Matlab Integración Numérica, Método del TrapecioCLASE 12

16-JULIO-2014

Integración Numérica en Matlab

En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones para las que no

podemos hallar una primitiva, esto puede deberse por supuesto a falta

de habilidad de nuestra parte, aunque también ocurre que alguna

funciones elementales simplemente no tienen primitivas que al igual

sean funciones elementales que podamos calcular, por ejemplo, no hay

funciones elementales que tengan alguna de las siguientes como su

derivada:

Integración Numérica en Matlab

Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se recurre a los métodos numéricos para integrarlas.

Integración Numérica en Matlab

Recordemos que :

Función primitiva o antiderivada de una función dada , es otra función

cuya derivada es la función dada.

Si una función tiene primitiva, tiene infinitas primitivas,

diferenciándose todas ellas en una constante.

Integración Numérica en Matlab

Cuando se desea calcular una integral definida que contiene una

función cuya primitiva no podemos hallar, entonces no se puede aplicar

el teorema fundamental del cálculo y es aquí cuando se debe recurrir a

una técnica de aproximación.

Regla de los Trapecios.

Una forma de aproximar una integral definida, consiste en usas N

trapecios, como se muestra en la figura 1. En el desarrollo de este

método, se supone que f es continua y positiva en el intervalo y que la

integral definida representa el área de la región limitada por la gráfica

de y el eje , desde .

Regla de los Trapecios.

Figura 1: Función , el área bajo la curva, se puede

aproximar mediante n trapecios, en este caso  4

trapecios.

Regla de los Trapecios.

En el caso de las aproximaciones de las integrales por el método de los

trapecios, es tan simple tanto en descripción como a nivel de código,

como es sabido, es por esto, que nos limitaremos únicamente a la

utilización de la “formula” y los pasos que se deben seguir para

implementar nuestro método; el algoritmo es el siguiente:

Regla de los Trapecios.

1. En primer lugar se parte el intervalo comprendido entre en

subintervalos más pequeños, definidos por la variable , nombrando el

ancho de esos subintervalos como (que en nuestro caso representa a ).

Regla de los Trapecios.

2. Se realiza la siguiente serie

Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos los términos están

multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo termino y posteriormente

están multiplicados todos por lo que podríamos llamar entonces .

Código en Matlab.

En esto punto crearemos una función en Matlab, que nos permita aproximar aquellas funciones

de las que se habló con anterioridad, manteniendo los criterios ya mencionados en primer

lugar, crearemos en nuestro directorio una función llamada intrap (integrales por

trapecios), que recibirá como parámetros, el la función, el limite inferior y el limite

superior; también pudiéramos recibir como parámetro el numero de subintervalos

deseados , nosotros lo definimos como 400 ya que por lo regular las regiones a integrar no son

muy grandes, pero la modificación del código es libre y si quieres, puedes modificar también el

parámetro (también se puede hacer, para aumentar la precisión).

Código en Matlab.

Código en Matlab.

Posteriormente, como dijimos le daremos el valor de aunque esto

depende de su elección a la hora de montar el programa como

recibiendo el parámetro, en este punto se calcula el valor de con la

formula que se vio en el punto 1 del algoritmo, también se evalúa el

primer termino de la serie, ya que este no esta multiplicado por 2 y es

el resultado de evaluar la expresión en el limite inferior.

Código en Matlab.

Código en Matlab.

Ahora se usará un ciclo FOR para contar el número de iteraciones, las

cuales dependerán del número de subintervalos, la variable i se inicia

con un valor de 2, para descontar la evaluación del primer termino que

se hizo al inicio del programa, y para descontar la ultima iteración, que

se hará luego de termino el FOR, ya que esta ultima tampoco esta

multiplicada por 2.

Código en Matlab.

Código en Matlab.

Luego de terminado el ciclo FOR, se procede a hacer la evaluación del

n-ésimo termino, es decir, el ultimo termino, después de esto, como se

comentó al final de algoritmo, se multiplican todos los términos

sumados , así:

Código en Matlab.

Finalmente después de ejecutado todo el código, el programa nos

retornará una buena aproximación de la integral que queremos hallar

por más difícil que esta sea.

Código en Matlab.

La forma correcta de utilizar esta función, en nuestro caso es,

declarando inicialmente una variable simbólica por ejemplo

posteriormente podemos nombrar una función y llamar a la función

donde será el limite inferior de nuestro intervalo de integración y el

superior, el funcionamiento se ilustra a continuación donde los limites

de la función serán de .

Código en Matlab.

Código en Matlab.

El valor exacto, como resultado de llevar a cabo la integración de entre

; en el ejemplo anterior podemos notar la aproximación llevada a cabo

mediante el método del trapecio.

Código alternativo en Matlab.

La función integral recibe la función , los limites y el número de

trapecios para el cálculo. Hay que definir previamente la función .

Código alternativo en Matlab.

Código alternativo en Matlab.

Ejemplo

Evalué la siguiente integral

a. Analíticamente

b. Con el uso de la herramienta Matlab

Código alternativo en Matlab.

Primero declaramos la función

Código alternativo en Matlab.

Segundo ejecución y resultado