Mate ccss ii

El Solucionario de Matemticas aplicadasa las Ciencias Sociales para 2. de Bachilleratoes una obra colectiva concebida, diseaday creada en el departamento de EdicionesEducativas de Santillana Educacin, S. L.,dirigido por Enrique Juan Redal.

En su realizacin han intervenido:

M. Jos BarberoAna M. GazteluAugusto GonzlezJos LorenzoPedro MachnMara Jos ReyJos del Ro

EDICINAnglica EscoredoCarlos Prez

DIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez Figueroa

Santillana

Biblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO

Matemticas 2 BACHILLERATOaplicadas a las Ciencias Sociales

833302 _ 0001-0005.indd 1833302 _ 0001-0005.indd 1 18/9/09 13:25:0718/9/09 13:25:07

2

PresentacinEl nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al plantea-miento de presentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemtico debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la realidad, sino tambin la actuacin sobre ella.

6

Matrices1

7

CRITERIOS DE EVALU

ACIN

Utilizar los conceptos

de matriz, elemento, d

imensin y diagonal p

rincipal.

Determinar la igualda

d de dos matrices.

Identificar los distinto

s tipos de matrices.

Calcular la matriz tras

puesta de una dada.

Realizar sumas, produ

ctos de matrices y mu

ltiplicaciones de una m

atriz por un nmero.

Calcular el rango de u

na matriz por el mtod

o de Gauss.

Calcular la matriz inve

rsa de una matriz dada

aplicando el mtodo

de Gauss-Jordan.

CONTENIDOS

Conceptos

Elementos de una m

atriz. Clasificacin de m

atrices.

Operaciones con mat

rices:

Suma y resta de matr

ices. Propiedades.

Producto de una ma

triz por un nmero. Pr

opiedades.

Producto de matrice

s. Propiedades.

Matriz traspuesta. Ma

triz simtrica y antisim

trica.

Rango de una matriz.

Mtodo de Gauss.

Matriz inversa. Mtodo

de Gauss-Jordan.

Procedimientos

Utilizacin de los conc

eptos de matriz, eleme

nto, dimensin y diag

onal principal,

e identificacin y utiliz

acin de los distintos t

ipos de matrices.

Determinacin de la i

gualdad de dos matric

es y clculo de la matri

z traspuesta.

Realizacin de sumas y

productos de matrice

s (cuando sea posible)

y de multiplicaciones

de una matriz por un

nmero.

Clculo del rango de

una matriz utilizando e

l mtodo de Gauss.

Clculo de la matriz in

versa mediante su def

inicin.

Clculo de la matriz in

versa utilizando el mt

odo de Gauss-Jordan.

Actitudes

Valoracin de la utilid

ad de las matrices en d

istintos contextos reale

s.

Gusto por la resoluci

n ordenada de operaci

ones con matrices.

Sensibilidad ante la ne

cesidad de realizar cui

dadosamente los clcu

los con matrices.

OBJETIVOS

Identificar los element

os de una matriz y clasif

icarla atendiendo a dis

tintos criterios.

Obtener la matriz trasp

uesta de una matriz da

da.

Calcular la matriz sum

a de dos o ms matric

es del mismo orden.

Hallar, en los casos en q

ue sea posible, el prod

ucto de dos o ms ma

trices, as como

las potencias de distin

tos rdenes de una m

atriz cuadrada.

Determinar el rango d

e una matriz utilizando

el mtodo de Gauss.

Obtener la matriz inve

rsa de una dada a part

ir de la definicin de m

atriz inversa y por

el mtodo de Gauss-Jo

rdan.

28 29

Inferencia estadstica. Estimacin12CRITERIOS DE EVALUACIN

Realizar estimaciones puntuales para la media poblacional y la proporcin poblacional. Obtener intervalos de confianza para la media, la proporcin y la diferencia de medias. Conocer la relacin entre error mximo admisible, nivel de confianza y tamao muestral, para

calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza.

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando intervalos de confianza e interpretar correctamente el resultado obtenido.

Realizar contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la media, para la proporcin, y para la diferencia de medias.

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando contrastes de hiptesis e interpretar correctamente el resultado obtenido.CONTENIDOS

Conceptos

Estimadores puntuales: media muestral y proporcin muestral. Nivel de confianza, error mximo admisible y tamao de la muestra en un intervalo

de confianza.

Intervalos de confianza para la media, para la proporcin y para la diferencia de medias. Nivel de significacin, hiptesis nula, hiptesis alternativa, zona de aceptacin y zona

de rechazo en un contraste de hiptesis.

Contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales. Contrastes de hiptesis para la media, la proporcin y la diferencia de medias.

Procedimientos

Determinacin de estimadores puntuales para la media poblacional y para la proporcin poblacional.

Clculo de intervalos de confianza para la media, la proporcin y la diferencia de medias. Utilizacin de la relacin entre error mximo admisible, nivel de confianza y tamao muestral,

para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza.

Realizacin de contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la media, determinando la zona de aceptacin y dando reglas para aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Elaboracin de contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la proporcin, determinando la zona de aceptacin y dando reglas para aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Elaboracin de contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la diferencia de medias, determinando la zona de aceptacin y dando reglas para aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Actitudes

Valoracin de la inferencia estadstica como mtodo de trabajo para extrapolar los resultados obtenidos de una muestra a una poblacin.

Inters por consultar distintas fuentes de informacin.

OBJETIVOS

Determinar estimadores puntuales para la media poblacional y la proporcin poblacional.

Calcular intervalos de confianza para la media, la proporcin y la diferencia de medias.

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante intervalos de confianza.

Realizar contrastes de hiptesis para la media, la proporcin y la diferencia de medias.

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante contrastes de hiptesis.

833302 _ 0001-0005.indd 2833302 _ 0001-0005.indd 2 18/9/09 13:25:0718/9/09 13:25:07

3

a-la os be d,

31

El escarabajo de oroEdgar Allan PoeA todos nos gustara encontrar un tesoro que resolviera

nuestros problemas. A veces no sabemos exactamente

cmo debera ser. Otras veces lo sabemos, pero nos

falta el plano; o tenemos el plano, aunque las instrucciones estn codificadas. Esto ltimo fue

lo que le sucedi a Legrand, el protagonista de El escarabajo de oro. Ya haba encontrado el pergamino junto a los restos de un barco pirata,

ya lo haba puesto al fuego para que el mensaje escrito

con tinta invisible saliera a la luz, pero lo nico que apareci fue la retahla de signos que vemos

en el prrafo seleccionado.Por la firma, enseguida advirti que este mensaje

ocultaba un texto en ingls. Descifrarlo era el precio

que deba pagar Legrand por su tesoro. Y lo consigui. En este prrafo le cuenta a un amigo

cmo empez a desentraar el mensaje que le llevara hasta el tesoro escondido

por los piratas. Su estrategia inicial consisti en comparar la frecuencia de los signos

en el mensaje con la frecuencia de cada letra en la lengua inglesa. El mensaje

descifrado en ingls puede encontrarse en cualquier edicin del relato y, traducido

al castellano, literalmente sera el siguiente: Un buen vaso en la hostera del obispo en la silla del diablo cuarenta y un grados

y trece minutos Nordeste y desde el Norte principal rama sptimo vstago lado Este

solar cuarto del ojo izquierdo de la cabeza de muerto una lnea recta desde el rbol

a travs de la bala cincuenta pies hacia fuera. Como se ve, el mensaje todava tiene un aire misterioso e incomprensible, pero ahora

el problema consiste en interpretarlo. Con imaginacin, tesn y un poco de suerte,

Legrand consigui entender lo que significa este aparente galimatas y logr desenterrar

un tesoro fabuloso. Saber cmo lo hizo exige terminar de leer este relato,

uno de los ms extraordinarios de Edgar Allan Poe.

30

1SOLUCIONARIO

1SOLUCIONARIO

Una tabla numrica como 3 4 1 2 30 1 7 2 1 es un ejemplo de matriz. Sirve para

codificar problemas o situaciones como este: Una empresa de autobuses tiene tres

lneas: A, B y C. El lunes salieron 4 autobuses en la lnea A, 5 en B y 3 en C. El martes

salieron 1 en A, 7 en B y 3 en C. El mircoles, 4 en A, 5 en B y 6 en C. Representa en forma

de matriz el trfico de esta empresa en los tres das.4 5 31 7 34 5 6

En la matriz, las filas representan los das de la semana, y las columnas cada una

de las lneas de autobs.

L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A SEl escarabajo de oro[Junto a los restos de un barco pirata, el protagonista encontr un

pergamino con un mensaje lleno de signos:( 5 3 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 8 6

Sospech que indicara la posicin de un tesoro y se puso a desci-

frarlo.]

Cont todos los signos y form esta tabla.Signo 8 ; 4 ) * 5 6 ( 1 0 9 2 : 3 - .

Frecuencia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1

La letra ms frecuente en un texto ingls es la e. Despus, la serie es la

siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina has-

ta el punto de que es raro hallar una frase de alguna longitud de la que

no sea el carcter principal. Como el signo predominante es el 8, em-

pezaremos por asignrselo a la e del alfabeto natural. [] Ahora, de

todas las palabras, the es la ms usual; por tanto, debemos ver si est

repetida una combinacin de tres signos, siendo el ltimo de ellos el

8. [] Hay nada menos que siete combinaciones de los signos ; 4 8.

Podemos, por tanto, suponer que ; representa t, 4 representa h, y 8

representa e.Acabamos de fijar una sola palabra; pero sta nos permite tambin des-

cubrir algunos comienzos y finales de otras. Veamos, por ejemplo, el

penltimo caso en que aparece la combinacin ;48 casi al trmino del

mensaje. Sabemos que el ; que viene inmediatamente despus es el co-

mienzo de una palabra, y de los seis signos que siguen a ese the, cono-

cemos, por lo menos, cinco. Sustituyamos, pues, esos signos por las

letras que representan, dejando un espacio para el desconocido:

t_eeth.Probamos con el alfabeto completo para encontrar una letra que se

pueda adaptar a este hueco dando una palabra con sentido. Vemos que

no existe. Por lo tanto debemos desechar el grupo th como parte de

esta palabra. Reduzcamos, pues, los signos a t_ee.Utilizando el alfabeto, si es preciso, como antes, llegamos a la palabra

tree (rbol), como la nica inteligible. Obtenemos as otra letra, la r

representada por (.

EDGAR ALLAN POE

Nmeros realesMatrices1

32

Matrices

33

1SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES

001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a32 a21 a11 1 a22 a12 a31 2

La matriz es: 1 21 22 1

002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. Los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. Anota estos datos en forma de matriz.

La matriz ser de dimensin 2 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamao, y los elementos de la matriz, el precio.

0 45 0 750 60 1

, ,,

003 Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales.

xz x z

yy y

1 3 01 2 1

2 1 02 3

Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos.Las dos matrices son de dimensin 2 3.x 1 2 x 1 z 1 y 2 z y 1 z 33 y 1 y 2 x 2 3 x 10 0 z 1 y z 1 2 3La solucin es x 1, y 2 y z 3.

004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.a) Una matriz fila con cuatro columnas.b) Una matriz columna con cuatro filas.c) Una matriz cuadrada de orden 4.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) A (1 3 1 0)

b) B

1241

c) C

1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1

ANTES DE COMENZAR RECUERDA

001 Resuelve estos sistemas. a) x

xx

yyy

zzz

2 23

3

2

044

b) 2 12 3 0

5 7

33

3

y zx y zx y z

a) xxx

yyy

zzz

x2 23

3

2

044

y z y z y zy z y z

3 2 3 2 43 3 2 4

( )

4 7 44 4

6 00

7y zy z

zz

4y z 4 z 0 y 1

x y 3z 0 y 1, z 0 x 1

La solucin del sistema es x 1, y 1 y z 0.

b)2

2

53

107

2xx

yyy

zz

z y 11 2 3 2 1 05 7

2 5 35

x y yx y

x yx y

( )7

10x

x y yx5 717

510

z y zy

2 134

51

39

5

175

La solucin del sistema es x 10, y z175

395

y .

002 Resuelve estos sistemas.

a) x yx yx y

2 02 52 3 1

2

b) x yx yx yx y

44

02 33 4 1

2 3

a) x yx y

x yx y

2 02 5

22 52

x yy y y

24 5 1

y 1 y 2y x 2

2 x 3y 1 x 2, y 1 4 3 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.

b) x yx y

x x y

02 33 3 1 1

3x 4y 1 x 1, y 1 3 4 1

x 2y 3 x 1, y 1 1 2 3

En este caso, la solucin del sistema es vlida.

En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolucin de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolu-cin no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisicin de los distin-tos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.

29

833302 _ 0001-0005.indd 3833302 _ 0001-0005.indd 3 18/9/09 13:25:0818/9/09 13:25:08

4

ndice

Unidad 1 Matrices 6

Unidad 2 Determinantes 8

Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 10

Unidad 4 Programacin lineal 12

Unidad 5 Lmites y continuidad 14

Unidad 6 Derivada de una funcin 16

Unidad 7 Aplicaciones de las derivadas 18

Unidad 8 Representacin de funciones 20

Unidad 9 Integrales 22

Unidad 10 Probabilidad 24

Unidad 11 Muestreo. Distribuciones muestrales 26

Unidad 12 Inferencia estadstica. Estimacin 28

Programacin de las unidades

833302 _ 0001-0005.indd 4833302 _ 0001-0005.indd 4 18/9/09 13:25:0918/9/09 13:25:09

5

6

8

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

Unidad 1 Matrices 30

Unidad 2 Determinantes 78

Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 128

Unidad 4 Programacin lineal 188

Unidad 5 Lmites y continuidad 246

Unidad 6 Derivada de una funcin 298

Unidad 7 Aplicaciones de las derivadas 336

Unidad 8 Representacin de funciones 388

Unidad 9 Integrales 486

Unidad 10 Probabilidad 540

Unidad 11 Muestreo. Distribuciones muestrales 584

Unidad 12 Inferencia estadstica. Estimacin 622

Resolucin de las actividades

833302 _ 0001-0005.indd 5833302 _ 0001-0005.indd 5 18/9/09 13:25:0918/9/09 13:25:09

6

Matrices1

U D I C R C C

CONTENIDOS

Conceptos

Elementos de una matriz. Clasificacin de matrices. Operaciones con matrices:

Suma y resta de matrices. Propiedades. Producto de una matriz por un nmero. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades.

Matriz traspuesta. Matriz simtrica y antisimtrica. Rango de una matriz. Mtodo de Gauss. Matriz inversa. Mtodo de Gauss-Jordan.

Procedimientos

Utilizacin de los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal, e identificacin y utilizacin de los distintos tipos de matrices.

Determinacin de la igualdad de dos matrices y clculo de la matriz traspuesta. Realizacin de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones

de una matriz por un nmero.

Clculo del rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss. Clculo de la matriz inversa mediante su definicin. Clculo de la matriz inversa utilizando el mtodo de Gauss-Jordan.

Actitudes

Valoracin de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales. Gusto por la resolucin ordenada de operaciones con matrices. Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los clculos con matrices.

OBJETIVOS

Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios. Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada. Calcular la matriz suma de dos o ms matrices del mismo orden. Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o ms matrices, as como

las potencias de distintos rdenes de una matriz cuadrada.

Determinar el rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss. Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definicin de matriz inversa y por

el mtodo de Gauss-Jordan.

833302 _ 0006-0029.indd 6833302 _ 0006-0029.indd 6 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

7

CRITERIOS DE EVALUACIN

Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal. Determinar la igualdad de dos matrices. Identificar los distintos tipos de matrices. Calcular la matriz traspuesta de una dada. Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un nmero. Calcular el rango de una matriz por el mtodo de Gauss. Calcular la matriz inversa de una matriz dada aplicando el mtodo de Gauss-Jordan.

833302 _ 0006-0029.indd 7833302 _ 0006-0029.indd 7 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

8

Determinantes2

C A A O

d

D D O D C

CONTENIDOS

Conceptos

Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus. Menor complementario y adjunto. Rango de una matriz. Matriz adjunta de una matriz dada.

Procedimientos

Clculo del valor de un determinante de orden 2. Aplicacin de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado

a una matriz cuadrada de orden 3.

Utilizacin de las propiedades para simplificar el clculo de determinantes. Obtencin del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera

de una matriz cuadrada.

Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una lnea. Determinacin de todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. Obtencin del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo. Obtencin de la matriz adjunta de una matriz. Clculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta

de su matriz adjunta y dividindola por el valor del determinante.

OBJETIVOS

Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada. Obtener los valores numricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando

la regla de Sarrus.

Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su clculo. Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz

cuadrada.

Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna.

Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz. Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo,

calcularla.

Ac

Cc

P

833302 _ 0006-0029.indd 8833302 _ 0006-0029.indd 8 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

9


Calcular el valor de un determinante de orden 2. Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3. Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los clculos. Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera

de una matriz cuadrada.

Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una lnea. Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. Obtener el rango de una matriz. Determinar la matriz adjunta de una matriz dada. Calcular la matriz inversa de una matriz dada.

Actitudes

Curiosidad e inters por la resolucin de problemas que impliquen clculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos.

Perseverancia y flexibilidad en la resolucin de problemas de determinantes.

833302 _ 0006-0029.indd 9833302 _ 0006-0029.indd 9 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

10

Sistemas de ecuaciones lineales3

A O A

CONTENIDOS

OBJETIVOS

Resolver sistemas mediante su transformacin en sistemas escalonados. Analizar, discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo de Gauss. Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando

el teorema de Rouch-Frbenius.

Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados. Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogneos. Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parmetros. Discutir y resolver sistemas con distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas. Plantear y resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales.

Ac

Vy

V C

Conceptos

Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados. Mtodo de Gauss para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouch-Frbenius. Regla de Cramer. Sistemas homogneos. Sistemas con distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas. Sistemas dependientes de un parmetro.

Procedimientos

Transformacin de un sistema en otro equivalente escalonado y resolucin del mismo. Aplicacin del mtodo de Gauss a la resolucin y discusin de sistemas de ecuaciones lineales. Discusin y resolucin de sistemas de ecuaciones que tengan distinto nmero de ecuaciones

que de incgnitas.

