República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación

Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”Barquisimeto Edo. Lara

Alumno: Ramos Ángel C.I: 24.712.574

Formas Indeterminadas

En matemáticas, Se llama forma indeterminada a una expresión algebraica la cual involucra límites. Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes:

00;∞∞;0¿ ; ∞;∞−∞;00; ∞∞;1∞

Entonces decimos que es indeterminada.

Si se tiene: Y=F (x)=x2−4X−2

y ellim ¿X→2

X2−4X−2

= lim ¿X→2

(x+2)(x−2)X−2

=4¿¿

En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital.

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

Ejemplo:

limX→C

f (x )g (x)

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

La forma 0/0Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se

acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0,  o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

limx→0

sin ( x )x

=00

limx→0

x2

x=0

0

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

limx→+∞

ex

x=+∞

+∞

limx→+∞

√ xln (x )

=+∞+∞

La forma indeterminada 0lim

x→0+¿ x .ln x=0.(−∞ )¿¿

limx→

π2

cos x . tan x=0.∞

En los casos en que el límite de una diferencia es  , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo  . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.