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Algebra Lineal “con problemas de aplicación orientados hacia la
administración y la economía”
Algebra Lineal
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CONTENIDO ALGEBRA LINEAL…………………………………………………………………………………………….. 3 ARREGLO………………………………………………………………………………………………………… 4 MATRICES………………………………………………………………………………………………………. 4 TIPOS DE MATRICES………………………………………………………………………………………. 5
Matrices Equidimensionales…………………………………………………………………………. 5 Matrices Iguales……………………………………………………………………………………..……. 5 Matriz fila……………………………………………………………………………………………………. 5 Matriz columna……………………………………………………………………………………………. 5 Matriz traspuesta…………………………………………………………………………………..……. 6 Matriz simétrica………………………..…………………………………………………………………. 6 Matriz antisimétrica…….…………..…………………………………………………………….……. 6 Matriz nula ………………………..………………………………………………………………………. 6 Matriz diagonal………………………..…………………………………………………………………. 6 Matriz escalar………………………..……………………………………………………………………. 6 Matriz unidad o identidad………………………..…………………………………………………. 6 Matriz Triangular…………………………………………………………………………………….…. 6
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES…………………………………………………………………… 7 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES………………………..……………………………………………. 14
Producto de una Matriz por un Escalar……………………………………………………………. 14 Producto de Matrices……………………………………………………………………………………… 16
REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN……………………………………………………………………… 27 INVERSA DE UNA MATRIZ………………………………………………………………………………… 37
Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos……………………………………………….. 37 Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos………………………………. 37
ECUACIONES MATRICIALES…………………………………………………………………………….. 40 MODELOS DE ENTRADA-SALIDA DE LEONTIEF……………………………………………….. 41 MODELO CERRADO DE LEONTIEF…………………………………………………………………… 45
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ALGEBRA LINEAL
La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe تاب بر ك ج اللة قاب م que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y) (والbalanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) بر proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de ,(al-dejaber) (yebr) جcirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.
Ejemplo de Aplicación del Algebra Lineal
1. Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así:
De acuerdo a la información suministrada responda ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material? ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera? ¿Cuál es el material que más se gasta?
Materiales Rancho Colonial Clásica Madera 28 35 23 Tablas 34 19 25 Techado 12 25 27
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1. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados.
Rubro Departamento
Ma
nu
fac
Oficin
a
Ven
ta
Distrib
ució
n
Co
nta
bilid
ad
Ad
mó
n
Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0
¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto?
ARREGLO
Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales.
El subíndice es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El Rango es el número de elementos del arreglo.
MATRICES
Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de materiales y las columnas a los de vivienda. A=
Columna 1 Columna 2 Columna 3 28 35 23 Fila 1 34 19 25 Fila 2 12 25 27 Fila 3
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Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número indica el tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar: Cada elemento aij de A esta ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la posición del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una matriz cuadrada de orden n.
Consideremos la matriz B de orden 4:
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
A31 A32 A33 A34
A41 A42 A43 A44
TIPOS DE MATRICES
Matrices Equidimensionales : Son las que tienen el mismo tamaño Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn.
A = (a1, a2, a3, …, an)
DIAGONAL
PRINCIPAL
DIAGONAL
SECUNDARIA
TRIANGULAR
SUPERIOR
TRIANGULAR
INFERIOR
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Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1.
A =
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
a1 a2 a3 an
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Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) equidimensionales, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el
nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
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Ejercicio
Si A= B= C= Hallar:
1. La traspuesta de A 2. A + B 3. C – B 4. A + C – B 5. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula 6. Ejercicio encuentre w, x, y y z si:
a.
b.
c .
7. Dadas
Hallar A + B, A – B, B - A
8. Dadas las matrices A, B y C hallar p, q, r, s, t y u de tal manera que A + B + D = 0
h ttp://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html
1 3 5
3 8 7
3 6 1
2 0 1
2 0 6
3 -2 -1
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TALLER
1. Dadas las matrices
a. ¿Cuáles son los tamaños de cada una de las matrices? b. ¿Cuáles son cuadradas? c. De las matrices cuadradas indicar los elementos de la diagonal principal,
secundaria, triangular superior e inferior de cada una. d. ¿Cuáles son los elementos: A[3,2], B[2,3], C[4,1], D[1,3] y B[3,4] e. Escribe la traspuesta de C f. ¿Alguna de las matrices es simétrica, antisimétrica, nula, diagonal, escalar?
¿cuál? ¿por qué? g. Calcule A+B
2. Sea A la matriz de tamaño 3x2, dada por la expresión aij=2i-j. La matriz correspondiente a esta relación, es
Tecnología: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma, resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas. Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted indague por bibliografía o web-grafía. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm
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Problemas de Aplicación 1. Suponga que en un organismo del estado la información fluye constantemente entre
oficinas de acuerdo con el siguiente diagrama
a. Construya la matriz A con los elementos
1 Si el flujo de información fluye directamente de i a j aij 0 Si el flujo de la información no fluye directamente de i a j
b. Construya una matriz B con los elementos
1 Si la información fluye de i a j a través de no más de un intermediario, con i≠j aij 0 En caso contrario
c. La persona de la oficina i tiene mayor poder de influencia si la suma de los elemento
de la fila i en la matriz A+B es la mayor ¿cuál es el número de la oficina de esta persona?
2. La administración trata de identificar a la persona más activa en los esfuerzos laborales para la sindicalización. El siguiente diagrama muestra como fluye la influencia de empleado hacia otro entre los cuatro empleados más activos
a. Construya la matriz A con los elementos 1 Si i fluye directamente a j aij 0 de otra manera
1 2
5
3 4
1 2
3 4
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b. Construya una matriz B con los elementos
1 Si i fluye a j a través de no más de un 1 persona, con i≠j
aij 0 En caso contrario
c. La persona i es más activa en la influencia con otras si la suma de los elementos de la fila i de la matriz A +B es la más grande ¿quién es la persona más activa?
3. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los
años 2009 y 2010 vienen dadas por las matrices:
X Y
Z
A 11 6,7 0,5
A2009 = B 14,5 10 1,2
C 20,9 3,2 2,3
X Y Z
A 13,3 7 1
A2010 = B 15,7 11,1 3,2
C 21 0,2 4,3
a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.
b. Si se proyecta para el 2011 un incremento en las exportaciones en un 6% halla el escalar y la nueva matriz con dicho incremento
c. Calcule e indique el país que más exportaría en el 2011 4. Del problema 3
a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.
b. Debido a la crisis mundial se proyecta para el 2011 una disminución en las exportaciones en un 6% halle el escalar y la nueva matriz con dicho decremento
c. Calcule e indique el país que más importaría en el 2011
5. Del problema 3 Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.
6. Una compañía de artículos electrónicos fabrica TV, VCR y reproductores de CD en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue
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A B
A B
TV 20 40
TV 20 40
X= VCR 45 30 y= VCR 45 30
CD 15 10
CD 15 10
7. El inventario de la librería universitaria es:
Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción, 2320; consultas, 1890.
Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; consultas, 2070; libros de texto, 1940.
El inventario de la librería académica es:
Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción, 1790; consultas, 1980.
Rústica: no ficción, 1720; ficción, 3100; libros de texto, 2050; consultas, 2710.
a. Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A.
b. Represente el inventario de la librería académica como una matriz B.
c. Si las dos librerías deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario
total de la nueva empresa.
8. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes
hasta el primero de enero en un banco
Cuentas
Corrientes Ahorro Depósito
Principal 2820 1470 1120
A= Sucursal uno 1030 520 480
Sucursal dos 1170 540 460
La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer
trimestre del año y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas
durante el mismo periodo. Así
Encuentre la matriz D que represente el número de cada tipo de cuenta al final del
primer trimestre en cada local.
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9. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una
compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en
miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas ciudades.
a) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos años.
b) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007 a
2006.
c) Determine cuales son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta
al menudeo
10. A partir de los datos de las siguientes tabla:
Importaciones
PAISES 83 84 85
Desarrollados 122 822 135 884 134 018 En vías de desarrollo 72 342 74 421 72 673
Comunistas 5 085 7 214 7 091
Otros 289 369 365
Exportaciones
PAISES 83 84 85
Desarrollados 152 117 200 714 223 314 En vías de desarrollo 102 266 119 790 116 161
Comunistas 3 604 5 221 5 801
Otros 1 1 0
a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las importaciones
de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985
b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las exportaciones
de las mismas agrupaciones en los mismos años.
c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupación de países en cada año
encontrando B – A
d. Haga un análisis de la matriz resultante
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm
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MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Producto de una matriz por un Escalar
Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento dela matriz
Ejemplo:
1.
2.
