[Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh

MATHEDUCARE.COMBÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn : Gv.PHẠM PHÚC THỊNH

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT BÌNH DƯƠNG 530 Đại lộ Bình Dương, P.Hiệp Thành ,TX. Thủ Dầu Một - Bình Dương ĐT: 0650.822847 – Fax: 0650.825992 – Email: [email protected]

Website://www.ktkt.edu.vn

Biên soạn: Gv.Phạm Phúc Thịnh

Lưu hành nội bộ – Tháng 08/2009


Trang 2

LỜI MỞ ĐẦU

Bài giảng môn TOÁN CAO CẤP A1 được biên soạn theo chương trình đào tạo

dành cho các lớp Cao đẳng kỹ thuật và Cao đẳng kinh tế của Trường Cao đẳng Kinh

Tế Kỹ Thuật Bình Dương.

Nội dung chính bao gồm 7 chương như sau :

• Chương 1: Số phức

• Chương 2: Hàm số

• Chương 3: Giới hạn và liên tục của hàm số

• Chương 4: Đạo hàm và vi phân của hàm số

• Chương 5: Nguyên hàm và tích phân

• Chương 6: Giải phương trình vi phân

• Chương 7: Chuỗi số

Đây là tài liệu tóm tắt những nội dung chính mà sinh viên cần phải nắm được

khi học môn toán cao cấp A1, vì vậy nội dung từng bài sẽ rất cô đọng. Để sử dụng tốt

tài liệu này, sinh viên cần lưu ý những điểm chính sau

1. Kết hợp tốt nội dung tài liệu này với việc nghe giảng viên giảng bài trên

lớp. Sinh viên có thể không cần phải ghi lại nội dung chính của bài học

do giảng viên trình bày trên lớp, mà chỉ cần ghi lại các kiến thức mở

rộng, các ví dụ minh họa cho các kiến thức đã được trình bày trong tài

liệu.

2. Sinh viên cần hiểu rõ và nắm chắc các kiến thức được trình bày trong tài

liệu, vì đây là những kiến thức sẽ phải sử dụng tới để bổ trợ cho các môn

học chuyên ngành.

3. Cần thực hiện đầy đủ các bài tập đã được chọn và đưa vào phần cuối tài

liệu để có thể hiểu tốt và biết cách vận dụng những kiến thức đã học vào

việc giải quyết những vấn đề cụ thể.

4. Trong quá trình học tập trên lớp, sinh viên có thể trao đổi thêm với giảng

viên nhằm đạt được hiệu quả cao nhất trong học tập

Giáo trình toán Cao cấp A1 này được phân ra 2 phần : Lý thuyết và bài tập giúp

cho sinh viên tự rèn luyện kỹ năng làm bài tập trong giờ thực hành cũng như ở nhà.


Trang 3

Trong quá trình biên soạn bài giảng mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc

chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, mọi ý kiến đóng góp xin gửi về Khoa đại

cương Trường Cao Đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Bình Dương.

Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô, các bạn sinh viên. Bình Dương, ngày 15 tháng 8 năm 2009 NGƯỜI BIÊN SOẠN KIỂM TRA DUYỆT P.CHỦ NHIỆM KHOA PHÓ HIỆU TRƯỞNG

PHẠM PHÚC THỊNH


Trang 4

MMMMỤỤỤỤC LC LC LC LỤỤỤỤCCCC

CHƯƠNG I : SỐ PHỨC ........................................................................................................................8

I - CÁC ĐỊNH NGHĨA .....................................................................................................................8

1 . Định nghĩa đơn vị ảo : ..............................................................................................................8

2 . Định nghĩa số phức : ................................................................................................................8

3 . Định nghĩa 2 số phức bằng nhau: .............................................................................................8

4 . Định nghĩa 2 số phức liên hợp: ................................................................................................8

5 . Modun của số phức ..................................................................................................................8

II - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC .............................................................................8

1 . Phép cộng : ...............................................................................................................................8

2 . Phép nhân với số thực: .............................................................................................................8

3 . Phép nhân: ................................................................................................................................8

4 . Phép chia: .................................................................................................................................8

III - BIỂU DIỄN HÌNH HỌC & LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ................................................9

1 . Dạng lượng giác của số phức: ..................................................................................................9

2 . Định lý ......................................................................................................................................9

3 . Hệ quả ......................................................................................................................................9

IV - CĂN BẬC n (��CỦA SỐ PHỨC Z .......................................................................................9

1 . Định nghĩa: ...............................................................................................................................9

2 . Định lý : ....................................................................................................................................9

V - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ..............................................................................................9

CHƯƠNG II : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ..........................................................................................10

I - CÁC ĐỊNH NGHĨA ...................................................................................................................10

1 . Định nghĩa hàm 1 biến thực : .................................................................................................10

2 . Định nghĩa đồ thị của hàm số : ...............................................................................................10

3 . Hàm số đơn điệu.....................................................................................................................10

4 . Hàm số chẵn và hàm số lẻ. .....................................................................................................10

5 . Hàm số bị chặn. ......................................................................................................................10

6 . Hàm số tuần hoàn. ..................................................................................................................10

7 . Hàm số hợp. ...........................................................................................................................11

8 . Hàm số ngược. .......................................................................................................................11

9 . Hàm lượng giác ngược. ..........................................................................................................11

II - HÀM SỐ SƠ CẤP..................................................................................................................11

1 . Hàm số sơ cấp cơ bản:............................................................................................................11

2 . Hàm số sơ cấp: .......................................................................................................................11

III - HÀM HAI BIẾN ....................................................................................................................12

1 . Khái niệm về hàm hai biến. ....................................................................................................12


Trang 5

2 . Biểu diễn hình học của hàm hai biến số. ................................................................................12

CHƯƠNG III : GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ .......................................................13

I - GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN ...................................................................................................13

1 . Định nghĩa giới hạn hàm 1 biến : ...........................................................................................13

2 . Các tính chất. ..........................................................................................................................13

3 . Các giới hạn cơ bản. ...............................................................................................................14

4 . Vô cùng bé – Vô cùng lớn : ...................................................................................................14

II - SỰ LIÊN TỤC HÀM MỘT BIẾN .........................................................................................15

1 . Các định nghĩa :......................................................................................................................15

2 . Các định lý về sự liên tục của hàm số : ..................................................................................16

3 . Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục ................................................................................16

III - GIỚI HẠN & SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 2 BIẾN ...............................................................17

1 . Giới hạn của hàm 2 biến : ......................................................................................................17

2 . Sự liên tục của hàm 2 biến : ...................................................................................................17

CHƯƠNG IV : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ ...................................................................18

I - ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN ..................................................................................................18

1 . Các định nghĩa :......................................................................................................................18

2 . Các định lý : ...........................................................................................................................18

3 . Ý nghĩa hình học của đạo hàm. ..............................................................................................18

4 . Quy tắc tính đạo hàm. ............................................................................................................19

5 . Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. ........................................................................19

6 . Đạo hàm cấp cao của hàm một biến .......................................................................................19

II - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN .................................................................................................20

1 . Định nghĩa (vi phân cấp 1) : ..................................................................................................20

2 . Điều kiện khả vi. ....................................................................................................................20

3 . Qui tắc tính vi phân. ...............................................................................................................20

4 . Định nghĩa vi phân cấp cao : .................................................................................................20

5 . Các định lý cơ bản của phép tính vi phân. .............................................................................21

III - ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HAI BIẾN ...............................................................21

1 . Định nghĩa đạo hàm riêng: .....................................................................................................21

2 . Định nghĩa vi phân của hàm 2 biến : ......................................................................................22

3 . Điều kiện khả vi .....................................................................................................................22

4 . Đạo hàm của hàm hợp ............................................................................................................22

IV - ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN CẤP CAO CỦA HÀM 2 BIẾN ........................................22

1 . Đạo hàm riêng cấp cao ...........................................................................................................23

2 . Vi phân cấp cao ......................................................................................................................23

V - CỰC TRỊ CỦA HÀM 2 BIẾN ...............................................................................................23


Trang 6

1 . Định nghĩa cực trị của hàm 2 biến .........................................................................................23

2 . Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. ..............................................................................24

VI - CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ....................................................................................................24

1 . Định nghĩa cực trị có điều kiện của hàm 2 biến .....................................................................24

2 . Một số phương pháp tìm cực trị có điều kiện của hàm 2 biến ...............................................24

VII - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MIỀN ĐÓNG VÀ BỊ CHẶN. .25

1 . Nhận xét .................................................................................................................................25

2 . Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm z = f(x, y)trong miền đóng và bị chặn D, với biên của miền D có phương trình là ϕ(x, y) = 0. .................................................................25

CHƯƠNG V : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN ......................................................................26

I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH ........................................................26

1 . Các định nghĩa :......................................................................................................................26

2 . Định lý và bảng tích phân cơ bản : .........................................................................................26

3 . Các phương pháp tính tích phân thường sử dụng :.................................................................27

II - TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ......................................................................................................28

1 . Định nghĩa tích phân xác định : .............................................................................................28

2 . Điều kiện khả tích. .................................................................................................................28

3 . Tính chất của tích phân xác định. ...........................................................................................29

4 . Công thức Newton-Leibniz. ...................................................................................................29

III - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH. .....................................................................29

1 . Tính diện tích hình phẳng .......................................................................................................29

