Makalah Aljabar

Polinomial (Suku Banyak)

Disusun Oleh :

Kelompok 2

1. Qonitha Amalia (06081281419030)

2. Desty Rupalestari ( 0608128419031)

3. Sholihatun Nisa’ (06081281419033)

Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sriwijaya

Polinomial ( Suku Banyak )

1. Pengertian dan Nilai Suku Banyak

A. Pengertian Suku Banyak

Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak

dalam x berderajat n dinyatakan dengan:

an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + .... + a1 x+a0

Dengan syarat n ∈ bilangan cacah an , an−1 , …a0 disebut koefesien-koefesien suku

banyak, a0 disebut suku tetap dan an ≠ 0.

Contoh :

1) 6x3 – 3x2+ 4x – 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3adalah 6, koefisien

x2 adalah –3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya –8.

2) 2x2 – 5x + 4 – 7x adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu

7x atau 7

x−1dengan pangkat –1 bukan anggota bilangan cacah.

B. Nilai Suku Banyak

Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.

f (x)=an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+....+a1 x+a0

di mana n bilangan cacah dan ∈ an ≠ 0. Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku

banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.

1) Cara substitusi

Misalkan suku banyak f (x)=ax3+bx2+cx+d. Jika nilai x diganti k, maka

nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f (k )=ak3+bk2+ck+d. Agar lebih

memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.

1. f (x)=2 x3+4 x2 – 18 untuk x = 3

2. f (x)=x4+3 x3 – x2+7 x+25 untuk x = –4

Penyelesaian :

1. f (x)=2 x3+4 x2 – 18

f (3)=2. 33+4.32 – 18

f (3)=2.27+4.9 – 18

f (3)=54+36 – 18

f (3)=72

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.

2. f ( x )=x4+3x3 – x2+7 x+25

f ( – 4 )=(−4 )4+3(−4)3 – (−4)2+7 (– 4)+25

f (−4 )=256 –192 –16 – 28+25

f (– 4)=45

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = –4 adalah 45.

2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik

Misalkan suku banyak f (x)=ax3+bx2+cx+d . Jika akan ditentukan nilai suku banyak

x=k , maka:

f (x)=ax3+bx2+cx+d

f (x)=(ax2+bx+c )x+d

f (x)=((ax+b)x+c )x+d

Sehingga f (k )=((ak+b)k+c )k+d .

Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut:

bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan

menjadi pembagi-pembagi berderajat

1. Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga

konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x,

dan konstanta)

2. Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien

derajat tertinggi P(x) Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3

+ P1.S2 + S1 dan seterusnya.

Contoh soal

Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.

1. f (x)=x3+2 x2+3 x – 4 untuk x=5

2. f (x)=2 x3 – 3 x2+9x+12untuk x = 12

Penyelesaian :

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.

2.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 12 adalah 16.

3) Cara koefisien tak tentu

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

contoh soal

1. 2x3−3 x2+ x+5dibagi 2x2-x-1 menggunakan cara koefesien tak tentu

karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

Maka:

2 x3 – 3 x2 + x + 5 = (2 x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

Ruas kanan:

= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d

= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:

x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Jadi:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

C. Operasi Antar Suku Banyak

1. Penjumlahan, Pengurangan, dan Pembagian

Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat

ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis dari kedua suku

banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan

dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu.Dalam mengalikan suku-suku

dari kedua suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian

terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.

Contoh:

Diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan

F (x)=x3+x2−4 dan g(x )=x3−2 x2+x+2

a) Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya b) Tentukan f(x) - g(x) serta derajatnya

c) Tentukan f(x). g(x) serta derajatnya

Penyelesaian:a) F (x)+g(x )=( x¿¿3+x2−4)+( x3−2x2+x+2)¿

= (x¿¿3+x3)+( x2−2 x2 )+x+(−4+2)¿

= 2 x3−x2+x – 2

Jadi, f (x)+g(x )=2 x3−x2+x – 2dan f (x)+g(x ) berderajat 3

b) F (x) – g(x )=( x¿¿3+x2−4)−(x3−2 x2+x+2)¿

=(x¿¿3−x3)+¿¿

=3 x2−x – 6

Jadi, f (x)−g (x)¿3 x2− x –6dan f (x) – g(x )berderajat 2

c) F (x) . g (x)¿¿¿

=x3 ( x3−2x2+x+2 )+ x2 ( x3−2 x2+x+2 )−4¿¿

=x6−2 x5+x4+2x3+x5−2 x4+x3+2 x2−4 x3+8 x2−4 x−8

=x6+(−2 x5+x5 )+( x4−2 x 4 )+(2 x3+x3−4 x3 ) (2x2+8 x2−4 x−8 )

= x6−x5−x4−x3+10 x2 – 4 x –8

Jadi, f (x) . g¿ dan f(x).g(x) berderajat 6

2. Kesamaan suku banyak

Suku banyak f(x) memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x) , jika kedua suku banyak

itu mempunyai nilai yan sama untuk semua variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku

banyak f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai

F (x)≡ g(x )

Dengan lambang ≡ dibaca kesamaan

Misalkan diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) yan dinyatakan dalam bentuk

umum.

f(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + .... + a1 x+a0

g(x) =bn xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + .... + b1 x+b0

Jika f(x) mempunyai kesamaan dengan g(x), ditulis f(x) ≡g(x), maka berlaku hubungan

an=bn, an−1=bn−1 , …, a2=¿ b2, a1=¿ b1, dan a0=¿ b0

Contoh

Tentukan nilai a pada kesamaan x2−3 x+14=(x−1)(x−2)+3a

Penyelesaian: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan

x2−3 x+14 ≡ x2−3 x+2+3a

x2−3 x+14=x2−3 x+(2+3 a)

Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :

14=2+3a

a=4

Jadi, nilai a pada kesamaan x2−3 x+14≡ x2−3 x+2+3a adalah a=4

3. Pembagian suku banyak

A. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian

Sebagai ilustrasi, misalkan bilangan 4369 dibagi dengan 14 dapa diselesaikan dengan

metode bersusun pendek seperti diperlihatkan pada bagan dibawah. Dari bagan ini terlihat

bahwa 4369 dibagi dengan 14 memberikan hasil 312 denan sisa pembagian 1.

4.369=14 x 312+1

yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa pembagian

Dengan demikian dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.

Yang dibagi=pembagi xhasil bagi+sisa pembagian

Ternyata pembagian bilangan bersusun pendek dapa diaplikasikan pada pembagian

suku banyak. Sebagai ilustrasi, misalnya suku banyak x3−7 x2+4 x+50 dibagi dengan

x−3 akan diselesaikan dengan metode bersusun pendek.

hasil bagi

yang dibagi

pembagi

Contoh : sisa pembagian

Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian

suku banyak f (x)=2x3+4 x2−18 oleh x−3

Penyelesaian

Hasil bagi

Yang dibagi

Pembagi

Sisa pembagian

Dari bagan diatas,diperoleh hasil baginya 2 x2+10 x+30dengan sisa pembagian72.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear (ax+b)

Pembagian suku banyak dengan pembagi (x – k ) yang telah kamu pelajari, dapat

dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ax+b).

Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.

Suku banyak f (x) dibagi (x – k ) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k)

sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga f (x)=(x – k )h(x)+ f (k ). Pembagian

suku banyak f(x) dibagi (ax + b), dapat diubah menjadi bentuk f (x) dibagi

x – (−ba

) Berarti, nilaik=ba , sehingga pada pembagian suku banyak f (x) tersebut

dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.

f (x)=x(−ba

)h(x) f (−−ba

)

f (x)=(x+ ba) . h(x)+ f (−b

a)

f (x)=1a(ax+b). h(x )+ f −b

a¿

f (x)=(ax+b .) h (x)a

+ f (−ba

)

Suku banyak f (x) dibagi (ax+b) menghasilkan h(x)

a sebagai hasil bagi dan F (−b

a)

sebagai sisa pembagian, sehingga f (x)=(ax+b) . h (x)a

+ f (−ba

) . Untuk lebih jelasnya,

perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh

Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.

1. f (x )=2 x3+x2+5 x – 1dibagi (2x –1)

2. f (x )=2 x3+x2+x+10dibagi(2 x+3)

Penyelesaian

1. f (x)=2x3+x2+5 x – 1 dibagi (2 x –1)dengan cara horner sebagai berikut.

f ( x )=(x – 12 )( 2 x2+2x+6 )+2

¿( 2 x−12 ) (2 x2+2 x+6 )+2

¿(2 x – 1)(x2+x+3)+2

2. f (x)=2x3+x2+x+10 dibagi (2 x+3) dengan cara horner sebagai berikut.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (ax2+ bx + c)

Pembagian suku banyak dengan a x2+bx+c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan

cara biasa apabila a x2+bx+c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax2+ bx + c dapat

difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Misalkan, suatu suku banyak f (x) dibagi a

x2+bx+c dengan a ≠ 0 dan dapat difaktorkan menjadi (ax – p1)(x – p2). Maka, pembagian

tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

Contoh soal :

1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika x4+x2−16 dibagi oleh x2+3 x+2

Karena x2+3 x+2 dapat difaktorkan , maka ada 2 cara penyelesaiannya :

1. cara susun biasa

2. cara horner

x2+3 x+2√x 4+ x2−16 = x2−6 x+17 cara susun

x4+6 x3+2 x2

−6 x3−x2−16

−6 x3−18 x2−12 x

17 x2−12 x−16

17 x2+51 x+34

−63 x−50

Jadi hasil dari pembagian x4+x2−16 oleh x2+3x+2 ialah

x2−6 x+7 dan sisanya −63 x−50

2. Pembagian (x3– x2 + 4x – 4) oleh (x2 – 1) dapat dituliskan sebagai berikut:

P(x) = (xx2 – 1 ) H(x) + sisa

= (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)

untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(1) ) = A1 + A0

untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1)) = – A1 + A0

Dari pembagian Horner ini diperoleh :

Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1x, yaitu –5 + 5x.

