Matematika aktuaria

Solusi Masalah Pada Suku Bunga

Departemen Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Medan

2016

(Matematika Aktuaria) Solusi Masalah Pada Suku Bunga March 27, 2016 1 / 22

Kelompok 2

Fransiskus Romario (120803052)

Saverio F Manik (120803057)

Ezra Theresa (120803062)

Mexander Choterel (120803072)

Ayen Rizal Sihombink (120803077)

Anin Dita Safitri (130803002)

Agustiyani (130803007)


Ayuna Wulan Putri Siregar (130803012)

Rina Winda Sari Turnip (130803017)

Yogi Nugraha (130803027)

Dewi Mayani Zain (130803032)

Nurul Hidayah (130803037)

Ferninda (130803042)

Tengku Ardelina (130803047)


Oktariyani (130803052)

Jessa A Saragih (130803062)

Devi Alviolita Ls (130803067)

Latifah Hanum (130803072)

Fitri Ardianti (130803077)

Fariza Annisa Yusdi (130803082)

Serevina Jesika H (130803087)


Outline I

1 2.2 Memperoleh Hasil Numerik

2 2.3 Menentukan Masa Waktu

3 2.4 Masalah Dasar

4 2.5 Nilai dari Persamaan

5 2.6 Waktu yang Tidak Diketahui

6 2.7 Tingkat Suku Bunga yang Tidak Diketahui

7 2.8 Contoh Praktis


2.2 Memperoleh Hasil Numerik

Pada Bab 1 banyak jawaban-jawaban dari contoh-contoh dan latihan-latihan yangmelibatkan nilai-nilai yang dihimpun dan nilai-nilai yang diberikan dan juga melibatkan sukubunga dan di potong pada bentuk eksponensial. Ini dilakukan untuk fasilitas presentasi ataupenyajian dari prinsip-prinsip dasar tanpa perlu pembaca melakukan dengan jumlah yang taksemestinya pada komputasi aritmatika.

Alternatif pendekatan yakni menggunakan tabel bunga majemuk. Seperti, tabel yangterlihat di dalam Apendiks I dan nilai-nilai yang dimasukkan pada vn dan (1 + i)n, baik dalamfungsi-fungsi yang lain yang akan didefinisikan pada bab berturut-turut, untuk beberapaangka-angka bunga dan untuk nilai pada n dari 1 sampai 50. Juga, nilai-nilai yang bukanintegral yang diberikan untuk vk dan (1 + i)k untuk k = 1

2, 14

dan 112

. Penggunaan pada tabelbunga majemuk adalah pendekatan yang sesuai jika nilai-nilai wajib yang terlihat pada tabel.

Dan yang terakhir, jika tidak ada teknik-teknik diatas maka bisa gunakan aplikasinya, yakniperhitungan secara langsung dengan tangan yang masih bisa di digunakan. Mungkin ini wajibdigunakan pada deret ekspansi. Salah satu contoh akan mengevaluasi (1 + i)k denganmenggunakan Teorema Binomial.

(1 + i)k = 1 + ki+k(k−1)

2!i2 +

k(k−1)(k−2)3!

i3 + ... (2.1)

Contoh kedua akan menjadi ekδ

ekδ = 1 + kδ +(kδ)2

2!+

(kδ)3

3!+ ... (2.2)


Salah satu metode dari pengkreditan bunga yang biasa ditemui dalam praktek adalahdengan menggunakan bunga majemuk untuk periode integral dari waktu, tetapi untukmenggunakan bunga sederhana untuk setiap periode pecahan. Pendekatan ini setara denganhanya dengan menggunakan dua langkah pertama dari deret binomial dalam Rumus (2.1)asumsikan 0 < k < 1.

Hal ini menunjukkan bahwa penggunaan bunga sederhana untuk periode praktisi akhiradalah setara dengan melakukan interpolasi linear antara (1 + i)n dan (1 + i)n+1, dimana nbilangan bulat positif. Untuk melihat ini kita mulai dengan interpolasi linear.

(1 + i)n+k = (1− k)(1 + i)n + k(1 + i)n+1 (2.3)

= (1 + i)n[(1− k) + k(1 + i)]

= (1 + i)n(1 + ki) (2.4)

Sangat menarik untuk dicatat bahwa, dalam model analog, interpolasi linear untuk vn+k

adalah setara dengan menggunakan potongan sederhana selama periode pecahan akhir. Lalu,dimulai dengan interpolasi linear


vn+k = (1− d)n+k

= (1− k)(1− d)n + k(1− d)n+1 (2.5)

= (1− d)n[(1− k) + k(1− d)]

= vn(1− kd) (2.6)

Yang merupakan rumus jika potongan sederhana digunakan selama periode pecahan akhir.

