MODELAGEM MATEMÁTICA

APLICADA NA

ECOLOGIA

Apreciador do conhecimento

O QUE SÃO MODELOS MATEMÁTICO?

O uso dos métodos e técnicas

matemáticos e estatísticos para

resumir ou descrever uma coleção

de dados biológicos para procurar

padrões nos dados e permitam que

inferências podem ser tiradas do

processo ou população estudados.

POR QUE MODELAR?

Para identificar os mecanismos básicos possíveis envolvidos nos

processos ecológicos;

Para revelar e interpretar as contradições ou falta de consistência dos

dados;

Para assistir na confirmação ou rejeição das hipóteses;

Para prever a performance do sistema sob condições ainda não

testados;

Para fornecer informação sobre os valores de parâmetros que

experimentalmente não são acessíveis; e

Para formular hipóteses novos e estimular novas pesquisas;

PARA QUE SERVE MODELOS?

SOLUÇÕES: Analíticas, numéricas e qualitativas

INTERPRETAÇÃO: O que a solução significa em termos do problema

original?

PREVISÕES: O que o modelo sugere o que vai acontecer com mudança

dos parâmetros?

VALIDAÇÃO: Os resultados são consistentes com as observações

experimentais?

“Modelos são ferramentas para pessoas que pensam, não muletas para pessoas que não pensam.”

M. E. Soulé

35% de todos os artigos de Evolution & Ecology usam os modelos matemáticos

60% de todos os artigos da American Naturalist usam modelos matemáticos

A resolução pode ser uma equação e/ou representada por

gráficos.

Como os parâmetros afeta os variáveis?

Os resultados do modelo se ajustam aos dados existentes?

Análise de sensitividade: os resultados são robustos?

O que implicam ou sugerem os resultados?

O que nos informa que é novo e que não entendemos

antes?

Quais previsões podem ser realizadas?

A SOLUÇÃO MATEMÁTICA

O PROCESSO DE MODELAGEM

O ponto de partida é a BIOLOGIA e não a matemática.

A parte mais difícil da modelagem é a identificação de um problema interessante a pesquisar.

Resolver as equações é a parte mais fácil.

Os modelos não são explicações totais e nunca sozinhas podem proporcionar uma solução completa a um problema biológico ou ecológico.

ATENÇÃO...

O ciclo de presa e predador foi previsto de um modelo matemático

Vito Volterra Alfred Lotka

Paul Pierre Lévy

vôos de Lévy

PROPAGAÇÃO DE DOENÇAS

Povo hadza

Por que alguns pássaros têm ninhadas grandes e outros ninhadas pequenas?

QUAL A HIPÓTESE?

Hipótese: em cada espécie, os pais devem maximizar o número de filhotes que sobrevivem. A sobrevivência é determinada por quantos filhotes podem ser alimentados.

Por que alguns pássaros têm ninhadas grandes e outros ninhadas pequenas?

Por que alguns pássaros têm ninhadas grandes e outros ninhadas pequenas?

TÉCNICAS DE MODELAGEM

ANALÍTICA–Usa somente a matemática

TÉCNICAS DE MODELAGEM

SIMULAÇÃO–Simulação por computador

KARL PEARSON

Matemático britânico conhecido como sendo o criador da Estatística Aplicada

COEFICIENTE LINEAR DE PEARSON

Mede a força do relacionamento linear entre valores pareados x e y na amostra

O coeficiente de correlação linear de Pearson é dado por:

sendo que,

mente.respectivaY, e X de padrão desvios os são S e S

mente,respectiva Y, e X de amostrais médias as são Y e X

YX

2

11

22

11

2

111

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

yynxxn

yxyxnr

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR

Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função f(x) = 3+x2

x

xfxxff

x

)()(lim´

0

x

xxxx

x

xxxxf

23)(3)(

222

xxxx

xxxf

xx2]2[lim]

2[lim´

0

2

0

xxdx

dxf

dx

d

dx

dff 2]3[)]([´ 2

DERIVADA

Um pacote pequeno de biscoito mais uma bala custa R$ 1,10

Se o pacote de biscoite custa R$ 1,00 a mais do que a bala.

Qual o valor da bala?

UM QUESTIONAMENTO

É uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas.

Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Quão rápido cresce o número de bactérias ?

Qual a velocidade de crescimento das bactérias?

MATEMÁTICA NA PRÁTICA

Não crie um modelo complexo!Sempre comece com o modelo mais simples possível.

“Se duas explicações podem explicar as observações, devemos escolher a explicação que postula menos entidades ou processos ou que exige o número menor de premissas independentes.”

“Não deve aumentar, além do necessário, o número de entidades necessárias para explicar qualquer coisa.”

A solução mais simples é sempre a melhor!

A NAVALHA DE OCCAM

Guilherme de Occam Filosofo inglês do século XIV

Quais as vantagens e desvantagens ao viver em grupo?

Carduelis carduelis (pintassilgo-europeu)

Tamanho do bando Elevação da cabeça (por minuto)

1 11

2 9

3 7

4 6

5 5

6 5

7 4

VANTAGEM: Mais tempo se alimentando e menos tempo vigiando predadores

VANTAGEM: Mais tempo se alimentando com menos tempo vigiando predadores

Tamanho do bando Elevação da cabeça totais do bando

inteiro (por minuto)1 11

2 18

3 21

4 22

5 27

6 28

7 30

DESVANTAGEM: A vigilância total do bando inteiro cresce com o seu tamanho

Tamanho do bando Tempo para captura uma semente

(segundos)1 1.70

2 1.50

3 1.40

4 1.30

5 1.50

6 1.20

7 1.15

VANTAGEM: O tempo total para captura uma semente diminui em bandos maiores

Tamanho do bando Intervalo de vôo (segundos)

2 1.50

3 1.80

6 1.80

8 2.00

8 2.70

13 2.80

16 5.70

16 6.00

DESVANTAGEM: Com um maior grupo, são forçados a voarem para mais longe

CONCLUSÃO

Indivíduos em pequenos bandos procuram por predadores mais frequentemente.

Mas, a taxa total de vigilância para o bando inteiro enquanto forrageia cresce com o seu tamanho.

O tempo total para um indivíduo capturar alimento diminui em bando maiores.

Mas, o tempo gasto pelos indivíduos se movendo entre plantas aumenta.

Quais as vantagens e desvantagens ao viver em grupo?

VANTAGEM: Mais tempo de alimentando e menos tempo vigiando

DESVANTAGEM: Em grupos maiores são obrigados a se deslocar para mais longe.

Volume de água (m3/há-1) Produtividade (Kg/há-1)

600 16000

1400 22000

1700 25000

2500 28000

Qual o volume ótimo de água para a maior produtividade de melancia?

Com um volume de 2320,99 m3/h-1 consegue a maior produtividade de 28388,95 kg/h-1

OUTRO QUESTIONAMENTO

Um indivíduo é descrito da seguinte maneira:

“Ele é muito tímido e retraído, invariavelmente prestativo, mas com pouco interesse nas pessoas ou no mundo real. De índole dócil e organizada, tem necessidade de ordem e estrutura, e uma paixão pelo detalhe.”

PERGUNTA-SE? Há maior probabilidade dessa pessoa ser um bibliotecário ou um fazendeiro?

A ESTATÍSTICA não pode ser ignorada

Há mais de vinte fazendeiros homens para cada bibliotecário homem.

E AGORA?

Há maior probabilidade dessa pessoas ser um bibliotecário ou um fazendeiro?

A baleia-bicuda-de-cuvier (Ziphius cavirostris) parece ter sua área de alimentação associada a inclinação e profundidade do assoalho marinho.

Para estudar essas baleias um pesquisador definiu um transecto de 5 Km (Oeste → Leste), a partir da costa, onde estudou o comportamento da Baleia.

Os dados de profundidade foram medidos nas seguintes distâncias (Km) do transecto:

Distância (km)

Profundidade (km)

0 -0,10,5 -0,5

1 -0,981,35 -1,21,72 -1,42,05 -0,95

2,4 -1,053 -1,9

3,3 -2,333,77 -2,88

4 -2,854,5 -2,1

5 -2,2

MATEMÁTICA NA PRÁTICA

Uma hipótese é que a baleia concentre esforço de forrageio em profundidades intermediárias (entre 1Km e 1,5Km) em terrenos com inclinações negativas.

Se essa hipótese estiver correta, pergunta-se:

Onde espera encontrar mais baleias ao longo da transecção?