Matematica dicas como resolver problemas

DICAS DE MATEMÁTICA:

COMO RESOLVER PROBLEMAS?

CHRISTINE CÓRDULA DANTAS

2009

[email protected]@iae.cta.br

M A T E M Á T I C A 5o. Ano do Ensino Fundamental

M a t e m á t i c a - 5 o . A n o d o E n s i n o F u n d a m e n t a l

Índice

Como resolver problemas? 1

Problemas com Soma e Subtração 8

Problemas com Multiplicação 11

Problemas com Divisão 14

Problemas com Frações 17

Problemas Misturados - Desafio para você! 29

Parabéns! 31

C h r i s t i n e C . D a n t a s! M a t e m á t i c a

i

Leia com muita atenção o enunciado para entender o que se pede.

Como resolver problemas?

Para se resolver um problema de matemática (ou qualquer proble-

ma!), você precisará, antes de mais nada, estar muito atento! Des-

ligue a TV, o game, ou o que seja (se estiver em casa), ou se estiver

na escola, acorde!

Esta é a etapa fundamental para se resolver um problema! Nada vai adiantar

se você ler com pressa e sem atenção, e tentar sair resolvendo o

problema de qualquer maneira, ou "chutando" o que deve ser feito!

Sua mãe pede para que você vá no mercado e compre uma

dúzia de laranjas, uma caixa de ovos, meia-dúzia

de maçãs, um quilo de arroz, quatro garrafas de refrigerante e um

litro de leite.

Tudo bem, tudo bem, você vai ao mercado e... O que era

mesmo? Você não prestou muita atenção, e agora...?

Com certeza, se você sair comprando um monte de coisas

que não tem nada a ver com o que sua mãe pediu, ela vai

ficar, no mínimo, uma fera!

No caso de uma prova de matemática, da mesma forma, não vai adi-

antar responder qualquer coisa, mas tem que atender ao que foi pedido, pois

na matemática, embora haja várias maneiras de resolver uma questão, só

existe uma resposta correta, não adianta enrolar!


1

1)

Exemplo:

Em segundo lugar, tente dividir o enunciado em partes. Isto é muito im-

portante, principalmente quando o enunciado tem muitas informações

e/ou muitas perguntas. Senão você provavelmente ficará confuso!

Esta etapa é muito importante, pois é aqui que você vai deter-

minar todos os passos seguintes. Evite ficar confuso nesta parte!

Marina tinha R$ 155,00. Seu irmão pediu emprestado

R$50,00. Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10 figu-

rinhas, cada uma custando R$ 2,00. Com o que sobrou do dinheiro, Marina foi

ao Shopping e comprou um livro, pagando em 5 parcelas iguais, não sobrando

nenhum dinheiro depois disso. Quanto custou cada prestação do livro?

Não se desespere! Se você dividir o problema em partes, tudo vai ficar mais

simples!

Como assim, dividir em partes? Pegue o seu lápis e separe as frases do enun-

ciado, de forma que cada parte contenha uma informação que você entenda.

Sempre divida um problema muito difícil (ou grande) em etapas, onde

cada etapa pode ser entendida (ou resolvida) com mais facilidade.


2

Separe o enunciado em partes.

2)

Exemplo:

Veja como dividimos o enunciado deste exemplo, usando colchetes ("["):

Não iremos resolver este problema agora, mas tente entender como dividimos

o enunciado em partes mais simples.

De acordo com as partes separadas, identifique o que é "dado" (infor-

mação fornecida no enunciado, no texto) e o que é "pedido" (o que se

pede como resposta ou respostas, o que você vai fornecer).

Para isso, você irá considerar somente o que é importante. Você já sabe o que

é dado e pedido no exemplo anterior? Vamos circular o que é dado, e subli-

nhar o que é pedido!


3

[Marina tinha R$ 155,00.] [Seu irmão pediu emprestado

R$50,00.] [Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10

figurinhas, cada uma custando R$ 2,00.] [Com o que so-

brou do dinheiro, Marina foi ao Shopping e comprou um li-

vro, pagando em 5 parcelas iguais, não sobrando nenhum

dinheiro depois disso.] [Quanto custou cada prestação do

livro?]

3)

Identifique o que é dado e o que é pedido.

Organize o que você identificou (dado e pedido), antes de começar a

tentar resolver o problema.

No exemplo anterior, vamos então escrever assim, antes dos cálculos a serem

feitos:

Dados:

Valor inicial: R$ 155,00.

Valor emprestado: R$ 50,00.

Compra na banca: 10 figurinhas a R$ 2,00 cada.

Compra do livro: 5 parcelas iguais do que sobrou.

Valor final: R$ 0,00 (não sobrou nada).

Pedido:

Quanto custou cada prestação do livro?


4

4)

Organize-se antes de come-çar a resolver o problema.

[Marina tinha R$ 155,00.] [Seu irmão pediu emprestado

R$50,00.] [Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10 figurinhas,

cada uma custando R$ 2,00.] [Com o que sobrou do dinheiro, Ma-

rina foi ao Shopping e comprou um livro, pagando em 5 parcelas

iguais, não sobrando nenhum dinheiro depois disso.] [Quanto cus-

tou cada prestação do livro?]

Agora sim! Vamos resolver o problema por etapas, de acordo com

toda a nossa organização até agora. Não tivemos todo este traba-

lho à toa!

Ainda não acabou! Ao final, escreva a resposta completa, de acordo com o

pedido:

Como ficou então o nosso exercício completo? Com certeza, bem organizado e

caprichado, e, melhor ainda, conseguimos resolvê-lo! Aí está:


5

5)

Resolva o problema por etapas.

Resposta:

Cada prestação do livro custou R$ 17,00.

1- Empréstimo:

R$ 155,00- R$ 50,00--------------- R$ 105,00

3- Sobrou:

R$ 105,00 - R$ 20,00--------------- R$ 85,00

2- Figurinhas:

R$ 2,00x 10--------------- R$ 20,00

4- Livro:

R$ 85,00 ÷ 5= R$ 17,00

Solução:

PROBLEMA: Marina tinha R$ 155,00. Seu irmão pediu emprestado R$50,00.

Mais tarde, Marina foi à banca e comprou 10 figurinhas, cada uma custando R$

2,00. Com o que sobrou do dinheiro, Marina foi ao Shopping e comprou um li-

vro, pagando em 5 parcelas iguais, não sobrando nenhum dinheiro depois dis-

so. Quanto custou cada prestação do livro?

Dados:

Valor inicial: R$ 155,00.

Valor emprestado: R$ 50,00.

Compra na banca: 10 figurinhas a R$ 2,00 cada.

Compra do livro: 5 parcelas iguais do que sobrou.

Valor final: R$ 0,00 (não sobrou nada).

Pedido:

Quanto custou cada prestação do livro?


6

1- Empréstimo:

R$ 155,00- R$ 50,00--------------- R$ 105,00

3- Sobrou:

R$ 105,00 - R$ 20,00--------------- R$ 85,00

2- Figurinhas:

R$ 2,00x 10--------------- R$ 20,00

4- Livro:

R$ 85,00 ÷ 5= R$ 17,00

Solução:

Resposta:

Cada prestação do livro custou R$ 17,00.

Mas, espere um pouco! (Você deve estar pensando...) Não demos realmente

as dicas de como resolver o problema em si! Ou seja, quando usar adição,

multiplicação, divisão... Às vezes, não é tão simples descobrir estas coisas!

Calma! É isto que iremos explorar nos próximos capítulos... O que fizemos até

agora, foi apenas lhe mostrar um método, uma maneira lógica de como pro-

ceder diante de um problema de matemática. Agora, vamos colocar isso em

prática!

Resumo das nossas 5 regras de ouro:


7

4) Organize-se antes de começar a resolver o problema.

5) Resolva o problema por etapas.

1) Leia com muita atenção o enunci-ado para entender o que se pede.

2) Separe o enunciado em partes.

3) Identifique o que é dado e o que é pedido.

Problemas com Soma e Subtração

Um problema envolve soma (+) quando existe uma quantidade, valor,

número ou qualquer "coisa" inicial, e algo acontece: esta "coisa" aumenta,

chega mais, é acrescentada, enfim, é somada!