Contoh 2.2 Temukan nilai akumulasi dari $5000 selama 30 tahun dan 4 bulan sebanyak 6% pertahun : (1) asumsikan bunga majemuk, dan (2) asumsikan bunga sederhana selama fraksiperiode terakhir.(1) Asumsikan bunga majemuk, jawabannya adalah

5000(1.03)60 2/3 = $30, 044.27

Perhitungan secara langsung.(2) Asumsikan bunga sederhana selama periode fraksi akhir, jawabannya adalah

5000(1.03)60(1.02) = $30, 047.18

Untuk jawaban 2 dari jawaban 1, di ilustrasikan perolehan bunga sederhana dengan nilaiakumulasi selama periode fraksi daripada bunga majemuk, walaupun perbedaan sangat kecil.


2.3 Menentukan Masa WaktuMetode dalam menghitung hari dalam jangka waktu investasi ada tiga, yaitu:

Metode pertama adalah dengan menggunakan jumlah hari yang tepat untuk periodeinvestasi dan menggunakan 365 hari dalam setahun. Bunga sederhana dihitung atas dasarini sering disebut bunga sederhana tepat dan sering dilambangkan dengan ”aktual /sebenarnya.”

Metode kedua mengasumsikan bahwa setiap bulan kalender memiliki 30 hari dan yangseluruh tahun kalender memiliki 360 hari. Bunga sederhana dihitung atas dasar ini seringdisebut bunga sederhana biasa dan sering dilambangkan dengan ”30/360.” Rumus untukmenghitung jumlah hari antara dua tanggal yang diberikan adalah

360(Y 2− Y 1) + 30(M2−M1) + (D2−D1) (2.7)

Dimana : M1 = Bulan dari tanggal pertamaD1 = Hari dari tanggal pertamaY 1 = Tahun dari tanggal pertamaM2 = Bulan dari tanggal keduaD2 = Hari dari tanggal keduaY 2 = Tahun dari tanggal kedua

Metode ketiga adalah hibrida dan menggunakan jumlah hari yang tepat untuk periodeinvestasi, tetapi menggunakan 360 hari dalam setahun. Bunga sederhana atas dasar inisering disebut Rule Banker dan sering dilambangkan dengan ”aktual / 360.” PeraturanBanker biasanya lebih menguntungkan untuk pemberi pinjaman daripada bunga sederhanabiasa, meskipun pengecualian memang ada.


Sebuah masalah lebih lanjut muncul di tahun kabisat. Dalam kebanyakan kasus, 29Februari dihitung sebagai hari yang memiliki 366 hari. Namun, dalam beberapa kasus, 29Februari dihitung sebagai hari, tapi tahun ini masih dihitung sebagai memiliki 365 hari. Dalamkasus lain, 29 Februari tidak dihitung sebagai hari, yaitu tidak ada bunga yang diperoleh.Penulis bahkan telah mengalami asumsi bahwa semua tahun memiliki 365 1

4hari! Sebuah

pendekatan yang seragam untuk tahun tidak tampak muncul dan basis perhitungan yangberbeda yang dihadapi dalam praktek. Perlu dicatat bahwa di bawah bunga sederhana biasa(30/360), tahun kabisat tidak relevan.

Contoh 2.3Carilah jumlah bunga 2.000 dollar yang dideposit pada 17 Juni akan diperoleh , jika uang

itu ditarik pada tanggal 10 September di tahun yang sama dan jika tingkat bunga adalah 8% ,dengan dasar sebagai berikut :(1) Bunga tepat sederhana (Aktual / sebenarnya),(2) Bunga biasa sederhana (301.360), dan(3) Aturan Banker (Aktual / 360).


Jawaban :

(1) Diketahui bahwa :

Banyaknya investasi = $2.000

10 September adalah 253 hari

17 Juni adalah 168 hari

Jumlah hari aktual periode investasi adalah 253− 168 = 85.

Jumlah hari dalam 1 tahun = 365 hari (asumsikan bahwa tahun yang dimaksud adalahbukan tahun kabisat).

Bunga = 8%⇒ 0.08.