3. Encontrar w, x, y y z si
a.
b.
c. 3
d. Sean
Hallar A - 2B
e. Dadas las matrices
Determinar tal que 2A+3X=(12C)(23B)
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4. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados.
Rubro Departamento
Ma
nu
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Oficin
a
Ven
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Distrib
ució
n
Co
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bilid
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Ad
mó
n
Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0
Encuentre el escalar y la matriz presupuesto para los siguientes cambios en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8%
5. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de los televisores, DVD y equipos de sonidos estuvo dada por
Distribuidor TV DVD E Sonido A 22 34 16 B 14 40 20
a. Si la dirección establece ventas objetivo para junio de un 25% de aumento sobre las ventas de mayo, halle el escalar y las ventas proyectadas para junio.
b. Si la dirección establece ventas objetivo para julio de un 15% de disminución sobre las ventas de junio, halle el escalar y las ventas proyectadas para julio.
6. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes
tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A
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a. El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en
cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la
segunda semana.
b. Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana
son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana.
7. El inventario total de una librería universitaria es:
Libros de Texto Ficción No Ficción Consultas
Pasta Dura 11620 3900 4110 3870
Pasta Rústica 486 4590 3790 4680
Debido a la apertura de una universidad en las cercanías se decide incrementar el
inventario en un 12%. Halle el escalar por el cual se debe multiplicar la matriz C y escribir
una matriz D con el nuevo inventario, redondeando cada cifra al entero más cercano.
8. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes en el
primer trimestre del año en un banco
Cuentas
Corrientes Ahorro Depósito
Principal 2960 1510 1150
A= Sucursal uno 1100 540 490
Sucursal dos 1230 590 470
Se prevé que para el segundo trimestre se incrementara el número de cuentas en un 15%.
Encuentre el escalar por el que se debe multiplicar la matriz D para que se refleje el
incremento previsto y escriba la matriz resultante.
Multiplicación entre Matrices
En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz.
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Gráficamente
Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si:
fA x cB x fB x cB = fA x cB
Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:
donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:
A B C
1 2 3 4 1 5 10 30 70 120
5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304
9 10 11 12 3 7 12 110 278 488
4 8 13
Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones:
C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5
A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6
A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7
A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8
Suma: 174
=
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Ejercicios: 1. Dadas las matrices
2. Dadas las matrices
3. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)
a.
b.
4. Dadas las matrices
Verifique si se cumple que (A + B)C = AC + BC
5. Dadas las matrices
Verifique que AB = BA = 0; AC = C y CA=A b. Use los resultados de (a) para comprobar que:
ACB = CBA
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A2 – B2 = (A – B) (A + B)
(A + B)2 = (A – B)2 = A2 + B2
6. Calcule los productos matriciales AB y BA si
7. Sean
a. Determinar el orden de XA y comparar con las filas o columnas de
b. Si donde 1 aparece en la posición (1,i) determinar el orden de XA y AXt, comparar con las filas o columnas de A con
Ejercicios Determine si los valores dados de x, y y z son la solución para la ecuación matricial dada sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación matricial.
Ejercicios El siguiente sistema matricial representa el portafolio de dos productos (X, Y), cuyos costos totales ascienden a 15 (millones de pesos), y el total de las unidades producidas es de 5 (miles):
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La solución del sistema matricial anterior arroja los siguientes resultados para los dos productos (X, Y), respectivamente en miles de unidades producidas: a. 15 Y 5 b. 40 y 10 c. 1 y 4 d. 7 y 2 e. 1 y 15
Aplicación de la Multiplicación entre Matrices
1. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
a. Representar la información en dos matrices. b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración
empleadas para cada uno de los modelos.
2. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
a. Representar esta información en dos matrices. b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes
necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.
3. Suponga que un contratista acepta pedidos para materia prima que se utilizan para la
construcción de tres tipos de vivienda. La matriz R dan el número de unidades de cada materia prima que se utilizará en cada tipo de casa, así
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Acero Madera Vidrio Pintura
Mano de Obra
Rústico 5 20 16 7 17
R= Moderno 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a. El contratista está interesado en conocer los costos que tendrá que pagar por estas
materias primas. Suponga que el acero cuesta $2500 por unidad, la madera $1200 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra cuestan $800, $150 y $1500 por unidad respectivamente. Escriba una matriz de columna C que represente los costos por unidad. Obtenga el producto RC, ¿qué encuentra?
b. Suponga que se construirán 5 casas de estilo rustico, 7 estilo moderno y 12 colonial,
escriba una matriz de fila Q que represente la cantidad de vivienda a construir por estilo y obtenga el producto Q(RC), ¿qué encuentra?
4. El comité de admisiones de cierta universidad anticipa la inscripción de 800 estudiantes
de primer semestre para el próximo año para satisfacer las cuotas de ingreso se ha clasificado los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría esta dado por la matriz
Hombres Mujeres Locales 2700 3000 A= Foráneos 800 700 Extranjeros 500 300
Al utilizar los datos acumulados de años anteriores el comité de admisiones considera que estos estudiantes optarán por asistir a las facultades de derecho, diseño, administración e ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz
Derecho Diseño Administración Ingeniería B= Hombres 0.25 0.20 0.30 0.25 Mujeres 0.30 0.35 0.25 0.10
Encuentre la matriz AB que muestre el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que se espera se inscriban en cada facultad
5. Las acciones de dos personas B y C están dadas por la matriz
Acciones BAC GM IBM TRW A= B 200 300 100 200 C 100 200 400 0
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Al cierre de las operaciones de cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz
BAC 54 GM 48 D= IBM 98 TRW 82
a. Calcule AD b. Explique el significado de las entradas de AD.
6. Un viajero está regresando de Londres después de un viaje por Europa y desea cambiar
las diversas divisas por euros. Al contar su dinero encontró que tenía 80 chelines austriacos, 26 francos franceses, 18 guilders suecos y 20 marcos alemanes. Suponga que las tasas de cambio de moneda extranjera son €0.0727 por un chelín, €0.1524 por un franco, €0.4538 por un guilder y €0.5113 por un marco. a. Escriba una matriz A de fila que represente los valore de las divisas b. Escriba una matriz B de columna que represente las tasas de cambio c. Si el viajero cambia todas las divisas que tiene, ¿cuántos euros recibirá?
7. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para
cada uno de los modelos.
8. Una empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado esta dado por la matriz
Modelo
I II III IV
N.Y. 60 80 120 40
A= Conn 20 30 60 10
Mass 10 15 30 5
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Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25 000 y $30 000, respectivamente, para cada modelo de casa, del I al IV respectivamente.
a. Escriba una matriz de columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa b. Encuentre la utilidad total esperada en cada estado si se venden todas las casas
9. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:
Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 30 %, 2ª Ev: 30 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide la nota final de cada uno de los alumnos.
10. Un cinema tiene cuatro salas de la I a la IV, el precio de cada función es de $2 mil pesos por niño, $3 mil pesos por estudiante y $4 mil pesos por adulto. La asistencia a la matiné del domingo está dada por la matriz
Escriba una matriz de columna B que represente el precio de la entrada. Luego calcule A.B ¿Qué encuentra?
11. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles
medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15% por
CALIFICACIONES
Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev
Antonio 2.5 3.2 3.0
Jaime 4.0 2.5 3.5
Roberto 3.5 2.5 3.5
Santiago 3.0 2.0 2.5
Niño Estudiante Adulto
Cinema I 225 110 50
A= Cinema II 75 180 225
Cinema III 280 85 110
Cinema IV 0 250 225
Algebra Lineal
24
debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos
automóviles medianos y dos automóviles de lujo
Medianos 25 000 28 000
De lujo 36 000 42 000
Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz
0,88 0
0 0,85
¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el
proceso?
12. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos
empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos de
esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios.
Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente tabla y el banco
utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su ingreso de los
préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para obtener
sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que dé el capital de riesgo
disponible en cada uno de los tres años
13. Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los departamentos necesitan
Acero Plástico Madera Departamento A 30 20 10 Departamento B 20 10 20
Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que se dan en la siguiente tabla
Algebra Lineal
25
Ace Kink Acero 3000 280 Plástico 150 100 Madera 150 200
a) Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos con
los proveedores. b) ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento?
14. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados.
Rubro Departamento
Ma
nu
fac
Oficin
a
Ven
ta
Distrib
ució
n
Co
nta
bilid
ad
Ad
mó
n
Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0
a. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los
rubros de menor y mayor gasto? b. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la tabla”
en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% c. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en
oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración. Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la matriz original.
