Movimiento Unidimensional (Cinemática)

Universidad Autónoma de Zacatecas

Unidad Académica PreparatoriaMaterial Didáctico

CinemáticaUnidimensional

YBidimensional

Curso de Física IBloque II: Identifica las diferencias entre los diferentes tipos de movimiento que existen en la Naturaleza

Unidad de Trabajo 4: Movimiento en una DimensiónObjetivo de Unidad:Identificara los conceptos cinemáticas, como la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, mediante la observación de las características de los patrones de movimiento.

4.1.- Introducción (Cinemática, Modelo de Partícula)4.2.- Conceptos cinemáticos

Sistema de ReferenciaTrayectoriaPosición, Distancia y DesplazamientoVelocidad y RapidezAceleración

4.3- Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)Gráficas x-t, v-t,

4.4.-Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado o Acelerado (M.R.U.V.) Gráficas v-t, a-tEcuaciones del MRUVCaída Libre

sm

fx

ix

ix

fx

4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento, Concepto de partícula)

sm

fx

ix

ix

fx

1) Si lanzamos una mirada a nuestro alrededor, nos percataremos de que vivimos en un mundo en constante movimiento.

2) http://wwwmisguiasdematematicas.blogspot.mx/p/5-caida-libre.html


sm

fx

ix

ix

fx

La Mecánica es la rama de la física clásica que estudia el movimiento y el equilibrio (reposo) de los cuerpos sólidos y fluidos. La mecánica se divide en Cinemática, Dinámica y Estática

Los conceptos de movimiento y reposo tienen un carácter relativo, es decir, que requieren de un sistema de referencia. “Un mismo objeto puede estar en movimiento respecto a un segundo objeto y a la vez en reposo respecto a un tercer objeto”


sm

En física se dice que un cuerpo esta en movimiento con respecto a otro cuando su posición respecto a este cuerpo cambia con el transcurso del tiempo.

Pero si la posición de un cuerpo con respecto a otro no cambia al transcurrir el tiempo decimos que ese cuerpo se encuentra en reposo


sm

La Cinemática es una de las ramas de la mecánica, que estudia las diferentes clases de movimiento (translacional, rotacional y vibracional), sin atender las causas que lo producen.

Concepto de Partícula:En el estudio del movimiento de un cuerpo puede ser variado y complejo, por las dimensiones o por su manera de moverse, para evitar estas complicaciones se considera a los cuerpos como partículas. Una partícula es un cuerpo de dimensiones muy pequeñas, se podría considerar un punto en el espacio.

Cinemática Unidimensional y Bidimensional

4.2. Conceptos de la Cinemática1 ) Un Sistema de Referencia: es cualquier cuerpo (objeto) o punto que se seleccione para describir la posición o el movimiento de otros cuerpos. Se recomienda el plano de coordenadas cartesianas por su facilidad.En un sistema de referencia se recomienda que los ejes positivos se orienten en la dirección del movimiento del objeto.


4.2. Conceptos de la Cinemática2 ) El concepto de Trayectoria.- es la línea que describe un objeto

durante su movimiento.

sm


4.2. Conceptos de la Cinemática3 ) La Posición de un objeto - Para definir la posición de un objeto o

partícula, se elige un sistema de coordenadas cartesianas, de tal modo que uno de sus ejes coincida con la trayectoria del objeto; así la posición inicial (Xi ó X0) de éste queda definida por la distancia que existe entre el objeto y el Origen. La mayoría de las veces la posición inicial del objeto coincide con el origen del sistema de coordenadas.


4.2. Conceptos de la Cinemática4) La distancia (d).- Es una magnitud escalar, y se define como la medida

(en unidades de longitud) de la trayectoria.

sm

)1(...321 nTotal ddddd


4.2. Conceptos de la Cinemática

sm

5) El desplazamiento ( Δx ).- Nos indica el cambio de posición que sufre un objeto, surge de la unión (mediante una flecha) de la posición inicial ( X i )a la posición final (Xf). Es una magnitud vectorial y sus unidades son de longitud, se representa por medio de un vector. Matemáticamente se representa:

http://www.educaplus.org/play-292-Distancia-y-desplazamiento.html

)2()( if xxx


4.3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)Es una de los movimientos mas simples, este movimiento se presenta cuando un objeto que viaja en trayectoria recta, mantiene su velocidad constante.

Características de un móvil con este tipo de movimiento MRU:1) Su velocidad es constante; Indica que si el valor de la velocidad de un móvil es de 80km/h, durante todo el recorrido tendrá esta valor sin cambiar.

2) El objeto o móvil en movimiento, recorre distancias iguales en tiempos iguales; si un móvil recorre 90 km en una hora, recorrerá otros 90 km en la siguiente hora.