Resolucin de sistemas por mtodos matriciales, mediante la matriz inversa. Discusin y clasificacin de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de Rouch-

Frbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.

Utilizacin de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual nmero de ecuaciones que de incgnitas y con determinante distinto de cero.

Discusin y resolucin de sistemas lineales homogneos. Discusin y resolucin de sistemas dependientes de parmetros. Resolucin de problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales.

833302 _ 0006-0029.indd 10833302 _ 0006-0029.indd 10 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

11


Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana. Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformacin en sistemas escalonados. Aplicar el mtodo de Gauss para estudiar y resolver sistemas. Resolver sistemas de ecuaciones mediante mtodos matriciales. Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. Utilizar correctamente la regla de Cramer. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogneos. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parmetros. Plantear y resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales.

Actitudes

Valoracin de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicary resolver situaciones cotidianas.

Valoracin de la necesidad de interpretacin crtica de las soluciones obtenidas. Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.

es.

s

833302 _ 0006-0029.indd 11833302 _ 0006-0029.indd 11 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

12

Programacin lineal4

v

V

A

CONTENIDOS

Conceptos

Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones. Regiones del plano determinadas por inecuaciones. Programacin lineal. Mtodos de resolucin. Tipos de soluciones. Problema de la produccin. Problema de la dieta. Problema del transporte.

Procedimientos

Resolucin de una inecuacin lineal o un sistema de inecuaciones lineales con dos variables, representando las regiones asociadas en el plano y determinando la regin factible.

Reconocimiento de la presencia de problemas de programacin lineal en la realidad, obtencin de la correspondiente funcin objetivo, representacin de la regin factibley determinacin de los vrtices de la regin factible.

Resolucin de problemas de programacin mediante el mtodo algebraico, determinando todos los vrtices de la regin factible y analizando el valor de la funcin objetivo en cada uno de ellos.

Resolucin de problemas utilizando el mtodo grfico representando rectas paralelasa la funcin objetivo y determinando cul de ellas maximiza o minimiza dicha funcin.

Anlisis de las soluciones de un problema de programacin. Planteamiento y resolucin de problemas reales de produccin, dieta y transporte mediante

programacin lineal, utilizando los mtodos algebraico y/o grfico, y analizando las soluciones obtenidas.

OBJETIVOS

Plantear problemas de programacin lineal, definiendo las variables y escribiendoel sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.

Representar grficamente el recinto de restricciones de un problema y determinarla regin factible.

Hallar las soluciones de un problema de programacin lineal utilizando mtodos algebraicos y grficos.

Analizar las soluciones de un problema de programacin lineal y determinar si existesolucin ptima, y si existe, si es nica.

Aplicar la programacin lineal a la resolucin de problemas reales: produccin, dietay transporte.

Ac

C V

833302 _ 0006-0029.indd 12833302 _ 0006-0029.indd 12 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

13


Representar las regiones del plano determinadas por rectas. Resolver una inecuacin lineal con dos variables. Resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos variables y determinar su regin factible. Plantear un problema de programacin lineal, obtener la funcin objetivo, determinar

las restricciones de las variables, representar la regin factible y determinar los puntos extremos.

Resolver un problema de programacin lineal algebraicamente mediante el estudio de los vrtices de su regin factible.

Resolver un problema de programacin lineal grficamente determinando la recta paralelaa la funcin objetivo que maximiza o minimiza el problema.

Verificar que en un problema de programacin lineal coincide la solucin hallada algebraicamente con la determinada grficamente.

Analizar las soluciones de un problema de programacin lineal con dos variables. Determinar si existe o no la solucin ptima de un problema de programacin lineal. Plantear, resolver y analizar varios problemas de la produccin, la dieta y el transporte.

os s.

es

Actitudes

Curiosidad para abordar matemticamente situaciones cotidianas. Valoracin de la importancia de las Matemticas en la resolucin de problemas de la vida

cotidiana.

833302 _ 0006-0029.indd 13833302 _ 0006-0029.indd 13 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

14

Lmites y continuidad5

C A C

CONTENIDOS

Conceptos

Lmite de una funcin en el infinito. Operaciones con lmites. Lmites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones. Lmites laterales. Continuidad de una funcin en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidades.

Procedimientos

Determinacin, si existe, del lmite de una funcin en un punto de manera aproximaday de forma exacta.

Clculo del lmite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, y del productode un nmero por una funcin.

Lmite de funciones potenciales, exponenciales y racionales. Obtencin de los lmites laterales de una funcin en un punto. Resolucin de indeterminaciones en el clculo de lmites. Anlisis de la continuidad de una funcin en un punto, verificando si se cumple que los dos

lmites laterales son iguales al valor de la funcin en ese punto.

Evaluacin de la continuidad de una funcin en un intervalo. Estudio de las discontinuidades de una funcin, determinando de qu tipo son.

Actitudes

Reconocimiento de la utilidad del estudio de los lmites y la continuidad de funciones enlos distintos contextos del desarrollo cientfico.

OBJETIVOS

Determinar el valor del lmite de una funcin en el infinito. Aplicar las operaciones con lmite: suma, diferencia, producto y cociente, en la resolucin

de lmites.

Determinar el lmite de una funcin en un punto y obtener sus lmites laterales. Resolver indeterminaciones de distinto tipo a la hora del clculo de lmites. Analizar la continuidad de una funcin en un punto, verificando si los lmites laterales

son iguales al valor que toma la funcin en ese punto.

Determinar los puntos de discontinuidad de una funcin, y el tipo de discontinuidad que presentan.

833302 _ 0006-0029.indd 14833302 _ 0006-0029.indd 14 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

15


Calcular el lmite, si existe, de una funcin en el infinito. Aplicar las operaciones con lmites para resolver lmites de funciones. Determinar el lmite de una funcin en un punto. Calcular los lmites laterales de una funcin en un punto. Resolver indeterminaciones de los tipos: `

`, ` `, 1` y

0

0.

Estudiar la continuidad de una funcin en un punto. Estudiar la continuidad de una funcin en un intervalo. Determinar las discontinuidades de una funcin y estudiar el tipo al que pertenecen.

833302 _ 0006-0029.indd 15833302 _ 0006-0029.indd 15 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

16

Derivada de una funcin6

A O C C

dCONTENIDOS

Conceptos

Tasa de variacin media. Derivada de una funcin en un punto. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad. Funcin derivada. Derivada de la suma y de la diferencia de funciones. Derivada del producto y cociente de funciones. Regla de la cadena.

Procedimientos

Obtencin de la funcin derivada y de las derivadas sucesivas de una funcin. Clculo de las derivadas laterales de una funcin en un punto. Anlisis de la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto a partir de las relaciones

entre ambas.

Deduccin y aplicacin de las reglas de derivacin para obtener la derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones.

Utilizacin de la regla de la cadena para obtener la funcin derivada de distintas funciones compuestas.

OBJETIVOS

Utilizar la tasa de variacin media de una funcin para interpretar situaciones de la vida cotidiana.

Obtener la derivada de una funcin en un punto y sus derivadas laterales. Analizar la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto, teniendo en cuenta

las relaciones entre ambas.

Calcular derivadas sucesivas. Calcular derivadas usando las reglas de derivacin. Obtener derivadas de operaciones con funciones. Aplicar la regla de la cadena al clculo de la derivada de una funcin compuesta. Utilizar la tabla de derivadas para hallar la funcin derivada de una funcin cualquiera.

Ac

V C

833302 _ 0006-0029.indd 16833302 _ 0006-0029.indd 16 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

17


Hallar la tasa de variacin media de una funcin en un intervalo. Determinar la derivada de una funcin en un punto, y sus derivadas laterales. Analizar la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto. Obtener la funcin derivada de una funcin elemental. Calcular derivadas sucesivas de una funcin. Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar

derivadas de funciones compuestas.

es

Actitudes

Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo cientfico.

Valoracin del lenguaje grfico a la hora de tratar la informacin. Capacidad para formularse preguntas nuevas explorando al mximo un fenmeno

o situacin.

833302 _ 0006-0029.indd 17833302 _ 0006-0029.indd 17 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

18

7 Aplicaciones de la derivada

O O

CONTENIDOS

Conceptos

Interpretacin geomtrica de la derivada. Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexin. Optimizacin.

Procedimientos

Interpretacin geomtrica de la derivada. Determinacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir

del signo de su derivada primera.

Obtencin de los puntos crticos de una funcin y de sus mximos y mnimos a partirde sus derivadas primera y segunda.

Determinacin de los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, y de sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda.

Resolucin de problemas reales de optimizacin de funciones.

Actitudes

Valoracin de la presencia de las derivadas en la vida real. Gusto por la presentacin clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el clculo

de derivadas.

OBJETIVOS

Obtener la ecuacin de la recta tangente y la recta normal a una funcin en un punto. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo

de su derivada primera.

Obtener los mximos y los mnimos de una funcin a partir de sus derivadas primeray segunda.

Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, as comosus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda.

Conocer los pasos que hay que seguir para optimizar una funcin dada. Optimizar funciones.

833302 _ 0006-0029.indd 18833302 _ 0006-0029.indd 18 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

19


Utilizar la interpretacin geomtrica de la derivada para resolver problemas. Obtener la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a una funcin en un punto. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Resolver problemas reales de optimizacin de funciones: maximizar y minimizar.

s

833302 _ 0006-0029.indd 19833302 _ 0006-0029.indd 19 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

20

Representacin de funciones8

C

r

O

CONTENIDOS

Conceptos

Dominio y puntos de corte con los ejes. Simetras. Periodicidad. Ramas infinitas. Asntotas. Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexin. Funciones polinmicas, racionales, con radicales, exponenciales, logartmicas y definidas

a trozos.

Procedimientos

Obtencin del dominio y puntos de corte con los ejes de una funcin dada. Estudio de las simetras de una funcin. Determinacin del perodo de una funcin peridica. Clculo de las asntotas verticales, horizontales y oblicuas de una funcin. Determinacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin

a partir del signo de su derivada primera.

Obtencin de los puntos crticos de una funcin y de sus mximos y mnimos a partirde sus derivadas primera y segunda.

Determinacin de los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, y de sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda.

Representacin grfica de funciones polinmicas, racionales, con radicales, exponenciales, logartmicas y definidas a trozos utilizando todos los elementos anteriores.

OBJETIVOS

Obtener el dominio y puntos de corte con los ejes de una funcin. Determinar si una funcin es simtrica. Estudiar si una funcin es peridica y, en caso de que lo sea, calcular su perodo. Determinar las asntotas verticales, horizontales y oblicuas. Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los mximos y mnimos

a partir del estudio de la derivada primera.

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexin a partir del estudio de la derivada segunda.

Representar grficamente una funcin.

Ac

y

A

833302 _ 0006-0029.indd 20833302 _ 0006-0029.indd 20 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

21


Hallar el dominio, las simetras y los puntos de corte con los ejes de una funcin. Determinar si una funcin es peridica. Calcular las asntotas horizontales, verticales y oblicuas de una funcin, y determinar la posicin

relativa de la grfica de una funcin respecto a ellas.

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Representar grficamente una funcin a partir del estudio de sus propiedades.

s

Actitudes

Reconocimiento de la utilidad del lenguaje grfico como medio para el estudio y comprensin de fenmenos de la vida real.

Aprecio de los medios tecnolgicos como herramienta para analizar la realidad.

833302 _ 0006-0029.indd 21833302 _ 0006-0029.indd 21 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

22

Integrales9

C

e

C

c

CONTENIDOS

Conceptos

Funcin primitiva. Integral indefinida. Propiedades. Integral definida. Propiedades. Clculo de reas mediante integrales definidas.

Procedimientos

Obtencin de integrales mediante el clculo de una de sus primitivas. Clculo de integrales de funciones elementales. Aplicacin de las propiedades de linealidad y aditividad de las integrales para resolver

problemas en distintos contextos.

Utilizacin de la regla de Barrow en el clculo de integrales entre dos puntos. Uso de la integral para el clculo de reas de regiones comprendidas entre una curva y el eje X,

tanto por encima como por debajo de este.

Utilizacin de la integral para hallar reas comprendidas entre dos curvas.

Actitudes Valoracin de la utilidad de la integracin en numerosos contextos reales. Inters por las aplicaciones reales de la integral. Cuidado al resolver integrales por mtodos numricos.

OBJETIVOS

Establecer la relacin existente entre integracin y derivacin, introduciendo el concepto de primitiva de una funcin y reconociendo sus propiedades.

Utilizar mtodos elementales de clculo de primitivas. Aplicar la regla de Barrow para calcular integrales definidas. Interpretar la integral definida de una funcin como el rea encerrada por su grfica

y el eje X.

Utilizar la integral definida para determinar reas de recintos planos limitados por funciones y el eje X.

Usar la integral definida para calcular el rea comprendida entre dos curvas.

833302 _ 0006-0029.indd 22833302 _ 0006-0029.indd 22 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

23


Determinar una primitiva de una funcin. Comprender, utilizar y conocer la tabla de integrales elementales. Identificar el mejor mtodo para resolver una integral y aplicarlo adecuadamente. Resolver diferentes problemas mediante las propiedades de las integrales y aplicando

el teorema fundamental del clculo.

Utilizar la regla de Barrow para resolver integrales definidas entre dos puntos. Calcular reas de regiones comprendidas entre una curva y el eje X, tanto por encima

como por debajo de este.

Determinar, mediante integrales, el rea comprendida entre dos curvas. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Representar grficamente una funcin a partir del estudio de sus propiedades.

X,

833302 _ 0006-0029.indd 23833302 _ 0006-0029.indd 23 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

24

Probabilidad10

CONTENIDOS

Conceptos

Mtodos de conteo: variaciones, permutaciones y combinaciones. Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos. Propiedades. Probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada. Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad total. Probabilidades a posteriori. Teorema de Bayes.

Procedimientos

Reconocimiento de los contextos problemticos donde aparezcan variaciones y combinaciones, distinguiendo si son con o sin repeticin, y realizacin de los clculos oportunos para obtener el nmero total de grupos que se pueden formar.

Obtencin del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realizacin de operaciones con sucesos.

Utilizacin de la definicin de probabilidad y clculo de probabilidades mediante la reglade Laplace en contextos de equiprobabilidad.

Resolucin de problemas de probabilidad condicionada. Reconocimiento y resolucin de problemas de probabilidad compuesta, y determinacin

de la dependencia o independencia de dos sucesos.

Obtencin de la probabilidad total de un suceso. Reconocimiento y uso de las probabilidades a posteriori. Utilizacin del teorema de Bayes en la resolucin de problemas.

OBJETIVOS

Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones. Identificar en un experimento aleatorio: espacio muestral, suceso, suceso seguro y suceso

imposible.

Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades. Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades. Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace. Resolver problemas de probabilidad condicionada. Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos

son dependientes o independientes, y resolverlos.

Determinar la probabilidad de un suceso, aplicando el teorema de probabilidad total. Aplicar el teorema de Bayes en la resolucin de problemas donde aparezcan

probabilidades a posteriori.

Ad

Ed

D R U

e

H D R D C

d

R U

Ac

V G

833302 _ 0006-0029.indd 24833302 _ 0006-0029.indd 24 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

25

s.


Aplicar el concepto de variacin y permutacin para realizar clculos y obtener el nmero total de grupos que se pueden formar.

Emplear las frmulas de las combinaciones y los nmeros combinatorios para la resolucinde problemas.

Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio. Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades. Usar la definicin de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace

en contextos de equiprobabilidad.

Hallar probabilidades de forma experimental. Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada. Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta. Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos. Calcular la probabilidad total de un suceso, utilizando diagramas de sucesos y diagramas

de rbol.

Reconocer y usar las probabilidades a posteriori. Utilizar el teorema de Bayes en la resolucin de problemas.

Actitudes

Valoracin de la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana. Gusto por la reflexin al resolver problemas de probabilidad.

833302 _ 0006-0029.indd 25833302 _ 0006-0029.indd 25 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

26

Muestreos. Distribuciones muestrales11

o

O

c

A C

m

CONTENIDOS

Conceptos

Poblacin y muestra. Tipos de muestreo: aleatorio simple, sistemtico, estratificado y por conglomerados. Distribucin binomial. Media y varianza. Distribucin normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1). Tipificacin de la normal. Aproximacin de la binomial por la normal. Teorema central del lmite. Distribucin de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias muestrales.

Procedimientos

Reconocimiento de los conceptos de poblacin y muestra y de las limitaciones del muestreo,y discusin sobre la validez de una muestra.

Realizacin de muestreos aleatorios simples.

OBJETIVOS

Distinguir entre poblacin y muestra. Seleccionar una muestra utilizando un muestreo aleatorio simple o sistemtico. Extraer muestras de una poblacin utilizando un muestreo aleatorio sistemtico. Determinar las muestras en un muestreo aleatorio estratificado con afijacin igual

o con afijacin proporcional.

Aplicar las tcnicas de muestreo por conglomerados en una poblacin. Determinar la funcin de distribucin binomial y reconocer el significado de

sus parmetros.

Interpretar el significado de la campana de Gauss y del rea limitada por la curva desu funcin de densidad.

Tipificar un valor de una variable aleatoria que sigue una distribucin normal. Aplicar la tabla N(0, 1) en el clculo de probabilidades de una variable que sigue

una distribucin normal.

Asignar probabilidades a sucesos utilizando la distribucin binomial y normal. Aproximar una distribucin binomial mediante una normal. Relacionar la media y la varianza de una poblacin con la media y varianza de la variable

de todas las medias muestrales de igual tamao.

Reconocer las distribuciones de las medias muestrales, de las proporciones muestralesy de la diferencia de medias muestrales.

Aplicar las distribuciones de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias muestrales a la obtencin de probabilidades.

Oy

Ed

Rd

C U A

e

Cy

Ac

Ve

G

833302 _ 0006-0029.indd 26833302 _ 0006-0029.indd 26 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

27


Entender los conceptos de poblacin y muestra. Elegir correctamente una muestra vlida de una poblacin. Distinguir entre los distintos tipos de muestreo. Elegir el tipo de muestreo que mejor se adapta a las caractersticas de la poblacin para

obtener una muestra significativa.

