Upload
pantelis-sopasakis
View
337
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Presentation of my PhD Thesis titled "Modelling and Control of Biological and Physiological Systems" (in Greek).
Citation preview
Μοντελοποίηση και ΄Ελεγχος
Βιολογικών amp Φυσιολογικών Συστημάτων
Παντελής Σωπασάκης
Σχολή Χημικών Μηχανικών
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
29 Δεκεμβρίου 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 182
Αντικείμενο της Διατριβής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 282
Βέλτιστη Χορήγηση Φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 382
Μοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 482
Ιδιαιτερότητες του Προβλήματος Χορήγησης
Ο έλεγχος της χορήγησης φαρμάκου δεν προσιδιάζει σε κλασικά
συστήματα ελέγχου
κι έτσι απαιτούνται καινοτόμες μέθοδοι για την ανάλυση και το
σχεδιασμό εφαρμόσιμων ελεγκτών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 582
Διάρθρωση
Ι Χορήγηση από του στόματος
II Συνεχής ενδοφλέβια έγχυση
III Κλασματική φαρμακοκινητική και έλεγχος
IV Χορήγηση με δειγματοληπτική μέτρηση
V Κρουστική χορήγηση
VI Μοριακή μοντελοποίηση
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 682
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Αντικείμενο της Διατριβής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 282
Βέλτιστη Χορήγηση Φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 382
Μοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 482
Ιδιαιτερότητες του Προβλήματος Χορήγησης
Ο έλεγχος της χορήγησης φαρμάκου δεν προσιδιάζει σε κλασικά
συστήματα ελέγχου
κι έτσι απαιτούνται καινοτόμες μέθοδοι για την ανάλυση και το
σχεδιασμό εφαρμόσιμων ελεγκτών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 582
Διάρθρωση
Ι Χορήγηση από του στόματος
II Συνεχής ενδοφλέβια έγχυση
III Κλασματική φαρμακοκινητική και έλεγχος
IV Χορήγηση με δειγματοληπτική μέτρηση
V Κρουστική χορήγηση
VI Μοριακή μοντελοποίηση
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 682
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Βέλτιστη Χορήγηση Φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 382
Μοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 482
Ιδιαιτερότητες του Προβλήματος Χορήγησης
Ο έλεγχος της χορήγησης φαρμάκου δεν προσιδιάζει σε κλασικά
συστήματα ελέγχου
κι έτσι απαιτούνται καινοτόμες μέθοδοι για την ανάλυση και το
σχεδιασμό εφαρμόσιμων ελεγκτών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 582
Διάρθρωση
Ι Χορήγηση από του στόματος
II Συνεχής ενδοφλέβια έγχυση
III Κλασματική φαρμακοκινητική και έλεγχος
IV Χορήγηση με δειγματοληπτική μέτρηση
V Κρουστική χορήγηση
VI Μοριακή μοντελοποίηση
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 682
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Μοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 482
Ιδιαιτερότητες του Προβλήματος Χορήγησης
Ο έλεγχος της χορήγησης φαρμάκου δεν προσιδιάζει σε κλασικά
συστήματα ελέγχου
κι έτσι απαιτούνται καινοτόμες μέθοδοι για την ανάλυση και το
σχεδιασμό εφαρμόσιμων ελεγκτών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 582
Διάρθρωση
Ι Χορήγηση από του στόματος
II Συνεχής ενδοφλέβια έγχυση
III Κλασματική φαρμακοκινητική και έλεγχος
IV Χορήγηση με δειγματοληπτική μέτρηση
V Κρουστική χορήγηση
VI Μοριακή μοντελοποίηση
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 682
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ιδιαιτερότητες του Προβλήματος Χορήγησης
Ο έλεγχος της χορήγησης φαρμάκου δεν προσιδιάζει σε κλασικά
συστήματα ελέγχου
κι έτσι απαιτούνται καινοτόμες μέθοδοι για την ανάλυση και το
σχεδιασμό εφαρμόσιμων ελεγκτών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 582
Διάρθρωση
Ι Χορήγηση από του στόματος
II Συνεχής ενδοφλέβια έγχυση
III Κλασματική φαρμακοκινητική και έλεγχος
IV Χορήγηση με δειγματοληπτική μέτρηση
V Κρουστική χορήγηση
VI Μοριακή μοντελοποίηση
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 682
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Διάρθρωση
Ι Χορήγηση από του στόματος
II Συνεχής ενδοφλέβια έγχυση
III Κλασματική φαρμακοκινητική και έλεγχος
IV Χορήγηση με δειγματοληπτική μέτρηση
V Κρουστική χορήγηση
VI Μοριακή μοντελοποίηση
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 682
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IΣχεδιασμός βέλτιστης κοινής πολιτικής
χορήγησης φαρμάκου
Χορήγηση από του στόματος σε πληθυσμό ασθενών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 782
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Χορήγηση από του στόματος
Στόχος Σχεδιασμός βέλτιστης
κοινής πολιτικής χορήγησης
φαρμάκου σε πληθυσμό ασθενών
υπό τους περιορισμούς
1 Διαθεσιμότητα δόσεων
2 Περιορισμοί τοξικότητας
3 Περιορισμοί συχνότητας
χορήγησης
4 Εξασφάλιση
αποτελεσματικότητας
P Sopasakis H Sarimveis ldquoAn integer pro-gramming approach for optimal drug dose com-putationrdquo Comp Meth Prog Biomed vol 108pp 1022ndash1035 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 882
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Μοντέλα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης
Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο όργανο j την στιγμή k είναι
γραμμικός συνδυασμός της τρέχουσας και Nj περασμένων δόσεων
Cj(k) =
Njsumi=0
αji middot dose(k minus i) αj sim N(microj Σj)
Κατασκευάζεται εύκολα από πειραματικές μετρήσεις
Περιγράφει περίπλοκες γραμμικές δυναμικές (με πολλά σημεία μη-
δενισμού στη συνάρτηση μεταφοράς τους)
P Sopasakis and H Sarimveis ldquoFormulation and solution of an optimal control problem wherethe input values are restricted on a finite setrdquo in 7th Hellenic Sci Conf Chem Eng June 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 982
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Περιορισμοί Ασφαλείας και Αποδοτικότητας
Απαιτούμε σε κάθε όργανο j = 1 M και κάθε χρονική στιγμή
k = 0 T να ισχύει
E (Cj(k)) + γj
radicVar [Cj(k)] le mtcj
όπου mtcj είναι η Ελάχιστη Τοξική Συγκέντρωση στο όργανο jΕπίσης απαιτούμε για κάθε k ge Kj
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj
και mecj είναι η Ελάχιστη Θεραπευτική Συγκέντρωση στο j όργα-
νο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1082
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Περιορισμοί Δόσεων και Συχνότητας Χορήγησης
Οι δόσεις είναι περιορισμένες σε ένα διακριτό σύνολο X = xlpl=1
με x1 = 0 Ορίζουμε z(k) = (z1(k) zp(k)) isin 0 1p ώστε
dose(k) = xi ανν zi(k) = 1 και zl(k) = 0 για l 6= i Τότε
psumr=1
zr(k) = 1 για κάθε k isin N
Επίσης απαιτούμε οι διαδοχικές δόσεις να απέχουν τουλάχιστον dχρονικές στιγμές μεταξύ τους Αυτό γεννά τον περιορισμό
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1 k isin N
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1182
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Αντικειμενική Συνάρτηση
Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τις επιθυμη-
τές τιμές CSPj (k) σε κάθε όργανο παρέχοντας την ελάχιστη συνο-
λικά ποσότητα φαρμάκου Εισάγουμε την αντικειμενική συνάρτηση
J(C z) =
Tsumk=0
ν middotpsumr=1
zr(k)xr︸ ︷︷ ︸dose(k)
+Msumj=1
λj[Cj(k)minus CSPj (k)
]2
όπου z = z(0) z(T ) και C = C(0) C(T ) Αν το
φάρμακο χορηγείται για πρώτη φορά υποθέτουμε C(0) = 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Πρόβλημα Βελτιστοποίησης
Επιλύουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης
J = minz
E [J(C z)]
υποκείμενο στους περιορισμούς
Cj(k) = [ x1 middotmiddotmiddot xp ]summin(Nj k)
i=0 αjiz(k minus i)sumpr=1 zr(k) = 1 forallk = 0 T
E (Cj(k)) + γjradic
Var [Cj(k)] le mtcj forallk = 0 T
E (Cj(k))minus δjradic
Var [Cj(k)] ge mecj forallk = Kj T
z1(k) + z1(k + 1) + + z1(k + d) ge dminus 1
και θεωρώντας Cj(0) = 0 Το πρόβλημα αυτό είναι ένα πρόβλη-
μα ακέραιου κυρτού προγραμματισμού με μη γραμμικούς
περιορισμούς
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1382
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1482
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
Time Instants
Str
iatu
m C
onc (n
molL)
Striatum Concentration
Σχήμα Συγκέντρωση στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου κατόπιν χο-
ρήγησης της βέλτισης ακολουθίας δόσεων (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1582
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
02
04
06
08
1
12
14
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MTC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Τοξικής Συγκέντρωσης
στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1682
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
Time Instants
Pro
babili
ty (
)
MEC Violation Probability minus Striatum
Σχήμα Πιθανότητα παραβίασης της Ελάχιστης Θεραπευτικής Συγκέν-
τρωσης στο ραβδωτό σώμα του εγκεφάλου (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1782
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ι Χορήγηση L-dopa από του στόματος