Rumus yang digunakan : banyaknya investasi(%)×Bunga×[ periode investasijumlah hari dalam 1 tahun

]

Jadi, jawabannya adalah $2.000× 0.08× [ 85365

] = $37.26

(2) Untuk menghitung jumlah hari antara dua tanggal yang diberikan gunakan rumus (2.7).360(Y 2− Y 1) + 30(M2−M1) + (D2−D1)

Diketahui :

Y 1 = 2015 (asumsikan bahwa tahunnya adalah 2015)

Y 2 = 2015 (karena berada di tahun yang sama)

M1 = 6 (bulan Juni)

M2 = 9 (bulan September)


D1 = 17 (berada di hari ke-17 di bulan Juni)

D2 = 10 (berada di hari ke-10 di bulan September)

Sehingga, 360(2015− 2015) + 30(9− 6) + (10− 17) = 83.

Dimasukkan ke dalam rumus : banyaknya investasi(%)×Bunga×[ periode investasijumlah hari dalam 1 tahun

],

dengan jumlah hari dalam 1 tahun adalah 360 hari.Maka, di dapatlah hasil sebagai berikut : $2.000× 0.08× [ 83

360] = $36.89.

(3) Perhitungan dengan menggunakan aturan Banker, hasilnya adalah sebagai berikut:Diketahui bahwa :

Banyaknya investasi = $2.000

10 September adalah hari 253

17 Juni adalah hari 168

Jumlah hari aktual periode investasi adalah 253− 168 = 85.

Jumlah hari dalam 1 tahun = 360 hari (aturan Banker).

Bunga = 8%⇒ 0.08

Rumus yang digunakan : banyaknya investasi(%)×Bunga×[ periode investasijumlah hari dalam 1 tahun

].

Jadi, jawabannya adalah $2.000× 0.08× [ 85360

] = $37.78.Dengan demikian, perhitungan bunga dengan menggunakan aturan Rule Banker lebih besardaripada menggunakan bunga sederhana tepat atau bunga sederhana biasa.


2.4 Masalah DasarDiselesaikan menjadi hal yang paling sederhana, sebuah masalah bunga melibatkan 4 dasar:

1 Investasi Awal.

2 Panjang dari periode investasi.

3 Bunga rata-rata.

4 Nilai Akumulasi dari nilai pokok akhir pada periode investasi.

Pengamatan di bawah ini mungkin bukti yang bermanfaat di solusi masalah bunga:

Pembaca akan memiliki alat yang akan tersedia pada perhitungan keuangan.

Panjang periode investasi diukur dalam satuan waktu.

Sebuah masalah bunga dapat dilihat dari 2 pandangan, ketika itu mengandung sebuahtransaksi keuangan diantara 2 pihak, yang dipinjam dan peminjam.

Pada praktik aplikasi mengandung bunga dalam terminologi nya dapat menyebabkankebingungan.


2.5 Nilai dari PersamaanNilai sejumlah uang pada setiap titik waktu tertentu tergantung pada waktu yang telah

berlalu sejak uang itu dibayarkan di masa lalu atau pada waktu yang akan berlalu di masa depansebelum dibayar.

Prinsip ini sering ditandai sebagai pengakuan atas nilai waktu dari uang. Proses ini akanberbeda dengan perhitungan keuangan dimana tidak melibatkan efek bunga , dalam hal inidapat dikatakan bahwa perhitungan tidak mengakui adanya nilai waktu dari uang. ’Pengakuanatas nilai waktu dari uang’ mencerminkan efek dari bunga, tetapi tidak efek dari inflasi yangmengurangi daya beli uang dari waktu ke waktu.

Jumlah dua atau lebih kali cicilan yang dibayarkan dalam waktu yang sama tidak bisadibandingkan dengan semua jumlah yang dikumpulkan atau potongan harga pada tanggalumum. Tanggal yang umum disebut perbandingan tanggal , dan persamaan yang terakumulasiatau potongan harga setiap pembayaran untuk perbandingan tanggal tersebut disebutpersamaan nilai.


Suatu perangkat yang sering membantu dalam solusi dari persamaan nilai adalah diagramwaktu. Diagram waktu adalah sebuah diagram satu dimensi dimana unit diukur sepanjangwaktu adalah yang satu dimensi dan pembayaran ditempatkan di diagram tersebut di poin yangtepat. Dicatat bahwa pembayaran dalam satu arah ditempatkan di bagian atas diagram tersebutdan pembayaran ke arah lain ditempatkan di bagian bawah diagram. Perbandingan hari itudilambangkan oleh panah. Diagram waktu biasanya tidak diperlukan dalam masalah sederhana,namun membantu dalam solusi dari permasalahan yang lebih kompleks.

