Оптимизационные математические

модели

Оптимизационные математические модели описывают операции, в которых требуется найти оптимальное или наилучшее решение. Оптимизационные математические модели особенно широко применяются при решении проблем менеджмента и экономики. Это обусловлено тем, что операции проходят с участием человека и направлены на достижение определенной цели.

Построением оптимизационных математических моделей операций в хорошо- и слабоструктурированных проблемах, а также разработкой методов, позволяющих находить их оптимальные решения, занимается наука математическое программирование, являющаяся разделом науки исследование операций.

Для оптимизационных математических моделей характерно наличие целевой функции или нескольких целевых функций, которые необходимо максимизировать или минимизировать, в зависимости от содержательного смысла операции и выбранного критерия, а также наличие ограничений.

Если ограничений нет, то говорят о математической модели безусловной оптимизации, при наличии ограничений — об оптимизационной математической модели с ограничениями. Оптимизационные математические модели могут быть линейными и нелинейными, иметь один критерий и много критериев (многокритериальные модели).

Дачнику требуется огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади (S), имея для этого ограду заданной длины (L).

Обозначим длины сторон прямоугольного участка как а и b. Тогда площадь участка будет равна S = ab, а длина ограды L=2a + 2b.

Требуется найти такие длины сторон а и b прямоугольного участка, при которых площадь участка будет максимальной (S = ab => max) при условии, что длина ограды задана (L = 2а + 2b) и еще одном очевидном условии, что стороны участка не могут быть отрицательными (а>0,b> 0).

Пример.

Оптимизационная математическая модель с ограничениями, описы вающая рассматриваемую операцию, запишется так:

S = ab => max, L = 2a + 2b, a>0,b>0.

Первое выражение называют целевой функцией, а два других — ограничениями.

Решением этой модели является а = b. Это означает, что максимальную площадь при заданной длине ограды будет иметь участок квадратной формы.

Полученная математическая модель и ее запись — типичны для оптимизационных математических моделей.

Рассмотрим некую операцию, для которой проведено структурирование: сформулирована цель; определены критерии сравнения и оценки альтернатив; установлены управляющие, управляемые и неуправляемые факторы, сформированы множество возможных решений и ограничения и, наконец, определено ЛПР.

После структурирования операции определены n управляемых факторов х = (х1,х2…,хn), которые в математической модели называют еще переменными модели или неизвестными, которые надо определить. Определены также ограничения, в рамках которых изменяются управляемые факторы х, т. е. определено множество X, внутри которого находятся эти переменные, хϵХ .

Оптимизационная математическая модель

Запись хϵХ означает, что все возможные решения х должны находиться внутри множества ограничений X. Решения х, принадлежащие множеству, порождаемому ограничениями, называются допустимыми решениями, а множество ограничений X называют еще областью допустимых решений (ОДР). Любое решение х, которое выходит за пределы множества X, является недопустимым решением.

Рис. Область допустимых решений X, допустимые х и недопустимые у решения

Среди всех допустимых решений хϵХ есть наилучшее или оптимальное решение. Оптимальным решением называется такое решение хϵХ из области допустимых решений, которое доставляет максимальное или минимальное, в зависимости от содержания операции, значение выбранному критерию.

В операциях, рассматриваемых в науке исследование операций, критерий (F), по которому осуществляется сравнение и отбор различных решений, называется еще целевой функцией. Определение максимального или минимального значения целевой функции записывается как F -» max или F -» min .

Значение целевой функции (критерия) F зависит от допустимых решений х = (х1,х2,…, xn) и представляет собой некоторую функцию от них, т. е. F = F(х1,х2,…, xn) . Это означает, что, беря различные допустимые решения х = (х1,х2,…, xn) ϵ X, мы будем получать различные значении целевой функции F. В графической интерпретации это означает, что целевая функция F = F (х1,х2) зависит от расположения точки х = (х1,х2) в ОДР.

Поэтому сравнение различных решений из ОДР по критерию F можно проводить, например, так: брать различные допустимые решения х = (х1,х2) ϵ ОДР, соответствующие различным точкам с координатами (х, и х2), и подсчитывать для них значение критерия F. Тогда то решение (точка в ОДР), которое соответствует наибольшему или наименьшему значению критерия и будет оптимальным решением.

Понятно, что такой подход может привести к искомому оптимальному решению только тогда, когда число допустимых решений конечно и невелико. Поэтому в исследовании операций разработаны достаточно универсальные и эффективные математические и компьютерные методы для определения оптимальных решений.

Рассматривается некоторая операция, в которой необходимо выработать оптимальное управление и/или принять оптимальное решение. Проведено структурирование операции и определены цель, критерии, управляющие, управляемые и неуправляемые факторы, множество возможных решений, ограничения и лицо, принимающее решение (ЛПР).

Содержательный смысл оптимизационной математической модели и ее формальное определение.

Определены необходимые составляющие для построения математической оптимизационной модели, а именно:

наиболее существенные управляемые факторы х1,х2,…, xn, которые являются также переменными модели х1,х2,…, xn

структура возможных решений, представляющая собой совокупность переменных модели (управляемых факторов), т. е. х = (х1,х2,…, xn),

ограничения, которые являются совокупностью наиболее существенных неуправляемых факторов,

множество допустимых решений X (или область допустимых решений ОДР), определяемое ограничениями,

критерий F (целевая функция) сравнения между собой возможных решений и который необходимо максимизировать или минимизировать в зависимости от содержательного смысла операции.

Располагая этими компонентами, можно далее строить математическую оптимизационную модель. Она обязательно должна содержать целевую функцию, требование ее максимизации или минимизации, а также (если рассматривается оптимизация при наличии ограничений) область допустимых решений, которую обычно называют ограничениями.

Математическая оптимизационная модель (при наличии ограничений) записывается следующим образом:

целевая функция F = F(х1,х2,…, xn) —> max(min),

Ограничения х = (х1,х2,…, xn ) ϵ Х

условия неотрицательности переменных модели х1 >0, х2>0, ..., х„>0.

Условия неотрицательности переменных выражают тот факт, что реальные, осуществляемые на практике операции по своему экономическому и физическому смыслу характеризуются именно неотрицательными ношениями управляющих факторов (объем производства, цена, денежная сумма, прибыль, выручка и т. д.).

Соответствующая задача оптимизации формулируется так: найти такое неотрицательное решение х = (х1,х2,…, xn) из области допустимых реше ний X, при котором целевая функция F = F(х1,х2,…, xn) достигает своего максимального (max) и/или минимального (min) значений, в зависимости от умысла операции.

Полученное таким образом решение х = (х1,х2,…, xn) называется оптимальным решением.

Математическая модель безусловной оптимизации содержит только целевую функцию F = F(х1,х2,…, xn) —> max(min), которую, в соответствии с условием задачи, необходимо обратить в максимум или минимум, а ограничения на управляемые факторы отсутствуют. Оптимальным решением для модели будет решение, доставляющее экстремальное (максимальное или минимальное) значение целевой функции.

Оптимальное решение может быть единственным, их может быть несколько, а может — и бесконечно много.

Среди оптимизационных математических моделей особо выделяют модели, в которых ограничения, определяющие множество допустимых решений X, представляют собой систему равенств и/или неравенств. Такие оптимизационные математические модели составляют предмет изучения дисциплины математическое программирование, являющейся разделом исследования операций.

Математическое программирование

Оптимизационная математическая модель, изучаемая в математическом программировании, записывается так: необходимо найти такое решение х = (х1,х2,…, xn), состоящее из n переменных, которое доставляет максимум (или минимум) целевой функции F = F(х1,х2,…, xn) -> max(min),

и удовлетворяет одновременно всем ограничениям, задаваемым в виде не равенств и/или равенств

g1(х1,х2,…, xn){<,=,>}b1

g2(х1,х2,…, xn){<,=,>}b2

……………………………………….

gn(х1,х2,…, xn){<,=,>}bn

а также условиям неотрицательности (если по смыслу задачи это необходимо)

xi≥ 0, i = 1,2,...,n.

После того, как оптимизационная математическая модель операции построена, необходимо перейти к следующему этапу моделирования и найти оптимальное решение математической модели. С этого момента исследование конкретной операции переходит с содержательного уровня нfауровень математический и становится задачей математического программирования.

Любое решение х = (х1,х2,…, xn) задачи математического программирования, удовлетворяющее одновременно всем ограничениям, называется допустимым решением или планом для задач, имеющих экономическое содержание. Среди допустимых решений (или планов) существует такое решение, которое доставляет целевой функции максимальное или минимальное значение. Такое решение называется оптимальным.

Отметим, что оптимальное решение может быть единственным, их может быть несколько, а может быть и бесконечно много.

Математическое программирование, в зависимости от вида целевой функции и функций, входящих в ограничения, делится на линейное и не линейное программирование.

Если в математической модели и целевая функция, и все функции в ограничениях являются линейными, то такая модель называется линейной, а соответствующая ей задача — задачей линейного программирования.

Если хотя бы одна из функций в математической модели является нелинейной, то такая модель называется нелинейной моделью, а соответствующая задача — задачей нелинейного программирования.

Математическая модель прибыли продавца газет представляет собой линейную оптимизационную математическую модель при наличии ограничений:

целевая функция П = с • Q- а • Q —> max,

Ограничения а • Q < S, Q≥ 0

Соответствующая задача линейного программирования формулируется так: найти такой объем продаж газет Q, удовлетворяющий ограничения, который доставляет максимальное значение прибыли П. Найденное решение (объем Q) будет оптимальным.

Примеры оптимизационных математических моделей

Уточненная оптимизационная модель из того же примера продавца газет является нелинейной оптимизационной математической моделью при наличии ограничений и имеет вид:

целевая функция П = Q*f(Q) - а • Q ->max,

Ограничения а*Q<S, Q> 0.

Это задача нелинейного программирования.

Рассмотрим модель управления запасами, имеющую широкое практическое применение.

Запас выполняет важнейшие функции, без которых невозможна эффективная работа предприятия, а с другой стороны — содержание запаса приводит к значительным издержкам. Поэтому можно ожидать, что существует такая оптимальная величина запаса, при которой издержки на заказ у поставщика, получение и хранение запаса будут минимальными.

Если темп потребления запаса постоянный в течение всего достаточно длительного периода Т и периодически повторяется, то динамика потребления и пополнения запаса графически выражается «пилой». Как только в процессе потребления уровень запаса снизится до критической величины R, заказывается новая партия, которая через некоторое время L поступает на склад.

Рис. Определение оптимальной величины заказа в модели с фиксированным объемом заказа

Для определения оптимального размера

запаса продукта (или оптимального размера заказанной партии продукта) Qonm, ед. прод.

построим его математическую модель.

Суммарные затраты (Зсумм), идущие на создание запасов продукт и течение длительного периода времени Т, например, год, складываются и следующих затрат:

затраты на закупку продукта за период Т, равные cD (с — цена за единицу продукта, ден. ед., D — потребность в продукте за период Т, ед. прод./период),

затраты на заказ и поставку нескольких партий продукта от постав щика за период Т, равные sD/Q (s — затраты на заказ одной партии продукта, ден. ед., D/Q — количество заказов за период Т);

затраты на хранение, равные hQ/2 (h — затраты на хранение единицы продукта за период, ден. ед./ед. прод. * период, Q/2— средняя вели чина запаса с учетом потребления).

Тогда суммарные затраты составят: Зсумм = cD + sD/Q + hQ/2

Из условия минимума издержек Зсумм определяется оптимальный объем. Поэтому математическая оптимизационная модель имеет вид Зсумм -> min

Для определения оптимального размера запаса Qonm необходимо найти первую производную издержек 3сумм по переменной Q и приравнять ее нулю:

откуда сразу находим искомое оптимальное решение Qonm, которое в логистике называют еще экономичным размером заказа (EOQ — Economic Order Quantity):

Точка повторного заказа R, по достижении которой размещается новый заказ у поставщика, определяется по формуле

D R = — L. Т

Многие операции носят многокритериальный характер. Такие операции характеризуются не одним критерием, а многими критериями. Понятно желание человека купить товар покачественнее и в то же время подешевле. Один из критериев (качество) желательно обратить в максимум, а второй критерий (цена) — в минимум. Можно пойти на компромисс, заключающийся в уступках, на которые пойдет покупатель, по обоим критериям. Можно несколько снизить завышенные требования к качеству и немного поднять желаемую цену на товар. На этом пути можно получить компромиссное решение, которое заканчивается выбором товара и его приобретением. Величину уступки по каждому критерию определяет ЛПР, в данном случае покупатель.

Многокритериальные математические оптимизационные модели

Другой пример: организации необходимо выбрать компанию-оператор сотовой связи. Выбор неизбежно будет оцениваться не по одному критерию, а по нескольким:

1. Тарифный план; 2. Величина абонентской платы; 3. Дальность покрытия связи; 4. Надежность; 5. Объем предоставляемых бесплатных услуг.

По этим пяти сформулированным критериям организация должна оценить различные альтернативные решения и выбрать наилучшего оператора сотовой связи.

Ранее уже указывалось, что в многокритериальной задаче не существует оптимального решения, которое бы доставляло максимум (или минимум) всем критериям одновременно. Вместе с тем, всегда имеется принципиальная возможность найти компромиссное решение, как результат взаимных уступок по всем критериям, причем величину каждой уступки определяет ЛПР. Полученное данным ЛПР компромиссное решение будет для него наилучшим в данных условиях. Другой ЛПР найдет для себя другое наилучшее компромиссное решение.

При постановке многокритериальной задачи необходимо располагать тремя компонентами:

Множеством допустимых решений или альтернатив. Из этого мно жества ЛПР будет отбирать наилучшее компромиссное решение.

Множеством критериев, каждый из которых необходимо максими зировать или минимизировать. Все критерии должны быть числовыми. Вели критерий носит качественный характер, то его необходимо оценить количественно по той или иной шкале.

Сведениями о предпочтениях данного ЛПР. В зависимости от своих предпочтений ЛПР выбирает критерии, проводит ранжирование критериев по важности, назначает величину уступки по каждому критерию, сравнивает альтернативы между собой и, наконец, принимает наилучшее для него решение.

Информация о предпочтениях ЛПР, получаемая лично от него, служит основой для установления его отношений предпочтения.

А именно, отношение предпочтения записывается так: если из двух решений х' и х" ЛПР выбирает или отдает предпочтение первому решению, то в этом случае пишут х' > х".

Если для ЛПР оба решения равноценны (ЛПР ни одному из решений не отдает предпочтения), то пишут х' ~ х".

Отношения предпочтения ЛПР на множестве возмож ных решений X записывается как >х.

Располагая перечисленными выше тремя компонентами, можно записать оптимизационную математическую модель, содержащую:

т критериев F1 -» max(min), F2 -» max(min),..., Fm -» max(min),

Ограничения х= (х1,х2,…, xn) ϵ Х

отношения предпочтения данного ЛПР   Решить задачу многокритериальной оптимизации — значит

найти такое решение х = (х1,х2,…, xn ) ϵ X, которое принадлежит области допустимых решений X и при котором все критерии F1, F2, Fm принимают такие значения, которые устраивают данное ЛПР в соответствии с его отношениями предпочтения >х. Решение х = (х1,х2,…, xn ) ϵ X, обладающее указанными свойствами, называется компромиссным решением.