Matematica1 a

1

01

Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprenderemos hoy?

A identificar conjuntos y sus

propiedades

A resolver problemas que impliquen

la utilización de las clases de

conjuntos y las relaciones entre

ellos.

¿Qué materiales utilizaremos? - Libro de consulta de matemática nivel

secundaria, que contenga el tema de

conjuntos y sus relaciones

Lee con atención la siguiente lectura

BIOGRAFÍA GEORG CANTOR

(San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. (...)En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna (...)

Extracto de “Biografía de Cantor, Georg Ferdinand” http://www.biografica.info/biografia-de-cantor-georg-ferdinand-423

Investiga con tus compañeros:

a) Menciona tres matemáticos que dieron aportes en la teoría de conjuntos. En una tabla, compara sus aportes y sus vidas.

b) ¿Qué entiendes por conjunto? Escribe brevemente al respecto.

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

CONJUNTOS

http://www.biografica.info/biografia-de-cantor-georg-ferdinand-423

2

01


Recordemos: Por extensión: Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran uno a uno

sus elementos. Por ejemplo:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A , , ,B t a r e

Por comprensión: Un conjunto se determina por comprensión cuando se nombra una cualidad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo:

/ , 10C x x x /D x x son las letras de la palabra tarea

Determinación de conjuntos

4. En tu cuaderno determina por comprensión los siguientes conjuntos:

a) 2,4,6A c) , , , , ,F f u t b o l

b) 0;1;3;6;9;12;15;18;21;24B d) , , , , ,L m a t e i c

5. En tu cuaderno determina por extensión los siguientes conjuntos:

a) / , 2Q x x x c) H los satelitesde la tierra

b) K las letrasde la palabra abracadabra d) / , 5 10M x x x

Actividades

Recordemos:

Conjunto vacío o nulo: Es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo:

/ , 15 16R x x x , /G x x es un caballo volador

Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo elemento. Por ejemplo:

/V x x es la capital del Perú ; / , 7 8J x x x

Clases de conjuntos

3

01


Conjunto finito: Es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos:

/ , 2 20P x x x , /K x x son las letras de la palabra conjunto

Conjunto infinito: Es aquel que tiene un número ilimitado de elementos. Por ejemplo:

/V x x son las estrellas del universo ; / , 10Y x x x

Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A está incluido en B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Se denota:

A B Se lee A B Por ejemplo:

Sean los conjuntos : 2,3,4,5,6A , 2,4,6B y 2,8,9C

B A porque 2, 4 y 6 también son elementos del conjunto B C A porque no todos los elementos de C pertenecen al conjunto A

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si poseen exactamente los mismos

elementos. Por ejemplo:

Si : 1, ,2, ,R a b t y , ,2, ,1S a t b

R S puesto que todos los elementos de R son también los de S

Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos iguales. Por

ejemplo:

Si / ,F x x son los números naturales impares y / ,G x x son los números naturales pares

Conjunto potencia: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Si

el conjunto dado es A, se denota ( )P A . Por ejemplo:

Si ,A a b entonces A a b a;b

En general: Si un conjunto “A” tiene “n” elementos ( ) 2nP A subconjuntos.

Relaciones entre conjuntos

Conjunto Universal: es el aquel que contiene o incluye a otros conjuntos. Se representa

con la letra U. Por ejemplo:

Si: / son avesA x x / son herbívorosB x x / son carnívorosC x x

Por lo tanto:

/ son animalesU x x

4

01


1. Determina los siguientes conjuntos por extensión

a) / ; 10A x x es unnúmero par menor que

b) / ;8 12B x x x

c) /C x x es una vocal de la palabramurciélago

d) /D x x eslacapital del país Atlántida

2. Determina los siguientes conjuntos por extensión

a) 2;4;6;8A

b) ; ; ;B p e r u

c) 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10C

1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos, infinitos y unitarios

a) /L x x es un día de lasemana ..............................................................

b) / ,K x x x N ..............................................................

c) / ,F x x x N ..............................................................

d) x /x es un habitante de la lunaO ..............................................................

e) / ,489 491Z x x x ..............................................................

2. Halla la relación , , y que existe entre cada par de conjuntos

a) / , 10A x x x

/ ,U x x x

b) /C x x son lasvocales de la palabra mamá

/S x xes la primera letra del alfabeto

c) / ,9 15A x x x

13;14;15;16;17N

d) / ,8 16I x x x

/ ,8 2 12V x x x

3. Si “W” es un conjunto unitario, hallar x + y. Si:

2 3;W x x y . Si x=2y

Actividades

¿Qué aprendimos hoy?

5

01


1. Repasa en un libro de consulta los siguientes temas:

Determinación de conjuntos

Clases de conjuntos

Relaciones entre conjuntos

Aula Virtual - Conjuntos http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

Video “ Operaciones con conjuntos” http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU

Teoría de conjuntos http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

3. Sean los conjuntos:

1;2;3;4;5;6X ; 2;4;6Y y / ;1 6Z x x x

Escribe , , o , según corresponda:

a) X...........Z b) 2...............Z

c) 3............Y d) 6...............X

e) 12..........X f) 0...............Z

g) Z...........5 h) 4...............Y

4. Halla el valor de “x” para que los siguientes conjuntos sean unitarios:

a) ;6M x ..........................................................................................

b) 2 1;19N x ..........................................................................................

c) . 13;2L x .........................................................................................

Enlaces Web

Reforzando lo aprendido

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU

http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

1

02


OPERACIONES CON CONJUNTOS


A realizar operaciones entre

conjuntos

A resolver problemas que implican

las operaciones con conjuntos.

¿Qué materiales utilizaremos? - Libro de consulta de matemática nivel

secundaria, que contenga el tema de

conjuntos y sus operaciones.

Lee con atención la siguiente lectura:

LA PARADOJA DEL BARBERO

“En un lejano poblado de un antiguo emirato, donde todo el mundo debía ir afeitado, había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas y maestro en limpiar pies. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Y el barbero pensó: - En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar, ¡pero yo soy el único barbero de mi pueblo! Fue a contárselo al emir y éste vio que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.”