3) La velocidad y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. Hacia donde se dirige el móvil, se dirige su velocidad.

4) La magnitud del desplazamiento, no siempre coincide con la distancia recorrida.

5) La magnitud de la velocidad no siempre coincide con la rapidez.

xi xf

dT


M.R.U. Conceptos de la Cinemática6) La velocidad ( v ).- Cuando se habla de velocidad se refiere a la

rapidez del cuerpo, su dirección y el sentido en que se mueve. La velocidad se define como el desplazamiento o el cambio de posición (Δx) que experimenta un cuerpo en función del tiempo (Δt), además es una magnitud vectorial. Sus unidades en el S.I. son: Matemáticamente se expresa:

sm

)3(

if

if

tt

xx

tx

v

Donde:v es la velocidad en (m/s)Δx (xf – xi) es el desplazamiento e ó el cambio de posición (m)Δt (tf – fi) es el cambio en el r r tiempo (s)

sm

tx

v

vv> 0

v

< 0

= 0

0

x

tX vs t


M.R.U. Conceptos de la Cinemática6.1) La velocidad ( v ).-En una grafica posición-tiempo (X - t), mediante el uso de la ecuación de la

pendiente de una línea recta, es posible obtener el modulo y dirección de este vector de velocidad. Sus unidades en el S.I. son (m/s).α ˃ ˂Φ

1. Cuando la línea tangente forma un ángulo (Φ) menor a 90°, entonces v > 0 , es decir positiva

2. Cuando la línea tangente tiene un ángulo mayor de 90° y menor de 180°, entonces v < 0 , es decir negativa.

3. Cuando la línea tangente es horizontal, es decir, que no tiene inclinación, entonces,

Estas consideraciones establecen la Dirección y Sentido del vector velocidad

fx ix>

<fx ixfx

v = 0


M.R.U. Conceptos de la Cinemática7) La velocidad media ( vm ).-Es importante mencionar que la velocidad media se presenta cuando en un

intervalo de tiempo, la velocidad varía. Por tanto, ésta se obtiene dividiendo el módulo del desplazamiento ( Δx ) entre el tiempo empleado en lograrlo.

sm

)4(

if

if

m tt

xx

t

xv

)5(2

fip

vvv


M.R.U. Conceptos de la Cinemática8) La rapidez (v).- Es el modulo o magnitud del vector velocidad, se define

como la distancia total recorrida por el móvil, dividida por el tiempo empleado en recorrerla. Sus unidades en el (S.I.) son m/s y matemáticamente se expresa:

sm

)6(td

v

Donde: v es la rapidez (m/s)d es la distancia total recorrida por el móvil (m)t es el tiempo empleado para recorrer la distancia (s)

sm

td

v

Ejemplo: Con los datos del desplazamiento de un móvil en función del tiempo, se obtuvo la siguiente gráfica de (X vs t)

A0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

1020304050

-10-20-30

x(cm)

B

C

D E

F

GX vs t

4.3.1 M.R.U. Graficas (X vs t) y (V vs t)

http://www.educaplus.org/play-125-MRU-Gr%C3%A1fica-e-t.html

Movimiento con velocidad media y velocidad contante

Para comprender estas situaciones en donde se presentan varias velocidades, resolvemos el siguiente modelo ilustrativo:

A0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t(s)

10

20

30

40

50

-10

-20

-30

x(cm)

B

C

D E

F

G

X vs t

Análisis del gráfico (X vs t)

1. En x = 0, t = 0 inicia el movimiento2. Entre t=0 y t=2s la velocidad es variable, por lo

que debemos obtener su velocidad media en ese intervalo, es decir:

3. En el intervalo de t=2s a t=5s, la velocidad permanece constante ya que la línea es recta. Por tanto, obtenemos la pendiente para obtener la velocidad, es decir:

4. En el intervalo de t=5s a t=6s, la pendiente es hacia abajo y obtenemos la velocidad para ese intervalo, es decir, el objeto se regreso:

sm

ssmm

ttt

xv

if

if

m

xx10

02020

20

sm

sm

ssmm

ttxx

vif

if 10330

25)20(50

52

sm

sm

ssmm

ttxx

vif

if 20120

56)50(30

65

4.3.1 (M.R.U.) Graficas (X vs t)

A-B

B-C

C-D

xi

xf

tfti

Continuación del ejemplo…5. En el intervalo de t=6s a t=8s el móvil permanece en

reposo, es decir, no existe pendiente en la línea recta y es por esto que es horizontal. Por consiguiente, aplicamos la ecuación de la pendiente y resulta que:

6. En el intervalo de t=8s a t=10s, el móvil regresa al origen con cierta velocidad que obtenemos con la aplicación de la ecuación de la pendiente y resulta:

