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Universidad Privada Nororiental Gran Mariscal de Ayacucho Facultad de Ingeniería Escuela de Mantenimiento I ndustrial Núcleo: El Tigre, Estado Anzoátegui Cátedra: Métodos Numéricos Facilitador : Ing. Carlena Astudillo Realizado por: Ronny Argeta C.I: 19.143.657 Luis Fernández C.I: 19.939.505 Enero del 2015

Métodos numéricos- Métodos de Aproximación

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Universidad Privada Nororiental Gran Mariscal de AyacuchoFacultad de Ingeniería

Escuela de Mantenimiento IndustrialNúcleo: El Tigre, Estado Anzoátegui

Cátedra: Métodos Numéricos

Facilitador:Ing. Carlena Astudillo

Realizado por:Ronny Argeta C.I: 19.143.657

Luis Fernández C.I: 19.939.505

Enero del 2015

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Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única posible solución.

Las aproximaciones son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos.

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

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• Se entiende por aproximación numérica X una cifra que

representa a un número cuyo valor exacto es X. En la

medida en que la cifra X se acerca más al valor exacto

X, será una mejor aproximación de ese número

• Ejemplos:

• 3.1416 es una aproximación numérica de ,

• 2.7183 es una aproximación numérica de e,

• 1.4142 es una aproximación numérica de 2, y

• 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

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• CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; porejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, oun odómetro para medir el kilometraje recorrido.

• El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que sepueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en elodómetro.

• Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas;por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocerel contexto en el que se está trabajando en cada caso, paraidentificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados comocifras significativas.

• El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios paradetectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así comoevaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresadosalgunos números tales como , e o 2.

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• EXACTITUD Y PRECISIÓN

• La precisión se refiere al número de cifras significativas querepresenta una cantidad. Mientras la exactitud se refiere a laaproximación de un número o de una medida al valor numéricoque se supone representa.

• Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número infinito de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de , que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes aproximaciones de :

= 3.15 es impreciso e inexacto.

= 3.14 es exacto pero impreciso.

= 3.151692 es preciso pero inexacto.

= 3.141593 es exacto y preciso.

• Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientementeexactas y precisas. El término error se usa tanto para representar lainexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones.

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• CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantíade que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximacionesobtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valorbuscado.

En la medida en la que un método numérico requiera de un menornúmero de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se diceque tiene una mayor rapidez de convergencia.

Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel degarantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempreconvergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más delresultado deseado.

En la medida en la que un método numérico, ante una muy ampliagama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro queconverja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.

Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, peroque son muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero delenta convergencia.

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• SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS

• El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se

requiere elegir entre:

• Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema

• Varias herramientas tecnológicas

• Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona

y otra, que depende de:

• El nivel de participación en el modelado matemático del problema

• Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo

• La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

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• Tipo de problema a resolver:

• Raíces de ecuaciones

• Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas

• Interpolación, diferenciación e integración

• Ecuaciones diferenciales ordinarias

• Ecuaciones diferenciales parciales

• Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)

• Equipo:

• Supercomputadora

• Computadora personal

• Calculadora graficadora

• Calculadora científica de bolsillo

• Regla de calculo

Las herramientas de cómputo son

máquinas “tontas” que sólo hacen lo

que se le ordena; sin embargo, los

tediosos cálculos numéricos los hacen

muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.

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Entre las aproximaciones numéricas para métodos numéricos tenemos:

Euler

Métodos basados en Taylor

Métodos Runge-Kutta

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• “Software”• Desarrollo de programas:

• lenguaje “C”

• “Basic”

• “Fortran”

• Otro.

• Utilización de software matemático:

• “Maple”,

• “MatLab”,

• “MathCad”,

• “Mathematica”.

• El manejo de hojas de cálculo en PC:

• Excel

• Lotus

• Manejo expedito de una calculadora graficadora

Es altamente recomendable

que el ingeniero sepa programar

en por lo menos un lenguaje, sepa

utilizar algún software matemático,

y manejar muy eficientemente una

hoja de cálculo y una calculadora

graficadora

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Simulaciones en Matlab

Los métodos de Euler. Euler mejorado y método del punto

medio se pueden programar fácilmente en Matlab. El método RK4 está

implementado como parte de las funciones intrínsecas de Matlab en el

algoritmo ODE45.

Si deseamos encontrar la solución a una ecuación de 4 dígitos

de precisión (con cual método descrito anteriormente), no podemos

garantizar que algún método en particular logre el cometido con un

tamaño del paso escogido arbitrariamente. Sin embargo si hacemos la

prueba con un h (digamos 0.1) y vemos las soluciones aproximadas y

luego aproximamos nuevamente la función con h/10, deberíamos ver

que ciertos dígitos se estabilizan en las soluciones. Podemos seguir con

este procedimiento (reducir el h) hasta lograr que la solución se

estabilice en los primeros 4 dígitos según nuestro requerimiento.

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• Método numérico: no existe el mejor, pero si los

favoritos

• Amplitud de aplicación

• Amigabilidad

• Estabilidad

• Rapidez de convergencia

• Número de valores iniciales requeridos

• Se ha de tomar en cuenta, además

• Complejidad del modelo

• Turbulencia de los datos

• Ingenio y creatividad