Explicación de la paradoja: Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales. La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos de conjuntos, como el conjunto potencia que es el conjunto de subconjuntos de M. Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.

Extracto de “Paradoja de Russell” http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell

De la lectura, responde:

¿Cómo entiendes la paradoja del barbero? Explica tu respuesta por medio de ejemplos.

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell

2

02


Recordemos:

Unión de conjuntos: La reunión o unión entre dos conjuntos A y B está formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B, o a ambos. Se denota:

/A B x x A x B

Por ejemplo:

Sean los conjuntos 1;2;3;4 4;5;6;7A y B

1;2;3;4;5;6;7A B

Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es aquel conjunto formado por todos los elementos comunes entre A y B. Se denota:

/A B x x A x B

Por ejemplo:

Sean los conjuntos 1; ;2; ;3 ; ; ;A a c y B a b c d

;A B a c

Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B es aquel conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se denota:

/A B x x A x B

Por ejemplo:

Sean los conjuntos ; ; ; ; ; ; ;A a b c d y B a e i o u

; ;A B b c d

Diferencia simétrica: Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica entre dos conjuntos se denota:

( ) ( )A B A B B A

( ) ( )A B A B A B

Por ejemplo:

Sean los conjuntos 1;3;5;6 3;5;7;8A y B Hallar A B

1;6 7;8A B A B A B A B

Operaciones con conjuntos

A B

A U B

A B

A U B

1

2

3

4

5

6

7

A B

A ∩ B

3

1;6;7;8A B

A B

A - B

b

c

d

e

i

a o

u

A B

A - B

A B

A ∩ B

1

2

3

a

b

d c

A B

A ∆ B

1

6

7

8 5

A B

A ∆ B

3

3

02


1. Dados los siguientes conjuntos: A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6} Halla y grafica:

a) A B b) C B c) A B C

d) A B C e) C A f) A B C

g) B C B h) C B A i) B A C

j) A C k) A B B C l) A B

m) B C A n) A B C A o) B C A

2. Dados los conjuntos: / ;15 23A x x x / ;" " 30B x x x es divisor de

20; 22; 25; 27; 30C

Halla C B A

Actividades

Para el conjunto A, el complemento de este conjunto es lo que le falta para ser igual al conjunto universal (U). Se denota:

´ /CA A U A x x U x A

Por ejemplo:

Sea 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10U y los conjuntos 1;3;5;7A ; / ;4 8B x x U x y

2;4;6;8;10C :

Hallar A Si 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10U y

1;3;5;7A

´ 2;4;6;8;9;10A

Hallar ´B Si 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10U y

/ ;4 8B x x U x

´ 1;2;3;4;8;9;10B

Hallar Ć Si 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10U y

2;4;6;8;10C

´ 1;3;5;7;9A

Complemento de un conjunto

Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno

8

2 8

4

9 6

10 7

1

3

5

A

1 2 3 4

8

9

10

5

6

7

B 1 3

5

7

9

2

4

6

10

C

4

02


1. Dados los conjuntos:

/ ;0 5A x x x ; / ; 2 10B x x xes par y x ; / ; 3 7C x x x x

/ ; 15U x x x

Hallar y graficar:

a) AUA g) C B A

b) Ć A B h) Á D

c) A B C i) À

d) B C A j) Ć A B

e) Ć A k) B C A

f) Ć A l) Á B C


; ; ; ;A b e c r o ; ; ;B p e r o ; ; ; ;C t r i g o ; ; ; ;D l a p i z

Hallar y graficar:

k) C A B l) A D C B

k) A B C l) D B C A

k) C B l) D C A B



3;4;7;9;1;5U , 1;3;7;4A y 4;9;5B . Hallar:

a) ´ Á B B A e) Á B

b) ´ Á B f) Á B

c) ´ Á B A g) ´B A

d) ´ Á B h) ´B A A

Actividades

5

02


1. Repasa en un libro de consulta los siguientes temas:

Operaciones con conjuntos

Complemento de conjuntos

Aula Virtual - Conjuntos http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

Video “ Operaciones con conjuntos” http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU

Teoría de conjuntos http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos


1. Resuelve los siguientes problemas: a) De un grupo de 85 personas: 40 estudian, 50 trabajan y 10 estudian y trabajan

¿Cuántos no estudian ni trabajan? b) De los 50 alumnos de un salón de clases; a 30 alumnos les gusta el curso de

Razonamiento Matemático, 27 alumnos prefieren Razonamiento Verbal y 5 alumnos prefieren otros cursos ¿cuántos alumnos prefieren solamente Razonamiento Verbal?

Enlaces Web


http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU

http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

1

03



A comparar y ordenar números naturales.

A resolver problemas con números naturales y sus operaciones básicas.

¿Qué materiales utilizaremos?

- Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Santillana. Lima – Perú 2008.

- Video Nº .....: Los Números Naturales

Lee con atención la siguiente lectura:

Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones

Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Nuestro sistema actual de numeración utiliza diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,10) que se llaman dígitos por la relación con tienen con los dedos de la mano.

En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a América a través de los árabes.

Estas diez cifras son de origen indo-arábigo (hindú y árabe). Los árabes usaban las cifras del 1 al 9 y, en sus relaciones comerciales con la India, conocieron que los matemáticos hindúes usaban el cero y lo incorporaron a su sistema de numeración que es el que usamos actualmente.

Extracto de: http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00100.html http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates3.htm

Investiga con tus compañeros y responde:

a) En tus actividades diarias ¿Cómo utilizas los números naturales? Menciona dos ejemplos

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

www.perueduca.edu.pe/web/visitante/recursos/galeria-de-imagenes?p_p_id=31&p_p_lifecycle=0&p_p_state=maximized&p_p_mode=view&_31_struts_action=%2Fimage_gallery%2FviewImage&_31_folderId=&_31_ImageId=54849

Sumilla Durante el desarrollo de la ficha, descubriremos el origen de los números naturales y desarrollaremos ejercicios que impliquen el orden en N y operaciones básicas como la adición, sustracción, multiplicación y división en números naturales.

