Numerosfraccionarios

Objetivos:

Reconocer el efecto de algunos operadores de la

~ 1 a

lormaa x, 7) x.

Reconocer que el resultado de aplicar un operador de la forma 1;- x, a un numero natural, s610 en

algunos casos es un numero natural.

Identificar correctamente las operaciones de adici6n, sustracción, multiplicación y división de

fracciones en eI conjunto de los numeros naturales.

2.

Las matemáticas en

Egipto permanecieron

fieles a su tradición durante todo el periodo que abarca la civilizacion egipcia. En todo momento,

el conjunto de procedimientos utilizado por los egipcios se concibe, en esencia, de tal manera que

se respeten sus dos principios operacionales: el principio inherente a su capacidad de multiplicar y

dividir por 2, y el inherente a suo capacidad de calcular los + de cualquier numero, entero 0

fraccionario. Además, el desarrollo y el tratamiento de las fracciones a un nivel superior permite

comprender mejor el arte del calculo matemático ..

La construcción de la tabla de las fracciones ~ donde n'= 3 ... 101, con n, impar, supo~ un trabajo

considerable si se tiene en cuenta que las descomposiciones en fracciones unitarias de la tabla

son, generalmente, las mas sencillas que se pueden obtener.

7.1 OPERADORES

Anterionnente vimos el concepto de operaci6n, y dedamos que en toda operaci6n intervienen tres

elementos bcisicos: EI operador, los objetos a operar y los resultados obtenidos.

Ejemplo 1

AI aplicar el operador "adicionar 5 unidades" al conjunto A = {I, 2, 3, 4}, obtenemos un conjunto de

resultados R = {6, 7,8, 9}; graficamente es:

A ~ R

5+

Tambien podemos representar este mismo diagram a asf:

La flecha indica que a cada e1emento de A, debemos adicionarle 5 unidades para obtener los

elementos del conjunto R.

Ejemplo2

Podemos aplicar el operador "multiplicar por 3" al conjunto B = {O, 2, 4, 6} Y obtenemos:

Hemos multiplicado cada uno de los elementos del con junto B, para obtener un nuevo conjunto

de resultados cuyos elementos son R = {O, 6, 12, 18}.

Ejemplo3

Apliquemos ahora el operador "dividir por 4" a1 conjunto A ;;;; {4, 8, 12, 16} y hallemos el

conjunto R.

Soluci6n

Debemos dividir por 4 cada uno de los elementos del conjunto A, para obtener el conjunto R,

entonces, R = {I, 2, 3,4 }, que representado gr:ificamente es:

I ..Ejercicio 7.2

1. Aplica el operador indicado en cada caso y obtiene el conjunto de los resultados.

a) "multiplicarpor 1", al conjunto M = {p, 1, 2, 3}

b) "multiplicarpor 4", al conjunto N = {l, 3, 5, 7, 9}

c) !'multiplicarpor 2", al conjunto 0 = {S, 10, lS} d) "dividirpor 1", al conjunto p = {1, 4, 7, 10}

e) "dividirpor 2", al conjunto X = {4, 6, 8, 10, 12}

f) "dividirpor 5", al conjunto Y = {S, 10, 15, 20, 2S}

3.Dado el conjunto A de los objetos y el conjunto R de los resultados, identifica en el operador

correspondiente:

A = {6, 9, 12, 15}

R == {2, 3, 4, 5}

3. Completa el siguiente diagrama:

A

---~>~R

D

Ejemplo 3

Apliquemos ahora el operador "dividir por 4" al conjunto A = {4, 8, 12, 16} Y hallemos el conjunto

R.

Soluci6n

Debemos dividir por 4 cada uno de los elementos del conjunto A. para obtener el conjunto R,

entonces, R::; {I, 2, 3, 4} , que representado graficamente es:

A + 4 >- R

I. Ejercicio 7.2

1. Apliea el operadarindieado en eadaeaso y obtiene el eonjunto de los resultados.

a) "multiplicarpor1/1, al conjunto M {a, 1, 2, 3}

b) "multipliearpor 4", al eonjunto N = {1, 3, 5, 7, 9} c) "multipliearpor 2", al eonjunto 0 "" {s, la, 15} d) "dividir par 1 ", al conjunto p ::; {1, 4, 7, 10} e) "dividirpor 2", al eonjunto X = {4, 6, 8, 10, 12}

0 "dividirpor 5", al eonjunto Y "" {s, la, 15, 20, 25} 2.Dado el eonjunto A de los objetos y el conjunto R de los resultados, identifiea en el operador

eorrespondiente:

A = {6, 9, 12, 15}

R = {2, 3, 4, 5}

3. Completa el siguiente diagrama:

A

----:>~ R

D

Halla el operadorcorrespondiente.

a)A = {4, 8, 10, 12} R = {8, 16, 20, 24}

b)A = {6, 12, 18, 24} R = {2, 4, 6, 8}

c)

d)

d)

! • , ~

e)Diego tiene 20 bolitas y desea repartirlas en grupos de 5 bolitas. lQue operador utilizara?

f)Jorge tiene $45 y los reparte entre sus hermanos de tal manera que a cada uno Ie correspondi6

$15 .iQue operador utiliz6 para hacer dicho reparto?

Operador de la forma Cl

. b

Observa que en los ejemplos y ejercicios anteriores hemos aplicado un solo operador al conjunto

de objetos, pero, i,que sucede si aplicamos mas de un operador al mismo tiempo?

Ejemplo 1

Sea el conjunto A = {4, 8}, apliquemos a dicho conjunto, los operadores "multiplicar por 3" y

"dividir por 4".

Solucion

Podemos operar cada elemento del conjunto A, dos veces asf:

a)

8 t

resultadofmal

Nota que al elemento 4 Ie hemos aplicado el operador "multiplicar por 3" y, Iuego, al resultado

parcial obtenido Ie aplicamos el operador "dividir por 4".

b)

Ejemp/02

Veamos qu~ ocurre si invertimos el orden de los operadores, al mismo conjunto A=.{4,8}.

