Métodos y Técnicas

de integración

G. Edgar Mata Ortiz

El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.

Resolución individual de problemas

En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.

Las técnicas de integración

Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.

Las técnicas de integración

Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.

Las técnicas de integración

En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de:

Integración

por partes

Como en el ejemplo anterior, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración.

Ejemplo:

න𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =

Tomaremos como variable u, la equis; y el resto como diferencial de v.

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v.

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v.

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.

La constante de integración se anotará hasta el final del proceso.

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Sustitución de los valores calculados

න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Sustitución de los valores calculados

න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Sustitución de los valores calculados

න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Sustitución de los valores calculados

න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2∙𝟏

𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙

Ejemplo:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2∙𝟏

𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

4𝑒2𝑥 + 𝐶

Solución:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2∙𝟏

𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

4𝑒2𝑥 + 𝐶

Solución:

𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1

2𝑒2𝑥 −න

1

2𝑒2𝑥 𝒅𝒙

𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑣 =𝟏

𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥

𝑣 =1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

2∙𝟏

𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙

=1

2𝒙𝑒2𝑥 −

1

4𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝑒2𝑥 𝑥 −

1

2+ 𝐶

Solución del problema:

El objetivo de la integración por partes es reducir la integral original que no se puede resolver mediante las fórmulas básicas; a una expresión que contenga una integral directa.

න𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =1

2𝑒2𝑥 𝑥 −

1

2+ 𝐶