2 . Tính độ dài đường cong phẳng ...............................................................................................30

3 . Tính thể tích vật thể ................................................................................................................30

4 . Tính diện tích mặt tròn xoay ..................................................................................................30

IV - TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 ........................................................................................30

1 . Các định nghĩa ........................................................................................................................30

2 . Điều kiện hội tụ. .....................................................................................................................31

V - TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 ........................................................................................32

1 . Định nghĩa ..............................................................................................................................32

CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ..............................................................................33

I - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .........................................................................................33

1 . Các định nghĩa :......................................................................................................................33

2 . Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm: ..................................................................................33

II - CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 THƯỜNG GẶP ....................................33

1 . Phương trình phân ly biến số..................................................................................................33

2 . Phương trình vi phân đẳng cấp ...............................................................................................34

3 . Phương trình vi phân tuyến tính .............................................................................................34


Trang 7

4 . Phương trình Bernoulli ...........................................................................................................35

CHƯƠNG VII : LÝ THUYẾT CHUỖI ..........................................................................................36

I - CHUỖI SỐ .................................................................................................................................36

1 . Các định nghĩa :......................................................................................................................36

2 . Tính chất : ..............................................................................................................................36

II - CHUỖI SỐ DƯƠNG .............................................................................................................36

1 . Định nghĩa : ............................................................................................................................36

2 . Các định lý so sánh : ..............................................................................................................36

3 . Các tiêu chuẩn hội tụ : ............................................................................................................37

III - CHUỖI CÓ SỐ HẠNG VỚI DẤU BẤT KỲ - CHUỖI ĐAN DẤU .....................................37

1 . Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ : .........................................................................................37

2 . Chuỗi đan dấu : ......................................................................................................................37

3 . Chuỗi lũy thừa : ......................................................................................................................38


Trang 8

CHƯƠNG I : SỐ PHỨC

I - CÁC ĐỊNH NGHĨA

1 . Định nghĩa đơn vị ảo : − Đơn vị ảo, ký hiệu là i, là một số có bình phương bằng -1. − i2 = -1

2 . Định nghĩa số phức : − Biểu thức có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực được gọi là một số

phức, ký hiệu là z. Trong đó a gọi là phần thực của z (ký hiệu Rez), b gọi là phần ảo của z (ký hiệu Imz).

− z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức. − Tập tất cả số phức được ký hiệu là C

3 . Định nghĩa 2 số phức bằng nhau: − Cho 2 số phức z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i, số z1 và z2 được gọi là bằng

nhau (ký hiệu z1 = z2) khi và chỉ khi a1 = a2; b1 = b2

− z1 = z2 �

1 1

1 2

a a

b b

= =

4 . Định nghĩa 2 số phức liên hợp: − Cho 2 số phức z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i, số z2 được gọi là số phức liên

hợp của z1 được (ký hiệu 1z ) khi và chỉ khi a1 = a2; b1 = b2

− z1 = z2 �

1 1

1 2

a a

b b

= = −

5 . Modun của số phức − Mô đun của z = a + bi ký hiệu là z và được tính như sau :

- 2 2z a b= +

II - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho 2 số phức z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i

1 . Phép cộng : z1 ± z2 = a1 ± a2 + i (b1 ± b2 )

2 . Phép nhân với số thực: cz = ca + icb (c∈R)

3 . Phép nhân: z1.z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i (a1b2 + a2b1 )

4 . Phép chia:

1 1 22

2 2

z z z

z z=


Trang 9

III - BIỂU DIỄN HÌNH HỌC & LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1 . Dạng lượng giác của số phức: Cho số phức z = a + ib , đặt tương ứng z với véc

tơ OM��

= (a,b) gọi là biểu diễn hình học của số phức z. − Góc φ được gọi là Argument của z . − r chính là modun của số phức z − z = r(cosφ + isinφ ) gọi là biểu diễn lượng

giác của số phức z.

2 . Định lý

Cho 2 số phức z1 = r1 (cosφ1 + i sinφ1 ); z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2 ), ta có

− z1.z2 = r1r2 [cos(φ1 +φ2 ) + i sin (φ1 +φ2 )]

− 1 1

2 2

z r

z r= [cos(φ1 -φ2 ) + i sin (φ1 -φ2 )]

3 . Hệ quả

Cho số phức z = r (cosφ + i sinφ) ta có

IV - CĂN BẬC n (√�� CỦA SỐ PHỨC Z

1 . Định nghĩa: ω được gọi là 1 căn bậc n của số phức z nếu ωn =z

2 . Định lý : Cho z = r (cosφ + i sinφ ) . Khi đó ta có

√�� √� �� 2�� 2�� ; �ớ� � � 0, � � 1�� V - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0;(a ≠ 0; a,b,c∈C ) . Khi đó nghiệm của

phương trình đã cho là x1,2=� !√∆#$ với ∆=b2 – 4ac và √∆ là căn phức.


Trang 10

CHƯƠNG II : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I - CÁC ĐỊNH NGHĨA

1 . Định nghĩa hàm 1 biến thực :

Cho X ⊂ R , một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với

mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y . Kí hiệu y = f(x) − x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc. − X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df .

− Tập Y = {y ∈ R \ y = f (x), x∈ Df} được gọi là miền giá trị của hàm số, kí

hiệu Rf .

2 . Định nghĩa đồ thị của hàm số : Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M( x, f(x)) trong hệ toạ độ

Descartes. G={M(x;f(x); x∈ Df}.

3 . Hàm số đơn điệu.

− Hàm số y = f(x) được gọi là tăng trên tập E⊂Df , nếu với mọi x1, x2

∈E,x1 > x2 thì f(x1) ≥ f(x2).

− Hàm số y = f(x) được gọi là giảm trên tập E ⊂Df , nếu với mọi x1, x2 ∈E, x1 > x2 thì f(x1) ≤ f(x2).

− Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đơn điệu trên E ⊂Df nếu nó tăng hoặc giảm trên E.

Chú ý : Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi như E = Df .

4 . Hàm số chẵn và hàm số lẻ. a . Tập đối xứng: Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc toạ độ O nếu với bất kỳ x∈ X thì –

x ∈ X. Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng. b . Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có: − Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = f(x). − Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = - f(x).

Chú ý : Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ.

5 . Hàm số bị chặn. − Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập X⊂Df nếu tồn tại số a ∈R sao cho f(x) ≥ a ∀x∈X. − Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên trên tập X⊂Df nếu tồn tại số b ∈R sao cho f(x) ≤ b ∀x∈X. − Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên tập X⊂Df nếu nó vừa bị chặn

trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số a, b∈R sao cho a ≤ f(x) ≤ b ∀x∈X.

6 . Hàm số tuần hoàn.


Trang 11

− Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số t ≠ 0 sao cho với mọi x∈Df ta luôn có x ± t ∈Df và f(x + t) = f(x).

− Số dương T nhỏ nhất (nếu có) trong các số t nói trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.

7 . Hàm số hợp. − Cho hai hàm số f(x) và g(x) thoả Rf ⊂Dg , khi đó hàm số hợp của f(x) và

g(x) là hàm số h(x) được xác định h(x) = g[f(x)] với mọi x∈Df . Kí hiệu h = g•f.

8 . Hàm số ngược. − Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn với mọi x1, x2∈Df và x1 ≠ x2 ta luôn có

f(x1) ≠ f(x2).Khi đó hàm số f(x) có hàm số ngược, kí hiệu là g(y) và được xác đinh bởi: x = g(y) với y = f(x).

Chú ý: − Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df . − Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x. − Điều kiện để hàm y = f(x) có hàm ngược là hàm f phải đơn điệu trong

miền xác định của nó.

9 . Hàm lượng giác ngược. − Hàm y = arcsinx là hàm ngược của y = sinx f : [-1,1] � [� '# , '#]

x ( y= arcsinx − Hàm y = arccosx là hàm ngược của y = cosx f : [-1,1] � [0, π] x ( y= arccosx − Hàm y = arctanx là hàm ngược của y = tanx f : R � [� '# , '#]

x ( y= arctanx − Hàm y = arccotx là hàm ngược của y = cotx f : R � [0, π]

x ( y= arccotx

II - HÀM SỐ SƠ CẤP

1 . Hàm số sơ cấp cơ bản: Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số :

− Hàm số luỹ thừa: y = xα (α ∈R). − Hàm số mũ: y = ax ( 0 < a ≠ 1 ) − Hàm số logarithm: y = logax ( 0 < a ≠ 1 ) − Các hàm số lượng giác: y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = cotgx − Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx , y = arccosx , y = arctgx ,y =

arccotgx.

2 . Hàm số sơ cấp: − Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các

phép toán đại số thông thường ( cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.


Trang 12

III - HÀM HAI BIẾN

1 . Khái niệm về hàm hai biến. − Cho tập D⊂ R2 , một hàm số f xác định trên tập D là một quy tắc sao cho

ứng với mỗi phần tử (x, y) thuộc D có duy nhất một giá trị thực z. − Kí hiệu: z = f(x, y) được gọi là hàm 2 biến xác định trên tập D và tập D

được gọi là miền xác định của hàm f. − Miền xác định của hàm z = f(x, y) là tập hợp các điểm (x,y) trong mặt

phẳng Oxy sao cho biểu thức f(x, y) có nghĩa. Ví dụ − Hàm z = x2 + y2 có miền xác định D là cả mặt phẳng Oxy.

− Hàm z =)1 � *# � +# có miền xác định D là một hình tròn có bán kính bằng 1.

− Hàm z = ln(x + y) có miền xác định D là nửa mặt phẳng nằm về phía trên của đường phân giác của góc phần tư thứ II và IV.

2 . Biểu diễn hình học của hàm hai biến số. − Giả sử z = f (x, y) là hàm hai biến xác

định trên miền D. Ta vẽ hệ trục tọa độ Decac vuông góc Oxyz trong không gian. Từ điểm M(x,y) bất kỳ trong miền D, ta kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxy) và trên đường thẳng đó lấy điểm P sao cho MP = z = f (x, y) . Như vậy điểm P (x, y, z) ∈ Oxyz.

− Khi điểm M biến thiên khắp miền D thì tập hợp các điểm P tương ứng trong không gian Oxyz vẽ nên một mặt cong nào đó mà hình chiếu của nó trên mặt phẳng(Oxy) là miền xác định của hàm. Vậy đồ thị của hàm z = f (x, y)thường là một mặt cong S trong không gian Oxyz mà hình chiếu của nó trên mp(Oxy) là miền xác định của hàm.

Ví dụ − Hàm z = 1 - x - y có đồ thị là một mặt của tam giác với các đỉnh (1, 0, 0)

; (0, 1, 0) ; (0, 0, 1) (h4.3). − Hàm z = x2 + y2 có đồ thị là nửa trên mặt nón (h4.4).

− Hàm z = )1 � *# � +# có đồ thị là nửa trên mặt cầu tâm O bán kính bằng 1 (h4.5).


Trang 13

CHƯƠNG III : GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

I - GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận

điểm x0, không nhất thiết phải xác định tại x0.

1 . Định nghĩa giới hạn hàm 1 biến : a . Định nghĩa 1

Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi ε > 0 cho

trước (bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thỏa 0 < |x − x0 |< δ ta có

|f(x) − L|<ε .

Ký hiệu : 0

lim ( ) hay f(x) L x x

f x L→

= → khi x �x0

b . Định nghĩa 2 Số L được gọi là giới hạn phải ( trái ) của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với

mọi ε > 0 cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thỏa x0 < x < x0 + δ ( x0 −δ < x < x0 ) ta có |f(x) − L|<ε.

Ký hiệu : 0 0

lim ( ) ( lim ( ) ) x x x x

f x L f x L+ −→ →

= =

c . Định nghĩa 3

Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → ∞ nếu với mọi ε > 0 (bé

tùy ý) tồn tại số M > 0 ( lớn tùy ý) sao cho với mọi x thoã x >M ta có f(x) −

L < ε .

Ký hiệu : lim ( ) hay f(x) L x

f x L→∞

= → khi x �∞

2 . Các tính chất. − Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. − Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→x0 và L > a (hay L < a) thì trong

một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x)<a). − Nếu f(x) ≤ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và ta có

0

lim ( )x x

f x a→

= ; 0

lim ( )x x

g x b→

= thì a ≤b.

− Nếu f(x) = C ( C là hằng số) thì 0

lim ( ) lim ( ) x x x

f x f x C→ →∞

= =

− Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận x0

thì0

0lim ( ) ( ) x x

f x f x→

=

− Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện : g(x) ≤

f(x) ≤ h(x) và 0 0

lim ( ) lim ( ) x x x x

g x h x L→ →

= = thì 0

lim ( ) x x

f x L→

=

− Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tuỳ ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x→ + ∞ . Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về


Trang 14

giá trị tuyệt đối, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x → - ∞ .

− Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x→x0 thì tổng, hiệu, tích,thương của chúng cũng có giới hạn khi x→x0 và ta có:

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x). lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).

- 0

( ) l imf ( )lim

( ) l img( )x x

f x x

g x x→=

(0

lim ( ) 0 x x

g x→

≠

3 . Các giới hạn cơ bản.

Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thường gặp các dạng vô định

như ,, ; -- ; ∞ � ∞; 1- ta phải tìm cách khử dạng vô định đi. Sau đây là một số ví

dụ minh họa

4 . Vô cùng bé – Vô cùng lớn : a . Định nghĩa 1 Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé( hay vô cùng lớn) khi x → x0 nếu

0

lim ( ) 0x x

f x→

= (hay 0

lim ( )x x

f x→

= +∞ ). ( Ở đây x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn).


Trang 15

Nhận xét :

Nếu hàm f(x) là một VCB khi 0 x → x và khác 0 thì /012� là một VCL Khi x

→ x0 . Nếu f(x) là một VCL khi x → x0 thì /012� là một VCB x → x0.

• Một hằng số có trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số dù có trị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL.

b . Định nghĩa 2 Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0 . Ta bảo chúng là các VCB(VCL)

so sánh được nếu tồn tại giới hạn 0

( )lim

( )x x

f xc

g x→= khi đó

• Nếu c ≠ 0 ,c ≠ ∞thì ta nói rằng f(x) và g(x) là những VCB(VCL) cùng cấp. • Nếu c = 0 thì ta nói rằng f(x) một VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn) so với

g(x). • Nếu tồn tại r > 0 sao cho f(x) cùng cấp với [g(x)]r thì ta nói rằng f(x) là VCB

(VCL) cấp r đối với g(x). Ví dụ

Khi x → 0 thì 1 – cos x và x2 là hai VCB cùng cấp với nhau. Vì

c . Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0 , đồng thời f(x), g(x) đều là tổng

của nhiều VCB thì giới hạn của tỉ số 012�312� bằng giới hạn của tỉ số giữa hai VCB có

cấp thấp nhất ở tử số và ở mẫu số.

Ví dụ : d . Vô cùng bé tương đương Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0, ta bảo chúng là các VCB tương

đương khi x → x0 . nếu: 0

( )lim 1

( )x x

f x

g x→= . Kí hiệu: f(x) ∼ g(x).

Ví dụ : e . Các tính chất.

• Tổng của hai VCB là một VCB (khi x → x0 ) . • Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x→ x0). •

0

lim ( )x x

f x L→

= (hữu hạn) khi và chỉ khi f(x)– L = α(x) là VCB khi x→ x0 .

II - SỰ LIÊN TỤC HÀM MỘT BIẾN

1 . Các định nghĩa : a . Định nghĩa 1 Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được

gọi là liên tục tại x0 nếu 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

b . Định nghĩa 2 Hàm f(x) được gọi là liên tục trái ( phải )tại điểm x0 nếu:


Trang 16

• Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải ) điểm x0. •

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x−→

= (0

0lim ( ) ( )x x

f x f x+→

= .

c . Định nghĩa 3 - Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi

x thuộc khoảng (a; b). - Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;

b) và liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b. d . Định nghĩa 4 - Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x và x0

được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x). Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại: • Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số

f(x)khi x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x),còn ω =

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x− +→ →

− được gọi là bước nhảy của

f(x) tại x0. Nếu 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x− +→ →

= được gọi là điểm gián đoạn bỏ

được. • Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là

điểm gián đoạn loại hai. Chú ý: Điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục

trái và liên tục phải tại x0 . Hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

2 . Các định lý về sự liên tục của hàm số : a . Định lý 1 − Nếu f(x), g(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f(x) ±

g(x));tích (f(x) . g(x)); thương 012�312� (g(x)≠0) cũng là những hàm số liên

tục tại điểm x0. b . Định lý 2 − Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x =

x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0.

c . Định lý 3 − Cho f(x) xác định, liên tục trong

khoảng I=(α,β), cho a,b∈I và f(a).f(b)<0. Khi đó ∃c∈(a,b) sao cho f(c)=0

d . Hệ quả − Cho f(x) xác định, liên tục trong khoảng [a,b] khi đó f(x) lấy tất cả các

giá trị từ f(a) đến f(b). e . Định lý 4 − Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b]. − Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất.

3 . Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục

f(a)

f(b)

f(c)


Trang 17

− Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b)).

III - GIỚI HẠN & SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 2 BIẾN

1 . Giới hạn của hàm 2 biến : a . Định nghĩa 1 − Trong R2 cho điểm M0(x0, y0) và số thực ε > 0, lân cận của điểm M0 bán

kính ε là tập hợp Nε(M0)={M∈R2 : MM0<ε}, với

MM0=)1* � *,�# � 1+ � +,�#. b . Định nghĩa 2 − Số L (hữu hạn ) được gọi là giới hạn của hàm z = f(x, y) khi (x, y) dần về

(x0,y0) nếu với mọi số dương ε , tồn tại số dương δ =δ (ε ) sao cho với

mọi điểm (x, y)thoả 0<)1* � *,�# � 1+ � +,�# 5 δ thì f(x,y) − L< ε

− Ký hiệu : 0

0

lim ( , )x xy y

f x y L→→

=

− Ví dụ :

Chú ý: Giới hạn của hàm hai biến có các tính chất tương tự như hàm

một biến.

2 . Sự liên tục của hàm 2 biến : a . Định nghĩa 1 − Trong R2 cho điểm M0(x0, y0) và số thực ε > 0, lân cận của điểm M0 bán

kính ε là tập hợp Nε(M0)={M∈R2 : MM0<ε}, với

MM0=)1* � *,�# � 1+ � +,�#.


Trang 18

CHƯƠNG IV : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ

I - ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN

1 . Các định nghĩa : a . Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) có miền xác định D⊆R; x0∈D. f được gọi là có đạo

hàm tại điểm x0 nếu 0

0

x x0

f (x) f (x )lim

x x→

−−

tồn tại hữu hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên

là f’(x). − Ký hiệu ∆y = f (x) − f (x0) là số gia của y, ∆x = x − x0 là số gia của x.

Khi đó: f'(x0)= x 0

ylim

x∆ →

∆∆

Chú ý :

- Ta có thể kí hiệu đạo hàm của hàm số dưới các dạng sau : y’; dy df (x)

;dx dx

;

f’(x). - Giá trị đạo hàm tại điểm x0 của hàm số được biểu diễn như sau :

0x xy '

=;

0 0x x x x

dy df (x);

dx dx= =

; f’(x0).

b . Định nghĩa 2 Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và tại ∀ x > x0 ( hay ∀ x < x0 ). Nếu

giới hạn ' '0 0 0 00 0

x 0 x 0

f (x x) f (x ) f (x x) f (x )lim f (x ) hay ( lim f (x )

x x+ −+ −∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ −= =

∆ ∆tồn tại

hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải ( hay đạo hàm trái) của hàm f(x) tại điểm x0.

c . Định nghĩa 3: − Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm thuộc khoảng đó. − Hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng

(a, b) và có đạo hàm phải tại a, có đạo hàm trái tại b. d . Định nghĩa 4: − Nếu f’(x)=∞ (hay -∞) thì f(x) gọi là có đạo hàm vô cùng tại x=x0.

2 . Các định lý : a . Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x là hàm số f(x) có

đạo hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau. b . Định lý 2 Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân

cận của nó, nếu hàm f(x)có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x0.

3 . Ý nghĩa hình học của đạo hàm. f’(x0) là hệ số góc của góc tạo bởi tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0, y0) với chiều

MATHEDUCARE.COMBÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

dương của trục Ox. Nếu f(x) có đạ

Oy.

4 . Quy tắc tính đa . Định lý về Giả sử f(x), g(x) là các hàm s

hiệu,tích, thương của chúng c

b . Định lý đạo hàm cNếu hàm số u = u(x) có

chứa điểm u0 = u(x0

f[u(x)] có đạo hàm tạc . Định lý đạo hàm cGiả sử hàm y = f(x) có hàm ng

x0 và f’(x0)≠0 thì g(y) có

5 . Bảng đạo hàm c

6 . Đạo hàm cấp cao c

Biên so

ạo hàm vô cùng tại x=x0 thì lúc đó tiếp tuy

đạo hàm. đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương2 hàm s

f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, khi a chúng cũng có đạo hàm tại x và:

o hàm của hàm hợp: u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm f(u) xác 0) và hàm f(u) có đạo hàm tại điểm u0 ại điểm x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0). o hàm của hàm ngược:

hàm y = f(x) có hàm ngược là x = g(y). Nếu hàm f(x) có

ì g(y) có đạo hàm tại y0 = f(x0) và g’(y0) =

o hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản.

p cao của hàm một biến

Biên soạn : Gv.PHẠM PHÚC THỊNH

Trang 19

p tuyến song song với

ng2 hàm số: i x, khi đó các hàm tổng,

, hàm f(u) xác định trong khoảng thì hàm hợp h(x) =

u hàm f(x) có đạo hàm tại


Trang 20

a . Định nghĩa đạo hàm cấp hai của hàm một biến Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a, b), ta gọi

f’(x) là đạo hàm cấp 1của hàm f(x). Bản thân f’(x) cũng là hàm số nên nó có thể có đạo hàm,nếu hàm f’(x) có đạo hàm tại x thuộc khoảng (a, b) thì ta gọi đạo hàm của

hàm f’(x) là đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) và kí hiệu y”=f”(x)=2 2

2 2

d (y) d f

dx dx=

b . Định nghĩa đạo hàm cấp n của hàm một biến Đạo hàm cấp n của hàm f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của nó.

Ký hiệu : y(n)=f(n)(x)=

n n

n n

d (y) d f

dx dx=

c . Quy tắc − (f+g)(n)= f(n) + g(n)

− (fg)(n)=n

k (n k) (k)n

k 0

C f g−

=∑

II - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

1 . Định nghĩa (vi phân cấp 1) : Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Cho x một số gia

∆x tuỳ ý, nếu tại x số gia của hàm số ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) viết được dưới dạng : ∆y = A∆x +α(∆x), trong đó A là đại lượng không phụ thộc vào ∆x và α(∆x) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x ( nghĩa là α(∆x)→0 khi ∆x →0 ) thì ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 và đại lượng A ∆ x được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0.

Kí hiệu: dy = A∆x . Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra ∆y = dy +α (∆x) hay ∆y − dy =α (∆x) .

Vậy nếu f(x)khả vi thì số gia của hàm số sai khác vi phân một lượng vô cùng bé không đáng kể. Do đó ta có: ∆y ≈ dy khi ∆x →0 .

2 . Điều kiện khả vi. a . Định lý về điều kiện khả vi: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x là f(x) có đạo hàm

hữu hạn tại điểm x. Khi đó ta có: df = f '(x)∆x b . Chú ý: Ta xét hàm f(x) = x ⇒ f ' (x)= 1⇒df = dx = 1.∆x = ∆x , tức là số gia ∆x của

biến độc lập trùng với vi phân dx của nó. Khi đó công thức vi phân của hàm f(x) có dạng: df = f '(x) dx .

3 . Qui tắc tính vi phân. a . Định lý: − Giả sử f(x), g(x) là các hàm số khả vi, khi đó ta có: d(f ± g) = df ± dg d(fg) = gdf + fdg

2

f gdf fdgd

g g

−=

(g≠0) − Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có

df[u(x)] = f’[u(x)]dx = f’(u).u’(x).dx = f’(u).du

4 . Định nghĩa vi phân cấp cao :


Trang 21

− Vi phân cấp hai của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp một, kí hiệu: d2f(x).

− Vi phân cấp n của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp n - 1 của hàm f(x).Kí hiệu: dnf(x).

Ta có: dnf(x) = f(n)(x).dxn.

5 . Các định lý cơ bản của phép tính vi phân. a . Định nghĩa Hàm số f(x) đạt cực đại ( hay cực tiểu) tại điểm x0∈(a, b)∈Df nếu tồn tại

một lân cận của điểm x0 sao cho với mọi x thuộc lân cận đó ta có: f(x)≤f(x0) (hay f(x)≥f(x0))

Điểm x0 gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm số, điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị hàm số tại điểm cực đại (hay cực tiểu) gọi là giá trị cực đại (hay cực tiểu) và gọi chung là giá trị cực trị.

b . Định lý Fermat Nếu hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), đạt cực đại hay cực tiểu tại

điểm x0 ∈(a, b) và tồn tại f '(x0) thì f '(x0) = 0. c . Định lý Cauchy Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b)

và g'(x) ≠ 0 với ∀x∈(a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho:

d . Định lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b) thì

tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho f (b) f (a)

f '(c)b a

−=

−

Ý nghĩa: Trên cung AB (với A(a,f(a)) và B(b, f(b)) có thể tìm được ít nhất một điểm M mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB.

e . Định lý Rolle Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và f(a) =

f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho f’(c) = 0. Ý nghĩa: Trên cung AB (với A(a,f(a)) và B(b, f(b)) có thể tìm được ít nhất

một điểm M mà tại đó tiếp tuyến song song với trục Ox. f . Định lý Qui tắc L’Hospital thứ hai Giả sử : − f(x) và g(x) là các hàm số khả vi trong lân cận của điểm x0 .

- 0 0x x x xlim f (x) lim g(x)→ →

= = ∞

− g'(x) ≠ 0 ở trong lân cận của x0.

− 0x x

f '(x)lim A

g '(x)→=

Khi đó 0x x

f (x)lim A

g(x)→=

III - ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HAI BIẾN

1 . Định nghĩa đạo hàm riêng:


Trang 22

Cho hàm z = f(x;y) xác định trong miền D và điểm (x0, y0)∈D. Cố định y = y0, nếu hàm f(x, y0) có đạo hàm theo biến x tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) theo biến x tại (x0, y0).

Cho hàm z = f(x;y) xác định trong miền D và điểm (x0, y0)∈D. Cố định x =

x0, nếu hàm f(x0, y) có đạo hàm theo biến y tại y = y0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) theo biến y tại (x0, y0).

Như vậy: Muốn tính đạo hàm riêng theo một biến số nào đó ta chỉ việc xem

hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó còn các biến khác xem như không đổi và áp dụng qui tắc tính đạo hàm đối với hàm một biến để tính đạo hàm riêng.

2 . Định nghĩa vi phân của hàm 2 biến : a . Định nghĩa 1 Xét hàm z = f(x; y) xác định tại điểm (x, y) và trong lân cận của nó, cho x

một số gia ∆x, cho y một số gia ∆y nếu số gia toàn phần của hàm z = f(x; y) tại điểm (x; y) tương ứng với các số gia ∆x, ∆y được viết dưới dạng:

∆z = A. ∆x + B. ∆y + α (∆x; ∆y) Trong đó A, B là những đại lượng không phụ thuộc vào ∆x, ∆y. Còn α(∆x;

∆y) là một vô cùng bé cấp cao hơn ( ) ( )2 2x y∆ + ∆ khi ∆x →0 và ∆y →0 .

Ta nói rằng hàm số z = f(x; y) khả vi tại điểm (x; y). Biểu thức: A.∆x + B.∆y gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f(x; y) tại điểm (x; y).

Ký hiệu : dz hay df(x; y) b . Định nghĩa 2 Nếu hàm z = f(x; y) khả vi tại mọi điểm (x; y) ∈ D thì ta nói rằng hàm z

=f(x; y) khả vi trong miền D.

3 . Điều kiện khả vi a . Định lý Điều kiện cần để hàm z = f(x, y) khả vi Nếu hàm z = f(x,y) khả vi tại điểm (x,y) thì tại điểm (x, y) hàm z = f(x, y)có

các đạo hàm riêng theo biến x, biến y và z z

dz x yx y

∂ ∂= ∆ + ∆

∂ ∂

Chú ý: vi phân của hàm z = f(x, y) thường được viết dưới dạng: z z

dz dx dyx y

∂ ∂= +

∂ ∂

b . Định lý điều kiện đủ để hàm z = f(x, y) khả vi Nếu tại điểm (x, y) hàm z = f(x; y) có các đạo hàm riêng theo biến x, y liên

tục thì hàm số z = f(x; y) khả vi tại điểm (x, y).

4 . Đạo hàm của hàm hợp Cho hàm số z = f(u; v) với u = u(x, y); v = (x; y) là các hàm số khả vi. Khi

đó ta có:

IV - ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN CẤP CAO CỦA HÀM 2 BIẾN


Trang 23

1 . Đạo hàm riêng cấp cao a . Định nghĩa 1 :

Giả sử hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng z z

;x y

∂ ∂∂ ∂

các đạo hàm riêng này

được gọi là các đạo hàm riêng cấp một của hàm z. Ta thấy các đạo hàm riêng này cũng là hàm theo biến x, y. Nếu chúng lại có đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hai của hàm z theo biến x, y.

b . c . Định nghĩa 2 : Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp (n – 1) của hàm z = f(x,y)

được gọi là các đạo hàm riêng cấp n của hàm z. d . Định lý Schwartz

Nếu hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai2 2z z

;x y y x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

đều liên tục

trong miền D thì trong miền đó 2 2z z

x y y x

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

2 . Vi phân cấp cao a . Định nghĩa 1 :

Giả sử hàm z = f(x, y) khả vi, 7� � 8982 7* � 898: 7+ được gọi là vi phân

toàn phần cấp một của hàm z. Vi phân toàn phần cấp một dz lại là hàm của hai biến x,y độc lập, nếu dz có vi phân toàn phần thì vi phân đó được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm z.

Ký hiệu :

b . Định nghĩa 2 : Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp (n – 1) là vi phân toàn phần

cấp n. Kí hiệu: dnz = d(dn – 1z)=; 882 7* � 88: 7+<= �

c . Các chú ý : − Công thức trên được hiểu một cách hình thức là luỹ thừa bậc n của nhị

thức, sau khi khai triển hàm z được đặt vào sau dấu ∂ . − Nếu hàm z = f(x, y) với x = x(s, t); y = y(s, t) thì công thức trên không

còn đúng khi n ≥ 2.

V - CỰC TRỊ CỦA HÀM 2 BIẾN

1 . Định nghĩa cực trị của hàm 2 biến a . Định nghĩa 1: Giả sử hàm z = f(x, y) xác định và liên tục trong miền D và điểm (x0,

y0)∈D. Ta nói hàm z = f(x, y) đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm (x0, y0) nếu tại mọi điểm (x; y) thuộc một lân cận nào đó của điểm (x0; y0) thì f( x, y) ≤ f(x0, y0) (hay f( x, y) ≥ f(x0, y0) ). Cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị của hàm số.

b . Định nghĩa 2:


Trang 24

− Điểm (x0, y0) được gọi là điểm cực trị của hàm số nếu hàm số đạt cực trị tại điểm (x0, y0).

− Điểm (x0, y0) được gọi là điểm dừng của hàm z = f(x, y) nếu >2?1*,, +,� � >:?1*,, +,� � 0. − Điểm (x0, y0) được gọi là điểm kỳ dị của hàm z = f(x, y) nếu >2?1*,, +,�

hay >:?1*,, +,� không tồn tại.

2 . Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. a . Định lý Điều kiện cần Nếu hàm z = f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0; y0) và tại đó tồn tại các đạo

hàm riêng >2?1*,, +,�, >:?1*,, +,� thì >2?1*,, +,� � >:?1*,, +,� � 0. b . Định lý Điều kiện đủ Giả sử hàm z = f(x, y) có điểm (x0, y0) là điểm dừng và các đạo hàm riêng

cấp hai liên tục trong lân cận của điểm (x0, y0) Ta đặt :

− Nếu B2 – AC < 0 và A < 0 thì z = f(x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0). − Nếu B2 – AC < 0 và A > 0 thì z = f(x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0). − Nếu B2 – AC = 0 thì ta chưa kết luận được gì về sự tồn tại cực trị của

hàm z = f(x, y) tại điểm (x0, y0). − Nếu B2 – AC > 0 thì z = f(x, y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0).

VI - CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

1 . Định nghĩa cực trị có điều kiện của hàm 2 biến Cực trị của hàm z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc ϕ(x, y) = 0 được gọi là

cực trị có điều kiện.

2 . Một số phương pháp tìm cực trị có điều kiện của hàm 2 biến a . Phương pháp thế Giả sử từ điều kiện ràng buộc ϕ(x; y) = 0 ta biến đổi được về dạng y = y(x)

(hay x = (y)). Khi đó việc tìm cực trị có điều kiện của hàm z = f(x, y) được quy về việc tìm cực trị tự do của hàm z = f(x, y(x)) (hay z = f(x(y),y).

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = )1 � *# � +# với điều kiện x + y - 1 = 0. b . Phương pháp nhân tử Lagrange Định lý về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị có điều kiện Cho điểm (x0, y0) là điểm cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện ràng buộc

ϕ(x, y) = 0. Giả sử: − Các hàm f(x, y) và ϕ (x, y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục ở trong

lân cận của điểm (x0, y0). − Các đạo hàm riêng �2? 1*,, +,� và �:? 1*,, +,� không đồng thời bằng 0. Khi đó sẽ tồn tại một số λ0 sao cho điểm (x0, y0, λ0) là điểm dừng của hàm

F(x, y, λ ) = f(x, y) + λ ϕ(x, y) ( Trong đó, số λ được gọi là nhân tử Lagrange, hàm F(x, y, λ ) được gọi là

hàm Lagrange). Định lý về điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị có điều kiện


Trang 25

Giả sử các hàm f(x, y) và ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai ở trong lân cận của điểm (x0, y0) và điểm (x0, y0, λ0) là điểm dừng của hàm Lagrange.Xét vi phân

Khi đó : − Nếu d2F(x0 ,y0)< 0 thì hàm f(x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0). − Nếu d2F(x0 ,y0)> 0 thì hàm f(x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0). − Nếu dấu của d2F(x0 ,y0) không xác định thì hàm f(x, y) không đạt cực trị

tại điểm (x0, y0). Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f(x, y) = xy với điều kiện ràng buộc

ϕ(x,y) = (x – 1)2 + y2 –1 = 0.

VII - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MIỀN ĐÓNG VÀ BỊ CHẶN.

1 . Nhận xét Hàm z = f(x, y) liên tục trên miền đóng và bị chặn trong miền D thì nó đạt ít

nhất một lần giá trị lớn nhất và một lần giá trị nhỏ nhất trong miền D. Nếu z = f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất tại một điểm trong miền D thì điểm đó phải là điểm cực trị của hàm. Ngoài ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm còn có thể đạt được ngay trên biên của miền D.

2 . Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm z = f(x, y)trong miền đóng và bị chặn D, với biên của miền D có phương trình là ϕϕϕϕ(x, y) = 0. − Tìm điểm dừng ở trong miền D, toạ độ điểm dừng (x,y) là nghiệm của hệ

@�A′ � B�C′ � BD − Tìm điểm dừng trên biên của miền D, toạ độ điểm dừng (x,y) là nghiệm

của hệ E�A′ � FGA′ � B�C′ � FGC′ � BG1A, C� � B D − Tính giá trị của hàm z tại tất cả các điểm dừng, giá trị lớn nhất (hay nhỏ

nhất) của hàm z tại các điểm dừng là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất) của hàm z trên miền D.

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm z = x2 – y2 trong hình tròn đóng x2 + y2 ≤ 4.


Trang 26

CHƯƠNG V : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

1 . Các định nghĩa : a . Định nghĩa 1 Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b)

nếu F'(x) = f (x) với ∀x∈(a,b) . Nếu hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x)trên khoảng (a, b) thì F(x) + C

cũng là nguyên hàm của hàm f(x). Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a,b) đều có thể biểu diễn dưới dạng (F(x) + C).

b . Định nghĩa 2 Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) được gọi là

tích phân bất định của hàm f(x).

Kí hiệu: ∫f (x)dx .

Chú ý : nếu hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) thì ∫f(x)dx = F(x) + C.

2 . Định lý và bảng tích phân cơ bản : a . Định lý Cho f(x) và g(x) là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng (a,b), khi đó:

[∫f(x)dx]’ = f(x) .

d∫f(x)dx = f(x)dx .

∫f'(x)dx = f (x) + C hay ∫df (x) = f (x) + C .

∫αf (x)dx =α ∫ f (x)dx (α ≠ 0) .

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f (x)dx + ∫g(x)dx . b . Bảng tích phân cơ bản Cho f(x) và g(x) là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng (a,b), khi đó:


Trang 27

3 . Các phương pháp tính tích phân thường sử dụng : a . Phương pháp đổi biến số Định lý :

Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C thì ∫f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt = F[ϕ(t)]+ C với ϕ (t) là hàm số có đạo hàm liên tục.

Dạng 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x), nếu hàm số hợp f[u(x)] với

u(x) là hàm khả vi thì :

∫f[u(x)]u'(x)dx = ∫f(u)du = F(u) + C = F[u(x)] + C Ví dụ :

Dạng 2:

Cho ∫f(x)dx , giả sử x=x(t) khả vi và có hàm ngược. Nếu f[x(t)].x'(t) có

nguyên hàm là hàm F(t) thì ∫f(x)dx = ∫f[x(t)]x'(t)dt = F(t) + C = F[t(x)]+ C .

Ví dụ : tính I=2 2a x dx−∫

b . Phương pháp tích phân từng phần Định lý : Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u' (x).v(x) có nguyên hàm. Khi đó u(x).v'

(x) cũng có nguyên hàm và ∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫u'(x).v(x)dx . Chú ý : Vì du = u'(x)dx và dv = v'(x)dx nên công thức trên thường được viết

dưới dạng ∫udv = uv − ∫vdu

Ví dụ : tính I=3x ln xdx∫


Trang 28

II - TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1 . Định nghĩa tích phân xác định : a . Định nghĩa 1 Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý

thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a= x0< x1< x2< …< xk <xk+1< …<xn = b. Trên mỗi đoạn [xi-1, xi] lấy điểm ξi( i = 1..n ) tuỳ ý, lập tổng In=

n

i ii 1

f ( ) x=

ξ ∆∑ và gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b].

Tăng điểm chia lên vô hạn (n →∞) sao cho max{Δxi }→0 với i =1..n, nếu

trong quá trình đó In →I ( hữu hạn ) mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b]

và cách lấy điểm ξi thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b].

Khi đó ta nói hàm f(x) khả tích trên [a, b]. b . Nhận xét

− b

a

f (x)dx∫ nếu có thì chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và hai cận a, b không phụ

thuộc vào biến số, tức là b

a

f (x)dx∫ =b

a

f (t)dt∫

− Khi định nghĩa tích phân xác định ta coi a < b. Nếu a > b thì

b

a

f (x)dx∫ =

-a

b

f (x)dx∫ và khi a = b thì

b

a

f (x)dx∫ =

a

a

f (x)dx∫

2 . Điều kiện khả tích. a . Định lý 1: − Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu khả tích trên đoạn đó . b . Định lý 2: − Nếu trên đoạn [a, b], hàm số f(x) bị chặn và chỉ có một số điểm gián

đoạn thì nó khả tích trên đoạn đó. c . Định lý 3 : − Nếu hàm số f(x) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên

đoạn đó. d . Định lý 4: ( Các tính chất của hàm khả tích ) − Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì các hàm f (x) và k.f(x) cũng

khả tích trên đoạn [a, b]. − Nếu hai hàm số f(x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì tổng, hiệu và

tích của chúng cũng khả tích trên đoạn [a, b].


Trang 29

− Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn [α,β ]⊂ [a,b]. Ngược lại, nếu ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ và f(x) khả tích trên từng đoạn nhỏ đó thì f(x) khả tích trên đoạn [a, b].

3 . Tính chất của tích phân xác định. Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên đoạn [a, b], khi đó:

7/ ( Định lý giá trị trung bình của hàm số ) Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M ∀x∈[a,b] thì tồn

tại số µ ∈[m,M] sao cho b

a

f (x)dx∫ = µ(b-a)

Đặc biệt: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại số c∈[a,b] sao

cho b

a

f (x)dx∫ =f(c)(b-a)

Giá trị f(c)= b

a

1f (x)dx

b a− ∫ được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) ký

hiệu là f .

4 . Công thức Newton-Leibniz. Định lý : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì

Nhận xét: Công thức này cho phép tính tích phân xác định thông qua

nguyên hàm của hàm f(x) mà không cần sử dụng định nghĩa.

III - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH.

1 . Tính diện tích hình phẳng


Trang 30

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a ; x = b ; y = 0 được tính theo công thức:

Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x) ; y = g(x) và các đường thẳng x= a ; x = b được tính theo công thức:

2 . Tính độ dài đường cong phẳng Cung cho bởi đường cong có phương trình y = f(x), trong đó f(x) là hàm số

đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với A(a, f(a))và B(b, f(b)) được tính theo công thức:

3 . Tính thể tích vật thể a . Vật thể bất kỳ: Là vật thể được giới hạn bởi một mặt cong kín với hai mặt phẳng x = a; x =

b vuông góc với Ox. Giả sử S(x) là diện tích thiết diện giữa vật thể và mặt phẳng

vuông góc với Ox tại x ( x∈[a,b] ) và S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Khi

đó thể tích của vật thể được tính theo công thức b

a

V S(x)dx= ∫

b . Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y= f(x),

x = a, x = b và y = 0 quanh trục Ox. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính

theo công thức b

y

a

V 2 x f (x) dx= π∫

4 . Tính diện tích mặt tròn xoay Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục Ox một cung

đường cong phẳng AB có phương trình y = f(x), x∈[a,b] (với f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] ; A(a, f(a)), B(b, f(b))). Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức:

IV - TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

1 . Các định nghĩa a . Định nghĩa 1:


Trang 31

Giả sử hàm f(x) xác định trên [a,+∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Giới

hạn ( nếu có ) của tích phân b

a

f (x)dx∫ khi b → +∞ gọi là tích phân suy rộng của hàm

f(x) trên [a,+∞). Kí hiệu: a

f (x)dx+∞

∫

− Nếu b

ba

lim f (x)dx→+∞ ∫ hữu hạn thì

a

f (x)dx+∞

∫ hội tụ và hàm f(x) khả tích

trên [a; +∞].

− Nếu b

ba

lim f (x)dx→+∞ ∫ vô hạn hoặc không tồn tại thì

a

f (x)dx+∞

∫ phân kỳ.

b . Định nghĩa 2:

Giả sử hàm f(x) xác định trên (-∞;a] và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Giới

hạn (nếu có) của tích phân a

b

f (x)dx∫ khi b → -∞ gọi là tích phân suy rộng của hàm

f(x) trên (-∞;a] Kí hiệu: a

f (x)dx−∞∫

Lưu ý : Tính hội tụ và phân kỳ của a

f (x)dx−∞∫ cũng tương tự như ở định

nghĩa 1. c . Định nghĩa 3

d .

2 . Điều kiện hội tụ. a . Định lý 1: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] và 0 ≤ f

(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a , khi đó ta có :

b . Định lý 2: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm không âm và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn

[a, b]. Khi đó:


Trang 32

c . Định lý 3 :

Nếu a

f (x) dx+∞

∫ hội tụ thì a

f (x)dx+∞

∫hội tụ

d . Định nghĩa hội tụ tuyệt đối

V - TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2

1 . Định nghĩa

Chú ý: Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại hai tương tự như điều

kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại một.


Trang 33

CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1 . Các định nghĩa : a . Định nghĩa 1 Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng :

trong đó, x là biến số độc lập; y là hàm phải tìm; y’ là đạo hàm cấp 1 của y. b . Định nghĩa 2 Hàm số y = ϕ(x, c) thỏa mãn phương trình (I), với c là hằng số tùy ý được

gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình (I). Từ nghiệm tổng quát khi ta cho c = c0 ta được y = ϕ(x, c0) gọi là nghiệm riêng của một phương trình (I) (c0 thường được suy ra từ điều kiện y(x0) = y0).

Đẳng thức φ(x, y, c) = 0 thỏa mãn phương trình (I), với c là hằng số tùy ý được gọi là tích phân tổng quát của một phương trình (I). Từ tích phân tổng quát khi ta cho c = c0 ta được φ(x, y, c0) = 0 gọi là tích phân riêng của một phương trình (I) ( c0 thường được suy ra từ điều kiện y(x0) = y0).

Giải phương trình (I) là đi tìm nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát của phương trình (I).

2 . Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm: Cho phương trình y’ = f(x, y). Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một miền chứa (x0, y0) thì phương trình đã

cho sẽ tồn tại một nghiệm y = y(x0) thoả mãn điều kiện y0 = y(x0).

Ngoài ra, nếu f

y

∂∂

cũng liên tục trong miền nói trên thì y = y(x) là nghiệm

duy nhất của phương trình đã cho. Điều kiện y0 = y(x0) được gọi là điều kiện đầu của phương trình của

(I),thường được ký hiệu: 0

0x xy y

==

II - CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 THƯỜNG GẶP

1 . Phương trình phân ly biến số a . Khái niệm Phương trình vi phân có biến phân lý là phương trình có dạng: M(x)dx + N(y)dy = 0 (*) Trong đó, M(x); N(y) là những hàm phụ thuộc x, y ( x là biến độc lập; y là

hàm cần tìm) b . Cách giải: Lấy tích phân hai vế :

c . Chú ý: Xét phương trình vi phân dạng: M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = 0 (**).

(I)


Trang 34

− Nếu M2(x)≠ 0, N1(y) ≠ 0 thì chia hai vế cho (M2(x). N1(y)), ta có

(**) � 1 2

2 1

M (x) N (y)dx dy 0

M (x) N (y)+ = đây là phương trình vi phân có biến

phân ly. − Nếu M2(x)=0⇒ x=a thì x=a cũng là nghiệm của phương trình (**). − Nếu N1(y)=0⇒ y=b thì y=b cũng là nghiệm của phương trình (**).

2 . Phương trình vi phân đẳng cấp a . Khái niệm Phương trình vi phân đẳng cấp là phương trình dạng:

y’ =

y

x ϕ (***)

b . Cách giải :

3 . Phương trình vi phân tuyến tính a . Khái niệm Phương trình vi phân tuyến tính là phương trình dạng: y’ + p(x)y = q(x) (1) Trong đó: p(x), q(x) là những hàm số liên tục của biến x. − Nếu q(x) = 0 thì (1) y’ + p(x)y = 0 (2) gọi là phương trình tuyến tính

thuần nhất. − Nếu q(x) ≠ 0 thì (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất. b . Cách giải Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1), trước hết ta tìm nghiệm tổng

quát của phương trình (2).

Từ (2), ta có:

dy

dx =-p(x)y

Khi y≠0 �

dy

y =-p(x)dx �

dyp(x)dx

y= −∫ ∫

� ln y p(x)dx ln C= − +∫

�

yln p(x)dx

C= −∫

�y=p(x )dx

Ce−∫

(***)

(***)


Trang 35

Ta thấy y = 0 cũng là nghiệm phương trình (2)( ứng với C = 0 ).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2) là y =p(x )dx

Ce−∫

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2) dưới dạng: y=p(x )dx

Ce−∫ C

là hàm số của biến x

4 . Phương trình Bernoulli a . Khái niệm Phương trình vi phân Bernoulli là phương trình dạng: y’ + p(x)y = q(x)yα (1) Trong đó: p(x), q(x) là những hàm số liên tục của biến x, α là một số thực

bất kỳ và α ≠ {0,1} b . Cách giải

Giả thiết y ≠ 0, ta chia cả hai vế (5.7) cho yα. Ta có y’.y-α + p(x).y1-α = q(x).

(1)

(1)


Trang 36

CHƯƠNG VII : LÝ THUYẾT CHUỖI

I - CHUỖI SỐ

1 . Các định nghĩa : a . Định nghĩa chuỗi số

− Cho dãy số u1; u2; u3 ... un; ... Biểu thức nn 1

u∞

=

=∑ u1+u2+…+un+… được

gọi là chuỗi số. − u1; u2; u3 ... un; ... được gọi là các số hạng của chuỗi số. − un gọi là số hạng tổng quát. b . Định nghĩa tổng riêng phần thứ n của chuỗi số

− Biểu thức Sn=n

kk 1

u=

=∑ u1+u2+…+un được gọi là tổng riêng phần thứ n của

chuỗi số.

− Biểu thức Rn= kk n 1

u∞

= +

=∑ un+1+u n+2+… được gọi là phần dư thứ n của chuỗi

số. c . Định nghĩa chuỗi số hội tụ, chuỗi số phân kỳ

− Nếu Sn�S khi n � ∞ thì nn 1

u∞

=∑ được gọi là chuỗi hội tu và có tổng bằng

S.

− Nếu Sn không�S khi n � ∞ thì nn 1

u∞

=∑ được gọi là chuỗi phân kỳ.

2 . Tính chất : a . Định lý về số hạng tổng quát của chuỗi hội tụ

− Nếu chuỗi nn 1

u∞

=

=∑ u1+u2+…+un+… hội tụ thì số hạng tổng quát un�0

khi n � ∞

− Nếu nnlim u

→∞≠ 0 thì chuỗi n

n 1

u∞

=∑ phân kỳ.

b . Tính chất


u∞

=∑ � S thì chuỗi n

n 1

u∞

=

α∑ �αS


u∞

=∑ � S1; n

n 1

v∞

=∑ � S2 thì chuỗi n n

n 1

(u v )∞

=

+∑ � S1+ S2.

− Tính hội tụ hoặc phân kỳ của một chuỗi không thay đổi khi ta bớt đi hữu hạn số hạng đầu tiên.

II - CHUỖI SỐ DƯƠNG

1 . Định nghĩa : − Chuỗi số dương là chuỗi số mà các số hạng un đều là số dương với mọi

n.

2 . Các định lý so sánh : a . Định lý 1


Trang 37

Cho 2 chuỗi dương chuỗi nn 1

u∞

=∑ và n

n 1

v∞

=∑ , giả sử un≤ vn với ∀n ≥ n0, khi đó :


v∞

=∑ hội tụ thì chuỗi n

n 1

u∞

=∑ hội tụ.


u∞

=∑ phân kỳ thì chuỗi n

n 1

v∞

=∑ phân kỳ.

b . Định lý 2

Cho 2 chuỗi dương nn 1

u∞

=∑ và n

n 1

v∞

=∑ , nếu tồn tại giới hạn hữu hạn n

nn

ulim k

v→∞=

với 0<k<∞ thì hai chuỗi số cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3 . Các tiêu chuẩn hội tụ : a . Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi dương n

n 1

u∞

=∑

, xét n 1

nn

ulim k

u+

→∞= ,

− Nếu k<1 thì chuỗi số đã cho hội tụ. − Nếu k>1 thì chuỗi số đã cho phân kỳ. b . Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn số)

Cho chuỗi dương n

n 1

u∞

=∑

, xét nn

nlim u k

→∞= ,

− Nếu k<1 thì chuỗi số đã cho hội tụ. − Nếu k>1 thì chuỗi số đã cho phân kỳ. c . Tiêu chuẩn tích phân Giả sử hàm f(x) liên tục, dương, giảm trên khoảng [1;+∞) và dần tới 0 khi

x� +∞. Khi đó tích phân suy rộng 1

f (x)dx+∞

∫ và chuỗi số nn 1

u∞

=∑ với un=f(n) cùng

tính chất.

III - CHUỖI CÓ SỐ HẠNG VỚI DẤU BẤT KỲ - CHUỖI ĐAN DẤU

1 . Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ :

Cho chuỗi nn 1

u∞

=∑ với các số hạng un có dấu bất kỳ

a . Định lý :

Nếu chuỗi n

n 1

u∞

=∑

hội tụ thì chuỗi n

n 1

u∞

=∑

cũng hội tụ. b . Định nghĩa :

− Chuỗi nn 1

u∞

=∑ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi n

n 1

u∞

=∑ hội tụ.

− Chuỗi nn 1

u∞

=∑ được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi Chuỗi n

n 1

u∞

=∑ hội tụ nhưng

chuỗi nn 1

u∞

=∑ phân kỳ.

2 . Chuỗi đan dấu :


Trang 38

a . Định nghĩa :

Chuỗi số có dạng nn

n 1

( 1) u∞

=

−∑ được gọi là chuỗi đan dấu.

b . Định lý Leibnitz: Nếu dãy số dương ui (i=1..∞) giảm và dần tới 0 khi n�∞ thì chuỗi đan dấu n

nn 1

( 1) u∞

=

−∑ hội tụ.

3 . Chuỗi lũy thừa : a . Định nghĩa chuỗi hàm số :

Xét chuỗi nn 1

u (x)∞

=∑ mà các số hạng un(x) là những hàm xác định trên tập

X⊂R được gọi là chuỗi hàm số. b . Định nghĩa chuỗi lũy thừa : Chuỗi lũy thừa là một chuỗi hàm số có dạng

nn

n 1

a x∞

=∑ = a0 + a1x + a2x

2 +…+ anxn +…

c . Định lý :

Nếu chuỗi lũy thừa nn 1

u (x)∞

=∑ hội tụ tại x = x0 ≠ 0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại

mọi x với 0x x< .

d . Hệ quả :

Nếu chuỗi lũy thừa nn 1

u (x)∞

=∑ phân kỳ tại x = x1 thì nó phân kỳ tại mọi x với

1x x> .

e . Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa :

Cho chuỗi lũy thừa nn 1

u (x)∞

=∑ , nếu tồn tại R>0 sao cho chuỗi hội tụ với mọi x

: x <R thì R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

f . Quy tắc tìm bán kính hội tụ :

Nếu n 1

nn

alim

a+

→∞= ρ hoặc n

nnlim a

→∞= ρ thì bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa

nn 1

u (x)∞

=∑ được xác định bởi

0

1R 0

0

ρ = +∞= < ρ < +∞ρ+∞ ρ =

Khoảng (-R; R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa. Sau khi tìm được R, ta cần xét thêm sự hội tụ tại 2 đầu mút – R và R để suy

ra miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.