Ai invertir el orden de los operadores aplicados a los elementos del conjunto A. observamos que el

resultado no cambia, es decir, en ambas situaciones, el conjunto de los resultados es R = {3, 6}.

'. a)

~. .

. "

••

b)

"'!II

X3;>+4»

~

objeto operadores

+4;>x3»

~

objeto operadores

+4;>x3»

~

objeto operadores

resultadofmal

resultadofmal

Cuando a un elemento 0 conjunto de elementos se ap/iquen dos operadores (multiplicaci6n y

divisi6n), el orden de ellos se puede cambiar sin que el resultado varfe.

Ejercicio7.3

1.Apliea los operadores "multipliear por 1" Y "dividir por 2", al eonjunto:

A = {2, 4, 6, 8, 1 O}, Halla el eonjunto de los resultados.

2.Apliea los operadores "dividir por 5" y "multiplicar por 3", al conjunto:

A = {5, 10, 15, 2q}. Halla el eonjunto de los resultados.

3.Apliea los operadores "multiplicar por 2" y "dividir por 2", al conjunto:

A = {2, 4, 6, 8, 1O}. Halla el conjunto de los resultados,

4.Aplica los operadores "dividir por 3" y "multipliear por 4" al eonjunto:

A = {3, 6, 9, 12}. Halla el eonjunto de los resultados.

OPERADOR FRACCIONARIO

Para simplificar este tipo de operaciones, es decir, cuando haya que aplicar dos operadores (uno

de multiplicaci6n y otro de divisi6n) a un con junto detenninado, hay que multiplicar por a y dividir

por b, 0 viceversa. Podemos combinarlos en uno solo de la forma: multiplicar por : .

Todo operador de fa forma "multiplicar poriill,(xt), toma ef nombre

de operador fraccionario. b

Debemos tener en cuenta que a y b son numeros diferentes de cero.

4.

Ejemplol

AI conjuntoA = {3, 6, 9, 12, 15}. aplicar el opera<tor "multiplicar por f ". Solucion

Sabemos que todo operador de la forma (xt) , indica que a los elementos del con junto de objetos

se les debe multiplicar por a y dividir por b; 0 viceversa; en nuestro caso es multiplicar por 2 y

dividir por 3, para encontrar el con junto de resultados; veamos:

5.

AI con junto A = {I, 2, 3, 4}, aplicar el operador multiplicar por 2 y dividir por 5.

Solucion A x~ 5 ~ R

1 X2> 2 +5> .2.

5 x 2 + 5 .1 2 >4 > 5 x 2 + 5 .Q.

3 > 6 >

5

x 2 + 5 .8. 4 > 8 >

5

3 x2> 6 +3> 2

6 X2>12 +3> 4

9 x2>18 +3> 6

12 X2>24· + 3 > 8

15 x 2>30t + 3 > 10

Ejemplo2

3 FRACCIONES COMUNES

Observa el siguiente ejemplo:

Digamos que el rectrulgulo que tenemos a la izquierda es la unidad, es decir, 1 rect:mgulo.

1

Hemos dividido el rectangulo en 2 partes iguales, y decimos que la parte sombreada es la mitad

del rect:mgulo, 0 sea 1. del

rectmtgulo. 2

1 1 2 2 --- I' I·" I ) I

--------' J 1 1 1. 1. 1.

5 5 5 5 5

1 1. 1. 1. 5 5 5 5 Ahora hemos dividido el rectangulo en 5 .partes iguales, y una de elias, es decir, la parte

sombreada equivale a la quinta parte del rectangulo, 0 sea 1. delrectangulo.

5

En el mismo rectangulo observamos que ahora la parte sombre ada son ~.

5

Todas las partes que hemos denotado por !, 1.,2., etc.,toman el nombre de fracciones co-

. I ' ", 2,55

munes 0 sunpemente, numerosIraCClonarlOS.

",

En una fracci6n, es decir, una expresi6n de la forma f ,se distinguen dos elementos Msicos que

son:

EI denominador, en este caso b, que nos indica en cuantas partes se ha dividido la unidad.

EI numerador, 0 sea a, que nos indica cuantas partes de esa unidad hemos tornado.

6.

Si a y b pertenecen a los numeras naturales y b es diferente de cera (0),

sedice que:

g es una fracci6n.

Veamos c6mo se leen algunas fracciones:

a) 1 se lee w()cuarto. e) 1 se lee cinco octavos.

4 8

b) 1 se lee tresquintos. 1) 1 se lee sietenovenos. 5 9 c) i se lee cincoveintiunavos. g) 2- se lee tres treinta y cincoavos. 21 35 d) 1 se lee cinco s~ptimos. h) 1 se lee dos octavos. 7 8

150

Ejercicio 7.4 I

............ ' •.•.•..••••........ :.:.: ... ;.;.;.:.;.,;.!.:.;.: •••.•......

1. Escribe el nombre de los siguientes numeros fraccionarios:

a) 2... e) ~ i) ..£ m) 1 13 23 15 7

b) I3.. f) -L j) _1 n) -L

41 12 40 23

c) -~ g) JL k) _1_ 0) JL

17 29 100 25

d) JL h) II I) -.9.... p) _7_

15 31 99 1.000 2.En eada una de las siguientes figuras geometricas, nombra la fraeci6n que indica la parte

sombreada.

a)

b)

3. En los siguientes dibujos representa el fraecionario dado:

b)

e)

II 16

~ 32

4.Sea el eonjunto A = {5, 10, 15, 20}, apliea el operador(x f).

Determina el eonjunto de resultados y representa dieha operaei6n en un diagrama.

5.AI eonjunto A = {4, 8, 12, 16}, apliea el operador (x i).

Determina el eonjunto de resultados y representa la operaci6n en un diagrama.

6.Apliea el operador(x })al eonjunto:

B = {2, 4, 6, 8}. Halla el conjunto de resultados.

4 FRACCIONES EaUIVALENTES

Observemos detenidamente los siguientes dibujos:

I I

~ 1

4

I I,

A. 16

Consideremos que el rectmlgulo unidad, 10 hemos dividido en 4 partes iguales, de tal manera que

la parte som· breada corresponde a 1. delrectmgulo.

4

En este caso el rectangulo unidad se ha dividido en 8 parteigua1es; cada parte equivale a 1 del

rectangulo, pero 1 8

parte sombreada es igual a la del primer rectangulo.

Por Ultimo, el rectmgulo unidad se ha subdividido en 16 partes iguales, de tal manera que cada

parte es igual a 1~ parte del rectmgulo pero, tambien, observamos que la parte sombreada es

igual a las anteriores.

7.

Fracciones tales como las anteriores, es decir, l, 1.,-±-,

toman el nombre de equivalentes. 4 8 16

"Que suceder~ si tomamos dos de las anteriores fracciones y multiplicamos sus elemento en cruz?,

es decir: 1.><:: 1 1 x 8 = 4 x 2

. 4 8 8 = 8

Probemos nuevamente con otras dos fracciones: t ~ 1~

2 x 16 = 8 x 4

32 = 32

Vemos que en cada caso, ese tipo de producto, nos da una igualdad.

Si t y ~ son dos fracciones, se dice que son equivalentes,si se cumple:

a c .

li~d ad=bc

Simb6licamente: ad = be, entonces: A = -'.

b d

Ejercicio 7.5 I

1. Determina que pares de fracciones son equivalentes.

a) li y J.. d) 5.. y 1.2 g) 2.l.. ..1.- j} 2.1 Y 45

20 4 7 63 20 Y 16 36 90 b) 5.. y 1.Q. e) ..1 y 24 h) II y .25. k) li 90 8 32 8 30 17 85 27 Y 162 c) 5.. y 2- f) li y ~ j) 12.. Y 24 I) lly 136

7 8 35 20 19 38 35 280

2.En lossiguientes pares defigurasgeom~tricas, representa, mediante un fraccionario, la parte

sombreada equivalente.

7.5 AMPLIFICACION DE FRACCIONES Ejemplo 1

Tenemos la fracci6n r . Si multiplicamos sus dos tenninos, es decir, el numerador y el denominador

por un mismo mlmero, por ejemplo, multiplicar por 6, entonces tenemos: 3x6=.l£

5x 6 30

AI comparar esta ultima fracci6n j~con la fracci6n inicial ~ , observamos que son

equivalentes, veamos: 1..><r.l£ Porque: 3 x 30 = 5 x 18

5 30 90 = 90

Ejemplo2

Sea la fracci6n 2., si decidimos multiplicar sus dos terrninos por 7, obtenemos:

9 5 x7= 35 9x7 63

Esta Ultima fracci6n .3i tambien es equivalente con la fracci6n inicial2. ;veamos:

63 9

.5. .><r li Porque: 5 x 63 = 9 x 35

9 63 315 = 315

Si en una fracci6n se multiplican el numerador y el denortJinadorpOr un mismo numero, se dice que

fa fracci6n ha sido amplificada. Adem~s ,esta fracci6n resultante es equivalente a fa fracci6n

inicial.

8.

Completa las siguientes igualdades entre fracciones para que resulten equivalentes

b)1 = D

7 35

d~=~ 25

2.Encuentra 4 fracción simplificadas, que sean equivalentes alafraccion

entra 4 fracciones amplificadas, que sean equivalentes a la fraccion. 13

3.Amplifica la fracciOn .1, de tal manera que la nueva fracci6n tenga de numera

dor16. 7

5.Amplifica la fracci6n JL, de tal manera que la nueva fracciOn tenga de denomi- 13

nador 65. .

7.6 SIMPLIFICACION DE FRACCIONES

En la fracciOnl~ ,es posible dividir sus tenninos a la vez, por un mismo mlmero, por ejemplo, dividir

el numerador y el denominador por 4, entonees:

8+4 =2.

12 + 4 3

AI efectuar esta operaciOn observamos que la fracciOn resultante 2. y la inicial..8... son equi-

valentes, es decir, 3 12

porque: 8 x 3 = 12 x 2

24 = 24

4.

L 2 12 ><::3

Si en una fracci6n, se dividen el numerador y el denominador por un mismo' numera, se dice que la

fracci6n ha sido simp/ificada.

La simplificaci6n es otra forma de hallar fracciones equivalentes.

1. Utilizando el concepto de simplificaci6n, completa las siguientes igualdades entre fracciones, para que resulten equivalentes.

a) 0= c) .2.4.= ~ e) 0 = 27 g) 2- = 0

5 25 0 5 27 81 7 56 b) ~ = ~ d) 0=0 f)O = .8i h) 2-= 27

0 270 5 45 13 65 0 0

2. Simplificalassiguientesfracciones:

a) 1Q b) A... c)1O. d) .ML e)~ f) ill..

32 20 50 180 525 560

7 MAXIMO eOMUN DIVISOR (M.e.D.)

\

Ejemp/o 1

Descompongamos en sus factores primos los nUmeros naturales 20 y 48.

20 2 48 2 Entonces:

10 2 24 2 20 = 2x2x5 5 5 12 2 22X 5 = 1 6 2 48 = 2x2x2x2x3 3 3 24X3 = 1 En la descomposici6n en factores primos de los naturales 20 y 48, vemos que existe un factor que

es comt1n a ambos nUmeros que es el 2, es decir,

20 = [Bx5 48 = 0x 3

De estos dos factores comunes, tom amos el que tenga (0 los que tengan, si los hay) Menor

exponente. En este caso es 22= 4 Y sem este valor el MaximoComun Divisor de los nUmeros

naturales 20 y 48.

Ejemp/02

Hagamos.el mismo proceso para los nUmeros naturales 30 y 18. Descompongrunoslos .en sus

factores primos as!:

30 2

15 3

5 5 1

30 = 2x3x5 18 = 2x 32

Entonces:

18 9 3 1

2 3 3

En esta descomposici6n observamos que en 30 y 18 hay dos factores que son comunes, elIos son 2

y 3, los tomamos con su Menor exponente, y su producto 2 x 3 = 6, sem el MaximoComun Divisor

(M.C.D.).

Ejemp/o3

HalIemos el M. C. D. de: 60, 72 y 84.

60 30 15

5 1

Luego: 60 = 22X 3 x 5 72 = 23 X 32

84 = 22 x 3 x 7

2 2 3 5

72 36 18

9 3 1

2 2 2 3 3

84 42 21

7 1

2 2 3 7

EI M.C.D. = 22 x 3 = 4x3 = 12

155

Ejemplo4

Supongamos los mlmeros: 20, 40 Y 60.

Desc<>mpongamosdiehosmlmeros en sus factores

primos:

20 2

Podemosrepresentarestadescon:-

40 2 60 2 posici6n asi:

10 2 20 2 30 2

5 5 10 2 15 3 20 = 22 X 5

1 5 5 5 5 40 = 23 X 5

1 1 60 = 22 X 3 x 5

Los faetores comunes son 2 y 5. Tomemos estos con su menor exponente y hagamos produeto

as!: 22 x 5 = 4 x 5 = 20

Luego, el MaximoComun Divisor de 20, 40 Y 60 es 20, porque 20 es el mayor de 10 mlmeros que

divide exaetamente a 20, 40 Y 60 al mismo tiempo.

MaximoComun Divisor (M.C.D.), de dos 0 masnumeros, es el mayor de los divisores comunes de

dichos numeros.

1.

Cuando el M. C D. de dos numeros es 1, entonces decimos que los numeros son primos entre sf.

Para hallar el M.CO. de dos 0 masnumeros, se procede asf:

1.Se descomponen los numeros dados en sus factores primos.

2.Se escogen los factores primos, que sean comunes, elevados a su menor exponente.

1.EI producto realizado entre estos factores comunes, es el MaximoComunOivisor de los numeros

mencionados.

Este no es el Unicometodo para hallar el M. C.D. de dos 0 masmlmeros. Investiga eua! otro

metodo existe.

Ejercicio 7.8

Oetermina el M.C.O. de:

a)15 Y 45

b)35 Y 70

c)25 Y 60

d} 25,60y75

e} 16 Y 120 f} 25 Y 45

g} 10,40 Y 80 h} 18,27y81

i} 54 Y 162

j} 30,42 Y 54

k} 36, 60, 84 Y 120

I} 50, 150, 200 Y 250

8 MINIMO COMUN MULTIPLO (m.c.m.)

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos los numeros naturales 50 y 80 y deseamos descomponerlos en sus

factores primos:

50 2 80 2 Este resultado 10 podemos escribir as!: 25 5 40 2 5 5 20 2 50 = 2 X 52 1 10 2 80 = 24 X 5 5 5 1 Ahora tomamos los factores comunes y no comunes (si los hay) con su mayor exponente. A este

producto se Ie llama: minimacomunmultiplo de 50 y 80.

Para nuestro caso sen1: . m. c. m. = 24 x 52 = 16 x 25

= 400

Luego, el minimacomunmultiplo (m.c.m.) de 50 y 80 es 400.

Ejemplo2

Sean los nUmeros 25,45 Y 60.

Procedamos a descomponerlos en sus factores primos:

25 5

5 5

1

45 3

15 3

5 5 1

60 30 15

5 1

2 2 3 5

Entonces:

25 =52

45 = 32 x 5

60 = 22 X 3 x 5

Luego el m.c.m., sen1 52 x 32 X 22 = 25 x 9 x 4 = 900.

EI minimocomunmultiplo (m.c.m.) de dos 0 masnumeros, es el menor de los multiplos comunes de

dichos numeros.

Para hallar el mfnimocomunmultiplo (m.c.m.), de dos 0 masnumeros, se procede asf:

1.Se descomponen en sus factores primos, cada uno de los numeros dados.

2 Se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

EI producto de estos factores tomados, sera el mfnimocomunmultiplo de esos numeros.

. Halla el minimocomunmultiplo (m.c.m.) de los siguientes numeros:

a) 15 Y 60 d) 360 Y 600 g) 15, 16, 48 Y 150 b) 14 Y 28 e) 108, 216 Y 430 h) 529, 1.058, 1.587 Y 5.290 c) 480 Y 500 f) 21, 60 Y 200 j) 3.136, 1.176 Y 2.352

2. Oetermina el M.C O. de:

a) 9,81 Y 243 d) 8,56 Y 72 g) 21,42 Y 84

b) 25,70 Y 140 e) 25, 50, 75 Y 150 h) 14, 35 Y 70 c) 30, 180 Y 540 f) 100, 150, 200, 250 Y 300 j) 36, 70, 150 Y 200 3. Halla el M.CO. y el m.c.lll. de los siguientes numeros:

a) 28 Y 56 e) 3,5,7y9 j) 238 Y 340 b) 140y343 f) 9, 15,21 Y 27 j) 30 Y 120

c) 320 Y 848 g) 930 Y 3.100 k) 10, 15, 20, 25 Y 30

d) 200 Y 300 h) 9.504 Y 14.688 I) 6, 12, 18, 24 Y 30

7.9 ADICION DE FRACCIONARIOS

Itr!lt'

Al igual que en los mlmeros naturales, en los fraccionarios se pueden defmir operaciones. Vearnos

el caso de la adici6n.

Adici6n de fraccionarios homogeneos

Ejemplo 1

Un empleado tiene que realizar cierto trabajo. EI primer dfa realiza 2. del trabajo, el 5

segundodfa realiza 1 . i, CuIDto trabajo ha realizado en los 2 dfas?

5

Representemos el trabajo total como la unidad en la recta num~rica. /

1 1 1 ! i

5 5" 5 5 5

O~~------~--~--~--_l

Lorilia 2.0 ilia

La unidad, tarnbien, equival~Ar.i .

. _ 5

1 5

1 5

Representarnos 10 que ha realizado cada dfa en la recta numerica y adicionarnos estos valores.

Nosresultan .1

5

1 5

Ejemplo 2

Una persona gasta ellunes ~ de su dinero; el martes.l...; el miercoles ~.l,CUlmto ha

gastado en los 3 dfas? 10 10 10

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

,»

1

..l.. 10 lunes

~

10 miercoles

.l.. 10 martes

Todo 10 que tema representa la unidad, 0 sea ill . 10

Ahora, simplemente, contamos cucmtos decimos gast6. Vemos que resulta -.2-. . 10

Esta adici6n, representada gnificamente, es 10 mismo que decir:

l + .l.. + ~ = 3+2+4 =-.2-.

10 10 10 10 10

Observemos que los fraccionarios que hemos adicionado tienen igual denominador y se llaman

fraccionarios homogeneos.

Para adicionar fraccionarios hom6geneos, sumamos los numeradores y dejamos el mismo

denominador.

Simb6licamente serra: .!l + 12 = li..b. con c *0.

cc c'

b)

Ejercicio7.10 I

Resuelve las siguiehtes adiciones:

a).1 + .1- 5 5

c) N+ll.+H+l

3 3 3 3

c)..8.. + 9... + ill

6 6 6

Adici6n de fraccionarios heterogeneos

Los fraccionarios heterogeneos tienen diferente denominador."C6mo los adicionarfamos? Ejemplo

1

Adicionar: .1 + 1. . Vemos que son de

diferente denominador. Tenemos que convertirlos a h~Jgene6s aplicando el

minimocomUnmUltiplo.

Hallemos el m.c.m. de los denominadores por descomposici6n en factores primos;

9 3 m.c.m. = 5 x 32 = 5 x 9 = 45

3 3 m.c.m. = 45, que ser~ el comUn denominador.

1

Luego' .1 + 1. = - + -

. 5 9 45 45

Los denominadores se amplificaron. "Que sucedeni con los numeradores?

Para que las fracciones sigan siendo equivalentes, tenemos que amplificar los numcradores por la

misma cantidad que se amplifica cada denominador.

Ejemplo2

Una persona gasta ellunes ~ de su dinero; el mattes .£; el miercoles~.i, Cuiillto ha

gastado en los 3 dias? 10 10 10

-L ~ ..1... ...!. i ~ ~ ..£. ...2.. 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

I I II I \0 }~ 1

v 2- ~ ...!. 10 10 10 lunes martes mitrcoles

Todo 10 que tema representa la unidad, 0 sea N . 10

Ahora, simplemente, contamos cu:1ntos decimos gast6. Vemos que resulta -.2.... • 10 Esta adici6n,

representada graficamente, es 10 mismo que decir:

l+.£+~=3+2+4=-.2....

10 10 10 10 10

ObselVemos que los fraccionarios que hemos adicionado tienen igual denominador y se llaman

fraccionarios homogeneos.

Para adicionar fraccionarios hom6geneos, sumamos los numera

dores y dejamos el mismo denominador.

Simb6licamente serra: J1 + b.. = iL±..b. con c *0.

cc c'

" .... : .... ' .

Ejercicio 7.101

Resuelve las siguientes adiciones:

a).1 + 1.

5 5

b).a + ~ + ill

6 6 6

c) lQ + .12 + H. + .1

3 3 3 3

Adici6n defraccionariosheterogeneos

Los fraccionarios heterogeneos tienen diferente denominador.l.C6mo los adicionarfamos? Ejemplo

1

Adicionar: .3.. + ~ . Vemos que son de diferente denominador. Tenemos que convertidos a

homJgene6s aplicando el minimocomUnmultiplo.

Hallemos el m.c.m. de los denominadores por descomposici6n en factores primos:

9 3 m.c.m. = 5 x 32 = 5 x 9 = 45

3 3 m.c.m. = 45, que seni el com un denominador.

1

Luego· .3.. + ~ = - + -

. 5 9 45 45

Los denominadores se amplificaron. l. Que sucedera con los numeradores?

Para que las fracciones sigan siendo equivalentes, tenemos que amplificar los numcradores por la

misma cantidad que se amplifica cada denominador.

El denominador 5 se transfonn6 en 45,0 sea, 10 amplificamos por 9.1uego el numerador tambh~n

se debe amplificar por 9. Por 10 tanto obtenemos: 3 x 9 = 27.

El denominador9 se amplific6 por 5 0 sea 9 x 5 ::: 45; luego. e1 numeradortambi~n se amplificani

por 5, quedando 4 x 5 = 20.

Entonces, tenemos: .1 + 1. = 22 + 2Q. = ~

5 9 45 45 45

Esto es, aplicando la adici6n de fracciones homogeneas.

Ejemplo2 Adicionar: ~ + 2- +.Q.

8 12 4 8 2 12 2 4 2 Luego: 8 = 23

4 2 6 2 2 2 12 = 22 x 3 2 2 3 3 1 4 = 22 1 1 m.c.m. = 23 x 3 = 8 x 3 = 24 = comun denominador.

Por 10 tanto: ~+ ~+.Q.= U+ N+ 3.Q. = 12 + 10 + 36 58

8 12 4 24 24 24 24 24

Para adicionar fraccionarios heterogeneos, se transforman en homogeneos hallando el m.c.m. 0

comun denominador y, luego, se adicionan como homogeneos.

"I

Ejercicio 7.11 J

Adiciona los siguientes fraccionarios:

a).1 + .2. + ill

4 4 4

b)2- + .L + ..!. + ill

20 20 20 20

c)2. + ill + .1+ L

9 9 9 9

d).1 t .L + ..!.

2 10 5

e).1 + ~ + ...5...-

7 14 21

f)l+~+3...+2.

5 5 5 5

7.10 SUSTRACCION DE FRACCIONARIOS

La sustracci6n de numeros fraccionarios, presenta exactamente los 2 casos que ofrece la adici6n:

sustracci6n de fraccionarios homogeneos y sustracci6n de fraccionarios heterogeneos.

