ˆ ˆ ˆˆ4 e 5, 3 e 6 → colaterais internos (suplementares)

Determine x nas figuras seguintes a)

b)

c)

d)

e)

f)

Na figura abaixo as retas r e s são parale-

las. A medida do ângulo b é:

1.3. Triângulos I

1.3.1. Definição

Dados 3 pontos A, B e C não coli-neares, chama-se retângulo a união

dos 3 segmentos , e

∆ ABC = ∪ ∪

1.3.2. Elementos do Triângulo

, , → lados m, n, p → medidas dos ângulos intei-

ros , , , respectivamen-te BC = a → medida do lado AC = b → medida do lado

AB = C → medida do lado

1.3.3. Lei Angular de Tales

m+n+p = 180º

EXERCÍCIOS



ANOTAÇÕES “A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180.”

1.3.4. Soma dos ângulos Externos

“Em qualquer triângulo a medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas de 2 ângulos internos não adjacentes.”

x+y=z = 360º

1.3.5. Classificação quanto aos la-dos

1. Escaleno: não possui lados con-gruentes

Isósceles: possui 2 lados congruentes Equilátero: possui 3 lados congruentes

Todo triângulo equilátero é isósce-les

1.3.6. Classificação quanto aos ân-gulos internos

1. Retângulo: Possui 1 ângulo. Obtusângulo: Possui 1 ângulo obtuso. Acutângulo: Possui 3 ângulos agudos.

1.3.7. Propriedades dos Triângulos

1. Em um triângulo, se houver lados congruentes, a eles estarão se opondo ângulos congruentes, e reciprocamente.

Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo, ao menor lado opõe-se o menor ângulo e reciprocamente.

1. Determine o valor de x nas figuras: a)

b)

c)

d)

2. Na figura AB = AC = CD. Determine α.

3.Demonstre que num triângulo a soma

das medidas dos ângulos externos é igual a 360º.

4.Demonstre o Teorema do ângulo Exter-

no. 5.No retângulo a seguir, o valor, em graus

de α + β é:

a) 50 c) 120 e) 220 b) 90 d) 130 6.Na figura a seguir ABCD indica um qua-

drado de lado unitário e ABE um tri-ângulo eqüilátero. Prove que

Sugestão: tg(2x) = 2

2tgxx tg x−

a) α = 15º

b) α = 2 –

A

α

B

C D

E

40o

α

β

B

A

C D

120o

α

13. EXERCÍCIOS



ANOTAÇÕES 7.Observe a figura

Nessa figura , = bisse-

triz de é 140º. A medida do

ângulo é 140º. A medida do

ângulo , em graus, é: a) 20 c) 40 e) 60 b) 30 d) 50

1.4. Triângulos II

1.4.1. Pontos Notáveis de um Tri-ângulo

BARICENTRO

INCENTRO

CIRCUNCENTRO

ORTOCENTRO

1.4.2. TRIÂGULO RETÂNGULO

Propriedade A medida relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à me-tade da hipotenusa.

1AO .BC2

=

1.O segmento da perpendicular traçada de

um vértice de um triângulo à reta su-porte do lado oposto é denominado: a) mediana

b) mediatriz

c) bissetriz

d) altura

e) base

2.Na figura, ABC é um triângulo retângulo

em A, é mediana e é bisse-

triz interna. Se o ângulo = 20º, então o ângulo MDB mede:

C B

N

A

M

D

EXERCÍCIOS

A

B C O

N

R R

R

A

B C

E F

D

H

AD BE CF

alturas

H: ortocentro

A

B C M

O

ma

mediatrizes O: circuncentro

N P

mc

ma

mp

mb

mc

A

B C

R T

S

G

AS BR CT

bissetrizes internas

I: Incentro

A

B C

E F

D

G

AD BE CF

medianas

G: baricentro

A

C

D

E

140o

B F



ANOTAÇÕES a) 90º c) 100º e) 110º b) 95º d) 105º 3.Na figura, o triângulo ABC é retângulo

em A, M é o ponto médio de e

é paralelo do lado . Se BC = 24, então AP vale:

a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8

4.Na figura a seguir, ABCD é um retângu-

lo, M é ponto médio de e o tri-

ângulo BMC é equilátero. Sendo = 18 cm, calcule a medida do segmento

.

