MOVIMIENTO ARMÓNICO

SIMPLEM.A.S.

Oscilaciones

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Para que un movimiento sea armónico

simple deben existir dos condiciones:Que el movimiento sea oscilatorioQue exista una fuerza de restitución

Un movimiento es oscilatorio si resulta ser periódico es decir se repite a sí mismo.

EJEMPLOS DE M.A.S. Sistema masa resorte

Péndulo

Émbolo o pistón

COMPRENDER UN M.A.S Para visualizar en forma matemática el

fenómeno relacionado con un movimiento oscilatorio debemos encontrar una función periódica que pueda representar ese M.A.S.

FUNCIÓN QUE DESCRIBE UN M.A.S.

Donde A, ω y φ son constantes y para comprender mejor su significado conviene graficar la función x(t).

PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN A se le denomina amplitud del

movimiento, es simplemente el máximo o mínimo desplazamiento de la partícula u objeto.

ωt + φ es la fase del movimiento y esta integrado por ω y φ donde ω se le conoce como frecuencia angular y φ se le denomina constante de fase.

En la ecuación están impresas los parámetros de periodo y frecuencia.¿Cómo se definen?

FRECUENCIA Y PERIODO Durante un ciclo completo del

movimiento (periodo T), la fase aumenta en 2π. Al final del ciclo el objeto tiene la misma posición y velocidad que tenía cuando inicio el ciclo.

Cos(ωt + φ + 2π) = Cos(ωt + φ) Por tanto

ω(t+T)+ φ = ωt + φ + 2π

ωT= 2π

y T= 1/f entonces ω= 2πf

DERIVANDO LA FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA EN M.A.S. ACTIVIDAD 3 Dibuja una función coseno con

constante de fase cero, que representa la posición de la partícula que oscila.

Deriva la función de posición con respecto al tiempo.¿Qué obtenemos?Grafícala debajo de la primer función.

Deriva la función de velocidad con respecto al tiempo.¿Qué obtenemos?Grafícala debajo de la segunda función.

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN De los cálculos diferenciales anteriores

podemos obtener que:

vmax = ωA

amax = ω2A

CONSTANTE DE FASE Y AMPLITUD Estos dos parámetros dependen

únicamente de las condiciones iniciales del movimiento, suponiendo que en t=0 x=x0 y v= v0 demostrar:

tan φ = - v0/(ωx0)

y que

A= √x02 + (v0/ω)2

MASA SUJETE A RESORTEACTIVIDAD 4 Tomando en cuenta los conceptos vistos

anteriormente encuentra la frecuencia y el periodo para un sistema masa-resorte toma en cuenta lo siguiente:Ley de Hooke

F = -kx2da. Ley de Newton

F= ma

ENERGÍA DE UN M.A.S. PARTIENDO DE UN SISTEMA MASA-RESORTE ACTIVIDAD, considerando cero fricción

(un sistema ideal) plantea la energía cinética y potencial de un sistema masa-resorte que experimenta un M.A.S. recuerda que:EC=(mv2)/2EP=(kx2)/2

GRÁFICA DE COMPORTAMIENTO DE LA EC Y LA EP EN UN M.A.S.

PÉNDULO SIMPLE

PÉNDULO SIMPLE La fuerza tangencial provocada por el

campo gravitatorio es la fuerza de restitución en este sistema.

Ft = -mg senθ= m(d2s/dt2)

consideraciones:

S=Lθsenθ= θ cuando θ es pequeño

Tenemos

(d2θ/dt2) = - g θ/Lω2 = g/L

Considerando que θ es el desplazamiento x

OSCILACIONES AMORTIGUADAS En el mundo real un objeto o partícula

no puede oscilar en forma permanente en el tiempo. La fuerza de restitución se ve afectada por distintos tipos de fuerzas disipativas como puede ser la fuerza de fricción o la fuerza de retardo.

La fuerza de retardo es la que se presenta cuando un cuerpo se mueve con velocidad v en una masa de gas o aire.

R = -bv

OSCILACIONES AMORTIGUADAS Un sistema real que presenta una

oscilación amortiguada estaría expresado de la siguiente manera:

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden y su solución esta dada por:

y

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

TIPOS DE AMORTIGUAMIENTO

a) Bajo amortiguadob) Críticamente amortiguadoc) Sobre amortiguado

OSCILACIONES FORZADAS En algunos casos se requiere de

mantener la oscilación en un sistema, como puede ser en los casos de dispositivos electrónicos que requieren de un oscilador para operar su circuitería. En tal caso el sistema estaría definido por:

F0 es una fuerza externa que oscila armónicamente

con la frecuencia del sistema

EJEMPLOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS