Modul matematika-integral

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 1

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Penyusun : Nur Aini Indah H, S.Pd. ; Imam Indra Gunawan, S.Si. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.

Imam Indra Gunawan, S.Si.

A. DEFINISI INTEGRAL Pada bab sebelumnya sudah dibahas tentang diferensial (turunan), sekarang akan

dibahas tentang integral. Hubungan antara turunan dengan integral yaitu integral merupakan invers (kebalikan) dari diferensial (turunan). Oleh karena itu, integral juga disebut anti diferensial (anti turunan).

Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti turunan (integral) dari fungsi f apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain dari F. Integral dari f (x) dinotasikan sebagai : CxFdxxf +=∫ )()( jika dan hanya jika F’ (x) = f (x), dengan C sembarang konstanta.

B. INTEGRAL TAK TENTU Hasil pengintegralan f(x) dengan berbentuk F(x) + C dinamakan integral tak

tentu. Berikut beberapa sifat integral tak tentu:

Keterangan: k , C : konstanta

Contoh: 1. ..2 =∫ dx . Jawab: cxdx +=∫ 22

2. ..10 =∫ dxx Jawab:

cxdxx ++

= +∫ 111

111010 = cx +2

210

Ckxdxk +=∫.1

Cxn

dxx nn ++

= +∫ 1

11.2

Cxn

kdxxk nn ++

= +∫ 1

1.3

∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({.4

∫∫ = dxxfkdxxfk )()(.5

, dengan 1−≠n

, dengan 1−≠n



3. ..9 8 =−∫ dxx Jawab:

Cxdxx ++

−=− +∫ 188

1899

4. ..64

=−∫ dx

x

Jawab:

cxdxxdxx

++−

−=−=

− +−−∫∫ 1444 14

666

cxcx +=+−−

= −− 33 236

cx

+= 3

2

5. ..5 3 =∫ dxx Jawab:

∫∫ = dxxdxx 53

5 3

CxCx +=++

=+

58

85

153

531

1

Cx += 5 885

6. ..)73( 2 =−∫ dxx Jawab: ∫∫∫ −=− dxdxxdxx 73)73( 22

)7(12

321

12 cxcx +−++

= +

213 7

33 cxcx −−+=

Cxx +−= 73 7. ..)3(5 2 =−∫ dxxx Jawab: dxxxdxxx ∫∫ −=− )155()3(5 232

∫∫ −= dxxdxx 23 155

)12

15(13

52

121

13 cxcx ++

−++

= ++

23

14

315

45 cxcx −−+=

Cxx +−= 34 545

LATIHAN SOAL 1 Hitunglah! 1. a. ..8 =∫ dx

b. ..7 =−∫ dx

c. ..43

=∫ dx

d. ..=∫ dx

e. ..=− ∫ dx

2. a. ..3 =∫ dxx

b. ..14 =∫ dxx

c. ..6 =−∫ dxx

d. ..=∫ dxx

e. ..65

=∫ dxx

3. a. ..6 2 =∫ dxx

b. ..5 8 =−∫ dxx

c. ..3 5 =∫ dxx

d. ..21 3 =∫ dxx

e. ..53 2 =∫ dxx

CxCx +−=+−= 99

99



4. a. ..32 =∫ dx

x

b. ..24 =

−∫ dx

x

c. ..3

25 =∫ dx

x

d. ..13 =∫ dx

x

e. ..16 =

−∫ dx

x

5. a. ..=∫ dxx

b. ..3 4 =∫ dxx

c. ..=∫ dxxx 6. a. ..)56( =+∫ dxx

b. ..)16142( 2 =+−∫ dxxx

c. ..)148( 234 =−+−+−∫ dxxxxx

d. ..)89( 42 =+−∫ dx

xxx

e. ..)1( 33 24 =−−∫ dx

xxx

7. a. ..)4(3 2 =−∫ dxxx

b. ..)45)(1( =+−∫ dxxx

c. ..43 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +∫ dx

xxx

d. ..122

35

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∫ dx

xxx

e. ..262

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∫ dx

xxx

----- Good Luck -----

B. INTEGRAL SUBSTITUSI Definisi : Jika u = g(x) maka du = g’(x) dengan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah integral dari f, maka:

CuFduufdxxgxgf +==⋅ ∫∫ )()()('))(( Rumus Integral Substitusi

Keterangan : u : fungsi dalam x du : turunan pertama dari u

Contoh: 1. dxxx∫ + 32 )5(4 = ... Jawab: Misalkan u = x2 + 5

x

dudxxdxdu

22 =⇔=

∫∫ ⋅=+x

duxudxxx2

4)5(4 332

∫∫ =⋅= duuduu 33 22

CuCu +=++

= + 413

42

132

CxCu ++=+= 42214

21 )5(

Cun

duu nn+

+= +∫ 1

11.6

Cun

kduku nn+

+= +∫ 1

1.7

,dengan 1−≠n

,dengan 1−≠n



2. dxx

x∫ − 82 )3(

2 = ...

