NÚMERO DE FIBONACCI

Escola Estadual Fernando Corrêa

Alunos(as): Alef, Adilson, Jeniffer, Johnny, Rodrigo, Ully.

2 ano “A” Ensino Médio

Disciplina: Matemática

Profº: José Miguel

ÍNDICENúmero de Fibonacci...............................................4Fórmula explícita......................................................5Calculando números de Fibonacci.........................6Algoritmos.................................................................7Aplicações..................................................................9Generalizações..........................................................10Identidades................................................................11Número Tribonacci..................................................12A Espiral....................................................................13Repfigits.....................................................................15

Número de Fibonacci

Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos.

Fórmula explícita

Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é F(n + 1) /F(n), tende à Proporção áurea, denominada φ. Esta é a raiz positiva da equação de segundo grau x² − x − 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φn, teremos φn+2 = φn+1 + φn, então a função φn é uma sequência de Fibonacci. É possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 − φ, tem as mesmas propriedades, então as duas funções φn e (1 − φ)n formam outra base para o espaço.

Calculando números de Fibonacci

Na prática não é conveniente calcular os números de Fibonacci usando potências da proporção áurea, a não ser para valores pequenos de n, já que os erros de arredondamento se acumulam e a precisão dos números de ponto flutuante normalmente não será suficiente.

A implementação direta da definição recursiva da sequência de Fibonacci também não é recomendável porque os mesmos valores são calculados muitas vezes (a não ser que a linguagem de programação guarde automaticamente os valores calculados nas chamadas anteriores da mesma função com o mesmo argumento). Por esse motivo, normalmente calcula-se os números de Fibonacci "de baixo para cima", começando com os dois valores 0 e 1, e depois repetidamente substituindo-se o primeiro número pelo segundo, e o segundo número pela soma dos dois anteriores.

Algoritmos

Algoritmo em Java Algoritmo Recursivo em Java Algoritmo recursivo eficiente em Java Algoritmo Recursivo em Scheme Algoritmo Iterativo em Scheme Algoritmo em ECMAScript / JavaScript Algoritmo recursivo em Python Algoritmo eficiente em Python Algoritmo em PHP Algoritmo em Perl Algoritmo em C Algoritmo em Ruby

Algoritmo em Erlang Algoritmo em Shell Script (Zsh) Algoritmo em bc (comando Unix) Algoritmo em Pascal Algoritmo em MATLAB Algoritmo em Prompt Script (BAT) Algoritmo em PROLOG Algoritmo em Tcl Algoritmo em Brainfuck Algoritmo em COBOL Algoritmo em Visual Fox Pro Algoritmo em C#

Aplicações

Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.

Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.

Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um Triângulo de Pascal 

Generalizações

Uma generalização da sequência de Fibonacci são as Sequências de Lucas. Um tipo pode ser definido assim:

U(0) = 0 U(1) = 1 U(n+2) = PU(n+1) − QU(n) onde a sequência normal de Fibonacci é o caso

especial de P = 1 e Q = -1. Outro tipo de sequência de Lucas começa com V(0) = 2, V(1) =P. Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade).

Os polinômios de Fibonacci são outra generalização dos números de Fibonacci.

Identidades

F(n + 1) = F(n) + F(n − 1) F(0) + F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + … + n F(n) = n F(n + 2) − F(n +

3) + 2 Podemos provar essas identidades usando diferentes

métodos. Mas, entretanto, nós queremos demonstrar uma elegante prova para cada um de seus usos aqui. Particularmente, F(n) podem ser interpretados como o número de formas de adicionar 1's e 2's até n − 1, convencionando-se que F(0) = 0, significando que nenhuma soma irá adicionar até -1, e que F(1) = 1, significando que a soma 0 será "adicionada" até 0. Aqui a ordem dos números importa. Por exemplo, 1 + 2 e 2 + 1 são consideradas duas diferentes somas e são contadas duas vezes.

Número Tribonacci

Um Número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-definidos, a sequência é iniciada com três termos pré-determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedentes. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são:

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, etc.

A Espiral

Na espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, tendentes à razão áurea. Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho.

Repfigits

Um repfigit ou número de Keith é um número inteiro, superior a 9, tal que os seus dígitos, ao começar uma sequência de Fibonacci, alcançam posteriormente o referido número. Um exemplo é 47, porque a sequência de Fibonacci que começa com 4 e 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) alcança o 47. Outro exemplo é 197: 1+9+7= 17, 9+7+17= 33, 7+17+33= 57, 17+33+57= 107, 33+57+107= 197.

Um repfigit pode ser uma sequência de Tribonacci se houver três dígitos no número, e de Tetranacci se o número tiver quatro dígitos, etc.

Alguns Números de Keith conhecidos: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285…

Fonte da pesquisa

http://pt.wikipedia.org/wiki/Número_de_Fibonacci