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Matemática Financeira PDF
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Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes
MatemáticaFinanceira
Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos
Material de Apoio (Portal Atlas)
5a Edição
SÃO PAULOEDITORA ATLAS S.A. – 2008
2 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Capitalização contínua
Admitamos uma importância de $ 1.000,00, que pode ser aplicada por 1 ano à taxa de 12% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização:
– anual
– semestral
– trimestral
– mensal
– diária
Vejamos o montante que resulta em cada uma das hipóteses de capitalização:
Capitalização Montante ($)
Anual 1.120,00
Semestral 1.123,60
Trimestral 1.125,51
Mensal 1.126,83
Diária 1.127,47
Constatamos que o valor do montante aumenta à medida que aumentamos o nú-mero de capitalizações de uma dada taxa nominal. À primeira vista parece, inclusive, que o valor do montante cresce indefinidamente, à medida que as capitalizações vão sendo feitas com maior freqüência. Vejamos então o que ocorre quando admitimos uma capitalização horária:
Ch = 1.000 ×
⎛ ⎞+⎜ ⎟×⎝ ⎠
24 3650,121
24 365
Ch ≅ 1.000 (1 + 0,000013699)8760
Ch ≅ 1.127,49
Este resultado nos permite inferir que o valor do montante não cresce indefini-damente com a freqüência de capitalização, tendendo para um limite. E, de fato, se admitirmos uma capitalização infinitamente grande, ou seja, que a capitalização seja feita em intervalos de tempo infinitesimais, teremos o montante como sendo:
C ≅ $ 1.127,50
Material de Apoio (Portal Atlas) 3
Cálculo do montante em capitalização contínua
Seja: Cnk = C0 ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠1
knik
Cnk = C0
Fazendo-se:
k’ = ki
temos: Cnk = C0 1
1k ni
k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
'
'
Cnk = C0 ⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
11
nik
k
'
'
Se: k k→ ∞ ⇒ → ∞'
Então: C’n = →∞ →∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
'
0' '
1lim( ) lim 1
'
nik
nkk kC C
k
C’n = C0 1
lim 1
nik
k k→ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
'
' '
Demonstra-se em cálculo que:
1lim 1
k
k k→ ∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
'
' = e
Onde e é um número irracional que serve de base para os logaritmos naturais ou neperianos (e = 2,718281828459...)
Portanto, tem-se: C’n = C0eni
A taxa i é chamada taxa instantânea e a notação comumente adotada é a letra grega δ (delta). Escrevemos então.)
C’n = C0 enδ
⎛ ⎞⎜ ⎟
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11
ki
⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
kni
i
4 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
O conceito de capitalização contínua perde muito do seu significado nas aplica-ções práticas, e por isto raramente é usado. Porém, existem ocasiões em que se admite que os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que se encontram distribuídos no tempo. É o caso, por exemplo, da geração de lucro na operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a um fluxo uniforme. O mesmo se dá com o desgaste dos equipamentos (depreciação) e, como as entradas de caixa são constituídas de lucros gerados mais depreciação, po-demos dizer que este é um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribuído no tempo.
Neste caso, e no tratamento matemático de certos modelos decisórios, o conceito de capitalização contínua é muito útil.
Exemplo: Calcular o montante que resulta quando $ 1.000,00 são aplicados à taxa de juros de 12% a.a. por um prazo de 4 anos e com capitalização contínua. Comparar o resultado obtido com o resultante da aplicação nas mesmas condições em juros compostos.
Resolução: Capitalização contínua
C’n = C0 enδ
onde: C0 = 1.000,00
n = 4 anos
δ = 12% a.a.
Então: C’n = 1.000,00 e 4 x 0,12
C’n = 1.000,00 e 0,48
In (C’n) = In (1.000,00) + 0,48
In (C’n) = 6,907755 + 0,48
In (C’n) = 7,387755
∴ C’n ≅ $ 1.616,07
Nota: É comum indicarem-se os logaritmos na base e por In e os logaritmos na base 10 por log.
Capitalização em juros compostos:
Cn = C0 (1 + i)n
onde: C0 = 1.000,00
n = 4 anos
i = 12% a.a.
