Modul Matematika

Mahasiswa Pendidikan Matematika 2015 Universitas Sriwijaya

Dosen Pengampuh :

1. Dr. Budi Santoso, M.Si.

2. Elika Kurniadi, S.Pd., M.Sc.

Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sriwijaya

1 | P a g e

BAB

1

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun oleh :

Bella Timoti Pertiwi

Fitriyah

Nadya Putri Setiawati

Belajar logika berarti kita belajar berpikir atau bernalar yang merupakan

kegiatan akal manusia dengan mana pengetahuan yang kita terima melalui panca

indera diolah dan ditujukan untuk mencapai suatu kebenaran. Dengan berpikir

kita belajar menilai sesuatu sehingga dapat disimpulkan manfaat belajar logika

adalah kita memanifestasikan pikiran sehingga mampu mempertimbangkan,

merenungkan, menganalisis, menunj ukkan al asanal asan, membuktikan

sesuatu, membanding bandingkan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan

pikiran, mencari kausalitasnya, membahas secara relitas dan lain-lain. Manfaat

mempelajari logika, agar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, runtut atau

konsisten, dan benar.

Gunakanlah Pikiran Logikamu ke arah positif.

Don’t negative thinking about everything.

Dibelakang setiap orang yang sukses ada

banyak tahun-tahun yang tidak sukses.

2 | P a g e

PETA KONSEP

3 | P a g e

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematikaadalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan

dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan

tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal yang paling penting yang akan

didapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam

mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah.

1. Pernyataan

Pernyataan (proposisi/deklarasi/statemen) adalah kalimat yang memiliki

nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh a dan c merupakan contoh pernyataan bernilai benar sedangkan b

merupakan pernyataan bernilai salah.

Suatu pernyataan di notasikan dengan huruf kecil seperti p,q,r dan

sebagainya,

misalnya :

p : Semua bilangan prima adalah ganjil

q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran sebuah pernyataan

Untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan itu benaratau salah dapat

digunakan cara sebagai berikut :

i. Dasar empiris, yaitu menunjukkan benar atau salahnya sebuah

pernyataan berdasarkan fakta yang dijumpai dalam kehidupan nyata.

Contoh : rambut adik panjang

ii. Dasar tidak empiris, yaitu menunjukkan benar salahnya sebuah

pernyataan melalui bukti atau perhitungan dalam matematika.

Contoh : jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°

2. Ingkaran dari suatu pernyataan

a. Hasil Kali 5 dan 4 adlah 20

b. Semua unggas dapat terbang

c. Ada bilangan prima yang genap

Contoh

a. Semoga nanti engkau naik kelas

b. Tolong tutupkan pintu itu

c. Apakah andi sudah makan ?

Contoh kalimat yang bukan

pernyataan

4 | P a g e

Misalkan p adalah suatu penyataan. Suatu pernyataan lain yang dibentuk

dari pernyataan p dengan cara menuliskan “Adalah salah bahwa....” sebelum

pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”

pada pernyataan p dinamakan negasi atau penyangkalan atau ingkaran dari

pernyataan p. Ingkaran dari pernyataan p ditulis : ~ p (dibaca : “tidak benar

bahwa p”).

Sifat : Jika p benar maka ~p salah. Jika p salah maka ~p benar. Dalam tabel

kebenaran, sifat itu disajikan sebagai berikut.

p ~p

B S

S B

Catatan : Ingkaran dari “semua atau setiap” adalah “ada atau beberapa”

Ingkaran dari “ada atau beberapa” adalah “semua atau setiap”

3. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal

yang di hubungkan dengan kata hubung. Ada 4 macam pernyataan

majemuk :

1. Konjungsi

Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “dan”

untuk membentuk suatu pernyataan majemuk dinamakan konjungsi dari

pernyataan semula. Dalam bentuk lambang konjungsi dari pernyataan p dan q

ditulis p ∧ q (dibaca: “ p dan q”). Nilai kebenaran dari p ∧ q memenuhi sifat

berikut.

Sifat: Jika p benar dan q benar maka p ∧ q benar. Dalam hal lain p ∧ q salah.

Dalam tabel kebenaran, sifat itu disajikan sebagai berikut.

p Q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

p : 3 + 4 = 5 ( Bernilai Salah)

q : 22 – 1 = 3 (Bernilai Benar)

p ∧ q : 3 + 4 = 5 dan 22 – 1 = 3 (Bernilai Salah)

Contoh

5 | P a g e

2. Disjungsi

Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “atau”

untuk membentuk suatu pernyataan majemuk dinamakan disjungsi dari

pernyataan semula. Dalam bentuk lambang konjungsi dari pernyataan p dan q

ditulis p V q (dibaca: “ p atau q”). Nilai kebenaran dari p V q memenuhi sifat

berikut.

Sifat: Jika p benar atau q benar atau keduanaya benar, maka p V q benar.

Dalam hal lain p V q salah. Ketentuan tentang nilai kebenaran suatu disjungsi

disajikan pada tabel kebeneran sebagai berikut.

p q p V q

B B S

B S B

S B B

S S S

3. Implikasi

Dari pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk

“jika p maka q” yang dinamakan implikasi atau pernyataan bersyarat.

Pernyataan p dinamakan alasan atau sebabdan pernyataan q dinamakan

kesimpulan. Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan p → q juga

dibaca :

a. p hanya jika q c. p syarat cukup bagi q

b. q jika p d. q syarat perlu bagi p

Nilai kebeneran dari implikasi p → q memenuhi sifat sebagai berikut :

Sifat : implikasi p → q selalu benar kecuali dalam kasusu p benar dan q salah

p Q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

p : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7(pernyataan bernilai benar)

q: Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)

p V q : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta

(pernyataan bernilai benar)

Contoh

6 | P a g e

4. Biimplikasi

Pernyataan bersyarat berbentuk “p jika dan hanya jika q” dinamakan

implikasi (implikasi dwi arah/bikondisional/ekuivalen). Pernyataan ini

adalah gabungan dari p → q dan q → p, karena itu dinamakan dwi arah.

Biimplikasi “p jikadan hanya jika q” dinyatakan dengan lambang p↔q.

Biimplikasi p↔q dapat juga dibaca :

a. Jika p maka q dan jika q maka p

b. p syarat perlu dan cukup bagi q

c. q syarat perlu dan cukup bagi p

Nilai kebeneran dari implikasi p↔q memenuhi sifat sebagai berikut :

p Q p↔q

B B B

B S S

S B S

S S B

4. Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk pernyataan majemuk :

a. q→p dinamakan konvers dari p→q

b. ~p → ~q dinamakan invers dari p→q

c. ~q → ~p dinamakan kontraposisi dari p→q

p : 5 + 4 = 7 (pernyataan salah)

q : Indonesia di benua eropa(pernyataan salah)

p → q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa

(pernyataanbenar)

Contoh

p : 3 + 10 =14(pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga(pernyataan salah)

p↔q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi

adalah segitiga(pernyataan salah)

Contoh

7 | P a g e

Sifat: 1. p→q ≡ ~q → ~p ≡ ~p V q

2. q→p ≡ ~p → ~q

Jadi, implikasi ekuivalen dengan kontraposisi dan konvers dan konvers ekuvalen

dengan invers.

5. Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu

mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah ≡ .

Contoh : Buktikan bahwa: p ↔ q ≡ (p → q) ∧(q → p)

6. Tautologi dan kontradiksi

Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk

semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponen.

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk

semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponen.

Contoh :

Buktikan dengan tabel kebenaran (p ∧~q) → ~(p →q)

7. Penarikan Kesimpulan

Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dan hanya jika konjungsi dan

premis-premisnya benar. Dengan kata lain, jika bentuk konjungsi premis-

premisnya mengakibatkan konklusi , maka argumen itu dikatakan sah.

Sebaliknya, juika konjungsi premis-premis itu tidak mengakibatkan konklusi,

maka argumen itu sesuatu yang palsu atau tidak sah.

8 | P a g e

Bentuk baku cara menuliskan argumen adalah dengan menuliskan

premis-premis tersusun dari atas ke bawah, setiap premis ditulis dalam satu

baris, sedangkan garis datar digunakan untuk membatasi premis dengan

konklusi.

1. Kaidah silogisme

p→q (premis 1)

q→r (premis 2)

Jadi p→r (kesimpulan/konklusi)

Dengan tabel dapat kita lihat sebagai berikut :

Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode

silogisme dikatakan sah atau valid.

2. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)

p→q (premis 1)

p (premis 2)

Jadi q (kesimpulan/konklusi)

Dengan tabel dapat kita lihat sebagai berikut :

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

9 | P a g e

Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar diberi tanda,

ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda juga benar, sehi ngga penari kan

kesi mpul an dengan menggunakan modus ponens dikatakan sah atau valid.

3. Modus Tollens (Kaidah Penolakan Akibat)

p→q (premis 1)

~q (premis 2)

Jadi ~p (kesimpulan/konklusi)

Pernyataan p→q adalah premis pertama, pernyataan ~q adalah premis

kedua, sedangkan pernyataan ~p merupakan konklusi atau kesimpulan. Ketiga

pernyataan diatas sama artinya dengan pernyataan implikasi ,(p→q ˄ ~q- → ~p

Argumen tersebut dikatan sah, jika pernyataan implikasi ,(p→q ˄ ~q- →

~p merupakan suatu tautologi. Jadi, untuk memeriksa apakah suatu argumen sah

atau tidak, kita perlu memeriksa nilai kebenaran pernyataan implikasi itu untuk

semua kemungkinan nilai kebenaran premis. Pernyataan p→q setara atau

ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu ~q→~p. Oleh karena itu, argumen di

atas dapat ditulis menjadi :

~q→~p (premis 1)

~q (premis 2)

Jadi ~p (kesimpulan/konklusi)

Argumen ini adalah suatu modus ponens. Ternyata modus tolens adalah

bentuk khusus dari modus ponens.

Perlu diingat bahwa sah atau tidak sahnya suatu argumen atau penalaran

tidak tergantung pada benar tidaknya suatu kesimpulan sebagai penyataan.

Ada argumen yang kesimpulannya memiliki arti yang wajar, walaupun

cara menarik kesimpulan itu tidak sah. Ada juga kesimpulan yang kelihatannya

tidak masuk di akal, tetapi kesimpulan itu diperoleh dari suatu argumen yang

sah. :

Dapat juga kita lihat dari tabel sebagai berikut :

10 | P a g e

Berdasarkan tabel tersebut, penari kan kesi mpul an dengan metode modus

tollens dikatakan sah.

Contoh :

Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :

1. Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat

Premis 2 : Ibu sakit

Konklusinya : Ibu minum obat

2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak

Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak

Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak

3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik

Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik

Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik

11 | P a g e

LATIHAN SOAL LOGIKA MATEMATIKA

1. Coba kalian ubah pasangan-pasangan pernyataan di bawah ini menjadi

pernyataan majemuk dengan operasi majemuk (dan):

A. p : Hari ini surabaya cerah

q : Hari ini surabaya udaranya sejuk

B. p : Gilang mengenakan baju merah

q : Gilang mengenakan topi hitam

C. p : Bejo pandai dalam pelajaran matematika

q : Bejo pandai dalam pelajaran kimia

2. Diketahui p adalah “Hari ini hujan deras” dan q adalah “Hari ini aliran listrik

terputus”. Tulis setiap pernyataan berikut ini dengan menggunakan lambang

logika

a. Hari ini tidak hujan deras dan aliran listrik tidak terputus.

b. Hari ini tidak hujan deras atau aliran listrik terputus.

3. Perhatikan Penyataan Berikut ini :

p : Tahun ini kemarau panj ang.

q : Tahun ini hasil padi meningkat.

Nyatakan dengan kata-kata:

a. p → q

b. ~p → ~q

c. p → ~q

4. Tunjukkan bahwa :

a. ~(p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q

b. ~(p ˅ q) ≡ ~p ˄~q

5. Tulis konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi :

a. “Jika semua bilangan prima adalah bilangan ganjil maka 2 bukan bilangan

prima”

b. “Jika cuaca dingin maka Dinda memakai jaket”

6. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan “Jika

bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan ganjil” adalah

….

(Matematika Dasar SNMPTN)

7. Tentukan kesimpulan dari :

Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

12 | P a g e

8. Diketahui pernyataan :

1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

3. Ani tidak memakai payung.

Dari pernyataan diatas carilah kesimpulan yang sah !

9. Buktikan bahwa argumen yang berbentuk kaidah silogisme berikut ini sah.

p→q (premis 1)

q→r (premis 2)

Jadi p→r

10. Tuliskan ingkaran dari setiap pernyataan berikut ini kemudian sederhanakanlah.

a. Jika cuaca dingin maka dia memakai baju hangat tetapi bukan sweater

b. Jika dia belajar maka dia akan melanjutkan ke perguruan tinggi atau ke

sekolah seni.

13 | P a g e

BAB

2

HIMPUNAN

Disusun oleh :

Deri Ayu Pramesti

Ira Marion

M. Ridho Ratu Berlian

Kalian tentu pernah pergi ke warung, took, atau swalayan.

Barang-barang yang dijual di tempat tersebut dikumpulkan

atau dikelompokkan dengan aturan sendiri. Jika kalian

perhatikan, barang-barang itu diatur sehingga membentuk

himpunan-himpunan tertentu. Misalnya, himpunan pakaian,

himpunan makanan, dan himpunan sayur-mayur. Coba kalian

bayangkan apa yang terjadi jika barang-barang itu

bercampur.

Alam hanya mampu

memperlihatkan tempat yang

terbatas, tapi buku memberikan

dunia yang tak terbatas

14 | P a g e

PETA KONSEP

HIMPUNAN

KONSEP HIMPUNAN

RELASI HIMPUNAN OPERASI HIMPUNAN

Definisi

Notasi

Jenis-Jenis

Komplemen

Pengurangan

Penjumlahan

Gabungan Himpunan Sama

Sifat-Sifat Operasi

Himpunan Equivalen

Himpunan Bagian

Himpunan Kuasa

Sifat Relasi Himpunan

15 | P a g e

HIMPUNAN

1. KONSEP HIMPUNAN

1.1 Pengertian Himpunan

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu

yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang

sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan

mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur

kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

1.2 Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital ; A, B, C, … atau ditandai

oleh dua kurung kurawal, * … + Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan

dalam huruf kecil ; a, b, c, … Jika x anggota himpunan A, maka ditulis . Jika y

bukan anggota himpunan B , maka ditulis . Banyaknya anggota himpunan A

ditulis n(A).

Simbol Arti

{} atau ø Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunan

∩ Operasi irisan dua himpunan

Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati

Ac Komplemen

P(A) Himpunan kuasa

1.3 Macam-macam Himpunan

Himpunan kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis

dengan simbol ø atau { }.

Himpunan semesta

Himpunan semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang

dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S.

Himpunan Bilangan

Himpunan Bilangan, terdiri dari :

16 | P a g e

Himpunan Bilangan Asli : N = *1, 2, 3, … +

Himpunan Bilangan Cacah : C = *0, 1, 2, 3, … +

Himpunan Bilangan Bulat : Z = * … , -1, 0, 1, … +

Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0}

Himpunan Bilangan Real : R

2. RELASI HIMPUNAN

2.1 Relasi Antar Himpunan

Himpunan sama yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis

sama, tanpa melihat urutannya.

Contoh :

A ={ c,d,e}

B={ c,d,e } Maka A = B

Himpunan equivalen yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang sama

banyak. Jika A equivalen B, maka ditulis A ≈ B.

Contoh :

A = { w,x,y,z } → n (A) = 4

B = { r,s,t,u + → n (B) = 4

Maka n (A) =n (B) → A≈B

Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A

termasuk anggota B, ditulis A ⊂ B

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B ⊂ A, dibaca : B himpunan bagian dari A

B ⊂ A, dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A. Sebab setiap

elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak sebaliknya.

Himpunan Kuasa yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan himpunan

bagian dari suatu himpunan.

Contoh Himpunan Kuasa Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari A adalah :

2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A} Jika m adalah banyaknya anggota

himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A adalah 2m

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

17 | P a g e

2.2 Diagram Venn

John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun

1834 – 1923 menemukan cara menyatakan suatu himpunan dengan menggunakan

gambar. Selanjutnya, gambar tersebut dinamakan Diagram Venn. Dalam diagram

Venn , himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang , sedangkan

himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus

tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya. Jika jumlah

anggota suatu himpunan terlalu banyak, untuk menyatakan keanggotaannya tidak

perlu digambar noktah-noktah nya , tetapi cuku dengan kurva sederhana.

Contoh :

Diketahui S = * 1,2,3,4,5,6,…,15+ adalah himpunan semesta (semesta

pembicaraan). Jika A = {1,3,5,7,9,11,13} dan B = { x | x adalah bilangan prima

yang kurang dari 10} . gambarlah diagram venn !

2.3 Sifat –sifat Relasi Himpunan Sifat Reflekatif

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) € R.

Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri. Sifat Simetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) € R.

Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R. Sifat Transitif

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.

Contoh :

A B

1

9

11

13

4

6

8

10

12

15

14

3

5

7

S

18 | P a g e

Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R. Sifat Antisimetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.

Contoh :

Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = *(a,b) € a kelipatan b, ab € C+ sehingga diperoleh R = *(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris. Sifat Ekuivalensi

Misalkan himpunan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh : Diberikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi. 3. OPERASI PADA HIMPUNAN

Irisan A ∩ B = *x : x A dan x B}

Contoh:

*1, 2+ ∩ *1, 2+ = *1, 2+.

*1, 2+ ∩ *2, 3+ = *2+.

*Budi,Cici+ ∩ *Dani,Cici+ = *Cici+.

*Budi+ ∩ *Dani+ = ∅.

Operasi irisan A ∩ B setara

dengan A dan B . Irisan

merupakan himpunan baru yang

anggotanya terdiri dari anggota

yang dimiliki bersama antara dua

atau lebih himpunan yang

terhubung. Jika A ∩ B = ∅,

maka A dan B dapat

dikatakan disjoint (terpisah).

Beberapa sifat dasar irisan:

A ∩ B = B ∩ A.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B)

∩ C.

A ∩ B ⊆ A.

A ∩ A = A.

A ∩ ∅ = ∅.

A ⊂ B jika and hanya

jika A ∩ B = A.

19 | P a g e

Gabungan A U B = {x : x A atau x B}

Contoh: {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.

{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.

{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Penjumlahan A + B = {x : x A, x B , x (A∩B)+

Pengurangan A – B = A \ B = {x : x A, x B}

Komplemen Ac = {x : x A, x S}

A dan B adalah semua elemen yang ada

dalam A atau dalam B atau dalam

kedua-duanya .

A adalah semua anggota himpunan

semesta yang berada di luar A, yaitu

Ac = {x | x ∈ A}.

A dan B adalah semua anggota A

yang bukan anggota B.

A dan B adalah semua eleman

yang ada dalam A atau dalam B

tetapi tidak dalam kedua-duanya.

Beberapa sifat dasar gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

A ⊆ (A ∪ B).

A ∪ A = A.

A ∪ ∅ = A.

A ⊆ B jika and hanya

jika A ∪ B = B.

20 | P a g e

Contoh:

{1, 2} \ {1, 2} = ∅.

{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Beberapa sifat dasar komplemen:

A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.

A ∪ A′ = U.

A ∩ A′ = ∅.

(A′)′ = A.

A \ A = ∅.

U′ = ∅ dan ∅′ = U.

A \ B = A ∩ B′ tersebut.

21 | P a g e

LATIHAN SOAL HIMPUNAN

1. Dari survei di sebuah kelas diketahui bahwa ada 25 siswa yang menyukai membaca

dan 30 yang menyukai Traveling. Ditemukan pula bahwa di kelas itu ada 15 orang

yang suka membaca dan traveling. Ada berapa siswa dalam kelas itu?

2. S = *1,2,3,4,5,…,49,50+ dan n (S) = 50

A = {1,3,5,7,9,11,13,15,… + (himpunan bilangan biulat ganjil positif) dan n(A) = 20

B = *2,3,5,7,11,13,…+ ( himpunan bilangan prima ) dan n (B) = 15

Tentukan n ( A ∩ B )C !

3. Disebuah kelas dilakukan pengambilan data. Dari data tersebut diperoleh,

13 siswa menyukai Matematika

12 siswa menyukai Fisika

8 siswa menyukai Kimia

Jumlah siswa yang hanya menyukai Kimia yaitu sama dengan setengah dari jumlah

siswa yang menyukai Fisika dan sama dengan jumlah siswa yang hanya menyukai

Fisika. Selalu ada siswa yang menyukai mata pelajaran sekaligus dari mata pelajaran

yang ada tersebut.

Berapakah jumlah siswa di kelas tersebut jika tidak ada siswa yang menyukai ketiga

mata pelajaran sekaligus

4. SMA Harapan melakukan pendataan terhadap semua siswanya. Didapatkan, 310

siswa suka bahasa Jerman. 950 siswa suka bahasa Inggris. 1050 siswa suka bahasa

Indonesia. 150 orang suka ketiga-tiganya.

Jika tidak ada siswa yang menyukai dua bahasa berbeda, berapakah jumlah siswa di

SMA Harapan ?

5.

6. Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai

rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor

22 | P a g e

kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang

menyukai rumput gajah dan rumput teki ?

7. Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75

siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK

sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah

banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?

8. Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25

bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang

tidak menyukai pisang dan bubur?

9. Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai

renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn

dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.

10. Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis

pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran

Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang

tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya

siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah

diagram venn-nya!

23 | P a g e

BAB

3

FUNGSI KOMPOSISI

DAN INVERS

Disusun Oleh :

Lara Mayangsari

Sri Ferbriani

Tania Tri Septiani

Dalam kehidupan sehari-hari, fungsi sering dijadikan

permodelan matematika untuk menyelesaikan permasalah

nyata. Suatu kejadian bila dibuat model matematika akan

menghasilkan suatu fungsi.

If you can’t explain it simply, you

don’t understand it well enough.

-Albert Einstein

24 | P a g e

PETA KONSEP

25 | P a g e

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

1. Operasi Aljabar Pada Fungsi

Definisi 3.1

Jika suatu fungsi dengan daerah asal dan suatu fungsi dengan daerah asal , maka pada

operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai

berikut.

a) Jumlah dan ditulis + didefinisikan sebagai

( + )( ) = ( ) + ( ) dengan daerah asal = ∩

b) Selisih dan ditulis didefinisikan sebagai

( )( ) = ( ) ( ) dengan daerah asal = ∩

c) Perkalian dan ditulis didefinisikan sebagai

( )( ) = ( ) ( ) dengan daerah asal = ∩

d) Pembagian dan ditulis

didefinisikan sebagai

.

/ ( ) =

( )

( ) dengan daerah asal

= ∩ * ( ) = 0+

Contoh:

Jawab:

26 | P a g e

2. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi

27 | P a g e

Berdasarkan beberapa hal di atas kita peroleh definisi berikut.

Definisi 3.2

Jika dan fungsi dan , maka terdapat suatu fungsi dari

himpunan bagian ke himpunan bagian yang disebut fungsi komposisi

dan (ditulis: yang ditentukan dengan

daerah asal fungsi komposisi dan adalah,

dengan

daerah asal (domain) fungsi daeraj asal (domain) fungsi g;

= daerah hasil (range) fungsi = daerah hasil (range) fungsi g.

28 | P a g e

Contoh:

Jawab:

Contoh Soal:

29 | P a g e

3. Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi

Sifat 3.1

Sifat 3.2

Diketahui dan suatu fungsi. Jika maka

pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu;

Diketahui suatu fungsi dan merupakan fungsi identitas. Jika

maka terdapat sebuah fungsi identitas yaitu

sehingga berlaku sifat identitas, yaitu;

30 | P a g e

Fungsi Invers

Pengertian Invers Suatu Fungsi

Pertama, Fungsi memetakan ∈ ke ∈ . Jika

fungsi dinyatakan ke dalam bentuk pasangan

berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut.