Algebra Lineal
26
97.000000
005.10000
002.1000
00005.100
000003.10
000002.1
Investigar. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación
Algebra Lineal
27
TALLER
1. Dadas las matrices:
Calcu lar: A + B; A - B; A x B; B x A; A t . (Traspu esta)
2. Demostrar qu e: A2 - A- 2 I = 0 , s iendo:
3. Calcu lar la matriz inversa de:
4. Obtener las matrices A y B qu e veri fiqu en el s istema:
5. Resolver; en forma matricial, el s istema:
Algebra Lineal
28
REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN
Solución matricial de Sistemas de Ecuaciones
El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 ε R (Coeficientes)
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los coeficientes del sistema en la matriz ampliada.
Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua aplicando cada una de los siguientes pasos:
1. Tener uno en la fila uno columna uno. 2. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno 3. Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos 4. Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos. 5. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres. 6. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres 7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz identidad
de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden 3, obtenemos
Matriz de los coeficientes
Algebra Lineal
29
Donde d1, d2 y d3 Є R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución.
Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible. Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan 1. 2x + 3y – z = 70
3x – y - 2z = -19 -2x + 2y + z = 35 La matriz ampliada sería
Veamos: En la Ec1: 2(12)+3(21)-17=24+63-17=70; En la Ec2: 3(12)-21-2(17)=36-21-34=-19; En la Ec3: -2(12)+2(21)+17=-24+42+17=35
2x + y – 2z = 4 x + 3y – z = -3 3x + 4y – z = 7
x + y + z = 0 2x- y + z = 1 x + y - 2z = 2
2x + 2y + z = 9 x + z = 3 4y – 3z = -10
2x+ 3y - 2z = 10 3x - 2y + 2z = 0 4x – y + 3z = -1
2x + 4y - 6z = 38 x + 2y + 3z = 7 3x - 4y + 4z = -19
3
Algebra Lineal
30
Problemas de aplicación
1. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes en kg (1 ton =1000 Kg) deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? Por datos, la matriz de coeficientes sería
Suponiendo que x es la cantidad de fertilizante tipo A, y la cantidad de fertilizante tipo B y z la cantidad de fertilizante tipo C, el sistema de ecuaciones sería 25x + 15y = 1.5 45x + 50y + 75z = 5 30x + 35y + 25z = 3 La matriz ampliada quedaría
Veamos: En la Ec1: 25(0.04)+15(0.03)+0(0.02)=1.45 1.5 En la Ec2: 45(0.04)+50(0.03)+75(0.02)=1.8+1.5+1.5=4.8 5 En la Ec3: 30(0.04)+35(0.03)+25(0.02)=1.2+1.05+0.5=2.8 3
Es decir que para agotar los suministros de ingredientes se deben producir aproximadamente 0.04 ton (40 Kg) de fertilizante tipo A, 0.03 ton (30Kg) de fertilizante tipo B y 0.02 ton (20Kg) de fertilizante tipo C
2. Tres trabajadores A,B y C, para terminar un determinado mes, presenta a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y kilómetros de desplazamiento fijadas para cada uno de ellos
Algebra Lineal
31
HORAS DE TRABAJO
VIÁTICO KILÓMETROS
A 40 10 150 B 60 20 250 C 30 6 100
Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x miles de pesos por hora trabajada, y miles de pesos por cada dieta y z miles de pesos por kilometro de desplazamiento y que paga ese mes un total de 3690 mil pesos al trabajador A, 6060 mil pesos al trabajador B y 2520 mil pesos al C. Calcular x, y, z.
Representamos la situación como sistema de ecuaciones lineales:
40x + 10y + 150z = 3690 (Ec 1) 60x + 20y + 250z = 6060 (Ec 2) 30x + 6 y + 100z = 2520 (Ec 3)
Escribimos la matriz ampliada
Verificación
En la (Ec1): 40(21)+10(15)+150(18) = 369 840 + 150 + 2700 = 3690 3690 = 3690
En la (Ec2): 60(21)+20(15)+250(18)= 6060 1260 + 300 + 4500 = 6060 6060 = 6060
En la (Ec3): 30(21)+6(15)+100(18)=2520 630 + 90 + 1800 = 2520 2520 = 2520
Por lo tanto el valor de la hora trabajada es de 21 mil pesos, la unidad de viático 15 mil y la de transporte 18 mil
Algebra Lineal
32
3. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla. La compañía tiene un almacén de 400 unidades de madera, 1500 de aluminio y 600 de plástico. Para su producción de final de temporada desea agotar toda la existencia. Para lograrlo ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?