3. Tentukan cara Horner 2 x3−3 x2+x+5dibagi 2x2-x-1

P(x) = 2 x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P1: 2x + 1 = 0 → x = –½

P2: x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

Teorema Faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi

dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Tips:

Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan

mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa =

0

Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1

Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka

pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian dari x3 – 2 x2 – x + 2 = 0

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1

adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x3 – 2 x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1 x = 2 x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

Menguraikan Dalam Faktor

Ia. ab + ac – ad = a (b+c-d)

Ib. ac+ ad+bc+bd = a (c+d) + b(c+d)

= (a+b) (c+d)

II. A2−B2 = (A+B) (A-B)

III.A2 ± 2 AB+B2 = ( A ± B)2

IVa. A3 + 3A2 B+3 A B2+B3 = ( A+B)3

IVb. A3 - 3A2 B+3 A B2−B3 = ( A−B)3

Va. A3 - B3= (A-B) (A2+ AB+B2)

Vb. A3 + B3= (A+B) (A2−AB+B2)

VIa. An −Bn = (A-B) ( An−1+ An−2+…+Bn−1)

VIb. A2 n−B2n= ( A+B ) ( A2n−1−A2 n−2+…−B2n−1 )

VIc. A2 n+1+B2 n+1=( A+B ) ¿)

VII. A2+( p+q ) A+ pq=( A+ p )(A+q)

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

1. Pada persamaan berderajat 3 :

ax3+ bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = −ba

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = ca

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = −da

2. Pada persamaan berderajat 4:

ax4 + bx3 + cx2+ dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = −ba

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = ca

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = −da

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = ea

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk

persamaan berderajat 5 dan seterusnya

(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian Istimewa :

Latihan Soal :1. Hitunglah!

a. (a−b+c)10−(−a+b−c)10 ; b. (a−2 b−3 c)7−(−a+2b+3 c)7.

2. Buktikanlah bahwa (−1)n(n+1 )=1.3. ( x4−3 x3+4 x2+7 x−9 ) : ( x−5 ) . Kerjakan secara Horner ! 4. Tetapkan harga k dan l agar, x5−4 x4+7 x3−9 x2+kx+ ldapat dibagi oleh (x−2)2 .

5. Tentukan harga A dan B, agar berlaku :

A(2x-3)+ B(x+2)= 5x-11

6. Buktikan bahwa a3+b3+c3−3 abc dapat dibagi dengan a+b+c, tanpa melakukan

pembagian tersebut.

7. Hitunglah sisa pembagian x6−1 oleh ( x+1 )(x−2)

Djabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini :

8. 3 ab3−b2 (2 a2+3b )+2a2 (2 a+b2−3 )−3b3(a−1)9. (x2−2 xy+ y2)(x2−3 x2 y+3 x y2− y3)

Tetapkanlah hasil bagi-hasil bagi yang berikut :

10. (a3−5 a2−4 a−40 ) :(a+4)

Kunci Jawaban :

1. A. 0

B.2(a−2 b−3c)7

2.(−1)n(n+1)=1 ¿

n=ganjil

(−1 ) ganjil2 (−1 )ganjil=1

(−1)ganjil (−1)ganjil=1

(−1 ) (−1 )=1

n=genap

(−1 ) genap2

(−1)genap=1

¿1) (-1) = 1

3. ( x3+2 x2+14 x+77 ) ( x−5 )+376

4. k=0 dan l=12

5. A=43

dan B=73

6. clue :(a+b+c)3=a3+b3+c3−3abc(a+b+c)

7. 11 x2+10 x−18. 4 a3−6 a2

9. x4−3x4 y+9 x3 y2−2x3 y−7 x2 y3+x2 y2−5 x y4−3x2 y3− y5

10. h asil bagi x2−9 x+32 sisa−168

DAFTAR PUSTAKA

Usodo,budi dan Sutrima.2009.Wahana MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengan

Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam.Jakarta: CV.HaKa MJ.

Widjenes,P.1968.Aljadbar Rendah. Djakarta: PradnjaPramita

Wirodikromo,sartono.2007.Matematika untuk Sma Kelas XI.Jakarta: Erlangga.

.