Método DirectosMétodo de eliminación

gaussiana simpleClase 8

18-Junio-2014

Método de eliminación gaussiana simple

• En general, podemos clasificar los métodos para resolver

sistemas de ecuaciones lineales como métodos gráficos,

métodos directos y métodos iterativos. Los métodos gráficos

son ineficientes para sistemas de tres o mas ecuaciones, por

lo que no los consideraremos en este curso.

Método de eliminación gaussiana simple

• El método consta de dos fases. En la primera se realiza la

eliminación de las incógnitas y en la segunda se busca la

solución mediante la sustitución hacia atrás. La eliminación

hacia adelante de las incógnitas reduce el conjunto de

ecuaciones a un sistema triangular superior.

Ejemplo

• Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones, mediante

el método de eliminación Gaussiana simple

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2 14

4 4 3 6

3 2 3 2

x x x

x x x

x x x

Ejemplo

• El sistema puede ser representado en forma matricial

1

2

3

2 3 2 14

4 4 3 6

3 2 3 2

x

x

x

Ejemplo

• En forma de matriz aumentada queda:

2 3 2 14

4 4 3 6

3 2 3 2

2 2 1

3 3 1

1 1.5 1 71 (1/ 2)

4 4 3 6

3 2 3 2

(4) 1 1.5 1 7

(3) 0 10 7 22

0 6.5 6 23

R R

R R R

R R R

Ejemplo

1 1.5 1 72 (1/10)

0 1 0.7 2.2

0 6.5 6 23

1 1.5 1 73 3 2(6.5)

0 1 0.7 2.2

0 0 1.45 8.7

R R

R R R

1 1.5 1 73 3 2(6.5)

0 1 0.7 2.2

0 0 1 6

R R R

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

• Con lo que la solución del Sistema de ecuaciones

propuesto es:

1

2

3

4

2

6

x

x x

x

Implementación del método de eliminación gaussiana mediante

el uso de Excel

1.Introducir la matriz aumentada del Sistema a

resolver, en este caso la matriz, y normalizar el

primer renglón, tal como se muestra en la figura

12 3 2 14

4 4 3 6

3 2 3 2

Figura 1. Normalización del primer renglón de la matriz aumentada de un Sistema lineal de ecuaciones

Implementación del método de eliminación gaussiana mediante

el uso de Excel

Figura 2. Generación de ceros debajo del primer elemento de la diagonal principal.

Implementación del método de eliminación gaussiana mediante

el uso de Excel3.Normalizar el Segundo renglón y transformar en

ceros los elementos de la columna, qué se

encuentran debajo del elemento que se utilizó

para la normalización del renglón, tal como se

muestra en la figura 3.

Implementación del método de eliminación gaussiana mediante

el uso de Excel

Figura 4. Normalización del tercer renglón calculo de la tercera incognita..

6.Despejar la segunda y la primera incógnita de las

ecuaciones que se forman en los renglones 21 y

20 respectivamente, de la figura 4. Los despejes

corresponden a las ecuaciones anteriormente

trabajadas y se efectúan en las celdas E25 y E26

de la figura 5.

Figura 5. Calculo de la segunda y primera incógnitas.

• La estrategia anterior se puede modificar para obtener la

solución directamente de la matriz de eliminar todas las

incógnitas de cada ecuación, excepto la que se encuentra en

la diagonal principal. Este procedimiento se puede observar

en el método de Gauss-Jordan.

Implementación en Visual Basic

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