Sillas Mecedoras Sillones Madera 1 1 1 Aluminio 2 3 5 Plástico 1 1 2
Si consideremos x la cantidad de sillas, y la cantidad de mecedoras y z la cantidad de
sillones, el sistema de ecuación sería
x + y + z = 400
2x + 3y + 5z = 1500 x + y + 2z = 600
Escribimos la matriz ampliada
Veamos en
En Ec1
100 + 100 + 200 = 400
400 = 400
En Ec2
2(100) + 3(100) + 5(200)=1500
200 + 300 + 1000 =1500
1500=1500
En Ec3
100 + 100 + 2(200)=600
200 + 400 =600
600=600
La producción final de temporada para agotar existencia tiene que ser 100 sillas, 100 mecedoras
y 200 sillones
Algebra Lineal
33
4. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para una unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000 pies cúbicos, 12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de cada producto se pueden transportar?
_________________________________________________________ PRODUCTOS
A B C.
Volumen unitario (pies cúbicos) 24 20 40 Peso unitario (libras) 40 30 60 Valor (dólares) 150 180 200
Consideremos x el volumen en pies cúbicos, y el peso en libras y z el costo del seguro entonces el sistema de ecuaciones sería
24X + 20Y + 40Z = 8000
40X + 30Y + 60Z = 12400 150X + 180Y + 200Z = 52600
La matriz ampliada quedaría
Veamos En Ec1: 24(100)+20(120)+40(80)=8000 2400 +2400 +3200 =8000 8000=8000
En Ec2: 40(100)+30(120)+60(80)=12400 4000 +3600 + 4800 =12400 12400=12400
En Ec2: 150(100)+180(120)+200(80)=52600 15000 +21600 +16000 =52600 52600=52600
Es decir que se puede transportar un volumen de 100 pies cúbicos, un peso de 120 libras y el costo del seguro es de 80 dólares por cada unidad de producto.
Algebra Lineal
34
5. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes?
6. Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones:
Mina A Mina B Mina B Níqu el (%) 1 2 3 Cobre (%) 2 5 7 Hierro (%) 1 3 1
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?
7. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimentos a un lago que mantiene tres especias de peces. Cada pez de la especie I consume cada semana un promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2, y dos unidades de alimento 3. Cada pez de la especie II consume cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, cuatro unidades de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3. Para un pez de la especie III, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 29 000 unidades del alimento 1, 34 000 unidades del alimento 2 y 55 000 unidades del alimento 3. Suponemos que los tres alimentos se consumen. ¿Qué cantidad de cada especie existe en el lago?
8. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.
a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.
b) Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.
9. Un nutriólogo desea planear cierta dieta con base a tres tipos de alimentos. Los
porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos en cada onza de los tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla
Algebra Lineal
35
Tipo de Alimento I
Tipo de Alimento II
Tipo de Alimento III
Proteínas(%) 10 6 8 Carbohidratos(%) 10 12 6 Hierro(%) 5 4 12
Indique cuantas onzas de cada tipo de alimento debe incluir el nutriólogo en la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro (100% de cada uno.
10. Un fabricante de blusas produce tres tipos: sin manga, manga corta y manga larga. El tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada tipo aparecen en la siguiente tabla
Sin mangas Manga Corta Manga larga Corte 9 12 15 Confección 22 24 28 Empaquetado 6 8 8
Los departamentos de corte, confección y empaquetado disponen de un máximo de 80, 160 y 48 horas de trabajo respectivamente, por día. ¿Cuántas docenas de cada tipo de blusa se pueden producir al día si la planta opera a toda su capacidad?
11. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En la siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo Tipo de Avión Unidades transportadas Pasajero Transporte Jumbo Correo de primera clase 100 100 100 Pasajeros 150 20 350 Carga aérea 20 65 35 Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros. ¿Cuánta carga aérea de cada tipo debe programar?
12. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que
se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla da el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se pueden producir al día?
Algebra Lineal
36
________________________________________________ Deluxe Premium Ultimate
___________________________________________________________ Pintura 1.6 2 2.4 Ensamble 2 3 4 Empaque 0.5 0.5 1
13. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20
diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. c. Represente la situación en un sistema de ecuaciones lineales d. Utilice el método de reducción de Gauss-Jordan para calcular el número de días
que pasó el viajero en cada país.
8. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad?