Material de Apoio (Portal Atlas) 5
Nestas condições:
C4 = 1.000,00 (1,12)4
C4 ≅ $ 1.573,52
Como se esperava o montante obtido quando se fez capitalização contínua (1.616,07) é maior que o obtido através de juros compostos (1.573,52). Este fato torna conveniente a determinação de uma taxa de juros efetiva que permita fazer-se a equivalência entre a capitalização contínua e a composta.
Obs.: Um outro modo de visualizar-se o processo de capitalização contínua é o racio-cínio feito através de juros simples.
Seja: J = Cin
Em um período muito pequeno (Δn), podemos escrever que o juro (ΔJ), que tam-bém é um valor pequeno, é dado por:
ΔJ = Ci Δn
Por exemplo, aplicando-se $ 1.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.a., por 1 dia, teremos:
ΔJ = 1.000 × 0,10 × 1
365 = $ 0,27
Sabemos que o montante, em juros simples, é dado por:
N = C (1 + in)
N = C + Cin
Nestas condições, um acréscimo pequeno no montante (ΔN) pode ser expresso do seguinte modo:
ΔN = Ci Δn
Fazendo-se com que o acréscimo seja cada vez menor, até tomar-se infinitesimal-mente pequeno o período de capitalização (dn), teremos também acréscimos infinite-simais ao montante (dN), já que ambos são proporcionais:
dN = Cidn
Como o diferencial do montante é um acréscimo infinitesimal ao capital, podemos fazer:
dC = Cidn
dCC
= idn
d (InC) = idn
6 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Para obter o valor do montante temos de integrar esta expressão. Ou seja, temos de calcular a soma de seus infinitos termos e, nestas condições, estaremos fazendo uma capitalização contínua. A integração deve ser feita entre o principal (C0) e o mon-tante (C’n) para o primeiro membro e entre a data de aplicação (zero) e de recebimen-to (n) para o segundo membro:
=∫ ∫
0
'
0( )
C n n
Cd lnC idn
In (C’n) – In (C0) = in
In ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0
'nCC
= in
=
' inn
o
Ce
C ∴ C’n = C0 e
in
Taxa efetiva em capitalização contínua
Já foi visto que:
if + 1 = 1ki
k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
onde i é a taxa de juros nominal e if é a taxa efetiva.
Temos: if + 1 =
Fazendo: ki
= k’
temos: if + 1 = 1
1k i
k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
'
'
No limite, fazendo-se k’ → ∞, colocamos if = δ, que é a taxa de juros instantânea:
'
11 lim 1
ik
k kδ
→ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞+ = + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
'
' ei
Portanto:
δ = ei – 1
⎛ ⎞⎜ ⎟
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11
ki
⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ki
i
Material de Apoio (Portal Atlas) 7
Podemos escrever também:
δ + 1 = ei
In (δ + 1) = Inei
i = In (δ + 1)
Deste modo, pode-se calcular a taxa efetiva (δ) que resulta quando se capitaliza uma taxa nominal (i) de modo contínuo e vice-versa.
Exemplo: Dada a taxa de juros nominal de 12% a.a., determinar a taxa efetiva instantânea.
Resolução: δ = ei – 1
δ = e0,12 – 1
δ ≅ 1,1275 – 1
δ ≅ 0,1275 ou δ ≅ 12,75% a.a.
Obs.: Existe também um outro problema: dada a taxa efetiva (i), poderemos querer determinar a taxa instantânea (δ) que lhe seja equivalente.
Sendo: if + 1 = 1ki
k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
1 + ( )= +1/
1k
f
ii
k
ik
= (1 + if)1/k – 1
i = k [(1 + if)1/k – 1]
1/[(1 ) 1]1
kfii
k
+ −=
Portanto: →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥+ −
δ = = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1/(1 ) 1lim (1 )
1
k
fk
iIn i
k
Logo:
δ = In (1 + if)
8 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Exemplo: Sendo dada a taxa de juros efetiva de 12% a.a., determinar a taxa ins-tantânea que lhe é equivalente.
Resolução: δ = In (1 + if)
δ = In (1 + 0,12) ≅ 0,1133
δ ≅ 11,33% a.a.
