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Resumen teórico del curso Matemáticas I, preparatoria abierta de la SEP. Segunda unidad.
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El presente material debe ser considerado únicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto.
MATEMÁTICAS IUNIDAD II
ELEMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA
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Razonamiento inductivo: es el proceso de encontrar un principio general basándose en la presentación de hechos o casos específicos.
Razonamiento deductivo: proceso mediante el cual se hace uso de un principio general, aceptado como verdadero, para obtener una conclusión en un hecho o caso particular.
El razonamiento matemático es eminentemente deductivo, se apoya en postulados y definiciones.
Proposición: oración de la que se puede decir si es verdadera o falsa.
Proposición simple: se puede decir de inmediato si es verdadera o falsa tiene un valor de verdad.
Proposición abierta: tiene alguna variable y un conjunto de reemplazamiento tiene un conjunto de verdad.
“6 es un número par”“6 es un elemento del conjunto de número pares”
Números pares
6
“Todo hombre es mortal”“El conjunto de todos los hombres es un subconjunto del conjunto de todos los mortales”
Conjuntomortales
Conjuntohombres
N
Númerospares
N
Múltiplosde4
Proposición compuesta: proposiciones simples asociadas mediante conectivos lógicos
“y”, “o”, “Si… entonces”.
Conjunción: asociación de dos composiciones con el conectivo lógico “y”.Es verdadera si ambas proposiciones simples son verdaderas; Es falsa si una proposición o ambas son falsas.
“4 es un número par y 4 es un número natural” verdadero
verdadero
La conjunción es verdadera.
“3 es un número natural y 3 es un número par” verdadero
falso
La conjunción es falsa.
“5 es un número par y 5 es múltiplo de 4” falso
falso
La conjunción es falsa.
Solución: la intersección de con
N A B
Númerosmayores
que5
Númerospares
Disyunción: asociación de dos composiciones con el conectivo lógico “o” (en matemáticas, la disyunción es inclusiva).Es verdadera si cualquiera de las proposiciones simples es verdadera; Es falsa si ambas proposiciones son falsas.
“4 es un número par o 4 es un número natural” verdadero
verdadero
La disyunción es verdadera.
“3 es un número natural o 3 es un número par” verdadero
falso
La disyunción es verdadera.
“5 es un número par o 5 es múltiplo de 4” falso
falso
La disyunción es falsa.
Solución: la unión de con
N A B
Númerosmayores
que5
Númerospares
Negación de la oración “Hoy es un día nublado”Es falso que hoy es un día nubladoHoy no es un día nublado.
Si la proposición dada es verdadera, entonces la negación es falsa (y viceversa).La negación es el conjunto complemento.
Conjuntode todoslos díasclaros
Conjuntode todoslos días
nublados
Si la proposición dada es abierta, los diagramas de Venn son todavía más valiosos:
Negación
NMúltiplos
de4
La parte sombreada representa la solución.
Negación
N
Númerosmayores
que5
5
4
3
2
1
NegaciónN
Númerosmayores
que5
5
4
3
2
1
ObservacionesLa negación de la negación de una proposición dada es la proposición misma.Negar una proposición negativa es igual a enunciar la proposición afirmativa.
Negación de una conjunción.
N A B
x>3 x<10
Negación:
NA B
x>3 x<10
NA B
x>3 x<10
NA
x>3
NB
x<10
NA
x>3
NB
x<10x>3
NA B
x>3 x<10
N A B
x>3 x<10
N A B
x>3 x<10
=
Primera Ley de DeMorgan:La negación de una conjunción, es la disyunción de las negaciones.Para negar una conjunción, cambiamos “y” por “o” y negamos las proposiciones.
Negación de una disyunción.“Hoy es jueves o es un día nublado”
Negación:“Es falso que hoy sea jueves o esté nublado”
N A B
Todoslos
jueves
Díasnublados
N A B
Todoslos
juevesDías
nublados
N A B
Todoslos
juevesDías
nublados
Díasnublados
N A B
Todoslos
jueves
N A B
Todoslos
jueves
Díasnublados
Díasnublados
A B
Todoslos
jueves
N A B
Todoslos
jueves
Díasnublados
N A B
Todoslos
jueves
Díasnublados
=
Segunda Ley de DeMorgan:La negación de una disyunción, es la conjunción de las negaciones.Para negar una disyunción, cambiamos “o” por “y” y negamos las proposiciones.
N A B
Todoslos
jueves
Díasnublados
N A B
Todoslos
jueves
Díasnublados
“Todos” y “Ninguno” son cuantificadores que consideran la totalidad de los sujetos; los llamamos cuantificadores universales.
La negación de una proposición
es la
universal afirmativa particular negativauniversal negativa particular afirmativa
particular afirmativa universal negativaparticular negativa universal afirmativa
Implicación: dos proposiciones unidas por el conectivo lógico “Si… entonces”.
Si p entonces qp es la suposición o hipótesis,q es la conclusión.
Forma simbólica:
“El conjunto de números naturales menores que 6 es subconjunto del conjunto de números naturales menores que 10”
NNúmeros < 10
Números< 6
La implicación es verdadera si U
P
Q
El valor de verdad de la conversa no se deduce del valor de verdad de la implicación.El valor de verdad de la doble implicación es verdadero si es verdadera la implicación y la conversa.
La contrapositiva es equivalente a la implicación.La inversa es equivalente a la conversa.
Reglas de inferencia: argumentaciones válidas en forma de implicaciones.Ejemplo (regla de la cadena):a) Si x es elemento del conjunto R, entonces x es
elemento del conjunto S.b) Si x es elemento del conjunto S, entonces x es
elemento del conjunto T.Conclusión: Si x es elemento del conjunto R,
entonces x es elemento del conjunto T.
hipótesis conclusión
El silogismo es otra unidad básica en las demostraciones.
Premisa mayor:Si un número es múltiplo de 6, entonces es
múltiplo de 2Premisa menor:
18 es múltiplo de 6Conclusión:
18 es múltiplo de 2
Premisa mayor:Si un animal es un oso entonces le gusta la miel
Premisa menor:A mi animal preferido le gusta la miel
Conclusión:Mi animal preferido es un oso
La demostración matemática exige apoyar con una o varias razones cada afirmación que se haga.
Demostración a dos columnas: pruebe que 33,210 es múltiplo de 45Proposiciones Razones33,210 es múltiplo de 5
Sin un número termina en 0 entonces es múltiplo de 5
3+3+2+1+0=9 Hechos de la suma33,210 es múltiplo de 9
Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 9 entonces el número es múltiplo de 9
33,210 es múltiplo de 45
Si un número es múltiplo de 9 y también de 5 entonces es múltiplo de 45
Tomado de:
Matemáticas I, Libro de Texto, SEP, Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco René Zubieta.