5.Na figura abaixo, a circunferência de

centro O está inscrita no triângulo ABC. Sendo DOE paralelo ao lado

; =20; = 25 e = 22: a) mostre que o triângulo BOD é i-

sósceles;

b) calcule o perímetro do triângulo ADE.

6.Um triângulo ABC tem ângulos = 40º e

= 50º. Qual é o ângulo formado pe-las alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo?

a) 30º c) 60º e) 120º b) 45º d) 90º

1.5. Triângulos III

1.5.1. Existência do triângulo

1.5.2. Condição de Existência do Triângulo

1.Se dois lados de um triângulo medem

respectivamente 3 cm e 4 cm, pode-mos afirmar que a mediada do tercei-ro lado é: a) igual a 5 cm b) igual a 1 cm

c) igual a cm d) menor que 7 cm e) maior que 2 cm

2.Mostre que em qualquer quadrilátero

convexo o quociente do perímetro pe-la soma das diagonais é maior que 1 e menor que 2.

3.O semiperímetro de um triângulo é dado

por 12,5 m. Dois lados medem res-pectivamente 7,6m e 8,4 m. Calcular a medida do terceiro lado.

4.Num triângulo isósceles e semi-

perímetro é dado por 19,6m. A base mede 5,2m. Determinar a medida dos lados congruentes.

1. Efetuar as operações seguintes:

a) (12º 22’) + (10º 40’) b) (15º 6’) + (10º 58’) c) (10º 40’ 40”) + (20] 19’ 20”) d) (32º 43’ 42”) + (10º 20’ 42”) e) 10º - (9º 30’)

2.Na figura, calcular a medida “x”

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

A

C B

c b

a

A

B C

D O

E

B

D

P

A

C

M N

A B

C

P



ANOTAÇÕES 3.Na figura, calcular ma medida x.

4.Na figura, r é paralela a s; determine a

medida a.

5.Na figura, x vale:

6.Se r // s, α vale:

a) 100º c) 130º e) 120º b) 110º d) 150º

7.Se r // s, determine na figura

8.Se r // s, então vale:

a) 90º c) 110º e) 22º40’ b) 100º d) 120º

9.Na figura r // s então vale:

a) 90º c) 110º e) nda b) 100º d) 120º 10.Determine x nas figuras a)

b)

c)

d)

11.Os ângulos de um triângulo medem res-

pectivamente: 3x, 4x e 5x. Então, va-le em graus:

a) 125º c) 35º e) 15º b) 55º d) 65º 12.Num triângulo isósceles, um ângulo ex-

terno vale 30º 10’. Os valores possí-veis para os ângulos côgruos são: a) somente 15º5’ b) 15º5’ e 140º50’ c) impossível d) 20º e 140º e) nda

13.Num triângulo isósceles o ângulo do

vértice mede 58º. Calcular a medida dos ângulos externos da base.

14.Um ângulo externo da base de um tri-

ângulo isósceles mede 108. Calcular a medida do ângulo interno do vértice.

15.Num triângulo isósceles a soma dos ân-

gulos da base é oito vezes o ângulo do vértice. Calcular as medidas dos ân-gulos internos do triângulo.

16.Na figura, N é ponto médio AB, é

paralelo a , Sendo = 60 cm,

calcule .



ANOTAÇÕES 17.Em um triângulo retângulo ABC, tra-

çam-se as bissetriz e dos

ângulos agudos e . Calcule a me-

dida do ângulo B C. 18.Na figura abaixo, temos:

= 30 cm

= 30 cm

BE é bissetriz do ângulo

CE é bissetriz do ângulo e DF//BC. Calcule o perímetro do triângulo ADF.

