Mengindentifikasi Berbagai Bentuk dan Luas Bangun Datar Dalam Konteks Nyata dengan

Pengembangan Karakter.

Nama : Pukky Tetralian B.N

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PGRI SEMARANG2014

Bab I Pendahuluan

Latar Belakang

Geometri dibedakkan menjadi dua yaitu geometri bangun datar dan geometri bangn ruang. Pada artikel ini akan membahas geometri bangun datar. Geometri bangun datar, merupakan studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah bidang datar. Bangun datar dalam pembahasan materi geometri sangat luas dan memiliki banyak macam bentuk dan jenis. Bangun datar terdiri dari bangun yang dibatasi oleh poligon (segi banyak) yang merupakan sisinya dan terletak pada bidang datar. Secara umum, bagun datar atau segibanyak dapat kelompokkan menjadi : segitiga, segiempat, segilima, segienam, dan seterusnya. Akan tetapi jika didasarkan pada tingkat kemudahan atau kesederhanaan dalam mengenalinya dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu bangun datar sederhana dan bangun datar tidak sederhana.

Rumusan Malasah

1. Apa saja contoh dari bangun datar sederhana dalam konteks sehari- hari?

2. Apa saja contoh dari bangun datar tidak sederhana dalam konteks sehari- hari?

Tujuan

Setelah membaca artikel ini maka diharapkan pembaca dapat memahami tentang beberapa hal berkaitan dengan bangun datar sederhana serta bangun datar tidak sederhana dan mengetahui bangun datar dalam tingkat kesederhaannya dalam konteks nyata yang berkaitan dengan matematika, sehingga pembaca dapat mengetahui perbedaan tersebut dan dapat mencari luas bangun datar tahap demi tahap dengan cara deduktif . Pada artikel ini juga di sisipi nilai karakter bangsa Indonesia sehingga pembaca dapat mengetahui nilai positif yang ada pada artikel ini.

Manfaat

Supaya dapat memperdalam pengetahun yang berkaitan dengan geometri bangun datar dan dapat mengetahui konteks nyata yang berkaitan dengan kehidupan sehari – hari.

Bab IIPembahasan

Bangun datar

Bangun Datar Sederhana

SegiempatSegiempat SegitigaSegitiga

Segiempat

Persegi Panjang Persegi

Persegi Panjang

Sifat – Sifat

Definisi

Pembuktian Rumus

Pembuktian Rumus Persegi panjang

Permasalahan :

Pada suatu hari saat Andi berjalan pulang dari sekolah,dia menemukan dompet yang berisi uang kertas yang berisi lima ribuan 4, sepuluh ribuan 2 , lima puluh ribuan 5,dan seratus ribuan 3. Dalam dompet tersebut ada alamat pemilik dan dia mengembalikan ke pemilik dompet tersebut. Dari bentuk uang kertas tersebut ,bagaimana untuk mencari luas uang kertas tersebut?

Gambar 1.1. Uang kertas representasi dari persegi panjang

Sumber :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Indonesian_Rupiah_%28IDR%29_banknotes2009.jpg

Pembahasan

Uang kertas tersebut berbentuk persegi panjang, kita perlu mencari rumus luas persegi panjang tersebut yaitu :

Postulat

•Daerah yang dilengkapi oleh persegi, dimana setiap sisinya memiliki panjang a, maka persegi ini memiliki luasan yang sama dengan a2

•Kemudian dari postulat diatas menghasilkan sebuah teorema untuk Luas Persegi Panjang,

Teorema

•Luas suatu persegi panjang yang panjang sisinya a dan b adalah a.b

Bukti :

•Misal kita konstruksikan Persegi Panjang dari suatu persegi seperti pada gambar dibawah ini.

Dari gambar diatas dan menurut Postulat, maka :

•(a + b)2 = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4

•a2 + 2ab + b2 = a2 + Luas R2 + Luas R3 + b2

karena Luas R2 = Luas R3, berakibat :

•a2 + 2ab + b2 = a2 + 2 Luas R2 + b2

•2a.b = 2 Luas R2

•a.b = Luas R2

Jadi untuk luas Persegi Panjang pada luas R2 = a.b atau luas persegi panjang dapat dimisalkan

R2 = Luas (L)

a = Panjang (p)

b = Lebar (l)

sehingga Rumus Luas Persegi Panjang didapat :

L = p x l

Definisi persegi panjang

Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar.