Realizar muestreos aleatorios simples. Obtener muestras mediante un muestreo aleatorio sistemtico. Elaborar muestreos estratificados, de afijacin igual o proporcional. Determinar el tamao de la muestra al realizar un muestreo estratificado. Realizar muestreos por conglomerados, extrayendo la muestra correspondiente. Identificar la distribucin binomial y el valor de sus parmetros en situaciones de la vida real,

calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza.

Reconocer la distribucin normal y el valor de sus parmetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificacin.

Ajustar una distribucin binomial mediante una normal en distintos casos. Calcular probabilidades para los valores de las medias, proporciones y diferencia de medias

muestrales.

,

Obtencin de muestras mediante muestreo aleatorio sistemtico, a partir de un nmero origen y del coeficiente de elevacin.

Elaboracin de muestreos estratificados de afijacin igual o de afijacin proporcional, determinando cul es el ms adecuado para cada caso.

Realizacin de muestreos por conglomerados, eligiendo estos y extrayendo en cada unode ellos la muestra correspondiente.

Clculo de probabilidades de sucesos utilizando la distribucin binomial. Utilizacin de la tipificacin y de la tabla N(0, 1) para calcular distintas probabilidades. Aproximacin de una distribucin binomial por una normal, reconociendo los casos en los que

es posible y las caractersticas de la distribucin normal a la que se aproxima.

Conocimiento de la distribucin de las medias, proporciones y diferencia de medias muestrales y clculo de distintas probabilidades para los valores de dichas distribuciones.

Actitudes

Valoracin de la presencia de distribuciones de probabilidad relacionadas con muestrasen la vida real.

Gusto por la reflexin al resolver problemas de muestreo y probabilidad.

833302 _ 0006-0029.indd 27833302 _ 0006-0029.indd 27 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

28

Inferencia estadstica. Estimacin12

O C

c

e

y

eCONTENIDOS

Conceptos

Estimadores puntuales: media muestral y proporcin muestral. Nivel de confianza, error mximo admisible y tamao de la muestra en un intervalo

de confianza.

Intervalos de confianza para la media, para la proporcin y para la diferencia de medias. Nivel de significacin, hiptesis nula, hiptesis alternativa, zona de aceptacin y zona

de rechazo en un contraste de hiptesis.

Contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales. Contrastes de hiptesis para la media, la proporcin y la diferencia de medias.

Procedimientos

Determinacin de estimadores puntuales para la media poblacional y para la proporcin poblacional.

Clculo de intervalos de confianza para la media, la proporcin y la diferencia de medias. Utilizacin de la relacin entre error mximo admisible, nivel de confianza y tamao muestral,

para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza.

Realizacin de contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la media, determinandola zona de aceptacin y dando reglas para aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Elaboracin de contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la proporcin, determinando la zona de aceptacin y dando reglas para aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Elaboracin de contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la diferencia de medias, determinando la zona de aceptacin y dando reglas para aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Actitudes

Valoracin de la inferencia estadstica como mtodo de trabajo para extrapolar los resultados obtenidos de una muestra a una poblacin.

Inters por consultar distintas fuentes de informacin.

OBJETIVOS

Determinar estimadores puntuales para la media poblacional y la proporcin poblacional. Calcular intervalos de confianza para la media, la proporcin y la diferencia de medias. Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante intervalos de confianza. Realizar contrastes de hiptesis para la media, la proporcin y la diferencia de medias. Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante contrastes de hiptesis.

833302 _ 0006-0029.indd 28833302 _ 0006-0029.indd 28 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

29


Realizar estimaciones puntuales para la media poblacional y la proporcin poblacional. Obtener intervalos de confianza para la media, la proporcin y la diferencia de medias. Conocer la relacin entre error mximo admisible, nivel de confianza y tamao muestral, para

calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza.

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando intervalos de confianzae interpretar correctamente el resultado obtenido.

Realizar contrastes de hiptesis bilaterales y unilaterales para la media, para la proporcin,y para la diferencia de medias.

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando contrastes de hiptesise interpretar correctamente el resultado obtenido.

,

.

.

833302 _ 0006-0029.indd 29833302 _ 0006-0029.indd 29 18/9/09 13:25:4618/9/09 13:25:46

El escarabajo de oroEdgar Allan Poe

A todos nos gustara encontrar un tesoro que resolviera nuestros problemas. A veces no sabemos exactamente cmo debera ser. Otras veces lo sabemos, pero nos falta el plano; o tenemos el plano, aunque las instrucciones estn codificadas. Esto ltimo fue lo que le sucedi a Legrand, el protagonista de El escarabajo de oro. Ya haba encontrado el pergamino junto a los restos de un barco pirata, ya lo haba puesto al fuego para que el mensaje escrito con tinta invisible saliera a la luz, pero lo nico que apareci fue la retahla de signos que vemos en el prrafo seleccionado.

Por la firma, enseguida advirti que este mensaje ocultaba un texto en ingls. Descifrarlo era el precio que deba pagar Legrand por su tesoro. Y lo consigui. En este prrafo le cuenta a un amigo cmo empez a desentraar el mensaje que le llevara hasta el tesoro escondido por los piratas. Su estrategia inicial consisti en comparar la frecuencia de los signos en el mensaje con la frecuencia de cada letra en la lengua inglesa. El mensaje descifrado en ingls puede encontrarse en cualquier edicin del relato y, traducido al castellano, literalmente sera el siguiente:

Un buen vaso en la hostera del obispo en la silla del diablo cuarenta y un grados y trece minutos Nordeste y desde el Norte principal rama sptimo vstago lado Este solar cuarto del ojo izquierdo de la cabeza de muerto una lnea recta desde el rbol a travs de la bala cincuenta pies hacia fuera.

Como se ve, el mensaje todava tiene un aire misterioso e incomprensible, pero ahora el problema consiste en interpretarlo. Con imaginacin, tesn y un poco de suerte, Legrand consigui entender lo que significa este aparente galimatas y logr desenterrar un tesoro fabuloso. Saber cmo lo hizo exige terminar de leer este relato, uno de los ms extraordinarios de Edgar Allan Poe.

30

1Solucionario

L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S

El escarabajo de oro[Junto a los restos de un barco pirata, el protagonista encontr un pergamino con un mensaje lleno de signos:

( 5 3 + 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 6

Sospech que indicara la posicin de un tesoro y se puso a descifrarlo.]

Cont todos los signos y form esta tabla.

Signo 8 ; 4 ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 - .

Frecuencia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1

La letra ms frecuente en un texto ingls es la e. Despus, la serie es la siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina has-ta el punto de que es raro hallar una frase de alguna longitud de la que no sea el carcter principal. Como el signo predominante es el 8, em-pezaremos por asignrselo a la e del alfabeto natural. [] Ahora, de todas las palabras, the es la ms usual; por tanto, debemos ver si est repetida una combinacin de tres signos, siendo el ltimo de ellos el 8. [] Hay nada menos que siete combinaciones de los signos ; 4 8. Podemos, por tanto, suponer que ; representa t, 4 representa h, y 8 representa e.

Acabamos de fijar una sola palabra; pero sta nos permite tambin des-cubrir algunos comienzos y finales de otras. Veamos, por ejemplo, el penltimo caso en que aparece la combinacin ;48 casi al trmino del mensaje. Sabemos que el ; que viene inmediatamente despus es el co-mienzo de una palabra, y de los seis signos que siguen a ese the, cono-cemos, por lo menos, cinco. Sustituyamos, pues, esos signos por las letras que representan, dejando un espacio para el desconocido: t_eeth.

Probamos con el alfabeto completo para encontrar una letra que se pueda adaptar a este hueco dando una palabra con sentido. Vemos que no existe. Por lo tanto debemos desechar el grupo th como parte de esta palabra. Reduzcamos, pues, los signos a t_ee.

Utilizando el alfabeto, si es preciso, como antes, llegamos a la palabra tree (rbol), como la nica inteligible. Obtenemos as otra letra, la r representada por (.

Edgar allan PoE

nmeros realesMatrices1

833302 _ 0030-0077.indd 30 21/9/09 10:58:18

31

El escarabajo de oroEdgar Allan Poe

A todos nos gustara encontrar un tesoro que resolviera nuestros problemas. A veces no sabemos exactamente cmo debera ser. Otras veces lo sabemos, pero nos falta el plano; o tenemos el plano, aunque las instrucciones estn codificadas. Esto ltimo fue lo que le sucedi a Legrand, el protagonista de El escarabajo de oro. Ya haba encontrado el pergamino junto a los restos de un barco pirata, ya lo haba puesto al fuego para que el mensaje escrito con tinta invisible saliera a la luz, pero lo nico que apareci fue la retahla de signos que vemos en el prrafo seleccionado.

Por la firma, enseguida advirti que este mensaje ocultaba un texto en ingls. Descifrarlo era el precio que deba pagar Legrand por su tesoro. Y lo consigui. En este prrafo le cuenta a un amigo cmo empez a desentraar el mensaje que le llevara hasta el tesoro escondido por los piratas. Su estrategia inicial consisti en comparar la frecuencia de los signos en el mensaje con la frecuencia de cada letra en la lengua inglesa. El mensaje descifrado en ingls puede encontrarse en cualquier edicin del relato y, traducido al castellano, literalmente sera el siguiente:

Un buen vaso en la hostera del obispo en la silla del diablo cuarenta y un grados y trece minutos Nordeste y desde el Norte principal rama sptimo vstago lado Este solar cuarto del ojo izquierdo de la cabeza de muerto una lnea recta desde el rbol a travs de la bala cincuenta pies hacia fuera.

Como se ve, el mensaje todava tiene un aire misterioso e incomprensible, pero ahora el problema consiste en interpretarlo. Con imaginacin, tesn y un poco de suerte, Legrand consigui entender lo que significa este aparente galimatas y logr desenterrar un tesoro fabuloso. Saber cmo lo hizo exige terminar de leer este relato, uno de los ms extraordinarios de Edgar Allan Poe.

1Solucionario

una tabla numrica como 3 4 1 2 30 1 7 2 1

es un ejemplo de matriz. Sirve para

codificar problemas o situaciones como este: una empresa de autobuses tiene tres lneas: A, B y C. El lunes salieron 4 autobuses en la lnea A, 5 en B y 3 en C. El martes salieron 1 en A, 7 en B y 3 en C. El mircoles, 4 en A, 5 en B y 6 en C. representa en forma de matriz el trfico de esta empresa en los tres das.

4 5 31 7 34 5 6

En la matriz, las filas representan los das de la semana, y las columnas cada una de las lneas de autobs.

L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S

El escarabajo de oro[Junto a los restos de un barco pirata, el protagonista encontr un pergamino con un mensaje lleno de signos:

( 5 3 + 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 6

Sospech que indicara la posicin de un tesoro y se puso a descifrarlo.]

Cont todos los signos y form esta tabla.

Signo 8 ; 4 ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 - .

Frecuencia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1

La letra ms frecuente en un texto ingls es la e. Despus, la serie es la siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina has-ta el punto de que es raro hallar una frase de alguna longitud de la que no sea el carcter principal. Como el signo predominante es el 8, em-pezaremos por asignrselo a la e del alfabeto natural. [] Ahora, de todas las palabras, the es la ms usual; por tanto, debemos ver si est repetida una combinacin de tres signos, siendo el ltimo de ellos el 8. [] Hay nada menos que siete combinaciones de los signos ; 4 8. Podemos, por tanto, suponer que ; representa t, 4 representa h, y 8 representa e.

Acabamos de fijar una sola palabra; pero sta nos permite tambin des-cubrir algunos comienzos y finales de otras. Veamos, por ejemplo, el penltimo caso en que aparece la combinacin ;48 casi al trmino del mensaje. Sabemos que el ; que viene inmediatamente despus es el co-mienzo de una palabra, y de los seis signos que siguen a ese the, cono-cemos, por lo menos, cinco. Sustituyamos, pues, esos signos por las letras que representan, dejando un espacio para el desconocido: t_eeth.

Probamos con el alfabeto completo para encontrar una letra que se pueda adaptar a este hueco dando una palabra con sentido. Vemos que no existe. Por lo tanto debemos desechar el grupo th como parte de esta palabra. Reduzcamos, pues, los signos a t_ee.

Utilizando el alfabeto, si es preciso, como antes, llegamos a la palabra tree (rbol), como la nica inteligible. Obtenemos as otra letra, la r representada por (.

Edgar allan PoE

nmeros realesMatrices

833302 _ 0030-0077.indd 31 21/9/09 10:58:20

32

Matrices

ACTIVIDADES

001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2

La matriz es:

002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. anota estos datos en forma de matriz.



Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos.Las dos matrices son de dimensin 2 3.x + 1 = 2 x = 1 z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2 x + 2 = 3 x = 10 = 0 z 1 = y z = 1 + 2 = 3La solucin es x = 1, y = 2 y z = 3.

004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.a) una matriz fila con cuatro columnas.b) una matriz columna con cuatro filas.c) una matriz cuadrada de orden 4.


a) A = (1 3 1 0)

b)

c)


001 resuelve estos sistemas. a) x

xx

yyy

zzz

2 23

3

2

044

+

++

===

b) + = + = =

2 12 3 0

5 7

33

3

y zx y zx y z

a) xxx

yyy

zzz

x2 23

3

2

044

+

++

===

= = + =

y z y z y zy z y z

3 2 3 2 43 3 2 4

( )

= =

==

4 7 44 4

6 00

7y zy z

zz

4y z = 4 z = 0 y = 1

x + y + 3z = 0 y = 1, z = 0 x = 1

La solucin del sistema es x = 1, y = 1 y z = 0.

b)2

2

53

107

2xx

yyy

zz

z y+

+

===

= 11 2 3 2 1 05 7

2 5 35

x y yx y

x yx y

+ = =

=

( ) ==

= 7

10x

x y yx = = = 5 717

510

z y zy

= = = =

2 134

51

39

5

175

La solucin del sistema es x = 10, y z= = 175

395

y .

002 resuelve estos sistemas.

a) + =+ = =

x yx yx y

2 02 52 3 1

2

b) x yx yx yx y

=+ = =

=

44

02 33 4 1

2 3

a) + =+ =

=+ =

x yx y

x yx y

2 02 5

22 52

x y

y y y=

+ = =2

4 5 1

y = 1 y = 2y x = 2

2 x 3y = 1 x = 2, y = 1 4 3 = 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.

b)+

=+ =

= = =

x yx y

x x y

02 33 3 1 1

3x 4y = 1 x = 1, y = 1 3 4 = 1

x 2y = 3 x = 1, y = 1 1 2 = 3

En este caso, la solucin del sistema es vlida.

833302 _ 0030-0077.indd 32 21/9/09 10:58:24

Matrices

33

1Solucionario

ACTIVIDADES

001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2

La matriz es: 1 21 22 1

002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. anota estos datos en forma de matriz.


0 45 0 750 60 1

, ,,


xz x z

yy y

++ +

++

1 3 0

1 2 12 1 0

2 3

Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos.Las dos matrices son de dimensin 2 3.x + 1 = 2 x = 1 z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2 x + 2 = 3 x = 10 = 0 z 1 = y z = 1 + 2 = 3La solucin es x = 1, y = 2 y z = 3.

004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.a) una matriz fila con cuatro columnas.b) una matriz columna con cuatro filas.c) una matriz cuadrada de orden 4.


a) A = (1 3 1 0)

b) B =

1241

c) C =

1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1


resuelve estos sistemas.

4y z = 4 y = 1

x + y + 3z = 0 x = 1

La solucin del sistema es x = 1, y = 1 y z = 0.

b)2

2

53

107

2xx

yyy

zz

z y+

+

===

= 11 2 3 2 1 05 7

2 5 35

x y yx y

x yx y

+ = =

=

( ) ==

= 7

10x

La solucin del sistema es x = 10,

resuelve estos sistemas.

y = 1 x = 2

2 x 3y = 1 4 3 = 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.

3x 4y = 1 3 4 = 1

x 2y = 3 1 2 = 3En este caso, la solucin del sistema es vlida.

833302 _ 0030-0077.indd 33 21/9/09 10:58:26

34

Matrices

010 realiza las operaciones indicadas con estas matrices.

a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C ) 3(B + 2C )

011 calcula la siguiente operacin con matrices:

012 Halla el valor de x en esta igualdad de matrices.

013 realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C.

A C no se pueden multiplicar, ya que la dimensin de A es 2 3 y la de C es 2 2.C B no se pueden multiplicar, pues la dimensin de C es 2 2 y la de B es 3 2.

005 Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumple que ai i = 7.b) Matriz identidad con tres filas.

a) A =

7 0 0 00 7 0 00 0 7 00 0 0 7

b) B =

1 0 00 1 00 0 1

006 calcula (A B)t, siendo A y B las siguientes matrices:

A B=

=

1 70 35 4

4 15 8

1 70 35 4

4 15 8

=

t

t4 15 8

1 70 35 4

=

t

4 51 8

1 0 57 3 4

=

31 15 4057 24 27

007 realiza la siguiente operacin con matrices:

+

1 2 10 3 1

2 2 31 0 1

1 44 02 2 1

+

1 2 10 3 1

2 2 31 0 1

1 44 02 2 1

0 8 21 1 3

=

008 averigua los elementos que faltan si A + B = C.

Aa b

=

3 4 55

B c de

=

23 1

C f=

7 61 1 0

3 4 55

23 1

7 61 1a b

c de

f

+

= 00

5 4 55 3 1

+ ++ +

=

c de a b

f 77 61 1 0

f = 5 4 + c = 7 c = 3 5 + d = 6 d = 1

5 + e = 1 e = 4 a + 3 = 1 a = 4 b 1 = 0 b = 1

009 Haz la siguiente operacin con matrices:

23 3 11 2 01 5 2

34 0 41 1 20

2 3

1 0 22 3 11 1 0

23 3 11 2 01 5 2

34 0 41 1

22

0 2 3

1 0 22 3 11 1 0

=

5 6 121 2 51 15 13

833302 _ 0030-0077.indd 34 21/9/09 10:58:30

Matrices

35

1Solucionario

010 realiza las operaciones indicadas con estas matrices.

