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Describe una situación física que viaja o se propaga
longitud de onda
periodo
De cierta onda se sabe que tiene una amplitud máxima de 8 V/m, que se desplaza en
sentido positivo del eje Z, con una velocidad de 300 m/s, y que la mínima distancia entre
dos puntos que vibran en fase es de 10 m.
Escriba su ecuación.
Escriba la ecuación de otra onda idéntica pero desplazándose en sentido contrario.
Escriba la ecuación de la onda resultante de la interferencia que se produce entre las
dos ondas anteriores.
2cos
22
BABAsensenBsenA
Ecuaciones de Maxwell
Son cuatro ecuaciones que pueden considerarse como la
base de los fenómenos eléctricos y magnéticos.
Estas ecuaciones, desarrolladas por James Clerk Maxwell
(1831-1879), son tan fundamentales para los fenómenos
electromagnéticos como las leyes de Newton lo son para los
fenómenos mecánicos.
De hecho, la teoría desarrollada por Maxwell tuvo mayores
alcances que los que incluso él imaginó porque resultaron
estar de acuerdo con la teoría especial de la relatividad, como
Einstein demostró en 1905.
Estas ecuaciones predicen la existencia de ondas
electromagnéticas. Además, la teoría muestra que dichas
ondas son radiadas por cargas aceleradas.
CARACTERISITICAS:
1.- Son generadas por cargas eléctricas oscilantes.
2.- Las ondas radiadas están compuestas por campo eléctrico y
magnético, los cuales forman ángulos rectos entre sí y también ángulos
rectos con la dirección de propagación de la onda.
3.- Son de naturaleza transversal.
4.- Las amplitudes de campo eléctrico y magnético en una onda
electromagnética se relacionan entre sí con la ecuación: E=cB.
5.- A largas distancias de la fuente de la onda, las amplitudes de E y B
disminuyen con la distancia, en proporción a 1/r.
6.- Las ondas radiadas pueden detectarse a grandes distancias desde las
cargas oscilantes.
7.- Las ondas electromagnéticas conducen energía y momento, en
consecuencia ejercen presión sobre una superficie.
Frente de onda: lugar del espacio donde la perturbación
toma el mismo valor en un instante de tiempo dado.
Ecuación de onda
La ecuación de onda general es de la forma:
donde v es la velocidad de la onda y f es la función
de onda.
2
2
22
2 1
t
f
vx
f
)( tkxAseny
Algunas nociones matemáticas Dada una función F(r)=(Fx, Fy, Fz) vectorial
Teorema de Stokes Teorema de la divergencia
Ley de Gauss
0
QAdE
El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie
cerrada es igual a la carga neta dentro de esa superficie
dividida por 0.
vD
Aplicando el teorema de la divergencia a la integral de
superficie cerrada, se obtiene:
0
QdVE
V
D Vector
Desplazamiento
Ley de
Gauss del
magnetismo
El flujo magnético neto
a través de una
superficie cerrada es
cero
0AdB
0B
Ley de inducción
de Faraday
La fem inducida es igual a la rapidez de cambio de flujo
magnético a través de cualquier área de la superficie
delimitada por la trayectoria.
dt
dldE B
Aplicando el teorema
de Stokes
BE
t
dt
BdA
dt
ABd
dt
d B
Ley de
Ampére-
Maxwell
dt
AEd
AA
I
A
AdBS
0
00
0
0
0
0: permeabilidad del espacio libre
7
0 4 10T m
A
DH J
t
Aplicando el teorema
de Stokes
H intensidad de
campo magnético
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son:
Descubrimientos de
Hertz
Las ondas
electromagnéticas
fueron generadas
y detectadas por
Heinrich Hertz
(1857-1894) en
1887, empleando
fuentes eléctricas.
Maxwell predijo en forma teórica la existencia de ondas de E y B (ondas
electromagnéticas)
Equipo construido
por Hertz:
Ondas electromagnéticas planas
Las propiedades de las ondas electromagnéticas pueden
deducirse de las ecuaciones de Maxwell.
Se asumirá que los vectores campo eléctrico y campo
magnético tienen un comportamiento específico en el
espacio-tiempo que es consistente con las ecuaciones de
Maxwell.
Se supondrá que la onda
electromagnética es una
onda plana (viaja en una
dirección) y que está
polarizada linealmente (B y
E están restringidos a ser
paralelos a ciertas líneas
en el plano yz).