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
Time Instants
Dose (
mgk
g)
Optimal Dose
Σχήμα Βέλτιστη ακολουθία δόσεων που προκύπτει από την επίλυση του
προβλήματος στοχαστικής βελτιστοποίησης (γpl = 15 γstr = δstr = 0)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1882
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IIΠροβλεπτικός ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας
΄Εγχυσης Φαρμάκου
με δυνατότητα μεταβολής του set-point σε πραγματικό χρόνο και
με ελλιπή πληροφορία της κατάστασης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 1982
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ ΄Ελεγχος Συνεχούς Ενδοβλέβιας ΄Εγχυσης
Διατύπωση του προβλήματος
1 Μόνο μετρήσεις στο πλάσμα είναι διαθέσιμες σε πραγματικό
χρόνο
2 Περιορισμοί στην είσοδο (ρυθμός χορήγησης) και την κατάστα-
ση (συγκεντρώσεις)
3 Το set-point μπορεί να μεταβάλλεται κατ΄ επιλογή του ιατρού
P Sopasakis P Patrinos S Giannikou and H Sarimveis ldquoPhysiologically based pharmacoki-netic modeling and predictive control an integrated approach for optimal drug administrationrdquoComputer Aided Chemical Engineering vol 29 pp 1490ndash1494 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2082
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Φυσιολογικά ΦΚ Μοντέλα
Σχετικά Τα ΦΦΜ είναι σύνολα συνήθων διαφορικών εξισώσεων
που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψηπροσομοίωση της κατανο-
μής ουσιών σε έναν οργανισμό
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Μηχανιστική ερμηνεία της φαρμακοκινητικής
2 Μοντέλα συνεχούς χρόνου
3 Εξάγονται στη βάση ισοζυγίων μάζας (διάχυση ροή) και
άλλων αρχών της Φυσικής
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2182
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Βασικά Χαρακτηριστικά
1 Εύρωστη ευστάθεια
2 Στρατηγική βέλτιστου ελέγχου
3 Οι περιορισμοί του συστήματος λαμβάνονται υπόψη με
συστηματικό τρόπο
H Sarimveis P Sopasakis A Afantitis and G Melagraki ldquoA model predictive control approachfor optimal drug administrationrdquo Chemical Engineering Transactions vol 17 2009
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
M V Evans et al ldquoA physiologically based pharmacokin model for iv and ingested DMA inmicerdquo Toxicol sci Oxford University Press pp 1ndash4 2008
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2382
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Βήμα 1 Μοντελοποίηση
Παράδειγμα
VblidCvi
dt= Qi (Cart minus Cvi)minus πi
(Cvi minus
CiPi
)minus
minus rexi (Cvi)Vbli
VidCidt
= πi
(Cvi minus
CiPi
)minus rmeti (Ci)Vi
Το σύνολο των εξισώσεων του μοντέλου γράφεται στο χώρο κα-
τάστασης στη μορφή
dx (t)
dt= f0 (x (t) u (t))
y(t) = g0(x(t))
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2482
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Βήμα 2 Διακριτοποίηση
Διακριτοποιούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου
x(k + 1) = f(x(k) u(k))
y(k) = g0(x(k))
Το οποίο γραμμικοποιούμε γύρω από ένα σημείο ισορροπίας
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k)
ενώ στο σύστημα ενεργούν οι περιορισμοί
Gx(k) +Hu(k) leM
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2582
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Βήμα 3 Σχεδιασμός Παρατηρητή
Εισάγουμε το επαυξημένο σύστημα
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +Bdd(k)
d(k + 1) = d(k)
y(k) = Cx(k) + Cdd(k)
Αν ξ(k) = [ x(k)prime d(k)prime ]prime τότε το παραπάνω σύστημα γράφεται ως
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k)
y(k) = Cξ(k)
Ορίζουμε ey(k) = Cξ (k)minusy (k) ΄Ενας γραμμικός παρατηρητής λαμβάνει
τη μορφή
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) +
[LxLd
]ey(k)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2682
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Κάθε χρονική στιγμή j λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης
V N
(ξ (j)
)= minπ=ujNminus1
j=0
VN
(π ξ (j)
)υποκείμενο στους περιορισμούς
ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k) forallk isin N[0Nminus1]
Gx (k) +Hu (k) leM forallk isin N[0N ]
ξ (0) = ξ(j)
όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι
VN
(π ξ (j)
)= x (N)minus x (j)2P
+sumNminus1k=0 x (k)minus x (j)2Q + u (k)minus u (j)2R
P Patrinos P Sopasakis and H Sarimveis ldquoA global piecewise smooth Newton method for fastlarge-scale model predictive controlrdquo Automatica vol 47 no 9 pp 2016ndash2022 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2782
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Βήμα 4 Σχεδιασμός Προβλεπτικού Ελεγκτή
Ο πίνακας P που ποινικοποιεί την τερματική απόκλιση x (N)minus x (j) 2Pλαμβάνεται ως η (μοναδική) λύση της εξίσωσης
P = AprimePAminus (AprimePB) (BprimePB +R)minus1
(BprimePA) +Q
Τα x (j) και u (j) υπολογίζονται από τη σχέση[Aminus I BC 0
] [x (j)u (j)
]=
[minusBdd (j)
r (j)minus Cdd (j)
]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2882
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμογή σε ένα ΦΦΜ με 14 μεταβλητές κατάστασης (Evans etal) για χορήγηση DMA
0 1 2 3 4 50
002
004
006
008
01
012
014
Time (hr)
Co
nce
ntr
atio
n (
mg
L)
Kidney
Kidney (estimated)
Lung
Lung (estimated)
Σχήμα Απόκριση του παρατηρητή κατάστασης μετά από διέγερση του συ-
στήματος με πεπερασμένο παλμό πλάτους 01mghr και διάρκειας 24min
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 2982
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙ Εφαρμογή ndash Χορήγηση DMA
Εφαρμόζουμε την προταθείσα μεθο-
δολογία στο σύστημα των Evans etal με τους περιορισμούς
Πίνακας Ελάχιστες Τοξικές Συγ-
κεντρώσεις
΄Οργανο MTC (microgL)
΄Ηπαρ 14
Δέρμα 14
Ερυθρά Αιμ 10
Νεφροί 05
Πνεύμονες 05
και μεταβάλλοντας το επιθυμητό ση-
μείο λειτουργίας
P Sopasakis P Patrinos amp H Sarimveis ldquoMo-del Predictive Control for Optimal Drug Admi-nistrationrdquo submitted 2012
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
02
04
06
08
1
12
14
Time (hr)
Concentr
ation (
ugL
)
Reference
Plasma
RBC
Lungs
Skin (tissue)
Kidney (tissue)
Liver (tissue)
0 05 1 15 2 25 3 35 4 450
005
01
Time (hr)
Adm
inis
tration R
ate
(ugh
r)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3082
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
III΄Ελεγχος Συστημάτων Κλασματικής Τάξης
με εφαρμογή στον έλεγχο της συγκέντρωσης φαρμάκου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3182
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Κατασκευή Κλασματικών Παραγώγων
΄Εστω (Inz f)(t) το n-πλο ολοκλήρωμα της f από 0 έως t
(In f)(t) =1
(nminus 1)
int t
0(tminus τ)nminus1f(τ)dτ
με n isin N το οποίο επεκτείνουμε σε πραγματικές τάξεις a isin R ως
εξής (Ολοκλήρωμα Riemann-Liouville)
(Ia f)(t) =1
Γ(a)
int t
0(tminus τ)aminus1f(τ)dτ
΄Εστω m = dae Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο Riemann-Liouville ως
(RL Daf) (t) =dm
dtmImminusaf(t)
και την παράγωγο Caputo ως
(C Daf) (t) = Imminusadm
dtmf(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Κλασματικά Δυναμικά Συστήματα
Είναι τελεστικές σχέσεις εισόδου-εξόδου της μορφής
H(Dα1 Dαn)y(t) = G(Dβ1 Dβm)u(t)
Αν οι H και G είναι γραμμικοί τότε εφαρμόζοντας το μετασχημα-
τισμό Laplace έχουμε
T (s) =y(s)
u(s)=P (s)
Q(s)
όπου y(s) = L y(t) και u(s) = L u(t) και τα PQ είναι lsquoκλασμα-
τικά πολυώνυμαrsquo δηλαδή έχουν τη μορφή
P (s) =
nsumi=0
aisbi bi ge 0
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3382
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική
Χρησιμοποιούμε κλασματικές παραγώγους διότι
1 Οι παράγωγοι μη ακέραιας τάξης είναι μη-τοπικοί τελεστές
και άρα περιγράφουν διεργασίες με μνήμη όπως
3 η ανώμαλη διάχυση και
4 η παγίδευση φαρμάκου σε ιστούς
R Hilfer ldquoFractional diffusion based on Riemann-Liouville fractional derivativesrdquo J PhysChem B vol 104 pp 3914ndash3917 2000
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3482
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Κλασματική Φαρμακοκινητική Αμιοδαρόνης
Φαρμακοκινητικές Εξισώσεις
DA1 = minus(k12 + k10)A1(t) + k21 middot C D1minusaA2(t) + u(t)
DA2 = k12A1(t)minus k21 middot C D1minusaA2(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3582
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Ρυθμιστής PIλDmicro
Κλασματικός ρυθμιστής με συνάρτηση μεταφοράς
Gc(s) = Kp +Ki
sλ+Kds
micro
ο οποίος παράγει τη ρυθμιστική δράση
u(t) = Kpε(t) +Ki(Iλ ε)(t) + (C Dmicro ε)(t)
όπου ε(t) = ySP (t)minus y(t)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3682
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Προδιαγραφές Βαθμονόμησης
1 Απόρριψη θορύβου στον κλειστό βρόγχο
Mh = |Gcl(ıωh)| lt η
2 Απόσβεση δομικών διαταραχών του μοντέλου
Mz =
∣∣∣∣ d
dω^Gol(ıω)
∣∣∣∣ω=ωco
lt ζ
3 Αφομοίωση διαταραχών στην έξοδο
M` = |Gs(ıω`)| lt ϑ
4 Απαιτήσεις για το Περιθώριο Ενίσχυσης και το Περιθώριο