A =

1 31 2

B =

2 03 1

C =

2 31 2

a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C ) 3(B + 2C )

a) 2 3 2 1 32 3

3 2 31 2

( )A B C + =

+

=

8 157 0

b) ( )( ) ( ) ( ) + =

2 3 2 2

3 02 4

3A C B C

=

2 61 5

0 187 7

011 calcula la siguiente operacin con matrices:

2 3 1 4 5012

3 3 1 451

( ) ( )

00

2 3 1 4 5012

3 3 1 45

( ) ( )

=

10

6 2 805

10( )

( )9 3 12

510

==

= + + = + = 6 0 2 5 8 10 9 5 3 1 12 0 10 80 45 3 1122

012 Halla el valor de x en esta igualdad de matrices.

( ) ( )1 11

1 9310

x x = 0

( ) ( )1 11

1 9310

x x = = = =0 1 3 0 2 4 2 x x x x( )

013 realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C.

A B=

=

1 0 22 1 3

3 01 22 3

=

C

1 43 2

A B B A =

=

7 613 11

3 0 65 2 88 3 13

=

B C3 127 0

11 2

=

C A

9 4 141 2 0

A C no se pueden multiplicar, ya que la dimensin de A es 2 3 y la de C es 2 2.C B no se pueden multiplicar, pues la dimensin de C es 2 2 y la de B es 3 2.

Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumple que ai i = 7.b) Matriz identidad con tres filas.

calcula (A B)t, siendo A y B las siguientes matrices:

1 70 35 4

4 15 8

=

t

t4 15 8

1 70 35 4

=

t

4 51 8

1 0 57 3 4

=

31 15 4057 24 27

realiza la siguiente operacin con matrices:

averigua los elementos que faltan si A + B = C.

3 4 55

23 1

7 61 1a b

c de

f

+

= 00

5 4 55 3 1

+ ++ +

=

c de a b

f 77 61 1 0

f = 5 4 + c = 7 c = 3 5 + d = 6 d = 1

5 + e = 1 e = 4 a + 3 = 1 a = 4 b 1 = 0 b = 1

Haz la siguiente operacin con matrices:

833302 _ 0030-0077.indd 35 21/9/09 10:58:34

36

Matrices

Para que sus dos filas sean dependientes tienen que ser proporcionales, F2 = F1.

018 Determina el rango de las siguientes matrices.

a) Ninguna de las tres filas es proporcional a otra. Comprobamos si alguna fila es combinacin lineal de las otras dos:

Como los valores de son diferentes, el sistema no tiene solucin. Ninguna fila es combinacin lineal de las otras dos, entonces las tres filas son linealmente independientes y, por tanto, el rango de la matriz es 3.

b) Como F2 = 2F1 y F3 = 3F1, todas las filas son proporcionales. Luego el nmero de filas linealmente independientes es 1 y, por tanto, el rango de la matriz es 1.

019 calcula el rango utilizando el mtodo de Gauss:

014 Determina la dimensin de la matriz resultante de esta operacin y, despus, comprubalo efectuando las operaciones.

2 2 1 03 0 1

3 2 13 0

4 5 1

+

22 1 3

La dimensin de la matriz resultante es 2 3.

22 1 03 0 1

32 13 0

4 5 12 1

+

33

4 2 06 0 2

36 9 1

12 15 3

=

+

=

=

22 25 342 45 11

015 comprueba si se cumple que A (B + C ) = B A + C A, siendo las matrices:

A B C=

=

=

1 12 3

3 12 1

3 01 11

Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad.

1 12 3

3 12 1

3 01 1

+

=

1 12 3

0 11 0

=

1 13 2

+

3 1

2 11 12 3

3 01 1

=

1 12 3

5 04 1

+

=

3 33 2

2 31 1

La igualdad correcta es: A B C A B A C + = + ( )

1 12 3

3 12 1

1 12 3

+

=

3 0

1 11 0

12 5+

=

2 19 3

1 13 2

016 realiza la operacin B A + C A, sacando previamente factor comn a la matriz A.

A B=

=

2 01 30 2

2 0 41 3 53 1 1

=

C1 3 22 0 31 1 5

Qu propiedad has aplicado al sacar factor comn?

Para sacar factor comn aplicamos la propiedad distributiva por la derecha.

B A C A B C A + = + ( )

( )B C A+ =

+

2 0 41 3 53 1 1

1 3 22 0

3

1 1 5

2 01

=

3

0 2

1 31 258 12

017 completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes.

3 1 29 0

ba c

833302 _ 0030-0077.indd 36 21/9/09 10:58:38

Matrices

37

1Solucionario

Para que sus dos filas sean dependientes tienen que ser proporcionales, F2 = F1.

== ==

= ===

9 3

02

33

0

a

bc

ab

c

6

3 1 29 0

3 1 0 ba c

229 3 0 6

018 Determina el rango de las siguientes matrices.

a)1 1 3 02 1 1 10 3 7 1

b)

1 1 32 2 63 3 9

a) Ninguna de las tres filas es proporcional a otra. Comprobamos si alguna fila es combinacin lineal de las otras dos:

F F F1 2 3

1 2130

= +

= = +

= +=

=

= +

= +

=

12

112

312

012

=

=

=

=

12

32

7212

Como los valores de son diferentes, el sistema no tiene solucin. Ninguna fila es combinacin lineal de las otras dos, entonces las tres filas son linealmente independientes y, por tanto, el rango de la matriz es 3.

Rango1 1 3 02 1 1 10 3 7 1

3

=

b) Como F2 = 2F1 y F3 = 3F1, todas las filas son proporcionales. Luego el nmero de filas linealmente independientes es 1 y, por tanto, el rango de la matriz es 1.

Rango1 1 32 2 63 3 9

1

=

019 calcula el rango utilizando el mtodo de Gauss: 3 2 70 1 25 3 0

3 2 70 1 25 3 0 3 3 1

53

= +

F F F

33 2 70 1 2

019

3

35

3

F F F3 3 2

193

3 2 70 1 2

0 073

3= +

Rango3 2 70 1 25 3 0

3

=

Determina la dimensin de la matriz resultante de esta operacin y, despus, comprubalo efectuando las operaciones.

La dimensin de la matriz resultante es 2 3.

comprueba si se cumple que A (B + C ) = B A + C A, siendo las matrices:

Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad.

+

3 1

2 11 12 3

3 01 1

=

1 12 3

5 04 1

+

=

3 33 2

2 31 1

La igualdad correcta es:

realiza la operacin B A + C A, sacando previamente factor comn a la matriz A.

Qu propiedad has aplicado al sacar factor comn?

Para sacar factor comn aplicamos la propiedad distributiva por la derecha.

completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes.

833302 _ 0030-0077.indd 37 21/9/09 10:58:41

38

Matrices

Comprobamos que es la matriz inversa:

023 calcula, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices.

024 Halla, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz:

020 Halla el rango mediante el mtodo de Gauss: 1 3 5 78 3 2 142 1 4 0

1 3 5 78 3 2 142 1 4 0 2

=F FF FF F F

2 1

3 3 1

82

1 3 5 70 21 42 420 7 14 14

=

= F F F3 3 2

13

1 3 5 70 21 42 4220 0 0 0

Rango1 3 5 78 3 2 142 1 4 0

2

=

021 calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definicin.

a) 1 22 4

b) 3 51 2

a) 1 22 4

1 00 1

=

a bc d

+ =+ =+ =+ =

a cb da cb d

2 12 0

2 4 02 4 1

+ =+ =+ =+ =

a cb d

a cb d

2 12 0

2 2 02 2 1

( )( )

El sistema no tiene solucin, luego no existe matriz inversa.

b)3 5

1 2

1 0

0 1

=

a b

c d

= =

+ = + =

3 5 13 5 0

2 02 1

a cb da cb d

= =

==

3 5 13 5 0

22 1

a cb d

a cb d

= =

===

6 5 1

6 3 5 0

251

c cd d

abcd ==

3

Comprobamos que 2 51 3

es la matriz inversa:

3 51 2

2 51 3

1 00 1

=

=

2 5

1 33 51 2

1 00 1

022 Halla, si es posible, la inversa de esta matriz: 2 3 13 1 10 1 0

2 3 1

3 1 1

0 1 0

a b c

d e f

g h i

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+++

++++++

222333

333

abcabc

def

def

gghi

ghi

def

=========

100010001

+ =+ =+ =+ =+ =

2 12 02 33 03

a gb hc ia gb h 11

3 1

2 13 02

c i

a ga gb

+ =

+ =+ =

++ =+ =+ =+ =

hb hc ic i

03 12 33 1

abcghi

= == == =

11

43

211

a) b) c) d)

a) b) c) d)

833302 _ 0030-0077.indd 38 21/9/09 10:58:45

Matrices

39

1Solucionario2 3 13 1 1

0 1 0

a b c

d e f

g h i

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+++

++++++

222333

333

abcabc

def

def

gghi

ghi

def

=========

100010001

+ =+ =+ =+ =+ =

2 12 02 33 03

a gb hc ia gb h 11

3 1

2 13 02

c i

a ga gb

+ =

+ =+ =

++ =+ =+ =+ =

hb hc ic i

03 12 33 1

abcghi

= == == =

11

43

211

Comprobamos que

1 1 40 0 13 2 11

es la matriz inversa:

2 3 13 1 10 1 0

1 1 40 0 13 2 11

=

1 0 00 1 00 0 1

1 1 40 0 13 2 11

2 3 13 1 10 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

023 calcula, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices.

a) 6 212 5

b)

3 72 5

a)6 2

12 51 00 1

6 20 1

1 022 2 12

=

F F F 11

6 00 1

5 22 11 1 22

= F F F

=

F F1 1

16

1 0

0 1

5

6

2

62 1

b)

= +

3 72 5

1 00 1

3 7

01

2 2 123

F F F

33

1 02

31

3 0

1 1 221

= +F F F 00

1

3

15 212

31

1 113

=

F F

FF F2 23

1 00 1

5 72 3

=

024 Halla, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz:

3 0 12 3 10 1 1

Halla el rango mediante el mtodo de Gauss:

1 3 5 78 3 2 142 1 4 0 2

=F FF FF F F

2 1

3 3 1

82

1 3 5 70 21 42 420 7 14 14

=

= F F F3 3 2

13

1 3 5 70 21 42 4220 0 0 0

calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definicin.