O número e
O número e, sendo irracional (como o número π), só pode ser expresso precisa-mente como o limite de uma série infinita e convergente ou como o limite de uma fração contínua.
O leitor poderá obter o valor de i e com a precisão desejada através da série seguinte:
= + + + + + +1 1 1 1 1
1 . . .1! 2! 3! 4! 5!
e
Exemplo: e = 1 + 11!
= 2
e = 1 + + =1 1
2,51! 2!
e = 1 + + + ≅1 1 1
2,671! 2! 3!
e = 1 + + + + ≅1 1 1 1
2,70831! 2! 3! 4!
E procedendo deste modo, poder-se-á obter o valor de e com a aproximação de-sejada.
1.2 Inflações elevadas e hiperinflação
Quanto mais elevada é a taxa de inflação, maior é a necessidade de indicadores que permitam fazer a correção da perda do valor da moeda.
As forças econômicas que causam inflações elevadas num país (da ordem de 20% a 30% ao ano) tendem a ser instáveis. Como resultado, podemos ter uma taxa de in-flação em elevação constante ou, então, uma taxa oscilante. Neste último caso, a taxa de inflação pode ser de 30% a.a., num dado ano e passar para 100% no ano seguinte, para cair a 50% no terceiro ano.
Nestas condições, é impossível fazer previsões, o que torna necessário usar o jul-gamento ou apelar para indicadores físicos, como a quantidade de insumos requerida para a produção de um dado bem, por exemplo.
Material de Apoio (Portal Atlas) 9
A América Latina tem-se caracterizado por uma “cultura inflacionária”, onde as inflações elevadas têm sido mais a norma do que a exceção. Como pode ser visto no Quadro 1.
Quadro 1 Inflação na América Latina.
País Período Taxa anual equivalente
Argentina 1947-19601960-1974
27% a.a.27% a.a.
Brasil 1947-19601960-1974
16% a.a.36% a.a.
Chile 1947-19601960-1971
31% a.a.25% a.a.
Uruguai 1949-19601960-1970
11% a.a.49% a.a.
Fonte: Jones (1982).
Quando a taxa de inflação passa a crescer de modo explosivo, diz-se que existe uma hiperinflação. Nestas condições, os preços passam a crescer por um fator de 10, de 100 ou mais em um único ano.
Diz-se que um país está em hiperinflação quando a taxa de inflação ultrapassa a marca dos 50% num mês e fica acima deste percentual por vários meses seguidos. Esta, pelo menos, têm sido a experiência histórica recente.
O Quadro 2 contém algumas das hiperinflações conhecidas.
Quadro 2 Incidência da hiperinflação.
País Período (19XX) Taxa média mensalNúmero de meses de hiperinflação
Áustria out./21 a ago./22 47,1% 11
Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16
China (Xangai) ago./48 a abr./49 400% –
China (Chunking) ago./48 a abr./49 298% –
Grécia nov./43 a nov./44 365% 13
Hungria mar./23 a fev./24 46% 10
Hungria ago./45 a jul./46 19.800% 12
Polônia jan./23 a jan./24 81,4% 11
Rússia dez./21 a jan./24 57% 26
Fonte: Jones (1982) e Cagan (1973).
10 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Na hiperinflação, o valor da moeda cai rapidamente porque a população perde a confiança na mesma. Isto pode ocorrer, por exemplo, se o governo gasta mais do que arrecada e passa a emitir moeda para financiar o seu déficit orçamentário. Pode ser também que o governo esteja se financiando com títulos, porém estes títulos perderam a credibilidade e a população só aceita ficar com os títulos por um prazo muito curto.
O importante, qualquer que seja a causa, é que uma situação de hiperinflação pro-voca uma fuga para ativos reais, como ouro, dólar e bens (terrenos, automóveis etc.).
Correção monetária
Histórico
A correção monetária, ou indexação, foi introduzida no Brasil pela equipe econô-mica do governo que se iniciou em 1964. A idéia era corrigir ou minorar as distorções que a inflação provocava na economia e, com isto, garantir a colocação de títulos da dívida pública. A Introdução da correção monetária foi, então, um instrumento auxiliar na estratégia gradualista de combate à inflação. Porque, segundo se dizia, uma políti-ca ortodoxa de combate à inflação (tratamento de choque) seria política inviável para a nossa economia na época.
Primeiramente foram criadas as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN), que desempenharam um papel importante no financiamento não inflacionário do déficit federal, pois foi restabelecida a confiança nos títulos da dívida pública. De-pois, foram estabelecidas normas para a correção monetária dos débitos fiscais, do ati-vo imobilizado, das depreciações, do capital de giro, dos títulos da dívida pública etc.
Foi criado o Banco Nacional da Habitação (BNH, já extinto) para operar financia-mentos habitacionais com fundos do FGTS (Fundo de Garantia do Tempo de Serviço). O BNH também começou a operar empréstimos com correção monetária, o que con-tribuiu para generalizar a idéia de indexação da economia.
No início, os coeficientes de correção eram estabelecidos pelo Conselho Nacional de Economia, que depois foi extinto. A partir de 1967 os coeficientes passaram a ser fixados pelo Ministério do Planejamento, também depois extinto.
Ao longo do tempo, todo o processo de correção acabou, de certo modo, vincu-lado aos índices de variação das ORTN. A variação das ORTN passou a desempenhar o mesmo papel que já desempenhava o índice 2 (o IGP-DI: índice geral de preços – dis-ponibilidade interna) como medida de inflação. O próprio valor da Unidade Padrão de Capital (UPC), do BNH, ficou definido como o valor da ORTN do mês inicial de cada trimestre civil.
A UPC passou a ser a unidade-padrão para os cálculos de financiamentos e amor-tizações do Sistema Financeiro Habitacional (SFH), ou seja, do sistema ligado ao BNH. Por outro lado, a ORTN passou a ser a unidade-padrão para os financiamentos feitos para o setor industrial pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico (o BNDE
Material de Apoio (Portal Atlas) 11
que, depois passaria a ser BNDES, com o “S” significando “Social”) e pelos demais bancos repassadores.
A partir de agosto de 1968 foi introduzida a taxa flexível de câmbio, também conhecida como processo de minidesvalorização cambial. Com isto, a taxa cambial, que mede a relação entre o cruzeiro e as outras moedas, passou a variar em intervalos curtos e não regulares de tempo. Nestas condições, as mudanças nos valores da taxa de câmbio passaram a compensar, aproximadamente, as diferenças entre as inflações interna e externa. Uma medida da inflação externa é dada pela inflação americana. Uma medida melhor da inflação externa pode ser obtida considerando-se uma média ponderada das inflações dos principais países com os quais o Brasil mantém comércio: Estados Unidos, Comunidade Econômica Européia e Japão.
Assim, a indexação acabou difundindo-se por toda economia brasileira, o que introduziu mais um complicador em nosso já complexo quadro de regulamentação.
Indexação e decisões econômicas
Em 1985, algumas correntes de economistas teorizaram que a inflação brasileira era “inercial”, ou seja, perpetuada pelos próprios mecanismos de indexação difundi-dos na economia nos últimos 20 anos.
Estas idéias obtiveram uma aceitação imediata entre os políticos e a elite, por-que prometiam um ajuste indolor. Foi um grande experimento econômico, que se consubstanciou nos chamados planos de ajuste heterodoxos ou, mais popularmente, “congelamentos”.
No período de 1985/1990 tivemos seis Ministros da Fazenda, dez Presidentes do Banco Central cinco planos de ajustes, com resultados duvidosos, porque a inflação voltou a subir depois de cada plano (v. Gráfico 1).
Tivemos também, no período, quatro unidades Monetárias diferentes. Em cada plano foram introduzidas regras novas de indexação, como as “tablitas”, regulamen-tações sobre as regras de correção dos contratos, mudanças nos critérios para cálculo dos índices etc. A ORTN foi substituída pela OTN (Obrigação do Tesouro Nacional) que, por sua vez, foi substituída pelo BTN (Bônus do Tesouro Nacional).
O custo social destes planos ainda não foi estimado.