1) [ Marina tinha uma porquinha. ] [ Nasceram 3 filhotes desta porquinha. ]

[ Com quantos porquinhos Marina ficou? ]

2) [ Marina tinha uma balde com 100 ml de água. ] [ Seu tio encheu o balde

com mais 200 ml.] [ Qual a quantidade de água que ficou no balde? ]

3) [ Marina tinha R$ 100,00. ] [ Seu irmão lhe pagou uma dívida de R$ 50,00.

Seu tio lhe deu de aniversário R$ 145,00. Marina vendeu suas figurinhas por

R$ 5,00. ] [ Com quanto de dinheiro Marina ficou? ]


8

Exemplos: Quan-tidade inicial

Quanti-dade aumentou

Quan-tidade inicial

Quan-tidade aumentou (várias

situações)

+

Quan-tidade inicial

Quanti-dade aumentou

Um problema envolve subtração (-) quando existe uma quantidade, va-

lor, número ou qualquer "coisa" inicial, e algo acontece: esta "coisa" diminui,

sai, é diminuída, enfim, é subtraída!

1) [ Marina tinha três porquinhos. ] [ Morreram dois porquinhos. ] [ Com

quantos porquinhos Marina ficou? ]

2) [ Marina tinha uma balde com 300 ml de água. ] [ Seu tio despejou no chão

100 ml de água do balde.] [ Qual a quantidade de água que ficou no balde? ]

3) [ Marina tinha R$ 400,00. ] [ Ela então pagou uma dívida de R$ 50,00 a

seu irmão. Depois deu de aniversário R$ 145,00 a seu tio. Depois Marina com-

prou 10 figurinhas por R$ 5,00 no total. ] [ Com quanto de dinheiro Marina fi-

cou? ]


9

Exemplos:Quanti-

dade diminuiuQuan-

tidade inicial

Quan-tidade inicial

Quanti-dade diminuiu

Quan-tidade inicial

Quan-tidade diminuiu (várias

situações)

-

Problemas: (Resolva você mesmo!)

1) Guilherme tinha 14 batatas. Ele cortou 3 delas e colocou-as para cozinhar.

Outras 2 estavam estragadas e ele as jogou fora. Quantas batatas sobraram?

2) Julio tinha uma pet shop. Dois cães chagaram para o banho. Depois, quatro

cães chegaram para a tosa do pelo. No final do dia, mais um cão chegou para

o corte de unhas. Quantos cães foram tratados naquele dia?

3) Ua boneco custa R$ 20,00. Um carrinho custa R$ 5,00. Uma bola custa R$

10,00. Um jogo custa R$ 13,00. José tinha R$ 30,00. Indique quantas combi-

nações de brinquedos ele pode comprar, no máximo? Indique em cada combi-

nação se resta algum dinheiro, e quanto.

Exemplos:

Combinação 1 -> Um boneco e uma bola: total = R$ 30,00, resta = R$ 0,00.

Combinação 2 -> 2 jogos: total = R$26,00, resta R$ 4,00.


10

Problemas com MultiplicaçãoUm problema envolve multiplicação (x) quando você soma, soma,

soma, soma, soma, etc... (ufa!), repetidas vezes uma certa quantidade ou valor fixo.

Exemplo:

[ Marina tinha três porquinhos. ] [ Ela os vendeu por R$ 100,00 cada ] [

Quanto Marina recebeu? ]

Dados:

Número de porcos : 3

Valor de cada porco: R$ 100,00.

Pedido:

Quanto Marina recebeu?

Solução número 1:

R$100,00 + R$100,00 + R$100,00 = R$ 300,00.


R$ 100,00 x 3 = R$300,00.

Note que este problema envolveu somar uma certa quantidade fixa (R$100,00)

repetidas vezes (3 vezes), ou seja, multiplicar.


11

Número de repetições

Quan-tidade a se re-

petir

Atenção: Neste exemplo, você poderia ter resolvido das duas maneiras indi-

cadas. Mas e se Marina tivesse 1236 porquinhos? É claro que você não iria sair

somando R$100,00 + R$100,00 + R$100,00 + .... + ..... (1236 somas!), mas

realizar a multiplicação de R$100,00 x 1236, que é muito mais inteligente,

mais rápida e até mais fácil de realizar!