El sistema no tiene solucin, luego no existe matriz inversa.

b)3 5

1 2

1 0

0 1

=

a b

c d

= =

+ = + =

3 5 13 5 0

2 02 1

a cb da cb d

= =

==

3 5 13 5 0

22 1

a cb d

a cb d

= =

===

6 5 1

6 3 5 0

251

c cd d

abcd ==

3

Comprobamos que es la matriz inversa:

Halla, si es posible, la inversa de esta matriz:

833302 _ 0030-0077.indd 39 21/9/09 10:58:48

40

Matrices

Matriz triangular inferior de orden 3

Matriz rectangular de dimensin 2 3

Matriz triangular superior de orden 3


026 Pon dos ejemplos de estas matrices: a) Matriz columna c) Matriz diagonal

b) Matriz fila d) Matriz cuadrada


027 Halla los valores de a y b para que las matrices sean iguales.

028 calcula la matriz traspuesta de cada una de estas matrices:

3 0 12 3 10 1 1

1 0 00 1 00 0 1 2

F ==

F F2 123

3 0 1

0 35

30 1 1

1 0 02

31 0

0 0 1

=

F F F3 3 213

3 0 1

0 35

3

0 04

9

1 0 0

2

31 0

2

9

1

31

F F F

F F F

1 1 3

2 2 3

94154

3 0 0

0 3 0

0 04

9

3

2

3

4

9

= +

=

44

3

2

9

4

15

42

9

1

31

=

=

=

F F

F F

F F

1 1

2 2

3 3

131394

1 0 0

0 1 00

0 0 1

1

2

1

4

3

41

2

3

4

5

41

2

3

4

9

4

025 clasifica las matrices y determina su dimensin.

A = (1 2 2) B = 017

C =

0 2 34 3 12 0 1

D =

2 00 2

E =

1 00 1

F = 3 0 00 1 00 1 1

G =

0 1 21 0 3

H =

1 1 10 1 30 0 2

J = 3 0

4 8

A = ( )1 2 2 Matriz fila de dimensin 1 3

B =

017

Matriz columna de dimensin 3 1

C =

0 2 34 3 12 0 1

Matriz cuadrada de orden 3

D =

2 00 2

Matriz diagonal de orden 2

E =

1 00 1

Matriz unidad de orden 2

833302 _ 0030-0077.indd 40 21/9/09 10:58:53

Matrices

41

1Solucionario

F =

3 0 00 1 00 1 1


G =

0 1 21 0 3 Matriz rectangular de dimensin 2 3

H =

1 1 10 1 30 0 2

Matriz triangular superior de orden 3

J =

3 04 8


026 Pon dos ejemplos de estas matrices: a) Matriz columna c) Matriz diagonal

b) Matriz fila d) Matriz cuadrada


a)

810

b) ( )3 2 9 c)2 0 00 5 00 0 7

d)

4 90 2

027 Halla los valores de a y b para que las matrices sean iguales.

Ab

B a=

=

1 33 1 09 4 1

1 5 31 1 0

9 4 1

1 33 1 09 4 1

1 5 31 1 0

9 4 1

ba

=

= = b a5 2,

028 calcula la matriz traspuesta de cada una de estas matrices:

A B C= =

=

( )1 7 2

017

5 4 34 3 12 8 9

=

=

D E4 00 4

0 1 71 9 3

A B Ct t t=

= =

172

0 1 75 4 24 3( ) 883 1 9

4 00 4

=

D E

t tt =

0 11 97 3

clasifica las matrices y determina su dimensin.

A = (1 2 2) B = C = D = E =

F = G = H = J =

Matriz fila de dimensin 1 3

Matriz columna de dimensin 3 1

Matriz cuadrada de orden 3

Matriz diagonal de orden 2

Matriz unidad de orden 2

833302 _ 0030-0077.indd 41 21/9/09 10:58:56

42

Matrices

032 considera las matrices .

Qu relacin hay entre A B y B A?

A B y B A son matrices opuestas.

033 considera las matrices: calcula.

a) A + B C c) A B + C e) A (B C )b) A B + C d) A + B + C f ) C (A + B)

034 Determina una matriz X que verifique: A + X = B, siendo

y .

035 considera las matrices:

realiza, si es posible, los siguientes productos.a) AB b) BA c) AC d) BC

b) No se pueden multiplicar B y A, ya que la dimensin de B es 2 3 y la de A es 2 2.

029 una empresa de autobuses tiene tres lneas: A, B y C.El lunes salieron 5 autobuses en la lnea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 autobuses en la lnea A, 1 en la B y 4 en la C. El mircoles sali 1 autobs en la lnea A, 3 en la B y 5 en la C. represntalo en forma de matriz.

Lo representamos en una matriz de dimensin 3 3. Las filas representan los das de la semana: lunes, martes y mircoles. Las columnas corresponden a las lneas A, B y C, respectivamente. Cada elemento de la matriz es el nmero de autobuses.

5 3 42 1 41 3 5

030 una fbrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. inicialmente distribua 1.000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibi 600 unidades de X y 300 de Y; la empresa B recibi 400 unidades de X y 800 de Y, y la empresa C recibi 900 unidades de X y 700 de Y. representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribucin de los productos a estas empresas.

Las filas corresponden a cada tipo de empresa, A, B y C, y las columnas corresponden al tipo de producto, X e Y. Cada elemento de la matriz es la disminucin porcentual de la produccin.

100 100600

1 00040 100 100

300

1 00070

100 1

= =

. .

000400

1 00060 100 100

800

1 00020

100 1009

= =

. .

000

1 00010 100 100

700

1 00030

. .= =

40 7060 2010 30


A B=

=

0 1 61 4 3

9 1 61 8 9

comprueba con esas matrices la propiedad conmutativa de la suma.

0 1 61 4 3

9 1 61 8 9

9 2 120

+

= 112 6

9 1 61 8 9

0 1 61 4 3

9 2 120

+

= 112 6

833302 _ 0030-0077.indd 42 21/9/09 10:58:59

Matrices

43

1Solucionario

032 considera las matrices A B=

=

0 54 11 3

5 54 22 3

y

.

Qu relacin hay entre A B y B A?

A B =

0 54 11 3

5 54 22 3

=

5 08 31 0

B A =

5 54 22 3

0 54 11 3

=

5 08 31 0

A B y B A son matrices opuestas.

033 considera las matrices: A B C=

=

=

1 1 40 1 3

0 1 21 0 3

2 1 21 4 3

calcula.

a) A + B C c) A B + C e) A (B C )b) A B + C d) A + B + C f ) C (A + B)

a) A B C+ =

3 1 40 5 3

d) + + =

A B C

3 3 02 5 3

b) A B C + =

1 1 40 3 3

e) A B C A B C = + =

( )

1 1 40 3 3

c) + =

A B C

3 1 40 5 3

f ) C A B A B C + = + =

( )

3 1 40 5 3

034 Determina una matriz X que verifique: A + X = B, siendo A =

6 1 21 0 4

y B =

0 1 21 9 3

.

A X B X B A+ = = =

0 1 21 9 3

6 1 21 0 4

=

6 0 02 9 1


A B C=

=

=

3 04 8

2 1 11 0 3

4 1

20 5 31 0 2

realiza, si es posible, los siguientes productos.a) AB b) BA c) AC d) BC

a) AB =

=

3 04 8

2 1 11 0 3

6 3 330 4 20

b) No se pueden multiplicar B y A, ya que la dimensin de B es 2 3 y la de A es 2 2.

una empresa de autobuses tiene tres lneas: A, B y C.El lunes salieron 5 autobuses en la lnea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 autobuses en la lnea A, 1 en la B y 4 en la C. El mircoles sali 1 autobs en la lnea A, 3 en la B y 5 en la C. represntalo en forma de matriz.

Lo representamos en una matriz de dimensin 3 3. Las filas representan los das de la semana: lunes, martes y mircoles. Las columnas corresponden a las lneas A, B y C, respectivamente. Cada elemento de la matriz es el nmero de autobuses.

una fbrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. inicialmente distribua 1.000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibi 600 unidades de X y 300 de Y; la empresa B recibi 400 unidades de X y 800 de Y, y la empresa C recibi 900 unidades de X y 700 de Y. representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribucin de los productos a estas empresas.

Las filas corresponden a cada tipo de empresa, A, B y C, y las columnas correspond

Education

Mate ccss ii