Deve-se dizer que a correção monetária foi extinta em janeiro de 1989, para ser reintroduzida logo em seguida com a retomada da inflação. Foi extinta novamente em fevereiro de 1991 e, em seu lugar, foi colocada a TR (Taxa Referencial de Juros) e a TRD (Taxa Referencial de Juros Diária) como indicadores da taxa de juros semelhantes à prime rate americana e à LIBOR inglesa. Porém, quem abrisse o jornal em dezembro de 1991 encontraria uma enorme variedade de indexadores como: o INPC do IBGE, o IGP e o IGP-M da FGV, o IPC da FIPE, o ICV do DIEESE, o ICVM da Ordem dos Economistas, a TR e a TRD, a cotação do dólar (no câmbio oficial, no turismo e no paralelo), a cotação do ouro, a BTNF atualizada pela TRD etc.
12 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
A complexidade decorrente desta multiplicidade de índices faz com que seja reco-mendável um exame cuidadoso de qualquer operação financeira sujeita a indexação.
Gráfico 1 INFLAÇÃO / IGP – E OS PLANOS NO BRASIL
Plano Cruzado
(%)100
80
60
40
20
0J M J S D M J S D M J S D M J S D M J S D M J S
86 87 88 89 90 91
Plano Bresser
Flexibilização
Plano Verão
Plano Collor I
Liberação de preços
Plano Collor II
Funaro27/2/86
Bresser29/4/87
Mailson5/1/88
Zélia15/3/90
Marcilio10/5/91
Tabelas Financeiras
As tabelas financeiras apresentadas a seguir se destinam à complementação do aprendizado, ou seja, são auxiliares na resolução dos problemas e exemplos pro-
postos, sendo portanto muito simplificadas, quer quanto às taxas apresentadas, quer quanto ao número de períodos considerados.
(1 + i)n = montante de 1, à taxa i pelo prazo n
Cálculo de montante e de valor atual
Este fator é utilizado para cálculo do montante de um capital aplicado à taxa i pelo prazo n. Em termos genéricos, pode-se dizer que este fator é o elo entre o capital aplicado e o montante.
1º Exemplo: O capital de $ 2.000,00 é aplicado por 12 meses, à taxa de 0,5% a.m. Qual é o montante?
Resolução: C0 = 2.000
i = 0,5% a.m.
n = 12 meses
Cn = ?
Cn = C0 (1 + i)n
Entrando na tabela para i = 0,5%, encontramos, para n = 12, o fator (1 + i)n = 1,061 678.
14 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Então:
Cn = 2.000 (1 + 0,005)12
Cn = 2.000 (1, 061678)
Cn ≅ $ 2.123,36
2º Exemplo: Quanto deve ser aplicado à taxa de 2% a.t. para que após 36 trimestres se tenha o montante de $ 12.000,00?
Resolução: Cn = 12.000
i = 2% a.t.
n = 36 trimestres
C0 = ?
Cn = C0 (1 + i)n
C0 = (1 )n
n
Ci+
Para i = 2% e n = 36, temos: (1 + i)n = 2,039887
C0 = 12.000
2,039887
C0 ≅ $ 5.882,68
Cálculo de (1 + i)n para períodos não constantes na tabela
Considerando a propriedade de, na multiplicação de potências de mesma base, somarem-se os expoentes, temos que:
am + j = am . aj
Deste modo pode-se calcular o fator para um dado n, tomando-se dois ou mais fatores cuja soma de períodos a que se referem seja igual a n.
Exemplo: Calcular (1 + 0,02)70
Resolução: Na tabela de 2% temos o fator para n = 60 e para n = 72. O cálculo para n = 70 pode ser feito de diversos modos:
a) 1,02)70 = (1,02)60 . (1,02)10, visto que 70 = 60 + 10
(1,02)70 = (3,281031) (1,218994) ≅ 3,999557
b) (1,02)70 = (1,02)35 . (1,02)35, visto que 70 = 35 + 35
(1,02)70 = (1,999890) (1,999890) ≅ 3,999560
Material de Apoio (Portal Atlas) 15
c) (1,02)70 = (1,02)72 . (1,02)– 2, pois 70 = 72 – 2
(1,02)70 = 4,1611401,040400
= 3,999558
Observação: A diferença entre os resultados se deve a aproximações nos valores ta-belados.