Trang 39

PHẦN BÀI TẬP BÀI TẬP CHƯƠNG I : SỐ PHỨC

1. Cho các số phức z1=1+2i; z2=-2+3i; z3=1-i. Tính a. z1+ z2 + z3 b. z1 z2+ z2 z3 + z3 z1 c. z1

2+ z22 + z3

2

d. 31 2

2 3 1

zz z

z z z+ +

e. 1

2

2 22

2 23

z z

z z

+

+

2. Thực hiện các phép tính sau

a. 16 8

1 i 1 i

1 i 1 i

+ − + − +

b. i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 c. i-5 + (-i)-7+ (-i)13 + i-100 + (-i)94

3. Giải các phương trình bậc 2 sau : a. z2 – 8(1-i)z+63-16i=0 b. iz2+(1+2i)z+1=0 c. (1+i)z2 + 2+11i =0

4. Cho x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 : x2 - x + 1 = 0 , tính

a. 2000 20001 2x x+

b. 1999 19991 2x x+

c. n n1 2x x+ với n∈N

BÀI TẬP CHƯƠNG II : HÀM SỐ

Tìm miền xác định của các hàm số sau :

1. f(x,y)= y x ln(y x)− +

2. f(x,y)=2 2

1

4 x y− −

3. f(x,y)= x ln y

4. f(x,y)=2 21 x y− −

5. f(x,y)=ln(x+y-1)

6. f(x,y)=

1 1

x y x y+

+ −

7. f(x,y)= 2

x

cos y

BÀI TẬP CHƯƠNG III : GIỚI HẠN & LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1. Xét tính liên tục của các hàm số sau :

a. sin 2x

x 0f (x, y) x

2 x 0

≠= =


Trang 40

b. 2 2

2 2

1(x y )sin (x, y) (0,0)

x yf (x, y)

0 (x, y) (0,0)

+ ≠ += =

c. 2 2

xy(x, y) (0,0)

f (x, y) x y

0 (x, y) (0,0)

≠= +

=

d.

2 2

2 2

x y(x, y) (0,0)

f (x, y) x y

0 (x, y) (0,0)

−≠= +

=

2. Tính các giới hạn sau :

a. (x,y) (0,0)

lim f (x, y)→

với f(x,y)=2 2

xy

x y+ (x,y)≠(0,0)

b. 2 2

(x,y) (1,2)lim (x y )

→

c. 22

x2

s inxlim( tan x)

cos xπ→

−

d. (x,y) (0,0)

lim f (x, y)→

với f(x,y)=2 2

2 2

x y

x y

−+

(x,y)≠(0,0)

e. (x,y) (0,0)

lim f (x, y)→

với f(x,y)=3 3

2 2

x y

x y

++

(x,y)≠(0,0)

BÀI TẬP CHƯƠNG IV : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ

1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1và 2 của hàm số: a. f(x,y)=xy2ln(1 + xy). b. f(x,y)=x2y3 + x4 c. f(x,y)=x2ln(x + y).

d. f(x,y)=x2y + x y

e. f(x,y)=sin(x + y) + cos(x – y). 2. Tính đạo hàm của hàm hợp

a. z=uev+ve-u với u=ex; v=x2y

b. z=2 2u 2ve − với u = cosx; v= 2 2x y+

c. z=ln(u2 + v2) với u=xy; v = x

y với y ≠0

d. z=x2lny với y=3u – 2v; x = u

v với y ≠0

3. Tính vi phân toàn phần của hàm số a. f(x,y)=x3y3

b. f(x,y)= 2 2x y+

c. f(x,y)=arctanx y

x y

+−

d. f(x,y)=xy + sin(x+y)

e. f(x,y)=1

2ln(x2 + y2)


Trang 41

4. Tìm cực trị của các hàm 1 biến sau a. f(x)=x4 – 2x2+1 b. f(x)=x2 (2– x)2 c. f(x) = x + 2 x−

d. f(x) =x 24 x− 5. Tìm cực trị của các hàm 2 biến sau

a. f(x,y)=x2 + xy + y2 + x – y + 1 b. f(x,y)=3xy – x3 – y3 c. f(x,y)= x2 – y2 d. f(x,y)= x3 + 2y3 – 3x – 6y e. f(x,y)= -x2 – y2 + 2x + 4y + 6

6. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm 2 biến sau

a. f(x,y)=x2 + y2 với điều kiện x y

14 3

+ =

b. f(x,y)=1 1

x y+ với điều kiện

2 2 2

1 1 1

x y a+ =

7. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sô

a. f(x)=sin2x – x với x∈ ;2 2

π π −

b. f(x)=2x 2x 3

x 1

+ +−

với 1<x≤3

c. f(x)=3x4- 8x3+6x2 trên [-2;2]

d. f(x)=xx với 1

x10

≤ ≤ ∞

e. f(x)=x

2+cosx với 0 ≤x ≤2π

BÀI TẬP CHƯƠNG V : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1. Tính các tích phân suy rộng :

a. 0

cosxdx+∞

∫

b. 1

2

dx

x

−

−∞∫

c. 2

dx

1 x

+∞

−∞ +∫

d. 2

2

dx

x x 2

+∞

+ −∫

e. 1

0

dx

x∫

f. 1

0

dx

(2 x) 1 x− −∫

2. Khảo sát tính hội tụ của tích phân suy rộng:

a. 2

0

sin(x )dx+∞

∫

b. 10

1

dx

1 x

+∞

+∫

c. 2

4 21

xdx

x x 1

+∞

− +∫

d. 2

0

sin xdx

x

+∞

∫

e. 3 2

1

1dx

1 x. 1 x

+∞

+ +∫

f. 1

ln(1 x)dx

x

+∞ +∫

BÀI TẬP CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1. Giải các phương trình phân ly biến số :


Trang 42

a. xdx + (y + 1)dy = 0. b. x2(y + 1)dx + (x3 – 1)(y – 1)dy = 0.

c. y’=2

x

x 1+(y2-1)

d. xyy’ = y2 – 1 e. (1 + x)ydx + (1 - y)xdy=0 f. xy’ - y = y2 g. y – xy’ = a(1 + x2y’) h. x(1 + y2)2dx + y((1 + x2)2dy=0 i. (x2 - yx2)y’ + y2 + xy2=0 j. (1+ex)yy’=ex với điều kiện ban đầu là x=0, y(0)=1 k. (1 + ex)yy’=ex với điều kiện ban đầu là x=0, y(0)=1

2. Giải các phương trình đẳng cấp :

a. y’=2 2x y

2xy

+

b. y’=x y

x y

+−

c. (x – y)ydx – x2dy = 0

d. y’=x ay

ax y

+−

với a là hằng số

e. xy’ = x + y

3. Giải các phương trình tuyến tính : a. y’ – 2xy = x

b. y’ - 2

xy = x3

c. (x2 + 1)y’ + xy = -x d. eydx + (xey -1)dy = 0 (phương trình tuyến tính theo y) e. (x2 + 1)y’ + xy = 1 với điều kiện ban đầu x=0; y(0)=2

f. y’ + 3

xy =

3

2

x

g. y’ – ysinx = sinx.cosx h. xy’ – y2 +1 = 0 i. y’ + y.cosx = 2x.e-sinx

4. Giải các phương trình Bernoulli : a. y’ – y = xy5 b. y’ – 2xy = x3y2

c. y’ - 4y

x yx

=

d. y’ + 2xy = 2x3y3

e. y’ + y = x

2e y

BÀI TẬP CHƯƠNG VII : CHUỖI SỐ

1. Chứng minh rằng chuỗi n 1

1

n(n 1)

∞

= +∑ là chuỗi hội tụ.

2. Chứng minh rằng chuỗi n

n 1

1

2 1

∞

= +∑ là chuỗi hội tụ.


n 1

1 2

n 5

∞

=

∑ là chuỗi hội tụ.


Trang 43


n 1

n

2

∞

=∑ là chuỗi hội tụ.

5. Chứng minh rằng chuỗi 2

n 1

1

n

∞

=∑ là chuỗi hội tụ


1

n!

∞



n 1

1

n 1

∞

= +∑ là chuỗi hội tụ


n 1

ln n

n

∞



n 1

1

2 n

∞



n 1

2

n!

∞



1

n.ln n

∞


12. Tính tổng riêng Sn và tổng S nếu có của chuỗi n 1

1

n(n 1)(n 2)

∞

= + +∑ .

13. Tính tổng riêng Sn và tổng S nếu có của chuỗi 2 2

n 1

2n 1

n (n 1)

∞

=

++∑ .

14. Tính tổng riêng Sn và tổng S nếu có của chuỗi n2

n 1

1( 1)

n 1

∞

=

−−∑ .

15. Tính tổng riêng Sn và tổng S nếu có của chuỗi n n

nn 1

2 3

5

∞

=

−∑ .

16. Xét sự hội tụ của chuỗi n

n 1

( 1)

n

∞

=

−∑

17. Xét sự hội tụ của chuỗi n 1

n 1

2n 1

∞

=

++∑


n 1

1

2

∞

−=∑


1

n

∞

=∑


2n 1

2n

∞

=

−∑ là chuỗi phân kỳ


1

n(n 1)

∞

= +∑ là chuỗi phân kỳ


1

2n

∞

=∑ là chuỗi phân kỳ


1

2n 1

∞

= −∑ là chuỗi phân kỳ


n 1

n!

n

∞

=∑ là chuỗi phân kỳ


Trang 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Toán học cao cấp – Nguyễn Đình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục 2001 2. Bài tập toán cao cấp – Nguyễn Đình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục 2001

Education

[Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh