1. Las cnicasCreado por: Isabel Carretero Rodrguez Ral Segui Hontanilla Aldo Mendoza Herrero 1-12-20101 BACHILLERATO CCNNindice

2. Secciones cnicas de un cono (dibujo de unasuperficie cnica y el corte de los planos con dichasuperficie obtenida la elipse, la hiprbola y laparbola) Elipse: Definicin, parmetros, estudio analtico,trazado y ejemplos reales. Hiprbola: Definicin, parmetros, estudio analtico,trazado y ejemplos reales. Parbola:Definicin, parmetros, estudio analtico,trazado y ejemplos reales. Hoja ralizda en el visionado del videdo en clase. Opinin personal acerca del trabajo realizado.SECCIONES CNICAS DE UN CONO 3. ELIPSEDEFINICIN:es un lugar geomtrico de dos puntos del plano cuya suma de las distancias a dospuntos fijos, llamados focos, es constante. 4. PARMETROS:-F1 y F2 son puntos fijos, los focos de la elipse.-La recta que contiene a los se llama eje focal.-A, B, C y D son los vrtices de la elipse.-El segmento AB es el eje mayor y el segmento CD es el eje menor.-El punto de interseccin de los dos ejes, es el centro. d(F1, F2)= 2c d(A, B)= 2a d(C, D)= 2bESTUDIO ANALTICO:con la frmula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos suspuntos.Cambia sobre le grfico los valores de las coordenadas ( x, y), y da los parmetros dela elipse(a, b, c), observando la posicin que adopta el punto P y obtenemos la ecuacinde la elipse:TRAZADOS: Trazado de la elipse por puntos:situamos los focos trazado un arco de centro C y radio a. Situamos dos puntos al 5. azar entre el foco y el centro de la curva. Cuantos mas puntos tracemos, mas facilnos resultar el dibujo final nos resultara el dibujo final de la elipse. Trazamosarcos pinchando en los focos F y F`. Unimos los puntos calculados y los extremosde los ejes. Trazdo de una elipse por haces proyectivos:trazamos el rectngulo AOCE, y fividimos los lados AO y AE en un mismo nmerode partes iguales. Segudamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc, yen sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetir paralos cuatro cuadrantes de la elipse. Trazado de la elipse mediante radios vectores:Teniedno en cuenta la definicin de la elipse, como el lugar geomtrico de lospuntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del ejemayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya sumasea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor, 1, 2, 3etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1-B1, A2-B2,A3-B3, y as sucesivamente, determinando los puntos 1`, 2`, 3`, etc. de la elipse.Con cada pareja de radios vectores, se determinarn cuatro puntos de la elipse,uno en cada cuadrante de la misma.Cuanto mayor sea el nmero de puntos, mayor ser la precisin del trazado de laelipse, que deber realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, oplantillas de curvas especiales. Trazado de la elipse por envolventes:Esta contruccin se basa en el hecho de que la circunferencia principal de unaelipse, es el lugar geomtrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los 6. focos a las tangentes a la elipse.Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P,indicando en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P laperpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse.Repitiendo esta operacin, ontendremos una serie de tangentes que irnenvolviendo a la elipse. Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines:comenzaremos trazado las ciercunferenciad de centro 0, y diametros AB y CD.Seguidamente trazaremos radios como el 01, que corta a las circunferenciasanteriores en los puntos 1 y 2. Por dichos puntos trazaremos las parallas a CD yAB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse.El nmero de radios trazados, sern los necesarios para definir suficientemente laelipse. Trazado de la elipse a partir de dos dimetros conjugados por tringulossemejantes afines:partiendo de los ejes conjugados A`B`y C`D`, comenzamos trazando la 7. circunferencia de centro 0 y dimetro A`B`. Sobre la circunferencia anterior,trazaremos cuerdas perpendiculares a A`B`, como la 1-2. Uniendo 2 con C`y 1 conD`, obtendremos los tringulos 02C`y 01D`. Dolo restar contruir en el resto decuerdas tringulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al tringulo02C`, obteniendo as puntos de la elipse. Mtodo del jardinero:Para trazar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitudigual al eje mayor, colocamos ese extremo sobre los focos y extiramos la cuerdapara dibujar la curva.EJEMPLOS REALES: rbitas planetarias:las rbitas de los planetas al rotar alrededor del sol son elpticas. El sol estara 8. situado en uno de sus focos. La excentridad es proxima al cero, es decir se acercabastante a una circunferencia. Formas cirularesLa representacin de cualquier forma circular que no observamos frontalmente, esuna elipse. Bovedas elipsoidalespermiten a dos personas situadas en los focos, mantener una conversacin sin quelas personas mas proximas se enteren.HIPRBOLADEFINICIN:es el lugar geomtrico de los puntos tal que el valor absoluto de la diferencia de sus 9. distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.PARMETROS: F y F`son los focos, los puntos fijos de la hiprbola. La recta que une los focos F yF, se llama eje focal. Los vrtices V1 y V2, son los dos puntos de interseccin del eje focal con la hiprbola. El punto medio del segmento que une los focos en el centro de la hiprbola. Las dos recta a las que la hiprbola se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas se denominan asntotas. Situando la hiprbola en unos ejes cartesianos y su centro sobre el origen de coordenadas, se cumple que: d( F,F`)= 2c d(V1, V2)=2aESTUDIO ANALTICO:tomando una hiprbola cuyo centro es el origen de coordenadas, sus focos estnsituados en los puntos F y F`. Se cumple que la diferencia de las distancias decualquier punto de la hiprbola, P (x, y), al os focos. Obtenemos la ecuacin reducidade la hiprbola:TRAZADOS: Trazado por puntos a partir de los ejes:los datos son: 2a=AB y 2c=FF`. 10. Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radios A1 y centros en F y F`se trazandos arcos.Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radiso B1 y centros F y F`se trazan dosarcos que se cortan con los anteriores en puntos de la hiprbola.Se repite el proceso varias veces y se unen los puntos con plantilla. Trazado de la tangente y normal a la hiprbola en un punto P de ella:La tangente y la normal en un punto P de la hiprbola, al igual que en la elipse, sonlas bisectrices de los ngulos que forman los radios vectores r y r del punto P. 11. Trazado por papiroflexia:El doblez es una tangente a la hiprbola, y a su vez, eje de simetra entre el puntoP (foco de la elipse) y los puntos de la circunferencia de papel.EJEMPLOS REALES: Iluminacin:la luz que proyecta la lampara troncocnica sobre una pared paralela a si eje, tieneforma de hiprbola. 12. Reloj solar:la sombra que proyecta una barilla recta clavada perpenducularmente sobre unplano, tien forma de hiprbola. Por ello los relojes solares tienen esa disposicin.La sombra arrojada cada da es diferente al anterior. En el grfico adjunto seencuentra las siete lneas de declinacion comunes, esto e, la lnea para cada uno delos solsticios, equinocios, y la supuesta entrada del sol en cada uno de los signos delzodaco. Telescopiso de tipo cassegrainfue inventado en 1672 por el fsico francs N. Cassegrain. La incorporacin delespero hiperblico, reduce considerablemente su tamao. Telescopios de tipoCassegrain estn en funcionamiento en algunos de los observatorios astronmicosms importantes del mundo.. PARBOLADEFINICIN: 13. es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco, yde una recta que se denomina directriz.PARMETROS:- F es el foco de la parbola y D es la directriz. A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p. La recta que pasa por F y es perpendicular a D es el eje. El vrtice es el punto V, que es la intersecin del eje con la parbola. Si situamos la parbola en unos ejes cartesianos, con vrtice en el origen decoordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que: D: y = -P/2ESTUDIO ANALTICO:Tomando un punto P(x, y), de una parbola cuyo vrtice es el origen de coordenadas,V(0,0), y su eje se sita sobre el eje Y, obtenemos la ecuacin reducida de la parbola:TRAZADOS:-Trazado de una parbola por puntos:Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vrtice V es el punto medio del segmento 14. AF.Se trazan varias perpendiculares al eje, del vrtice a la derecha.Con centro en F y radio A1=r, se corta a dicha perpendicular, obteniendo el punto P ysu simtrico, que son puntos de la curva; se obtiene as r= PF = PN, segn la definicinde la curva.Esta operacin se repite para obtener nuevos puntos que se unen con plantilla decurvas. Trazado de la tangente y normal en un punto M de la parbola: La tangente t en un punto M de la parbola es la bisectriz de los radios vectoresMN y MF; la normal n es perpendicular a la tangente 15. EJEMPLOS REALES: Superficies parablicas: 16. Reflejan las radiaciones paralelas al eje sobre su foco y viceversa, propieda que seutiliza para fabricar: Antenas parablica, espejos, calefactores, faro, lentes,hornos solares, centrales electricas parablicas, etc. Iluminacinla forma que adopta la proyeccin de un foco puntual sobre un plano paralelo a unlado del foco, es una parbola. Trayectoria de proyectilesTambin es parablica la trayectoria que describen los proyectiles. Intenta clavarla flecha en la diana eligiendo el ngulo y lanzndola. Diseoes utilizda frecuentemente en la arquitectura moderna y en diseo industrial. 17. CAPTULO 5: DEL BALONCESTO A LOS COMETASMATERIAL PARA EL ALUMNO.1- Hoy vamos a hablar de: la cnica2- Cules de las curvas mencionadas se ven el el vaso? Un crculo y un elipse3- Qu instrumento se utiliza para dibujar las cnicas sobre una pared? Lmparas4- Son siempre tiles los estudios de un matemtico? No5- Apolonio de prgamo es el autor del mas importante tratado de la antigedaddedicado a las frmulas.6- De donde procede el nombre de cnicas? Del cero7- Quin utiliz por primera vez las cnicas? Para que? J.Kepler, para calcular latrayectoria de la tierra alrededor del sol.8- Qu propiedad geomtrica caracteriza a las elipses? Que tien dos centroselipticos.9-Dnde encontramos elipses? En las estaciones de metro, la arquietecturarenacentiasta, el baln de ruttbi, piedras...10- Dnde aparece la parbola? En el baloncest, en la fuente cuando suben elagua, en el futbol.11-Quin descubrio la parbola? Galileo al principio del siglo XVIIOPININ PERSONAL 18. Este trabajo que hemos realizado nos a parecido muy interesante porquenos hemos dado de muchas cosas de nuestro alrededor que se componende todas la figuras cnicas. Estara bien que todo el mundo supiese algoacerca de las cnicas y de las situaciones en las que se representa.El caso mas curioso para nuestra opinin es el ejemplo de la estacin detren, ya que es un lugar muy transitado, y la mayoria de la gente no sabeesa representacin cnica.Lo mas complicado que nos a resultado hacer en este trabajo ha sido lostrazados de la hiperbola.