(1 + i)1/k – Taxas equivalentes
Para facilitar interpolações exponenciais no cálculo de períodos não inteiros, fo-ram tabeladas as taxas equivalentes mais usuais, sendo as taxas apresentadas em sua forma percentual.
Exemplo: Calcular o montante referente à aplicação de $ 5.000,00 por 3 anos e 4 meses, à taxa de 20% a.a.
Resolução: C0 = 5.000
i = 20% a.a.
n = 3 anos e 4 meses
Cn = ?
Cn = C0 (1 + i)n
Cn = 5.000 (1 + 0,20)3 (1+ iq),
onde
iq = taxa equivalente quadrimestral
Na tabela de 20%, tem-se:
(1,20)3 = 1,728000
iq = 6,265857% a.q.
Portanto, Cn = 5.000(1,728)(1,06265857) = $ 9.181,37
an i
– Valor presente à taxa i de “n” anuidades unitárias, imediatas, postecipadas e periódicas
O fator n ia é a soma de uma progressão geométrica de n termos e razão (1 + i)– 1,
sendo o 1º termo igual a (1 + i)–1 e o último (1 + i)– n. Portanto:
n ia = 1 (1 ) ni
i
−− +
16 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
1º Exemplo: Calcular o valor presente (valor ou preço a vista) de 24 prestações men-sais de $ 100,00, a taxa de 2,5% a.m.
Resolução:
Temos que:
P = ?
0 1 2 3 22 23 24 Meses
100 100 100 100 100 100
R = 100
i = 2,5% a.m.
n = 24 meses
P = ?
P = ⋅n i
R a
P = ⋅24 2,5
100 a
Na tabela de 2,5%, encontramos:
24 2,5a = 17,884986
P = 100(17,884986)
P = $ 1.788,50
2º Exemplo: Calcular o preço a vista de um carro que é vendido em 12 prestações trimestrais de $ 5.000,00, considerando-se que a taxa contratada fora de 8% a.t.?
Resolução: R = 5.000
i = 8% a.t.
n = 12 trimestres
P = ?
P = ⋅n i
R a
P = ⋅12 8
5.000 a
P = 5.000(7,536078= $ 37.680,39
3º Exemplo: Uma geladeira é vendida por $ 10.000,00 a vista ou em 12 prestações mensais de $ 1.065,52 sem entrada. Qual é a taxa de juros mensal cobrada?
Material de Apoio (Portal Atlas) 17
Resolução: P = 10.000
R = 1.065.52
n = 12 meses
i = ?
P = ⋅n i
R a
10.000 = ⋅12
1.065,62i
a
12 ia =
10.0009,385089
1.065,52=
Procurando-se nas tabelas, tem-se:
12 4a = 9,385074
Visto que 9,385074 ≅ 9,385089, pode-se concluir que a taxa cobrada é de 4% a.m.
Variações do fator n i
a
O valor de n i
a depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Os efeitos indivi-duais podem ser analisados do seguinte modo:
Variação na taxa de juros com n constante
Seja n = 12
Então 12 0
a = 12,000000
12 5a
= 8,863252
12 10a = 6,813692
12 50a = 1,984585
Vemos, por conseguinte, que mantendo-se n constante, o fator n i
a decresce com o aumento da taxa de juros. Graficamente vem:
an i
n
0 i
18 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Variação em n com a taxa de juros constante
Seja i = 10%
Então: 6 10
a = 4,355261
12 10a
= 6,813692
24 10a
= 8,984744
48 10a = 9,896926
Concluímos que, mantendo-se i constante, o fator n i
a cresce com o aumento de n.
an i
1/i
0 n
−( ) 1
n ia – Prestações constantes, imediatas, postecipadas e periódicas para o valor atual igual a 1, considerando-se a taxa de juros i e n prestações
O fator −1( )n i
a nada mais é do que o inverso de n i
a ,então:
−−= =
− +1 1
( )1 (1 ) nn i
n i
ia
a i
Portanto, se temos o valor atual (preço a vista) e queremos encontrar o valor da prestação, considerando-se a taxa i e o número de prestações n, basta multiplicar o valor atual pelo fator −1( )
n ia
1º Exemplo: Qual é a prestação mensal de um carro, cujo preço a vista é de $ 50.000,00, se for contratada a taxa de 3,5% a.m. e o prazo for de 24 meses?
