1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: a) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟑

Temos que: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:

𝒛𝟏 + 𝒛𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 + −𝟑 − 𝟒𝒊

Lembrando as propriedades da adição: 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖

= 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖

Resposta:

4 + 5𝑖 + −3 − 4𝑖 = 4 + 5𝑖 − 3 − 4𝑖= 4 − 3 + 5 − 4 𝑖 = 𝟏 + 𝒊

by Renata Pinto

1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: b) 𝒛𝟏 − 𝒛𝟒

Temos que: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊, então:

𝒛𝟏 − 𝒛𝟒= 𝟒 + 𝟓𝒊 − 𝟐𝒊

Lembrando as propriedades da subtração: 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖

Resposta:

4 + 5𝑖 − 2𝑖 = 4 − 5 − 2 𝑖 = 𝟒 − 𝟑𝒊

by Renata Pinto

1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: c) 𝒛𝟐𝒛𝟑

Temos que: 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊 e 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:

𝒛𝟐𝒛𝟑 = 𝟒 − 𝒊 −𝟑 − 𝟒𝒊

Lembrando as propriedades da multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²

= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

Resposta:

4 − 𝑖 −3 − 4𝑖 = −12 − 16𝑖 + 3𝑖 + 4𝑖2

= 12 − 4 + −16 + 3 𝑖 = −𝟏𝟔 − 𝟏𝟑𝒊

by Renata Pinto

1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule:

d) 𝒛𝟑

𝒛𝟏

Temos que: 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊, então: 𝒛𝟑

𝒛𝟏 =

−𝟑−𝟒𝒊

𝟒+𝟓𝒊

Lembrando as propriedades da divisão: 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖×

𝑐 − 𝑑𝑖

𝑐 − 𝑑𝑖=

𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖²

𝑐² + 𝑑²𝑖²=

𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖

𝑐² + 𝑑²=

𝑎𝑐 + 𝑏𝑑

𝑐² + 𝑑²+

𝑏𝑑 − 𝑎𝑑

𝑐² + 𝑑²𝑖

Resposta: −3 − 4𝑖

4 + 5𝑖=

−3 − 4𝑖

4 + 5𝑖×

4 − 5𝑖

4 − 5𝑖=

−12 − 15𝑖 − 16𝑖 − 20𝑖²

4² + 5²𝑖²

=−12 − 20 + (−16 − 15)𝑖

16 + 25=

−𝟑𝟐 − 𝒊

𝟒𝟏

by Renata Pinto

1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: e) 𝒛𝟏 − 𝒛𝟑

Temos que: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟑 = −𝟑− 𝟒𝒊, então:

𝒛𝟏 − 𝒛𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 − −𝟑 − 𝟒𝒊

Lembrando as propriedades da subtração: 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖

Resposta:

4 + 5𝑖 − −3 − 4𝑖 = 4 + 3 + 5 + 4 𝑖 = 𝟕 + 𝟗𝒊

by Renata Pinto

Atenção à regra dos sinais

2) Demonstre as propriedades:

a) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏 Propriedade da adição - comutativa

b) 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐. 𝒛𝟏 Propriedade da multiplicação - comutativa

c) 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏𝒛𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟑 ∀ 𝒛𝟏, 𝒛𝟐, 𝒛𝟑 ∈ ∁ » Propriedade da

multiplicação - distributiva

d) 𝒛 + 𝒛 = 𝟐. 𝐚(𝐩𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝒛) 1ª Propriedade dos conjugados

𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒂 − 𝒃𝒊 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝒃𝒊 = 𝟐𝒂

e) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 3ª Propriedade dos conjugados

f) |𝒛𝟏 + 𝒛𝟐| ≤ |𝒛𝟐| + |𝒛𝟏| 3ª Propriedade dos módulos

by Renata Pinto

Resposta:

𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚 ↔ 𝑧 = 2 + 3𝑖 2 − 3 1 − 𝑖

Usando as propriedades da multiplicação, vamos calcular 0 x² = 2 + 3𝑖 2

x² = 2 + 3𝑖 2 + 3𝑖 = 4 + 6𝑖 + 6𝑖 + 9𝑖² = 4 + 9 +6 + 6 𝑖 = −5 + 12𝑖, sendo, então: 𝑥² = −5 + 12𝑖,

substituindo na equação, teremos: 𝑧 = −5 + 12𝑖 − 3 1 − 𝑖 = −5 + 12𝑖 − 3 + 3𝑖 = −𝟖 + 𝟏𝟓𝒊

by Renata Pinto

3) Se 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒊 e 𝒚 = 𝟏 − 𝒊, calcule 𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚.

4) Se o complexo 𝒂 + 𝒃𝒊 é produto dos dois complexos 𝒛 = 𝟐 + 𝒊 e 𝒘 = 𝟑 − 𝟒𝒊, calcule o valor de 𝒂 − 𝒃.

Resposta:

O enunciado nos diz que:

𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒛 × 𝒘 ou 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 , aplicando a propriedade da multiplicação, teremos:

𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 = 𝟔 − 𝟖𝒊 + 𝟑𝒊 − 𝟒𝒊2 = 𝟔 + 𝟒 +𝟑 − 𝟖 𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, ou seja, 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, onde:

𝒂 = 𝟏𝟎 e 𝒃 = −𝟓

O enunciado pede o valor de 𝒂 − 𝒃, isto é: 𝒂 − 𝒃 = 𝟏𝟎 − −𝟓 = 𝟏𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟓

by Renata Pinto

5) Calcule o valor de:

a) 𝒊𝟏𝟕𝟗 Resposta:

179: 4 = 44 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟑. Então:

𝑖179 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖3 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑣𝑎 a −𝑖.

𝑖179= 𝑖3 = −𝒊

by Renata Pinto

Basta dividirmos o expoente por 4 e usarmos o resto como referencia.

Colinha:

𝑖 = −1 𝑖² = −1 𝑖³ = −𝑖 𝑖4 = 1

5) Calcule o valor de:

b) 𝒊𝟗𝟕+𝒊𝟗𝟖

𝒊

Resposta:

97: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟏 𝑒 98: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟐. Então, aplicando a propriedade da divisão, teremos:

𝒊 + 𝒊𝟐

𝒊=

𝒊 + 𝒊𝟐

𝒊×

𝒊

𝒊=

𝒊𝟐 + 𝒊𝟑

𝒊𝟐=

−𝟏 − 𝒊

−𝟏= 𝟏 + 𝒊

by Renata Pinto

Colinha:

𝑖 = −1 𝑖² = −1 𝑖³ = −𝑖 𝑖4 = 1

Teremos, assim: 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟑 + 𝟐𝒊 = 𝒛

Com isso:

𝒛 = 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐

𝒛 = 𝟗 + 𝟒

𝒛 = 𝟏𝟑

Resposta:

Assim:

𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊, corresponde a:

𝑎 + 𝑏𝑖(2𝑎) = 18 + 12𝑖 2𝑎² + 2𝑎𝑏𝑖 = 18 + 12𝑖 Parte real Parte real

P. Imaginária P. Imaginária

by Renata Pinto

6) Calcule |z| sabendo que 𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊.

Sabemos que 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e que 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 Pelas propriedades dos conjugados, temos: 1)𝑧 + 𝑧 = 2𝑎(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑧)

Igualando as partes: Parte Real: 2𝑎² = 18 ≫ 𝒂 = 𝟑 Parte Imaginária: 2𝑎𝑏𝑖 = 12𝑖, substituindo a:

2.3𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 6𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 𝒃 = 𝟐

7) Determinar 𝒙 ∈ 𝑹 de modo que (𝟒 + 𝟑𝒊)(𝒙 − 𝟔𝒊)seja imaginário puro.

Aplicamos as propriedades da multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²

= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

Resposta: 4 + 3𝑖 𝑥 − 6𝑖 = 4𝑥 − 20𝑖 + 3𝑥𝑖 − 18𝑖2

= 4𝑥 + 18 + −20 + 3𝑥 𝑖

Parte Real Parte Imaginária

Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. Então:

𝟒𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟏𝟖

𝟒→ 𝒙 = −

𝟗

𝟐

by Renata Pinto

O enunciado pede que o resultado seja um “imaginário puro”, para isso devemos fazer

com que a parte real seja igual a zero.

Lembrando que no exercício 1:

𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊

by Renata Pinto

8) Represente graficamente: 𝒛𝟓 =𝟏−𝒊

𝟐; 𝒛𝟔 = 𝟐 − 𝟑𝒊;

𝒛− = 𝒛𝟔−𝟏 e 𝒛𝟏, 𝒛𝟐, 𝒛𝟑, 𝒛𝟒 do exercício 1.

Continuando... Para representarmos: 𝒛− = 𝒛𝟔

−𝟏, devemos observar que:

𝒛− = (𝟐 − 𝟑𝒊)−𝟏 temos que, o inverso de um Número Complexo é:

𝒛− =𝟏

𝟐 − 𝟑𝒊=

𝟏

𝟐 − 𝟑𝒊×

𝟐 + 𝟑𝒊

𝟐 + 𝟑𝒊=

𝟐 + 𝟑𝒊

𝟒 − 𝟗𝒊²=

𝟐 + 𝟑𝒊

𝟒 − 𝟗(−𝟏)=

𝟐 + 𝟑𝒊

𝟏𝟑

Graficamente, teremos:

by Renata Pinto

𝑧−1 =1

𝑧=

1

𝑎 + 𝑏𝑖=

1

𝑎 + 𝑏𝑖×

𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎 − 𝑏𝑖=

𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎² − 𝑏2𝑖²=

𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎² − 𝑏2(−1)=

𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎² + 𝑏²

𝑎)|𝒁| = 2 𝑏)|𝒁| ≤ 5 𝑐)|𝒁| > 3 𝑑) 𝟑 < |𝒁| < 5

by Renata Pinto

9) Represente o conjunto de números complexos que são soluções da equação (graficamente):

Sabendo que a correspondência entre Complexo na forma de Par Ordenado (um ponto de um gráfico) e a Forma Algébrica é:

𝒛 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 −𝟐,−𝟏 = −𝟐 − 𝒊

Temos: 𝑧 − 𝑧0 = 4 𝑧 − −2 − 𝑖 = 4 𝒛 + 𝟐 + 𝒊 = 𝟒

by Renata Pinto

10) Encontre a equação ou uma equação para um círculo de raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.

Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, então

𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒂 − 𝒃𝒊 + 𝟑𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊

by Renata Pinto

11) Mostre que 𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊.

12) Se 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 é um número complexo escrever 𝒛−𝟏 em função de z.

Pelo inverso temos que:

𝒛−𝟏 =𝟏

𝒛 o que nos leva a função

𝒛

|𝒛|²