Jawab:

Misalkan u = (x2 – 3)

x

dudxxdxdu

22 =⇔=

xduxudxxx2

.2.)3(2 882 ∫∫ −− =−

Cuduu ++−

== +−−∫ 188

181

CxCu +−−

=+−

= −− 727 )3(7

17

1

3. dxxx∫ + 42 2 = ... Jawab: Misalkan u = x2 + 4

x

dudxxdxdu

22 =⇔=

x

duxudxxx2

.2.)4(2 21

21

2 ∫∫ =+

Cuduu ++

==+

∫1

21

21

121

1

CxCu ++=+= 23

223

)4(32

231

Cx ++= 32 )4(32

LATIHAN SOAL 2 Hitunglah! 1. a. ..)3(2 52 =+∫ dxxx .

b. ..)12(6 1032 =−∫ dxxx .

c. ..)2(4 843 =−∫ dxxx .

d. ..)3( 7 =+∫ dxx .

e. ..)10(6 62 =−∫ dxxx .

f. ..)4(12 932 =+∫ dxxx

g. ..)13)(32( 102 =−++∫ dxxxx

2. a. dxx

x∫

− 82 )3(

2 = ...

b. dxx

x∫

+

−102 )1(

6 = ...

c. dxxx

x∫

−+

+42 )23(

16 = ...

3. a. dxxx∫ + 52 2 = ...

b. dxxx∫ −18 2 = ...

c. dxxxx∫ ++ 2)12( =... ----- Good Luck -----

C. INTEGRAL PARSIAL

Keterangan : u, v : fungsi dalam x dv : turunan pertama v du : turunan pertama u

Contoh: ..)58(3 4 =+∫ dxxx

Jawab: Misalkan u = 3x, dv = (8x + 5)4 dx

du = 3 dx v = Cxdxx ++=+∫ 54 )58(401)58(

∫∫ −= duvvudvu.8



duvvudxxx ∫∫ −⋅=+ 4)58(3

dxxxx 3)58(401)58(

401.3 55 ∫ +−+=

dxxxx ∫ +−+= 55 )58(403)58(

403

Cxxx ++⋅−+= 65 )58(481

403)58(

403

Cxxx ++−+= 65 )58(6401)58(

403

LATIHAN SOAL 3 Hitunglah! 1. ..)16(6 5 =+∫ dxxx

2. ..)3(2 10 =−∫ dxxx

3. ..)3( 523 =+∫ dxxx

4. ..)43(2 523 =−∫ dxxx

5. ..24 23 =−∫ dxxx ----- Good Luck -----

D. INTEGRAL TRIGONOMETRI

Contoh: 1. ..3sin =∫ dxx Jawab:

Cxdxx +−=∫ 3cos313sin

2. ..)42cos( =+∫ dxx Jawab:

Cxdxx ++=+∫ )42sin(21)42cos(

3. ..2sin6 =∫ dxx Jawab:

Cxdxx +−=∫ 2cos262sin6

Cx+−= 2cos3

Cxdxxa +−=∫ cossin..9

Cbaxa

dxbaxc ++−=+∫ )cos(1)sin(.

Caxa

dxaxb +−=∫ cos1sin.

Cxdxxa +=∫ sincos..10

Cbaxa

dxbaxc ++=+∫ )sin(1)cos(.

Caxa

dxaxb +=∫ sin1cos.



4. ..)cos(sin =+∫ dxxx Jawab:

Cxxdxxx ++−=+∫ sincos)cos(sin

5. ..cossin =∫ dxxx Jawab:

dxxdxxx 2sin21cossin ∫∫ =

CxCx +−=+−= 2cos412cos

21.