= *( , ) ∈ +. Pasangan berurut ( , )

merupakan unsur dari fungsi .

Kedua, invers fungsi atau memetakan ∈ ke

dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis

= *( , ) ∈ ∈ +. dan Pasangan berurut( , ) merupakan unsur dari

invers fungsi .

Definisi 3.3

Definisi untuk invers suatu fungsi adalah sebagai berikut.

Syarat agar Invers Suatu Fungsi MerupakanFungsi (Fungsi Invers)

Sifat 3.3

Definisi 3.4

Jika fungsi : → adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi adalah fungsi yang

didefinisikan sebagai : → dengan kata lain adalah fungsi dari ke .

Jika fungsi memetakan ke dan dinyatakan dalam pasangan berurutan

maka invers dari fungsi f (dilambangkan ) adalah relasi

yang memetakan ke , dalam pasangan berututan dinyatakan dengan

.

Fungsi memiliki fungsi invers jika dan hanya jika

adalah fungsi bijektif atau himpunan A dan B berkorespondensi satu-

satu.

31 | P a g e

4. Menentukan Invers Suatu Fungsi

Sifat 3.4

Untuk menentukan invers dari suatu fungsi = ( ) dapat ditempuh prosedur berikut ini.

a. Nyatakan sebagai fungsi , yaitu = ( ).

b. Ganti dengan dan dengan , sehingga = ( ) merupakan invers fungsi dari

= ( )

Diberikan beberapa fungsi. Tentukan invers dari fungsi di bawah ini!

1. = +

= +

=

=

=

( ) =

( ) =

2. =

= +

+

( + ) = +

+ = +

=

( ) =

=

( ) =

( ) = +

Misalkan adalah fungsi invers fungsi Untuk setiap dan

berlaku jika dan hanya jika .

32 | P a g e

3. =

=

= log

=log

( ) =1

log

( ) =1

log

4. = log

= log

=

=

( ) =

( ) =

5. =

= +

=

= √ atau = √

( ) = √ atau ( ) = √

( ) = √ atau ( ) = √

6. = ( + )

= + 2 + = ( + )

( + ) =

+ = √ atau + = √

= √ atau = √

( ) = √ atau ( ) = √

( ) = √ atau ( ) = √

7. = + +

33 | P a g e

Strategi cerdas:

Contoh:

f(x) = ax + b; a ≠ 0 f -1

(x) =a

bx

; a ≠ 0

f(x) = dcx

bax

; x ≠ -

c

d

f

-1(x) =

acx

bdx

; x ≠

c

a

f(x) = acx

; a > 0 f -1

(x) = alog x

1/c =

c

1 alog x ; c ≠ 0

f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 f

-1(x) =

c

ax

; c ≠ 0

f(x) = ax²+bx+c; a≠0 f -1

(x)=2a

x)4a(cbb 2

34 | P a g e

Jawab:

5. Rumus Komposisi ( )( ) dan ( )( )

Sifat 3.5

Sifat 3.6

Misalkan sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal dan daerah hasil

sedangkan merupakan fungsi identitas. Fungsi merupakan fungsi

invers dari fungsi jika dan hanya jika

untuk setiap dan

untuk setiap

Jika sebuah fungsi bijektif dan merupakan invers , maka fungsi invers

dari adalah fungsi itu sendiri, disimbolkan dengan

35 | P a g e

6. Memahami ( ) ( ) = ( )( )

Dari gambar diagram di atas : → , : → , : → , : → , dengan dan

berkorespondensi satu-satu sedemkian sehingga = , maka = .

Dalam hal ini ( ) = disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga

diperoleh sifat-sifat berikut ini.

( ) ( ) = ( )( ) dan ( ) ( ) = ( )( )

36 | P a g e

LATIHAN SOAL FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

1.) Diketahui ( ) = ( )

, maka ( ) sama dengan ...

2.) Invers dari fungsi ( ) =

, x ≠ 4/3 adalah ...

3.) Jika ( 1) =

dan adalah invers dari f maka ( + 1)sama dengan ..

4.) Jika ( )( ) = 4 + 8 3 dan ( ) = 2 + 4, maka ( ) sama dengan ...

5.) Diketahui ( ) =

, dan adalah invers dari f, maka sama ( ) dengan ...

6.) Diketahui ( ) = + 1 dan ( ) = 2 3, maka ( )( ) =…

(Ebtanas Tahun 1989)

7.) Diketahui fungsi ( ) = 3 1 dan ( ) = 2 + 3. Nilai dari komposisi fungsi

( )(1) =…

(UN Matematika SMA IPA - 2010 P04)

8. Jika suatu fungsi ( ) = + 2dan ( ) = + 5 maka ( )( ) adalah.....

9. Jika ( ) = 2 dan ( ) = 2 + 3 maka g o f(x) adalah...

10. Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah:

f(x) = 3x + 2

g(x) = 2 x

Tentukan:

a) (f o g)(x)

b) (g o f)(x)

37 | P a g e

BAB

4

FUNGSI KUADRAT

NAMA KELOMPOK

Altisya Dilla

Shera Annisa

Suci Kumala Sari

Fungsi kuadrat banyak digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan yang berhubungan dengan perubahan variabel

yang nilainya naik turun dengan pola simetris

Fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari dapat kita jumpai

saat orang memasukkan bola basket ke ring, bermain angry bird,

air mancur, dsb.

Hidup ini tidak selalu sama. Ada

saatnya kita naik, dan ada

saatnya kita turun

38 | P a g e

PETA KONSEP

Fungsi KuadratF(x)=ax2+bx+c, a≠0

Koefisien

Persamaan Fungsi

Kuadrat (a,b,c)

Y=ax2+bx+c

Y=a(x-x1) (x-x2)

Y=a(x-x1)2

Y=(x-h)2+k

Tabel

Koordinat

Diskriminan

D - b2 - 4ac

a > 0 a<0

D > 0

D = 0

D < 0

Nilai Maks

atau Min

y = -D/4a

Titik Potong

Sumbu absis

Karakteristik

Fungsi Kuadrat

Sketsa

Grafik

Pers. Sumbu

simetri

x = -b/2a

Titik balik maks

atau min

P = (-b/2a, -D/4a)

Menyusun

Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat

39 | P a g e

FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0

disebut fungsi derajat dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f = ax2 +

bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola.

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.

Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat

mempunyai bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0.

Sebuah fungsi selalu berhubungan dengan grafik, begitu pula dengan fungsi kuadrat. Grafik

fungsi kuadrat berbentuk parabola. Untuk menggambar sebuah grafik fungsi kuadrat harus

ditentukan titik potong dengan sumbu kordinat dan titik ekstrimnya.

Sifat-sifat fungsi kuadrat

a. Jika a > 0, kurva terbuka ke atas memiliki nilai min

Jika a < 0, kurva terbuka ke bawah memiliki nilai maks

b. Jika titik puncak disebelah kanan sumbu y, a dan b berlawanan

Jika titik puncak disebleah kiri sumbu y, a dan b sama

c. Jika memotong sumbu y positif, c > 0

Jika memotong sumbu y negatif, c < 0

d. Jika memotong sumbu x di dua titik, D > 0

Jika menyinggung sumbu x, D = 0

Jika tidak memotong sumbu x, D < 0

Tidak memotong sumbu x dan terbuka ke atas (a > 0) disebut definit positif

Tidak memotong sumbu x dan terbuka ke bawah (a < 0) disebut definit

negatif

e. Titik ekstrim

Titik ekstrim pada fungsi kuadrat merupakan koordinat dengan absisnya

merupakan nilai sumbu simetri dan ordinatnya merupakan nilai ekstrim.

Pasangan koordinat titik ekstrim pada fungsi kuadrat = + + adalah

sebagai berikut

2 ,

4

Keterangan:

D adalah deskriminan

= 4

Seperti yang sudah disebutkan di atas, =

adalah sumbu

simetri dan

merupakan nilai ekstrim fungsi kuadrat.

40 | P a g e

Sumbu Simetri

Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu

y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.

Persamaanuntuksumbusimetrisadalah x = -b/2a

Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Jika a > 0, maka grafiknya terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum (titik

puncaknya mempunyai nilai terkecil)

Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum

(titik puncaknya mempunyai nilai terbesar)

Jika D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, maka:

Jika D < 0, maka grafik y= f(x) memotong sumbu pada dua titik yang berbeda

Jika D = 0, maka grafik y= f(x) menyinggung sumbu x pada satu titik.

Jika D > 0, maka grafik y= f(x) tidak memotong sumbu x

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola

( y = ax2 + bx + c )

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika

kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya.

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan

fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat

namun kita kesulitan dalam menentukannya. bisa jadi karena angkanya yang

susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita

cari dengan rumus abc :

41 | P a g e

setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat

dengan sumbu x :( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0

karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan harga ekstrim atau titik puncak

rumus menentukan harga ekstrem (xp,yp) = (-b/2a, D/4a)

untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari

nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.

Titikpuncak darifungsikuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalahtitik yang

diperolehdenganmengambilkoordinatdaripasangannilaiekstremdenganabsisnya.

Koordinatpuncakdarifungsikuadratadalahtitik P (-b/2a, D/4a). Titik P

dinamakanmaksimumjika a > 0 dandinamakantitik minimum jika a < 0.

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik

fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x:

mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

a) Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

b) Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan

parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)

c) Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di

bawah sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai

selalu positif (melayang di atas sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai

selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi

42 | P a g e

kuadrat/parabola :

2.5 Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

a) Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y = ax2 + bx + c

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

b) Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan ( x2 , 0 ) dan melalui satu titik

sembarang.

Rumus : y = a ( x - x1 ).( x - x2 )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

43 | P a g e

c) Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0 ) dan melalui satu titik

sembarang.

Rumus : y = a ( x - x1 )2

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

d) Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y

1. Menentukanfungsikuadrat yang grafiknyamelalui 3 buahtitik.

Menggunakan y = ax2 + bx +c

Tentukan fungsi kuadrat grafiknya melalui 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

Penyelesaian:

melalui (-1,0) => y = a(-1)2 + b(-1) + c

0 = a - b + c ... (1)

melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c

-9 = 4a + 2b + c ... (2)

melalui (4,-5) => y = a(4)2 + b(4) + c

-5 = 16a + 4b + c ... (3)

Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)

Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)

Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'

Dari (5) - (4)' => 10b = -40

b = -4

Substitusikan b = -4 ke (4)

maka => -3a + 12 = 9

-3a = -3

a = 1

Substitusikan a = 1 dan b = -4

maka => 1 - (-4) + c = 0

5 + c = 0

c = -5

44 | P a g e

Sehingga fungsi kuadratnya => y = x2 - 4x – 5

2. Menentukanfungsikuadratjikakoordinattitikpuncakdiketahui.

Menggunakan y = a(x - p)2 + q titik puncak (p,q)

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)serta melalui titik (-

1,0)

Penyelesaian:

y = a(x - p)2 + q

= a(x - 2)2 - 9

melalui (-1,0) => y = a(x - 2)2 - 9

0 = a(-1 - 2)2 - 9

9 = 9a

a = 1

Jadi, fungsikuadratnya => y = 1(x - 2)2 - 9

= (x2 - 4x + 4) - 9

= x2 - 4x – 5

3. Menentukanfungsikuadrat yang grafiknyamemotongsumbu x di titik (p,0) dan (q,0)

Menggunakan y = a(x - p) (x - q)

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).

sertamelalui (4,-5)

Penyelesaian:

y = a(x - p) (x - q)

= a{x -(-1)}(x - 5)

= a(x + 1) (x - 5)

karenamelalui (4,-5) maka

-5 = a(4 + 1) (4 - 5)

-5 = -5a

a = 1

Jadi, fungsikuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)

= x2 - 4x – 5

45 | P a g e

LATIHAN SOAL PERSAMAAN KUADRAT

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …

3. 3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …

4. Sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 diperoleh pada garis …

5. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = -x2 – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis

titik balik maksimum adalah …

6. Nilai minimum fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 adalah ….

7. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah

8. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 13x + 15 = 0 adalah …

9. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat

dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2) adalah …

10. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x1 =

3x2, maka nilai a yang memenuhi adalah …

46 | P a g e

BAB

5

PERSAMAAN LINGKARAN

Disusun Oleh :

Feralia Goretti

Situmorang

Hanifa Zulfitri

Reno Sutriono

Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah

penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap

Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus

Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran

yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.

Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan

dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan

dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon.

lingkaran adalah roda kehidupan, kita tidak

akan tahu kapan roda itu akan berhenti

atau berputar, begitu juga hidup kita tidak

akan tahu dimana kita akan berhenti untuk

menjalani hidup ini. So.. do the best !!!

47 | P a g e

PETA KONSEP

48 | P a g e

PERSAMAAN LINGKARAN

Lingkaran adalah lengkung tertutup yang semua titik – titik pada lengkung itu berjarak

sama terhadap suatu titik tertentu dengan lengkungan itu. Titik tertentu dalam

lengkungan disebut pusat lingkaran dan jarak tersebut disebut jari – jari lingkaran

Unsur – unsur lingkaran :

1) Titik Pusat Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.

2) Jari-Jari (r) Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik

pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. 3) Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan

lingkaran dan melalui titik pusat. 4) Busur

Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada

lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan

tersebut. 5) Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua

titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui

titik pusat. 6) Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali

busur. 7) Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah

jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran

tersebut. 8) Apotema

Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat

lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak

lurus dengan tali busur.

49 | P a g e

1. PERSAMAAN LINGKARAN

Seperti halnya garis lurus atau parabola yang memiliki persamaan, lingkaran

juga memiliki persamaan. Persamaan lingkaran tergantung pada koordinat titik pusat

dan panjang jari – jari. Berikut ini akan dibahas persamaan – persamaan lingkaran

dilihat dari koordinat titik pusat.

1) Persamaan Lingkaran dengan pusat Titik Asal

O(0,0)

Pada lingkaran disamping jari – jari atau r = OP,

OP’ = x dan PP’ = y.

Jarak dari O(0,0) ke P(x,y) adalah

Berdasarkan rumus Pythagoras

OP’2 + PP’2 = OP2 atau x2 + y2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat O(0,0) da

jari – jari r adalah x2 + y2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O(0,0) dan jari – jari 5.

Jawab :

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

2) Persamaan lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari – jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari

persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan

menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y)

bergeser ke (x + a, y + b).

Kita peroleh persamaan sebagai berikut :

x’ = x + a x = x’ – a

y’ = y + b y = y’ – b

50 | P a g e

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a,b) adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari – jari 4.

Jawab :

Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

3) Bentuk umum persamaan lingkaran

Telah kita ketahui bahwa bentuk baku persamaan lingkaran adalah (x-a)2

+ (y-b)2 = R2 dengan pusat (a,b) dan jari – jari R. Bentuk baku tersebut dapat

diubah ke dalam bentuk lain.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0................................................(1)

Apabila A = -2a, B = -2b, dan C = a2 + b2 – R2, maka persamaan (1) dapat

dinyatakan menjadi :

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Bentuk tersebut merupakan bentuk umum persamaan lingkaran. Lalu bagaimana

cara menentukan pusat dan jari – jarinya?

A = -2a berarti a =

A

B = -2b berarti b =

B

C = a2 + b2 – R2 berarti R2 = a2 + b2 – C

R = √ + = √

+

Sehingga rumus lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka :

Pusat = (

A,

B)

Jari – jari = √

+

Bukti Lain :

51 | P a g e

Contoh :

Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x 6y 12 =

0 adalah...

Jawab :

x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0

A = 4

B = −6

C = −12

Pusat: Jari – jari :

Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan ( 2, 3).

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN

Kedudukan titik terhadap lingkaran adalah terletak diluar, pada, atau di dalam lingkaran

seperti pada gambar di bawah ini. A, B, dan C berturut – turut terletak di luar, pada, dan

di dalam lingkaran.

Titik C(x1,y1) terletak di dalam lingkaran yang berpusat O(0,0) dan berjari – jari R jika

dan hanya jika :

OP < R

√( 0) + ( 0) < R

a2 + b2 < R2

52 | P a g e

Titik B(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = R2 jika dan hanya jika x2 + y2 = R2 :

OP = R

√( 0) + ( 0) = R

a2 + b2 = R2

Titik A(x1,y1) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = R2 jika dan hanya jika x2 + y2 > R2 :

OA > R

√( 0) + ( 0) > R

x12 + y12 > R2

Dengan demikian, kita peroleh rumusan sebagai berikut.

Kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran x2 + y2 = R2 terletak:

Di luar x12 + y12 > R2

Pada x12 + y1

2 = R2

Di dalam x12 + y12 < R2

Titik A(x1,y1) terletak di luar lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari – jari R jika dan

hanya jika :

PA > R

√( 1 ) + ( 2 ) > R

(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > R

Dengan cara yang sama di dapat :

Kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 terletak :

Di luar (x1 – a)2 + (y1 – b)2 > R

Pada (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = R

Di dalam (x1 – a)2 + (y1 – b)2 < R

Jika persamaannya dalam bentuk umum, maka dapat diubah menjadi :

Di luar x2 + y2 + Ax + By + C > 0

Pada x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Di dalam x2 + y2 + Ax + By + C < 0

53 | P a g e

Titik A(x1,y1) terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik P(a,b), maka untuk

menemukan jarak titik terhadap lingkaran adalah sebagai berikut.

Jarak terjauh titik A(x,y) dengan lingkaran adalah AB = d + R

Jarak terdekat titik A(x,y) dengan lingkaran adalah AC = |d – R|

Dengan d = jarak titik pusat lingkaran dengan titik A(x,y)

d = √( ) + ( )

R = jari – jari lingkaran

Contoh :

Diberikan persamaan lingkaran:

x2 + y2 4x + 2y 4 = 0

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di

dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!

Jawab :

Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:

Titik A (2, 1)

x = 2

y = 1

x2 + y2 4x + 2y 4

= (2)2 + (1)2 4(2) + 2(1) 4

= 4 + 1 8 + 2 4

= 5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran

Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.

Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

54 | P a g e

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran,

misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis yang memotong

lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis yang memotong lingkaran di

satu titik saja, yaitu titik C dan garis yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi

garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:

1) Garis memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda

D > 0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda

2) Garis memotong lingkaran pada satu titik ( garis menyinggung lingkaran )

P

Y

X

A

C

B

0

A

B

A

55 | P a g e

D = 0 garis menyinggung pada satu titik

3) Garis tidak memotong lingkaran maupun menyinggung lingkaran

D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:

=

Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Contoh :

Tentukan posisi garis y = 2 + 3 + = 49.

Jawab :

y = 2 + 3 subsitusi pada + = 49

+ (2 + 3) = 49

+ 4 + 12 + 9 = 49

5 + 12 40 = 0

= 4

=12 4(5)(40)

=944

D > 0

Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda

56 | P a g e

KEDUDUKAN DUA BUAH LINGKARAN

Dua lingkaran dapat saling berpotongan, bersinggungan, atau tidak

berpotongan sama sekali. Keadaan ini dapat diselidiki dengan membandingkan jarak

titil pusat kedua lingkaran dengan jumlah jari – jarinya atau selisih jari – jarinya.

Misal lingkaran L berjari – jari r1 dan lingkaran M berjari – jari r2. Jika :

1) LM < (r1 + r2) maka kedua lingkaran berpotongan.

2) LM = (r1 + r2) maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.

3) LM > (r1 + r2) maka kedua lingkaran tidak berpotongan sama sekali.

4) LM = |r2 – r1| maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam.

5) LM < |r2 – r1| maka lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar.

6) LM = 0 maka kedua lingkaran sepusat.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1) Definisi Garis Singgung

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik

tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung

selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

g = Garis singgung

A(x1,Y1) titik singgung

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c.

Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti

digambarkan berikut ini:

P(a,b)

9

r

A(x1,y2)

D=0 g =Garis Singgung

O(0,0)

57 | P a g e

Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Garis singgung bergradien m

Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

2) Persamaan garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung

+ = + =

( ) + ( ) = ( )( ) + ( )( ) =

+ + + + = 0 + +

1

2 ( + ) +

1

2 ( + )

+ = 0

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada

lingkaran.

Contoh:

Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran ≡ + = 10 yang melalui

titik (-3,1).

Y=mx+c T(X1,y1)

Y=m+c2

Y=m+c1

Y=m2x+c2

R(x1,y1)

Y=m1x+c1

58 | P a g e

Jawab :

Titik (-3,1) = 3 dan = 1, terletak pada ≡ + = 10

Persamaan garis singgungnya + =

( 3) + (1) = 10

3 + = 10

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran ≡ + = 10 yang melalui titik (-

3,1) adalah 3 + = 10

3) Persamaan garis singgung bergradien m

Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari

persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus

dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-

rumus yang dapat digunakan ialah

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung + = = √1 +

( ) + ( ) = = ( ) √1 + + + + + = 0 Ubah bentuk persamaan

ke ( ) + ( ) = gunakan rumus

= ( ) √1 +

4) Persamaan Garis singgung melalui titik di luar lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara

lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a. Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik ( , ) pada

lingkaran ( ) + ( ) = adalah = ( ) adalah

dengan

=( )( ) √( ) + ( )

( )

b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m

Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan,

persamaan 1 (satu) adalah garis melalui ( , ) dan persamaan 2 (dua)

adalah persamaan garis singgng bergradien m.

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, + = 25 yang malalui

(7,1)

Jawab

Persamaan 1 : = ( )

1 = ( 7)

59 | P a g e

= 7 + 1

Persamaan 2 : = √1 +

= 5√1 +

= 5√1 + → = 7 + 1

5√1 + = 7 + 1

25(1 + ) = 49 14 + 1

25 + 25 = 49 14 + 1

24 14 24 = 0

(4 + 3)(3 4) = 0

= 3

4 =

4

3

Persamaan Garis singgung 1

= = 7 + 1

=

7.

/ + 1

4 = 3 + 21 + 4

3 + 4 = 25

Persamaan Garis singgung ke 2

= = 7 + 1

=

7.

/ + 1

3 = 4 28 + 3

4 3 = 25

60 | P a g e

LATIHAN SOAL PERSAMAAN LINGKARAN

1. Tentukan posisi 2 lingkaran berikut.

≡ + = 9 ≡

+ 6 6 + 9 = 0

2. Persamaan lingkaran dengan pusat P (6,2) yang menyinggung garis 3x + 4y = 11

adalah....

3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang

diameternya melalui titik A dan B !

4. Lingkaran (x+6)2 + (y+1) = 4 menyinggung garis x = -4 dititik....

5. Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0

adalah....

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan melalui titik(10,-2)

7. Perhatikan gambar di bawah ini!

Persamaan lingkaran dari gambar di atas adalah ...

8. Diberikan persamaan lingkaran:

(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9

Titik B memiliki koordinat (5, − 1).

Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!

9. Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x.

Nilai A yang memenuhi adalah...

10. Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0

adalah.....

61 | P a g e

BAB

6

TEOREMA

PYTHAGORAS

Disusun oleh:

Khafifa

Novi Suryani

Nety Wahyu Saputri

Konon, bangsa Mesir kuno telah mampu membuat sudut siku-siku

dengan tepat hanya dengan menggunakan seutas tali. Mereka

menggunakan sejenis tali kusut sebagai bantuan untuk membentuk

sudut siku-siku dalam kegiatan pembangunan gedung-gedung

mereka. Tali memiliki panjang 12 knot, yang dapat dibentuk menjadi

sebuah segitiga siku-siku ukuran 3-4-5, sehingga menghasilkan tepat

sudut 90 derajat. Pada tali tersebut dibuat simpul berjarak sama.

Dengan menggunakan cara tersebut, mereka dapat membangun

rumah, taman, hingga piramida yang sangat terkenal dan masih

dapat dilihat hingga saat ini.

Jika engkau tidak sanggup menahan

lelahnya belajar, maka engkau harus

menanggung pahitnya kebodohan.

62 | P a g e

TEOREMA PYTHAGORAS

Definisi

Dalil

Pembuktian Dalil

Tripel Pythagoras

Perbandingan Sisi-sisi Segitiga

Siku-siku Istimewa

Perbandingan Trigonometri

Segitiga Siku-siku

Penggunaan dalam Matematika

Perhitungan pada Segitiga

Menemukan Jenis

Segitiga

Garis Tinggi

Segitiga

Penerapan pada Kehidupan Sehari-hari

Perhitungan pada

Bangun Datar

Perhitungan pada

Bangun Ruang

Kuadrat dan

Akar Kuadrat

Bilangan

PETA KONSEP

63 | P a g e

TEOREMA PHYTAGORAS

Kuadrat dan Akar Kuadrat Bilangan

Teorema Pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat. Akar kuadrat dari a

(dilambangkan dengan √ ) adalah suatu bilangan tak negatif yang jika dikuadratkan

sama dengan . Perhatikan definisi berikut :

= 0, √ =

A. Definisi

Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam

geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan

menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM yakni Pythagoras.

Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-

fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra

Baudhayana dan Katyayana) Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras

lahir. Pythagoras menjadi terkenal karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran

universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.

1. Dalil Pythagoras

Dalil phytagoras mengungkapkan hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga

siku-siku. Perhatikan bagian-bagian segitiga siku-siku di bawah ini:

a) Sisi di depan sudut siku-siku (sisi AB) merupakan sisi

terpanjang dan disebut sisi miring (hipotenusa).

b) Sisi-sisi lain yang membentuk sudut siku-siku (sisi BC

dan sisi CA) disebut sisi siku-siku.

Bunyi dalil pythagoras adalah :

“Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat

panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah

kuadrat panjang sisi siku-sikunya”

Sehingga jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan c

adalah panjang sisi miring (hipotenusa), sedangkan a dan b

adalah panjang sisi siku-sikunya, maka berlaku:

2. Pembuktian Teorema Pythagoras

= +

=

=

Maka diperoleh pula :

64 | P a g e

Bukti 1:

Gambar di bawah menunjukkan persegi ABCD dengan

sisi (a + b) satuan, yang terdiri dari persegi kecil EFGH dengan sisi c satuan dan empat

buah segitiga kongruen. Dari Gambar tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan

luas persegi EFGH ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah berwarna biru),

sehingga diperoleh:

Luas persegi ABCD = Luas persegi EFGH + Luas 4 segitiga siku-siku

( + ) = + 4 (

2)

+ 2 + = + 2

+ = (Terbukti)

Bukti 2:Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)

Pada gambar di atas terdapat persegi ABCD dengan panjang sisi “c” . kemudian di dalam

persegi ABCD tersebut dibuat 4 buah segitiga siku-siku yang sama besar dengan panjang

sisi siku-siku adalah “a” dan “b” serta panjang sisi miring adalah “c”.

Dengan memperhatikan gambar di atas, didapatkan :

LABCD = L PQRS + L∆ABQ + L∆BCR + L∆CDS + L∆ADP

KarenaL∆ABQ + L∆BCR + L∆CDS + L∆ADP, maka :

LABCD = L PQRS + 4 (L∆ABQ)

Perhatikan bahwa panjang sisi Persegi PQRS = ( b – a ) , berarti :

65 | P a g e

c2 = ( b – a ) 2 + 4 ( ½ ab)

c2 = ( b2– 2ab + a2 ) + 2 ab

c2 = b2+ a2 – 2ab + 2 ab

c2 = b2+ a2 (Terbukti)

Bukti 3: Menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara yang Kedua)

Misal, diketahui segitiga ABC siku – siku di C.

AB = c, BC = a, dan AC = b

Buat garis tinggi dari C yang memotong AB di titik D sehingga sudut CDA dan CDB siku – siku,

Segitiga ACD dengan ABC sebangun, sehingga:

Segitiga BCD dengan segitiga ABC juga sebangun, sehingga:

→

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

(Terbukti)

66 | P a g e

3. Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi

kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya

Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan c bilangan asli, dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan triple phytagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan:

c² = a² + b², atau b² = c² - a², atau a² = c² - b²

Cara untuk mendapatkan 3 bilangan yang merupakan Tripel Pythagoras yaitu dengan

memilih dua bilangan asli sembarang, misalnya a dan b, dengan ketentuan a > b ,

kemudian perhatikan tabel

A b a2 + b2 a2 - b2 2ab Tripel Pythagoras

2 1 22 + 12 = 5 22 - 12 = 3 2. 2 . 1 = 4 5, 3, 4

3 2 32 + 22 = 13 32 + 22 = 5 2. 3. 2 = 12 13, 5, 12

5 3 52 + 32 = 34 52 + 32 = 16 2. 5. 3 = 30 34, 16, 30

Dst.....

4. Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku dengan Sudut Istimewa

a. Sudut 45° Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah 45°

maka sudut yang lain juga 45°.Jadi segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku sama kaki.

Perhatikan gambar disamping: Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm dan < A = <C = 45°. Dengan menggunakan teoema Pythagoras diperoleh = +

= √ +

= √ +

= √2 = √2 Misal : x = 1

Maka diperoleh perbandingan = √2

= 1 1 √2

b. Sudut 30° dan 60°

Segitiga ABC disamping adalah segitiga sama sisi dengan

AB = BC = AC = 2x cm dan <A = <B = <C = 60°.

Karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus

Garis bagi <C, sehingga < ACD = < BCD = 30°.

Titik D adalah titik tengah AB, dimana AB = 2x cm, sehingga panjang

BD = x cm.

67 | P a g e

Perhatikan segitiga CBD

Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh

=

= √

= √(2 )

= √4

= √3 = √3

Misal, x = 1

Maka diperoleh perbandingan = √3 2

= 1 √3 2

5. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini:

Ada tiga sisi unik dalam segitiga tersebut berdasarkan posisi sudut siku-siku dan

sudut yang diketahui. Ketiga sisi tersebut adalah:

a) Sisi yang berhadapan dengan sudut yang diketahui disebut sebagai sisi depan

b) Sisi tempat menempelnya sudut siku-siku dan sudut yang diketahui disebut

sebagai sisi samping

c) Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sebagai sisi miring.

Pada perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku terdapat sebuah definisi

yang menyatakan bahwa:

Dalamsuatusegitigasiku-sikuberlaku :

1) Sinus suatusudutadalahperbandingansisisiku- siku di

hadapansudutitudengansisimiringnya.

2) Cosinussuatusudutadalahperbandingansisisiku- siku yang

mengapitsudutitudengansisimiringnya

3) Tangensuatusudutadalahperbandingansisisiku-siku di

hadapansudutitudengansisisiku-siku yang lainnya.

4) Cotangenssuatusudutadalahperbandingansisisiku -siku yang

mengapitsudutitudengansisisiku - siku yang lainya.

5) Sekanssuatusudutadalahperbandingansisi miring dengansisisiku-siku yang

mengapitsudutitu

6) Cosekanssuatusudutadalahperbandingansisi miring dengansisisiku-siku di

hadapansudutitu.

68 | P a g e

Dari definisi diatas, maka perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

dapat dirumuskan sebagai berikut:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

B. Penggunaan Teorema Pythagoras dalam Matematika

1. Perhitungan pada Segitiga

a. Menentukan Jenis Suatu Segitiga

Menentukan jenis suatu segitiga yaitu dengan menggunakan kebalikandari

teorema Pythagoras. Kebalikan teorema Pythagoras menyatakan bahwa:

“Untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama

dengan kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-

siku.”

Perhatikan gambar (i). Misalkan ∆ABC dengan panjang sisi-sisinya AB =c cm,

BC= a cm, dan

AC = b cm. Sehingga berlaku = + ................................(1)

Akan dibuktikan bahwa ∆ ABC siku-siku di B.

Pada gambar (ii), ∆ PQR siku-siku di Q dengan panjang PQ = c cm, QR = a cm, dan

PR = q cm. Karena ∆ PQR siku-siku, maka berlaku = + ...................................(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) kita peroleh

= + = =

Sehingga, b = q

Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR memiliki sisi-sisi yang sama panjang. Dengan

mengimpitkan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga, diperoleh sudut-sudut yang

69 | P a g e

bersesuian sama besar. Dengan demikian, <ABC = <PQR = 90 . Jadi, ∆ ABC adalah

segitiga siku-siku di B.

Kebalikan teorema Pythagoras juga dapat digunakan untuk menentukan apakah

sebuah segitiga merupakan segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul.

Misalnya, sisi c adalah sisi terpanjang pada ∆ABC.

Jika + = , maka ∆ABC merupakan segitiga siku-siku.

Jika + , maka ∆ABC merupakan segitiga lancip.

Jika + < , maka ∆ABC merupakan segitiga tumpul.

Maka dapat disimpulkan bahwa, pada suatu segitiga berlaku:

a) Jika kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut

siku-siku.

b) Jika kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut

lancip.

c) Jika kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut

tumpul.

b. Menghitung Garis Tinggi pada Segitiga

Garis tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan tegak

lurus terhadap

sisi yangada di hadapan sudut segitiga tersebut. Sekarang bagaimana cara menghitung

garis tinggi pada suatu segitga? Ada rumus umum yang dapat kamu gunakan untuk

menghitungnya. Untuk lebih jelasnya pelajari uraian berikut secara saksama.

Misalkan diketahui segitiga sebarang ABC dengan panjang

AB = c cm, AC = b cm dan BC = a cm. Serta CD adalah garis tinggi

pada segitiga ABC. Misalkan panjang AD adalah x, dengan demikian

panjang DB adalah c – x.

Pada ∆ ADC berlaku teorema Pythagoras, yaitu:

= ...................(i)

Pada ∆ DBC juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:

= ( ) .........................(ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh hubungan :

= ( )

= ( 2 + )

= + 2

= + 2

=

............................(iii)

Substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (i), maka diperoleh

=

70 | P a g e

= ( +

2 )

= √ ( +

2 )

Dari uraian diatas diperoleh bahwa panjang garis tinggi segitiga ABC yaitu CD, adalah :

= √ ( +

2 )

2. Perhitungan pada Bangun Datar

Selain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga dapat

digunakan pada bangun datar dan bangun ruang matematika yang lain untuk mencari

panjang sisi-sisi yang belum diketahui.

Perhatikan contoh soal berikut:

Perhatikan gambar persegi panjang ABCD disamping.

Diketahui ukuran panjang dan lebar persegi panjang tersebut

Berturut-turut adalah 15 cm dan 8 cm.

Tentukan :

a. Luas persegi panjang ABCD.

b. Panjang diagonal BD

c. Panjang BE

Penyelesaian:

a. Luas persegi panjang ABCD dapat dihitung sebagai berikut

Luas peresegi panjang = panjang x lebar

= 15 x 8

= 120

Jadi, Luas ABCD adalah 120 cm2

b. Dengan menggunkan teorema Pythagoras beraku hubungan

BD2 = AB2 + AD2

BD2 = 152 + 82

= 225 + 64

= 289

BD = √289 = 17

Jadi, panjang BD = 17 cm.

c. Perhatikan gambar. Panjang garis BE adalah ½ kali panjang diagonal BD, sehingga:

Panjang BE = ½ x panjang diagonal BD’

= ½ x 17 = 8 ½

Jadi, panjang BE = 8 ½ cm.

71 | P a g e

3. Perhitungan Pada Bangun Ruang

Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm pada gambar di

samping. Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisi kubus ABCD.EFGH?

Diagonal sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut

yang berhadapan pada suatu bidang datar. Diagonal sisi kubus tersebut

antara lain , , , . . Misalkan kita akan menentukan

panjang diagonal sisi . Perhatikan persegi ABCD.

adalah salah satu diagonal sisi bidang ABCD. Sekarang,

perhatikan ∆ ABD. Karena ∆ ABD siku-siku di A,

maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

=

+

= +

= 2

= √2

= √2

Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH?

Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan

dalam suatu bangun ruang.

Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain dan . Perhatikan ∆ BDH

siku-siku di titik D, maka untuk menentukan panjang diagonal ruang dapat dicari

dengan menggunakan teorema Pythagoras.

=

+

= ( √2) +

= 2 +

= 3

= √3 = √3

C. Penerapan Teorema Pythagoras dalam Kehidupan

Sehari-hari

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam soal

cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk

memudahkan menyelesaikannya diperlukan bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh

berikut.

Contoh:

72 | P a g e

Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100

meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah

60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang.

Penyelesaian:

Tinggi layang-layang = BC, berdasarkan teorema Pythagoras diperoleh:

=

= 100 60

= 10.000 – 3600

= 6400

= √6400 = 80

Jadi, tinggi layang-layang adalah 80 m.

73 | P a g e

LATIHAN SOAL TEOREMA PHYTAGORAS

1. Perhatikan gambar disamping. Tentukan

panjang DE jika diketahui panjang AB = 21 cm.

2. Perhatikan gambar layang-layang ABCD di bawah ini

Jika panjang AC = 24 cm, panjang AB = 13 cm dan panjang AD = 20 cm. Hitunglah

luas bangun layang-layang di atas!

3. Diketahui balok ABCD.EFGH memiliki panjang 12 cm, lebar 4 cm dan tinggi

8cm.Hitunglah diagonal ruang balok tersebut.

4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan mempunyai

diameter AB. Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE untuk suatu titik C pada lingkaran. Jika jari-jari lingkaran adalah 1 cm, maka luas segitiga CDE = ....cm2

5. Jika segitiga ABC siku-siku di B, AB = 6, AC = 10, dan AD adalah garis bagi sudut BAC,

maka panjang AD adalah.... 6. Serangkaian bendera dihubungkan oleh tali

pada dua ujung tongkat. Kedua tongkat tersebut ditancapkan disebuah taman yang berbentuk persegi panjang. Panjang bentangan tali yang diperlukan untuk merangkai bendera tersebut

A

A

D

A

B

A

C

A

E

A

O

A

74 | P a g e

adalah....m

7. Perhatikan gambar disamping. Tentukan

panjang BD jika diketahui panjang AC = 50 cm.

8. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah

22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut.

9. Carilah ruas garis x, y, z dan w yang belum

diketahui dari gambar disamping!

10. Perhatikan gambar berikut!

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Sudut antara bidang ABCD dan

bidang ACF adalah ⍺ maka cos ⍺ adalah........

75 | P a g e

BAB

7

ARITMATIKA

SOSIAL

Disusun oleh:

Aisyah Turidho

Shely Maulinda

Wahyu Adi Negara

Dalam kehidupan sosial takkan pernah telepas dari yang

namanya “hitung”. Dari mulai perhitungan bunga, diskon, untung,

rugi hingga pajak. Tentunya perhitungan tersebut sangat membantu

dalam kegiatan sehari-hari. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk

mempelajari perhitungan bunga, diskon, untung, rugi, dan

sebagainya. Materi tersebut tercantum dalam materi Aritmatika

Sosial.

Keuntungan akan didapat dengan

adanya usaha yang giat jika tidak

maka kerugianlah yang akan didapat

76 | P a g e

Aritmatika Sosial

Definisi

Bunga Tabungan

Bunga Tunggal

Bunga Majemuk

Harga Penjualan dan Pembelian

Untung dan Rugi

Rabat, Bruto, Tara, Neto dan Pajak

Rabat

Bruto

Tara

Neto

Pajak Implementasi

Aritmatika Sosial

PETA KONSEP

77 | P a g e

ARITMATIKA SOSIAL

Aritmatika merupakan bagian dari matematika yang disebut Ilmu Hitung. Kata

“sosial” dapat diartikan sebagai hal-hal yang berkenaan dengan masyarakat. Jadi

Aritmatika sosial adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang matematika

pada kehidupan sehari-hari. Dahulunya pengertian ini hanya berlaku untuk matematika

yang sifatnya berada dalam kehidupan ekonomi, namun sekarang aritmatika digunakan

dalam kehidupan sosial.

A. BUNGA TABUNGAN

Apabila kita menyimpan di bank, maka kita akan mendapatkan tambahan uang

yang disebut bunga. Bunga adalah imbalan atas terjadinya transaksi simpan pinjam.

Perhitungan bunga dilakukan selang interval waktu tertentu sesuai kesepakatan. Bunga

tabungan dihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung secara priodik

biasanya dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu 1 tahun, bunga 15%

pertahun artinya tabungan akan mendapat bunga 15% jika telah disimpan dibank

selama 1 tahun.

Bunga 1 tahun = % bunga x modal

Bunga n Bulan =

x % bunga x modal

=

x bunga 1 tahun

Ada dua jenis bunga tabungan yaitu

1. Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah perhitungan jangka waktu tertentu dan jika pada waktu

yang telah disepakati tidak diambil maka bunga tidak diperhitungkan pada periode

berikutnya berlaku pada deposito.

b = s x M

Keterangan:

b = Pinjam bunga pokok

s = suku bunga

M= Modal pokok

2. Bunga Majemuk

78 | P a g e

Bunga majemuk adalah bunga yang tidak diambil kemudian terkena bunga di

periode selanjutnya. Jatuh tempo adalah selesainya waktu peminjaman. Jumlah total

majemuk adalah jumlah modal dan semua bunga majemuk selama 1 masa peminjaman.

Suku bunga nominal adalah suku bunga yang diperhitungkan untuk satu periode

peminjaman.

Keterangan:

Mt = total modal bunga majemuk

Po = modal asli/ awal sebelum ditambah dengan bunga

bo = bunga majemuk

n = jumlah periode perhitungan bunga

B. HARGA PEMBELIAN DAN HARGA PENJUALAN

Dalam suatu kegiatan jual beli atau perdagangan ada dua pihak yang yang saling

berkempentingan, yaitu penjual dan pembeli. Penjual adalah orang yang menyerahkan

barang kepada pembeli dengan menerima imbalan berupa sejumlah uang dari

pembeli.Pembeli adalah orang yang menerima barang dari penjual dengan

menyerahkan sejumlah uang kepada penjual sebaga pembayarannya.

Untuk mendapatkan barang yang akan dijual, seorang pedagang terlebih dahulu

harus membelinya dari pedagang lain dengan mengeluarkan sejumlah uang yang

disebut Harga Pembelian Modal. Setalah barang itu didapatkan, kemudian dijual kembali

kepada pembeli. Iang yang diterima pedagang dari pembeli atas barang yag dijualnya

disebut Harga Penjualan.

Dalam perdagangan, keuntungan dapat diperoleh apabial harga penjualan lebih

tinggi daripada harga pembelian. Karena harga penjualan lebih tinggi daripada harga

pembelian, dan besar untung sama dengan harga penjualan dikurangi harga pembelian

maka diperoleh hubungan berikut ini.

Harga beli tiap satuan barang =

Mt = Po( + )

Harga jual tiap satuan barang =

79 | P a g e

C. UNTUNG RUGI

Dalam perdagangan, terdapat dua kemungkinan yang akan dialami oleh

pedagang, yaitu untung atau rugi tergantung pada beberapa hal, seperti besarnya harga

jual, kondisi barang yang dijual (mengalami kerusakan atau tidak), dan situasi.

a. Pengertian Untung

Seorang pedagng dikatakan mendapat untung apabila ia berhasil menjual barang

dagangannya dengan harga penjualan yang lebih tinggi daripada harga pembeliannya.

Besarnya selisih antara harga penjualan dan harga pembelian itu merupakan besarnya

untung yang diperoleh pedagang tersebut.

Keuntungan yang diperoleh seorang pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Harga penjualan = harga pembelian + untung

Atau

Harga pembelian = harga penjualam - untung

Untung = Harga penjualan – harga pembelian

b. Pengertian Rugi

Seorang pedagang dikatakan mendapat rugi apabila ia menjual barang

dagangannya dengan harga penjualan yang lebih rendah daripada harga pembelian.

Besar selisih antar yang diderita oleh pedagang tersebut.

Besarnya kerugian yang diderita oleh pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Harga penjualan = harga pembelian – Rugi

Atau

Harga pembelian = harga penjualan + Rugi

Rugi = Harga pembelian – harga penjualan

D. PERSENTASE UNTUNG DAN RUGI

Dalam dunia perdagangan untung dan rugi dapat dinyatakan dengan %.

Misalnya, bila kita sedang tawar-menawar suatu barang dipasar (karena harganya

dirasakan terlalu mahal bagi kita), kadang-kadang pedagang itu berkilah dengan

mengatakan bahwa ia hanya mengambil keuntungan sedikit, beberapa % saja.

80 | P a g e

Dengan menyatakn keuntungan atau kerugian dalam bentuk %, kita dapat

melihat apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut berada

dalam tingkat yang wajar atau tidak. Kemudian juga, kita dapat membandingkan

besarnya keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh dua buah barang yang berbeda.

Apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh barang yang satu lebih besar

atau lebih kecil daripada yang diperoleh oleh barang yang lain.

a. Menyatakan persentase keuntungan

Persentase keuntungan biasanya dihitung dari bunga pembelian. Jadi, jika kita

mendengar ada seorang pedagang yang mengambil keuntungan 10%, itu berarti bahwa

pedagang tersebut mengambil keuntungan 10% dari harga pembelian barang itu.

Menyatakan persentase keuntungan dari harga pembelian dirumuskan sebagai

berikut:

Persentase keuntungan (%) =

x 100%

b. Menyatakan Persentase kerugian

Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakn dalam

persentase yang dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika seseorang menderita sebesar

5%, itu artinya orang tersebut menderita kerugian 5% dari harga pembelian. Persentase

kerugian ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:

Persentase kerugian (%) =

x 100%

E. RABAT(DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETO, PAJAK

Rabat

Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat

biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu.

Rabat (diskon) seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli. Misalnya

ada toko yang melakukan obral dengan diskon dri 10% sampai 50%, sehingga para

pembeli menjadi tertarik untuk berbelanja ditoko tersebut, karena harga terkesan

menjadi murah.

Harga bersih = harga kotor – rabat(diskon)

81 | P a g e

Pada rumus diatas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong diskon, dan harga

bersih adalah harga setelah dipotong diskon.

Bruto, Tara dan Neto

Bruto = Berat Kotor, Tara = Berat Wadah, Neto = Berat Bersih

Jadi, hubungan bruto, tara dan neto dapat dirumuskan sebagai berikut:

Neto = bruto – tara

Jika diketahui persen tara dan bruto, maak untuk mencari tara digunakan rumus sebagai

berikut:

Untuk setiap pembelian yang mendapatkan potongan berat (tara) dapat

dirumuskan sebagai berikut:

Harga bersih = neto x harga persatuan berat

Pajak

Pajak merupakan suatu kewajiban dari warga negara untuk menyerahkan

sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang ditetapkan oleh

pemerintah, tetapi tanpa mendapatkan jasa balik dari negara secara langsung. Hasil dari

pajak digunakan untuk kesejahteraan umum. Pegawai tetap dari perusahaan swasta

atau pegawai negeri dikenakan pajak penghasilan kena pajaknya yang disebut dengan

Pajak Penghasilan (PPh).

IMPLEMENTASI ARITMATIKA SOSIAL

Aritmatika sosial sangat erat kaitannya dalam kehidupan sehari-hari. Seperti halnya

bunga yang sering digunakan dalam bank. Untung dan rugi yang sangat membantu

proses jual-beli. Diskon dimana kita akan mendapat potongan harga saat belanja. Bruto,

Neto dan Tara yang selalu menjadi pertimbangan dalam pengemasan suatu prosuk.

Pajak yang seperti kita ketahui sebagai warga negara kita wajib membayar pajak yang

sudah ditetapkan pemerintah contohnya Pajak Bumi dan Bangunan (PBB) dan Pajak

Tara = % tara x bruto

82 | P a g e

Penghasilan (PPh). Untuk tahu lebih detailnya tentang implementasi pajak, simak

contoh soal berikut:

Contoh soal bunga tunggal

Diketahui suatu modal sebesar Rp 3.000.000,- dengan suku bunga 15% pertahun.

Tentukan besarnya bunga tunggal tersebut.

a. untuk jangka waktu 8 bulan

b. untuk jangka waktu 20 bulan

Penyelesaian:

Karena besarnya suku bunga pertahun adalah 15%, maka besarnya bunga tunggal

pertahun adalah :

B = 15/100 x Rp 3.000.000,- = Rp 450.000,-

Sehingga diperoleh:

a. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 8 bulan adalah 8/12 x Rp 450.000,- =

Rp.300.000,-

b. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 20 bulan adalah 20/12 x Rp 450.000,-

= Rp. 750.000,-

Contoh soal bunga majemuk

1. Soal : Sutisna meminjam uang di bank sebesar Rp 200.000,-. Apabila modal itu

diperbungakan atas dasar bunga majemuk 5% setahun, menjadi berapa besarkah

modal yang harus dikembalikan sutisna pada akhir tahun ke-IV ?

Jawaban :

Modal tahun adalah Rp 200.000,-

Bunga tahun pertama 5% dari Rp 200.000,- Rp 10.000,-

Modal tahun ke-2 Rp 210.000,-

Bunga tahun ke-2 dari Rp 210.000,- Rp 10.500,-

Modal tahun ke-3 Rp 220.500,-

Bunga tahun ke-3 dari Rp 220.500,- Rp 11.025,-

Modal tahun ke-4 Rp 231.525,-

83 | P a g e

Bunga tahun ke-4 dari Rp 231.525,- Rp 11.576,25

Jadi modal yang harus dikembalikan Sutisna adalah Rp 231.525,- + Rp 11.576,25

= Rp 243.101,25

2. Agung menyimpan uang Rp 200.000,- digunakan dengan dasar bunga majemuk

10% perbulan. Berapa nilai akhir modal tersebut jika diperbungakan selama 10

bulan 15 hari.

Jawaban :

M10 : Rp 200.000,- ( 1+0,1)10

: Rp 200.000,- (0,1)10

: Rp 200.000,-( 2,59374)

: Rp 518.748,50

M : X 0,1 X M10

: 0,05 (Rp 518.748,50)

: Rp 25.937,425

M10 : Rp 518.748,50 + Rp 25.937,425

: Rp 544.685,925

Contoh soal untung dan rugi

1. Seorang peternak ayam membeli seekor ayam dengan harga Rp.200.000,-.

Kemudian ayam tersebut dijual dengan harga Rp.250.000,-. Berapa keuntungan

yang didapat peternak tersebut...

84 | P a g e

Jawab :

Harga beli = Rp.200.000,-

Harga jual = Rp.250.000,-

Besarnya keuntungan = harga jual - harga beli

= 250.000 - 200.000

= Rp. 50.000,-

2. Seorang pedagang kelinci membeli kelinci lokal sebanyak 100 ekor dengan harga

Rp. 4.000.000,-. Dalam perjalanan, terdapat 10 kelinci yang mati. 30 ekor laku

dijual dengan harga Rp. 50.000,- per ekor, sedangkat sisanya dengan harga Rp.

40.000,-. Berapa besar keuntungan dan kerugian yang didapat pedagang?

Jawab :

Harga pembelian = Rp. 4.000.000,-

Harga jual 30 ekor = 30 x Rp. 50.000,- = Rp. 1.500.000,-

Sisa kelinci yang dijual = 100 - 30 - 10 ( 10 kelinci yang mati )

= 60 ekor

Harga jual 60 ekor = 60 x Rp. 40.000,-

= Rp. 2.400.000,-

Harga penjualan = Rp. 2.400.000,- + Rp. 1.500.000,-

85 | P a g e

= Rp. 3.900.000,-

Ternyata harga penjualan < harga pembelian maka pedagang mengalami kerugian.

Besar kerugian = harga beli - harga jual

= 4.000.000 - 3.900.000

= Rp. 100.000,-

Contoh soal diskon

Ani membeli sebuah baju di Toko Makmur Jaya seharga Rp 80.000,-. Namun, toko

tersebut tengah berbagi diskon sebesar 30% untuk setiap pembelian. Jadi, berapa

jumlah uang yang harus dibayar Ani?

Jawab :

Harga Barang = Rp 80.000,-

Besar Diskon

Diskon 30% = 30/100 x Harga Barang

= 30/100 x 80.000 = Rp 24.000,-

Uang yang harus dibayar Ani = Harga Barang - Harga setelah didiskon

= 80.000 - 24.000 = Rp 56.000,-

86 | P a g e

Contoh Soal Bruto, Tara dan Neto

1. Ibu membeli 5 kaleng susu. Disetiap kaleng tertulis neto 1 kg. Setelah ditimbang

ternyata berat kaleng susu tersebut 6 kg. Berapakah bruto dan tara setiap kaleng?

Jawab :

Bruto setiap kaleng = 6 kg : 5

= 1,2 kg

Tara setiap kaleng = Bruto - Neto

= 1,2 kg - 1 kg

= 0,2 kg

2. Peti buah berisi apel tertulis bruto 25 kg dan tara 2%. Hitunglah neto buah tersebut!

Jawab :

Tara = 2%

Tara = Persen Tara x Bruto

= 2% x 25 kg

= 2/100 x 25 kg

= 0,5 kg

Maka neto bisa dicari dengan, Neto = Bruto - Tara = 25 kg - 0,5 kg = 24,5 kg

Contoh soal Pajak

87 | P a g e

- CONTOH PENGHITUNGAN ANGSURAN PPh PASAL 25 WAJIB PAJAK ORANG

PRIBADI

Si A adalah Pengusaha Warung Makan di Jogjakarta yang memiliki penjualan

pada tahun 2010 sebesar Rp180.000.000,-. Si A statusnya kawin dan mempunyai

2 (dua) orang anak. Si A menyelenggarakan pencatatan untuk menghitung

pajaknya. Besarnya Pajak Penghasilan Pasal 25 yang harus dibayar sebagai

angsuran dalam tahun berjalan dihitung sebagai berikut:

Jumlah peredaran setahun Rp180.000.000,-

Presentase penghasilan norma (lihat daftar presentase norma) = 20%

Penghasilan neto setahun = 20% x Rp 180.000.000,- = Rp 3.000.000,-

Penghasilan Kena Pajak = penghasilan neto dikurangi PTKP Rp

36.000.000,- – Rp 19.800.000,- = Rp 6.200.000,-

Pajak Penghasilan yang terutang : 5% x Rp 6.200.000,- = Rp 310.000,-

PPh Pasal 25 (angsuran) yang harus dibayar si A setiap bulan: Rp 310.000,-

: 12 = Rp 25.833,-

- CONTOH PENGHITUNGAN PELUNASAN PPh PASAL 29 WAJIB ORANG PRIBADI

Si A adalah pengusaha restoran (UMKM) di Jakarta yang tergolong sebagai Wajib

Pajak Orang Pribadi Pengusaha Tertentu dan menggunakan pencatatan dalam

penghitungan besarnya PPh.

Jumlah peredaran usaha (omzet) selama setahun adalah Rp 510.500.000,-

PPh Pasal 25 (WP OPPT) yang sudah dilunasi (0,75 x Rp 510.500.000,-)

adalah Rp 3.828.750,-

Setelah dihitung PPh yang terutang selama setahun adalah Rp

10.975.750,-

PPh Pasal 29 yang harus dilunasi oleh si A adalah sebesar : Rp

10.975.750,- – Rp 3.828.750,- = Rp 7.147.000,-

88 | P a g e

LATIHAN SOAL ARITMATIKA SOSIAL

1. Seorang pedagang telur membeli telur sebanyak 72 butir dengan harga Rp.

1.500,00 tiap butir. Separuhnya dijual Rp. 1.750,00 tiap butir, dan sisanya dijual

Rp. 100 per butir. Tentukan untung dan ruginya!

2. Suatu barang dibeli dengan harga Rp. 2.000,00 dan dijual Rp. 2.500,00.

Berapakah persentase keuntungannya?

3. Sebuah penerbit buku menitipkan dua jenis buku masing-masing sebanyak 200

dan 500 buah. Pemilik toko harus membayar hasil penjualan buku kepada

penerbit setiap 3 bulan. Harga buku jenis pertama Rp. 7.500,00 sebuah,

sedangkan buku jenis kedua Rp. 10.000,00. Rabat untuk setiap buku pertama

30% sedang untuk buku kedua hanya 25%. Jika pada akhir 3 bulan pertama toko

itu berhasil memasarkan 175 buku jenis pertama dan 400 buku jenis kedua,

berapa:

a. Rabat yang diterima pemilik toko buku?

b. Uang yang harus disetorkan kepada penerbit?

4. Seorang pengecer buah mangga menerima kiriman dua kotak buah manga

“arumanis” dengan harga total Rp. 160.000,00. Pada setiap kotak tertera

Pengecer menjual kembali buah mangga itu dengan harga per kilo gramnya Rp.

3000,00. Tanpa memperhatikan biaya lainnya, tentukan:

a. Keuntungan yang diperoleh pengecer tersebut

b. Persentase keuntungan itu

5. Pak.Jono pinjam uang di koperasi “SUKSES“ dengan bunga tunggal 8% pertahun.

Selama 9 bulan Pak Jono melunasi pinjaman tersebut sebesar Rp10.600.000,00.

Besar pinjaman Pak Jono di koperasi tersebut adalah ....

6. Lia menyimpan uang di bank dengan bunga tunggal 18% pertahun. Setelah

menyimpan selama 8 bulan jumlah uang jadi Rp. 1.792.000,00. Besar tabungan

awal Lia adalah ...

7. Mas Shinyo menjual sebuah Laptop laku Rp. 5.100.000,00 ternyata setelah

dihitung rugi 15%, jika mas Shinyo menginginkan untung 8 % seharusnya mas

Shinyo menjual Laptop seharga …

89 | P a g e

8. Dimas menabung uang sebesar Rp 900.000,00 di bank dengan mendapat bunga

6% per tahun. Untuk memperoleh bunga sebesar Rp 36.000,00 Dimas harus

menabung selama ….

9. Pak Amir membeli 15 lusin buku dengan harga Rp. 17.500,00 per lusin. Untuk

biaya trasnportasi ia mengeluarkan uang sebesar Rp. 35.000,00. Jika ia

memperoleh uang sebesar Rp. 372.500,00. Dari hasil penjualan seluruh buku

tersebut, maka ia mendapatkan keuntungan/kerugian? Jika untung berapa

keuntungannya dan jika rugi berapa kerugiannya?

10. Seorang pemilik dealer membeli sebuah mobil bekas. Untuk memperbaiki mobil

tersebut ia harus mengeluarkan biaya sebesar Rp. 400.000,00. Setelah beberapa

bulan mobil tersebut laku terjual dengan harga Rp. 21.160.000,00. Jika dari

penjualan tersebut pemilik dealer mendapat keuntungan 15%. Maka berapa

harga pembelian mobil bekas tersebut ?

90 | P a g e

BAB

8

Disusun oleh:

Atikarani Noer

Saleha

Djoko Abimanyu

Yuliana Novita Sari

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang

menggunakan konsep-konsep perbandingan. Contohnya saat kita

membandingkan banyak teman laki-laki dengan teman perempuan.

Misalkan banyak teman laki-laki = a dan banyak teman perempuan = b,

maka perbandingannya dapat ditulis dengan a:b atau ab dengan b≠0.

Pada dasarnya, perbandingan merupakan penyederhanaan pecahan.

Beberapa konsep dalam perbandingan telah dibahas pada topik-topik

sebelumnya, antara lain perbandingan senilai, berbalik nilai, skala, faktor

perbesaran, dan pengecilan. Konsep-konsep ini sangat berguna dalam

pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu,

siswadiharapkan memahami konsep-konsep tersebut.

There is no ambition that is too

high, there is only the effort

that doesn’t as high as ambition.

PERBANDINGAN

91 | P a g e

Perbandingan

PETA KONSEP

Skala Perbandingan

senilai

Perbandingan

berbalik nilai

- Macam-

macam skala

- Rumus skala

- Ilustrasi

perbandingan

senilai

- Grafik

perbandingan

senilai

- Ilustrasi

perbandingan

berbalik nilai

- Grafik

perbandingan

berbalik nilai

Aplikasi dalam

kehidupan sehari-hari

92 | P a g e

PERBANDINGAN

A. Perbandingan

Perbandingan adalah bentuk kata benda dari kata banding atau perbandingan

adalah membandingkan dua nilai atau lebih dari suatu besaran yang sejenis yang

dinyatakan dengan cara yang sederhana. Kita dapat menggunakan perbandingan atau

Rasio untuk membandingkan besaran suatu benda dengan benda lain. Notasi

perbandingan (rasio) sering menggunalan “ : ”, atau dalam penulisannya “ a =

”.

dan dibaca “ a berbanding b”.

Perbandingan dapat digunakan untuk membandingkan besaran-besaran yang

sejenis. Apabila besaran-besaran itu belum sejenis maka harus diubah menjadi besaran

sejenis. Perbandingan antara besaran-besaran sejenis, misalnya panjang dengan

panjang, masa dengan masa, waktu dengan waktu, dan nilai uang dengan nilai uang.

Contoh dua besaran sejenis:

Perbandinagn 4 kg terhadap 2 kg, ditulis 4 : 2

Perbandigan antara 10 menit dengan 6 menit, ditulis 10 : 6

Perbandingan antara 20 m2 dengan 5 m2, ditulis 20 : 4

Perbandingan 16 tahun terhadap 6 tahun, ditulis 16 : 6

Contoh dua besaran berlainan jenis:

Perbandingan 6 kg terhadap 100 gram, ditulis 6 kg : 100 gram.

Bila diubah ke dalam satuan gram, diperoleh 6 kg = 6.000 gram sehingga

perbandingan itu menjadi 6000 : 100 atau 60 : 1.

Bila diuabha ke dalam satuan kg, diperoleh 100 gram = 0.1 kg sehingga

perbandingan itu menadi 6 : 0.1 atau 60 : 1.

Perbandingan Untuk dua besaran sejenis a dan b dengan m adalah FPB dari a dan b

maka

B. Perbandingan Senilai

Apabila dua benda selalu mempunyai rasio yamg sama dalam setiap keadaan,

maka kedua besaran itu dikatakan berbanding langsung atau terdapat perbandingan

senilai. Kedua besaran itu akan bertambah atau berkurang secara bersama pada setiap

perubahan. Contohny: Pernahkah kalian membeli buku di toko buku? Kalian dapat

membeli sejumlah buku sesuai dengan jumlah uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah

buku Rp 2.500,00 maka harga 5 buah buku = 5 x Rp 2.500,00

= Rp12.500,00.

Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar.

Perbandingan seperti ini disebut perbandingan senilai.

=

93 | P a g e

Misalkan terdapat dua besaran A={a1, a2, a3,...,an} B={b1,b2, b3,...,bn} yang

berkorespondensi satu-satu, maka A dan B disebut berbanding senilai. Jika untuk

ukuran A semakin besar maka ukuran B semakin besar pula

Menyelesaikan perbandingan senilai:

A B

a1 b1

a2 b2

a3 b3

... ...

an bn

=

Sifat-sifat perbandingan senilai

1. Perbandingan senilai tidak berubah nilai apabila masing-masing suku dari perbandingan dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama. Secara matematis ditulis: Apabila a : b = c : d maka

(i) at : bt = c : d, t ≠ 0 (ii) a : b = cp : dp, p ≠ 0 (iii) at : bt = cp : dp, t ≠ o. p ≠ 0

=

Hasil kali silang

a1xb2=a2xb1

Perbandingan senilai

a1=

x a2

94 | P a g e

2. Apabila a : b = c : d maka b : a = d : c

3. Apabila a : b = c : d maka ( a + b ) : b = ( c + d ) : d

4. Apabila a : b = c : d maka (a – b ) : b = ( c – d ) : d

5. Apabila a : b = c : d maka :

(i) (a + b) : (a - b) = (c + d) : (c – d) dan (ii) (a - b) : (a + b) = (c – d) : (c + d)

Grafik perbandingan senilai

Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapat ditempuh dan waktu yang diperlukan oleh seorang siswa yang mengendarai sepeda.

95 | P a g e

Gambar di atas menunjukkan grafik dari tabel di atas. Tampak bahwa

grafik perbandingan senilai berupa garis lurus. Jika jarak bertambah (makin

jauh), waktu yang dibutuhkan bertambah (makin lama).

C. Perbandingan berbalik nilai

Apabila dua dua besaran selalu mempunyai hasil kali rasio sama dengan satu dalam setiap keadaan, maka kedua besaran ini memiliki perbandingan berbalik nilai. Ilustrasi dari perbandingan berbalik nilai salah satunya adalah jika seorang ibu ingin membagikan 100 permen kepada anak-anaknya, semakin banyak jumlah anak ibu maka akan semakin sedikit jumlah permen yang diterima oleh setiap anaknya. Contoh Soal :

Seorang peternak mempunyai per sediaan makanan untuk 30 ekor kambing selama 15 hari. Jika peternak itu menjual 5 ekor kambing, berapa hari persediaan makanan itu akan habis?

Berdasarkan contoh di atas, makin sedikit jumlah kambing, makin lama persediaan makanan akan habis. Perbandingan antara banyak kambing dengan lama hari persediaan makanan habis adalah salah satu contoh perbandingan berbalik nilai.

96 | P a g e

Jadi, pada perbandingan berbalik nilai berlaku hal berikut. Jika nilai suatu barang naik maka nilai barang yang dibandingkan akan turun. Sebaliknya, jika nilai suatu barang turun, nilai barang yang dibandingkan akan naik.

Misal terdapat dua besaran A={a1, a2, a3,..., an} dan B={b1, b2, b3,...,bn} yang berkorespondensi satu-satu maka A dan B disebut berbalik nilai jika untuk ukuran A semakin besar tetapi B semakin kecil.

Menyelesaikan perbandingan berbalik nilai

Grafik perbandingan berbalik nilai

Agar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan, buatlah tabel atau daftar terlebih dahulu. Contoh Soal:

Jarak antara dua kota dapat ditempuh dengan mobil selama 1 jam dengan kecepatan rata-rata 90 km/jam. Buatlah tabel dari data tersebut, kemudian gambarlah grafiknya.

Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa grafik perbandingan berbalik nilai

berupa kurva mulus. Jika waktu bertambah (makin lama), kecepatan berkurang

(makin turun). Sebaliknya, jika waktu berkurang (makin cepat), kecepatan bertambah

(makin naik)

=

Hasil kali

silang

a1xb1=a2xb2

Perbandingan

senilai

a1=

x a2

97 | P a g e

D. Skala

Skala adalah perbandngan antara jarak pada gambar dengan jarak sesungguhnya.

Skala biasanya digunakan pada denah lokasi, peta, dan rancangan benda. Istilah skala

sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas. Skala pada peta yang sering kita

jumpai menunjukkan skala pengecilan. Artinya, ukuran pada peta lebih kecil dari ukuran

sebenarnya. Hal ini disebut faktor skala. Faktor skala dapat berupa perbesaran atau

pengecilan. Contohnya, foto benda. Pada foto tampak kesamaan bentuk antara foto

dengen benda sebenarnya, foto dapat diperbesar atau diperkecil. Pada gambar berskala

selalu berlaku hal berikut:

a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk

b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil

Macam-macam skala:

Skala angka

Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :

1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya,

atau

1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau

1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya

Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan

ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm

untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000

m = 100.000 cm.

Contoh

1. Skala 1 inchi: 4 mil

Berarti

1 inchi pada peta = 4 mil pada jarak sebenarya

= 4 x 63.360

98 | P a g e

= 253.440 inchi pada jarak sebenarnya.

Jadi 1 inchi di peta sama dengan 253.440 inchi pada jarak sebenarnya.

Untuk menghitung jarak sebenarnya dari jarak yang ada di peta,

digunakan kembali rumus di atas.

Skala Grafik (Tongkat) Skala grafik adalah jenis skala peta yang menggunakan bentuk ruas garis bilangan sebagai pembanding jarak. Contoh Arti dari skala grafik di atas ialah setiap 1 cm di peta sama dengan 10 km pada jarak sebenarnya. Apabila skala grafik di atas diubah menjadi skala angka maka didapatkan skala 1: 1.000.000.

Skala Verbal Skala verbal adalah skala peta yang dinyatakan dalam bentuk kalimat. Contoh

1 ) Satu cm berbanding 50 km. Artinya, 1 cm di peta sama dengan 50 km pada jarak sebenarnya. 2 ) Satu inci berbanding 10 mil. Artinya, 1 cm di peta sama dengan 10 mil pada jarak sebenarnya.

Rumus mencari jarak pada peta : Ket: S = skala

Up = ukuran pada peta

Us = ukuran sebenarnya

E. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Perbandingan dalam kehidupan sehari-hari misalnya:

1. Untuk menghitung banyak barang dengan jumlah harganya.

2. Untuk menghitung banyak liter bensin dengan jarak yang ditempuh sebuah

kendaraan.

3. Untuk menentukan jumlah bunga tabungan dengan lama menabung.

4. Untuk menghitung jumlah kaleng cat dan luas permukaan yang bisa di cat.

5. Untuk menghitung banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk

menyelesaikan pekerjaan (untuk pekerjaan yang sama).

6. Untuk menghitung kecepatan kendaraan dengan waktu tempuhnya (untuk jarak

yang sama).

7. Untuk menghitung banyaknya ternak dan waktu untuk menghabiskan makanan

tersebut (untuk jumlah makanan ternak yang sama).

S=

99 | P a g e

LATIHAN SOAL PERBANDINGAN

1. Jarak pada peta dengan skala 1:40.000 adalah 30 cm. Jarak sebenarnya?

2. Jika kecepatan mobil 80km/jam memerlukan waktu 40 menit. Jika waktunya 60

menit, berapakah kecepatan nya?

3. Sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang 26cm dan lebar 20cm. Jika ukuran

panjang dibuat 25cm. Berapa ukuran lebar supaya luas persegi panjang itu tetap?

4. Jika perbandingan buah jeruk dan mangga adalah 7 : 8, mangga dan apel 9 : 10. Jika

jumlah jeruk mangga dan apel adalah 860 buah. Tentukann jumlah apel dan selisih

jeruk dan mangga !

5. Perbandingan umur Fadil dan Yoga adalah 4:1. Diketahui jumlah umur mereka adalah

5 tahun. Berapa tahun lagi perbandingan umur mereka menjadi 3:1?

6. Perbandingan banyak siswa kelas 1 dan banyak siswa kelas 2 adalah 3:4,

perbandingan banyak siswa kelas 2 dan banyak siswa kelas 3 adalah 2:3. Jika banyak

siswa kelas siswa dan kelas 2 adalah 420, maka tentukan banyak siswa kelas 3?

7. Sebuah model pesawat terbang panjang badannya 18 cm, lebar sayapnya 12 cm. Jika

lebar sayap pesawat sesungguhnya 8 m, berapakah panjang badan pesawat

sesungguhnya?

8. Sebuah foto berukuran 50 x 80 cm diperbesar 20 %. Perbandingan luas foto sebelum

dan sesudah diperbesar?

9. Sebuah panti asuhan mempunyai persediaan beras yang cukup untuk 35 anak selama

24 hari. Berapa hari beras itu akan habis jika penghuni panti asuhan bertambah 5

anak?

10. Perbandingan panjang sisi-sisi segitiga adalah 3 : 4 : 5. Jika kelilingnya 48 cm,

tentukan panjang masing-masing sisi segitiga!

100 | P a g e

BAB

9

DAFTAR PUSTAKA

POLA BILANGAN

Disusun Oleh :

Annisa Nurzalena

Mardiah Aqidah

Islamiah

Yulianita Maharani

Melalui pembelajaran materi pola bilangan, siswa memperoleh pengalaman

belajar:

Berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip aturan

pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber

dari fakta dan lingkungan.

Berkolaborasi memecahkan masalah autentik dengan pola interaksi

dedukatif.

Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan

mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan

dalam memecahkan masalah otentik.

Kejarlah cita-citamu sampai ia tak

kuasa lagi menolak mu.

101 | P a g e

PETA KONSEP

POLA DAN BARISAN BILANGAN

Definisi

Operasi Bilangan

Metode Eliminasi dan Subsitusi

Pola Bilangan

1. Pola Garis Lurus

danPersegi Panjang

2. Pola Persegi

3. Pola Segitiga

4. Pola Kubus

5. Pola Bilangan Ganjil

dan Bilangan Genap

6. Pola Bilangan Segitiga

Pascal

7. Pola Bilangan Fibonanci

Deret Bilangan

Barisan Bilanga

Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri

Sifat-Sifat Deret

Sifat Dasar

Deret

Aritmetika

Sifat Dasar

Deret

Geometri

102 | P a g e

BARISAN DAN DERET

TOKOH PENEMU RUMUS BARISAN dan DERET

Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175 – 1250), dikenal juga sebagai

Fibonacci, adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu bilangan

Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan

Arab ke dunia Eropa (algorisma). Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret.

Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci (‘bersifat

baik’ atau ‘sederhana’). Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai Fibonacci

(dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). William memimpin sebuah pos

perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk Pisa)

di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan sebagai anak muda, Leonardo

berkelana ke sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem

bilanganArab.

Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan

Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar

kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu, dan baru pulang kembali

sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari

dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan

sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang,

konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai

aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan

dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru

menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya.

(Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.)

Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan

matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo,

dengan memberikannya gaji.

103 | P a g e

Pola dan Barisan Bilangan

Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Pola bilangan

yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender

terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

Pola Bilangan

1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang

Dalam pola persegi panjang biasanya terdiri dari kumpulan noktah berjumlah 2, 6,

12, dst. Untuk menentukan pola-pola bilangan tersebut kita dapat menggunakan

rumus Un = n (n+1) dimana n adalah bilangan bulat bukan negatif.

2. Pola Persegi

Pola ini memiliki bentuk kumpulan noktah menyerupai persegi dengan sisi-sisi yang

sama besar. Perhatikan polanya. Kemudian kita dapat memperoleh pola-pola

bilangannya yaitu : 1, 4, 9 dst di lihat dari jumlah noktah dalam susunan pola.

Andaikan kita ingin mengetahui pola-pola bilangan persegi dapat kita lakukan dengan

menggunakan rumus Un = n2 dengan n adalah bilangan bulat positif.

3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)

Dalam membentuk pola ini dibutuhkan kumpulan noktah yang berbentuk segitiga

sama sisi. Terdapat dua cara dalam menentukan pola segitiga, yaitu:

Cara 1: dengan cara mengikuti pola berikut ini

Kita mulai dengan angka 1 yang kemudian ditambahkan angka setelah angka satu

yaitu 2 yang menghasilkan 3 dan 3 ditambahkan dengan 3 dimana tiga adalah

bilangan setelah dua yang kemudian hasil jumlahnya 6, 6 dijumlahkan dengan

104 | P a g e

bilangan berikutnya dari 3 dan menghasilkan 10, 10 dijumlahkan lagi dengan

bilangan setelah empat yaitu lima akan menghsilkan 15 dan begitu seterusnya.

Cara 2 : pola bilangan segitiga antara lain1, 3, 6,10 dst. Bilangan tersebut dapat

diperolah dengan cara ke-2 yaitu menentuak pola segitiga dengan menggunakan

rumus Un = n/2 (n+1). Sehingga dihasilkan bentuk seperti dibawah ini dengan

urutan-urutan bilangannya.

4. Pola Kubus

Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3

5. Pola bilangan ganjil dan genap

Pada pola ini bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya

ditambah dua.

a. Pola bilangan ganjil

Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal

Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

b. Pola bilangan genap

Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal

Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

105 | P a g e

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

7. Pola Bilangan Fibonaci

Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu

aturan tertentu. Yang biasanya dilambangkan Un.

Barisan bilangan biasanya ditulis : U1, U2,U3, . . . . , Un

Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . .

Perhatikan bentuk penulisan barisan bilangan dimana U1 adalah suku pertama, U2

adalah suku ke-2, dan seterusnya hingga Un yang disebut suku ke-n

Contoh :

Barisan 0,2,4 berarti:

U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4

(menambahkan 2 pada suku sebelumnya)

106 | P a g e

1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

Contoh: Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . .

Jawab: Barisan 2, 5, 8, 11,. . .

U1 = 2

U2 = 5 = 2 + 3

U3 = 8 = 5 +3

U4 = 11 = 8 +3

Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)

2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Un = f (n)

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)

U1, U2, U3, U4, …, Un

Maka diperoleh:

Un = bn + (U1 - b)

Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.

1, 3, 5, 7, …, Un

Maka,

b = 2 ; U1 = 1

Un = bn + (U1 - b) = 2n+(1-2) = 2n -1

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

U1, U2, U3, U4, …, Un

Maka diperoleh:

Un = rn x U1/r

Contoh :

Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )

Maka,

r = 10 ; U1 = 1

Un = rn x U1/r = 10n x 1/10 = 10n -1

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan

formula berikut:

Un = b/2 . n (n-1) + c

Dengan: c = Suku ke-n barisan bilangan pola

107 | P a g e

b = Selisih tetap

Contoh:

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu

Barisan:

c = 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1

Jadi, suku ke-n adalah:

Un = ½. n(n-1) +c

Un = ½. n(n-1) + 2n + 1

Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1

Un = ½ n2 – 3/2 n +1

108 | P a g e

Barisan Arimatika dan Barisan Geometri

Barisan Arimatika

Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku

sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap.

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan

sebagai berikut :

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.

.

.

Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b

Un = a + (n – 1 )b

Dengan n = 1, 2, 3,..

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan

rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :

U2 = U1 + b => b = U2 - U1

U3 = U2 + b => b = U3 - U2

U4 = U3 + b => b = U4 - U3

.

.

.

Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik

Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

109 | P a g e

Contoh:

Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis

barisan aritmetika tersebut.

a. 1, 3, 5, 7,. . . .

b. 4, 2, 0, -2,. . .

Jawab :

Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing

barisan aritmetika.

a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .

berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..

U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5

b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2

karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.

U10 = U1 (10 - 1) . b

U10 = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .

U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2

b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2

karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus

Un = U1 (n - 1) . b

U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14

Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku

sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = a

U2 = U1 . r = ar

U3 = U2 . r = ar2

U4 = U3 . r = ar3

Un = Un-1 . r = arn-1

1. Un = r × Un-1 atau

110 | P a g e

2. Un = a × rn-1

Dengan: r = rasio atau pembanding

n = bilangan asli

a = suku pertama

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau

turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.

Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

111 | P a g e

Deret Aritmetika dan Deret Geometri

Deret Aritmetika

Deret bilangan adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan

bilangan.

Bentuk umum:

Menyatakan deret ke-n

Contoh:

1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah Sn = 3 + 5 + 7 + .... + (2n+1)

Maka,

S1 = 3 S2 = 3 + 5 = 8 S3 = 3 +5+7 = 15

2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, adalah

Maka,

S1 = 1 S2 = 1 + 2 = 3 S3 = 1 + 2 + 4 =7

Deret aritmetika adalah jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika.

Deret aritmetika:

Dengan U1 = a dan Un = a + (n-1) b

Rumus n suku pertama deret aritmetika:

Dengan: suku ke-n

n = bilangan asli

b = beda

Contoh:

112 | P a g e

Deret Geometri atau Deret Ukur

Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri.

Deret geometri:

U1 + U2 + U3 + ...... + Un = Sn

Dengan U1 = a dan Un = a.rn-1

Rumus n suku pertama deret geometri:

Sifat-sifat Deret

113 | P a g e

114 | P a g e

115 | P a g e

116 | P a g e

117 | P a g e

LATIHAN SOAL BARISAN DAN DERET

1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan

pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan

suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

2. Misalkan a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah

75. Jika a2 = 8 maka tentukan a6 !

3. 1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

4. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

kelompok 1 : {1},

kelompok 2 : {3,5},

kelompok 3 : {7,9,11},

kelompok 4 : *13,15,17,19+, …

dst

Maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

5. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika

bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh

barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

6. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan

jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2

suku pertama !

7. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka

berapakah nilai c ?

8. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama

membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan

aritmetika. Maka tentukan x + y !

118 | P a g e

9. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat

tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali

suku pertama dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan

dari suku banyak tersebut !

10. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku

pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku –

suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan

ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan

tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r.

Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !

119 | P a g e

BAB

10

Kaidah Pencacahan

Disusunoleh:

Dhiah Masyitoh

Intan Fajar Iswari

Rahmah Wulandari

Pencacahan (counting) adalah bagian dari matematika

kombinatorial. Persoalan kombinatorik bukan merupakan persoalan yang

baru dalam kehidupan nyata. Banyak persoalan kombinatorik yang

sederhana telah diselesaiakan dalam masyarakat.

Kombinatorika adalah studi tentang pengaturan objek-objek,

yaitu pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau

penempatanobjek- objek dengan karakteristik tertentu.Topik ini mulai

berkembang sejak abad ketujuh belas, yakni di awali dengan

tulisan Gottfried Wilhelm Leibniz yang berjudul Dissertio de Arte

Combinatorica. Selanjutnya, kombinatorika semakin berkembang pesat

dengan beragam aplikasinya di berbagai bidang, seperti kimia, biologi,

fisika, dan komunikasi.

Man Saara AlaDarbi Wasala, Siapa

yang Berjalan di Jalan-Nya maka

akan sampai ke tujuan

120 | P a g e

PETA KONSEP

Kaidah Pencacahan

Aturan Penjumlahan

Aturan Perkalian

Faktorial Permutasi

Semua Unsur Berbeda

Sebagian Unsur

Berbeda

Beberapa Unsur yang

Sama Siklis

Kombinasi

121 | P a g e

KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung

berapa banyaknya cara yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah

pencacahan meliputi aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.

A. ATURAN PENJUMLAHAN

Pada aturan penjumlahan bila suatu himpunan terbagi kedalam himpunan –

himpunan bagian yaitu n1, n2, n3, … ,nk , maka jumlah unsur yang berada di dalam

himpunan sama dengan jumlah semua unsur yang ada dalam setiap himpunan bagian

dari n atau dapat dirumuskan

Sebagai contoh aturan penjumlahan adalah bila kita bermaksud membeli laptop.

Di sebuah toko, kita menemukan ada laptop merk A dengan 4 macam model, merk B

dengan 3 macam model, dan merk C dengan 5 macam model. Jadi, jika kita akan

membeli laptop di toko itu maka kita memiliki 5 + 4 + 3 = 12 macam model laptop. Jadi,

banyak model laptop di toko itu ada 5 model A + 4 model B + 3 model C = 12 model.

B. ATURAN PERKALIAN

Aturan perkalian adalah suatu cara yang dapat dilakukan dengan cara mendaftar

semua kemungkinan hasil secara manual. Ada beberapa cara mendaftar dalam aturan

ini antara lain adalah dengan diagram pohon, dengan table silang, dan dengan pasangan

terurut.

Jika suatu kejadian 1 dapat terjadi dengan n1 cara yang berlainan, kejadian 2

dapat terjadi dengan n2 cara berlainan, kejadian 3 dapat terjadi dengan n3 cara yang

berlainan, dan demikian seterusnya (untuk jumlah yang tidak terbatas) maka seluruh

kejadian tersebut dapat terjadi dengan:

Misalkan kota A dan B dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan antara kota B dan C

dihubungkan dengan 2 jalan. Maka banyak rute perjalananan dari kota A kekota B dan

dilanjutkan perjalanan dari kota B ke C adalah 3 × 2 = 6 rute. Prinsip inilah yang disebut

prinsip perkalian.

n1 × n2 × n3 × … × nk

n1 + n2+ n3+ … +nk

122 | P a g e

C. PERMUTASI

Permutasi (P) adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu

kumpulanobjek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Dimana (AB ≠ BA, ABC ≠ BAC).

Permutasi n unsur yang diambil dari n unsur

Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyak susunan

(permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah

P(n, n) = nPn dibaca permutasi tingkat n dari n unsur

P(n, n) = n!

Permutasi k unsur yang diambil dari n unsur, k

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah

Permutasi yang memuat beberapa unsur

Permutasi n unsur yang memuat unsur – unsur sama dan tiap jenis yang sama

terdiri dari n1, n2, n3, …nk, maka permutasinya

nPn = n!

nPr=

( ) , n ≥ r

P =

…

Aturan penjumlahan ditandai dengan

kata “atau”, sedangkan aturan

perkalian ditandai dengan kata “dan”.

123 | P a g e

Permutasi siklis

Permutas isiklis digunakan untuk menghitung banyak susunan yang mungkin

dari sejumlah n unsur berbeda yang ditempatkan secara melingkar, dan dirumuskan

Contoh soal

Dalam berapa cara seorang presiden, wakil presiden, sekretaris dan bendahara dapat

dipilih dari sebuah klub yang beranggotakan 35?

Penyelesaian :

Jika asumsikan bahwa tidak ada orang yang dapat menduduki dua jabatan, dan semua

anggota mampu menjadi pengurus, masalah ini menyertakan banyaknya permutasi dari

30 orang yang diambil 4.

30P4 =

( ) =

= 30 29 28 27 = 657720

Jadi, ada 657.720 cara.

D. KOMBINASI

Kombinasi ( C ) adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan

objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan tidak memperhatikan urutan.

Dinotasikan dengan :nCk , C atau urutan ( AB = BA, ABC = BAC)

Kombinasi n unsur dari n unsur yang berbeda

Kombinasi r unsur dari n unsur yang berbeda

Banyaknya susunan yang terdiri r unsur tanpa memperhatikan urutannya

Sering sekali siswa sma dihadapkan pada satu soal tentang probabilitas suatu kejadian n dan kebingungan akan menggunakan permutasi atau kombinasi dalam menyelesaikan soal tersebut, mari kita lihat rumusnya:

nP(siklis) = (n- 1)!

nCn = 1

nCr =

( ) , n ≥ r

124 | P a g e

Dalam urusan permutasi dan kombinasi kita harus tahu terlebih dahulu tentang notasi faktorial (!) dan penggunaannya,

Rumus permutasi:

Rumus kombinasi:

Penggunaannya, jika permutasi adalah pengabungan beberapa objek dengan

memperhatikan urutan jadi {a,b,c} berbeda dengan {b,a,c}. Contohnya adalah jika terdapat 3 bola dengan warna berbeda yaitu kuning, hijau dan merah, ambil 2 bola dengan memperhatikan urutan maka permutasi yang mungkin terjadi adalah 6 yaitu {kuning,hijau}, {kuning,merah}, {hijau,kuning}, {hijau,merah}, {merah,kuning} dan {merah,hijau}.

Jika menggunakan rumus = dengan n = banyaknya bola r = banyaknya pengambilan

Sedangkan kombinasi adalah penggabungan beberapa objek dengan tidak

memperhatikan urutan, jadi {a,b,c} sama dengan {b,a,c} juga sama dengan {c,a,b} dan sama dengan urutan yang lain asalkan terdiri dari 3 huruf tersebut. Contohnya ada 4 orang anak yaitu A, B , C dan D. Akan diambil 2 orang untuk mewakili sekolah dalam lomba menggambar maka kemungkinan 2 orang tersebut ada 6 yaitu {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} dan {C,D}. Kalo dikerjakan dengan rumus maka,

Kombinasi = dengan n = banyaknya anak dan r = banyaknya yang diambil

125 | P a g e

LATIHAN SOAL KAIDAH PENCACAHAN

1. Dari angka 1,2,3,4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri atas tiga angka

berbeda. Banyak bilangan yang berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai

masing-masing kurang dari 400 adalah...

2. Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak

susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?

3. Nilai n memenuhi

= 2 maka nilai

= ....

4. Jika menyatakan banyak kombinasi r elemen dari n elemen dan

= 2n maka

= …

5. Banyak bilangan asli yang terdiri atas 6 angka disusun dari 2 buah angka 1, 3

buah angka 2, dan 1 buah angka 3 adalah...

6. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang

disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi

tertentu!

7. Dari 8 pasangan suami istri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang terdiri atas

3 pria, 2 wanita dengan ketentuan tak boleh ada pasangan suami istri. Banyaknya

tim yang dapat dibentuk adalah....

8. Diketahui garis g dan h sejajar. Titik A,B,C, dan D terletak pada garis g . Titik E,F,

dan G Terletak pada garis h. Banyaknya segitiga yang bisa dibuat dari 7 titik

tersebut adalah…

9. Suatu kelompok pengajian ibu-ibu mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap

pengajian duduknya melingkar, banyaknya cara posisi ibu-ibu dalam duduk

melingkar adalah....

10. Buktikan bahwa n+1Cr = nCr-1 + nCr

126 | P a g e

BAB

11

PELUANG

Disusun oleh :

Devi Kumala Sari

Novi Sariani

Rogayah

Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian

khusus dengan jumlah kejadian sembarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak

seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar. Teori peluang awalnya di inspirasi oleh masalah

perjudian yang dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Italia yang bernama Girolamo

Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang

penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga

memacunya untuk mempelajari peluang.

Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) 1565,

Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian.

Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan

peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan

matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada

tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan

Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. Berdasarkan pemaparan

mengenai teori peluang di atas maka penulis membuat sebuah makalah yang berjudul ”Peluang”.

Belajarlah dimanapun kamu berada,

karena pengetahuan yang sesungguhnya

ada disetiap hembusan nafas dan

langkah kalian.

127 | P a g e

PETA KONSEP

PELUANG

RUANG DAN TITIK SAMPEL

JENIS KEJADIAN

KEJADIAN SEDERHANA

DEFINISI PELUANG SUATU KEJADIAN

KISARAN NILAI

FREKUENSI HARAPAN

KEJADIAN MAJEMUK

PELUANG KOMPLEMEN

PELUANG GABUNGAN

KEJADIAN SALING LEPAS

KEJADIAN TIDAK LEPAS

PERKALIAN PELUANG

KEJADIAN SALING BEBAS

KEJADIAN BERSYARAT

DEFINIS DAN SIFAT-SIFAT

128 | P a g e

PELUANG

Peluang adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan

bahwa suatu kejadian kemungkinan akan berlaku atau terjadi. Teori peluang biasa

disebut juga teori kemungkinan (probabilitas). Konsep ini juga sudah digunakan

diberbagai bidang tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga dalam

hal keuangan, sains dan filsafat.

1. Definsi dan Sifat-Sifat Peluang

1.1 Definisi Peluang

a. Definisi Peluang Klasik

Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa

yang saling eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka

peluang peristiwa E terjadi adalah n/N atau P(E) = n/N

Contoh :

Eksperimen dengan melantunkan koin Rp 100,- sebanyak 1X menghasilkan peristiwa-

peristiwa yang terjadi :

1) muncul angka (G) = 1

2) muncul gambar (A) = 1

N = 2

P(G) = ½ ; P(A) = ½

Sifat peluang klasik : saling eksklusif dan kesempatan yang sama

b. Definisi Peluang Empirik

Peluang empirik/frekuensi relatif terjadi apabila eksperimen dilakukan berulang.

Apabil kita perhatikan frekuensi absolut (=m) tentang terjadinya peristiwa E untuk

sejumlah pengamatan (=n), maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi

relatif apabila jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga P(E) = limit m/n

nN

Contoh

Eksperimen melantunkan sebuah dadu (1000X)

Peristiwa yang muncul : - muncul mata dadu 1 hingga

- muncul mata dadu 6

Event M1 M2 M3 M4 M5 M6 total

M 166 169 165 167 169 164 1000

P(M1) = 166/1000 ; P(M6) = 164/1000

c. Definisi Peluang Subjektif

1) Nilai peluang didasarkan kepada preferensi seseorang yang diminta untuk

menilai

2) Pada umumnya yang dinilai adalah peristiwa yang belum terjadi

1.2 Sifat-Sifat Peluang

Dalam teori peluang terdapat beberapa sifat, yaitu sebagai berikut:

a. P(A) adalah bilangan rela yang non negatif untuk setiap peristiwa A

dalam S

P(A) 0

129 | P a g e

b. P(S) = 1

c. Jika A1, A2, .... merupakan peristiwa yang saling lepas di S

Ai ∩ Aj = ∅

Untuk i ≠ j = 1,2,3.... maka

P(A1 ∪A2∪....) = P(A1) + P(A2)

2. Pengertian Ruang , Titik Sampel dan Kejadian

2.1 Ruang dan Titik Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil dari suatu eksperimen acak dan

setiap anggotanya dinamakan titik sampel. Ruang sampel yang diambil adalah ruang

sampel yang setiap titiknya (diasumsikan) merupakan hasil individual, artinya tidak

dapat dipecah-pecah lagi dipandang dari berbagai segi.

Notasi untuk ruang sampel, biasanya dengan huruf S, , C, atau huruf lainnya.

Jikadigunakan huruf S untuk menyatakan ruang sampel maka:

- Jika S terhitung, S dinamakan ruang sampel diskrit

- Jika S tak terhitung (dan banyak unsurnya tak terhingga), S dinamakan ruang

sampel kontinu.

- Jika setiap titik sampel dari S memiliki kesempatan yang sama untuk muncul,

maka S dinamakan ruang sampel uniform.

Contoh: Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu adalah

- Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu adalah S {1,2,3,4,5,6}

- Banyak titik sampel = n(S) = 6

2.2 Kejadian

Definisi (Kejadian) : Kejadian (event) adalah himpunan bagian dari ruang

sample.

Definisi (Medan- σ) : Medan-σ / Medan-Borel adalah suatu himpunan β yang

anggotanya adalah kejadian-kejadian dalam ruang sample S (kejadian) yang

memenuhi tiga syarat berikut :

1. ∅ ∈ β

2. Jika A ∈ β maka Ac ∈ β

3. Jika A1, A2, … ∈ β maka A1 ∪ A2 ∪ … ∈ β

3. Jenis Kejadian Peluang

3.1 Peluang Suatu Kejadian

a. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Peluang suatu kejadian adalah ukuran untuk mengukur kebenaran atau

ketepatan dari percobaan dalam pengambilan sampel dari suatu populasi. Jika ruang

sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel

130 | P a g e

mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu kejadian munculnya

percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan :

P(A) = ( )

( )

Keterangan:

P(A) : Peluang kejadian A

n(A) : Banyaknya kejadian A

n(S) : Banyaknya titik sampel/ Hasil yang mungkin

Contoh:

Sebuah dadu bermata enam dilempar sekali. Berapakah peluang munculnya mata

dadu bilangan ganjil?