7. En el intervalo de t=10s a t=12s, el móvil registra la velocidad que se obtiene con la ecuación de la pendiente en los siguientes términos:

sm

sm

ssmm

ttxx

vif

if 020

68)30(30

86

sm

sm

ssmm

ttxx

vif

if 15230

810)30(0

108

sm

sm

ssmm

ttxx

vif

if 10220

1012020

1210

4.3.1. (M.R.U.) Grafica (X vs t)

D-E

E-F

F-G

Movimiento con velocidad media y velocidad contante

xi-xf

tfti

Continuación del ejemplo…

Intervalo de tiempo en (s) Velocidad en (m/s)

A-B 0-2

B-C 2-5

C-D 5-6

D-E 6-8

E-F 8-10

F-G 10-12

10

10

-20

0

-15

-10

4.3.1 (M.R.U.) Grafica (X vs t)8. El desplazamiento del móvil en todo el

movimiento es de -20 cm a la izquierda.

9. La rapidez del móvil del recorrido total.

10.La velocidad media del móvil del recorrido total

11.Con la información de las velocidades obtenida planteamos la siguiente tabla que nos permitirá construir un gráfico de V vs t

xi

xf

mmmxxx if 0.2000.00.20

sm

sm

ss

mm

tt

xx

t

xv

if

if

m 67.10.120.20

00.00.12

00.00.20

smv

smmmmm

v

tddddd

td

v T

0.10

0.120.200.300.200.300.20

54321

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

V(cm/s)

10

-15

-10

-20

A

AA A

1

23 4

V vs t

A1

A2A3

A4

Vcte

Vcte

Vcte

Vcte

V=0

- La suma algebraica de las áreas A1, A2, A3 y A4 representan el desplazamiento, es decir:

mmmmmx

entodesplazamixAxAxAxAAtotal20)20()30()20(50

)()()()( 44332211

Obtenemos el área (A1) que representa un desplazamiento positivo. Aplicamos la ecuación del área de un rectángulo, sólo que adecuamos los datos :

11 50510 xmssm

tvhbA

Obtenemos el área (A2), (A3) y (A4) que representa un desplazamientos negativos(el objeto va hacia la izquierda o se regreso). Aplicamos la ecuación del área de un rectángulo, sólo que adecuamos los datos :

22 20120 xmssm

tvhbA

33 30215 xmssm

tvhbA

44 20210 xmssm

tvhbA

Analizamos el gráfico V vs t y resulta:

Intervalo de tiempo en (s) Velocidad en (m/s)

A-B 0-2

B-C 2-5

C-D 5-6

D-E 6-8

E-F 8-10

F-G 10-12

10

10

-20

0

-15-10

4.3.1. (M.R.U.) Grafica (V vs t)http://www.educaplus.org/play-126-MRU-Gr%C3%A1fica-v-t.html

4.3.2. Ecuaciones del M. R. U.Movimientos a velocidad contante

10. Con la información de las aceleraciones obtenida, planteamos la siguiente tabla que nos permitirá construir un gráfico de a vs t

x

t

x vs t

La pendiente de la línearecta, representa a la

velocidad delMovimiento.

td

v

tt

xx

t

xv

tt

xx

tx

v

xxx

T

if

if

if

if

if

xf

xi

tf tf

V vs t

v

Línea rectaque representa a la

velocidad constante

Área = Desplazamientotvxx

xA

if

TT

ftit

v (m/s)

t (s)

4.3.2. Ecuaciones del M. R. U.Movimientos a velocidad contante

Ejemplo conceptual:

Un atleta nada la distancia de 50.0 m en una piscina en 20.0 s y recorre la misma distancia de regreso hasta la posición de salida en 22.0 s. Determine: a) su distancia total recorrida, b) su velocidad media en la primera mitad del recorrido, c) la velocidad media en la segunda mitad del recorrido, d) la velocidad y la rapidez media en todo el recorrido e) el desplazamiento total.

SoluciónEjemplo conceptual:

Datos Formula (s) Sustitución (es) Operación (es) Resultado (s)

xi = 0.00 mti = 0.00 s

xΔ 1 = 50.0 mt1 = 20.0 s

xΔ 2 = 50.0 mt2 = 22.0 sxf = 0.00 mtf = 42.0 sa) dT = ?b) Vm1 = ?c) Vm2 = ?d) VmT = ?e) v = ?f) Δx = ?

Para el a) la ec. 1

Para el b) ,c) y d) la ec. 4.

Para el e) la ec. 6

Para el f) la ec 2

Para el a)

Para el b), c) y d)

Para e) y f)

a) La distancia total recorrida por el nadador fueron 100m…

b) La velocidad media del nadador en el recorrido de ida fueron 2.50 metros por cada segundo transcurrido.c) La velocidad media del nadador en el recorrido de regreso fueron 2.27 metros por cada segundo transcurrido…d) La velocidad media del nadador en el recorrido de ida y de regreso fueron 0.00 metros por cada segundo transcurrido.e) La rapidez del nadador en todo el recorrido es de 2.38 metros por cada segundo transcurridof) El desplazamiento o cambio de posición que tubo el nadador fue 0.00m ya que termino donde comenzó

nT dddd ...21

if

if

m tt

xx

t

xv

td

v

)( if xxx

mmdT 0.500.50

s

mmvm 00.00.20

00.00.501

s

mmvm 00.00.22

00.00.502

s

mmvmT 00.00.42

00.000.0

sm

v0.42

100

)00.000.0( mmx

mmmdT 1000.500.50

sm

sm

vm 50.20.200.50

1

sm

sm

vm 27.20.220.50

1

sm

sm

vm 00.00.4200.0

1

sm

sm

v 38.20.42

100

mmmx 00.0)00.000.0(


4.4. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ó Acelerado. (M.R.U.V.)

En este tipo de movimiento se presenta cuando el objeto se mueve en trayectoria recta pero la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye, (la velocidad deja de ser constante), los cambios de la magnitud de la velocidad son los mismos para intervalos de tiempo iguales, a esto se le llama una aceleración constante Δ.

if

if

tt

vva

tv


M.R.U.V Conceptos Cinemáticos9) La aceleración ( a ).- Es la razón del cambio de la velocidad con respecto

al tiempo, la aceleración al ser una razón de cambio, es una medida de que tan aprisa o lento cambia la velocidad de un cuerpo en un determinado tiempo. Es una magnitud vectorial, que tiene la misma dirección que su velocidad, y dirigida en el mismo sentido sí acelera, pero dirigida en sentido contrario si desacelera o frena. Sus unidades en el S.I. son (m/s2). Su expresión matemática es:

)7(

t

vva

if

tv

Donde:a es la aceleración en (m/s2)Δv es el cambio de la velocidad que sufre el cuerpo (m/s)Δt es el cambio en el tiempo (s)

2

1

1sm

ssm

ssm

tv

a

frenado

acelerado


M.R.U.V. Conceptos Cinemáticos9.1) La aceleración ( a ).- En una grafica velocidad-tiempo (V - t), mediante el

uso de la ecuación de la pendiente de una línea recta, es posible obtener el modulo y dirección de este vector de aceleración. Sus unidades en el S.I. son (m/s2)

fv

iva

a> 0

a

< 0

= 0

0

V

tV vs t

iv

iv fvfv

- Cuando la línea tangente forma un ángulo ( Φ ) menor a 90°, entonces a > 0 , es decir positiva

- Cuando la línea tangente tiene un ángulo ( Φ )

mayor de 90° y menor de 180°, entonces a < 0 , es decir negativa.

- Cuando la línea tangente es horizontal, es decir, que no tiene inclinación, entonces,

a = 0

Estas consideraciones establecen la Dirección y Sentidodel vector aceleración

>iv fv>

iv fv

10) La velocidad instantánea es la que registra un objeto en movimiento en un instante dado, es decir:

El módulo o magnitud de la velocidad instantánea es la que registra el instrumento conocido como velocímetro, que realmente debiera nominarse como rapidímetro ya que mide la rapidez del objeto en movimiento en cada instante.

11)El concepto de aceleración en un instante dado se obtiene con la expresión siguiente:

dtdx

txx

tx

v if

ttinst

00limlim

2

2

00limlim

dtxd

dtvd

tvv

tv

a if

ttinst


M.R.U. Conceptos de la Cinemática

Ejemplo: Con los datos de los cambios de velocidad de un móvil en función del tiempo, se obtuvo la siguiente gráfica de V vs t

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

V(m/s)B

C D

E

F

V vs t

4.4.1. (M.R.U.V.) Graficas (V vs t) (a vs t)

13

http://www.educaplus.org/play-124-MRUA-Gr%C3%A1fica-v-t.html

Movimiento con velocidad variable, aceleración constante

Para comprender estas situaciones en donde se presenta el cambio de velocidades, resolvemos el siguiente modelo ilustrativo:

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

V(m/s)B

C D

E

F

V vs t

Análisis del gráfico V vs t

1. En v = 5m/s y t = 0s, inicia el movimiento2. Entre t = 0 y t = 5s la velocidad cambia, por lo

que debemos aplicar la ec. de la aceleración en ese intervalo de tiempo, es decir:

3. En el intervalo de t = 5s a t = 7s, aplicamos la ecuación para obtener la aceleración para ese intervalo, la pendiente es hacia abajo, es decir, desacelera:

(el signo negativo quiere decir que esta desacelerando (frenando)

250

50

00.400.5

0.20

00.000.5

)00.5(0.25

sm

ss

ma

sss

ms

m

ttvv

tv

aif

if

275

75

00.500.2

0.10

00.500.7

)0.25(0.15

sm

ss

ma

sss

ms

m

ttivv

aif

f

4.4.1 (M.R.U.V.) Grafica (V vs t)

13

A-B

B-C

vi

vf

tfti


A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

V(m/s)B

C D

E

F

V vs t

Análisis del gráfico V vs t 4. En el intervalo de t = 7s a t = 9s, la velocidad

permanece constante ya que la línea es recta. Por lo tanto:

5. En el intervalo de t = 9s a t = 11, la pendiente es hacia abajo, el objeto va frenando. Por lo tanto:

6. En el intervalo de t = 11s a t = 13s, la pendiente es hacia abajo pero del nivel de origen, quiere decir, que el objeto se regreso y va acelerando, solo que se dirige a la izquierda

297

97

00.02

00.0

00.700.9

)0.15(0.15

sm

ss

ma

sss

ms

m

ttivv

aif

f

4.4.1. (M.R.U.V.) Grafica (V vs t)

13

ti

vi- vf

Continuación de ejemplo

C-D

2119

119

50.72

0.15

00.700.9

)0.15(00.0

sm

ss

ma

sss

ms

m

ttivv

aif

f

tf

D-E

21311

1311

0.50.2

10

1113

0.010

sm

ss

ma

sss

ms

m

ttivv

aif

f

E-F


Continuación de ejemplo:

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

V(m/s)B

C D

E

F

V vs t

7. Analizamos las áreas bajo el grafico, que representan desplazamientos positivos, visualizando rectángulos y triángulos, para su facilidad. Obtenemos:

8. El área bajo el grafico esta por debajo de la línea del origen, quiere decir que se regreso, por lo tanto representa un desplazamiento negativo.

9.

mms

msA

mms

msA

mms

msvthbA

msmsvtA

msmsvthbA

15230

2

)15)(0.2(

10220

2

)10)(0.2(

502

1002

)20)(0.5(

22

60)15)(0.4(

25)0.5)(0.5(

5

3

2

4

1

mms

msvthbA 10

2

20

2

)10)(0.2(

226

4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (V vs t)

13

vi

vf

- La suma algebraica de las áreas A1, A2, A3, A4, A5 y A6 representan el desplazamiento total, es decir:

A1

A2

A3

A4A5

A6

mmmmmmmx

entodesplazamixAAAAAAAreas

90)10(1560105025654321



A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

V(m/s)B

C D

E

F

V vs t

10. Con la información de las aceleraciones obtenida, planteamos la siguiente tabla que nos permitirá construir un gráfico de a vs t

4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (V vs t)

13

Intervalo de tiempo en (s) aceleración en (m/s2)

A-B 0-5

B-C 5-7

C-D 7-9

D-E 9-11

E-F 11-13

4.0

-5.0

-0.0

-7.5

-5.0

Δ v,

a (+

) (ac

eler

ando

)

vcte, a (0)

Δv, a (-)

(frenando)

Δv, a (-)

Δ v, a (-)

(acelerando)



11. Analizamos el grafico (a vs t)

4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (a vs t)

Intervalo de tiempo en (s) aceleración en (m/s2)

A-B 0-5

B-C 5-7

C-D 7-9

D-E 9-11

E-F 11-13

4.0

-5.0

0.0

-7.5

-5.0

a cte

a cte

a cte

a cte

a =0

El área bajo la grafica representa la magnitud del cambio de la velocidad

A1

A2A3

A4

sm

smsA

hbAs

ms

ms

mvvv

vA

ifBA

BA

20)0.4)(0.5(

200.525

21

1

1

sm

smsA

hbAs

ms

ms

mvvv

vA

ifCB

CB

10)0.5)(0.2(

102515

22

2

2

4.4.2. Ecuaciones del (M.R.U.V.) Movimientos con aceleraciones constantes

7. Analizamos las áreas bajo el grafico, que representan desplazamientos positivos, visualizando rectángulos y triángulos, para su facilidad. Obtenemos:

t (s)

v

tf = t

0

v

fv

if

if

ttvv

tv

a

La pendiente de laLínea recta es la

Aceleración constante)8(

)7(0

tavv

tavvtvv

a

if

if

f

Área bajo elGráfico es el

desplazamiento

V vs tti = 0

112

102

2

)2

()(

)2

()(

92

22

2

2

0

ifif

iif

i

f

if

p

xxavv

tatvxx

tatvx

tatvtx

hbhbx

tvvxx

tvx

http://www.educaplus.org/play-238-Graficas-del-movimiento.html

http://www.educaplus.org/play-299-Laboratorio-virtual-de-cinem%C3%A1tica.html

4.4.2. Ecuaciones del (M.R.U.V.) Movimientos con aceleraciones constantes

Ejemplo Conceptual.

Un avión de propulsión a chorro aterriza con una velocidad de 100 m/s y puede acelerar a una razón máxima de -5.00 m/s2 hasta que llegue al reposo, a) ¿En cuánto tiempo alcanza el reposos?, b) ¿Puede aterrizar este avión en el aeropuerto de una pequeña isla tropical donde la pista tiene 0.800 km de largo?

Solución deEjemplo Conceptual.

Datos Formula (s) Sustitución (es)

Operación (es) Resultado (s)

vi = 100 m/sa = -5.00 m/s2

vf = 0.00 m/sa) t = ?b)Δx = ? SíΔx1 = 0.800

km

Para el a) la ec. 7

Se despeja la variable de tiempo.

Para el b) la ec. 11

Despejamos la variable de desplazamiento

Para el a)

Para el b)

Para el a)

Para el b)

a) El tiempo que el avión requiere para llegar al reposos después de aterrizar y frenar constantemente, es de 20 segundos….

b) La distancia que el avión necesita para llegar al reposo después de aterrizar es de 1000m, por lo tanto en la pista de la pequeña isla tropical que es de 0.800 km, NO, es posible aterrizar

t

vva

if

a

vvt

vvta

if

if

ifif

if

xxavv

xavv

2

222

22 2

22

00.52

10000.0

sm

sm

sm

x

200.5

10000.0

sm

sm

sm

t

xavv

xavv

xavv

if

if

if

2

2

2

22

22

22

s

sms

mt

sm

sm

sm

t

0.2000.5

100

00.5

10000.0

2

2

m

sms

mx

sm

sm

sm

x

10000.10

10000

00.52

10000.0

2

2

2

2

22

4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)

1. Caída Libre y Tiro VerticalTe has puesto a pensar el ¿Por qué los cuerpos al lanzarlos hacia arriba regresan al

suelo?¿Por qué los objetos en la Tierra no flotan como en el espacio?¿Qué objeto cae mas rápido en tocar el suelo, una manzana o una sandia, sí se

dejan caer desde la misma altura y al mismo tiempo?

En la antigüedad, la caída libre de los cuerpo era n tema de interés. Aristóteles afirmaba que los cuerpo caían debido a que su lugar natural era el suelo

y que hacían todo lo posible por llegar a él y que los objetos caían a la Tierra por que anhelaban (enamorados) estar unida a ella. También afirmaba que los cuerpos más pesados caen más rápido que los cuerpos mas ligeros.

http://www.educaplus.org/play-302-Gr%C3%A1ficas-de-la-ca%C3%ADda-libre.html


1. Caída Libre y Tiro VerticalDurante siglos duraron las ideas de Aristóteles, hasta que en 1590:Galileo Galilei explico demostrando matemáticamente el movimiento de caída libre

de los cuerpos, afirmando que todos los cuerpos, grandes o pequeños, ligeros o pesados, en ausencia de fricción (debido a la resistencia del aire), caen a la Tierra con la misma velocidad y con una aceleración constante cuando se sueltan desde la misma altura.

Galileo identifico que el movimiento en caída libre de los cuerpos es debido a la aceleración de la gravedad (g), identificándolo como un movimiento rectilíneo uniformemente variado, (M.R.U.V.) vertical con aceleración constante, motivo por el cual la magnitud de la velocidad aumenta en forma constante, mientras la aceleración de la gravedad (g) permanece fija.


1. Caída Libre y Tiro VerticalAl hacer la medición de la aceleración de la gravedad (g) en distintos lugares de la

Tierra se ha encontrado que ésta no es igual en todas partes, pues hay pequeñas diferencias debido a la altitud y la región, para fines practicas la magnitud aceptada en el S.I. es de 9.81 m/s2, en el S. Ingles es de 32 ft/s2, su dirección es vertical con sentido hacia abajo (centro de la Tierra), su sentido es hacia los negativos.