Ejemplo

Para restar fraccionarios homogeneos, restamos los numeradores y dejamos el mismo

denominador.

Simb6licamente serra: ~ - b = a - b I con c '* o.

cc c

Ejercicio 7.121

Resta los siguientes fraccionarios.

c)

elnumera- 27.

tambiense

ofrece la heteroge-

y

Numerosfraccionatios

a) 1£ - .9.. 5 5

b)Z1. - !5..

20 20

d)~ - .z.s..-

101 101

d)279 _ 108

75 75

45 _ .L 20 20

...9.L _ IL _ ..L

101 101 101

e) 2N 20

f) l..ll5.(L - 101

Sustracci6n de fraccionarios heterogeneosEjemplo ± - 2..

3 8

Como son fraccionarios heterogeneos, tenemos que transfonnarlos en homogeneos para poderlos

restar.

3 3 8 2 Luego: 3 = 3 1 4 2 8 = 23 2 2 m.c.m. 3 x 23 = 3 x 8 = 24, que es el comun 1 denominador. Entoncestendremos:

4 2 _ 32 ~ _' 32 - 6 _ 26

______ -lL _

3 8 24 24 24 24

Para restar fraccionarios heterogeneos, primero los transformamos en homog~neos, hallando el

m.c.m. 0 comun denominador y luego se restan como homog~neos.

Ejer~ici~ ~.131

EfectUa las siguientes operaciones:

a) l5.. - 2.. c). Z9. - N - L e) 1£ - .'i

7 7 11 11 11 5 9

b)li - H. d) 20 - 2.. - 1. f).a - 1.

10 15 2 6 8 4 5

7.11 MULTIPLICACION DE NUMEROS FRACCIONARIOS

g)

fi_1Z. 5 9

!9.. _ 3L_A-

4 12 16

h)

Recordemos c6mo representamos el producto de dos factores, cuando estos son mlmeros

naturales.

Ejemplo 1

Representemos 2 x 4. Nos resulta la figura donde las filas (horizontal) nos representan el

multiplicando (2) y las columnas (vertical) nos representan el multiplicador (4).

4

Si contamos el numero de cuagrfculas obtenidas, vemos que es 8. 0 sea: 2 x 4 = 8.

Observemos que sucede si, en lugar de numeros naturales, tenemos que efectuar el producto de

dos numeros fraccionarios.

Efectuemos: 1 x 1

4 3

1.

RepresentemosgrM'icamenteesteproducto:

El rectingulo de la figura 1. nos representa una unidad (un

solorecWgulo).

DividimOS la unidad representada en la Fig. 1. en 3 partes iguales. La parte sombreada indica e1

mulliplicandoltl·

GIll \ J

1-

4

Fig. 3

G\1ll\1\\IU

.1-

12 Fig. 4

Queremos tomar ~ de t· Se escribe: ~ x t

Esta respuesta es igual a la que obtuvimoSgraficamente.

2.

Para multiplicar (raccionarioSya sean homog~neos0 heterogeneos, se multiplican los numeradores

entre sfy luego los denominadores

entresf.

Simb6licamente: 1) a x.c..= ~

b d b x d

2)a x ~ x ~ = a x c x e

b d f bxdxf

[.E~.~r~i.~i.~ ... 7.1 .. ~ ... J.

3.Efectua

los

siguientesproductos:

a)1- x.5- c) 1l. x .8-

4 4 15 7

b)L x .8- d) 11- x .LL

9 9 5 5

e) 11. x .1

9 6

f)9.. x.8- 8 9

g)~ 'X .1 x .5- 7 7 7

h) JJL x 11- x 1-

6 7 3

2.Realiza:

a)2. de 1

4 2

b)~ de l de 1-

5 9 16

c)~ de L

5 2

Multiplicaci6n de un natural p~r un fraccionario

Se presenta, tambien, el caso de la multiplicaci6n de un nUrnero fraccionario por un mimero

natural 0 de un nUrnero natural por un mlmero fraccionario.

Ejemplo

Realizar: 5 x 1 4

Recordemos que tod~ nUrnero natural se puede representar como un nUrnero fraccionario cuyo

denorninador sea la unidad. As!: 5 = .i

1

Teniendo en cuenta 10 anterior tendrfamos:

5 x.1.=~x.1.= 5 x3 =li

4 1 4 lx4 4

Para multiplicar un numero natural par un numero fraccionario, se multiplica el numero natural

par el numerador y se deja el mismo denominador.

Simb6licamente: a x.b.. = a x b ,c -:F- O. c c

Ejercicio 7.15 •

Efectua las siguientes operaciones:

a)

3 x .9. 3

c) 25 x 409

d) 78 x ~ 18

e)5. x 9 7

f)3x.i 8

j)7X.i 8

j) 5 x 1. 3

g) 2 x l 7

h)1. x 6 4

b) 17 x ~ 10

'\

7.12 DIVISION DE NUMEROS FRACCIONARIOS

Dado el producto de 2 factores y un factor conocido, ~c6mo podrfamos hallar el factor des-

conocido?

Ejemplo 1

Resolver 3 x IT] = 27

Podrfamos hallar el factor desconocido usando la operaci6n de divisi6n. o sea: Factor desconocido

II] = 27 + 3

9 = 27 + 3

Luego el factor desconocido es 9, porque 3 x 9 = 27.

Lo mismo nos puede suceder si en lugar de mlmeros naturales, tom amos mlmeros fraccionarios.

Ejemplo2

Resolver: 2..xr?l = 43 L:J 6

Hallemos eI factor desconocido usando el mismo proceso del ejemplo anterior:

Factor desconocido [2] =: -+ t

Recuerda que el fraccionario que aparece en primer lugar (en este caso.1 ) es el

dividendo y el siguiente (2.) , 0 siguientes, son los divisores. 6

·3·

Ahora, efectuemos la operaci6n para hallar nuestro factor desconocido. Retomemos el ejemplo:

Factor desconocido [2J = i + t· Esto 10 podemos solucionar de 2 formas:

Forma A. Si 0010 intervienen 2 terminos: dividendo y divisor, se efecnlan productos cruzados (en

cruz).

Forma B. Si observamos detenidamente la forma A, vemos que efectuamos una multiplicaci6n del

dividendo por el divisor invertido.

Esto es 10 que haremos, invertir el divisor y efectuar la multiplicaci6n entre dividendo y divisor

invertido.

I-)l = ~ L:J 6

+ .2.=4x3=ll=1 3 6 x2 12

[2J=tX~=::~=g=l

9.

Para dividir fraccionarios se multiplica el fraccionario dividendo por el inverso del fraccionario

divisor.

EfectUa los siguientesejercicios:

a) .1+z. d) A.+..8. g) l+.1 .•. JL j) L + .1+5..

5 5 5 6 4 2 10 5 4 3

b) ..8. + .1.Q e) lO.+.5..+l h) 2+.11..+12 k) ~ + .L + l

9 9 9 3 2 9 12 10 3 4 3

c) l.+l f) a +.5..+ 12. i) 1..;.a..+2 I)L+5 + H.

3 7 7 4 3 8 3 8 16

13 POTENCIA DE UN FRACCIONARIO

Recordemos la potenciaci6n de m1meros naturales. Observem~ este ejemplo: 53. "Recuerdas, que

nombre reciben cada uno de los terminos? Veamos: E15 recibe el nombre de base y el 3 recibe el

nombre de exponente.

5mb6licamente: ct', donde a = base, n = exponente.

Ejemplo 1

Resolvamos 34

Por definici6n de potencia, se tiene que tomar la base (en este caso 3) como factor 4 veces 00 que

indica el exponente 4), 0 sea: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 8l.

"Que suceder~, si la base no es un numero natural sino un numero fraccionario? "Cam-' biar~ su

desarrollo?

Ejemplo2 Resolvamos (; t

En este ejempl0, la base esU representada por 2. y el exponente por e14, entonces por 3

definici6n de potencia, tomamos la base como factor 4 veces. 0 sea:

2.)4 = 2. x 2. x 2. x 2. = 2 x 2 x 2 x 2 = 12.

3 3 3 3 3 3 x 3 x 3 x 3 81

Si observamos detenidamente vemos que 16 es 10 mismo que 24 y 81 es igual a 34•

10.

La potencia de un fraccionario es el resultado de elevar el numerador y el denominador al

exponente indicado.

. .' (.a.)n_ ~ _ a x a x a x ... n veces

S,mb6ltcamente: b - if - b bb

x x x ... n veces

Ejemplo Hallemos la potencia de (rJ

Por definic~6n de potencia tenemos: (t)2 = ~=3X3=..2...

.l+~ 52 5x5 25 4 3 I Ejercicio 7.171

L+.1 Resuelve los siguientesejercicios:

4 3 g) (tf j) (:r a) G)2 c) (~r e) (f)2

5 + .l4. (}r (~r o (~1r (})3 16 b) d) h) (~)2 j)

14 RAIZ DE UN FRACCIONARIO

Recordemos que la rafz de un mlmero natural se halla buscando un mlmero natural que

multiplicado por sf mismo, tantas veces como indique el fndice, nos deel radicando.

Ejemplo 1

Hallemos la rafz cubica de 125.

Tenemos que 125 = 5 x 5 x 5 = 53,luego Vlli = v-;; = 5 porque 5 x5 x5 = 125

Pero, l,que sucede si el radicando es un nUmero fraccionario? l,Secumplira 10 anterior? Se debe

cumplir, porque el nUmero fraccionario es un cociente indicado de nUmeros naturales.

Ejemplo2 Hallemos if

Tenemos que buscar un nUmero fraccionario que multiplicado por sf mismo, nos deel radicando

2...

4

Entonces tenemos: 9 = 3 x 3 = 32 Y 4 = 2 x 2 = 22

,.'

Luego' "~4 = "rY23

2=.1, porque.1 x 3.. = .2.

. V 4" V 22 2 2 2 4

Fijemonos que en los ejemplos anteriores, tambienpodrfamos haber tornado la rafz por separado,

0 sea: ,,~= 1§.... = iJ!.... =.1

V4" i4 V7! 2

Para hallar la raizde un numero fraccionario, se halla la ralz del numerador y la ralz del

denominador.

Simb6licamente: Vf = =Jj-

Ejercicio 7.18/

: ... : •...• :.:.:-:.:.:.:.:.:.:.:.:.:<.:.:.:.;.:.:.:.:.;.:.:.:.:.;.- .••.••.

Resuelve los siguientes ejercicios:

) ~!Kg \/81

e)-fli\/"36

j)~rz\/64

h)-Iili \/144

d) a

RESUMEN DE LA UNmAD

1.Operador fraccionario: Es el operador que combina al operador multiplieaci6n y a1 operador

divisi6n. Se representa de 1a forma x 11 (multiplicarpor.Q. ).

b b

Fracci6n: Toda expresi6n de 1a forma .a. con a y bENy b ~ 0; a se llama numerador

yb denominador. b

2.Amptiticaci6n: Consiste en multiplicar e1 numerador y e1 denominador de una fracci6n por un

mismo nUmero.

3.

3. Simpliticaci6n: Consiste en dividir e1 numerador y el denominador de una fraeci6n

anterior? por un mismo nUmero.

6.El minimacomunmultiplo (m.c.m.) de varios nUmeros naturales dados, es ottomlmero natural

que contiene exactamente a esos m1nieros.

nUmeros

4. Dos fracciones son equivalentes cuando los productos cruzados de ellas son iguales.

5.El MaximoComun Divisor (M.C.D.) de varios nUmeros naturales dados, es otro 011- mero natural

que esti contenido exactamente en esos nl1meros.

nosde el

7. Dos 0 mas fraccionarios son homogeneos si tienen igual denominador, de 10 contrario .se

llaman heterogeneos.

Operaciones con fraccionarios

Operacion Condicion Numeradores Denomlnadores

Adici6n y sustracci6n Deben

serhomogeneos*

Se suman 0 restan Se conserva el comUn

Multiplicaci6n Ninguna Se multiplican Se multiplican

entre sf entre sf Divisi6n Invertir el

fraccionario

Se multiplican Se multiplican

divisor entre sf entre sf Potenciacion Ninguna Se potencian Se potencian

Radicaci6n Ninguna Se les extrae la ralz Se les extrae la ralz

~ '" Para convertir fraecionesheterog~neas en homogeneas se debe:

HaIlar el m.c.m. entre los denominadores originales.

Amplificar cada fracei6n de tal manera que el m.e.m. sea el nuevo denominador comUn.

EJERCICIOS DE REPASO

1. Explica que representan el numerador y el denominador de una fracci6n.

2. lQue son fraccionarios heterogeneos?

3. Convierte a fracciones homogeneas.

c).l 1 y~ 7' '4 28

e).ll y .L

12 19

a).1 y L 4 6

b)l,l y l

3 6 9

d).2.5. ~ ~ 31 '62 Y 93

f)4 1 ...L

7' "3 Y 11

4. Indica si las siguientes fracciones son equivalentes.

a) t y ft

...L 6'

c 13 Y 17

e).L y 3.2..

11 121

b).1 y .2..

4 7

f)....'Lyli

10 50

5. Desarrolla las siguientes operaciones, simplificando el resultado, si es posible.

a) l+l+l d) {¥J g) (L x 5.) + .li 2 3 4 400 9 4 36

b) 2-xL e) l.6. + a h) (2- + ll) x M...

5 6 35 7 5 13 162

c) (}f f) ±-+~- .u. j) {1;i

7 7 7 100 6.Com pre un electrodomestico por $140.000. Si 10 venda por los .Q. del precio

de compra, icual es el precio de venta? 7

"

7. Un numero multiplicado por 1. equivale a 11.. . iCuales el numero?

5 25

8.La edad de Marfa equivale a los Z de la edad de Rosa. Si Rosa tiene 45 anos,

icual es la edad de Marfa? 9

9. Halla la mitad de la mitad de la mitad de 8.

10.Dado el conjunto P = {2, 4,. 8, 16, 32}, icual es el conjunto correspondiente a Px..l?

2

11.lQue es un operador fraccionario?

12.RepreseQta mediante grMicos, los siguientes fraccionarios:

a) Z. b) .8. c) _1 d).-L e) ~

~ 8 9 10 11 4

I.-

13.Efequalassiguientesoperaciones.

a).1 x .s.. c) i x .l x JL x ± e) H. x 8

4 8 6 2 12 9 16

f)~ 13

b) -±-.x.2 x 2.. d) 10 xL f) 1..x.lx8xSxl

- ve 8 7 12 9 7 3

--1 ~suelve:

~

" I -- -...-a), .1 + ~ c) lQ.+.l+2..+~ e) ill + 8

I 7 5 4 6 4 7 9 b) Z +£ + 9.. d) 14 + L f) Z+9...+6+ lQ.

8 3 6 3 4 5 8

(15. EfectClalasoperacionesindicadas.

)

a)Z + ~ + lQ. + l

8 9. 12 10

b)II - Q.

21 7

c) H+Z-l_£

7 3 5 6

16. Resuelve los siguientesejercicios.

a).L x~ x ~

12 12 12

b)lZx 16 25

c) 109 x Zl 8

17. Si 8 caramel as cuestan $ 544 ,lcuanto cuesta un solo caramelo? 5

18. lPor que numero hay que multiplicar a 2 para que se convierta en 1L '1

6 7 .

19.Diez obreros hacen \516 metros de una obra en 1 h~ra. lCuantos metros hace cada obrero en 1

hora?

20. lPor que numero hay que dividir a R para obtener 3 de cociente? 5

21.Un hacendado posee una finca de 15 hectareas y la reparte entre sus tres hijos de la siguiente

forma: al mayor Ie deja los t de la finca, al de la mitad ~ de 10 que queda. lCuantashectareasIe

tocan al menor?

22.

EI tanque de combustible de un auto tiene una capacidad de 5 galo ~Si ~I ' primer dfa gasta los ~

de su capacidad total, el segundo dfalos ! de 10 que qued6 el dfa anterior, lcuanto combustible

qued6 en el tanque?

RECREATE

Llena los cuadros en blanco con las respuestas de las operaciones indicadas en las columnas de

abajo.

1 2

3 4

5 6

7 8 9 10

11 12 13 14

15 16 17 18

19 20 21 22

23 24

25 26

27 28

t"

Calcula:

1)1. + 1. 2 4

2)~ + 2 12 8

3)M. C. D. de 1.,1.,1. 648 4) M.C.D. de 1.,1.,1. 346

4)-.6... - ...L

15 10

6)1. _ .2..

2 12

7) M.C.D. de 1., 1. ,_I

4 5 18

8) 21.+37

4 5

9) 43+ll

6 8 1 1 1

10)M.C.D. de -,-,-

6 8 12

Simplifica:

11)Q. 8

12)4856

13)27

45

14)li 30

Calcula:

15)1. + 1. + 1. 254

16).i + 2.. + 1 634 17)1.xl

2 5

18)2.. + 1

3 4 1 1 1

19)M.C.D.de3"'4'S

20) M.e.D. de 1.,1. 9 6

21)1x 1 2 4

22)2+ 4- 3 5

23)m.e.m. de los denominadores de 1., 1 3 8

24) m.e.m. de _1 , 1 12 9 25) m.e.m. de1., 1. 4 8

26) m.e.m. de 1,1.,2- 5 6 12 27) m.e.m. de1., 3.,...L 6 9 12 28) M.C.D. de 2,1 • ...1. 3 5 20

170 alga E as soboy s