Sifat – sifat persegi panjang

• Memiliki empat sisi serta empat titik sudut

• Memliki dua pasang sisi sejajar yang berhadapan dan sama panjang

• Memiliki empat buah sudut yang besarnya 90° ( siku-siku )

• Memliki dua diagonal yang sama panjang

• Memiliki dua buah simetri lipat

• Memliki simetri putar tingkat dua

Persegi

Sifat – Sifat

Definisi

Pembuktian Rumus

Pembuktian Rumus Persegi

Permasalahan :

Pak Budi seorang pengerajin ubin,yang setiap hari memproduksi ubin sebanyak 200 buah per hari. Dia bekerja keras setiap harinya untuk istri dan kedua anaknya sehingga setiap hari dia harus mencapai target yang telah ditentukan. Ubin Pak Budi berbentuk persegi. Untuk mencari luas ubin tersebut, bagaimana caranya?

Gambar 1.2. Ubin Keramik Yang Berbentuk Persegi

Sumber : http://2.bp.blogspot.com/_bhStJPNL_O4/TRCyMrZFKSI/AAAAAAAAJNM/pEhhQJ97S4I/s1600/Ubin%2BKolonial_03.jpg

Pembahasan

Perhatikan kedua gambar di bawah ini.

Gambar 1 Gambar 2

Perhatikanlah gambar 2 dengan teliti, dimana ada persegi – persegi kecil didalam sebuah persegi yang besar. Langkah – langkah :

Pertama :

•Perhatikan persegi – persegi kecil tersebut yang merupakan satuan dari persegi besar.

Kedua :

•Anggaplah satu persegi kecil merupakan satu satuan, maka dapat dikatakan bahwa persegi diatas memiliki luas sebanyak jumlah semua persegi kecil.

Ketiga :

•Hitunglah kubus satuan kecil tersebut dengan cara seperti gambar berikut

Vertikal Horizontal

Sehingga dapat disimpulkan.

Luas persegi = Hasil kali jumlah satuan dari kedua sisi yang saling tegak lurus

= 10 x 10

= 100 satuan

Jadi Rumus Luas Persegi yaitu :

Luas = sisi x sisi

L = s x s

Definisi Persegi

Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.

Sifat – sifat persegi

• Memiliki empat sisi serta empat titik sudut

• Memiliki dua pasang sisi yang sejajar serta sama panjang

• Keempat sisinya sama panjang

• Keempat sudutnya sama besar yaitu 90° ( sudut siku-siku )

• Memiliki empat buah simetri lipat

• Memiliki simetri putar tingkat empat.

Segitiga

Segitiga Sembarang

Segitiga Sama Sisi

Segitiga Sama Kaki

Segitiga Sama Kaki

Sifat – Sifat

Definisi

Pembuktian Rumus

Pembuktian Rumus Segitiga Sama KakiPembuktian Rumus Segitiga Sama Kaki

Permasalahan :

Pada hari minggu keluarga Pak Darwin pergi berlibur ke tempat wisata alam pantai indah kapuk, setelah mereka menunaikan ibadah bersama, mereka berjalan – jalan menuju rumah mangrove, setelah sampai rumah mangrove mereka melihat atap dan alas yang berbentuk segitiga sama kaki. Bagaimana mencari luas segitiga sama kaki tersebut?

Gambar 1.4. Atap Rumah dan lantai yang Berbentuk Segitiga

Sumber :

http://images.detik.com/customthumb/2014/01/02/1026/img_20140102162158_52c52fb6da004.jpg?w=600

Pembahasan

Perhatikan gambar persegi panjang yang didalam nya terdapat segitiga sama kaki dibawah ini:

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4

2.a.t = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4

karena Luas R1 = Luas R2 = Luas R3 = Luas R4

2 a.t = 4 Luas R1

a.t = 2 Luas R1

2 Luas R1 = a.t

Luas R1 = a.t

dengan

a = alas dan t = tinggi

L = x alas x tinggi

Jadi Rumus Luas Segitiga Sama Kaki yaitu

2

1

2

1

L = a x t2

1

Definisi Segitiga Sama Kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang berhadapan sama panjang.

Sifat – Sifat Segitiga Sama Kaki

• Mempunyai 2 sisi yang berhadapan sama panjang.

• Mempunyai 2 sudut yang berhadapan sama besar.

• Mempunyai 1 simetri lipat.

Segitiga Sama Sisi

Sifat – Sifat

Definisi

Pembuktian Rumus

Segitiga Sama Sisi

Permasalahan :

Pada suatu hari Sinta pergi berlibur bersama keluarganya. Saat perjalanan sinta dan keluarganya berhenti sejenak untuk menunaikan ibadah terlebih dahulu. Pada samping tempat ibadah tersebut terlihat jembatan besar yang dibentang dengan tali baja. Jembatan tersebut berbentuk segitiga sama sisi .Bagaimana mencari segitiga sama sisi?

Gambar 1.5 Tali Jembatan Dengan Jalan yang Membentuk Segitiga Sama SisiSumber :

http://bulanbintang.files.wordpress.com/2008/03/jembatan-raja-haji-fisabilillah-hubungkan-batam-rempang-galang-barelang.jpg?w=500

Pembahasan

Segitiga sama sisi alasnya sama dengan s, tinggi segitiga sama sisi kita cari dengan phytagoras antara sisi miring = s dengan setengah panjang alas = s2

1

Sehingga t = 22 )2

1( ss −

Jadi untuk luas segitiga sama sisi yaitu :

L = 2

1a x t

2

1 22 )2

1( ss − L = s x

2

1 22

4

1ss − L = s x

2

1 2

4

3s L = s x

2

1

2

13 L = s x s

4

13L = s2

4

2s3 L =

Jadi Rumus Luas Segitiga Sama Sisi yaitu

4

2s3 L =

Definisi Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang dan ketiga sudutnya sama besar.

Sifat – Sifat Segitiga Sama Sisi

• Panjang sisi sama.

• Besar sudutnya sama.

• Mempunyai 3 simetri lipat.

• Mempunyai 3 simetri putar.

Segitiga Sembarang

Sifat – Sifat Sifat – Sifat

Definisi Definisi

Pembuktian RumusPembuktian Rumus

Segitiga Sembarang

Sumber : http://talisadikamaifa.files.wordpress.com/2012/12/3233540856_af8ec1bc35.jpg

Gambar 1.6 Resoles Berbentuk Segitiga Sembarang

Permasalahan :

Ibu Santi selalu pergi kepasar setiap pagi untuk

menjual resoles. Sebelum dia pergi kepasar dia selalu

beribadah dan menyiapkan resoles yang akan dia jual.

Resoles tersebut berbentuk segitiga sembarang.

Bagaimana mencari luas resoles tersebut yang

berbentuk segitiga sembarang?

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa rumus luas ∆ABC jika ukuran ketiga sisinya diketahui, yaitu a, b, c adalah

Dengan s adalah ½ keliling segitiga tersebut atau s = ½ (a + b + c)

langkah – langkah :

1. Masih ingatkan rumus identitas trigonometri sin2 A + cos2 A = 1 sin2 A = 1 – cos2 A sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A )

2. Kita ganti cos A dengan aturan cosinus,yaitu:

3. kita kembali lagi ke s = ½ (a + b + c), maka : 1) (a + b + c) = 2s 2) (b + c – a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a ) 3) (a + b – c) = (a + b – c) – 2c = 2s – 2c = 2 (s –c ) 4) (a + c – b) = (a + c – b) – 2b = 2s – 2b = 2 (s –b )

bc

acbA

2

)(cos

222 −+=

−+−

−++=bc

acb

bc

acbA

2

)(1

2

)(1sin

2222222

+−−

−++=bc

acbbc

bc

acbbcA

2

2

2

2sin

2222222

−−

−+=bc

cba

bc

acbA

2

)(

2

))(sin

22222

222

4

))()()((sin

cb

cbacbaacbacbA

+−−+−+++=

224

))()()((sin

cb

cbacbaacbacbA

+−−+−+++=

))()()((2

1sin cbacbaacbacb

bcA +−−+−+++=

)(2).(2).(2.22

1sin csbsass

bcA −−−=

))()((162

1sin csbsass

bcA −−−=

))()((2

4sin csbsass

bcA −−−=

))()((2

sin csbsassbc

A −−−=

Sehingga,

4. ingat bahwa luas segitiga adalah :AbcL sin

2

1=

))()((2

2

1csbsass

bcbcL −−−=

))()(( csbsassL −−−=

Jadi Rumus Luas Segitiga Sembarang yaitu

))()(( csbsassL −−−=

Definisi Segitiga Sembarang

Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya dan ketiga sudutnya berbeda besarnya.

Sifat – Sifat Segitiga Sembarang

• Panjang Sisi tidak sama.

• Besar Sudutnya tidak sama.

• Tidak mempunyai Simetri Lipat.

• Tidak mempunyai Simetri Putar.

Bangun datar tidak sederhana

SegienamSegilima

Segilima

Sifat – Sifat

Definisi

Pembuktian Rumus

Segilima

Permasalahan :

Pandang dengan teliti motif bola yang berwarna hitam. Motif bola tersbut berbentuk segilima. Bagaimana mencari luas segilima tersebut ?

Gambar 1.6. Motif Bola Warna hitam yang Berbentuk Segi Lima

Sumber : http://2.bp.blogspot.com/Eoy7VSd433Q/UnqSeFEr6aI/AAAAAAAAAEY/rhalloSYaaE/s1600/paving+blok+segi+enam+1.jpg

Pembahasan

Lihatlah gambar lingkaran yang didalam nya terdapat segienam dibawah ini.

Perhatikan sisi AB = BC = CD = DE = EA = S (sisi), jadi disini "S" adalah sisi dari segi enam beraturan. Sedangkan OA = OB = OC = OD = OE = r (jari-jari).

• Untuk segi enam beraturan, sisi dan jari-jarinya sama karena segitiga yang dihasilkan adalah segitiga sama sisi. Bisa dibuktikan karena sudut AOF besarnya 72o (360 dibagi dengan jumlah sisi segilima yang jumlahnya lima), dan sisi yang mengapit sudut itu juga sama panjang, yaitu dua buah jari-jari.

• Kita mencari dahulu rumus segitiga sama kaki yaitu :

• Jadi luas segilima beraturan jika diketahui jari-jarinya n yaitu:

θsin..2

1baLuas =

θsin..2

1rrLuas =

°= 72sin2

1 2rLuas

Luas = n x luas

°72sin2

1 x5 = Luas 2r

°72sin2

5 = Luas 2r

• n pada rumus diatas menunjukkan jumlah segitiga yang ada pada segienam, yaitu 5 buah segitiga. Dan r = s sehingga Rumus diatas juga berlaku jika yang diketahui adalah sisinya.

Jadi rumus luas segilima adalah

°= 72sin2

5 2sL

Definisi Segilima

Segilima beraturan adalah bangun datar yang dibentuk oleh 5 ruas garis yang setiap pasangnya bertemu di satu titik.

Sifat – Sifat Segilima

• Sudut dalam pada segilima beraturan adalah 108°.

• Segilima beraturan memiliki 5 simetri garis dan 5 simetri putar.

Segienam

Sifat – Sifat

Definisi

Pembuktian Rumus

Segienam Segienam

Permasalahan :

Dian dan Nila setiap sore selalu berlari – lari di taman. Pada suatu hari mereka menemukan seorang anak yang tersesat dari orang tuanya. Kemudian mereka membantu anak tersebut dengan mengajak anak tersebut berjalan – jalan dan mencari orang tuanya. Setelah beberapa menit mereka bertemu dengan orang tua anak tersebut. Orang tua anak tersebut berterima kasih dengan Dian dan Nila. Dian dan Nila kembali ke jalur paving. Paving tersebut berbentuk segienam. Bagaimana mencari luas segi lima tersebut?

Gambar 1.7. Paving di Sebuah Taman KotaSumber : http://2.bp.blogspot.com/Eoy7VSd433Q/UnqSeFEr6aI/AAAAAAAAAEY/rhalloSYaaE/s1600/paving+blok+segi+enam+1.jpg

Pembahasan

Lihatlah gambar lingkaran yang didalam nya terdapat segienam dibawah ini.

Perhatikan sisi AB = BC = CD = DE = EF = AF = S (sisi), jadi disini "S" adalah sisi dari segi enam beraturan. Sedangkan OA = OB = OC = OD = OE = OF = R (jari-jari).

• Untuk segi enam beraturan, sisi dan jari-jarinya sama karena segitiga yang dihasilkan adalah segitiga sama sisi. Bisa dibuktikan karena sudut AOF besarnya 60 derajat (360 dibagi dengan jumlah sisi segienam yang jumlahnya enam), dan sisi yang mengapit sudut itu juga sama panjang, yaitu dua buah jari-jari.

• Jadi luas segi enam beraturan jika diketahui jari-jarinya adalah :

• n pada rumus diatas menunjukkan jumlah segitiga yang ada pada segienam, yaitu 6 buah segitiga. Dan r = s sehingga Rumus diatas juga berlaku jika yang diketahui adalah sisinya.

Jadi rumus luas segienam adalah

rrnLuas .2

1=

32

1

2

16 2rLuas =

32

3 2rLuas =

sin 60˚

32

3 2sLuas =

Definisi Segienam

• Suatu segienam beraturan adalah suatu segienam dengan panjang sisi dan besar sudut dalam yang sama.

Sifat – Sifat Segienam

• Sudut dalam pada segienam beraturan adalah 120°.

• Segienam beraturan memiliki 6 simetri garis dan 6 simetri putar.

• Diagonal terpanjang dari segienam beraturan, yang menghubungkan dua titik sudut berseberangan, panjangnya adalah dua kali panjang satu sisinya.

Bab IIIPenutupan

Kesimpulan

Dari penjelasan yang telah diuraikan dengan runtut dapat simpulkan bahwa rumus – rumus luas pada bangun datar terebut saling keterkaitan antara bangun datar yang satu dengan yang lain.

Saran

Lebih memperdalam konsep bangun datar mengenai benda – benda yang berkaitan dengan kehidupan sehari – hari. Kita harus lebih memahami ilmu tentang matematika khususnya dalam artikel ini yaitu geometri sehingga dapat mengetahui kegunaan dan aplikasinya dalam kehidupan sehari – hari.