Matemáticas I Unidad I

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Resumen teórico del curso Matemáticas I de la preparatoria abierta de la SEP. Primera unidad.

Text of Matemáticas I Unidad I

  • 1. El presente material debe ser considerado nicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto.
    MATEMTICAS I
    UNIDAD I
    CONJUNTOS
    Contacto: joelamparn@gmail.com

2. Conjunto: coleccin o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estn tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto.
Ejemplos
Los Estados de la Repblica Mexicana
Los das de la semana
Las vocales del alfabeto.
3. Elementos: Las ideas u objetos que forman un conjunto.
Notacin Generalmente usamos letras maysculas para denotar conjuntos y las minsculas para sus elementos.
A podra ser el conjunto de das de la semana.
x podra ser lunes.
4. Para simbolizar que un elemento pertenece (o no) a un conjunto, usamos:
es un elemento de
no es un elemento de
As
se lee x es elemento del conjunto A.
se lee m no es elemento del conjunto A.
5. Notacin enumerativa: se puede denotar un conjunto anotando los elementos entre llaves
{lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo}
Notacin por descripcin: anotar entre llaves la condicin para pertenecer al conjunto
{das de la semana}
Observacin: { } simboliza un conjunto.
6. Variable: letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto; ejemplo: x.
Una lnea vertical como | se lee tal que.
La notacin para construir conjuntos permite abreviar la representacin de los mismos
V={ x | x sea una vocal}
E={ x | x sea una de las estaciones del ao}
7. Oracin abierta: aquella en la que interviene una variable.
Conjunto de reemplazamiento: el que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable.
Conjunto de verdad: los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oracin sea verdadera.
8. Sea E={ x | x es una de las estaciones del ao}
y el conjunto de reemplazamiento para x el conjunto M:
M={primavera, verano, otoo, invierno, lunes, abril, fro}
Notacin para construir conjuntos:
Conjunto de verdad:
E={primavera, verano, otoo, invierno}
9. Cardinalidad: nmero de elementos contenidos en un conjunto. Se representa con la letra n, y luego la letra que simboliza al conjunto entre parntesis.
V={a, e, i, o, u}
n(V)=5
Un conjunto es finito cuando es posible determinar el nmero de elementos que lo conforma, an cuando no sea fcil.
Si no se cumple la condicin anterior, el conjunto es infinito: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,}
10. Conjunto universal: totalidad de elementos considerados para determinada operacin (equivale al conjunto de reemplazamiento).
Conjunto vaco: el que no contiene elementos. Su smbolo es.
Conjuntos equivalentes. los que tienen la misma cardinalidad. En ellos se puede establecer la correspondencia uno a uno (correspondencia biunvoca).
11. Sea C={verde, blanco, rojo} y F={5, 4, 3}, se puede establecer la correspondencia biunvoca:
{verde, blanco, rojo}
{5, 4, 3}
Conjuntos iguales: se dice que A y B son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A.
12. Subconjuntos: al conjunto R que est formado por elementos que tambin pertenecen al conjunto P, se le llama un subconjunto de P.
Si V={vocales del alfabeto}
y A={todas las letras del alfabeto},
entonces, pero .
13. Subconjunto propio: siendo, pero A tiene adems elementos que no pertenecen a V, se dice que V es un subconjunto propio de A (V est incluido en A y no tiene la misma cardinalidad).
Con lo cual se puede establecer que
A>V
y
n(A)>n(V).
14. Nmero naturales:
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,}
Conjunto de mltiplos de k:
Si entonces M={k, 2k, 3k, 4k, 5k,}
Conjunto de nmeros primos:
P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,}
Conjunto de nmeros compuestos:
C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,}
15. Se factoriza un nmero cuando se expresa como producto de sus factores.
Una factorizacin se considera completa cuando slo tenemos factores primos.
2, 3, 4 y 6 son factores de 12.
2 x 2 x 3 es la factorizacin completa de 12.
5, 7, 8 y 9 no son factores de 12.
16. Unin: si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, tendremos un tercer conjunto.
La operacin efectuada se llama unin.
Los elementos del tercer conjunto pertenecern al conjunto A o bien al conjunto B o bien a ambos.
P={1, 2, 3, 4}Q={3, 4, 5, 6, 7}
P Q ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
17. Interseccin: operacin entre dos conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultneamente pertenezcan a los conjuntos dados.
P={1, 2, 3, 4}Q={3, 4, 5, 6, 7}
P Q ={3, 4}
Disjuntos: dos conjuntos sin elementos en comn. Su interseccin es un conjunto vaco.
18. Complemento: conjunto formado por los elementos del conjunto universal que le faltan al conjunto dado.
Para el conjunto S, se lee como S prima o complemento de S.
Complemento de S = S
U={todas las letras del alfabeto}
V={vocales del alfabeto}
V={consonantes del alfabeto}
Observacin:
19. Grfica de un conjunto (diagramas de Venn).
U
U
10
El rectngulo indica el conjunto universal.
B
A
4
2
5
1
Los crculos A y B muestran conjuntos disjuntos.
7
3
6
8
9
1, 2 y 3 son elementos de A;
4, 5, 6 y 7 son elementos de B;
8, 9 y 10 no son de A ni de B, pero s pertenecen al universo.
20. Grfica: unin de conjuntos.
V={i, o, w, a, e}
M={a, e, b, d, g, c, f}
U
M
V
b
o
a
c
i
d
e
w
f
g
El resultado es toda el rea sombreada.
21. Grfica: interseccin de conjuntos.
V={i, o, w, a, e}
M={a, e, b, d, g, c, f}
U
M
V
b
o
a
c
i
d
e
w
f
g
El resultado es el rea con doble sombreado.
22. Grfica: conjunto complemento.
U
S
S
23. Grfica: conjuntos disjuntos
U
U
24. Grfica:
U
A
B
C
25. Grfica:
U
A
B
C
26. Grfica:
U
A
B
C
27. Grfica:
U
B
A
C
28. Grfica:
U
A
B
C
29. Tomado de:

Matemticas I, Libro de Texto, SEP,
Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco Ren Zubieta.