1. Caída Libre y Tiro VerticalComo es un M.R.U.V., sus ecuaciones son parecidas solo que cambia en algunos

aspectos,En el eje “x” En el eje de la “y”

)8(

)7(0

tavv

tavvtvv

a

if

if

f

112

2

102

2

92

22

22

2

2

0

ifif

if

iif

i

f

if

p

xxavv

xavv

tatvxx

tatvx

tvvxx

tvx)14(

)13(

)12(

0

0

tgvv

tgvv

gvv

t

tvv

g

if

if

f

f

172

2

162

2

152

22

22

2

2

0

ifif

if

iif

i

f

if

p

yygvv

ygvv

tgtvyy

tgtvy

tvvyy

tvy

)2.13(2

)1.13(0

subidadeVuelo

subida

tt

gv

t

yx

ga

4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)Caída Libre

Ejemplo: En un acantilado un muchacho deja caer una roca, desde el reposo, determina la velocidad y la altura en cada segundo, analizaremos el movimiento

1. Datos Iniciales

2. De la formula 14 calculamos la velocidad que lleva a un segundo.

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

if

81.9

)81.9()0.0(

)0.1)(81.9()0.0(

)14(

)0.1(

)0.1(

2)0.1(

)0.1()0.0()0.1(

?...?

?...?

?....?

81.9

0.0

0.0

0.0

)0.3()0.3(

)0.2()0.2(

)0.1()0.1(

2

ss

ss

ss

i

i

i

yv

yv

yvs

mg

mys

mv

st


Caída Libre Ejemplo: En un acantilado un muchacho deja caer una roca, desde el reposo,

encuentra la velocidad en cada segundo y su altura, analizaremos el movimiento3. Con la formula 16, calculamos el

desplazamiento vertical

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

tgtvyy

tgtvy

sf

sf

sf

sf

ssisisf

iif

i

91.4

)91.4()0.0(

2

)0.1)(81.9()0.0(

2

)0.1)(81.9()0.1)(0.0(

2

)16(2

2

)0.1(

)0.1(

22

)0.1(

22

)0.1(

2)0.1(

)0.1()0.0()0.1(

2

2

El signo negativo significa que el objeto va de bajada, y se encuentra por debajo del nivel de lanzamiento (se dirige hacia las negativas)


Caída Libre Ejemplo: Continuando

4. Con la formulas mencionadas, calculamos las demás velocidades y desplazamientos.

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

ssisisf

6.19

)6.19()0.0(

2

)0.4)(81.9()0.0(

2

)0.2)(81.9()0.2)(0.0(

2

)0.1(

)0.1(

22

)0.1(

22

)0.2(

2)0.2(

)0.2()0.0()0.2(

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

6.19

)6.19()0.0(

)0.2)(81.9()0.0(

)0.2(

)0.2(

2)0.2(

)0.2()0.0()0.2(


Caída Libre Ejemplo: Continuando

5. La roca seguirá cayendo hasta que choque con la superficie y la velocidad seguirá aumentando constantemente

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

ssisisf

2.44

)2.44()0.0(

2

)0.9)(81.9()0.0(

2

)0.3)(81.9()0.3)(0.0(

2

)0.1(

)0.1(

22

)0.1(

22

)0.3(

2)0.3(

)0.3()0.0()0.3(

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

4.29

)4.29()0.0(

)0.3)(81.9()0.0(

)0.3(

)0.3(

2)0.3(

)0.3()0.0()0.3(


Tiro VerticalEjemplo: Un muchacho lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad de impulso

de 29.4 m/s, determina la velocidad y la altura en cada segundo1. La piedra sale con una velocidad de

impulso de la mano del muchacho.Datos iniciales.

?...?

?...?

?...?

0.0

81.9

0.0

0.0

4.29

)0.3()0.3(

)0.2()0.2(

)0.1()0.1(

2

ss

ss

ss

f

i

i

i

yv

yv

yvs

mv

smg

my

sts

mv

2. Lo primero que debemos saber es el tiempo que tarda en subir para poder calcular hasta que velocidad y altura vamos a calcular.


Tiro VerticalEjemplo: Continuando

3. De la fórmula 13, deducimos el tiempo de subida de la piedra

sst

tt

s

sms

mt

giv

t

gvv

t

devuelo

subidadevuelo

subida

subida

if

0.6)0.3(2

2

0.3)81.9(

)4.29(

2

3. De la fórmula 14, calculamos la velocidad en cada instante de tiempo

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

if

6.19

)81.9()4.29(

)0.1)(81.9()4.29(

)14(

)0.1(

)0.1(

2)0.1(

)0.1()0.0()0.1(

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

ssisisf

iif

5.24

)91.4()4.29(

2

)0.1)(81.9()4.29(

2

)0.1)(81.9()0.1)(4.29(

2

2

)0.1(

)0.1(

22

)0.1(

22

)0.1(

2)0.1(

)0.1()0.0()0.0()0.1(

2



4. De la fórmula 16, calculamos el desplazamiento vertical en cada segundo del movimiento

5. De la fórmula 14 y 16, calculamos la velocidad y la altura en cada instante de tiempo

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

sssisisf

2.39

)6.19()8.58(

2

)0.4)(81.9()8.58(

2

)0.2)(81.9()0.2)(4.29(

2

)0.2(

)0.2(

22

)0.2(

22

)0.2(

2)0.2(

)0.2()0.0()0.0()0.2(



6. Continuamos con los calículos de la velocidad y la altura en cada segundo del movimiento

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

8.9

)6.19()4.29(

)0.2)(81.9()4.29(

)0.2(

)0.2(

2)0.2(

)0.2()0.0()0.2(

imasf

sf

sf

sf

sssisisf

hmy

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

max)0.3(

)0.3(

22

)0.3(

22

)0.3(

2)0.3(

)0.3()0.0()0.0()0.3(

1.44

)1.44()2.88(

2

)0.9)(81.9()2.88(

2

)0.3)(81.9()0.3)(4.29(

2



6. Continuamos con los calículos de la velocidad y la altura en cada segundo del movimiento

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

0.0

)4.29()4.29(

)0.3)(81.9()4.29(

)0.3(

)0.3(

2)0.3(

)0.3()0.0()0.3(

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

sssisisf

2.39

)5.78()6.117(

2

)0.16)(81.9()6.117(

2

)0.4)(81.9()0.4)(4.29(

2

)0.4(

)0.4(

22

)0.4(

22

)0.4(

2)0.4(

)0.4()0.0()0.0()0.4(


Tiro Vertical y Caída libreEjemplo: ContinuandoΔ

7. El movimiento de la piedra de ser un Tiro vertical se convierte en un movimiento de caída libre

smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

81.9

)2.39()4.29(

)0.4)(81.9()4.29(

)0.4(

)0.4(

2)0.4(

)0.4()0.0()0.4(

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

sssisisf

4.24

)6.122()147(

2

)0.25)(81.9()147(

2

)0.5)(81.9()0.5)(4.29(

2

)0.5(

)0.5(

22

)0.5(

22

)0.5(

2)0.5(

)0.5()0.0()0.0()0.5(


Tiro Vertical y Caída libreEjemplo: Continuando


smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

6.19

)1.49()4.29(

)0.5)(81.9()4.29(

)0.5(

)0.5(

2)0.5(

)0.5()0.0()0.5(

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

sssisisf

1.0

)5.176()4.176(

2

)0.36)(81.9()4.176(

2

)0.6)(81.9()0.6)(4.29(

2

)0.6(

)0.6(

22

)0.6(

22

)0.6(

2)0.6(

)0.6()0.0()0.0()0.6(




smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

4.29

)9.58()4.29(

)0.6)(81.9()4.29(

)0.6(

)0.6(

2)0.6(

)0.6()0.0()0.6(

my

mmy

ss

mmy

ss

mss

my

tgtvyy

sf

sf

sf

sf

sssisisf

5.34

)3.240()8.205(

2

)0.49)(81.9()8.205(

2

)0.7)(81.9()0.7)(4.29(

2

)0.6(

)0.6(

22

)0.6(

22

)0.7(

2)0.7(

)0.7()0.0()0.0()0.7(




smv

sm

smv

ss

ms

mv

tgvv

sf

sf

sf

ssisf

3.39

)7.68()4.29(

)0.7)(81.9()4.29(

)0.7(

)0.7(

2)0.7(

)0.7()0.0()0.7(

Cinemática Unidimensional

MovimientoRectilíneoUniformeVariado

MovimientoEn

Caída Libre

MovimientoRectilíneoUniforme

Trayectoria en línea recta y requiere de un Sistema de referencia

Rapidez Constante

t

x vs t

x

Pendientede la línea

recta, representa

a la rapidez delmovimiento

0

if

if

tt

xxv

t

v

v

tt

Línea rectaque representa a laRapidez constante Área = Distancia

tvxx if

v vs t

AceleraciónConstante

if

if

tt

vva

t

v

t

0

v

fv

tavv f

0

La pendiente de laLínea recta es la

Aceleración constante

tvv

a f

0

Área bajo elGráfico es el

desplazamiento

v vs t

0

42

32

22

1

0

2

0

2

2

00

0

0

0

xxavv

tatvxx

tvvxx

tavv

ff

f

f

f

f

Ecuacionesdel

M.R.U.V.

Es debida a la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce a todos los objetos de masa m cercanos a su superficie, y que a la vez

ésta genera un campo uniformemente acelerado

Por tanto, las ecuaciones para la caída libre son las mismas del

MRUV, sólo con algunos cambios en las literales.

82

72

62

5

0

2

0

2

2

00

0

0

0

yygvv

tgtvyy

tvvyy

tgvv

ff

f

f

f

f

28.9sm

g Dirigida al centro

de la Tierra

it ft

ftit

ix

fx

Education

Movimiento Unidimensional (Cinemática)