Deformaciones en la FlexiónDiagrama de Momentos Reducidos

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Consideremos una viga sometida a flexión, empotrada en un extremo y libre en el otro:

IntroducciónBajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta una determinada curvatura La fibra más alejada experimenta un alargamiento total: d1de los triángulos semejantes OCE y OC’E’ se deduce que:

vddv

ECCE

1

1''

Conforme a la Ley de Hooke:

vEE max

que debe igualar a: (tensión normal en flexión)vJM

max

de donde:JE

M

1

Tomando sobre la elástica dos puntos a y b. Las normales trazadas por estos puntos se

cortan en C, verificándose:

y por ser un ángulo pequeño será:

Introducción

JEM

dsddds

1

1

1

2

2

dzdy

dzd

dzdytg

ydzddzds

JEM

dzyd

JEM

dzyd

dzd

2

2

2

21

Radio de Curvatura

como para valores crecientes de z corresponden valores decrecientes de habrá que afectar la expresión anterior con un signo menos (-), así:

Es de nuestro interés calcular la flecha y la rotación relativa de una sección dada, para

ello, procedemos como sigue:

Consideremos una porción de línea elástica comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B.

C

A

B

A1 B1

Supongamos que el diagrama entre los puntos A1 y B1 es el diagrama de momentos flectores dividido por E.J (cambio la escala del diagrama)

M/(E.J)

Las tangentes a la línea elástica en los puntos extremos, (AB’ y A’B), forman entre si un ángulo que suponemos pequeño.

A’B’

Consideramos dos secciones muy próximas, separadas entre si ds dz. Ambas presentan un giro relativo d.

dz

ds

d

d

línea elástica

Diagrama de momentos reducidos

La rotación relativa de una sección dada, la calculamos como sigue:

C

A

B

A1 B1

M/(E.J)

A’B’dz

ds

d

d

El área sombrada será:

B

Adz

JEM

JEM

dzd

dsd

El resultado de la integral dada por esta ecuación no es sino el área del diagrama de momentos reducidos.

TEOREMA I: “El ángulo comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.”

La flecha de una sección dada, la calculamos como sigue. Observemos el segmento BB’:

C

A

B

A1 B1

M/(E.J)

A’B’dz

ds

d

d

dfdz

Podemos apreciar que cada segmento ds de la elástica contribuye a la longitud f en una cantidad:

f

df

z

integrando estas distancias podemos obtener el valor de f:

B

A

B

Adzz

JEMdzf

Momento estático con respecto a B del área del diagrama de momentos reducidosTEOREMA II: “Dado dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B respecto a la tangente en A es igual al momento estático con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.”

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias