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LOGO Métodos Numéricos Computacionales Universidad Nacional de Trujillo

Método de Newton Rapson, Euler,cholebsky, gauss,gauss siedel,jacobbi

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Métodos Numéricos Computacionales

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Métodos Numéricos ComputacionalesU n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Solución de Ecuaciones Algebraicas no Lineales

Objetivo:Sea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se

cumple f(x*)=0.

• x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)

• x* se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o

por medios numéricos (solución aproximada)

La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructuradel problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rapidez del cálculo,....).

«Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable»

Tipos de Métodos

Métodos Acotados Métodos Abiertos

Métodos Numéricos Computacionales

Punto Fijo

Métodos Acotados

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Newton Raphson

Secante

Métodos Abiertos

Met. de la Bisección

Met. de laFalsa Posición

Met. del Punto Fijo

Met. Newton Raphson

Met. de laSecante

La raíz está situada en unintervalo (necesita dos puntos).Acaba convergiendo dentro deuna tolerancia.

Sólo emplean un punto inicial (o dospuntos que no tienen por qué contenera la raíz) y una fórmula para encontrarla raíz. No siempre convergen, perocuando lo hacen son mucho másrápidos que los métodos acotados.

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Bisección

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

« Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz »

Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)

Métodos Acotados

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero

2. Calcula el punto medio como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [p,c]. Comprobación: f(a)*f(c).

4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.

Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

X f(x)

f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20

0

1

2

3

-20

-7

16

46

Existe cambio de signo

a =

b =

a=1

b=2

c=(a+b)/2

c=(1+2)/2

c=1,5

f(1)= -7

f(1,5)=2,88

ε = 10-3

n= ( ln c – ln ε ) / ln 2

El número de

interaciones sera:

n= ( ln (2-1) – ln 10-3 ) / ln 2

n=9,96

n≈10

1º Iteración

≠ signo

Nuevos valores

a=1

b=1,5

2º Iteración

c=(a+b)/2

c=(1+1,5)/2

c=1,25

f(1)= -7

f(1,25)=-2,42

Nuevos valores

a=1,25

b=1,5

= signo

1 2 x

y

-7

16

1,5

2,88

Valores Iniciales

a=1

b=2

Método de la Bisección

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Bisección (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem

plo:

0,0007 ≤ Tolerancia = 0,001

f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Falsa Posición

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero

2. Calcula un punto intersección como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [c,b]. Comprobación: f(a)*f(c).

4. Si el producto es cero, entonces c es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.

Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

X f(x)

f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20

0

1

2

3

-20

-7

16

46

Existe cambio de signo

a =

b =

a=1

b=2

ε = 10-3

1º Iteración

= signo

Nuevos valores

a=1,30435

b=2

2º Iteración

Nuevos valores

a=1,35791

b=2

= signo

1 2 x

y

-7

16

1,30435

-1,33476

Valores Iniciales

a=1

b=2

Método de la Falsa Posición

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Falsa posición (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem

plo:

0,0002 ≤ Tolerancia = 0,001

Métodos Numéricos ComputacionalesU n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Similaridades:

•Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales (a y b)

•Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.

•Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia

Diferencias:

•El cálculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias

•En general el método de la posición falsa converge más rápido que el de la

bisección.

Comparación entre ambos métodos.

Métodos Numéricos ComputacionalesU n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Métodos Abiertos

•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado

de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)

•Métodos:

•Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)

•Newton-Raphson (línea recta empleando información

del gradiente)

•Secante (línea recta empleando dos puntos)

Métodos Numéricos Computacionales

Método del Punto Fijo

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Problema f(x)=0

1.Transformar a x=g(x)

2.Seleccionar un punto inicial x0

3.Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)

4.Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

Si:

|g’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente

|g’(x)|>=1 El algoritmo diverge

x2 x1x0

y= g(x)

y=x

Raiz

y

x

|f(x)|< Tolerancia = ε

Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

f(x)= cosx – 3x ε = 10-3

1º Iteración 2º Iteración

Método del Punto Fijo

a) g(x)= (cos x) /3 b) g(x)= cos x -2x

|f(x)|< ε

3x

cos x

x

y

π/2

converge divergex0=π/8

Hasta

x0=π/8 g(x0)=(cos x0)/3

g(π/8)=(cos π/8)/3

g(π/8)=0,30796

|f(π/8)|= 0,25422

Nuevo valor de x0 es:

x0= g(π/8)

x0= 0,30796

x0=0,30796 g(x0)=(cos x0)/3

g(0,30796)=(cos 0,30796)/3

g(0,30796)=0,31765

|f(π/8)|= 0,02907

Nuevo valor de x0 es:

x0= g(0,30796)

x0= 0,02907

provar

Métodos Numéricos Computacionales

Método de l Punto Fijo (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem

plo:

0,0003≤ Tolerancia = 0,001

a) g(x)= (cos x) /3

Métodos Numéricos Computacionales

Método de Newton Raphson

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Problema g(x)=0

1. Seleccionar un punto inicial x0

2. Calcular g(xi) y g’(xi)

3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

xi+1=xi-f(xi)f’(xi)

= g(xi)

•Necesita conocer la derivada de la función

•Convergencia cuadrática (rápida)

•Puede no converger (depende de la función y de la estimación

inicial)

Métodos Numéricos Computacionales

Método de Newton Raphson

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

x2 x1x0

y

x

Raiz

(x0,f(x0))

f(x)

f(x0)

x0 - x1

tg(θ) =

θ

f(x0)f’(x0) =x0 - x1

f(x0)X1 = X0 -

f(xi)Xi+1 = Xi -

f’(x0)

f’(xi)

Deduciendo la ecuación

general del algoritmo

Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

ε = 10-3

1º Iteración 2º Iteración

Método de Newton Raphson

|f(x)|< ε

x

y

Hasta

f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20

f’(x)= 3x2 + 4x + 10 x0 = 1 ,

f(xi)Xi+1 = Xi -f’(xi)

X1 = 1 - 13 + 2*12 + 10*1 – 20

3*12 + 4*1 + 10

X1 = 1,41176

Nuevo valor de x0 es:

x0= x1

x0= 1,41176

f(xi)Xi+1 = Xi -f’(xi)

X1 = 1,41176- 1,411763 + 2*1,411762 + 10*1,41176 – 20

3*1,411762 + 4*1,41176 + 10

X1 = 1,36934

Nuevo valor de x0 es:

x0= x1

x0= 1,36934

X=1,3688

f(x)

Métodos Numéricos Computacionales

Método de Newton Raphson(Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem

plo:

0,0000≤ Tolerancia = 0,001

f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20 ε = 10-3

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Secante

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

Problema g(x)=0

1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1

2. Calcular la recta que pasa por esos puntos

3. El corte con el eje de abscisas da el nuevo puntoestimado. Volver a calcular la recta.

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

xi+1=xi-xi-xi-1

f (xi)-f (xi-1)f (xi)

•No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).

•Necesita dos puntos iniciales.

•Puede no converger.

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Secante

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

y

Deduciendo la ecuación

general del algoritmo

Dos

iteraciones

x1 – x2x1-x0

f (x1)-f (x0) f (x1)

(x1,f(x1))

(x0,f(x0))

x2 = x1 -x1-x0

f (x1)-f (x0)f (x1)

=

f(x1)-f(x0)

x1 - x0

xn+1 = xn-xn-xn-1

f (xn)-f (xn-1)f (xn)

Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o

ε = 10-3

1º Iteración 2º Iteración

Método de la Secante

|f(x)|< ε

x

y

Hasta

f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20

x0 = 0 , x1 = 1 ,

X=1,3688

f(x)

X2 = 1,53846

Nuevos valores de x0 ,x0 son:

x0= x1

x1= x2

x0= 1 , x1= 1,53846

x2 = x1 -x1-x0

f (x1)-f (x0)f (x1)

x0= 1

x1= 1,53846

Nuevos valores de x0 ,x0 son:

x0= x1

x1= x2

x0= 1,53846 , x1= 1,35031

X2 = 1,35031

Métodos Numéricos Computacionales

Método de la Secante (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem

plo:

0,0009≤ Tolerancia = 0,001

f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20 , ε = 10-3x0 = 0 , x1 = 1 ,

Métodos Numéricos Computacionales

Bibliografia:

Metodo Numérico Aplicados a la Ingenieria(Antonio Nieves)

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