1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

NGÂN HÀNG ĐỀ THI

Môn: TOÁN CAO CẤP 2

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám

đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QUẢN TRỊ KINH DOANH

THỜI GIAN : 120 phút

MỖI ĐỀ 3 CÂU ( một câu loại A, một câu loại B và một câu loại C)

A. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM

Câu 1: Cho ma trận 1 2 0

3 1 4A

. Hãy tính tAA và tA A .

Câu 2: Cho các ma trận 1 3 2

3 2 1A

, 2 4 2

1 3 2B

,

2 5 6

1 2 5

1 3 2

C

.

Hãy tính ( )A B C

Câu 3: Cho ma trận

4 3 1

2 3 3

7 1 5

A

, hãy tính IAA 442 .

Câu 4: Cho các ma trận: 2 5 1

3 4A

x

, 1 2 3

1 5B

y

, 1 2

1 1 1

zC

.

Hãy tính 3 4 2 A B C .

Câu 5: Tìm , ,x y z và w nếu 6 4

31 2 3

x y x x y

z w w z w.

Câu 6: Tính định thức

5 2 7

2 1 2

3 1 4

D

.

Câu 7: Tính định thức

5 5 8

3 2 2

9 5 10

D .

Câu 8: Cho hai phép biến đổi tuyến tính 3 3, :f g có công thức xác định ảnh

2

( , , ) (2 3 , , 5 4 )f x y z x y z y z x y z , ( , , ) ( , 3 5 , 2 5 3 )g x y z x z x y z x y z . Tìm

công thức xác định gf 52 .

Câu 9: Tìm hạng )(Ar của ma trận

1 3 1 2

1 4 3 1

2 3 4 7

3 8 1 7

A

.

Câu 10: Tìm hạng )(Ar của ma trận

1 2 3

2 1 0

2 1 3

1 4 2

A .

Câu 11: Hệ véc tơ sau của không gian 3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

1 2 3(2, 3,1); (3, 1,5); (1, 4,3) v v v .

Câu 12: Hệ véc tơ sau của không gian 3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

1 2 3(1,3, 4); (1,4, 3); (2,3, 11) v v v .

Câu 13: Giải hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 4 2 7

7 6 3 9

9 3 4 11

x x x

x x x

x x x

Câu 14: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian 4 :

1 (3,2,5, 4)v ; 2 (5,12,7, 14)v ; 3 (2, 3,4,1)v .

Câu 15: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian 4 :

1 (1, 2,4,1) v ; 2 (2, 3,9, 1) v ; 3 (1,0,6, 5) v , 4 (2, 5,7,5) v .

B. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM

Câu 1: Biểu diễn véc tơ (1, 2,5)u thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:

1 (1,1,1)v , 2 (1, 2,3)v , 3 (2, 1,1)v .

Câu 2: Biểu diễn véc tơ (2, 5,3) u thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:

1 (1, 3, 2) v , 2 (2, 4, 1) v , 3 (1, 5,7) v .

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ (1,3,5)u biểu diễn được thành tổ hợp tuyến

tính của các véc tơ: 1 (3,2,5)v , 2 (2,4,7)v , 3 (5,6, )v m .

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để (7, 2, ) u m biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính

của: 1 (2,3,5)v , 2 (3,7,8)v , 3 (1, 6,1) v .

3

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ (1, 2, ) u m biểu diễn được thành tổ hợp

tuyến tính của các véc tơ: 1 (3,0, 2) v , 2 (2, 1, 5) v .

Câu 6: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ 1 2 3(2,1, 3); (3,2, 5); (1, 1,1) v v v là một cơ sở

của không gian véc tơ 3 . Tìm toạ độ của véc tơ (6,2, 7) u trong cơ sở này.

Câu 7: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 4 5

9 4 10 11

7 3 6 8 9

5 2 4 6 7

x x x x

x x mx x

x x x x

x x x x

Câu 8: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

5 3 2 4 3

7 3 7 17

4 2 3 7 1

8 6 5 9

x x x x

x x x x m

x x x x

x x x x

Câu 9: Tìm điều kiện đối với , ,a b c để véc tơ ( , , )u a b c thuộc vào không gian véc tơ sinh

bởi các véc tơ: 1 (2,1,0)v , 2 (1, 1,2) v , 3 (0,3, 4) v .

Câu 10: Xét các véc tơ (1, 3, 2), (2, 1,1), ( , , )u v w a b c của không gian véc tơ 3 .

Tìm điều kiện , ,a b c để w là tổ hợp tuyến tính của u và v .

Câu 11: Giải phương trình ma trận

95

53

43

21X .

Câu 12: Giải phương trình ma trận 2 1

1 3X

= 4 5

3 1

.

Câu 13: Chứng minh rằng ( , , ) : 0 W x y z x y z là một không gian véc tơ con của

3 . Tìm một cơ sở của W .