A resolver problemas con números naturales y sus operaciones básicas.

LOS NÚMEROS NATURALES

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00100.html

http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates3.htm

2

03


1. Observa con atención el video: “Los números naturales”. Luego dialoga

con tus compañeros sobre:

a) ¿Qué entiendes por valor posicional en números naturales?

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

b) ¿Cómo reconoces que un número natural es mayor que otro? Explica tu respuesta.

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

I. Completa con los signos , , según corresponda:

a) 34 37 b) 15 18 c) 23 32 d) 1 0

e) 2 3 f) 25 18 g) 80 82 h) 13 14

Actividades

Recordemos: Adición en números naturales

Sustracción de números naturales

Operaciones con números naturales

Recuerda que puedes profundizar en

las operaciones de adición y

sustracción utilizando el libro de

consulta MATEMÁTICA 1ERO – Edit.

Bruño de la página 11 a 13 u otro

texto con el tema tratado.

www.perueduca.edu.pe

a) De Clausura : 2 y 5 2 + 5 = 7

b) Conmutativa: 12 + 13 = 13 + 12

c) Asociativa: (15 + 8) + 3 = 15 + (8 +3)

d) Elemento neutro: 17 + 0 = 17

3

03


1. Escribe las propiedades que se han aplicado en cada caso:

a) (2 + 3) + 8 = 2 + (3 + 8) : .......................................................................... b) 9 x 8 = 8 x 9 : .......................................................................... c) 3 + 0 = 3 : .......................................................................... d) 85 x 0 = 0 : .......................................................................... e) 25 + 13 = 13 + 25 : .......................................................................... f) 6 x (2 + 3) = (6 x 2) + (6 x 3) : ..........................................................................

2. Desarrolla los siguientes ejercicios: a) 15 x 100 = b) 7 x (4 + 3) =

c) 12 – (6 x 4) = d) 15 + 8 – 3 =

3. Calcula el valor de cada cuadrado para que cumpla con la igualdad requerida:

a) 25 x 75 b) 13 + 38

b) 5 2 38 c) 240 350

Multiplicación en números naturales

División en números naturales

1 7 x

5

8 5

factores

producto

2 9 7

1 4

residuo

dividendo divisor

cociente

Actividades

a) Conmutativa: 3 x 4 = 4 x 3 b) Asociativa: (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) c) Elemento neutro: 15 x 1 = 15 d) Distributiva de la multiplicación: (2 + 5) x 3 = (2 x 3) + (5 x 3)

respecto a la adición y sustracción 4 x (15 - 6) = (4 x 15) - (4 x 6)


Recuerda que puedes profundizar en

las operaciones de multiplicación y

división utilizando el libro de

consulta MATEMÁTICA 1ERO – Edit.

Bruño de la página 14 a 16

(multiplicación) y 21 a 22 (división) u

otro texto con el tema tratado.

4

03


1. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) La diferencia entre dos números es 43 y el mayor excede a la diferencia en 72 ¿Cuáles son los números?

b) En una reunión de 50 personas entre damas y caballeros, se sabe que por cada 2 damas hay 3 caballeros ¿Cuántas damas hay?

c) Al comprar 4 chompas pago con S/. 200 y recibo S/. 12 de vuelto ¿cuánto cuesta cada chompa?

d) En una división el divisor es 94, el cociente 12 y el residuo 8. ¿Cuál es el valor

dividendo?


5

03


2. Completa el término que falta en cada una de las siguientes operaciones:

a) 1 8 x b) 7 1 + c) 2 5 -

4 5 1 8

7 3 1 1 9 7 3

3. En parejas plantea un problema en las que intervengan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en números naturales. Cada grupo compartirá su trabajo recogiendo las sugerencias y aportes con el fin de mejorar el ejercicio planteado.

Actividades de Extensión

Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño*

Actividad 1: Los números naturales (Pág. 10)

Actividad 2: Adición, sustracción y multiplicación de

números naturales (Pág. 15)

Actividad 8: División de números naturales (Pág. 22)



Operacionas combinadas con números naturales

www.sectormatematica.cl/.../operaciones_combinadas_en_N.pdf

Operaciones con números naturales http://colegiocampotejar.com/colegio/archivosweb/tercercicloprimaria/matessexto/tema2/tema2.swf

Los números naturales – Valor posicional http://fds.oup.com/www.oup.com/pdf/es/9788467310177-a.pdf

Proyecto: “Elaboramos nuestro banco de preguntas”

Responsables: Tutor y estudiantes

Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática para 1er grado.

Tareas: Con tus compañeros de aula organiza a los estudiantes de tu sección para la elaboración de ejercicios matemáticos relacionados con la realidad de la región. Plantear diferentes formas de solución y de potencializar las actividades.

http://www.sectormatematica.cl/.../operaciones_combinadas_en_N.pdf


http://colegiocampotejar.com/colegio/archivosweb/tercercicloprimaria/matessexto/tema2/tema2.swf



http://fds.oup.com/www.oup.com/pdf/es/9788467310177-a.pdf

http://fds.oup.com/www.oup.com/pdf/es/9788467310177-a.pdf

1

04

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN NATURALES

¿Qué aprenderemos hoy? Estima el resultado de operaciones con

números naturales. Resuelve problemas que implican cálculos en

expresiones numéricas con números naturales.

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones básicas.

¿Qué materiales utilizaremos? - Libro de Matemática - 1er Grado de

Secundaria – Editorial Bruño – Perú

2008.

- Video Nº .....: Potenciación en

números naturales

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N

La potenciación es el producto de varios factores iguales.

Para abreviar la escritura se escribe el factor que se repite y

en la parte superior derecha del mismo y se coloca el

número de veces que se multiplica. Por ejemplo: 37 7 7 7x x podemos escribir

37 343

"Ahora vamos a plantearnos el problema inverso..." 5 32x

Aquí nos preguntamos: ¿qué número elevado a la quinta da 32?

Esta pregunta se escribe así: 5 32 x

La operación se llama RADICACIÓN, y se lee: la raíz quinta de

32 es x. La operación inversa de la potenciación se denomina

radicación.

a) ¿Qué relación encuentras entre la potenciación y multiplicación en números naturales?

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

7 es la BASE,

4 es el EXPONENTE

que indica cuantos

factores 7 hay que

multiplicar

343 es el resultado o la

POTENCIA

5 es la INDICE

32 es el RADICAL

x es la RAÍZ


Extracto de: http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-005.htm

http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-005.htm

http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-005.htm

2

04

1. Observa con atención los videos: “Potenciación en números naturales”.

Luego dialoga con tus compañeros sobre:

a) ¿En qué caso, el resultado de una potencia es igual a uno?

2. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a) 23 222 xx b) 1 2

5 53 3x c) 2 31

d) 5

4

2

5

4 e)

212 8

5 14

1 1

1 1

x

x f) 1517 1515

g) )44()44( 8246 xx h) 6 3 45 5 5x i)

2

2

4

6

6

3. Halla en cada caso el valor de “x” para que cumpla con la igualdad:

a) xx ;164 b) xx ;819 c) xx x ;27

Actividades

Recordemos:

ban

Propiedades;

Potencia de un producto:

Ejemplo: 2 2 23 4 3 4 144x x

Potencia de un cociente:

Ejemplo:

125

64

5

4

5

43

33

Producto de potencias de igual base:

Ejemplo: 2 3 2 3 52 2 2 2 32x

Cociente de potencia de la misma base:

Ejemplo: 5 2 5 2 33 3 3 3 27

Potencia de una potencia

Ejemplo:

23 3 22 2 x

Potenciación en números naturales

Exponente

Base Potencia

3

04

Recordemos:

bam

Propiedades;

Producto de raíces de igual índice:

Ejemplo:

3 3

3

25 5

25 5 5

x

x

Cociente de raíces de igual índice:

Ejemplo:

128 128

22

64 8

Raíz de una potencia:

Ejemplo:

8

84 4

2

3 3

3 9

Raíz de una raíz:

Ejemplo:

3 23

6

64 64

64 2

x

Radicación en números naturales

Índice

Radical

Raíz

I. En tu cuaderno, realiza los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la

radicación en N:

b) 1600 b) 4 44 35 x c) 8 89

c) 47 d) 24 42 x e)

4

4

6

II. Halla el valor de “y” en los siguientes casos:

a) yy ;1216

3 b) yy ;44 2 c) yy

;864

Actividades

Recordemos: Sin signos de colección:

Veamos un ejemplo: 144201002322 x

1º Calculamos las potencias y raíces 144201002322 x

2º Calculamos los productos y cocientes 1220100234 x

3º Finalmente, realizamos sumas y diferencias. 12564 = 17

Operaciones combinadas en N

4

04

1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones:

a) 12 18 3 2 6 8 4 9x x x

b) 26438238 5 xx

c) 4 3 6 5 3 6 3 5 1 2x x x

d) 315 (2 10 2) 5 (3 2 4) 3 (8 2 3)x x x

e) 37 3 6 2 2 4 3 2 7 4 9 3x x x x

2. Expresa cada frase como operación combinada:

a) El doble de 4 menos el triple de la raíz cúbica de 8. b) La raíz cuadrada de la diferencia entre 25 y 16. c) El triple de 4 menos la raíz cúbica de 8.

Actividades

1. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

a) 3381 ( )

b) 6482 4444 xx ( )

c) 0206 ( )

d) 5253 3 ( )

2. En tu cuaderno, resuelve las operaciones combinadas:

a) 2 5 3 1 2(3 2) 3 5x x

b) 4 9 8 6 4 8 2 24 2 9 3 9 3x x x x

c) 2 3 5 37 5 2 10 8 8x x

d) 7 9 8 1 7 9 5 7 5 4 8x x x x


Con signos de colección:

Veamos un ejemplo: 12 3 2 4 12 8 1 2 3

1º Resolvemos las operaciones encerradas en paréntesis 12 3 2 4 12 8 1 2 3

2º Resolvemos las operaciones entre corchetes 12 3 2 4 4 1 2 3

3º Finalmente, resolvemos las operaciones entre llaves 12 3 2 1 2 3

12 3 9

5

04

Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño*

Actividad 6: Potenciación en números naturales (Pág. 19)

Raíz cuadrada : Página interactiva con ejercicios interactivos de raíces cuadradas exactas e inexactas: http://genmagic.org/mates2/rc1c.swf

Operaciones combinadas en N http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf Operaciones combinadas con números naturales www.sectormatematica.cl/.../operaciones_combinadas_en_N.pdf

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.


Enlaces Web


3. Resuelve los siguientes problemas:

a) Las edades de un padre y su hijo suman 47 años, si uno de ellos es 23 años mayor ¿cuál es la edad del padre?

b) Si Juan tiene S/. 220.00, Miguel el duplo de Juan y Sebastián tanto como Juan y Miguel. ¿Cuánto tienen entre los tres?


http://genmagic.org/mates2/rc1c.swf

http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf


1

05


¿Qué aprenderemos hoy? A interpretar el significado de

números enteros en diversas

situaciones y contextos.

A comparar y ordenar números

enteros.


Secundaria – Editorial Bruño Lima – Perú

2008.

- Video Nº .....: Los Números Enteros

¿Qué sabes sobre los números enteros?