19.Na figura, r é a bissetriz do ângulo

A C. Se α 40º e β = 30º, calcule .

20.Num triângulo ABC, retângulo em B, BD

é mediana. Traçam-se BE perpendicu-

lar a AC. Se = 70º, então o ângulo

E D mede: a) 20º c) 40º e) 50º b) 25º d) 45º 21. Na figura, o triângulo ABC é eqüiláte-

ro, é bissetriz do ângulo A C e

é bissetriz do ângulo A D. O ân-

gulo B C mede:

a) 20º c) 30º e) 40º b) 25º d) 35º 22.Se um triângulo é retângulo, o que po-

demos concluir a respeito do circun-centro e do ortocentro?

23.Se um triângulo é obtusângulo, o que

podemos concluir a respeito do cir-cuncentro e do ortocentro?

24.Quais pontos notáveis do triângulo, são

sempre internos a ele?

26.Se o triângulo é equilatero, o que a-contece com seus pontos notáveis?

27.Na figura, ABCD é um paralelogramo,

em que M é o ponto médio do lado

. Sendo DP=24 cm, determine o valor de x.

28.Num triângulo ABC, o incentro é o pon-

to I. Sendo B C = 125º, determine a medida do ângulo Â.

29.No triângulo ABC da figura, o ponto G é

o baricentro. Sendo CG = x + 2; GE = y ; AG = x e GD = 7 – y, calcule o valor de x + y.

30.Determine o valor de x na figura se-

guinte

31.Em um triângulo, dois lados medem,

respectivamente, 5 e 8. O menor va-lor possível para a medida do terceiro lado é:

a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 12 32.Se x ∈ N e os números x – 1, 2x + 1 e

10 são os lados de um triângulo, en-tão o número de possibilidades de x é:

a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 6 33.Seja ABC um triângulo retângulo, onde

Â = 90º. Se a altura forma com a

mediana um ângulo de 20º, en-tão os ângulos agudos desse triângulo são:

a) 40º e 50º d) 25 e 65º b) 35º e 55º e) 45º e 45º c) 30º e 60º 34.A mediana de um triângulo retângulo

relativa à hipotenusa forma com a



ANOTAÇÕES bissetriz de um dos ângulos agudos em ân-gulo de 120º. Calcular os ângulos agu-dos do triângulo.

35.Num triângulo retângulo, a altura rela-

tiva à hipotenusa forma com a bisse-triz do ângulo reto um ângulo de 15º. Calcular os ângulos agudos.

36.As medidas dos três lados de um triân-

gulo formam uma PA de primeiro termo e a razão r tal que r > 0. Então:

a) r = 3a d) r < a b) r = 2a e) c) r = a

nada podemos afirmar sobre os valores de a e r.

37.Em um triângulo acutângulo, se a me-dida α de um ângulo é menor que a de seu complemento. Pode-se afirmar que: a) α > 80º b) 75º < c) 60º < α < 75º d) 45º < α < 60º e) α < 45º

GABARITO 1) a) 21º 2’ b) 26º 4’ c) 31 º d) 43º 4” 24” e) 30’ 2) 41º 42’ 43’’ 3) 96º 18’ 4) 120º 5) 30º 6) E 7) 90º 8) E 9) 9 10) a) 30º b) 100º c) 100º d) 60º 11) E 12) A 13) 119º 14) 36º 15) 45º, 50º, 85º 16) 20º, 80º, 80º 17) OM = 10cm 18) 135º 19) 66 cm 20) 5º 21) 50º 22) 30º 23) ponto médio da hipotenusa e vértice ,

respectivamente 24) ambos são externos 25) baricentro e incentro 26) coincidem 27) 12 cm 28) 70º 29) 10 30) 1/16 31) B 32) B 33) E 34) B 35) 40º e 50º ou 10º e 80º 36) 30º e 60º 37) E

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