Ecuaciones de Maxwell en el vacio (j=0, ρ=0)
Suponemos:
E = (0, E, 0)
B = (0, 0, B)
0
0 0
0 0
0
0
x
E
xx
E2
2
t
E
tx
E002
2
2
2
002
2
t
E
x
E
2
2
002
2
t
B
x
B
t
B
x
x
B
t
2
2
002
2
t
E
x
E
2
2
002
2
t
B
x
B
2
2
22
2
t
y
v
1
x
y
00
1c
C 3.00 108 m/s
Ecuación
de onda
)tkx(senEE máx
)tkx(senBB máx
2k f2
cfk
La solución de onda plana más simple es una onda sinusoidal, para las
cuales las amplitudes de E y B varían con x y t de acuerdo a las siguientes
expresiones:
t
B
x
E
)tkx(senEE máx )tkx(senBB máx
)tkxcos(kEx
Emáx
)tkxcos(Bt
Bmáx
B
Ec
B
E
máx
máx
Una onda sinusoidal electromagnética plana de 40.0
MHz de frecuencia viaja en el espacio libre en la
dirección x, como se muestra en la figura. En algún
punto y en cierto instante el campo eléctrico tiene su
valor máximo de 750 N/C y está a lo largo del eje y.
Determine la longitud de onda y el periodo de la onda.
Calcule la magnitud y la dirección del campo magnético cuando E = 750j N/C.
Escriba expresiones para la variación en el espacio-tiempo
de las componentes eléctrica y magnética de esta onda.
Una onda sinusoidal electromagnética plana se propaga en la dirección
+x. La longitud de onda es 50.0 m y el campo eléctrico vibra en el plano xy
con una amplitud de 22.0 V/m. Calcule:
a) la frecuencia sinusoidal
MHzc
ffc 650
103 8
b) la magnitud y dirección de B cuando el campo eléctrico tiene su valor
máximo en la dirección y negativa.
kTBB
B
Ec
MaxMax
Max
Max
ˆ106.7103
22 8
8
c) escriba una expresión para B en la forma B = Bmáxsen(kx - t)
? tkxsenBB Max
113.050
22 mk
f2
Intensidad de una onda electromagnética: La
intensidad se relaciona con la potencia media o con la
densidad de energía media del siguiente modo:
Donde um es la densidad de
energía electromagnética
media
Para calcular la densidad de energía
media, reemplazamos los campos
instantáneos E y B por sus valores
eficaces: donde E0 y B0 son los valores
máximos de los campos
La intensidad es, por tanto:
Energía transportada por ondas electromagnéticas
A
N2
7
0104
Donde S es el vector Poynting y corresponde a la tasa
de flujo de energía en una onda electromagnética.
Energía transportada por ondas electromagnéticas
Vector de Poynting:
(W/m2)
promSI
0
2
0
2
22 máxmáx
cB
c
EI
S es el vector de Poynting, cuyo valor medio es la intensidad de la
onda y su dirección es la dirección de propagación de la onda:
3770cImpedancia
del espacio
libre
2
021 EuE
0
2
2
BuB
2
0212
0
00
0
2
22
)/(EE
cEuB
0
22
0
B
Euuu BE
0
22
0212
02
)(
máxmáxpromprom
BEEu
promprocuI S
En una onda electromagnética, la densidad de energía instantánea asociada
al campo magnético es igual a la densidad de energía instantánea asociada al
campo eléctrico.
Densidad de energía
instantánea total:
Ejemplo:
Una fuente puntual de radiación electromagnética tiene una potencia
promedio de 800 W. Calcule los valores máximos de E y B en un punto que
se encuentra a 3.5 m de la fuente.
cE
AP
Ipro
20
2
max
cB
E
máx
máx
Momentum y presión de radiación
mcp
mccmcU 2
c
Up
(absorción completa)
la onda transporta un momento lineal que está
relacionado con su energía del siguiente modo:
Una onda electromagnética transporta una energía U a una superficie
en un tiempo t. Si la superficie absorbe toda la energía incidente U en
ese tiempo t, entonces: p=U/c.
Momento entregado a una
superficie absorbente
perfecta: CUERPO NEGRO
Momento y presión de radiación
A
FP
Adt
dU
cc
U
dt
d
AP
11
c
SP
dt
dpF
(absorción completa)
Como la intensidad de una onda es la energía por unidad de tiempo y
unidad de área, la intensidad dividida por c es el momento transportado
por la onda por unidad de tiempo y unidad de área.
Presión de radiación
Presión de radicación ejercida sobre una
superficie absorbente perfecta.
Si la superficie es un reflector perfecto y la incidencia es normal, entonces el
momentum transportado a la superficie en un tiempo t es el doble que para una
absorción completa:
2Up
c
2SP
c
Si la superficie es un reflector perfecto, entonces el momento
entregado en un tiempo t para una incidencia normal es el DOBLE que
el dado para una absorción total. Es decir, se entrega primero un
momento U/c por la onda incidente y luego otra vez U/c por la onda
reflejada.
Tarea:
Una onda electromagnética plana tiene un flujo de energía de 750 W/m2.
Una superficie rectangular plana de 50 cm × 100 cm se encuentra en un
plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Si la
superficie refleja la mitad del momentum incidente, calcule: a) la energía
total absorbida por la superficie en 1 minuto; b) el momentum absorbido en
ese tiempo.
Ejemplo:
El Sol radia energía electromagnética a razón de 3.85 × 1026 W.
a) ¿A qué distancia del Sol la radiación decae a 1000 W/m2?
b) Para la distancia anterior, ¿cuál es la densidad de energía promedio de
la radiación solar?
Producción de ondas electromagnéticas por medio de una antena
El espectro de ondas electromagnéticas
Ondas de radio.- Se obtienen a través de cargas aceleradas en alambres de
conducción (dispositivos electrónicos). En el orden del metro.
Microondas.- También se generan por dispositivos electrónicos. Varían entre
1mm y 30 cm.
Ondas Infrarrojas.- Son producidas por cuerpos calientes y moléculas. Varían de
aprox. 1mm hasta la longitud de onda más larga de luz visible 7x10-7m.
El espectro de ondas electromagnéticas
Luz visible.- Producida por la reorganización de electrones en átomos y
moléculas . Van aprox. desde 4x10-7m hasta 7x10-7m.
Luz ultravioleta.- Su fuente principal es el sol. Varían aprox. desde 3.8 x10-8m
hasta 6x10-8m. La mayor parte de esta energía es absorbida en la atmósfera y
sirve para calentar la estratósfera.
Rayos X.- Su fuente más común es la desaceleración de electrones de alta
energía que bombardean a un blanco metálico. Van aprox. desde 10-8m hasta
10-13m
POLARIZACION
Es una característica de todas las ondas transversales. En este tipo de ondas,
existen multitud de planos posibles de vibración. Si mediante algún mecanismo
obligamos que la onda vibre en un solo plano, tenemos una onda polarizada.
La dirección de polarización de la onda electromagnética se describe como la
dirección en la cual el campo eléctrico E está vibrando.
Se dice que una onda está polarizada linealmente si E vibra en la misma
dirección todo el tiempo en un punto en particular.
El plano formado por E y la dirección de propagación de la onda recibe el
nombre de plano de polarización de la onda
En la gráfica se observa una onda polarizada
linealmente en la dirección y.
Además, el plano de polarización de dicha
onda es el plano xy.
POLARIZACION
POLARIZACION POR ABSORCIÓN SELECTIVA
2o cosII=
POLARIZACION POR ABSORCIÓN SELECTIVA
Ley de Malus: Donde I0 es la intensidad de la
onda polarizada incidente en
el analizador.
POLARIZACION POR ABSORCIÓN SELECTIVA
POLARIZACION POR ABSORCIÓN SELECTIVA
Ejemplo:
Luz no polarizada pasa a través de dos hojas polaroid; el eje de una es
vertical y el de la otra está a 60º con respecto a la vertical. Describa la
orientación e intensidad de la luz transmitida.
Ejemplo:
Luz no polarizada pasa a través de tres hojas polaroid; el eje de una es vertical,
la segunda a 45º con respecto a la vertical y la tercera a 90º con respecto a la
vertical . Describa la orientación e intensidad de la luz transmitida.
¿Cuál es la intensidad de la luz transmitida si se retira la hoja polaroid
intermedia?
POLARIZACION POR REFLEXIÓN
p: ángulo de Brewster
nn
p
1
2
tan Debido a que n varia con la
longitud de onda, entonces el
ángulo de Brewster es también
función de la longitud de onda.
POLARIZACION POR REFLEXIÓN
)90sin(sinsin 2221 pp nnn
pp nn cossin 21
1
2tann
np
POLARIZACION POR REFLEXIÓN
POLARIZACION POR DOBLE REFRACCIÓN
Ejemplos: calcita y cuarzo. Son materiales con doble refracción o
birrefrigentes.
POLARIZACION POR DISPERSIÓN
ACTIVIDAD ÓPTICA
La actividad óptica es la característica que tienen ciertos materiales para girar
el plano de polarización de la luz transmitida.