Lee el siguiente artículo

EL PUEBLO MÁS FRÍO DEL MUNDO

Oymyakon, en la república rusa de Yakutia, es el polo helado de la Tierra; en 1926 alcanzó la temperatura más baja registrada jamás en territorio habitado: 71,2 grados bajo el punto de congelación. La localidad está situada en el noreste de Rusia, en una meseta a 750 metros sobre el nivel del mar: Allí donde el invierno dura como mínimo nueve meses. Debe su clima extremo a las cadenas montañosas que la rodean, y que impiden que escapen las pesadas masas de aire frío que cubren el valle como si fueran de plomo. Artículo del recopilado de: DIARIO EL PAÍS España - 31/01/2001

Responde:

a) ¿Cómo representarías la temperatura en grados bajo el punto de congelación?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

b) ¿Qué otro ejemplo similar conoces?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

LOS NÚMEROS ENTEROS


2

05


1. Observa con atención el video (Los Números Enteros – 1er grado) y

dialoga con tus compañeros sobre:

a) ¿Cómo está conformada la recta de enteros? ¿Cómo se representan los números

naturales en dicha recta?

b) Menciona 3 instrumentos de medida, que realicen mediciones tomando en cuenta

los números enteros.

Repasa las páginas 45, 46 y 47 del libro MATEMÁTICA – Edit. Bruño (*)

Temas: - Los Números Enteros.

- La recta numérica y los números enteros.

- Igualdad de números enteros.

- Opuesto de un número entero.

- Valor absoluto.

Recordemos:

x se lee valor absoluto de “x”

Si x ≥ 0, entonces xx y Si x ≺0, entonces xx

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) 3 = b) 8 = c) 1025 =

d) 108 = e) 22 = f) 7 =

g) )8()5( = h) 645 = i) 13 =

j) 42 = k) aa2 = l) 39 =

Actividades

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuerce los temas tratados.

Valor Absoluto

Actividades

3

05


En la recta numérica, observamos que los números están ordenados en forma creciente, por lo que: Por ejemplo

a) 4 > - 3 b) -1 < 3 c) -3 > -5 d) 3 > -4

3. Coloca el signo <, > ó = según corresponda:

a) -6 -8 b) 4 -1 c) -9 -11 d) 7 -7

e) -5 2 f) 15 -15 g) 20 -20 h) -3 -4

-∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +∞ ... ...

“Entre dos números enteros ubicados en la recta numérica, es mayor el que está a la derecha del otro”

1. Observa los puntos en la recta numérica y completa:

a) A C b) O D c) B E d) A 0

e) F B f) C F g) D C h) F C


Actividades

Comparación de números enteros

-∞ A C B 0 E D F +∞ ... ...

4

05


Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*

Actividad 1: Los números enteros (Pág. 45)

Actividad 2: La recta numérica y los enteros (Pág. 46)

Actividad 3: Valor absoluto (Pág. 47)

Actividad 4: Relación mayor y menor (Pág. 48)

Los Números enteros http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf http://www.extremate.es/Definitivo%20Enteros/textoentero.swf http://www.genmagic.net/mates2/ne1c.swf La recta de los enteros http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/rectaentera/rectaentera.swf Comparación de números enteros http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/comparar/comparar_ep.html



Enlaces Web

2. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 53 = b) 58 = c) 912 =

d) 610 = e) 28100 = f) 917 =

3. Coloca el signo >, < o = según corresponda:

a) 17 17 b) 5 5 c) 10 25

e) 30 28 f) 10 25 g) 6 8


http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf

http://www.extremate.es/Definitivo%20Enteros/textoentero.swf

http://www.genmagic.net/mates2/ne1c.swf

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/rectaentera/rectaentera.swf

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/rectaentera/rectaentera.swf

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/comparar/comparar_ep.html

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/comparar/comparar_ep.html

1

06


OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS


A comparar y ordena números

enteros.

A resolver problemas con números

naturales y sus operaciones básicas.


Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú

2008.

- Video Nº .....: Multiplicación y división de

números enteros

Lee con atención, la siguiente lectura:

Los números enteros: origen e historia

Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en Oriente, y no llega a Occidente hasta el siglo XVI. En Oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores (...) Los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del Álgebra geométrica, pero este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, (a – b).(c – d) = ac + bd –ad –bc; dejándolos como restas indicadas. Sin embargo fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas (...).La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV (...). Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su “Anteitung Zur Álgebra” (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1(...).

Extracto de “Los números enteros: origen e historia” http://personales.ya.com/casanchi/mat/enteros01.pdf


a) ¿Qué entiendes por números enteros?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

b) ¿Qué relación tienen los números naturales con los enteros? .................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/

http://personales.ya.com/casanchi/mat/enteros01.pdf

2

06


I. Observa con atención los videos: “adición y sustracción de enteros” y

“multiplicación y división de enteros”. Luego dialoga con tus

compañeros sobre:

a) ¿Cómo se realiza la adición y sustracción de números enteros?

b) ¿Qué diferencia encuentras entre las operaciones con números naturales y los

enteros?

II. Repasa de tu libro MATEMÁTICA – EDIT. BRUÑO, los siguientes temas(*):

Adición de números enteros - Propiedades (Pág. 48 a 50)

Sustracción de números enteros (Pág. 52 a 53)

Multiplicación de números enteros - Propiedades (Pág. 55 a 57)

Potenciación de números enteros – Propiedades (Pág. 58 a 59)

División de números enteros – Propiedades (Pág. 60)

Radicación de números enteros – Propiedades (Pág. 61 a 62)

Actividades

Recordemos: Adición de números enteros:

Se presentan dos casos:

Caso 1: Adición de números enteros con el mismo signo

Caso 2: Adición de números enteros con signos diferentes

Se suman los valores absolutos y se coloca el signo de los sumandos. Por ejemplo:

5 2 5 2 7

( 8) ( 10) 8 10 18

Se halla la diferencia de los valores absolutos y se le antepone el signo del sumando con mayor valor absoluto. Por ejemplo:

16 3 16 3 13

9 5 9 5 4

Sustracción de números enteros:

Para calcular la diferencia de dos números enteros, se suma al minuendo, el opuesto del sustraendo. Es

decir: )( baba . Ejemplo:

( 6) ( 7) ( 6) (7) 13

7)2()5()2()5(

(*) De no contar con el texto, consulta otras fuentes sobre los temas propuestos.