Φάσης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3782
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Βαθμονόμηση Κλασματικού Ρυθμιστή
Ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρωτικού κριστηρίου όπως του
JTfITAE =
int Tf
0τ |ε(τ)|dτ
Δηλαδή επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης
J = min JTfITAE(KpKiKd λ micro)
υπό τις προαναφερθείσες προδιαγραφές βαθμονόμησης απ΄
όπου προκύπτουν οι βέλτιστες παράμετροι βαθμονόμησης
(Kp K
i K
d λ
micro) = argminJTfITAE
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3882
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace προκύπτει η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος
G(s) equiv A1(s)
U(s)=
sa + k21sa+1 + k21s+ (k10 + k12)sa + k10k21
Πίνακας ΦΚ Παράμετροι Αμιοδαρόνης
Παράμετρος Τιμή
a 05870k10 14913dayminus1
k12 29522dayminus1
k21 04854dayminusa
A Dokoumetzidis R Magin and P Macheras ldquoFractional kinetics in multi- compartmentalsystemsrdquo Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics vol 37 pp 507ndash524 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 3982
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
Πίνακας Βέλτιστες Παράμε-
τροι Βαθμονόμησης Κλασμα-
τικού Ρυθμιστή
Παράμετρος Τιμή
Kp 5052Ki 1511Kd 00756λ 09170micro 07590
005 01 015 02 025 030
002
004
006
008
01
012
Kp=20
Kp=95
Kp=K
p
opt
Time (days)
Am
ou
nt
A1
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4082
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus100
minus50
0
50
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ανοιχτού βρόγχου Το περι-
θώριο φάσης είναι 98 και το περιθώριο ενίσχυσης 439db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4182
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus80
minus60
minus40
minus20
0
Magnitude (
dB
)
10minus2
10minus1
100
101
102
minus225
minus180
minus135
minus90
minus45
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης καθοδήγησης Η απολαβή στις
υψηλές συχνότητες (gt 102radday) είναι κάτω των minus60db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
ΙΙΙ Εφαρμογή Χορήγηση Αμιοδαρόνης
minus30
minus20
minus10
0
10
Magnitude (
dB
)
10minus3
10minus2
10minus1
100
101
102
minus30
0
30
60
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (radday)
Σχήμα Διάγραμμα Bode της συνάρτησης ευαισθησίας Η απολαβή χα-
μηλών συχνοτήτων (lt 10minus2radday) είναι κάτω των minus20db
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4382
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IVΔειγματοληπτική Χορήγηση
Εξασφάλιση ικανοποίησης των περιορισμών στο συνεχές
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4482
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Συστήματα με Δειγματοληψία
΄Ενα σύστημα με δειγματοληψία με στοιχείο διατήρησης τιμής μη-
δενικής τάξης έχει τη μορφή
dx
dt= f(x(t) u(t))
u(t) = uk forallt isin [kh (k + 1)h)
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4582
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Κανόνας
Ο ΄Ελεγχος Προβλεπτικού μον-
τέλου (MPC) εγγυάται την
ικανοποίηση των περιορισμών
του συστήματος
Εξαίρεση
΄Οταν ένας ΕΠΜ εφαρμόζεται σε
ένα σύστημα συνεχούς χρόνου
τότε οι περιορισμοί μπορεί να
παραβιάζονται στο συνεχή
χρόνο
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4682
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Ο σχεδιασμός ενός ΕΠΜ που εγγυάται ικανοποίηση των
περιορισμών στο συνεχές είχε αναγνωριστεί ως ανοιχτό
πρόβλημα από τους L Grune και J Pannek το 2011
L Grune and J Pannek Nonlinear Model Predictive Control Theory and Algorithms ser Com-munications and Control Engineering Springer-Verlag 2011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4782
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Διατύπωση του Προβλήματος
Το αρχικό πρόβλημα βελτιστοποίησης PN (x0) είναι
V N (x0) = inf
uisinCh([0Tf ]Rm)
int Tf
0`(x(t) u(t))dt+ Vf (x(Tf ))
υπό τους περιορισμούς
x(0) = x0
x(t) = Ax(t) +Bu(t) t isin [0 Tf ]
u(t) = uk t isin [kh (k + 1)h) k isin N[0Nminus1]
x(t) isin X t isin [0 Tf ] (Ημιάπειρο Πρόβλημα)
u(t) isin U t isin [0 Tf ]
x(Tf ) isin Xf
όπου Tf = Nh `(x u) = 12(xprimeQx+ uprimeRu) και Vf (x) = 1
2xprimePx
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4882
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Αντιμετώπιση
Αποδείξαμε ότι ο περιορισμός
x(t 0 xk uk) isin X t isin [0 Tf ]
ικανοποιείται ανν
(xk uk) isin Zh ⋂
risin[0h]
(Φ(r))minus1(X )
όπου
Φ(r) =
[eAr
int r
0eAτBdτ
]
΄Ομως το Zh δεν είναι υπολογίσιμο άρα θα πρέπει να
το προσεγγίσουμε
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 4982
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Πολυτοπικές Υπερπροσεγγίσεις
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δι-
άσπασης Jordan σε συνδυασμό
με τη μέθοδο πλεγματοποίησης-
φράγματος κατασκευάζουμε πολύτο-
πα Pν με
Pν supe co Φ([0 h])
και
PνKrarr co Φ([0 h])
Ορίζουμε
Zν = Pminus1ν (X )
Αποδείξαμε ότι
Zν rarr Zh
minus06 minus04 minus02 0 02 04 06 08 1 12
065
07
075
08
085
09
095
1
x1
x2
Σχήμα Πολυτοπική Υπερπροσέγγι-
ση της συνάρτησης ∆(r) = eAr
P Patrinos P Sopasakis and H SarimveisldquoStochastic model predictive control for con-strained NCS with random time delayrdquo in Proc18th IFAC World Congress Aug 28 ndash Sep 22011
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5082
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Αναδιαμορφωμένο πρόβλημα ΕΠΜ
Διαμορφώνουμε την ακολουθία προβλημάτων ΕΠΜ
PνN (x0) V Nν (x0) = min
u[0Nminus1]isinUνN (x0)VN(x0u[0Nminus1]
)(1)
όπου
UνN (x0) =
u[0Nminus1]
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xk+1 = Ahxk +Bhukk isin N[0Nminus1]
(xk uk) isin Zν k isin N[0Nminus1]uk isin U k isin N[0Nminus1]xN isin X νf
(2)
Απ΄ όπου προκύπτουν οι βέλτιστες ακολουθίες λύσεων uν[0Nminus1]
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5182
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
IV Ιδιότητες του ΕΠΜ
Ιδιότητες του σχήματος ΕΠΜ που
προτείνουμε
1 Ικανοποίηση των περιορισμών
στο συνεχή χρόνο
2 Εγγύηση ευστάθειας στο συνε-
χή χρόνο
3 uν[0Nminus1]grarr u[0Nminus1]
4 V Nνerarr V N
P Sopasakis P Patrinos and H SarimveisldquoModel Predictive Control for sampled-data li-near systems Guaranteeing continuous-time po-sitive invariancerdquo 2012 IEEE Trans Aut Contrsubmitted for publication
minus2 minus15 minus1 minus05 0 05 1 15 2
minus2
minus15
minus1
minus05
0
05
1
15
2
x1
x2
Σχήμα Σύγκριση των πεδίων έλξης
της μεθοδολογίας μας με αυτή των
Magni και Scattolini
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VΚρουστική Χορήγηση
Αναλλοίωτο και Ευστάθεια Κρουστικών Συστημάτων Ελέγχου και
Σχεδιασμός Ελεγκτή Προβλεπτικού Μοντέλου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5382
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κίνητρο
Τα Κρουστικά Δυναμικά περιγράφουν φαινόμενα στα οποία συμβα-
ίνουν στιγμιαία άλματα Σχετικά παραδείγματα είναι
1 Ζυμωτήρας διαλείποντος έργου (Shen et al 2007)
2 Πληθυσμιακή Δυναμική (Stone et al 2000)
3 Νανοηλεκτρονικά κυκλώματα (Yang and Chua 2000)
4 Πλοήγηση διαστημοπλοίου (Carter 1991)
5 Χορήγηση φαρμάκου (Kusuoka et al 1981)
Υπάρχει ωστόσο ένα μεθοδολογικό κενό ndash το οποίο προσπα-
θήσαμε να γεφυρώσουμε ndash το οποίο δεν επιτρέπει τη χρήση τους σε
εφαρμογές ελέγχου συστημάτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5482
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Παράδειγμα Κρουστικής Συμπεριφοράς
minus2 minus1 0 1 2 3 4 5minus3
minus2
minus1
0
1
2
3
4
x1
x2
Impulsive Behaviour
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5582
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Γραμμικά Κρουστικά Συστήματα τύπου Ι
Εστιάζουμε στα ακόλουθα κρουστικά συστήματα
dx
dt= Ax t isin hN (3αʹ)
(∆x)(τk) = BU(k x(τk)) (3βʹ)
όπου τk = kh k isin N Η λύση του (3) που τέμνει το (t0 x0) isinR times D με τη δράση της συνάρτησης ελέγχου U(k x) = g(x(τk))συμβολίζεται με ϕ(t t0 x0 g(middot))Το (3) υπόκειται στους περιορισμούς
x(t) isin X για κάθε t ge 0 X πολύεδρο
uk = g(x(τk)) isin U για κάθε k isin N U πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5682
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Το πρόβλημα
Τα μόνα σημεία ισορροπίας τέτοιων συστημάτων τις περισσότερες
φορές δεν είναι άλλα από την αρχή ndash ή πιο γενικά σημεία
(xs us) isin kerAtimes kerB
΄Αρα δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε σταθεροποιητικούς νόμους
ανάδρασης που οδηγούν την κατάσταση των κρουστικών συστη-
μάτων σε αυθαίρετα επιθυμητά σημεία
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5782
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Δοσμένου μη κενού Z sube X λέμε ότι το Y είναι Κρουστικά
Ελεγκτικά Αναλλοίωτο (ΚΕΑ) ως προς το Z αν για κάθε
y isin Y υπάρχει u isin U ώστε
Α1 ϕ(h 0 y u) isin YΑ2 W(y u) sube Z όπου W(y u) = clϕ(t 0 y u) t isin (0 h]
Η συνθήκη Α2 μπορεί να αντικατασταθεί από
