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algebra lineal matrices suma multiplicación identidad nula determinante traspuesta inversa teorema Cayley-Hamilton valorpropio vectorpropio eigenvalor eigenvector gauss-jordan
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Pedro González Cordero Modificado 18/04/2012
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Valores propios y Vectores propios de las Matrices Material didáctico elaborado por: Lic. Pedro González Cordero 07/04/2012
Dicta las cátedras de Física y Matemática para el Dpto. de Procesos Químicos
En el Instituto Universitario de Tecnología “Dr. Federico Rivero Palacio”. Caracas-Venezuela
Este tema es un preámbulo como base fundamental para sistemas de ecuaciones
diferenciales.
1. Definición: Matriz
Es un arreglo rectangular de números o funciones
(
) (1)
Si una matriz tiene m renglones y n columnas. Su tamaño es de m por n (se escribe m x n).
Una matriz de n x n se llama matriz cuadrada de orden n. El elemento neutro del i-ésimo
renglón y la j-ésima columna de una matriz A de m x n se representa por . Con ello, una
matriz A de m x n se representa en la forma A= ( ) o simplemente A = . Una
matriz de 1 x 1 es solo una constante o función.
2. Definición: Igualdad de matrices
Dos matrices A y B de m x n son iguales si para toda i y j.
3. Definición: Matriz Columna
Una matriz columna X es cualquier matriz que tenga n renglones y una columna.
(
) ( )
Una matriz columna también se llama vector columna o simplemente vector.
4. Definición: Múltiplos de matrices
Un múltiplo de la matriz A se define como sigue:
(
) ( )
En donde K es una constante o una función.
Ejemplo1: Múltiplo de matrices
(a) (
) (
), en la matrices se cumple la propiedad conmutativa
(b) ( ) (
) (
) como se muestra el orden de los factores no
altera el producto, “solo cuando es un solo factor que multiplica a la matriz”.
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5. Definición: Suma de matrices
La suma de dos matrices A y B de m x n se define como la matriz A + B=( )
En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos
correspondientes.
Ejemplo2: Suma de matrices
La suma de (
) y (
) es
( ( ) ( )
) (
)
Ejemplo 3: Matriz expresada en forma de suma de matrices columnas
Exprese la sola matriz (
) como suma de vectores columna:
(
) (
) ( ) (
) ( ) (
) (
)
La diferencia de dos matrices de m x n se define de la forma acostumbrada:
A – B = A + ( – B ) =, en donde – B=( –1) B.
6. Definición: Multiplicación de matrices
Sea A una matriz con m renglones y n columnas, y B otra matriz con n renglones y p
columnas. El producto A.B se define como la matriz m x p dada por
(
) (
)
(
)
=
Observe detenidamente la definición 6, que el producto de A.B =C está definido por sólo
cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de renglones en B. El
tamaño del producto se determina con
Am x n B n x p= C m x p
También reconocerá que los elementos de, por ejemplo, el i-ésimo renglón de la matriz
producto A.B se forma aplicando la definición en componentes del producto interior, o
producto punto, del i-ésimo renglón de A con cada una de las columnas de B.
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Ejemplo 4: Multiplicación de matrices
(a) Si (
) y (
), Calcular A.B
( ( ) ( )
) (
)
(b) Si (
) y (
), Calcular A.B
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) (
)
En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es, A.B ≠ B.A. Observe,
en la parte (a) del ejemplo 4, que B.A=(
), mientras que en la parte (b) el producto
B.A no está delimitado por la definición se pide que la primera matriz tenga mismo
número de columnas que los renglones de la segunda matriz.
No interesa mucho el producto de una matriz cuadrada y un vector columna.
Ejemplo 5: Multiplicación de matrices.
(a) (
) ( ) (
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ) (
)
(b) (
) ( ) (
)
(c) Exprese la respuesta del ejemplo 3 en forma de multiplicación
( ) (
) (
) (
) (
)
Identidad multiplicativa
I= la matriz identidad multiplicativa para toda A.
I.A = A.I = A
Determinante de una matriz1: un concepto muy elaborado es una forma multilineal alternada de
un cuerpo. Explico cada palabra lo de multilineal son n dimensiones de un espacio Vn , una forma
1 En la historia de la matemática los determinantes han aparecido en distintas épocas, en occidente a Leibniz
se le atribuye que su carta fechada 1693 dirigida al marqués de L’Hospital utiliza el sistema de ecuaciones linealmente independiente de 2 incógnitas y lo resuelve haciendo uso del determinante, tal como hoy día.
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lineal será alternada si se anula cuando dos al menos dos de sus argumentos son iguales, es decir,
, En álgebra abstracta, un cuerpo
cumple con las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las
propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y
de un inverso multiplicativo. Determinante de una matriz en palabras más simples, para toda
matriz A de constantes, hay un número asociado, llamado determinante de la matriz, que se
representa mediante detA.
Gottfried Wilhelm Leibniz, von Leibniz (1-7-1646 /14-11-1716)
filósofo, matemático, abogado y bibliotecario alemán. Inventó el cálculo
infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se
emplea desde entonces. También inventó el sistema binario, fundamento
de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales.
Realizó una máquina calculadora que había diseñado y construyo
alrededor de 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las
cuatro operaciones aritméticas básicas. En conjunto a Johan Bernoulli
hallan el área de bajo de la curva de un exponencial entre x=0 y x=1,
aunque se le atribuye a Johan Bernoulli por carta a Leibniz de 1694; no
obstante Leibniz responde tiempo después con un análisis de cálculo de
logaritmos de números negativos e imaginarios, por series alternantes.
Tras la muerte de Leibniz Johan Bernoulli continua sus estudios sobre
logaritmos con su estudiante Euler, quien dio pie al estudio de los
logaritmos y su forma de números complejos a Moivre y Cotes.
Para calcular ese número asociado se utilizan varios métodos, si es una matriz (cuadrada de orden
2 o 3) 2x2 o 3x3, se multiplica la diagonal principal menos la multiplicación de la diagonal
secundaria, regla de Sarrus (Pierre Fédéric Sarrus) también conocido método de la lluvia
detA (
)
detA (
) =
También se puede desarrollar por el método de los cofactores, elijo usar el primer renglón
Observe lo alternante del signo
detA (
) |
| |
| |
|
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Ejemplo 6: Determinante de una matriz
(
) Calcular su determinante
1er Cofactor|
| |
| el 2do Cofactor |
| |
|
3er Cofactor |
| |
| Note que los signos se alternan, 1er y 3er positivo, 2do
es negativo
Det A |
| |
| |
| |
| ( ) ( ) ( )=18
(
) Calcular su determinante
7. Definición 7: Transpuesta de una matriz, de (1) de m x n es la matriz AT de n x m
representada por:
(
)
En otras palabras, los renglones de una matriz A se convierten en las columnas de su
traspuesta AT.
Ejemplo 7: Transpuesta de una matriz
(a) A=(
), (
) (b) X ( ) ( )
8. Definición 8. Inversa multiplicativa de una matriz
Es cuando una matriz A de n x n, al multiplicarse por su inversa de n x n, resulta la matriz
identidad tal que , siendo la matriz inversa multiplicativa de A.
Las operaciones de matrices no aceptan la división entre matrices, pero si acepta la
multiplicación de inversa de matrices
9. Definición 9. Matrices no singulares y singulares.
Sea una matriz n x n. Si el detA≠0, decimos que la matriz A es no singular. Si el detA=0,
entonces A es singular.
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10. Definición 10. Adjunta de una matriz.
Se define como los cofactores de signo alternante de tal manera que se cumple que dada
una matriz A de n x n, no singular se construye con ( ) , donde es el
determinante de la matriz de (n – 1) x (n – 1) obtenido al eliminar el i-ésimo renglón y la j-
ésima columna de A. Como se explica a continuación:
Dada una matriz no singular de 2 x 2
(
)
La matriz adjunta de A es
( ) (
) ((
) (
)
(
) (
))
De donde , , , Resulta la adjunta:
( ) (
)
Dada una matriz no singular de 3 x 3
(
)
La matriz adjunta de B es
( ) (
)
(
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
))
De donde |
|, |
|, |
|,
|
| , |
|, |
|,
|
|, |
|, |
|,
Resulta:
( ) (
)
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11. Definición 11. Inversa de una matriz.
Se define la inversa de una matriz A de n x n, como otras matriz que se denota con el
exponente de n x n cumple la siguiente operación
( )
Ejemplo 8. Calcular la inversa de la matriz 2 x 2.
(
)
Solución Como detA= 10 – 8 = 2 ≠ 0, A es singular
(
) (
)
No toda matriz tiene inversa. La matriz (
) es singular porque su determinante
es nulo, detA=0. Por consiguiente A-1 no existe
Ejemplo 9. Inversa de una matriz 3 x 3.
Calcular la inversa de la matriz (
)
Solución Como primer paso calculamos todos lo cofactores
|
| , |
| , |
| , |
| ,
|
| , |
| , |
| , |
| , ,
|
| ,
Como el detA= . + . + . ( )
(
)
(
)
Compruebe que . El lector interesado puede consultar cualquier libro de algenra lineal.
Arthur Cayley (16 -08-1821 / 26 - 01- 1895) fue un matemático y
abogado británico. Graduado con honores en el Trinity College Cambridge en
1848 de temperamento dulce y juicio sobrio, prolifero en sus 200
publicaciones sobre matemática. En ellas temas como matrices de “n”
dimensiones, transformaciones lineales que son el origen a su teoría de
matrices, la teoría de superficies y la de determinantes. Colaboró con la teoría
de invariantes y algebra de dimensión finita. Introduce el concepto de matriz
nula como resultado de vectores matrices horizontales nulos y el concepto de
matriz identidad, para luego postular la adición de matrices como hoy día.
Sus investigaciones dieron fruto al estudio de la norma de Vectores de ocho
términos que son valores reales resulta
( )
+
+ +
+ +
A este hipernúmero le denominó
<<octonión>>. Determinó los Autovalores y Autovectores de las matrices.
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12. Definición 12: valores propios y vectores propios
Sea A una matriz n x n. se dice que un número es un valor propio de A si existe un vector
solución K no cero del sistema lineal
A.K = .K (2)
El vector solución K es un vector propio que corresponde al valor propio
Se usan también las palabras eigenvalor y eigenvector, combinaciones en español
adaptadas de las palabras alemanas eigenwert que traducida literalmente es “valor
propio”. A los valores propios y vectores propios se les llaman también valores
característicos y vectores característicos, respectivamente.
Ejemplo 8: Vector propio de una matriz
Compruebe que ( ) es un vector propio de la matriz (
)
Solución: Al efectuar la multiplicación A.K vemos que
(
) ( ) (
) ( ) (
) ( )
De acuerdo a la definición 8 y el renglón precedente, vemos que es un valor
propio de A.
Aplicando las propiedades del algebra de matrices, podemos expresar la ecuación (2) en la
forma alternativa
(A .I).K = 0 (3)
Donde I es la identidad multiplicativa. Si definimos
K (
)
Entonces la ecuación (3) es equivalente a
( )
( ) (4)
( )
Aunque una solución obvia de (4) es sólo interesan las soluciones no
triviales. Se sabe que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una
solución no trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo, es decir que el
sistema de los vectores que la conforman son linealmente independientes si su determinante es
igual a cero.
( ) (5)
Al examinar (4) se ve que el desarrollo del ( ) por cofactores da como resultado un
polinomio en de grado n. la ecuación (5) se llama ecuación característica de A. Así, los valores
propios de A son las raíces de la ecuación característica. Para determinar un vector propio que
Valor propio
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corresponde al valor propio , solo se resuelve el sistema de ecuaciones (A .I).K = 0 aplicando la
eliminación Gauss Jordan a la matriz aumentada (A .I|0).
Ejemplo 9: Valores propios y vectores propios
Determinar los Valores propios y vectores propios de (
)
Solución:
( ) |
|
( ) ( ) vemos entonces que los valores propios son
Para
(A .I|0) (
| )
→ (
| )
→ (
| )
→ (
| ) entonces
y
. Le damos cualquier valor a
distinto de cero, para este caso , obtenemos el vector propio
(
)
Para
(A .I|0) (
| )
→ (
| )
→ (
| )
→ (
| )
→ (
| ) queda y . Con la opción
que , se obtiene el segundo vector propio ( )
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Para el último
(A .I|0) (
| )
→ (
| )
Así, y . La opción que , se obtiene el tercer vector propio
(
)
Ejemplo 10: Valores propios y vectores propios
Determinar los Valores propios y vectores propios de (
)
Solución:
( ) |
| ( )
vemos entonces que los valores propios son es un valor propio de multiplicidad dos.
En el caso de una matriz 2x2 no se necesita usar la eliminación Gauss – Jordan. Para determinar el
o los valores propios que corresponde , recurriremos al sistema (A .I|0) en su forma
equivalente
De aquí se deduce . Le asignamos valor de y obtenemos , llegamos a
un solo vector propio
( )
Ejemplo 11: Valores propios y vectores propios
Determinar los Valores propios y vectores propios de (
)
Solución:
( ) |
| ( ) ( )
Observamos que los valores propios son
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Para
(A .I|0) (
| )
→ (
| )
quedando y . Con la opción que , se obtiene el segundo vector propio
( )
cuando
(A .I|0) (
| )
→ (
| ) en la ecuación
elegiremos libremente a dos de las variables.
Si por una parte optamos por , por otra parte optamos por
obtendremos dos vectores linealmente independientes:
( ) y (
)
DETERMINE LOS VALORES PROPIOS Y LOS VECTORES PROPIOS DE CADA MATRIZ DADA:
1. (
) Respuesta: y ( ), (
)
2. (
)
3. (
) Respuesta: ( )
4. (
)
5. (
) Respuesta: ; ; ( ), (
); (
)
6. (
)
7. (
) Respuesta: ( ), (
)
8. (
)
Dennis Zill y Michael Cullen. Ecuaciones Diferenciales con valores en la Frontera.
Jean Paul Collette. Historia de la matemática volumen 1.