Operaciones con números enteros

3

06


1. Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a) –14 + (– 27) + 31 – (+ 58) = b) +50 – (–98) + 14 – (–42) =

c) (–10) + 15 – (–69) = d) –13 + (–12) – (+31) + (–9) =

e) 68 – (–96) + (–16) = f) –15 + (–72) + (– 39) =

g) (– 790) + (–474) = h) + 87 – (–36) – 12 =

2. Calcula el valor de “a” en cada caso:

a) 25 a = 75 ; a = b) 12 x (a + 5) = 144 ; a =

c) 15 + a = 38 ; a = d) 2025a ; a =

e) 5 500a ; a = f) a – 240 = 350 ; a =


Multiplicación y división de números enteros:

Para ambos casos se cumple lo siguiente:

En la multiplicación de enteros En la división de enteros:

El producto de dos números enteros del mismo signo es positivo. Por ejemplo:

20)5()4( x

12)4()3( x

El producto de dos números enteros con diferente signo es negativo. Por ejemplo:

18)2()9( x

60)12()5( x

El cociente de dos números enteros del mismo signo es positivo. Por ejemplo:

9)3()27(

211)2()422(

El cociente de dos números enteros con diferente signo es negativo. Por ejemplo:

16)5()80(

11)7()77(

Potenciación y radicación en números enteros:

Para ambos casos se cumple lo siguiente:

En la potenciación de enteros En la radicación de enteros:

La potencia es negativa solo cuando la base tiene signo negativo y el exponente es impar. En los demás casos siempre la potencia siempre será positiva. Por ejemplo:

1)1( 250

8)2( 3

16)2( 4

Cuando el índice es par o impar y el radical positivo, la raíz es positiva.

3814 ; 283

Cuando el índice es impar y el radical negativo, la raíz es negativa. Por ejemplo:

4643

Cuando el índice es par y el radical negativo, no existe solución en . Por ejemplo:

16

4

06


1. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) La diferencia entre dos números es 43 y el mayor excede a la diferencia en 72 ¿Cuáles son los números?

b) En una reunión de 50 personas entre damas y caballeros, se sabe que por cada 2 damas hay 3 caballeros ¿Cuántas damas hay?

c) Al comprar 4 chompas pago con S/. 200 y recibo S/. 12 de vuelto ¿cuánto cuesta cada chompa?

d) En una división el divisor es 94, el cociente 12 y el residuo 8. ¿Cuál es el valor

dividendo?


5

06



Actividad 5: Adición de números enteros (Pág. 50)

Actividad 7: Sustracción de números enteros (Pág. 54)

Actividad 8: Multiplicación de números enteros (Pág. 57)

Actividad 9: Potenciación de números enteros (Pág. 59)

Actividad 10: División de números enteros (Pág. 61)

Actividad 11: Radicación de números enteros (Pág. 62)

Ejercicios desarrollados con números enteros http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/01/1.swf

Números enteros – Operaciones básicas. http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf

Test matemático – Adición de números enteros http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/01/8.swf

El fondo marino - Animación interactiva de operaciones con números enteros http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/recursos_red/a_fondomarino/animacion.swf?xref=es_texto.xml&skeleton=carcasa.swf

2. Completa el término que falta en cada una de las siguientes operaciones:

a) 1 1 4 x b) 5 9 6 4 5

3 9 3 9 3

9 6 2 6 6

4 6 2 8 1

5 4 2

7 1 7 6 8 6

c) 2 8 0 + d) 0 0 9 -

1 5 9 5 8 7 1

2 7 0 1 2 1 8

1 4 6

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otras fuentes que refuercen los temas tratados.



Enlaces Web

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/01/1.swf


http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf


http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/recursos_red/a_fondomarino/animacion.swf?xref=es_texto.xml&skeleton=carcasa.swf

http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/recursos_red/a_fondomarino/animacion.swf?xref=es_texto.xml&skeleton=carcasa.swf

1

07

Beatriz Toledo López

NÚMEROS RACIONALES

Sumilla

A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los

números racionales y sus operaciones encontraremos su aplicación en actividades cotidianas

diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

Recursos

A identificar números racionales.

A realizar operaciones de adición, sustracción,

multiplicación y división de racionales.

A resolver problemas simples que involucran

operaciones con números racionales.

Libro de Matemática

¿Cómo empezamos?

1. Lee el texto y responde las siguientes preguntas:

¿Los números naturales y enteros pertenecen al conjunto de

números racionales?

¿Cómo se llaman los números fraccionarios no enteros?

2. Investiga y responde:

Menciona un ejemplo diario en el que se apliques la idea de

números racionales.

NÚMEROS RACIONALES

Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El término “racional” hace

referencia a una “ración” o parte de un todo. El conjunto Q de los números racionales está

compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales,

pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.

Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas

operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional. Así como en el

conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el

siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números

racionales existen infinitos números. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya

que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario.

Fuente:

http://www.utchvirtual.net/recursos_didacticos/documentos/matematicas/numeros-racionales.pdf

http://www.utchvirtual.net/recursos_didacticos/documentos/matematicas/numeros-racionales.pdf

2

07


Actividades

1. En este espacio de la ficha desarrollaremos las actividades en dos formas:

Presentando un resumen de los contenidos a tratar.

Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado.

2. Si deseas profundizar el tema te recomiendo que repases las páginas 72 a 80

del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro

puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los

siguientes temas:

Números racionales

Propiedades

Operaciones con números racionales

Propiedades de los números racionales

Recordemos:

a

b

Reducción: Toda fracción puede ser representada por su fracción reducida.

25 20 10 5

45 36 18 9

Igualdad: Si a y b son números racionales iguales entonces a = b.

22 3

3

aa b

b

Densidad: Entre dos números racionales diferentes siempre es posible encontrar otro número.