Α3 S(y u) sube Z όπου S(y u) supe W(y u) και S(y u) είναι πολυτο-
πικό Τέτοια σύνολα υπολογίζονται με μεθοδολογίες πολυτο-
πικής υπερπροσέγγισης
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5882
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 5982
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Υπολογισμός Ορίζουμε το F P(Rn)rarr P(Rn) ως
F (Ω) = projx
(y u) isin Rn+m
∣∣∣∣ ϕ(T 0 y u) isin ΩS (y u) sube Z
cap Ω
όπου S(x u) sube W(x u)1 Κάθε Y με F (Y) = Y είναι ένα Κρου-
στικά Ελεγκτικά Αναλλοώτο σύνολο ως προς Z
1Σημειώστε ότι W(x u) = clϕ(t 0 x u) t isin (0 h]Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6082
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικά Ελεγκτικά Αναλλοίωτα Σύνολα
Κατασκευάζουμε μια εμφολευμένη ακολουθία συνόλων YkkisinN ώστε
Y0 = ZYk+1 = F (Yk) k isin N
Το όριο
Yinfin =⋂kisinNYk
είναι ΚΕΑ Αν η σύγκλιση γίνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων
τότε είναι πολύτοπο
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6182
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστική Ευστάθεια Συνόλων
΄Ενα empty 6= Z $ X λέγεται ευσταθές για ένα δοσμένο σύστημα Σg
ndash με ανατροφοδότηση U(k x) = g(x(τk)) ndash ως προς ένα Y 6= empty αν
forallε gt 0existδ gt 0 x0 isin BYδ rArr ϕ(tx0 g(middot)) isin BZε forallt ge 0
Το Z λέγεται τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σgως
προς Y αν είναι ευσταθές και υπάρχει ε gt 0 ώστε
limtrarrinfin
distZ ϕ(tx0 g(middot)) = 0
οπόταν x0 isin BYε
Ορίζουμε BYδ = x isin X | distY(x) lt δ
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Στόχος Θα αναπτύξουμε μια μεθοδολογία ΕΠΜ για Γραμμικά
Κρουστικά Συστήματα ώστε η κατάσταση να στρέφεται σε δο-
σμένο σύνολο-στόχο Z για το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε
ένα Y sube Z που είναι ΚΕΑ ως προς Z
Το Z πρέπει να είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ως
προς Y για τον κλειστό βρόγχο amp οι περιορισμοί πρέπει να ι-
κανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
΄Ελεγχος Dual-Mode χωρίς να χρειάζεται να
προϋπολογίσουμε έναν τοπικό ελεγκτή
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6382
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Ορίζουμε την πλειότιμη απεικόνιση
Uf X rArr U
Uf (x) =
u isin U
∣∣∣∣ ϕ(T x u) isin YS(x u) sube Z
και παρατηρούμε ότι domUf = Y
Ορίζουμε το σύνολο
D = gphUf=
(x u) isin Rn+m| x isin Y u isin Uf (x)
0607
0809
minus05
0
05
minus01
0
01
02
03
04
x2
x1
u
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6482
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω η συνάρτηση κόστους βαθμίδας
` (x u) = dist2D (x u) = min(zv)isinD
(x u)minus (z v)2
με την οποία ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους
VN (x (τk) π) =
Nminus1sumj=0
` (ϕ (τk+j x (τk) π) uj)
όπου π = ukkisinN[0Nminus1]είναι μια ακολουθία εισόδων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6582
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Κάθε χρονική στιγμή λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοπο-
ίησης
PN (x(τk)) VN (x (τk)) = infπisinUN (x(τk))
VN (x (τk) π)
όπου
UN (x) =
π∣∣∣∣∣∣forallj isin N[0Nminus1] uj isin U S (ϕ (τk+j x π) uj) sube Xϕ (τk+Nminus1x π) isin Y
Ορίζουμε ακόμα το σύνολο
XN = domUN sube X
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6682
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
Από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης προκύπτει η πλει-
ότιμη λύση π XN rArr UN
π (x (τk)) =πj (x (τk))
jisinN[0Nminus1]
το πρώτο στοχείο της οποίας ορίζει την πολιτική ελέγχου σ XN rArrU
σ (x (τk)) = π0 (x (τk))
Κάθε s XN rarr U με s(x) isin σ(x) λέμε ότι είναι ένας βέλτιστος
νόμος ελέγχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6782
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Προβλεπτικού Μοντέλου
΄Εστω Σsτο Κρουστικό σύστημα κλειστού βρόγχου με τη δράση
ενός βέλτιστου ελεγκτή s XN rarr U που υπολογίσαμε παραπάνω
Τότε
1 Οι περιορισμοί ικανοποιούνται κάθε χρονική στιγμή
2 σ(x) = s(x) για x isin XN Y ndash δηλαδή το σ είναι μονότιμο
εκτός του Y3 Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι κυρτό
τετραγωνικό
4 Το Z είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για το Σsως προς Y με
πεδίο έλξης το XN
P Sopasakis P Patrinos H Sarimveis and A Bemporad ldquoModel predictive control for line-ar impulsive systemsrdquo in Proceedings of the 51st Conference on Decision and Control MauiHawaii 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6882