Exemplo:

[ Uma sala tinha 236 metros quadrados de chão. ] [ Um piso de madeira cus-

ta R$ 50,00 um metro quadrado. ] [ Quanto custa colocar este piso na sala

toda? ]

Dados:Área da sala : 236 metros quadradosValor de 1 metro quadrado: R$ 50,00.Pedido:Custo do piso na sala?


R$50,00 + R$ 50,00 + ... + R$50,00 = ????

somar 236 vezes! (Ufa !!!!)

Solução número 2: (mais inteligente!)

R$50,00 x 236 = R$ 11.800,00.

A multiplicação facilita uma soma que é efetuada repetidas vezes para um

mesmo valor ou quantidade.


12

Número de repetições

Quan-tidade a se re-

petir


1) Marina tinha 5 caixas. Cada caixa continha exatamente 10 bonecas. Quan-

tas bonecas tinha Marina?

2) No Halloween, Amanda visitou 23 casas. Cada casa lhe entregou 12 balas.

Quantas balas Amanda conseguiu?

3) Uma caixa d'água consegue armazenar 2.000 litros. Quantos litros de água

conseguem armazenar as caixas d'água de uma fábrica de brinquedos, que

contém 6 caixas d'água?

4) Juliana ganhava R$120,00 de mesada. Quanto ela ganhou em um ano?

5) Paulina sobrevoou em seu avião 7 cidades. Em cada cidade, avistou 20 pré-

dios e 25 casas. Quantos prédios avistou no total? E quantas casas? E quantos

imóveis no total?


13

Problemas com Divisão

Um problema envolve divisão ( ) quando você reparte ou distribui uma certa quantidade por um valor fixo

(igualmente).

Exemplo:

[ Marina tinha seis quilos de ração. ]

[ Ela dividiu a mesma quantidade de ração entre os seus três porquinhos. ]

[ Quanto cada porquinho comeu? ]

Dados:

Quantidade de ração: 6 quilos.

Número de porcos : 3

Pedido:

Quanto cada porco comeu?

Solução:

6 3 = 2 quilos.

Atenção: Nem sempre fica tão óbvio que um problema envolve divisão, por-

que nem sempre está dito claramente que vai ser "repartido" alguma quanti-

dade ou valor entre pessoas, animais, etc. Basta perceber que você precisa de-

terminar como obter partes iguais de alguma coisa maior.


14

÷

÷

6 kg

Cada porco comerá a mesma quanti-

dade! Quanto será??

?

?

?

Quanti-dade a se repartir

Número de partes iguais

Exemplo:

[ No ano de 2008, Marina gastou R$ 6.000,00 de aluguel. ]

[ Quanto Marina paga mensalmente de aluguel? ]

Neste problema, você precisa identificar quais são as "partes iguais" de uma

"coisa maior", e quantas são. Bom, a "coisa maior" é fácil: R$ 6.000,00. Ela

gastou isso no total do aluguel num determinado ano. Também está dito no

enunciado que o aluguel é mensal, e geralmente o aluguel tem um valor fixo.

Ora, um ano contém 12 meses, logo, são 12 aluguéis ao longo do ano, e este é

o número de "partes iguais" que estamos procurando! Assim:

Dados:

Valor total do aluguel em 2008 : R$ 6.000,00.

Número de aluguéis (mensais) em um ano : 12

Pedido:

Valor mensal do aluguel.

Solução:

6000 12 = 500.

Resposta:

Marina paga mensalmente R$ 500,00 de aluguel.


15

÷

Quanti-dade a se repartir

Número de partes??


1) Uma fazenda continha 16 acres de terra. O dono cedeu suas terras aos 4

filhos, em lotes de tamanho igual. Quantos acres recebeu cada filho?

2) Lúcio tinha 100 garrafas, que precisava guardar em 5 caixas. (A) Quantas

garrafas coube em cada caixa? (B) E se ele tivesse 105 garrafas? (C) E se ti-

vesse 117 garrafas? Indique quantas garrafas sobraram, se for o caso, em

cada um dos casos (letras A, B, e C).

3) André comprou um aparelho de som. Havia duas formas de pagamento à

prazo: (A) em três prestações iguais, totalizando ao final das prestações um

valor total de R$ 465,00; e (B) em 10 prestações iguais, totalizando ao final

das prestações um valor total de R$ 500,00. Encontre o valor das prestações

nos casos (A) e (B). André optou pela menor prestação. Indique qual opção ele

escolheu.


16

Problemas com Frações

Vamos lembrar o que são frações através das representações em forma de

"barras de chocolate". Claro que frações podem representar muito mais do que

barras de chocolate! Mas é uma maneira visual muito proveitosa para entender

frações.

Para entendermos o que significa uma fração, vamos começar observando 3

casos possíveis:

CASO 1) Se o numerador for IGUAL ao denominador, isto significa que

a fração vale exatamente o número inteiro 1 !

Exemplos:


17

23

Numerador

Denominador

Fração

33

= 11212

= 1

43674367

= 111

= 1

CASO 2) Se o numerador for MENOR que o denominador, imagine

sempre assim: "pegue tantos pedaços (NUMERADOR) dentre tantos pedaços

(DENOMINADOR) repartidos igualmente de um chocolate".

Como assim????

É fácil! Por exemplo, a fração significaria:

"pegue 2 pedaços de 3 pedaços que foram repartidos igualmente em uma bar-

ra de chocolate". Hummmmm!!!

Vamos fazer exatamente isto, por partes:

1) pegue uma barra de chocolate.

2) Reparta em três pedaços iguais:

3) Retire 2 pedaços dos 3:

Conclusão: Os pedaços retirados VALEM 2/3 de uma barra inteira.

Dois de três!


18

Trec!

23

retirei

Seja esta barra de chocolate (ainda não dividida):

Ela "vale 1". Claro! É uma barra, né??? Mas você também pode pensar como

se você a tivesse "dividido" em apenas 1 pedaço, ou seja, a própria barra!

Logo, podemos representá-la como uma fração! E ela seria, simplesmente:

Agora, vamos dividí-la de várias maneiras, e cortar pedaços valendo as frações

indicadas!


19

12

Trec!

25

Trec!

13

Trec!

11

Exemplos:

CASO 3) E se o numerador for MAIOR que o denominador? Imagine

sempre assim: "pegue tantas barras (NUMERADOR) e dividir cada uma delas

em tantos pedaços (DENOMINADOR) iguais. Depois pegue 1 (um) pedaço de

cada".

Como assim????

Vejamos o que a fração ao lado quer dizer: Vamos pegar 3 barras de

chocolate (NUMERADOR) e dividir cada uma delas em 2 pedaços (DE-

NOMINADOR) iguais. De forma pictórica:

1o. Passo: pegar 3 barras e dividir cada uma em 2 pedaços iguais.

2o. Passo: Pegar 1 pedaço de cada barra. Os pedaços (todos) que você pegou

valem 3/2 !


20

32

Trec!

Trec!

Trec!

32

Atenção! Na verdade, estamos pegando 1 pedaço qualquer, e repetindo isso

3 vezes. Você pode, é claro, pegar 1 pedaço da primeira barra, 1 pedaço da

terceira, e pegar 1 pedaço de novo da primeira. Não importa! A fração 3/2 si-

gnificará o mesmo que no desenho anterior. Veja abaixo:

Atenção! Daqui por diante, ao invés de "cortar" um pedaço ("Trec!") e pegá-

lo, vamos apenas imaginar pintá-lo ou hachureá-lo, certo? E, também, você

não precisa sempre pensar em barras de chocolate! Pode ser qualquer coisa

que você reparta. A idéia aqui é que você quer representar uma parte desta

"coisa". Esta parte representada é a fração.

Atenção! Note que, no desenho anterior, você na verdade pegou 1/2 de cada

barra (ou 1/2 de cada vez, seja qual for a barra), e fez isso 3 vezes, juntou os

pedaços e isto deu 3/2, certo? Matematicamente, você simplesmente somou:

1/2 + 1/2 + 1/2, ou, multiplicou:

1/2 x 3.

De uma forma ou de outra, isso dá 3/2. Confuso? Vamos ver a seguir!


21

Trec!

Trec!

Trec!

!! Trec!

Trec!

32

=32

1) Somando frações:

Considere o caso em que o DENOMINADOR é o mesmo. (Você ainda irá apren-

der o que fazer se isto não for o caso, depois; não vamos tratar estes casos

aqui). Então, basta SOMAR os numeradores e manter o mesmo denominador!

Exemplo:

2) Multiplicando frações:

Multiplique numerador com numerador, e denominador com denomina-

dor, separadamente.

3) Dividindo (ou multiplicando) o denominador e o numerador por um valor

fixo ("em cima e em baixo" na fração"):

Você sempre pode fazer isto sem alterar o valor da fração!

Multipliquemos a fração 3/2 por um valor fixo (por exemplo, 5), tanto no nu-

merador quanto no denominador:


22

32! 5

5=

1510

Como somar e multiplicar frações?

12

+32

+12

+22

+22

=92

32! 5

2=

154

O que aconteceu com a fração 3/2 ao multiplicar em cima e em baixo por 5?

Ela se transformou em 15/10, certo? Mas... Você deve estar se perguntando se

não tem algum erro. Afinal, não é verdade que:

Não se engane, está tudo certo!

As frações 3/2 e 15/10 são equivalentes. Podemos encontrar uma fração

equivalente a uma outra fração se multiplicarmos (ou dividirmos!) o numera-

dor E denominador desta fração por um valor fixo, tal como fizemos acima.

As frações 3/2 e 15/10 são equivalentes por que começamos com a fração 3/2

e a multiplicamos em cima e em baixo por um mesmo número (no caso o 5).

Toda vez que você faz isso, você estará encontrando uma fração equivalente, e

ela significa a mesma coisa que a fração inicial. Vamos ver do jeito inverso.

Para checar que 15/10 é equivalente a 3/2, devo achar um valor que dê para

dividir certinho em cima e em baixo de 15/10 e encontrar 3/2. No caso, ve-

mos que o valor fixo é o mesmo 5, pois divide tanto 15 (resultado = 3), tanto

10 (resultado = 2), ou seja:


23

15÷ 510÷ 5

=32

3! 52! 5

=1510

32! 5

5=

32! 1 =

32"= 15

10???

Logo, 15/10 e 3/2 são equivalentes por que eu posso dividir 15/10 por 5 (em

cima e em baixo) e obtenho 3/2; ou, da mesma forma, posso multiplicar 3/2

por 5 (em cima e em baixo), e obtenho 15/10!!

Uma outra forma de entender por que eu sempre posso multiplicar ou dividir

em cima e em baixo de uma fração por um mesmo número qualquer (no caso

do nosso exemplo, usamos o 5, mas poderia ser qualquer outro número), sem

alterar o significado da fração (pois o que encontramos é sempre uma fração

equivalente à fração inicial), é simplesmente por causa do fato que:

E, é claro que você sabe que multiplicar ou dividir um número (seja inteiro ou

fração, ou qualquer tipo de número) por 1 sempre dá o mesmo resultado, né??

Atenção!

Há um número infinito de frações equivalentes entre si! Por exemplo, as fra-

ções abaixo são todas equivalentes, porque você pode começar com 3/2 e

multiplicar em cima e em baixo desta fração por um valor fixo, digamos, 2,

dando 6/4, repetindo assim infinitamente... Ou começar em, digamos, 24/16,

dividindo em cima e em baixo por 2, até chegar de novo em 3/2:


24

55

= 1

32,64,128

,2416

, ...Continua "para sempre"...!

Ou você poderia usar o valor fixo 3, e assim teria um conjunto diferente de

frações equivalentes, etc, etc, etc! Tente outras frações equivalentes a 3/2!

Tendo relembrado o que são frações, vamos agora resolver PROBLEMAS COM

FRAÇÕES! Vejamos estes exemplos primeiro, pois contém alguns conceitos que

ainda não vimos.

1) Marina tinha 15 porquinhos. Ela vendeu 1/3 de sua criação. Quantos por-

quinhos foram vendidos?

Note que para resolver este problema, precisamos tirar 1/3 de 15 porquinhos

(e eles não são barras de chocolate!) Como fazer isto? Toda vez que você pre-

cisar saber qual é a fração de um certo número (no caso, 1/3 de 15), isto si-

gnifica, matematicamente, multiplicar 1/3 por 15 (ou vice-versa, dá no mes-

mo). Você deve estar se perguntando como multiplicar (ou dividir) uma fração

(no caso, 1/3) por um número inteiro (no caso, 15)... Mas é fácil!

Concorda que um número inteiro pode ser expresso sempre como uma fração?

E daí você já sabe multiplicar frações, pela regra ensinada anterioremente,

certo?

Então façamos a conta...


25

32,96,2718

,8154

, ...

Exemplos:

Vamos entender o que foi feito acima, passo a passo!

Primeiro, note que um número inteiro, no caso, o 15, sempre pode ser repre-

sentado por uma fração, colocando o número "1" no denominador (você sabe

por quê?). No caso acima, "15" é o mesmo que a fração "15/1"! Então agora

você tem simplesmente duas frações, 15/1 e 1/3, e para multiplicá-las, você já

conhece a regrinha.

Segundo, toda vez que você tem que tirar uma fração de algo, você multiplica

este "algo" pela fração, neste caso, o "algo" é 15, e a fração é 1/3. (Parece es-

tranho, não deveria diminuir? Bem, no momento, o que você precisa saber é

que é assim mesmo para frações. Depois você vai entender o porquê.)

Terceiro. Note que no problema acima 15/3, que foi o resultado da conta, é

equivalente a 5/1, pois você pode dividir 15/3 por um valor fixo (no caso, 3),

em cima e em baixo, de forma que você obtém uma fração equivalente, que

no caso é um número inteiro! Isto é,

15/3 é equivalente a 5/1 que é igual a 5.

Mas isto é o que queremos mesmo! O problema pede o número de porcos (um

valor inteiro), logo, você estava buscando um número inteiro como resposta,

dai achou a fração equivalente de 15/3 que pode ser expressa como inteiro, e

a única fração que pode fazer isso é 5/1 = 5 !!

Logo, a resposta é que foram vendidos 5 porquinhos.


26

15! 13

=151! 1

3=

153

.

Transformamos o 15 em fração...

2) João tinha uma caixa com 15 carrinhos. 5 carrinhos estavam quebrados.

Qual a fração de carrinhos que estão quebrados?

Este exemplo é o raciocínio inverso do anterior, pois o problema pede a fração

de carrinhos quebrados (correspondentes a 5 carrinhos de 15). Ora, se pen-

sarmos nas barras de chocolate, seria 5 pedacinhos de uma barra dividida em

15 partes, certo? (5 de 15). Logo:

Note que 5/15 já é a resposta correta, mas prefirimos mostrar a fração

equivalente (1/3) mais "reduzida" possível, ou seja, na qual o único número

possível para dividir "certinho" em cima e em baixo a fração 1/3 é o número 1.

3) Marina tinha uma garrafa de água com 2 litros. Às 10 horas, ela bebeu 1/2

da garrafa. Às 11 horas, ela bebeu mais 1/2 do que havia na garrafa. Quantos

litros ela bebeu?

O que significa 1/2 de 2 litros?

Ou seja, 1 litro (às 10 horas). Depois (às 11 horas), ela bebeu 1/2 do que ha-

via na garrafa, ou seja, 1 litro, o que acabamos de calcular. Isto dá então:

Então, Marina bebeu no total 1 litro + 1/2 de litro, ou seja, 1 litro e meio de

água.


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515

=5÷ 515÷ 5

=13

Se eu quiser achar uma fração equiva-lente a 5/15, divido em cima e em baixo pelo mesmo número que dá para dividir "certinho", ou seja, 5.

12! 2 =

12! 2

1=

22

= 1

12! 1 =

12! 1

1=

12.

1) Mário tinha 10 figurinhas. Vendeu 5 figurinhas. Qual a fração de figurinhas

vendidas?

2) Ângelo tinha 35 bonecos. Vendeu 1/7 deles. Quantos bonecos ele vendeu?

3) Maria tinha um galão com 6 litros de leite. Usou 1/3 de litro para fazer bis-

coitos para a festa. Com o que sobrou de leite, usou 1/2 de litro para fazer um

bolo. Quantos litros usou para os biscoitos e quantos litros usou para o bolo?

Quantos litros sobraram?

4) Juliana tinha 10 anos. Sua irmã, Marina, tinha 1/2 de sua idade. Seu primo,

Paulo, tinha 1/5 da idade de Juliana. Quantos anos tinha Marina e Paulo?

5) Maurício tinha R$ 450,00. Gastou 1/3 no mercado. Quanto dinheiro sobrou?


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Problemas Misturados - Desafio para você!

1) Paulo tinha R$ 1200,00. Seu irmão pediu emprestado R$ 300,00. Com o di-

nheiro que sobrou, Paulo pagou um relógio em três prestações de R$ 100,00

cada. Depois da última prestação paga, Paulo doou 1/3 do que sobrou para um

orfanato. Sobrou algum dinheiro? Se sim, quanto?

2) Marina tinha 320 latas para distribuir em 12 caixas. No entanto, seu pai

precisou usar 1/3 destas caixas para um trabalho, e as levou embora. Marina

ainda assim conseguiu distribuir as 320 latas nas caixas que sobraram. Quan-

tas caixas sobraram, e quantas latas foram colocadas em cada caixa?


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3) Sophia tinha 16 anos e tinha três irmãos. O mais novo tinha 1/8 da sua ida-

de. O do meio, tinha duas vezes a idade do mais novo. E o terceiro, tinha a

idade do meio, somada a 1/16 da idade de Sophia. Quantos anos tinha cada

irmão?

4) Josefina queria comprar uma casa. Ela havia economizado R$ 60.000,00

para isto. O vendedor lhe disse, no entanto, que a casa custava 1/3 a mais do

valor que ela tinha. Também lhe disse que era possível pagar a casa em 10

prestações iguais, porém, o valor total final, após as prestações pagas, ficaria

mais caro em R$ 2.000,00 com relação ao valor pago à vista. Josefina resolveu

economizar para comprar a casa, e também decidiu comprá-la à prazo. Quanto

Josefina irá pagar pela casa ao final das prestações?


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Parabéns! Se você chegou até aqui, mesmo que não tenha acertado tudo, ou não tenha

entendido tudo, ainda assim demonstra que você tem força de vontade e perseveran-

ça! Tente depois discutir suas dúvidas com um professor ou um adulto que possa aju-

dá-lo. É importante você terminar esta apostila sem nenhuma dúvida.

De qualquer forma, o que importa na matemática, é ter paciência. Isto por-

que, para ser "bom em matemática", você precisa apenas entender pequenas par-tes, e ir juntando aos poucos esta compreensão em partes maiores e mais complica-

das. E para isto, precisa de paciência! Estude bem os conceitos básicos apresentados

nesta apostila, mas nunca deixe de lado o seu livro da escola!

A matemática é dita por muitos ser uma "disciplina difícil". Na ver-

dade, ela é apenas como a construção de um edifício. Um edifício certa-

mente é algo complicado, ao vermos um já pronto. Mas os blocos básicos da constru-

ção, como cimento, tijolo, etc, são simples, e a maneira como juntá-los tem regras

bem conhecidas. O que é importante é seguir as regras de como colocar um bloco em

cima do outro de maneira correta, que o edifício acaba sendo erguido aos poucos, até

ficar pronto! Assim também é a matemática. Se você se esforçar a en-tender os princípios básicos, aos poucos vai evoluir sua compreen-

são.

Na verdade, a matemática é algo bem mais interessante do que

você imagina. A Natureza pode ser descrita por leis

puramente matemáticas. Isto é um desafio e, ao mesmo tem-

po, uma dádiva e tanto, para nós, humanos, tão diminutos diante

do Universo! Isto é mesmo um mistério da Natureza, talvez o mai-

or de todos: o fato de podermos compreendê-la mais e mais, atra-

vés da matemática!

E quando você estuda a matemática, você na verdade está fazendo parte desta grande jornada do intelecto humano! Na verdade, é bem legal,

pense sobre isto.

Assim, boa sorte no seu estudo da matemática! Você consegue, sim! Seja

positivo, tenha disposição, paciência, e disciplina nos estudos, e você obterá sucesso!

Christine. (Setembro de 2009).


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Matematica dicas como resolver problemas