Ejemplo: 7 2

3 5y 7 5 2 3

3 5 5 3

x xy

x x

35 6 33

15 15 15y

Actividades

1. Simplifica las siguientes fracciones:

a) 100

75 b) 26

12 c) 145

80

d) 108

54 e) 111

900 f) 1008

711

2. Halla el valor de “x” e “y” para que las fracciones sean iguales:

a) 2 7

3 2

x

y b)

2 22

7 4

x

y c)

3 1 7

15 2 1

x

y

3. Menciona 6 números racionales que se encuentran entre 4 5

5 6y

Denominador

Numerador

Si b ≠ 0

3

07


Adición y sustracción de números racionales

Adición en Q Sustracción en Q

Homogéneas Heterogéneas Homogéneas Heterogéneas

, 0a c a c

bb b b

Ejemplo:

23 17 23 17 40

4 4 4 4

, 0a c ad bc

b y db d bd

Ejemplo:

11 7 66 35 101

5 6 30 30

, 0a c a c

bb b b

Ejemplo:

97 71 97 71 28

11 11 11 11

, 0a c ad bc

b y db d bd

Ejemplo:

33 15 198 185 28 13

19 6 114 11 114

Actividades

1. Realiza las operaciones de adición y sustracción de racionales en los siguientes ejercicios :

a) 21 34

45 45

b) 13 4

4 7

c) 91 24

5 9

d) 76 11

32 32

g) 56 114

98 98

e) 6 9

7 15

h) 14 1

3 9

f) 1 4

5 65

i) 3 5

8 7

2. Halla el valor de “m” en los siguientes ejercicios:

a) 2 18

5 5m b)

3 6

2 3m c)

12 23 4

13 13m m

Multiplicación y división de números Q

Multiplicación en Q División en Q

; 0a c a xc

x siendo bb d b x d

Por ejemplo:

3 1 3 1 3

8 11 8 11 88

xx

x

a c a d a x dx

b d b c b xc0, 0 0siendo b c y d

Por ejemplo:

51 2 51 3 153

4 3 4 2 8x

4

07


Actividades

1. En tu cuaderno resuelve las siguientes operaciones:

a) 2 4 1 3

8 8 6 5x b) 7 1 1 4

8 2 3 3x c) 3

25

d) 1 3 8 3 11

2 6 2 7 23x x x x e) 12 12 4

17 2 3x


1. Una vez que hayamos terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciaremos con la

elaboración y resolución de problemas con números racionales. En parejas elabora 2 problemas

cotidianos en las que se presenten las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división

de números racionales.

2. Luego intercambien los ejercicios con otros grupos y resuélvanlo.

3. Compartan las dificultades que tuvieron en el desarrollo de los ejercicios y planteen alternativas que

permitan la resolución de problemas con números racionales en forma sencilla.

¿A DÓNDE NOS LLEVA NUESTRO APRENDIZAJE?

Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

1. Marca V (verdadero) o F (falso)según corresponda :

a. 31

22

se encuentra entre 3 18

2 11y

( )

b. 15 5

6 2

( )

c. 3 2 3 2

4 3 4 3 ( )

d. 11 2 11 2

23 3 23 3

x

x

( )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………

5

07


2. Completa los casilleros con la igualdad en cada caso:

a) 16 1

5 4x

b) 2 6

3 5

c) 6 1

5 4

d) 73

10

e) 7 21

4 10x

f) 7 12

4 7x

g) 1 9

2 10

h) 5 13

4 8

i) 1 4

7 7

j) 13 13

4 8

k) 131

5

l) 8 11

5 5


a) Compré una nevera para mi casa por S/. 750.00. María, mi vecina, quiere que se la venda y el precio de venta es el 3/5 del precio de compra. ¿Cuánto me debe cancelar María?

b) Pablo tiene 30 canicas y Pedro tiene 1/6 de lo que tiene Pablo. Si a Pedro le obsequiaron 10 canicas más ¿Cuántas canicas tiene al final Pedro?


Todo sobre fracciones: Operaciones http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/fracciones_e/fracciones_ej_p.html

Suma, resta, multiplicación y división de números racionales http://www.aplicaciones.info/decimales/fraccion.htm

Actividades interactivas: Fracciones equivalentes http://www.masmates.com/

Proyecto: “Elaboramos nuestro banco de preguntas”

Responsables: tutor y estudiantes

Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática relacionado con el tema “Números racionales”.

Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un folleto con los problemas grupales planteados en la ficha. Recuerda relacionar los problemas con la realidad de tu región. No olvides incluir el solucionario con las respuestas y pasos a seguir en cada caso.

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/fracciones_e/fracciones_ej_p.html



http://www.aplicaciones.info/decimales/fraccion.htm

http://www.aplicaciones.info/decimales/fraccion.htm

http://www.masmates.com/

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EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL


A transformar fracciones en decimales

y viceversa.

A realizar operaciones que involucran

la fracción generatriz de una expresión

decimal.


Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú

2008.

- Video Nº .....: Los números decimales.

¿CÓMO SURGIÓ LA ESCRITURA DECUIMAL? Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10). Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales (de denominador 60). Un defensor a ultranza de las fracciones decimales fue François Viète (1540-1603). En 1579, en unos de sus trabajos escribe 141421'35624 como 141421.35624. Unas páginas más adelante escribe 314159'26535 como 314159. y un poco más adelante escribe este mismo número como 314159.26535, con la parte entera en negrita. En algunas ocasiones usa un guión vertical para separar la parte entera de la fraccionaria, es decir 314159|26535. Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585 acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental, el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales. En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier (1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal. Extracto de Números Decimales

www.juntadeandalucia.es/.../decimales/numerosdecimales.htm

Extracto de HISTORIA DE LOS NUMEROS RACIONALES

http://platea.pntic.mec.es/~bgarcia/racional.htm


a) ¿Los números naturales pueden expresarse en forma decimal. Fundamente tu respuesta

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

b) ¿Cuántos números racionales se encuentran entre 1 y 2?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

http://www.juntadeandalucia.es/.../decimales/numerosdecimales.htm

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1. Observa con tus compañeros el video “ Los números decimales” y

responde:

a) ¿Cómo puedes expresar tu edad en números decimales? Menciona

un ejemplo:

2. Resuelve en tu cuaderno lo siguiente:

a) Escribe la expresiones decimales de cada una de las siguientes fracciones:

a) 17

10

b) 1

6

c) 12

8

d) 5

2

3. Indica si las expresiones decimales de las siguientes fracciones son puras o mixtas:

a) 23

450 .......................................................

b) 1

6 .......................................................

c) 146

33 .......................................................

d) 77

33 .......................................................