Salah satu sifat dari bunga majemuk adalah perbandingan tanggal tidak membuat adanyaperbedaan pada jawaban yang diperoleh. Dengan demikian, terdapat perbedaan persamaan nilaiuntuk setiap tanggal perbandingan, namun mereka semua menghasilkan jawaban yang sama.

Pembaca diingatkan bahwa contoh-contoh lainnya dari bunga , misalnya bunga sederhanaatau diskon sederhana, pilihan perbandingan tanggal apakah mempengaruhi jawaban yangdiperoleh. Kita harus mengetahui bahwa masalah yang melibatkan akumulasi nilai-nilai danpenyajian nilai-nilai yang sudah dipertimbangkan dalam dua bab pertama adalah contoh daripersamaan nilai.


2.6 Waktu yang Tidak Diketahui

Terkadang muncul situasi dimana beberapa pembayaran yang dilakukan pada berbagai haldalam suatu waktu akan digantikan oleh satu pembayaran secara numerik sama dengan jumlahpembayaran lainnya. Masalahnya adalah untuk menentukan hal waktu dimana satu pembayaranharus dilakukan sedemikian rupa sehingga setara nilainya dengan pembayaran yang dilakukansecara terpisah.

Diberikan masing-masing jumlah s1, s2, ..., sn harus dibayar pada waktu t1, t2, ..., tn.Masalahnya adalah untuk menemukan waktu t, sehingga s1 + s2 + ...+ sn dibayar pada waktu tsetara dengan pembayaran s1, s2, ..., sn yang dilakukan secara terpisah.Persamaan dasarnya adalah

(s1 + s2 + ...+ sn)vt = s1vt1 + s2vt2 + ...+ snvtn (2.8)

yang merupakan satu persamaan dalam satu t yang tidak diketahui.Sebagai perkiraan pertama, t sering dihitung sebagai rata-rata bobot dari berbagai waktu

pembayaran, dimana bobot-bobot tersebut adalah berbagai jumlah yang dibayar, yaitu :

t̄ = s1t1+s2t2+...+sntns1+s2+...+sn

=

n∑k=1

sktk

n∑k=1

sk

(2.9)

Perkiraan ini dinotasikan oleh t̄ dan sering disebut dengan metode penyetaraan waktu.


Akan memungkinkan untuk membuktikan bahwa nilai t̄ selalu lebih besar daripada nilai tsebenarnya, atau sebaliknya, dengan menggunakan metode penyetaraan waktu maka nilaisekarang lebih kecil daripada nilai sekarang sebenarnya.

Diasumsikan jumlah masing-masing s1 sama dengan vt1 , jumlah masing-masing s2 samadengan vt2 , dan seterusnya sampai dengan adanya jumlah masing-masing sn sama dengan vtn .Rata-rata aritmetik dari jumlah tersebut adalah

s1vt1+s2v

t2+...+snvtn

s1+s2+...+sn

Rata-rata geometrik dari jumlah tersebut adalah

vs1t1+s2t2+...+sntn

s1+s2+...+sn = vt̄

Namun, kita ketahui bahwa rata-rata aritmetik dari n bilangan positif, yang tidak semuanyasama, lebih besar daripada rata-rata geometrik, dan dengan demikian kita memiliki

s1vt1+s2v

t2+...+snvtn

s1+s2+...+sn> vt̄

atau

s1vt1 + s2vt2 + ...+ snvtn > (s1 + s2 + ...+ sn)vt̄


Sisi kiri adalah nilai sekarang sebenarnya yang melebihi nilai sekarang yang diperolehdengan metode penyetaraan waktu pada sisi kanan. Dengan demikian, nilai t dari Rumus (2.9)selalu lebih besar daripada nilai t sebenarnya dari Rumus (2.8).

Metode penyetaraan waktu berguna dalam menganalisis panjang rata-rata transaksikeuangan. Aplikasi ini akan dibahas lebih lanjut pada Bagian 9.8.