S = {1,2,3,4,5,6}

n(S) = 6

A = Kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil

A = {1,3,5}

n(A) = 3

P(A) = ( )

( )=

=

Jadi peluang muncul mata dadu ganjil adalah

b. Kisaran Nilai Peluang

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan

terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1.

Pembuktian:

Dalam sebuah kejadian akan ada kemungkinan terjadi dan juga tidak mungkin

terjadi sehingga

(Gunakakn sifat 1 , 2 dan 3)

A ∈ S dan ∅ ∈ A maka ∅ ∈ A ∈ S

n(∅) n(A) n(S)

P(∅) P(A) P(S)

n(∅)

n(S) n(A)

n(S) n(S)

n(S)

( ) P(A) 1

sehingga 0 P(A) 1

Terbukti bahwa kisaran nilai peluang/ probabilitas suatu kejadian berkisar diantara 0

dan 1

P(A) = 0 maka kejadian A disebut kejadian yang mustahil terjadi.

131 | P a g e

P(A) = 1 maka kejadian A disebut kejadian yag pasti terjadi.

c. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah harapan yang nilai kemungkinan terjadinya paling besar. Jika

suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan terjadinya kejadian K

setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan dari kejadian K adalah:

FH(K) = n x P(K)

Contoh:

Jika sebuah dadu dilempar sebanyak 30 kali, berapakah frekuensi harapan muncul mata

dadu bilangan genap

Jawab

S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6

n = 24 kali

A = Kejadian muncul mata dadu bilangan genap = { 2,4,6} n(A) = 3

FH(A) = n x P(A)

= 24 x

= 12

3.2 Peluang Kejadian Majemuk

a. Peluang komplemen suatu kejadian

Komplemen dari sebuah kejadian A adalah himpunan semua kejadian yang

bukan A. Komplemen kejadian A ditulis sebagai A’ atau Ac. Peluang dari sebuah kejadian

dan komplemennya selalu berjumlah 1 (sebuah kejadian bisa terjadi atau tidak terjadi).

P(A) + P (Ac) = 1

P(Ac) = 1 - P(A)

Pembuktian

Karena A ∩ Ac = ∅ dan A∪ Ac = S

Maka berdasrakan sifat (3) dan (2)

S

A A’

S

132 | P a g e

P (A∪ Ac) = P(A) + P(Ac = P(S) = 1

Jadi P(Ac) = 1 – P(A)

Contoh:

Ketika melempar dadu bermata 6, peluang untuk tidak mendapat 5 adalah

P(5) = 1 – P(5)

P(5) = 1 – 1/6

P(5) = 5/6

b. Peluang Gabungan

1) Peluang gabungan dua kejadian yang tidak saling lepas

Peluang dari kejadian yang dapat terjadi disaat yang bersamaan sehingga A dan B tidak

saling lepas berarti A dan B = A∩ B

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)

Jika kedua ruas dibagi dengan n(S) maka:

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

PEMBUKTIAN

Didalam teori himpunan, didapatkan bahwa

A∪B = A∪(Ac∩ B) dan A ∩ (Ac∩ B) = ∅

Jadi didapatkan P ( A ∪ B) = P(A) + (Ac∩ B) ....................... (1)

Dipihak lain B = S ∩ B = (Ac∪ A) ∩ B = (Ac∩ B) ∪ (A ∩ B)

Karena (Ac∩ B) + P (A ∩ B) = ∅, maka

P(B) = P(Ac∩ B) + P (A ∩ B) ................................................. (2)

Berdasarkan persamaan ke 1 dan ke 2 diperoleh

S

A B

133 | P a g e

P( A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)

Untuk A, B dan C tidak saling lepas

Jika A bagian dari B

Contoh

Pada pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang muncul mata dadu bilangan prima

atau genap

Jawab

S ={1,2,3,4,5,6} n(s) = 6

A = Muncul mata dadu bilagan prima = { 2,3,5} n(A) = 3

B = Muncul mata dadu genap = {2,4,6} n(B) = 3

(A∩ B) = Muncul mata dadu prima atau genap = {2} n(A∩ B) = 1

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B) P (A ∪ B) =

+

=

=

2) Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas

134 | P a g e

Kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Kejadian A dan B dikatakan

saling lepas Jika A B = atau P (A B) = 0

Jika P (A B) = 0 maka P (A B) = P(A) + P (B)

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh

Ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola

hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah

P(Biru atau Merah) = P(Biru) + P(Merah)

P(Biru atau Merah) = 3/10 + 5/10

P(Biru atau Merah) = 8/10 = 0.8

c. Perkalian Peluang

1) Peluang Dua kejadian saling bebas

Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika dan hanya jika P(A

∩ B) = P(A) P(B) sehingga besarnya peluang kejadian A tidak berubah karena adanya

keterangan bahwa kejadian B telah terjadi (kejadian satu tidak mempengaruhi kejadian

yng lain) maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas

Jika A dan B adalah dua kejadian bebas, maka

a) A dan Bc juga dua kejadian bebas

b) Ac dan B juga dua kejadian bebas

c) Ac dan Bc juga dua kejadian bebas

Bukti (a) : Akan ditunjukkan bahwa P(A ∩ Bc) = P(A) P(Bc).

Karena A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) dan (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bc) = ∅

Maka P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)

Jadi P(A ∩ Bc) = P(A) - P(A ∩ B) = P(A) - P(A) P(B) = P(A) (1 – P(B)) = P(A)

P(Bc)

Sehingga didapatkan rumus peluang dua kejadian saling bebas adalah

P(A∩ B) = P(A) . P(B)

S

A B

135 | P a g e

Contoh

Dadu merah dan dadu putih ditos. Tentukan peluang pada dadu merah muncul angka

satu.

Penyelesaian :

Dua dadu ditos, maka n(S) = 6 x 6 = 36

A = {dadu merah muncul angka satu}

= {(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}, n(A) = 6

P(A) = ( )

( ) =

=

Jadi, peluang pada dadu merah muncul angka satu adalah

B = {dadu putih muncul angka enam}

= {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}, n(B) = 6

P(B) = ( )

( ) =

=

Jadi, peluang pada dadu putih muncul angka enam adalah

A ∩ B = *(1,6)+, n(A ∩ B) = 1

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)

n(S)= 1

6

P(A ∩ B) = 1

6 dapat ditulis menjadi

P(A ∩ B) = 1

6x1

6

P(A ∩ B) = P(A)x P(B)

Jadi, peluang pada dadu merah muncul angka satu dan pada dadu putih

muncul angka enam adalah

.

2) Peluang dua kejadian yang tidak saling bebas/Bersyarat/Bergantung

Peluang kejadian B dengan syarat A telah diketahui dan terjadi.

Definisi : Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian dalam A. Peluang AB ( A dan B)

adalah

P(AB) = ( )

( )

Definisi: Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian dalam A. Peluang bersyarat A

diberikan B adalah

( ) = ( )

( )

Dimana P(B)> 0, Jika P(B) = 0 maka peluang bersyarat tidak terdefinisi.

Peluang bersyarat adalah suatu peluang dimana

a. 0 < ( ) < 1

b. P ( S|A) = 1

c. Jika ( A1,A2...) adalah kejadian-kejadian yang saling bebas maka

136 | P a g e

P(BC) > 0 P (A|BC) = ( )

( )

Bukti

P(A|BC) = ( )

( ) = ( ) ( )

( ) ( ) = ( )

( )

Untuk setiap kejadan A dan B berlaku:

P(AB) = P (A|B) P(B) = P (B|A) P(A)

Sehingga jika P(B) > 0 kita mempunyai

P(A|B) = ( ) ( )

( )

Dan dengan cara yang sama jika P(A) > 0 kita mempunyai

P(B|A) = ( ) ( )

( )

Aturan Bayes

Misalkan {B1,B2...Bn} adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A adalah kejadian

yang tereobservasi. Peluang kejadan Bj diberikan A adalah

P(Bj|A) = ( )

( )

137 | P a g e

LATIHAN SOAL PELUANG

1. Ada 9 bola.Tiap bola ditandai dengan angka yang saling berlainan yakni: mulai dari

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 dan 20. Dilakukan pengambilan 2 bola secara acak.

Tentukan peluang munculnya 2 bola dengan jumlah angka yang genap ?

2. Jika kejadian A dan B saling lepas dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,5 maka P(A Bc)

sama dengan ...

3. Dalam suatu kotak terdapat 100 bola serupa yang diberi nomor 1,2,3, ...100. Jika

dipilih satu bola secara acak maka peluang terambilnya bola dengan nomor yang

habis dibagi 3 adalah ...

4. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantung II

terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu

kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan

kelereng hitam dari kantong II adalah ...

5. Diketahui kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas tetapi tidak saling

lepas. Jika ( ) =

dan ( ∪ ) =

maka ( ) adalah….

6. Dua kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas.

Peluang terpilih keduanya perempuan adalah 23/180. Peluang terpilih keduanya

laki-laki adalah …

7. Malik dan Ali melakukan permainan lempar anak panah. Malik melempar tepat

sasaran dengan peluang 0,65, sedangkan Ali melempar tepat sasaran dengan

peluang 0,45. Malik memenangkan permainan jika melempar tepat sasaran dan Ali

tidak mengenai sasaran. Sebaliknya, Ali menang jika Ali melempar tepat sasaran dan

Malik tidak mengenai sasaran. Kondisi lainnya adalah permainan seri. Peluang

bahwa permainan akan berakhir seri adalah …

8. Dua kotak masing-masing berisi lima bola yang diberi nomor 2, 3, 5, 7, dan 8. Dari

setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan

nomor 3 atau 5 adalah ….

9. Jika peluang kejadian hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah

, maka peluang

kejadian tidak hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah….

10. Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Peluang munculnya angka lebih besar atau

sama dengan 5 dalam minimal 5 kali pelemparan adalah ….

11. Diberikan suku banyak . Jika dan dipilh secara acak dari

selang [0, 3], maka peluang persamaan suku banyak tersebut tidak mempunyai akar

adalah …

138 | P a g e

BAB

12

PETA KONSEP

ORIENTASI DAN

LOKASI

Disusun oleh:

Amy Arimbi

Arif Miswanto

Kori Auga Islamirta

Resti Indah Kusuma

Materi Orientasi dan Lokasi adalah materi pembelajaran yang

berhubungan dengan system koordinat yang digunakan untuk

menentukan posisi suatu titik serta lokasi suatu tempat selain itu juga

orientasi dan lokasi dapat digunakan untuk materi pembelajaran

jurusan tiga angka.

Tindakanmu sekarang akan

mempengaruhi posisimu dimasa

depan

139 | P a g e

PETA KONSEP

KOORDINAT

CARTESIAN

Titik Garis

Posisi Titik

Jarak

Dua Titik

Jarak tiga

titik

Garis

Sejajar

Garis

Berpotonga

n

Garis Tegak

Lurus

ORIENTASI DAN LOKASI

Jurusan Tiga angka

140 | P a g e

ORIENTASI DAN LOKASI

A. Koordinat Cartesius

1. Pengertian Sistem Koordinat Kartesius

Di dalam ilmu matematika, sistem koordinat kartesius dipergunakan untuk menentukan

posisi ataupun letak dari sebuah titik pada suatu bidang datar. posisi titik tersebut

ditentukan oleh dua buah garis yanng ditarik secara vertikal dan horizontal dimana titik

pusatnya berada pada titik 0 (titik asal). Garis horizontal disebut sebagai sumbu X

(absis) dimana X positif digambarkan mendatar ke kanan sedangkan X negatif digambar

mendatar ke kiri. Sementara itu garis Vertikal disebut sebagai sumbu Y dimana Y positif

digambarkan kearah atas dan Y negatif digambarkan ke arah bawah. Perhatikan gambar

di bawah ini:

2.Menentukan titik dan garis pada bidang koordinat kartesius

2.1. Kedudukan sebuah titik

Gambar diatas merupakan sebuah bidang koordinat yang dibentuk oleh dua buah garis

yaitu garis X(Sumbu X) yang mendatar serta garis Y (Sumbu Y) yang Tegak. Kedua garis

tersebut berpotongan pada satu titik yang disebut sebagai pusat koordinat (titik 0).

Bidang koordinat di atas disebut sebagai bidang koordinat kartesius yang digunakan

untuk menentukan posisi dari sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan

angka/bilangan.

141 | P a g e

Coba kalian perhatikan titik A,B,C, dan D yang ada di dalam bidang tersebut. Untuk

menentukan letak dari titik-titik tersebut kalian harus memulainya dari pusat koordinat

(titik 0). Lalu perhatikan angka yang ada pada sumbu X barulah setelah itu perhatikan

angka yang ada pada sumbu Y. untuk menuliskan letak titik pada bidang koordinat

kartesius, kita menggunakan pasangan bilangan (X,Y).

2. Kedudukan Relatif Benda

Kedudukan suatu benda akan bersifat relatif jika dilihat dari dari titik acuan

A B C D

Jika titik A sebagai acuannya, maka titik B,C,D terletak disebelah kanan titik A. jika titik B

sebagai acuannya maka titik A terletak disebelah kiri titik B, sementara titik C dan D

terletak disebelah kanan titik B.

2.2 Jarak antara dua titik

Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang

terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y, seperti

digambarkan pada gambr di bawah ini :

jika dilihat dari gambar di atas, koordinat P mempunyai jarak pada sumbu X yang

disebut absis sebesar 3 dan mempunyai jarak pada sumbu Y yang disebut ordinat

sebesar 5. Sedangkan d merupakan jarak dari pusat sumbu koordinat (O) ke titik P.

Nilai d dapat dihitung dengan persamaan :

= √ +

jika d merupakan jarak antara dua titik, secara umum d dapat dihitung menggunakan

persamaan sebagai berikut :

= √( ) + ( )

dimana i dan j menunjukkan nama titik.

142 | P a g e

2.3 Jarak dan titik tengah 3 dimensi

Koordinat kartesius dalam ruang dimensi tiga ditentukan oleh tiga garis koordinat

yang saling tegak lurus (sumbu x,y, dan z). Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga

bidang, bidang yz, xz, dan xy yang membagi ruang menjadi 8 oktan.

Menentukan jarak dan titik tengah antar titik

Jarak:

= √( 2 1) + ( 2 1) + ( 2 1)

Titik Tengah:

t.1=

t2 =

t3=

3. MENENTUKAN POSISI GARIS

3.1 Garis Sejajar terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

Dua buah garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut memiliki jarak

yang selalu sama.

3.2 Garis Berpotongan terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

Jika suatu garis tidak sejajar dengan sumbu koordinat, maka garis tersebut

akan berpotongan dengan sumbu X maupun sumbu Y, karena posisi garis dan

sumbu koordinat terletak dalam satu bidang datar.

3.3 Garis Tegak Lurus terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

143 | P a g e

Suatu garis dapat dinyatakan tegak lurus jika:

Jika garis m sejajar dengan garis n, dan garis m tegak lurus terhadap

sumbu X maka garis n juga tegak lurus dengan sumbu X.

Jika garis m sejajar dengan garis n, dan garis m tegak lurus terhadap

sumbu Y maka garis n juga tegak lurus dengan sumbu Y.

B. Jurusan 3 Angka

Jurusan tiga angka adalah menentukan letak sebuah titik atau obyek yang diukur

dari titik atau obyek yang lain, ukuran yang di pakai adalah jarak (r) dan besar

sudut (α) yang diukur dari arah utara dan searah dengan jarum jam. Penulisan

sudut α dengan menggunakan 3 digit.

Contoh : titik A terletak 5 satuan dengan jurusan 095° dari titik B

Dapat ditunjukkan dengan gambar

1.Aturan cosinus

144 | P a g e

145 | P a g e

LATIHAN SOAL ORIENTASI DAN LOKASI

1. Tentukan apakah titik-titik berikut membentuk garis lurus atau tidak?

a. A(0, 0), B(1, 1), C(2, 2) c. G(–2, 1), H(1, 0), I(4, 3)

b. D(2, –2), E(1, –1), F(0, 0) d. J(2, –2), K(3, 0), L(1, 1)

2. Gambar dibawah menunjukkan peta propinsi Aceh.

Salindanlengkapilahpernyataan-pernyataanberikut di bukulatihanmu.

1. Kota Janto terletak pada koordinat(.. , ..)

2. Kota Meulaboh terletak pada koordinat(.. , …)

3. Kota Langsaterletakpadakoordinat(… , …)

4. Kota ... terletakpadakoordinat (9, F).

5. Kota ... terletakpadakoordinat (9, N).

3. Awak wahana antariksa melakukan eksperimen di sebuah planet X yang

mengorbit bintang G yang identik dengan Matahari. Ketika bintang G tepat di atas

146 | P a g e

tongkat A, kedudukan bintang G mempunyai posisi 2 derajat dari zenith tongkat

B. Tongkat A dan B terpisah pada jarak 14km . Dari halter sebut dapat

disimpulkan bahwa radius planet X sekitar…..

4. TentukanTitik C untuk membentuk sebuah segitiga sama kaki !

5. Diketahui titik-titik pada bidang koordinat Cartesiuss sebagai berikut.

a. (10, –5) c. (–7, –3) e. (–4, 9)

b. (2, 8) d. (6, 1)

6. Gambarlah garis dengan persamaan:

a. x + y = 4,

b. x = 2y

7. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km.

Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C Jarak

pelabuhan A ke C adalah … km.

8. Sebuah pesawat mula-mula berada pada posisi tertentu dengan koordinat (3,4)

karena cuaca buruk pesawat tersebut bergerak menuju koordinat (6,8). Coba

kalian hitung jarak yang ditempuh pesawat tersebut!

9. Diketahui A dan B adalah titik–titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C

dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p meter, maka

panjang terowongan itu adalah … meter.

10. Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan

perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat

kapal berangkat adalah … mil.

147 | P a g e

PEMBAHASAN SOAL LATIHAN

BAB 1 (LOGIKA MATEMATIKA)

1. Pada operasi konjungsi, pernyataan positif dapat digabungkan dengan kata "dan"

serta menghilangkan kata-kata yang sama, maka:

A. p^q : Hari ini surabaya cerah dan udaranya sejuk.

B. p^q : Gilang mengenakan baju merah dan topi hitam

C. p^q : Bejo pandai dalam pelajaran matematika dan kimia

Jika pernyataannya bertolak belakang, kita bisa mengganti kata "dan" dengan

kata "meskipun" ataupun "tetapi"

2. p : Hari ini hujan deras

q: Hari ini aliran listrik terputus

a. Hari ini tidak hujan deras dana liran listrik tidak terputus.

~p ˄ ~q

b. Hari ini tidak hujan deras atau aliran listrik terputus.

~p ˅ q

3. Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:

a. p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasi l padi meningkat

b. ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak

meningkat.

c. p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak

meningkat.

4. a.

Oleh karena nilai kebenaran pernyataan ~(p ˄ q) sama dengan ~p ˅ ~q, maka

~(p ˄ q) ≡ ~p ˅~q

b.

Oleh karena nilai kebenaran pernyataan ~(p ˅ q) sama dengan ~p ˄ ~q, maka

~(p ˅ q) ≡ ~p ˄~q

P q ~p ~q p ˄ q ~(p ˄ q) ~p ˅ ~q

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S B B

P q ~p ~q p ˅ q ~(p ˅ q) ~p ˄ ~q

B B S S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B S B B

148 | P a g e

5. a. Konvers: “Jika 2 bukan bilangan prima maka semua bilangan prima adalah

bilangan ganjil”

Invers : “Jika beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil maka 2 adalah

bilangan prima”

Kontraposisi : “Jika 2 adalah bilangan prima maka beberapa bilangan prima

bukan

bilangan ganjil”

b. Konvers: “Jika Dinda memakai jaket maka cuaca dingin”

Invers : “Jika cuaca tidak dingin maka Dinda tidak memakai jaket”

Kontraposisi : “Jika Dinda tidak memakai maka cuaca tidak dingin”

6. Perhatikan bahwa p → q, memiliki nilai kebenaran Salah (S) →Benar (B)

Dalam implikias p→q, jika anteseden B dan konsekuen salah, maka p →

menghasilkan pernyataan yang Benar.Dari pilihan A sampai dengan E, yang

menghasilkan pernyataan yang benar secara logika adalah pernyataan C.

7. Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

Dapat kita lihat dari kedua premis tersebut,termasuk Modus Ponens

p → q

p

∴q

Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

p q

Budi rajin berolahraga

p

Kesimpulannya adalah q : Badan Budi sehat

8. Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

Premis (3) Ani tidak memakai payung.

p : Hari panas

q : Ani memakai topi

r : Ani memakai payung

Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan

premis (3)

Dari premis (1) dan (2)

Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

p → q

~q ∨r

Ingat bentuk berikut :

~q ∨ r ekuivalen dengan q → r

Sehingga bentuk di atas menjadi

149 | P a g e

p → q

q → r

∴p → r (Silogisme)

Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:

p→ r

~r

∴ ~p (Modus Tollens)

Kesimpulan akhirnya adalah -'p yaitu "Hari tidak panas"

9. Cara I :

Untuk melihat argumen yang berbentuk kaidah silogisme adalah sah, kita

tunjukkan bahwa ,(p→q ˄ (q→r)- → (p→r) adalah tautologi.

P Q R p→q q→r (p→q ˄ (q→r) p→r ,(p→q ˄ (q→r)- → (p→r)

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B S B B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S S B B

S S B B S B B B

S S S B B B B B

Jadi, argumen yang berbentuk kaidah silogisme adalah sah.

Cara II :

p q r p→q q→r p→r

B B B B B B

B B S B S S

B S B S B B

B S S S B S

S B B B B B

S B S B S B

S S B B B B

S S S B B B

Pada baris 1,5,7,dan 8

Premis 1 : p→q benar

Premis 2 : q→r benar

Konklusi : p→r benar

Jadi, argumen yang berbentuk kaidah silogisme adalah sah.

10. a. Misalkan p : cuaca dengin, q: dia memakai baju hangat, dan r : dia memakai

sweater. Pernyataan diatas dapat dituliskan sebagai p→(q ˄ ~r) dan

ingkarannya adalah ~ ,p→( q ˄ ~r)- ≡ p ˄ ~( q ˄ ~r) ≡ p ˄ ~q ˄ ~r.

Jadi, ingkarannya adalah “cuaca dingin dan dia tidak memakai baju hangat atau

150 | P a g e

dia memakai sweater

b. Misalkan p : dia belajar, q: dia akan melanjutkan ke perguruan tinggi, dan r :

dia

akan melanjutkan ke sekolah seni. Pernyataan diatas dapat dituliskan sebagai

p→(q ˅ r) dan ingkarannya adalah ~ ,p→( q ˅ ~r)- ≡ p ˄ ~( q ˅ r) ≡ p ˄ ~q ˄

~r.

Jadi, ingkarannya adalah “Dia belajar dan tidak melanjutkan ke perguruan tinggi

dan tidak ke sekolah seni”.

BAB 2 ( HIMPUNAN )

1. Untuk menjawab soal ini, kita misalkan :

A = {x | x adalah mahasiswa yang suka membaca}

B = {x | x adalah mahasiswa yang suka traveling}

Diketahui dari soal :

n(A) = 25 n(B) = 30 n(A ∩ B) = 15

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

maka jumlah mahasiswa dikelas itu adalah 25 + 30 – 15 = 40

2. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2. Himpunan A adalah

himpunan bilangan ganjil positif yang berurutan. Dan B adalah himpunan

bilangan prima. Tentunya (A ∩ B) = 3,5,7,11,13,.... ( himpunan bilangan prima

berurutan ) dan n(A ∩ B) = 14.

Sehingga n (A ∩ B)c = n(S) – n(A ∩ B)

n(A ∩ B)c = 50 – 14

n(A ∩ B)c = 36

3.

151 | P a g e

4.

5.

6. Untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut:

n*AΛB+ = (n*A+ + n*B+) - (n{S} - n{X})

n*AΛB+ = (30 + 28) - (40 - 4)

n*AΛB+ = 58 - 36

n*AΛB+ = 12

Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 12

ekor.

7. Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:

n*AΛB+ = (n*A+ + n*B+) - (n{S} - n{X})

n*AΛB+ = (75 + 63) – (150 – 32)

n*AΛB+ = 138 – 118

n*AΛB+ = 20 siswa

Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang

Siswa yang memilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang

152 | P a g e

8. n*AΛB+ = (n*A+ + n*B+) - (n{S} - n{X})

9 = (18 + 25) - (40 - n{X})

9 = 43 - 40 + n{X}

9 = - 3 + n{X}

9 + 3 = n{X}

n{X} = 12

9. Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:

Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang

Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang

Diagram venn-nya adalah:

Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang

10. Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut:

n*AΛB+ = (n*A+ + n*B+) - (n{S} - n{X})

n*AΛB+ = (27 + 26) – (45 – 5)

n*AΛB+ = 13

Maka dapat disimpulkan bahwa:

Siswa yang menyukai matematika saja = 27 - 13 = 14 siswa

Siswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26 - 13 = 13 siswa

Maka gambar diagram venn-nya adalah:

153 | P a g e

BAB 3 ( FUNGSI DAN INVERS )

1. ( ) = ( )

( ) =( 2 + 3 )

2

f(x)= (-2 + 3x)/2

y = (-2 + 3x)/2

2y = -2 + 3x

2y + 2 = 3x

x = (2y + 2)/3

Jadi f-1(x) = (2x + 2)/3 f-1(x) = 2(x + 1)/3 f-1(x) = 2/3 (x + 1)

2. f(x) = (7x + 5)/(3x - 4)

y = (7x + 5)/(3x - 4)

3xy - 4y = 7x + 5

3xy - 7x = 4y + 5

(3y - 7)x = 4y + 5

x = (4y + 5)/ (3y - 7)

#Syarat x ≠ 7/3 karena agar 3x - 7 ≠ 0.

Jadi f-1(x) = (4x + 5)/ (3x - 7) ; x ≠ 7/3

3. (x - 1) = (x - 1)/ (2 - x)

f(x) = x/(1 - x)

y = x/(1 - x) y - xy = x

y = x + xy y = (1 + y)x

x = y/ (1 + y)

maka f-1(x) = x/ (1 + x)

f-1(x + 1) = (x + 1) / (1 + x + 1)

f-1(x + 1) = (x + 1) / (x + 2)

154 | P a g e

4.) g(x) = 2x + 4 (f o g)(x) = 4x2 + 8x – 3

f(g(x)) = 4x2 + 8x – 3

f(2x + 4) = 4x2 + 8x – 3

f(x) = x2 - 4x - 3 ---> a = 1, b = -4, dan c = -3

f-1(x) = {-b √(b2 - 4a(c -x)}/ 2a

f-1(x) = *4 √(16- 4(-3 -x)}/ 2

f-1(x) = *4 √(16 + 12 + 4x)+/ 2

f-1(x) = *4 √(28 + 4x)+/ 2

f-1(x) = *4 √(4(7 + x))+/ 2

f-1(x) = *4 2√(7 + x)+/ 2

f-1(x) = 2 √(7 + x)

5. f(x) = (4x + 5)/ (x + 3)

y = (4x + 5)/ (x + 3)

yx + 3y = 4x + 5

yx - 4x = 5 - 3y

(y - 4)x = 5 - 3y

x = (5 - 3y)/ (y - 4)

maka f-1(x) = (5 - 3x)/ (x - 4) ; x ≠ 4

# syarat x ≠ 4 agar x - 4 ≠ 0.

Jawabannya : (-3x + 5)/ (x - 4), x ≠ 4

6. Dik : f(x) = x2 + 1

g(x) = 2x 3

Dit : (f o g)(x) =.......?

Masukkan g(x) nya ke f(x)

(f o g)(x) =(2x 3)2 + 1

(f o g)(x) = 4x2 12x + 9 + 1

(f o g)(x) = 4x2 12x + 10

7. Diketahui : f(x) = 3x 1 dan g(x) = 2x2 + 3

Ditanya :(g o f)(1) =.......

155 | P a g e

Masukkan f(x) nya pada g(x) kemudian isi dengan 1

(g o f)(x) = 2(3x 1)2 + 3

(g o f)(x) = 2(9x2 6x + 1) + 3

(g o f)(x) = 18x2 12x + 2 + 3

(g o f)(x) = 18x2 12x + 5

(g o f)(1) = 18(1)2 12(1) + 5 = 11

8. f o g(x) berarti x pada f(x) diganti dengan g(x)

f o g(x) = g(x) + 2 = (x + 5) + 2 = x + 7

9. g o f(x) berarti x pada g(x) diganti dengan f(x).

g o f(x) = 2 f(x) + 3

g o f(x) = 2 (x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = 2x – 1

10. a) (f o g)(x)

"Masukkan g(x) nya ke f(x)"

sehingga:

(f o g)(x) = f ( g(x) )

= f (2 x)

= 3(2 x) + 2

= 6 3x + 2

= 3x + 8

b) (g o f)(x)

"Masukkan f (x) nya ke g (x)"

sehingga:

(g o f)(x) = g ( f (x) )

= g ( 3x + 2)

= 2 ( 3x + 2)

= 2 3x 2

= 3x

BAB 4 ( FUNGSI KUADRAT )

1. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

D < 0, memiliki akar-akar imajiner

D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar

D = b2 – 4ac

= (-3)2 – 4.5.1

= 9 – 20

156 | P a g e

= -11

2. 6x2 – 2x + 3 = 0

x1.x2 =

=

=

3. + =

=

= –

= –

=

4. Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka

kita bisa peroleh dengan y’ = 0

Y’ = 2x – 5

0 = 2x – 5

x = 5/2

jadi sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 adalah x = 5/2

5. NOTE : ordinat = sumbu-y, absis = sumbu-x

Karena berbicara titik balik maksimum, maka kita manfaatkan turunan pertama

yaitu y’ = 0

-2x – (p – 2) = 0

-2x = p – 2

x =

sehingga diperoleh titik balik maksimum = ( , 6), substitusi titik balik

maksimum ke fungsi y.

6 = -( )2 – ((p – 2) )+ (p – 4)

6 = -( ) – + + (p – 4) [kalikan 4 kedua ruas]

24 = -(4 – 4p + p2) – (4p – 2p2) + (8 – 4p) + (4p – 16)

157 | P a g e

24 = -4 + 4p – p2 – 4p + 2p2 + 8 – 4p + 4p – 16

0 = p2 – 36

p2 = 36

p1 = 6 atau p2 = -6

untuk p = 6 x = = -2

untuk p = -6 x = = 4

6. Perlu dicatat bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pasti

berhubungan dengan turunan pertama yaitu f'(x) = 0

2x – 5 = 0

x =

f( ) = ( )2 – 5. ( ) + 4

= – + 4

= – +

= –

7. f(x) = ax2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b

0 = 2a.2 + b

0 = 4a + b

-b = 4a … (i)

nilai fungsi pada titik puncak

f(2) = a(2)2 + b.2 + c

3 = 4a + 2b + c

3 = -b + 2b + c

3 = b + c … (ii)

f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c

1 = 4a – 2b + c

1 = -b – 2b + c

1 = -3b + c … (iii)

eliminasi persamaan (ii) dan (iii)

b + c = 3

-3b + c = 1 –

4b = 2

b = 1/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii)

1/2 + c = 3

158 | P a g e

c = 5/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (i)

-1/2 = 4a

a = -1/8

f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2

= (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2

= -1/8(x2 – 4x) + 5/2

= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 5/2

= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 20/8

= -1/8(x – 2)2 + 3

8. Gunakan Rumus Kecap

x1,2 =

=

=

=

=

x1 = = 5

x2 = =

9. PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0

y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)

= (x1 + x2) + 4

= – + 4

= – + 4

= 7

y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)

= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4

= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4

= – 2 + 4

= – 2 + 4

= -2 + 6 + 4

= 8

159 | P a g e

PK Baru : x2 – 7x + 8 = 0

10. x1 + x2 = -4

3x2 + x2 = -4

4x2 = -4

x2 = -1

x1 + (-1) = -4

x1 = -3

PK : x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

x2 – (-3 – 1)x + (-3)(-1) = 0

x2 + 4x + 3 = 0

a – 4 = 3

a = 7

BAB 5 ( PERSAMAAN LINGKARAN )

1.

≡ + = 9

≡ + 6 6 + 9 = 0

6 + 6 18 = 0

+ 3 = 0

= +

Substitusi = + 3 ke + 9 = 0 diperoleh :

+ ( + 3) 9 = 0

+ 6 + 9 9 = 0

2 6 = 0

3 = 0

Nilai Diskriminan persamaan kuadrat 3 = 0 adalah:

= 4

= ( 3) 4(1)(0) = 9 0

0,

2. Diketahui pusat (6,2) dan persamaan garis 3x + 4y = 11

Persamaan lingkaran : ( 6) + (9 2) =

R = |

√ | → = |

. .

√ | = 0

1 ; R = 3

Jadi persamaan lingkarannya adalah (x – 6)2 + (y – 2 )2 = 9

3. Diketahui titik A(5,-1) –B(2,4)

Pusat lingkarannya : .

,

/ = .

,

/

Panjang diameternya : √(2 5) + (4 + 1) = √34

160 | P a g e

Jari – jari lingkarannya = R =

D =

√34

Persamaan lingkarannya : .

/

+ .

/

= .

√34/

atau

X2 + y 2 - 7x – 3y + 6 = 0

4. Diketahui lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)

2 = 4 menyinggung garis x = -4

Maka, subtitusikan x = -4 ke persamaan lingkaran tersebut.

(x + 6)2 + (y + 1)

2 = 4

(-4 + 6)2 + (y + 1)

2 = 4

(y + 1)2 = 4 – 4

y + 1 = 0

y = -1

Jadi, ligkaran (x + 6)2 + (y + 1)

2 = 4 men yinggung garis x = -4 dititik (-4, -1).

5. Jarak titik pusat lingkaran ke persamaan garis adalah jari – jari lingkaran.

Maka jarak titik (-1,1) ke garis 3x – 4y = 0 adalah

R = | ( ) ( )

√ | = 1

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan jari R=1 adalah

(x – (-1))2 + (y – 1)

2 = 1

2

(x + 1)2 + (y – 1)

= 1

x2 + 2x + 1 + y

2 – 2y + 1 = 1

x2 + y

2 + 2x – 2y + 1 = 0

6. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah :

(x a)2 + (y b)2 = r2

Persamaan lingkaran dengan pusat (2,4) :

(x 2)2 + (y 4)2 = r2

Karena jari-jari lingkaran belum diketahui, maka persamaan di atas masih belum

bisa dipastikan. Nilai r dapat kita hitung berdasarkan titik yang dilalui lingkaran.

Karena lingkaran melalui titik (10,-2), maka berlaku :

161 | P a g e

(10 2)2 + (-2 4)2 = r2

(8)2 + (-6)2 = r2 64 + 36 = r2

r2 = 100 r = 10

Selanjutnya, kita substitusi nilai r ke persamaan lingkaran :

(x 2)2 + (y 4)2 = r2

x2 4x + 4 + y2 8y + 16 = 100

x2 4x + y2 8y + 20 = 100

x2 + y2 4x 8y 80 = 0

7. Dari gambar jelas terlihat bahwa pusat lingkaran berada pada titik (0,0). Untuk

lingkaran yang berpusat di (0,0) berlaku :

(x a)2 + (y b)2 = r2

(x 0)2 + (y 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

Dari gambar diketahui r = 8. Maka diperoleh persamaan lingkaran :

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = (8)2

x2 + y2 = 64

8. Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x a)2 + (x b)2 = r2,

kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:

Di dalam lingkaran untuk (x a)2 + (x b)2 < r2

Di luar lingkaran untuk (x a)2 + (x b)2 > r2

Pada lingkaran untuk (x a)2 + (x b)2 = r2

Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya

terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.

B (5, 1)

x = 5

y = 1

162 | P a g e

(x 2)2 + (x + 1)2

= (5 2)2 + ( 1 + 1)2

= 9

Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.

9. Cara Pertama:

Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya

akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau

Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 Ax 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 =

5.

Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:

Cara kedua:

Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 Ax 10y + 4 = 0 menyinggung

sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke

persamaan, y diisi nol,

Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai

diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b2 4ac di materi

persamaan kuadrat. Sehingga

163 | P a g e

10. Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu.

Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu

garis.

Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis,

karena garisnya menyinggung lingkaran.

Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah

Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.

Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1)

dengan jari-jari 4

BAB 6 ( TEOREMA PHYTAGORAS )

1. Perhatikan ∆ADE siku-siku di E

DE2 = DB2 – AE2

164 | P a g e

= 132 – AE2

= 169 – AE2 ....................(1)

Perhatikan ∆DEB siku-siku di E

DE2 = DB2 – EB2

= 202 – EB2

= 400 – (AB – AE)2

= 400 – (21 – AE)2

= 400 – (441 – 42AE + AE2)

= -41 + 42AE – AE2 .....................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

169 – AE2 = -41 + 42AE – AE2

→ 42AE = 169 + 41

→ AE = 210/42 = 5 cm.

Substitusikan panjang AE ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh

DE2 = 169 - 52

= 169 – 25

= 144

↔ = √144 = 12

Jadi, panjang DE adalah 12 cm.

Cara 2:

= √ ( +

2 )

= √13 (13 20 + 21

2.21)

= √169 (169 400 + 441

42)

= √169 (5)

= √144 = 12

Jadi, panjang DE adalah 12 cm.

2. Misalkan titik perpotongan diagonal AC dan BD di titik N, maka: AN = ½ x AC

AN = ½ x 24 cm

AN = 12 cm

Sekarang dengan menggunakan teorema Pythagoras cari panjang BN dan DN,

yakni:

BN = √(AB2 – AN2)

BN = √(132 – 122)

BN = √(169 – 144)

165 | P a g e

BN = √25

BN = 5 cm

DN = √(AD2 – AN2)

DN = √(202 – 122)

DN = √(400 – 144)

DN = √256

DN = 16 cm

Panjang diagonal BD yakni:

BD = BN + DN

BD = 5 cm + 16 cm

BD = 21 cm

Untuk mencari luas bangun layang-layang gunakan rumus luas layang-

layang yakni:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x AC x BD

L = ½ x 24 cm x 21 cm

L = 252 cm2

Jadi, luas bangun layang-layang ABCD di atas adalah 252 cm2.

3. Misalkan kita akan mencari panjang diagonal ruang BH. Sebelum itu Anda harus

cari panjang diagonal bidang BE terlebih dahulu. Dengan menggunakan teorema

Pythagoras, maka panjang BE dan BH yakni: BD = √(AB2 + AD2)

BE= √(122 + 42)

BE = √(144 + 16)

BE = √160

BH = √(BD2 + DH2)

BH = √((√160)2 + 82)

BH = √(160 + 64)

BH = √224

BH = 4√14 cm

Jadi, diagonal ruang balok di atas adalah 4√14 cm

4. Diketahui segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO=OE dan CD = DE

166 | P a g e

untuk suatu titik C pada lingkaran. Misalkan CD = DE = x cm Sebagai ilustrasi:

C

x

1 cm A B

D ½ x O ½ x E Kemudian perhatikan ∆DOC dengan rumus phytagoras, sebagai berikut:

+ = → + (1

2 ) = 1

→ +

= 1

→

= 1

→ =

Luas ∆CDE =

. .

=

. .

=

.

=

.

=

Jadi, luas segitiga CDE adalah 2/5.

5. A

Diketahui AB = 6

AC = 10

Ditanya AD = ....?

B D C

Perhatikan segitiga siku-siku ABC

= √ = √10 6 = √100 36 = √64 = 8

167 | P a g e

Dengan menggunakan teorema garis bagi maka diperoleh

=

→

=

=

→ =

( )

→ =

. 8

→ BD = 3

Perhatikan segitiga siku-siku ABD

= √ + = √6 + 3 = √36 + 9 = √45 = 3√5

Jadi, panjang AD adalah 3√5.

6. Perhatikan ∆ABC, siku-siku di B, maka berlaku AC2 = AB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

AC = √100 = 10 m AF = 5 m dan EC = 3 m maka panjang FG = 5 – 3 = 2 m.

Segitiga EGF siku-siku di G, sehingga berlaku EF2 = EG2 + FG2

= 102 + 22 = 100 + 4 = 104

EF = √104 = 2√26

Jadi, panjang tali yang diperlukan untuk merangkai bendera adalah 2√26 m. 7. Perhatikan ∆BCD

BD2 = BC2 – CD2

= 402 – CD2

= 1600 – CD2 ....................(1)

Perhatikan ∆ADB siku-siku di D.

BD2 = AB2 – AD2

= AB2 – (AC – CD)2

= AB2 – (50 – CD)2

= AB2 – (2500 – 100CD + CD2)

= AB2 – 2500 + 100CD – CD2 ......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

1600 – CD2 = AB2 – 2500 + 100CD – CD2

↔ AB2 + 100CD = 1600 + 2500

↔ AB2 + 100CD = 4100 ......................(3)

Perhatikan ∆ABC

AB2 = AC2 – BC2

= 502 – 402

168 | P a g e

= 2500 – 1600

= 900

↔ = √900 = 30

Substitusikan panjang AB ke dalam persamaan (3), sehingga diperoleh

AB2 + 100CD = 4100

↔ 302 + 100CD = 4100

↔ 9002 + 100CD = 4100

↔ CD = 3200/100 = 32

Substitusikan panjang CD ke dalam persamaan (1), sehingga diperoleh

BD2 = BC2 – CD2

= 402 – 322

= 1600 – 1024

= 576

↔ = √576 = 24

Jadi, panjang BD adalah 24 cm.

8. Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan tinggi tiang pertama, CE meruapakan tinggi tiang kedua

dan AE merupakan panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama

dengan tiang kedua, maka panjang kawat (AE) dapat dicari dengan teorema

Pythagoras. Akan tetapi harus dicari terlebih dahulu panjang DE yakni:

DE = CE – AB

DE = 22 m – 12 m

DE = 10 m

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka panjang AE yakni:

AE = √(AD2 + DE2)

169 | P a g e

AE = √(242 + 102)

AE = √(576 + 100)

AE = √676

AE = 26 m

Jadi, panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dengan tiang kedua

adalah 26 m.

9. Perhatikan ∆PRS siku-siku di S dan <PRS = <SPR = 45°. Maka, berlaku

perbadingan SR : PS : PR

= 1 : 1 : √2. Oleh karena itu, SR = PS = 20 cm.

Maka nilai x = 20

Oleh karena

=

√ , maka PR = PS√2 = 20√2 cm,

Maka y = 20√2

Perhatikan ∆PQR siku-siku di Q dan <QRP = 60° dan <RPQ = 30°,

Maka berlaku perbandingan PQ : QR : PR = √3 : 1 : 2 ,

Karena PR = y = 20√2, maka

=

, maka QR =

=

. 20√2 = 10√2 cm

Maka w = 10√2

=√

, maka PQ = .

√3 = 20√2.

√3 = 10√6 cm

Maka z = 10√6

Jadi, diperoleh nilai x adalah 20 cm, nilai y adalah 20√2 cm, nilai z adalah 10√6

cm, dan nilai w = 10√2 cm.

10.

AB = BF = 2 cm

BD=AC=2√2 cm

=

=

. 2√2 = √2 cm

170 | P a g e

Sudut antara bidang ABCD dan bidang ACF adalah ⍺

OF2 = OB2 + BF2

= (√2) + 2

OF2 = 2 + 4

OF2 = 6

OF = √6

cos =

=√2

√6

cos = √2

√6.√2

√6=2

6√3 =

1

3√3

BAB 7 ( ARITMATIKA SOSIAL )

1. Harga pembelian = 72 × Rp. 1.500,00 = Rp. 108.000,00

Harga penjualan = (36 × Rp. 1.750,00) + ( 36 × Rp. 1000,00) = Rp. 99.000,00

Jadi, rugi = Rp. 108.000,00 – Rp. 99.000,00 = Rp. 9.000,00

2. Untung = Rp. 2.500,00 – Rp. 2.000,00 = Rp. 500,00

Untung sebagai prentase dari harga pembelian =

100% = 20%

3.

a. Rabat yang diterima

Untuk buku jenis pertama:

Harga jual = 175 × Rp. 7.500,00 = Rp. 1.312.500,00

Untuk buku jenis kedua:

Harga jual = 400 × Rp. 10,000,00 = Rp. 4.000.000,00

Rabat buku pertama = 30% × Rp. 1.312.500,00

Rabat buku kedua = 25% × Rp. 4.000.000,00

171 | P a g e

Rabat total yang diterima pemilik toko adalah:

Rp. 393.750,00 + Rp. 1.000.000,00 = Rp. 1.393.750,00

b. Uang yang harus disetorkan kepada penerbit

Tulis T = hasil penjualan total,

P = rabat yang diterima, dan

S = jumlah uang yang harus disetor ke penerbit

T = Rp. 1.312.500,00 + Rp. 4.000.000,00= Rp. 5.312.500,00

S = T – P = Rp. 5.312.500,00 – Rp. 1.393.750,00 = Rp. 3.919.750,00

Jumlah uang yang harus disetor ke penerbit Rp. 3.919.750,00

4.

a. Keuntungan yang diperoleh pengecer tersebut

Dik. B = harga beli = Rp. 160.000,00

J = harga jual = 2 × 35 × Rp. 3.000,00 = Rp. 210.000,00

U = untung

U = J - B

= Rp. 210.000,00 – Rp. 160.000,00

= Rp. 50.000,00

Berarti pengecer memperoleh keuntungan Rp. 50.000,00

b. Persentase keuntungan itu

172 | P a g e

5. Dik.

Suku bunga petahun = 8%

Suku bunga selama 9 bulan =

x 8% = 6%

Berarti, s = 6%

Uang yang dibayar = 10600000

Misalkan uang yang dipinjam adalah M

b = bunga dari pinjaman

M = ?

b = s x M

10600000 – M = 6%M

10600000 =

+M

10600000 =

M

M = 10600000 .

M =

= 10000000

Jadi, uang yang dipinjam pak Jono sebesar Rp. 10.000.000,00

6. Dik.

Suku bunga petahun = 18%

Suku bunga selama 8 bulan =

x 18% = 12%

Berarti, s = 12%

Uang tabungan setelah menabung 8 bulan = 1792000

Misalkan uang tabungan awal adalah M

b = bunga bank

M = ?

b = s x M

1792000 – M = 12%M

1792000 =

+M

1792000 =

M

M = 1792000 .

M =

= 1600000

Jadi, uang tabungan awal Lia sebesar Rp. 1.600.000,00

173 | P a g e

7. Dik.

Harga Jual = 5.100.000,00

Persentase kerugian = 15%

Berapa harga jual agar untung 8% ?

Harga Beli = harga jual + 15%.harga beli

Harga beli = 5100000 + 0,15 . harga beli

Harga beli – 0,15 Harga beli = 5100000

0,85 Harga beli = 5100000

Harga beli =

, = 6000000

Untung = Harga jual seharusnya – harga beli

8% . harga beli = Harga jual seharusnya – harga beli

Harga jual seharusnya = 6000000 + 8% . 6000000

= 6000000 + 480000

= 6480000

Jadi, agar untung 8% Mas Shinyo harus menjual Laptonya sebesar Rp.

6.480.000,00

8. M = 900000

b = 36000

s (bunga per bulan) =

(6%) =

b = s x M

36000 =

x 900000

n = .

n = 8

Jadi, Dimas telah menabung selama 8 bulan

9. Modal = Harga Beli + Transportasi

= 15 . 17500 + 35000

= 262500 + 35000 = 297500

174 | P a g e

Harga Jual = 372500

Harga Jual > Modal berarti Pak Amir mengalami Keuntungan.

Untung = Harga jual – Modal

= 372500 – 297500 = 75000

Keuntungan yang diperoleh pak Amir sebesar Rp. 75.000,00.

10. Dik. Uang Memperbaiki Mobil = 400000

Harga Jual = 21160000

Persentase keuntungan = 15%

Harga Beli = ?

Modal = Harga beli + Uang memperbaiki

= Harga beli + 400000

Untung = Harga Jual – Modal

15% . Modal = 21160000 – Modal

15%Modal + Modal = 21160000

Modal = 21160000

Modal = 18400000

Harga beli + 400000 = 18400000

Harga beli = 18400000 – 400000

= 18000000

Jadi, pemilik dealer membeli mobil seharga Rp. 18.000.000,00

BAB 8 ( PERBANDINGAN )

1. Penyelesaian:

Skala =

175 | P a g e

1 : 40.000 =

Js = 40.000 X 30

Js =1.200.000

2.

Jika kecepatanya semangkin cepat maka, waktunya akan semakin cepat. Begitu

sebaliknya. Jadi ini merupakan konsep perbandingan berbalik nilai.

Sedemikian sehingga,

=

80

1=3

2

160 = 3

=160

3

= 53,33333 ⁄

3. Perbandingan senilai

Panjang(m) Lebar(m)

26 20

25 X

26

=25

20

25 = 26.20

=520

25

= 20,8

Kecepatan (km/jam)

Waktu (Jam)

80 40 menit =

jam

X 60 menit = 1 jam

176 | P a g e

Jadi lebar yang memenuhi adalah 20,8 meter.

4. Diketahui: Jeruk : Mangga = 7 : 8

Mangga : Apel = 9 : 10

Jeruk+mangga+apel = 860

Ditanya: Jumlah buah apel dan selisih mangga dan jeruk?

Karena di perbandingan tersebut terdapat mangga yang sama, maka kita dapat

mencari KPK dari perbandingan tersebut yaitu 8dan 9 yang KPKnya 72.

Sedemikian hingga:

Jeruk : mangga : apel

7.9 : 8.9 : 10.8

63 : 72 : 80 jumlah 215

Apel =

860 = 320

Jeruk =

860 = 252

Mangga = 860 – 320 – 252 = 288 buah

Jadi, jumlah buah apel ada 320 buah dan selisish jeruk dan mangga adalah 288 –

252 = 36 buah.

5. Diketahui : Yoga : Fadil = 4 : 1

Jumlah umur fadil dan yoga = 50 tahun

Ditanya : berapa tahun lagi umur mereka menjadi 3: 1

Jawab : =

50 = 40

= 50 40 = 10

Jadi misalkan x sebagai x tahun lagib agar penyelesaiannya menjadi 3 : 1

40 +

10 + =3

1

40 + = 3(10 + )

40 + = 30 + 3

40 30 = 3

10 = 2

177 | P a g e

=10

2= 5

Jadi 5 tahun lagi perbandingan umur yoga dan fadil menjadi 3:1

6. diketahui perbandingan

1: 2 = 3 4

2: 3 = 2: 3

Jumlah siswa kelas 1 dan kelas 2 adalaha 420

1 =3

7 420 = 180

2 = 420 180 = 240

Maka siswa kelas 3 adalah

3

2 240 = 360

Jadi jumlah siswa kelas 3 ada 360 siswa.

7. penyelesaian

=

18

12 =

8

3

2=

8

p =

p = 12 meter

Jadi, panjang pesawat sesungguhnya adalah 12 meter.

8. Penyelesaian:

Luas foto = 50 X 80 = 4000

Luas foto setelah di perbesar = L foto + 20 % Lfoto

178 | P a g e

= 4000 + 20% . 4000

= 4800

= 4000

4800= 5

6

Jadi perbandingannya adalah 5 : 6

9. Penyelesaian:

Diketahui:

Banyak anak Banyak

hari

35 24

(35 + 5) X

Ditanyakan :Berapa banyak anak jika penghuni panti asuhan bertambah 5

anak?

Jawab : Banyak anak bertambah dan banyak hari berkurang, maka

menggunakan perbandingan berbalik nilai

=

⁄

⁄

35 .

/ = 40 (

)

35

= 40

24

40p = 35 x 24

40p = 840

P =

P = 21

Jadi, untuk 40 anak berasakan habis dalam waktu 21 hari

10. Penyelesaian:

Misalkan sisinya adalah A, B dan C maka

A : B : C = 3 : 4 : 5

Jika dijumlahkan perbandingannya akan menjadi

A + B + C = 3 + 4 + 5 = 12

179 | P a g e

Sekarang kita mencari konstanta (c) pengali dari perbandingan itu yaitu

c = Keliling/(A + B + C)

c = 48 cm/12

c = 4 cm

maka

sisi A = A.c = 3 . 4 cm = 12 cm

sisi B = B.c = 4 . 4 cm = 16 cm

sisi C = C.c = 5 . 4 cm = 20 cm

Jadi, panjang masing-masing sisi segitiga tersebut adalah 12 cm, 16 cm dan 20

cm.

BAB 9 ( POLA BILANGAN )

1. *) y – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x

*) y= 5x 4x = 36 → x = 9 → y = 45

U5 = 9 → a + 4b = 9

U2 = 45 → a + b = 45 -

3b = -36

b = – 12 U10 = a + 9b

a = 57 = 57 – 108 = – 51

2. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 75 a2 = 8

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75 a + b = 8

6a + 15b = 75 a = 8 – b

2a + 5b = 25

2(8 – b) + 5b = 25

16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a6 = a + 5b = 5 + 15 = 20

3. 1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

Jawab :

= 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197

= 1–3+ 12 –9+ 24 – 15+ 36 – 21+….. – 189 + 384 – 195 + 197

= 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

= 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)

= 198 + 6336 – 3267 = 3267

180 | P a g e

4. Kelompok 1 : {1} = 12 – 0

Kelompok 2 : {3,5} = 22 – 1

Kelompok 3 : {7,9,11} = 32 – 2

Kelompok 4 : {13,15,17,19} = 42 – 3

Kelompok 100 : = 1002 – 99 = 10.000 – 99 = 9.901

5. Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

(a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

a2 = (a + 9)(a – 6)

a2 = a2 + 3a – 54

3a = 54 → a = 18

Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54

6. S10 = 5(2a + 9b) U11 + U12 = 2 2a + 9b = – 22

– 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b = 2 2a + 21b = 2 -

– 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b = 24

b =2 → a = – 20

Sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38

7. a.b.c.d.e = 1.024

a.ar.ar2.ar3.ar4 = 45 karena c merupakan suku ke-3 maka

a5.r10 = 45 c = ar2 = 4

(ar2)5 = 45

ar2 = 4

8. y : x = x : 3 18 – y = y – x

x2 = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

x2 = 3(18 + x)/2

2x2 = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

2x2 – 3x – 54 =0

181 | P a g e

(2x + 9)(x – 6) = 0

x = 6 → y = 12

9. r – q = q – p r = 3p p + q + r = 12

2q = p + r p + 2p + 3p = 12

2q = p + 3p 6p = 12

2q = 4p p = 2→ q = 4 → r = 6

q = 2p

Sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

10. 2S4 = 3(U2 +U4)

2 a(r4 - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar3)

2a(r4 – 1) = 3ar(1 + r2)(r – 1)

2(r2 + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r2 +1)(r – 1) x = a + 2b = 2 + 4 = 6

2r + 2 = 3r y = a + 4b = 2 + 8 = 10

r = 2 z = a + 5b = 2 + 10 = 12

U1 U2 x U3 y z w U4 w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +

a 2a 4a 8a x + y + z + w = 42

b =2a – a

2 = a

BAB 10 ( KAIDAH PENCACAHAN )

1.

Ratusan Puluhan Satuan

3 4 3

Jadi banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah 3 x 4 x 3 = 36

2. Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O

diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya

susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:

P(9, 2, 2, 2, 2) =

. . . =

= 22680

3. Jawab:

182 | P a g e

4. Jawab:

5. Jawab:

6. 7P3 =

( ) =

= 7 × 6 × 5 = 210

7. Jawab :

183 | P a g e

8. Jawab:

9. Banyak cara dari n unsur dengan posisi melingkar merupakan permutasi siklis,

yaitu: (n-1)!

Diketahui: 10 orang yang duduk melingkar maka banyaknya cara adalah:

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880

10.

184 | P a g e

BAB 11 ( PELUANG )

1. Dik: Jumlah sampel = 9 (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)

Genap = 5

Ganjil = 4

2 buah angka yang dijumlahkan hasilnya GENAP, jika:

GENAP + GENAP = GENAP

GANJIL + GANJIL = GENAP.

Banyaknya cara munculnya angka GENAP + GENAP

= 5C2 = 5!/2!.3! = 10 cara.

Banyaknya cara munculnya angka GANJIL + GANJIL

= 4C2 = 4!/2!.2! = 6 cara.

Jadi, peluang munculnya 2 angka dengan jumlah genap adalah:

P = n(A)/n(S)

P = [5C2 + 4C2] / 9C2

P = [10 + 6] / 9C2

untuk 9C2 = 9!/2!.7!

= 9.8.7!/2.7!

= 72/2 = 36. Maka,

P = [10 + 6] / 9C2

P = [10 + 6]/36

P 16/36 = 4/9

2. Kejadian A dan B saling lepas

Maka A Bc = A

Jadi P(A Bc) = P(A) = 0,5

185 | P a g e

3. Terdapat 100 bola sehingga ruang sampel = 100

Banyak nomor yang habis dibagi 5 = 20 bola.

Banyak bola yang habis dibagi 5 sekaligus habis dibagi 3, yaitu bola yang habis

dibagi 15 adalah : 6 bola

Sehingga, banyak bola yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 3 adalah :

20 – 6 = 14 bola.

Jadi, peluangnya =

=

4. Kantong I = 5 kelereng merah, 3 kelereng putih Kantong II = 4 kelereng merah,

6 kelereng hitam .

Misalkan : A = kejadian terambilnya kelereng putih dari kantong I

P(A) = peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I

B = kejadian terambilnya keleeng hitam dari kantong II

P(B) = peluang terambilnya kelereng hitam dari kantung II

Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari

kantong II merupakan peluang kejadian saling bebas yang dapat dihitung

dengan rumus : P(A∩B) = P(A) .

P(B) Pada kantung I : n(A) = 3 n(s) = 3 + 5 = 8 P(A) = 3/8

Pada kantong II : n(B) = 6 n(s) = 6 + 4 = 10 P(B) = 6/10

Maka peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam

dari kantong II adalah : P(A∩B) = P(A) . P(B) P(A∩B) = 3/8 . 6/10 P(A∩B) =

18/80 P(A∩B) = 9/40 .

5. ( ∪ ) = ( ) + ( ) ( ∩ )

( ) =1

3

( ∪ ) = ( ) + ( ) , ( ) ( )-

3

5 =

1

3+ ( ) (

1

3 ( ))

3

5 =

1

3+ ( )

1

3 ( )

3

5 =

1

3+2

3 ( )

4

15 =

2

3 ( )

( ) =2

5

6. Diketahui peluang terpilih keduanya perempuan adalah 23/180.

Tiap kelas terdiri dari siswa perempuan dan laki-laki, peluang perempuan

terpilih merupakan kejadian saling lepas.

Pemilihan dilakukan pada dua kelas terpisa, ini merupakan kejadian saling

bebas.

186 | P a g e

Misalkan:

P(P1) = peluang terpilihnya siswa perempuan di kelas pertama;

P(P2) = peluang terpilihnya siswa perempuan di kelas kedua;

Bilangan 23 adalah bilangan prima, sehingga hanya mempunyai dua faktor

yaitu 23 dan 1.

Jadi salah satu dari P(P1) dan P(P2) mempunyai nilai 23/30.

Misalkan nilai P(P1) = 23/30

Misalkan

P(L1) = peluang terpilihnya siswa laki-laki di kelas pertama;

P(L2) = peluang terpilihnya siswa laki-laki di kelas kedua;

Jadi peluang terpilih keduanya laki-laki adalah …

catatan :

Kejadian saling lepas

Kejadian saling bebas

187 | P a g e

7. Misalkan adalah peluang kejadian Ali tepat mengenai sasaran dan

adalah peluang kejadia Ali tidak tepat mengenai sasaran. adalah peluang

kejadian Malik tepat mengenai sasaran dan adalah peluang kejadia

Malik tidak tepat mengenai sasaran.

Terdapat 2 kondisi permainan dianggap seri:

Ali tepat sasaran dan Malik tepat sasaran:

; atau

Ali tidak tepat sasaran dan Malik tidak tepat sasaran:

Jadi peluang terjadi seri (0,2925 + 0,1925) = 0,4850.

catatan :

Jika adalah peluang terjadi kejadian A, dan adalah peluang terjadi

kejadian bukan A, maka hubungan antara keduanya

Jika A dan B adalah kejadian saling bebas

8. =”Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor 3 atau 5”

mempunyai komplemen (lawan) =”Peluang bola yang terambil tidak

ada nomor 3 dan 5 nya“.

Banyaknya bola di setiap kotak 5 buah (hati-hati tidak ada bola no 4 dan 6).

Banyaknya bola yang bukan 3 atau 5 di setiap kotak ada 3 buah (2, 7, dan 8)

Jadi

catatan :

Peluang komplemen: peluang kejadian yang bukan A

9. ( ) =

( ) = 1 17

30=13

30

10.P(A): Peluang muncul bilangan 5 atau 6 sebanyak 5 kali pemunculan dari 6

kali pelemparan.

188 | P a g e

P(B): Peluang muncul bilangan 5 atau 6 sebanyak 6 kali pemunculan dari 6

kali pelemparan.

Jadi munculnya angka lebih besar atau sama dengan 5 dalam minimal 5 kali

pelemparan adalah

catatan :

11. Syarat suku banyak berderjat dua (fungsi kuadrat) tidak

mempunyai akar adalah , maka

Nilai dan berada pada selang . Misalkan dan , maka dengan

bantuan gambar bisa diperoleh banyaknya pasangan yang mungkin

diwakili oleh luas daerah (lihat gambar) dan banyaknya pasangan

yang menyebabkan suku banyak tidak mempunyai akar adalah daerah

Jadi peluang suku banyak tidak mempunyai akar adalah

catatan :

Diskriminan dari persamaan kuadrat

Sifat diskriminan

189 | P a g e

BAB 12 ( ORIENTASI DAN LOKASI )

2. 1. (4, N)

2. (5, J)

3. (12, K)

4. Tapak Tuan

190 | P a g e

5. Lhoksumawe

3. Pertanyaan ini adalah cara Erathostenes (matematikawan Yunani) di abad ke

2 SM untuk mengukur jari-jari Bumi. Dua buah tongkat (A dan B)

ditancapkan terpisah di tanah pada jarak14 km dengan posisi bintang G tepat

di zenith tongkatA (tidak ada

Bayangan tongkat A). Perhatikan gambar di bawah ini :

Dengan gambar tersebut, maka mencari jari-jari planet X tidak begitu sulit.

Manfaatkan perbandingan sudut dengan seluruh lingkaran berikut :

191 | P a g e

4. Titik C = (1,1)

5. a. Dari titik (10, –5) diperolehabsis: 10, ordinat: –5

b. Dari titik (2, 8) diperolehabsis: 2, ordinat: 8

c. Dari titik (–7, –3) diperolehabsis:–7, ordinat: –3

d. Dari titik (6, 1) diperolehabsis: 6, ordinat: 1

e. Dari titik (–4, 9) diperolehabsis:–4, ordinat: 9

6. a. Langkah pertama adalahmenentukan nilai x dan y yang memenuhi

persamaan x + y = 4.

Misalkan: x = 0 maka 0 + y = 4 y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat

(0, 4),

x = 3 maka 3 + y = 4 y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3, 1).

Kemudian, dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus

seperti berikut.

b. Seperti sebelumnya, tentukan dahulu nilai x atau y yang memenuh

ipersamaan x = 2y. Misalkan: x = 0 maka 0 = 2y y = 0, sehingga diperoleh

titik koordinat (0, 0), x = 4 maka 4 = 2y y = 2, sehingga diperoleh titik

192 | P a g e

koordinat (4, 2). Kedua titik tersebut dapat digambarmenjadi sebuah garis

lurus sebagai berikut.

7. Perlu diingat bahwa sudut yang dibentuk dalam soal tersebut dihitung dari

arah utara. Jadi 044° dari arah utara dan 104° dari arah utara juga. (INGAT

:jurusan tiga angka).

Panjang AB = 50km dan panjang BC = 40km.

Kemudian kita penyelesaian soal ini menggunakan aturan kosinus dengan

sudut apit yang dibentuk atau ABC adalah 120°(maaf belum bias bikin

gambarnya)

AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos ACB

= 502 + 402 – 2(50)(40)cos 1200

= 2500 + 1600 – 4000( )

= 4100 + 2000

= 6100

= 61 x 100

AC = 10

8. Koordinat awal adalah (3,4) sedangkan koordinat akhir adalah (6,8), untuk

menentukan jarak yang ditempuh pesawat tersebut dapat menggunakan

rumus :

Jarak =

Maka untuk menentukan jarak sebagai berikut :

- Koordinat awal (3,4), maka x1 = 3 dan y1 = 4

- Koordinat akhir (6,8), maka x21 = 6 dan y2 = 8

Makajarak yang ditempuh pesawat adalah =

=

=

= 5

193 | P a g e

9. Dalam kasus soal ini kita akan memanfaatkan aturan kosinus Rumus aturan

kosinus adalah kuadrat sisi depan sudut = jumlah kuadrat sisi yang

mengapit sudut dikurangi 2 cos sudut apit.

AB2 = CA2 + CB2 – 2(CA)(CB)cos ACB

= (2p )2 + (p)2 – 2(2p )(p)cos 450

= 8p2 + p2 – (4p2 )( )

= 9p2 – (4p2 )( )

= 9p2 – 4p2

= 5p2

AB = p

10. Mengingat arah mata angin maka arah timur membentuk sudut 0900 dari

arah utara. Dengan memperhatikan soal sebelumnya maka sudut apit yang

dibentuk adalah 120°.

Misal titik awalnya adalah A dan panjang lintasan kearah timur adalah AB =

30km dan panjang lintasan selanjutnya adalah BC = 60km.

AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos ACB

= 302 + 602 – 2(30)(60)cos 1200

= 900 + 3600 – 3600( )

= 4500 + 1800

= 6300

= 7 x 9 x 100

AC = 30

194 | P a g e

DAFTAR PUSTAKA

Kuncoro, Herna. 2009. Logika Matematika.http://hernakuncoro.blogspot.co.id/

2009/03/Logika-matematika.html.Diakses pada 16 April 2016

Kurniadi, Ahmad. 2014. Logika Matematika.http://www.ahmadkurniadi.com/2014/

01/logika-matematika.html. Diakses pada15 April 2016

Akhmadinn, Johan. 2015. Pembaasan Soal Logika Mamatematika. http://www.johan

akhmadin.web.id/2015/02/pembahasan-soal-logika-matematika.html. Diakses

pada 13 April 2016

Aria, Erlangga.2013.HIMPUNAN.http://www.academia.edu/8678948/KUMPULAN_

SOAL_TENTANG_HIMPUNAN. Diakses pada tanggal 24 Februari 2016.

RumusMatematika.2014.Pengertian Himpunan, Notasi dan Anggota Himpunan.http://

www.rumusmatematika.net/himpunan.html. Diakses pada tanggal 25 Februari

2016.

Sujatmiko, Ponco.2005.MATEMATIKA KREATIF Konsep dan Terapannya.Solo : Tiga

Serangkai.

Wikipedia.2015.Himpunan(matematika).https//id.m.wikipedia.org/wiki/Himpunan_

(matematika).Diakses pada tanggal 25 Februari 2016.

Hariyanto, Bambang.2012. materi fungsi kuadrat.

http://pendidikanberkualitasbaik.blogspot.co.id/2012/02/materi-fungsi-

kuadrat.html. diakses pada 18 April 2016.

Intifada, Faiz.2014. fungsi kuadrat. http://faizintifada.blogspot.co.id/2014/10/fungsi-

kuadrat.html. diakses pada 18 April 2016.

Putri, Nacvitaribna Alcviabna. Fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari. http://k-u-

mat.blogspot.co.id/p/fungsi-kuadrat-dalam-kehidupan-sehari.html. diakses pada

18 April 2016.

Rahim, Abdur.2012. pembahasan soal persamaan dan fungsi kuadrat un sma 2.

https://aimprof08.wordpress.com/2012/11/16/pembahasan-soal-persamaan-

dan-fungsi-kuadrat-un-sma-2/. diakses pada 18 April 2016.

195 | P a g e

Utomo, Galih.2011. grafik persamaan fungsi kuadrat.

http://mediabelajaronline.blogspot.co.id/2011/10/grafik-persamaan-fungsi-

kuadrat.html. diakses pada 18 April 2016.

Direktorat Jendral Pajak Kementrian Keuangan. 2012. “Perhitungan Pajak”.

http://www.pajak.go.id/content/penghitungan-pajak, diakses pada 17 April 2012.

Marsigit, 2009. Matematika SMP Kelas VII. Jakarta: Yudhistira

Muhammad, Arya. 2014. “Rabat, Bruto, Tara dan Neto”.

http://www.slideshare.net/AryaMuhammad/rabat-bruto-tara-netto, diakses pada

19 Maret 2014.

Opan, 2010. Perbandingan Trigonometri. http://uyuhan.com/perbandingan-

trigonometri.php.

Diakses pada 4 Maret 2016.

Wordpress. 2014. “Modul SMP Kelas 7 Aritmatika Sosial”.

https://made82math.files.wordpress.com/2014/01/modul-kelas-7- aritmatika-

sosial.pdf, diakses pada Januari 2014.

Adhi, PrasetyaNugroho. 2013. Big Bank Soal + BahasMatematika SMA/MA Kelas 1, 2, &

3.Jakarta :Wahyu Media.

Adinawan , Cholik.Seribu Pena Matematika Kelas IX SMP.2006.Jakarta :Erlangga

Dayati,Wahyu. Kejadian dan Peluang suatu kejadian.https://www.google.co.id

/?gws_rd=cr,ssl&ei=nTYWV6z6JMzJuASZ_LagCQ#q=6+kejadian+dan+pelu

ang+ppt. Diakses pada 02 april 2016.

Gunarto,Dedy.2013.KaidahPencacahanhttp://perpustakaancyber.blogspot.co.id/2013/

04/pengertian-kaidah-pencacahan-aturan-perkalian-faktorial-contoh-soal-jawab

an-rumus-peluang-matematika.html. Diakses pada 24 April 2013.

Kurniawan.Matematika SMP Kelas IX.2006. Jakarta : Erlangga

Septiari, Niwayan. “Pola dan Barisan Bilangan”.2013 https://

niwayanseptiari.wordpress.combilangan. Diakses pada tanggal 26 Februari 2016

Wikipedia .“Tokoh Penemu Pola dan Barisan Bilangan” .2016.https://id.wikipedia.org

/wiki/LeonardodaPisa. Diakses pada tanggal 3 Maret 2016.