Actividades

Todo número racional tiene expresión decimal, que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador.

40,4

10

122,4

5

1121,1313...

99

Expresiones decimales exactas Son aquellas que el residuo de dividir su numerador y denominador es igual a 0.

31,5

2

Expresiones decimales infinitas Se dan cuando la división del numerador entre el denominador nunca tiene fin.

Periódicas puras Periódicas mixtas

Cuando el periodo empieza después de la coma decimal

70,777... 0,7

9

Cuando el periodo comienza después de algunas cifras que no son periódicas.

170,5666... 0,56

30

Expresiones decimales

3

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Generatriz de expresión Decimal Periódica

Pura

Generatriz de Expresión Decimal Periódica Mixta

Para hallar la fracción generatriz basta escribir el periodo como numerador y como denominador a un número compuesto por tantos nueves como cifras tenga el periodo.

40,444... 0,4

9

3 100

33,333... 33,3 339 3

Para hallar la fracción generatriz basta escribir como numerador la parte no periódica seguida de un periodo menos la parte no periódica y como denominador un número compuesto de tantos nueves según tenga la parte periódica y ceros según la parte no periódica.

3781 37 37440,3781

9900 9900

(312 31) 281 20812,312 2 2

900 900 900

1. En tu cuaderno, escribe en forma de fracción cada expresión decimal :

a) 0,56 b) 0,9 c) 0,011

d) 8,78 e) 9,89 d) 8,113

2. Halla el valor de la fracción generatriz reducida a su mínima expresión:

a) 0,1233 b) 2, 212 c) 3,58

Actividades

Para operar fracciones y decimales, lo podremos realizar en las siguientes formas: Convirtiendo todos los términos en fracciones:

Ejemplo:

a) 1 5 3 1 5 3 10

2 2 2 2 2 2 20,5

1

2 b)

9 3 9 3 27 432

7 8 7 8 53,

16 16

5 5 82

6 2 0

xx x

x

Generatriz de una expresión decimal periódica

Operaciones con fracciones y decimales

4

08


1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones

a) 2

0,34 (0, 4)5

b) 75 1 1

12,32 2 3

c) 3

8,23 2,432

d) 1 8 11

10,3 18,32 2 23

Actividades

Convirtiendo todos los términos en decimales:

Ejemplo:

a) 0,21 0,12 7,2 0,21 0,0,12 7,2 7,93

475 9

b) (0,5 1,2) (0 0,4

3,6)( ) 0,8 48x

Recordemos:

Sin signos de colección:

Veamos un ejemplo: 1 4 2

2,3 1,42 5 5

1º Calculamos los cocientes y productos de fracciones o

expresiones decimales respetando las reglas

1 4 52,3 1,4

2 5 2x

2º Estandarizamos la conversión de fracciones a expresiones

decimales o viceversa según sea conveniente

12,3 1,

22 4

3º Finalmente, realizamos sumas y diferencias. 2,3 2 1,0,5 4 2,2

Operaciones combinadas en Q

5

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1. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

a) 0, 4 = ( )

b) 0,357 ( )

c) 3 1 3

0, 24 5 10

( )

d) 1

[23 2,2(1,5 0,75)] 6,52

( )


Con signos de colección:

Veamos un ejemplo: 3 12,1 (2,7 1,3) 0,2 0,1

2 2

1º Resolvemos las operaciones encerradas en paréntesis 3 1

2,1 (2,7 1,3) 0,2 0,12 2

2º Resolvemos las operaciones entre corchetes 3 1

2,1 4 0,2 0,12 2

x

3º Resolvemos las operaciones entre llaves 3

2,1 2,2 0,12

4º Estandarizamos las expresiones según sea conveniente y finalmente operamos

0,5 ,1 1 5

1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) 1

0,3 4,3 0,110

b) [( 15,9) 12,1][( 10,9) ( 0,8)]

c)

2 4 1 2 2 49

2 9 7 2 5 8

d) 1 2 2

21 0,4 32 3 9

Actividades

6

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Actividad 8 : Expresión decimal de un número racional

(Pág. 84)

Actividad 9: Generatriz de una expresión decimal

periódica (Pág. 86)

Conociendo más las fracciones http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA13/MultiDivfracciones.html

Expresiones decimales de números racionales http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales:_Expresi%C3%B3n_decimal_de_una_fracci%C3%B3n

Conociendo más acerca de las expresiones decimales http://www.aplicaciones.info/decimales/decima.htm



Enlaces Web


a) Un ciclista ha recorrido 145,8 km en una etapa, 136,65 km en otra etapa y 162,62 km

en una tercera etapa. ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer si la carrera es de

1000 km? Expresar el resultado en fracción.

b) En la fiesta de cumpleaños de Martha, la quinta parte de la torta se repartirá con sus

amigos del colegio y lo restante para su familia. ¿Cuánto le corresponde a la familia de

Martha? Expresar el resultado en decimales


http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA13/MultiDivfracciones.html

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales:_Expresi%C3%B3n_decimal_de_una_fracci%C3%B3n

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales:_Expresi%C3%B3n_decimal_de_una_fracci%C3%B3n

http://www.aplicaciones.info/decimales/decima.htm

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