21

6. ..cos =∫ dxxx Jawab: Misalkan u = x, dv = cos x dx du = dx, v= Cxdxx +=∫ sincos

∫∫ −= dxxxxdxxx sinsin.cos

Cxxxdxxx +−−=∫ )cos(sin.cos Cxxx ++= cossin

LATIHAN SOAL 4 Hitunglah! 1. a. ..sin =∫ dxx

b. ..2sin =∫ dxx

c. ..)14sin( =−∫ dxx

d. ..)32sin( =−∫ dxx

2. a. ..cos =∫ dxx

b. ..6cos =∫ dxx

c. ..)63cos( =+∫ dxx

d. ..)51cos( =−∫ dxx

3.a. ..2sin8 =∫ dxx

b. ..5cos10 =∫ dxx

c. ..)34sin(8 =−−∫ dxx

d. ..)62cos(41

=+∫ dxx

4. a. ..)2sin6(cos =−∫ dxxx

b. ..cossin2 =∫ dxxx

c. ..)sin21( 2 =−∫ dxx

5. a. ..2cos2sin =∫ dxxx

b. dxx

x∫ − 32 )sin1(

2sin = ...

6. a. ..3cos =∫ dxxx

b. ..sin =∫ dxxx

c. ..sin2 =∫ dxxx

----- Good Luck -----



E. INTEGRAL TENTU

Keterangan: f(x) : turunan pertama dari F(x) a : batas atas b : batas bawah

Contoh:

1. ..68

0

2 =∫ dxx

Jawab:

8

0

38

0

2

366 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∫ xdxx

33 )0.(2)8(2 −= = 1024

2. ..)443(4

1

2 =−+∫ dxxx

Jawab:

[ ]4134

1

2 42)443( xxxdxxx −+=−+∫

= ((4)3 + 2.4 – 4.4) – ((1)3 + 2.1 – 4.1) = 56 – (-1) = 57

3. ..cos23

21

=∫

π

π

xdx

Jawab:

[ ]π

π

π

π

23

21

23

21

sincos xxdx =∫

ππ21sin

23sin −=

= (-1) – 1 = - 2

LATIHAN SOAL 5 Hitunglah!

1. a. ..34

1

2 =∫ dxx

b. ..102

0=∫ xdx

c. ..201

0

3 =∫ dxx

d. ..82

1=∫

−dx

2. a. ..)163(3

0

2 =−+∫ dxxx

b. ..)126(2

1

2 =+−∫ dxxx

c. ..)4(6

2=+∫ dxx

d. ..)1238(1

1

23 =++−∫−

dxxxx

3. a. ..sin0

=∫π

xdx

b. ..cos23

21

=∫

π

π

xdx

c. ..2sin

21

=∫π

π

xdx

d. ..2sin41

0

=∫π

xdx

[ ]aba

b

xFdxxf )()(.11 =∫

)()( bFaF −=



F. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU Menghitung luas daerah tak beraturan dengan pendekatan luas persegi panjang Permasalahan untuk diskusi bersama: Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 ; sumbu x, x = 0 dan x = 3 seperti pada gambar disamping ! jawab Dengan membagi daerah yang diarsir dengan

beberapa persegi panjang dengan lebar 21

=∆x (tampak gambar 2), maka luas daerah

yang diarsir didapat dari pendekatan luas persegi panjang. Untuk interval :

210 ≤≤ x ; Luas = 0

21.0)0( ==∆⋅ xf

121

≤≤ x ; Luas = 81

21.

41

21

==∆⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xf

231 ≤≤ x ; Luas =

21

21.1)1( ==∆⋅ xf

223

≤≤ x ; Luas = 89

21.

49

23

==∆⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xf

252 ≤≤ x ; Luas = 2

21.4)2( ==∆⋅ xf

325

≤≤ x ; Luas = 825

21.

425

25

==∆⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xf

Luas daerah yang diarsir 855

8252

89

21

810 ≈+++++≈

Bentuk penjumlahan diatas dapat disimbolkan sebagai :

∑=

∆⋅≈n

ii xxfL

1)( ; dengan n : banyak persegi panjang yang terbentuk.

Tentu saja hasil diatas bukan hasil yang sesungguhnya, melainkan didapat melalui pendekatan.