Resolução: P = 50.000
i = 3,5% a.m.
n = 24 meses
−1
24 3,5( )a = 0,062273
R = −1( )n i
P a
R = 50.000(0,062273) = $ 3.113,65
Material de Apoio (Portal Atlas) 19
2º Exemplo: Um financiamento de $ 100.000,00 é concedido a uma firma, para ser pago em 4 prestações semestrais iguais, a taxa de 20% a.s. Qual é o valor das prestações?
Resolução: P = 100.000
i = 20% a.s.
n = 4 semestres
(
4 20a )– 1 = 0,386289
R = −1( )n i
P a
R = 100.000(0,386289)
R = $ 38.628,90
Variações do fator −( ) 1
n ia
De modo análogo ao apresentado no item anterior, pode-se analisar o efeito da taxa ou do número de períodos mantendo-se uma variável constante e variando ape-nas a outra. Assim:
Variação na taxa de juros com n constante
Seja n = 12
Então: −112 0
( )a = 0,083333
−1
12 5( )a = 0,112825
−1
12 10( )a = 0,146763
−1
12 50( )a = 0,503884
Portanto, mantendo-se n constante, o fator −1( )n i
a cresce com o aumento da taxa de juros. Graficamente tem-se:
(an i
1/n
0 i
)–1
20 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Variação em n a taxa de juros constante
Seja i = 10%
Então: −16 10
( )a
= 0,229607
−1
12 10( )a
= 0,146763
−1
24 10( )a
= 0,111300
−1
48 10( )a
= 0,101041
Concluindo-se que, mantendo a taxa constante, o fator −1( )n i
a decresce com o aumento do número de períodos.
(an i
i
0 n
)–1
Nota: Constata-se que as conclusões do item 4.1 são o inverso das conclusões do item 3.1, o que é lógico, visto que
−1( )
n ia =
1
n ia
n is – Montante à taxa i de n prestações unitárias, imediatas, postecipadas e periódicas
O fator n is é a soma de uma progressão geométrica de n termos, sendo o 1º ter-
mo igual a (1 + i)n – 1, o último igual a 1 e a razão igual a (1 + i). Portanto:
(1 ) 1n
n i
ii
+ −=s
1º Exemplo: Qual é o montante de 60 depósitos mensais de $ 200,00, se o banco pagar 2% a.m. sobre o saldo credor?
Resolução:
0 1 2 3
200
58 59
200 200 200 200 200
60 Meses
S = ?
Material de Apoio (Portal Atlas) 21
R = 200
i = 2% a.m.
n = 60 meses
S = ?
60 2s
= 114,051540
S = R ⋅ n is
S = 200 (114,051540)
S = $ 22.810,31
2º Exemplo: Quanto deve ser depositado trimestralmente em uma instituição que paga 8% a.t. sobre o saldo credor, para que, ao efetuar o 36º depósito, o correntista possua $ 100.000,00?
Resolução: S = 100.000
i = 8% a.t.
n = 36 trimestres
R = ?
36 8s
= 187,102148
S = Rn is
R = n i
Ss
R = 100.000
187,102148 R = $ 534,47
Variações do fator n is
O valor do n is depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Analisando os
efeitos individuais, temos:
Variação na taxa de juros com n constante
Seja n = 12
Então: 12 0s
= 12,000000
12 5s
= 15,917127
12 10s
= 21,384284
12 50s
= 257,492676
22 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Conclui-se, portanto, que, mantendo o número de períodos constante, o fator n is
aumenta com o acréscimo nas taxas de juros. Graficamente, teríamos:
n
n is
0 i
Variação em n com a taxa de juros constante
Seja i = 10%
Então: 6 10s
= 7,715610
12 10s
= 21,384284
24 10s
= 88,497327
48 10s
= 960,173337
Por conseguinte, mantendo-se a taxa de juros constante, o fator n is
aumenta com
o aumento do número de períodos. No gráfico visualizaríamos:
n is
0 n