Câu 14: Gọi 2M là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm tọa độ của 2A M ,

2 3

4 7

A trong cơ sở 1 1 0 1 1 1 1 0

, , ,1 1 1 0 0 0 0 0

.

Câu 15: Gọi W là không gian véc tơ gồm các ma trận vuông cấp 2 đối xứng. Tìm tọa độ của

A W , 4 11

11 7

A trong cơ sở 1 2 2 1 4 1

, ,2 1 1 3 1 5

.

4

C. LOẠI CÂU HỎI 5 ĐIỂM

Câu 1: Đặt 1V , 2V lần lượt là hai không gian véc tơ con của 4 :

1 ( , , , ) : 0V a b c d b c d , 2 ( , , , ) : 0, 2V a b c d a b c d

Hãy tìm số chiều và một cơ sở của các không gian con 1V , 2V , 1V 2V .

Câu 2: Trong không gian 4 xét các véc tơ:

1 (1,1,0. 1)v ; 2 (1,2,3,0)v ; 3 (2,3,3, 1)v ;

1 (1,2,2, 2)u ; 2 (2,3,2, 3)u ; 3 (1,3,4, 3)u .

Đặt V , U là hai không gian véc tơ con của 4 lần lượt sinh bởi hệ véc tơ 321 ,, vvv và

321 ,, uuu . Hãy tìm số chiều của các không gian con V U , V U .

Câu 3: Chứng minh rằng ánh xạ 33: f có công thức xác định ảnh

( , , ) ( 2 2 ,3 , )f x y z x y z x y x y z .

a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc.

b) Tìm ma trận nghịch đảo 1A .

c) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược ),,(1 zyxf .

Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 33: f có công thức xác định ảnh

( , , ) (2 3 , 2 ,3 5 )f x y z x y z x y z x y z .

a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc.

b) Tìm ma trận nghịch đảo 1A .

c) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược ),,(1 zyxf .

Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính 33: f có ma trận trong cơ sở chính tắc là

0 2 1

1 4 0

3 0 0

A

a) Viết công thức xác định ảnh ( , , )f x y z .

b) Viết ma trận của f trong cơ sở 1 2 3(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) v v v .

Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính 33: f có công thức xác định ảnh

( , , ) (2 3 4 ,5 2 ,4 7 ) f x y z x y z x y z x y .

a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc.

5

b) Viết ma trận 'A của f trong cơ sở 1 2 3(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) v v v .

Câu 7: Chứng minh rằng tập hợp W các ma trận vuông cấp 2 có dạng

a b

Ac d

thoả mãn 3 0

3 2 0

a b c d

a b d

là không gian véc tơ con của không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm một cơ sở và

suy ra số chiều của W .

Câu 8: Cho ma trận

3 1 1

7 5 1

6 6 2

A

.

a) Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A .

b) Với mỗi giá trị riêng tìm một cơ sở của không gian riêng tương ứng.

Câu 9 Cho ma trận

1 3 3

3 5 3

6 6 4

m

A m

m

; m .

a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1A .

b) Cho 2m tìm 1A .

Câu 10 Cho ma trận

3 1 1

7 5 1

6 6 2

m

A m

m

; m .

a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1A .

b) Cho 1m tìm 1A .

Câu 11: Cho ma trận

1 3 3

3 5 3

6 6 4

A

, tìm ma trận P sao cho 1P AP là ma trận chéo.

Câu 12: Cho dạng toàn phương 3:Q xác định bởi:

( ) 2 2 2, , 5 2 2 4Q x y z x y z xy xz yz

a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để Q là dạng toàn phương xác định dương.

Câu 13: Cho dạng toàn phương 3:Q xác định bởi:

( ) 7 2 2 2, , 7 7 2 2 2Q x y z x y z xy xz yz

a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc.

6

b) Tìm một cơ sở của 3 để biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính

tắc.

Câu 14: Cho hai phép biến đổi tuyến tính 3 3, :f g xác định bởi:

( , , ) ( 3 2 ,3 3 , 5 )f x y z x y z x y z x y z ,

( , , ) ( 2 3 , 2 3 , 4 2 5 )g x y z x y z x y z x y z .

a) Viết ma trận A của f và ma trận B của g trong cơ sở chính tắc.

b) Tính tích ma trận AB , suy ra công thức xác định ảnh ( , , )f g x y z .

c) Tính định thức của các ma trận A , B và AB .

Câu 15: Cho hai phép biến đổi tuyến tính 3 3, :f g xác định bởi:

( , , ) (2 ,3 2 3 , 3 5 ) f x y z x z x y z x y z ,

( , , ) ( 2 3 ,2 3 4 , 5 7 )g x y z x y z x y z x y z .

a) Viết ma trận A của f và ma trận B của g trong cơ sở chính tắc.

b) Tính tích ma trận AB , suy ra công thức xác định ảnh ( , , )f g x y z .

c) Tính định thức của các ma trận A , B và AB .