Semakin kecil lebar ( )x∆ yang dibuat maka semakin teliti hasil yang didapat (makin mendekati luas yang sesungguhnya). Hal ini ditunjukan dengan semakin kecilnya daerah yang tidak diarsir pada gambar 2. Dengan memperkecil lebar ( )0→∆x , maka banyak persegi panjang (n) semakin banyak ( )∞→n . Sehingga luas daerah yang sebenarnya dapat ditentukan dengan :

∫∑ =∆⋅=∞→

a

b

n

ii

ndxxfxxf )()(lim

1

y

x

f(x) = x2

0 3 2 1

y

x

f(x) = x2

0 3

Gambar 1

Gambar 2



1. LUAS DAERAH Luas daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu x bila : a. daerah berada di atas sumbu x b. daerah berada di antara dua kurva f(x) dan g(x) c. daerah berada di bawah sumbu x

dengan menganggap daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 0 ; f (x) ; x = b dan x = a maka luasnya dirumuskan

[ ] dxxfdxxfLa

b

a

b∫∫ −=−= )()(0

LATIHAN SOAL 6 1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut:

a. c.

b. d.

y

x

f(x)= x + 4

0 8

y

x

f(x) = x2

0 3

y

x 0 8

f(x) = x – 8

y

0 -2 4

f(x) = x

)()()( bFaFdxxfLa

b

−== ∫

y

x

b a

f(x)

[ ])()()( bFaFdxxfLa

b

−−=−= ∫

f(x)

y x b a

Keterangan: f(x) : kurva yang berada di atas g(x): kurva yang berada di bawah a , b: titik potong kurva f(x) dan g(x) atau batas atas & batas bawah

[ ]dxxgxfLa

b∫ −= )()(

f(x) y

x a b

g(x)



e. f.

2. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut: a. b. 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi : a. f (x) = 4x – x2 ; sumbu x ; antara x = 0 dan x = 3 b. f (x) = x2 – 2x – 3 ; sumbu x ; antara x = 0 dan x = 2 c. y = x2 ; y = x + 2 d. y = x2 – 4x ; y = – x2

----- Good Luck ----- Dengan cara yang sama, luas daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu y bila : a. daerah berada di kanan sumbu y b. daerah berada di antara dua kurva f(y) dan g(y)

y

x

f(x)= x2 – 6x

0 6

y

x

f(x) = x2

0 6 f(x) = 6 – x

y

x

y = 4x

y = x2 – 6x + 9 y = x2

y = 8 - x2

y

x

)()()( bFaFdyyfLa

b−== ∫

Keterangan: f(y) : kurva yang berada di kanan g(y): kurva yang berada di kiri a , b: titik potong kurva f(y) dan g(y) atau batas atas & batas bawah

[ ]dyygyfLa

b∫ −= )()(

y

x b

a f(y)

f(y) y

x

a

b

g(y)



LATIHAN SOAL 7 1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut:

a. b. 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi parabola y2 = 4x dan 4x – 3y = 4

----- Good Luck ----- Menghitung volume benda putar dengan pendekatan volume tabung Volume benda putar adalah volume bangun ruang yang terbentuk dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Permasalahan untuk diskusi bersama: Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi kurva y = f(x) ; sumbu x, x = b dan x = a, jika daerah diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360° (gambar 1)! jawab Bangun ruang yang terjadi seperti tampak pada gambar 2. Dengan membagi bangun ruang dengan beberapa bagian (hampir menyerupai tabung) dengan tinggi sama (∆x), maka volume benda putar yang terbentuk didapat dari pendekatan volume tabung. Ambil satu bagian sembarang, misal yang diarsir. Volume daerah yang diarsir adalah

≈∆V Volume tabung tr ⋅⋅≈ 2π [ ] xxf ∆⋅⋅≈ 2)(π Untuk n bagian yang terjadi maka volume benda

putarnya adalah [ ]∑=

∆⋅⋅≈n

iii xxfV

1

2)(π

Semakin kecil tinggi ( )x∆ yang dibuat maka semakin teliti hasil yang didapat (makin mendekati volume yang sesungguhnya). Dengan memperkecil tinggi ( )0→∆x , maka ∞→n . Sehingga volume benda putar yang sebenarnya dapat ditentukan dengan :

[ ]∑=∞→

∆⋅⋅=n

iii

nxxfV

1

2)(lim π

[ ] dxxfa

bi∫ ⋅= 2)(π

[ ] dxxfa

bi∫= 2)(π

y

x

y= f(x)

b a

Gambar 1

y

x

y= f(x)

b a

Gambar 2

∆x

y

xy =

x

3

y

x

x + 2y = 12

0

6



[ ] [ ]( )∫ −=a

bdxxgxfV 22 )()(π

y

x

f(x)

a b

g(x)

[ ] dxxfVa

b∫= 2)(π

[ ] dyyfVa

b∫= 2)(π

y

x

f(y)

b

a

y

x

f(x)

a b

2. VOLUME BENDA PUTAR a. Volume Benda Putar bila daerah diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o ♦ Daerah dibatasi kurva dengan sumbu x ♦ Daerah berada di antara dua kurva f(x) dan g(x)

Keterangan: f(x) : kurva yang berada di atas g(x) : kurva yang berada di bawah a, b : titik potong kurva f(x) dan g(x)

b. Volume Benda Putar bila daerah diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o ♦ Daerah dibatasi kurva dengan sumbu y



[ ] [ ]( )∫ −=a

bdyygyfV 22 )()(π

♦ Daerah berada di antara dua kurva f(y) dan g(y)

Keterangan: f(y) : kurva yang berada di atas/kanan g(y) : kurva yang berada di bawah/kiri a, b : titik potong kurva f(y) dan g(y)

LATIHAN SOAL 8 1. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar

mengelilingi sumbu x sebesar 360o a. f(x) = x – 2 ; dengan batas 62 ≤≤ x b. f(x) = 8 – x ; dengan batas 42 ≤≤ x c. f(x) = x2 ; dengan batas 30 ≤≤ x d. 24)( xxf −= ; dengan batas 21 ≤≤− x 2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 ; y = x + 2 ;

diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o 3. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar

mengelilingi sumbu y sebesar 360o a. y = x – 2 ; dengan batas 62 ≤≤ y b. y = 4 – x ; dengan batas 42 ≤≤ y c. y = x2 ; dengan batas 50 ≤≤ y 4. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva x = y2 ;

y = 2 ; y = 0 diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o ----- Good Luck -----

DAFTAR PUSTAKA Noomandiri, BK. , Matematika SMA Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam,

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004 Purcell, Edwin J. Varberg Dale, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I, Edisi kelima

Penerbit Erlangga, Jakarta, 1987 Sartono Wirodikromo , Matematika Untuk SMA kelas XII Program Ilmu Alam,

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2006

y

x

f(y)

b

a

g(y)



UJI KOMPETENSI 1. Hitunglah :

a. ..)1218( 2 =−+∫ dxxx

b. ..)76( 23 =+−+∫ dxxxx

c. ..8345

56

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+∫ dx

xxx

d. ..13 23

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∫ dx

xxx

e. ..)65)(3( 2 =+−+∫ dxxxx

f. ..)32( 223 =+∫ dxxx 2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui :

a. 5415)( 2 −−= xxxf l dan 052

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f

b. 52)( −= xxf l dan ( ) 21 =f c. 212)( −= xxf l dan ( ) 483 =−f

3. Tentukan nilai a , jika diketahui : 12)32(1

=−∫ dxxa

4. Hitunglah : a. ..)825)(15( 62 =−++∫ dxxxx

b. ..52

122

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+∫ dx

x

x

5. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva :

a. f(x) = 22 +− xx dengan batas 21 ≤≤− x b. f(x) = 743 2 −+ xx dengan batas 20 ≤≤ x c. y = 2 – x dan y = x2 d. y = 6 – x dan xy =

6. Hitunglah :

a. ..)8sin(8 32 =−∫ dxxx

b. ..4

4cos22

2

=−

−∫ dx

x

xx

7. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 7 dan y =

7 – x2 diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o

----- Good Luck -----



LATIHAN PEMANTAPAN (Soal-Soal yang Sering Keluar dalam UN)

01. EBT-SMA-96-29 Ditentukan F ′(x) = 3x2 + 6x + 2 dan F(2) = 25. F ′(x) adalah turunan dari F(x), maka F(x) = … A. 3x3 + 6x2 + 2x – 27 B. x3 + 3x2 + 2x – 1 C. x3 + 3x2 + 2x + 1 D. x3 + 3x2 + 2x + 49 E. x3 + 3x2 + 2x – 49

02. EBT-SMA-95-28 Diketahui F ′(x) = 3x2 – 4x + 2 dan F(–1) = – 2 , maka F(x) = … A. x3 – 3x2 + 2x – 13 B. x3 – 3x2 + 2x + 4 C. x3 – 3x2 + 2x – 2 D. 9x3 – 12x2 + 2x – 13 E. 9x3 – 12x2 + 2x + 4

03. MD-96-17 F ′(x) = (x + 1) (x + 2) . Jika F(–3), maka F(x) = … A.

31 x2 +

23 x + 2x

B. 31 x2 +

23 x – 2x

C. 31 x2 +

23 x + 2x – 3

D. 31 x2 +

23 x + 2x + 3

E. (x + 1)2 ( )4

2+x

04. MA–99–08 Diketahui

dxdF = ax + b

F(0) – F(–1) = 3 F(1) – F(0) = 5

a + b = … A. 8 B. 6 C. 2 D. –2 E. –4

05. MD-94-25 Jika f(x) = ∫ (x2 + 2x – 1) dx dan f(1) = 0 , maka f(x) = … A.

31 x3 – x2 + x –

31

B. 31 x3 –

21 x2 +

21 x –

31

C. 31 x3 –

21 x2 –

21 x –

31

D. 31 x3 + x2 + x –

31

E. 31 x3 + 2x2 – 2x –

31

06. MD-84-26 Jika F ′ (x) = 1 – 2x dan F(3) = 4, maka F(x) adalah … A. 2x2 – x – 11 B. –2x2 + x + 19 C. x2 – 2x – 10 D. x2 + 2x + 11 E. –x2 + x + 10

07. MD-91-25 Jika F ′(x) = 8x – 2 dan F(5) = 36 maka F(x) = … A. 8x2 – 2x – 159 B. 8x2 – 2x – 154 C. 4x2 – 2x - 74 D. 4x2 – 2x - 54 E. 4x2 – 2x - 59

08. MA-94-02 Diketahui 3)( x

dxxdf

= . Jika f(4) = 19,

maka f(1) = … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

09. EBT-SMA-92-29 Diketahui F ′ (x) = x

x+

1 dan F(4)

= 9. Jika F ′(x) turunan dari F(x), maka F(x) = … A. 2√x + 3

2 x√x + 3

1

B. 2√x + 32 x√x – 3

1

C. 32 √x + 2x√x + 3

1

D. 32 √x + 2x√x – 3

1

E. 2√x + 31 x√x + 3

1



10. EBT-SMA-88-28 Ditentukan 11

2 x

F '(x) += dan

F(–1) = 0, maka F(x) = … A. 11

−−x

B. xx+−

1

C. xx

+− 31

D. 21++− x

x

E. 213 ++ x

x

11. EBT-SMA-90-36 Turunan fungsi F adalah f yang di-tentukan oleh f(x) = 3x2 – 4x + 6. Apabila ditentukan F(–1) = 0 maka F (x) = ……. A. x3 – 2x2 + 6x B. x3 – 2x2 + 6x – 5 C. x3 – 2x2 + 6x – 9 D. x3 – 2x2 + 6x + 5 E. x3 – 2x2 + 6x + 9

12. EBT-SMA-87-28 ∫ (x2 + 2) dx adalah … A. 3

1x3 + 2x + C

B. 2x3 + 2x + C

C. 21

x3 + 2x + C

D. 31

x3 + 2x + C

E. 31

x3 + 2x2 + C 13. MD-85-21

∫ xx2

1 dx = …

A. –x

1 + c

B. - x

2 + c

C. x

1 + c

D. x

2 + c

E. – x2

1 + c

14. MD-81-28

∫ x2sin dx = ...

A. 21 cos 2x + C

B. –21 cos 2x + C

C. 2 cos 2x + C D. –2 cos 2x + C E. –cos 2x + C

15. EBT-SMA-97-30

Nilai ∫π

π

−31

61

)sin5cos3( dxxx = …

A. 4 – 4√3 B. –1 –3√3 C. 1 – √3 D. –1 + √3 E. 4 + 4√3

16. EBT-SMA-96-30

( )∫

π

π+

−

4

2

cos6sin2 dxxx = …

A. 2 + 6√2 B. 6 + 2√2 C. 6 – 2√2 D. –6 + 2√2 E. –6 – 2√2

17. EBT-SMA-90-38

( )∫π

+6

0

3cos3sin dxxx = …

A. 32

B. 31

C. 0 D. –

21

E. – 32

18. EBT-SMA-89-36 Diberikan ∫ 15x2 (x3 – 1)4 dx , selesaikan dengan langkah-langkah berikut : a. Misalkan U = x3 – 1

Tentukan dU b. Ubahlah menjadi ∫ f(U) dU dan

selesaikan c. Hitung integral di atas untuk x = 0

sampai x = 1



19. EBT-SMA-02-35

dxxx∫ −23

6

2 2 = …

A. 24 B. 18

32

C. 18 D. 17

31

E. 17 20. EBT-SMA-01-27

Hasil ∫− 53

2

x

dxx = …

A. 5332 −x + C

B. 5331 −x + C

C. 5361 −x + C

D. 5391 −x + C

E. 53121 −x + C

21. EBT-SMA-99-30

Hasil ∫+

dxx

x

82

183

2= …

A. Cx ++− 82 223

B. Cx ++ 829 2 C. Cx ++ 82 2

61

D. Cx ++ 826 2 E. Cx ++ 8236 2

22. EBT-SMA-95-32 Diketahui f(x) =

42

22 −x

x maka

∫ dxxf )( = …

A. 43 231 −x + C

B. 43 232 −x + C

C. 43 232 −xx + C

D. 432 2 −xx + C E. 432 2 −x + C

23. EBT-SMA-03-33 Nilai ∫ x sin (x2 + 1) dx = … A. –cos (x2+ 1) + C B. cos (x2+ 1) + C C. –

21 cos (x2 + 1) + C

D. 21 cos (x2 + 1) + C

E. –2 cos (x2 + 1) + C 24. EBT-SMA-88-30

∫ sin5 x cos x dx adalah … A. 6

1 sin6 x + C

B. 61 cos6 x + C

C. – 61 sin6 x + C

D. – 61 cos6 x + C

E. 41 sin4 x + C

25. MD-91-26 ∫ sin3 x cos x dx = … A.

41 sin4 x + C

B. 41 cos4 x + C

C. –41 cos2 x + C

D. 31 sin2 x + C

E. –31 sin4 x + C

26. EBT-SMA-97-32 Hasil dari ∫ + 53

6xdx adalah …

A. 6 ln (3x + 5) + C B. 3 ln (3x + 5) + C C. 3 ln (6x + 5) + C D. 2 ln (3x + 5) + C E. ln (3x + 5) + C

27. MD-82-19

( )∫ −+4

2

2214

-

dxxx = …

A. 2 B. 18 C. 20

31

D. 22 E. 24

31

28. MA-79-03

( )∫2

0

2 = 733 dxx + -x …

A. 16 B. 10 C. 6 D. 13 E. 22



29. MD-83-19

∫2

1

31

xx - dx sama dengan …

A. –161

B. 81

C. 87

D. 1 E. 1

21

30. MD-87-24

= xdx∫2

13 …

A. 83

B. 85

C. 6463

D. 6411−

E. 87

31. EBT-SMA-02-30

Hasil dari ( )∫−

−1

1

2 6 dxxx = …

A. –4 B. –

21

C. 0 D.

21

E. 421

32. EBT-SMA-89-33

Nilai ∫2

012 3 dx)x - ( = …

A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 160

33. MD-87-19

Jika b > 0 dan 12321

= ) dx x (b

∫ − , maka

nilai b = … A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

34. MD-84-16

Jika p banyaknya himpunan bagian dari (1,2) dan q akar positif persamaan x2 +

2x – 3 = 0, maka =−∫p

q

x)dx( 28 …

A. 9 B. 5 C. 3 D. 2 E. –6

35. MD-93-22

Jika 103

0

3 221 =∫ dxx

a

, ∫ −b

dxx0

)32( =4 dan

a, b > 0, maka nilai a2 + 2ab + b2 adalah … A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30

36. MD-84-29

Jika ∫y

+ x) dx =(1

61 , maka nilai y dapat

diambil … A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2

37. MD-95-27 Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x2 – 5x – 2 = 0, maka …

( )∫ −p

q

dxx35 = …

A. –321

B. –221

C. 221

D. 331

E. 521



38. UAN-SMA-04-30 Gradien garis singgung di sembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus y’ = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva tersebut melalui titik (1, –5), maka persamaan kurvanya adalah … A. y = x3 – 3x2 + 2x + 5 B. y = x3 – 3x2 + 2x – 5 C. y = x3 – 3x2 + 2x – 1 D. y = x3 – 3x2 + 2x + 1 E. y = x3 – 3x2 + 2x

39. MA-93-06 Jika

dxxdf )( = x3 + x-3 dan f(1) = –

2011

maka ∫2

1 )( dxxf = …

A. 2 B. 1 C.

21

D. 41

E. –41

39. MD-83-20

∫π2

0

= cos dxx …

A. 2 B. 0 C. π D. 1 E.

21

40. EBT-SMA-00-28 Hasil dari ∫ dxxx 4cos cos = …

A. –51 sin 5x –

31 sin 3x + C

B. 101 sin 5x +

61 sin 3x + C

C. 52 sin 5x +

52 sin 3x + C

D. 21 sin 5x +

21 sin 3x + C

E. –21 sin 5x –

21 sin 3x + C

41. EBT-SMA-99-29

Nilai ∫π6

0

cos2cos xdxx = …

A. 65

B. 64

C. 125

D. –125

E. –65

42. EBT-SMA-03-32

Nilai dari ∫π2

0

sin5sin xdxx = …

A. 21−

B. 61−

C. 121

D. 81

E. 125

43. EBT-SMA-00-24

Nilai ∫ =−1

0

6)1(5 dxxx …

A. 5675

B. 56

10

C. 565

D. 567−

E. 5610−

44. EBT-SMA-93-40

∫ dxxx sin = … A. x cos x + sin x + C B. –x cos x + sin x + C C. x sin x – cos x + C D. –x sin x E. x cos x

45. EBT-SMA-96-32

∫ + xdxx 2cos)13( = …

A. 21 (3x + 1) sin 2x +

43 cos 2x + C

B. 21 (3x + 1) sin 2x –

43 cos 2x + C

C. 21 (3x + 1) sin 2x +

23 cos 2x + C

D. –21 (3x + 1) sin 2x +

23 cos 2x + C

E. –21 (3x + 1) sin 2x –

43 cos 2x + C



Panjang jari tangan menentukan kecerdasan?

Menentukan seseorang cerdas atau tidak tanpa menguji otaknya memang

tidaklah mudah. Apalagi jika hanya mengandalkan tampilan fisik. Seringnya kita mendapatkan fakta yang berseberangan. Seseorang dengan tampilan fisik menarik tak berkorelasi positif dengan kemampuan otaknya yang cerdas. Demikian pula sebaliknya. Meski demikian, berdasarkan hasil penelitian ada bagian tubuh manusia yang bisa digunakan untuk mengungkapkan kecerdasan seseorang. Mark Brosnan salah satu peneliti dari Universitas Bath mengungkapkan bahwa kecerdasan seseorang dapat dilihat dari perbandingan panjang jari manis dan jari telunjuknya. Seorang anak yang memiliki jari manis lebih panjang daripada jari telunjuk cenderung memiliki kemampuan matematika lebih tinggi daripada kemampuan verbal dan bahasa. Jika perbandingan sebaliknya anak umumnya memiliki kemampuan verbal seperti menulis dan membaca yang lebih baik dari matematika. Panjang jari tangan merefleksikan perkembangan bagian-bagian di otak. Para ilmuwan telah lama mengetahui bahwa pertumbuhan jari-jari tangan manusia berbeda-beda tergantung hormon testosteron dan estrogen di dalam rahim saat bayi dikandung ibunya. Kadar testosteron yang tinggi diyakini mendukung perkembangan bagian otak yang berhubungan dengan matematika dan pandang ruang. Hormon itu pula yang menyebabkan jari manis tumbuh lebih panjang. Estrogen juga mendorong efek yang sama pada bagian otak, namun yang berhubungan dengan kemampuan verbal. Hormon ini mendukung pertumbuhan jari telunjuk, sehingga lebih panjang dari jari manis. Untuk menguji hubungan kecerdasan dengan rasio panjang jari tangan, Brosnan dan koleganya membandingkan tes scholastic (SAT) semacam psikotes kepada calon siswa yang mendaftar sekolah dengan panjang cap jari setiap siswa yang telah diminta sebelumnya. Mereka mengukur panjang jari-jari secara teliti menggunakan jangka sorong yang memiliki tingkat ketelitian 0,01 mm. Kemudian rasio panjang jari dicatat untuk memperkirakan perbandingan kadar testosteron dan estrogen. Hasil tes siswa laki-laki dan perempuan dipisahkan. Mereka menemukan hubungan yang jelas antara tingginya paparan testosteron terlihat dari panjang jari manis yang lebih panjang daripada jari telunjuk dengan nilai uji matematika yang tinggi. Juga tingginya paparan estrogen dengan kemampuan bahasa dan verbal pada sebagian anak perempuan. ”Rasio panjang jari memberikan kita gambaran mengenai kemampuan pribadi yang berhubungan dengan kognitif (daya pikir).” Ujar Brosnan yang akan melaporkan temuannya dalam British Journal of Psychology.

Sumber : Harian pikiran rakyat, 31 Mei 2007

Education

Modul matematika-integral