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
ΦΦΜ για το Λίθιο (Ehrlich etal 1980)
Περίοδος χορήγησης 3h
Σύνολο στόχος
04 le Cpl(t) le 06 nmol middot Lminus1
06 le Crbc(t) le 09 nmol middot Lminus1
05 le Cm(t) le 08 nmol middot Lminus1
B E Ehrlich C Clausen and J M DiamondldquoLithium pharmacokinetics Single-dose experi-ments and analysis using a physiological modelrdquoJ Pharmacokin Biopharmac vol 8 pp 439ndash461 1980
P Sopasakis P Patrinos and H Sarimveis ldquoModelpredictive control amp invariant sets for linear impulsi-ve systemsrdquo submitted 2012
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 6982
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
Cp
l (nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
08
CR
BC
(nm
olL)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
02
04
06
CM
(nm
olL)
time (h)
Σχήμα Η τροχιά του συστήματος οδηγείται εντός του στόχου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7082
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
V Κρουστικός ΄Ελεγχος Χορήγησης Λιθίου
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
1
2
3
4
5
6
time (h)
Dose (
nm
ol)
Σχήμα Ρυθμιστική δράση για τη χορήγηση Λιθίου
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7182
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VIΜοριακός Σχεδιασμός Φαρμάκων
΄Ενα κατανεμημένο υπολογιστικό δίκτυο για την πρόβλεψη
μοριακών ιδιοτήτων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Υπολογιστικό Δίκτυο Προβλεπτικής Τοξικολογίας
1 Βάσεις Δεδομένων
2 Υπολογισμός Μοριακών Περιγραπτών
3 Επιλογή Μεταβλητών
4 Εκπαίδευση Μοντέλων
5 Αξιολόγηση Μοντέλων
6 Δημιουργία Αναφορών
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7382
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7482
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Το υπολογιστικό δίκτυο OpenTox
Βασικές Αρχές
1 Διαλειτουργικότητα
2 Ευελιξία
3 Διαφάνεια
4 Επεκτασιμότητα
Τεχνολογίες αιχμής
1 Αρχιτεκτονική REST
2 Οντολογίες Δικτύου
3 Διασυνδεδεμένα Δεδομένα
4 Ασύγχρονη Κατανεμημένη
Επεξεργασία
B Hardy P Sopasakis et al ldquoCollaborative development of predictive toxicology applicationsrdquoJournal of Cheminformatics vol 2 pp 1ndash29 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7582
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Τυποποίηση της Πληροφορίας
Η δόμηση της πληροφορίας κυβερνάται από Οντολογίες και μορ-
φοποιείται με βάση το πλαίσιο RDF
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7682
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Υπερδομή Ασφαλείας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7782
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Ο κόμβος JAQPOT3
Αλγόριθμοι που παρέχονται μέσω του
κόμβου JAQPOT3
1 Πολυμεταβλητή Γραμμική
Παλινδρόμηση
2 Μηχανές Υποστηρικτικού
Διανύσματος
3 Νευρωνικά Δίκτυα
4 Συνεργατική Πρόβλεψη
5 Μερικά Ελάχιστα Τετράγωνα
6 Εκτίμηση Πεδίου Εφαρμοσιμότητας
7 Προεπεξεργασία Δεδομένων
G Melagraki P Sopasakis A Afantitis and H Sarimveis ldquoConsensus QSAR modeling anddomain of applicability An integrated approachrdquo in 18th EURO-QSAR Conf Rhodes Sept2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7882
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VI Λογισμικό
1 ToxOtis ndash Βιβλιοθήκη Java που
διευκολύνει την πρόσβαση στο
δίκτυο OpenTox και διευκο-
λύνει την ανάπτυξη ενός νέου
κόμβου
2 DeciBell ndash ΄Ενα λογισμικό
ORM για Java
3 Q-edit ndash ΄Ενα Γραφικό Περι-
βάλλον Χρήστη για την χρήση
μοντέλων του OpenTox
H Chomenides P Sopasakis and H Sarimveis ldquoDecibell A novel approach to the ORM so-ftware in Javaldquo in 5th Conf Hel FOSS Commun Athens 2010
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 7982
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
VIIΣυμπεράσματα
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8082
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Συμπεράσματα
1 Νέα θεωρητικά εργαλεία για την αντιμετώπιση προβλημάτων
ελέγχου συστημάτων χορήγησης φαρμάκου
2 ΄Ελεγχος ευρείας γκάμας δυναμικών μοντέλων
3 ΄Ελεγχος κλασματικής δυναμικής
4 Ισχυρά εργαλεία για το σχεδιασμό φαρμάκων
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8182
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282
Ευχαριστώ για την Προσοχή σας
Π Σωπασάκης Διδακτορική Διατριβή 8282