9. Una empresa transportadora de maquinaria pesada posee tres tipos de camiones, A, B y C. Los camiones están en capacidad de transportar 3 clases de maquinaria. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es
Tipos de Camiones
Clase de Maquinaria
A B C 1 2 1 1 2 0 1 2 3 1 2 0
A la empresa le adjudican un contrato para transportar 34 máquinas clase 1, 10 clase
2 y 25 clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requiere para cumplir con el contrato
Algebra Lineal
37
10. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción, vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz.
Agricultura
Construcción Vestuario Transporte
Agricultura 1/3 4/9 1/3 1/3 Construcción 1/3 1/3 1/6 1/6
Vestuario 1/4 1/9 1/4 ¼ Transporte 1/12 1/9 1/4 1/4
Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción, vestuario y transporte son P1, P2, P3, y P4 respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio, y determine los ingresos de cada sector de la economía.
11. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?.
12. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15 horas al día, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?
13. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada
onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?
INVERSA DE UNA MATRIZ
Algebra Lineal
38
Dos matrices A y B son inversas si A.B = I y B.A = I, se llaman inversas la una de la otra, se denota A = B-1 o B = A-1
Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos
Si
Donde a.d – b.c ≠ 0, si a.d – b.c = 0, entonces A-1 no existe Ejercicios. Calcule la traspuesta de cada matriz
a. A =
b. B =
c. C =
d. D =
Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos
Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada de orden superior a dos se sigue el siguiente procedimiento:
1. Forme una matriz ampliada [A|I], donde A es la matriz de n x n e I es la matriz identidad de n x n.
2. Utilice el método de Gauss-Jordan para obtener una matriz ampliada [I|B], es decir hasta que la matriz de la izquierda se transforme en una matriz identidad.
3. La matriz B de la derecha es la matriz inversa de A. Para verificar el producto de A.B debe ser igual a I.
Algebra Lineal
39
Ejercicio. Obtener la inversa de la matriz Inicialmente se forma la matriz ampliada [A |I ] donde I es la matriz identidad es decir Luego se aplica el método de reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz ampliada [ I | B] La primera condición es tener 1 en la posición [1 , 1 ], como no se tiene la condición intercambiamos la filas 1 y 2, quedando
F1*-2+F2
F1*-1+F3
F2/-3
F3*-3
Para finalizar se verifica que A.B=I es decir
Tener 1 en la posición [2,2]
F2*-4+F1
F2*7+F3
Tener 0 en el resto de
posiciones de la columna 2
Tener 0 en el resto de
posiciones de la columna 1
F3*-1/3+F1
F3*-2/3+F2
Tener 0 en el resto de
posiciones de la columna 3
Tener 1 en la posición [3,3]
F3*-3
Algebra Lineal
40
Ejercicio Halle la inversa de la matriz
Escribimos la matriz ampliada
Verificación
Ejercicio. Calcule la inversa de cada matriz:
Algebra Lineal
41
ECUACIONES MATRICIALES
También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes. De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son matrices de n x 1, entonces:
AX = B Es una ecuación matricial. Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue:
AX =B
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A-1,
A-1 (AX) = A-1 B (A-1 A)X = A-1 B IX = A-1 B X = A-1 B
Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de coeficientes Ejercicio. Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones
1. –x + z = 1 2. x + y + z = 3 3. 2x – y – 2z = 2 x + 4y – 3z = -3 2x + y + z = 4 3x – y + z = -3 x – 2y + z = 3 2x + 2y + z = 10 x + y – z = 7
4.
5.
6.
Algebra Lineal
42
APLICACIÓN DE LAS MATRICES
Modelos de Entrada-Salida de Leontief
El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía. Un modelo simplificado de la economía sería:
Salidas Productos Bienes Entradas Agrícolas Manufacturados Combustible Productos Agrícolas 0.5 0.1 0.1 Bienes Manufacturados 0.2 0.5 0.3 Combustibles 0.1 0.3 0.4
A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o Matriz de Leontief
La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la economía con una matriz de columna Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es la producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles. La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación
0.5 0,1 0,1 A = 0,2 0,5 0,3 0,1 0,3 0,4
x1 A = X2 X3
Algebra Lineal
43
X – AX = D ó (I – A) X=D
Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas a la economía Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones brutas? Por datos
85 D = 65 0
Debemos resolver:
Debemos resolver la ecuación matricial
La matriz ampliada es
Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene
De modo que las producciones brutas de las industrias son
1 0 0 0.5 0,1 0,1 X1 85 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 x X2 = 65 0 0 1 0,1 0,3 0,4 X3 0
1 0 0 0,5 0,1 0,1 0,5 -0,1 -0,1 I – A = 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 = -0,2 0,5 -0,3 0 0 1 0,1 0,3 0,4 -0,1 -0,3 0,6
0,5 -0,1 -0,1 X1 85 -0,2 0,5 -0,3 X2 = 65 -0,1 -0,3 0,6 X3 0
0,5 -0,1 -0,1 85 -0,2 0,5 -0,3 65 -0,1 -0,3 0,6 0
1 0 0 300 0 1 0 400 0 0 1 250
Algebra Lineal
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La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de I – A, si esta existe. Es decir,
(I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D Problemas
1. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz tecnológica C G 0.1 0.1 Calzado A = 0.2 0.05 Ganadería Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria.
