Suku Banyak dan Teorema Faktor

Oleh: Hadi Syahir M.XI IPA 4

Definisi

Suku Banyak (Polinom) dalam xn adalah suatu bentuk persamaan anxn + anxn – 1 ..... a2x2 + a1x1 + a0x0

n= bilangan cacah a0, a1, a2 = konstanta

Contoh2x5 - 5x4 + 2x3 + 4x – 1

Maka koefisien: x5: 2 x4: (-5) x3: 2 x1: 4 dan konstanta: (-1)

Menentukan Nilai Suku Banyak

Untuk selanjutnya, suku banyak sering dinyatakan dalam bentuk F(x) dan untuk menentukan nilainya adalah dengan mengganti x dengan bilangan yang ditentukan konstanta.

Contoh

Tentukan nilai suku banyak dari:5x3 + 6x2 - x – 6 untuk x = 2

F(x) = 5x3 + 6x2 - x – 6 untuk x = 2F(2) = 5 x 23 + 6 x 22 - 2 – 6 = 5 x 8 + 6 x 4 -2 – 6 = 40 + 24 – 8 = 56Jadi, F(2) = 56

Cara Horner:5x3 + 6x2 - x – 6 untuk x = 2Pangkat: 3, 2, 1

5 6 -1 -6    

10 32 62 +Kalikan5 16 31 56  (ikuti seperti awal)

2

SUKU BANYAK

MENCARI

HASIL BAGI

SISA

AKAR-AKAR

CARA MENCARI

BERTINGKAT

HORNER

Teorema Faktor

Jika F(x) adalah suku banyak:

(x – k) merupakan faktor dari P(x)

jika dan hanya jika P(k) = 0

Artinya:Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0

sebaliknya, jika P(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

Contoh

Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1Jawab:(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k).

f(x) = (x – k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s Sisa s = f(k)

Contoh

Tentukan sisa pembagian suku banyak: (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2)

Jawab :

f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 48 + 32 – 1 = 79

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b)

Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b), selalu dapat dituliskan :

f(x) = p(x) . H(x) + s

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (Px+Q)

P adalah koefisien x dan Q adalah konstanta

Sehingga didapatkan :

ba

afbbfaqdan

ba

bfafp

)(.)(.)()(

Jadi :ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()(

)(

Contoh Tentukan sisa pembagian suku banyak: (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh x2 + x – 6 Jawab :

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)

F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

a = 2 dan b = - 3

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)

F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

a = 2 dan b = - 3

Jawab :

f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7= 48 + 32 – 4 + 10 – 7= 79

f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7

= 243 – 108 – 9 – 15 – 7

= 104

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()(

)(Jadi :

)3(2

79).3(104.2

)3(2

10479)(

xxs

Jadi :ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()(

)(

5

237208

5

25

x

895 x

Akar-akar Rasional Suku BanyakJika akar-akar

Persamaan Sukubanyak:ax3 + bx2 + cx + d = 0

adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 =

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =

x1.x2.x3 =

a

b

a

c

a

d

ContohJumlah akar-akar persamaan

x3 – 3x2 + 2 = 0

Jawab:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x1 + x2 + x3 =

=

a

b

1

3- = 3

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b) 1. Cara

BertingkatContoh soal :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4)

Jawaban:

6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1(2x + 4)

3x3

6x4 + 12x3 -

– 12x3 – 4x2 + 2x – 1

– 6x2

– 12x3 – 24x2 -

20x2 + 2x – 1

+ 10x

20x2 + 40x -– 38x – 1

– 19

– 38x – 76 -75 sisa

Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan sisanya adalah 75

Hasil bagi

pembagi

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :Contoh soal :

Jawab :6 – 40 – 12

x = – 2

6

– 12 +– 12

24

20

– 40

– 38 75

76

Sisa

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4)

Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan sisanya adalah f(– 2) = 75

H(x) =

a

3820x12x6x 23

= 3x3 – 6x2 + 10x – 192

3820x12x6x 23

SEMOGA BERMANFAAT