Pertanyaan menarik lainnya yang sering ditanyakan adalah berapa lama waktumenggandakan uang pada tingkat bunga tertentu. Kita bisa menganalisis masalah ini sebagaiberikut :

(1 + i)n = 2

atau

n loge(1 + i) = loge 2

diperoleh

n =loge 2

loge(1+i)(2.10)


Akan memungkinkan untuk menurunkan sebuah perkiraan ke hasil pasti yang diberikandalam Rumus (2.10) sebagai berikut :

n =loge 2

loge(1 + i)

=6931

i

i

loge(1 + i)

Faktor kedua dievaluasi untuk i = 8% adalah 1.0395. Dengan demikian kita memiliki

n =6931

i(1.0395)

=72

i(2.11)

Hal ini sering disebut aturan 72, sejak hal tersebut dapat segera diaplikasikan denganmembagikan 72 dengan tingkat bunga yang diekspersikan sebagai persentase(yaitu seperti 100i).


2.7 Tingkat Suku Bunga yang Tidak Diketahui

Terdapat empat metode untuk menghitung tingkat suku bunga yang tidak diketahui.

1 Metode pertama adalah dengan menyelesaikan persamaan untuk mencari nilai i dengancara langsung menggunakan kalkulator dengan fungsi eksponensial dan logaritma. Metodeini akan berguna jika pembayaran tunggal terlibat dan kadang-kadang dapat disesuaikandengan situasi lain juga.

2 Metode kedua adalah untuk menyelesaikan persamaan untuk mencari nilai i dengan teknikaljabar. Misalnya, persamaan nilai dengan eksponen yang dapat dipisahkan dapat puladitulis sebagai polinomial berderajat n dalam i Jika akar-akar polinomial dapat diperolehsecara aljabar, maka nilai i dapat ditentukan. Metode ini biasanya hanya digunakan untuknilai n yang kecil.

3 Metode ketiga adalah dengan menggunakan interpolasi linear yang terdapat dalam tabelsuku bunga. Teknik ini diilustrasikan di Subbab 2.6 ketika menentukan waktu yang tidakdiketahui dan dapat juga digunakan untuk masalah yang melibatkan tingkat suku bungayag tidak diketahui.

4 Metode keempat adalah metode pendekatan berurut / iterasi. Dalam menggunakanmetode iterasi untuk menyelesaikan tingkat suku bunga yang tidak diketahui, fungsi yangmelibatkan i dilambangkan dengan f(i) dan ditentukan dengan menggunakan persamaannilai dan iterasinya digunakan untuk mencari nilai i yakni f(i) = 0. Nilai dari pendekatanberurut akan berkurang jika nilai awal dekat dengan akar yang sebenarnya. Nilai awaldapat diperoleh dengan interpolasi linear di tabel suku banyak , yaitu dengan metodeketiga yang telah dijelaskan di atas.


2.8 Contoh PraktisTujuan bagian ini adalah untuk membiasakan pembaca dengan beberapa perbedaan

menghadapi latihan. Contoh bagian ini tidak sama sekali menyeluruh, tetapi merekamenjelaskan untuk beberapa ’ dunia nyata” aplikasi dari bunga. Beberapa istilah untuk jenisinvestasi dimana pembaca mungkin tidak biasa digunakan di dalam bagian ini, contoh ”sertifikat deposito” dan ” pasar uang dana”.

Contoh :

Satu jenis iklan yang sering dilihat di surat kabar mengutip dua tingkat tarif berbeda padadeposito. Sementara telah ditulis, pengarang sedang memperhatikan dua iklan. Pertama , suatubank sedang mengutip suatu sertifikat satu tahun dari deposito yang mempunyai ’7, 91%’ tarifatau ’8, 15%’ keuntungan. Kedua, seseorang menyimpan dan meminjam uang yang sedangmengutip suatu pasar uang yang memiliki ’8, 00%’ tarif bunga atau ’8, 30%’ keuntungantahunan.’

Apa maksud yang berkaitan dengan dua angka-angka ini ? menurut ilustrasi diatas bentukangka adalah tarif nominal, sementara yang terakhir adalah suatu tingkat bunga efektif tahunan.Pembaca perlu memverifikasi bahwa i(4) = 0, 0791 adalah setara dengan i = 0, 0815 dan1(12) = 0.0800 adalah setara dengan i = 0, 0830. Di kasus terdahulu frekuensi daripencampuran dinyatakan dalam iklan, tetapi dalam kasus terakhir tidak. Frekuensi bulanandipastikan dengan percobaan dan error.



Education

Matematika aktuaria