Hallemos I – A =
95,02,0
1,09,0
05,02,0
1,01,0
10
01
9,02,0
1,095,0
)2,0)(1,0()95,0)(9,0(
11AI
9,02,0
1,095,0
835,0
11AI
07,123,0
11,013,11AI
275
850
07,123,0
11,013,1
X
27507,185023,0
27511,085013,1X
ganado
calzadoX
75,489
75,990
Verificar
(I-A)X=D
4,267
7,842
75,489
75,990
99,02,0
1,09,0
2. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía tiene la
siguiente matriz tecnológica Madera Energía
A = 0,1 0,2 Madera 0,2 0,4 Energía
Agricultura: X1 = 300 Manufactura: X2 = 400 Combustible: X3 = 250
Algebra Lineal
45
Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía, encuentre la producción bruta de cada industria. 3. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía
tiene una matriz tecnológica A M 0.4 0.2 Agricultura A = 0.1 0.3 Minería Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales, encuentre la producción bruta de cada industria
4. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c
A=
Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de superávits
D=
5. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica
Agricultura Siderurgia Carbón 0,1 0,01 0,01 Agricultura 0,02 0,13 0,20 Siderurgia 0,05 0,18 0,05 Carbón
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón. La producción bruta de calzado es aproximadamente de 991 unidades y de ganado aproximadamente de 490 unidades
6. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica
Algebra Lineal
46
Agricultura Industria Servicios 0,43 0,08 0,06 Agricultura 0,3 0,17 0,05 Industria 0,23 0,22 0,1 Servicio
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.
Modelo Cerrado de Leontief
Si se desarrolla un modelo en el que todas las entradas y salidas se usan dentro de los sistemas, entonces dicho modelo recibe el nombre de Modelo Cerrado de Leontief. En dicho modelo, se debe incluir el trabajo (mano de obra). En este caso no hay superávits, de manera que la matriz D=0. La ecuación para el modelo cerrado de Leontief está dada por:
(I – A)X = 0
, donde 0 es una matriz de columnas 0. Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la matriz (I –A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución. Ejercicio.
1. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la industria
L NL T 0.4 0.3 0.4 Lucrativos A = 0.2 0.4 0.2 No lucrativos 0.4 0.3 0.4 Trabajo
2. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria
GE A T 3 -10 -7 Generación de Energía 0 20 -10 Agricultura
0 0 0 Trabajo
3. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.
Algebra Lineal
47
P M T 0.5 0.1 0.2 Productos A = 0.1 0.3 0 Maquinarias 0.4 0.6 0.8 Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
4. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. G I T
0.4 0.1 0.3 Gobierno A = 0.4 0.3 0.2 Industria 0.2 0.6 0.5 Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
5. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.
G I T
0.4 0.2 0.2 Gobierno A = 0.2 0.3 0.3 Industria 0.4 0.5 0.5 Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
6. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. E M T
0.2 0.1 0.1 Embarques A = 0.6 0.5 0.1 Manufactura 0.2 0.4 0.8 Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
7. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. M GE T
0.5 0.4 0.3 Manufactura A = 0.4 0.5 0.3 Generación de Energía
Algebra Lineal
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0.1 0.1 0.4 Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria 8. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía
simple se determina mediante. G L NL T
0.3 0.2 0.1 0.05 Gobierno A = 0.2 0.3 0.1 0.1 Lucrativas 0.2 0.1 0.2 0.1 No Lucrativas 0.3 0.4 0.6 0.75 Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
9. Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón electricidad y el trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de electricidad y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de carbón, 10% de electricidad y 20% de la mano de obra. La mano de obra necesita 40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria.
BIBLIOGRAFÍA
Algebra Lineal
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